Kako najti križišče in združitev. Iskanje presečišča in združitve številskih množic

prečkanje dve kompleti se imenuje množica vseh skupni elementi te komplete.

Primer:
Vzemimo številki 12 in 18. Poiščite njune delilnike, tako da celotno množico teh deliteljev označite s črkama A in B:
A \u003d (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18).

Vidimo, da imata številki 12 in 18 skupne delilce: 1, 2, 3, 6. Označimo ju s črko C:
C = (1, 2, 3, 6).

Množica C je presečišče množic A in B. Zapišejo jo takole:
A ∩B=C.

Če dve množici nimata skupnih elementov, potem je presečišče teh množic prazno kup.
Prazen niz je označen z znakom Ø, uporabljen pa je naslednji zapis:

X ∩Y = Ø.

unija dva kompleta je množica, sestavljena iz vseh elementov teh množic.

Na primer, vrnimo se k številu 12 in 18 ter množici njihovih elementov A in B. Najprej izpišemo elemente množice A, nato jim dodamo tiste elemente množice B, ki niso v množici A. Dobimo množico elementov, ki ju imata A in B skupni. Označimo ga s črko D:

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Množica D je unija množic A in B. Zapiše se takole:

D=A U b.

Glavne operacije, ki se izvajajo na sklopih, so dodatek (Zveza), množenje (križišče) in odštevanje . Te operacije, kot bomo videli kasneje, niso identične operacijam z istim imenom, ki se izvajajo na številkah.

Opredelitev : Združenje(ali vsota) dveh množic A in B je množica, ki vsebuje vse take in samo take elemente, ki so elementi vsaj ene od teh množic. Unija množic A in B je označena kot A  B.

Ta definicija pomeni, da je seštevanje množic A in B združitev vseh njunih elementov v eno množico A  B. Če so enaki elementi v obeh množicah, potem ti elementi vstopijo v unijo le enkrat.

Združenje treh ali več množic je definirano podobno.

Opredelitev : prečkanje(ali množenje) dveh množic A in B je množica, sestavljena iz tistih in samo tistih elementov, ki pripadajo množici A in množici B hkrati. Presečišče množic A in B je označeno z A  B.

Podobno je definirano presečišče treh ali več množic.

Opredelitev : Razlika množic A in B je množica, sestavljena iz tistih in samo tistih elementov množice A, ki ne pripadajo množici B. Razlika množic A in B je označena kot A \ B. Operacija, s katero je razlika množic najdemo se imenuje odštevanje.

Če je B  A, potem se razlika A \ B imenuje komplement množice B množici A. Če je množica B podmnožica univerzalne množice U, potem je označeno dopolnilo množice B k U, tj. = U\B.

vaje :

Razmislite o treh sklopih N={0,2,4,5,6,7}, M=(1,3,5,7,9) in P=(1,3,9,11). Najti

A= N  M
B=N M
C=N P

Odgovorite, katere operacije na danih nizih je treba uporabiti za pridobitev spodaj opisanih nizov.

dano: AMPAK- veliko od vseh študenti fakultete, AT– veliko študentov z akademskimi dolgovi. Definiraj Z- veliko uspešnih študentov fakultete.
dano: AMPAK- nabor vseh odličnih študentov fakultete, AT- veliko študentov, ki nimajo akademskih dolgov, Z je množica uspešnih študentov z vsaj eno trojko. Definiraj D- veliko študentov fakultete, ki imajo čas brez trojk.
dano: U je množica vseh študentov študijske skupine, AMPAK- veliko študentov te skupine, ki so prejeli kredit iz športne vzgoje, AT- veliko študentov iste skupine, ki so uspešno opravili test iz zgodovine domovine. Definiraj Z je skupek študentov iste študijske skupine, ki se odlično izkažejo v obeh disciplinah, D– nabor študentov iste skupine, ki je »padel« na vsaj enem od testov.

Unija in lastnosti preseka množic

Iz definicij unije in preseka množic sledijo lastnosti teh operacij, predstavljene v obliki enakosti, ki veljajo za poljubne množice A , B in Z .

A  B = B  A - komutativnost zveze;

A  B = B  A - komutativnost križišča;

A  (B  Z ) = (A  B )  Z - društvo društva;

A  (B  Z ) = (A  B )  Z - asociativnost križišča;

A  (B  Z ) = (A  B )  (A  Z) - distributivnost križišča glede na zvezo;

A  (B  Z ) = (A  B )  (A  Z) - distributivnost zveze glede na križišče;

Absorpcijski zakoni:

A  A = A

A  A = A

A  Ø = A

A  Ø = Ø

A  U = U

A  U = A

Treba je opozoriti, da razlika nima lastnosti komutativnosti in asociativnosti, tj. A \ B ≠ B \ A in A \ (B \ Z ) ≠ (A \ B ) \ Z . To je mogoče enostavno preveriti z izdelavo Euler-Vennovih diagramov.

Kompleti. Operacije na nizih.
Nastavite prikaz. Nastavite moč

Pozdravljam vas na prvi lekciji višje algebre, ki se je pojavila ... na predvečer pete obletnice spletnega mesta, potem ko sem ustvaril že več kot 150 člankov iz matematike in se je moje gradivo začelo oblikovati v zaključenem tečaju . Vendar upam, da ne zamujam - navsezadnje se mnogi študenti začnejo poglabljati v predavanja samo za državne izpite =)

Univerzitetni tečaj vyshmata tradicionalno temelji na treh stebrih:

– matematična analiza (meje, odvod itd.)

– in končno sezona 2015/16 šolsko leto se odpre s poukom Algebra za lutke, Elementi matematične logike, na kateri bomo analizirali osnove razdelka ter se seznanili z osnovnimi matematičnimi pojmi in običajnimi zapisi. Moram reči, da v drugih člankih ne zlorabljam "squiggles" , vendar je to le slog in seveda jih je treba prepoznati v katerem koli stanju =). Nove bralce obveščam, da so moje lekcije usmerjene v prakso, in v tem smislu bo predstavljeno naslednje gradivo. Za popolnejše in akademske informacije si oglejte učbenike. pojdi:

Kup. Postavite primere

Niz je temeljni koncept ne le matematike, ampak celotnega sveta okoli. Takoj vzemite kateri koli predmet v roko. Tukaj imate komplet, sestavljen iz enega elementa.

AT širok smisel, niz je zbirka predmetov (elementov), ki jih razumemo kot celoto(glede na določene znake, merila ali okoliščine). Poleg tega to niso le materialni predmeti, ampak tudi črke, številke, izreki, misli, čustva itd.

Nabori so običajno označeni z velikimi z latinskimi črkami (po možnosti s podnapisi: itd.), njegovi elementi pa so zapisani v kodrastih oklepajih, na primer:

- niz črk ruske abecede;
- kup naravna števila;

No, čas je, da se malo spoznamo:
– veliko študentov v 1. vrsti

… Vesel sem, da vidim vaše resne in osredotočene obraze =)

Kompleti in so končno(sestavljen iz končnega števila elementov) in množica je primer neskončno kompleti. Poleg tega v teoriji in praksi t.i prazen komplet:

je niz, ki ne vsebuje nobenega elementa.

Primer vam je dobro znan - niz na izpitu je pogosto prazen =)

Članstvo elementa v nizu je označeno s simbolom , na primer:

- črka "be" spada v nabor črk ruske abecede;
- črka "beta" ne spada v nabor črk ruske abecede;
– število 5 spada v množico naravnih števil;
- vendar številke 5,5 ni več;
- Voldemar ne sedi v prvi vrsti (in še bolj, ne sodi v nabor ali =)).

V abstraktni in ne tako algebri so elementi množice označeni z malimi latinskimi črkami in v skladu s tem je dejstvo pripadnosti sestavljeno v naslednjem slogu:

– element pripada množici .

Zgornji sklopi so napisani neposredni prenos elementov, vendar to ni edini način. Veliko sklopov je priročno definiranih z uporabo nekaterih znak (s), kar je inherentno na vse njegove elemente. Na primer:

je množica vseh naravnih števil, manjših od 100.

Zapomni si: dolga navpična palica izraža besedni obrat "kateri", "tako tisti". Pogosto se namesto tega uporablja dvopičje: - preberimo vnos bolj formalno: "množica elementov, ki pripadajo množici naravnih števil, tako da » . Dobro opravljeno!

Ta niz lahko zapišemo tudi z neposrednim naštevanjem:

Več primerov:
- in če je v 1. vrsti veliko študentov, je takšen zapis veliko bolj priročen kot njihov neposredni seznam.

je množica številk, ki pripadajo intervalu. Upoštevajte, da se to nanaša na komplet veljavenštevilke (o njih kasneje), ki jih ni več mogoče navesti ločeno z vejicami.

Opozoriti je treba, da ni nujno, da so elementi množice "homogeni" ali logično povezani. Vzemite veliko vrečko in jo začnite naključno polniti vanjo. različni predmeti. V tem ni nobene pravilnosti, a kljub temu govorimo o različnih temah. Figurativno rečeno, niz je ločen "paket", v katerem se je določen niz predmetov izkazal za "po volji usode".

Podmnožice

Iz samega imena je skoraj vse jasno: komplet je podmnožica nabor, če vsak element množice pripada množici. Z drugimi besedami, niz je vsebovan v nizu:

Ikona se imenuje ikona vključitev.

Vrnimo se k primeru, v katerem je nabor črk ruske abecede. Označimo z - množico njegovih samoglasnikov. Nato:

Izpostaviti je mogoče tudi podmnožico soglasniških črk in na splošno poljubno podmnožico, sestavljeno iz poljubnega števila naključno (ali nenaključno) vzetih črk cirilice. Zlasti vsaka cirilična črka je podmnožica množice .

Relacije med podmnožicami so priročno prikazane s pogojnim geometrijska shema, ki se imenuje Eulerjevi krogi.

Naj bo množica študentov v 1. vrsti, je množica študentov skupine in je množica študentov. Potem je mogoče razmerje vključkov predstaviti na naslednji način:

Nabor študentov druge univerze naj bo prikazan kot krog, ki ne seka zunanjega kroga; množica študentov države v krogu, ki vsebuje oba ta kroga, itd.

Tipičen primer pri obravnavanju številskih množic opazimo vključke. Ponovimo šolsko snov, ki jo je pomembno upoštevati pri študiju višje matematike:

Številčni nizi

Kot veste, so se v zgodovini prva pojavila naravna števila, namenjena štetju materialnih predmetov (ljudi, kokoši, ovce, kovance itd.). Ta sklop smo že srečali v članku, edina stvar je, da zdaj nekoliko spreminjamo njegovo oznako. Dejstvo je, da so številske množice običajno označene s krepkimi, stiliziranimi ali odebeljenimi črkami. Raje uporabljam krepko:

Včasih je nič vključena v niz naravnih števil.

Če množici dodamo enaka števila z nasprotnim predznakom in nič, dobimo niz celih števil:

Racionalizatorji in lenuhi zapisujejo njegove elemente z ikonami "plus minus":))

Povsem jasno je, da je niz naravnih števil podmnožica množice celih števil:
- saj vsak element množice pripada množici . Tako lahko vsako naravno število varno imenujemo celo število.

Tudi ime niza je "govoreče": cela števila - to pomeni brez ulomkov.

In takoj, ko so cela števila, se takoj spomnimo pomembnih znakov njihove deljivosti z 2, 3, 4, 5 in 10, ki bodo potrebni v praktičnih izračunih skoraj vsak dan:

Celo število je deljivo z 2 brez ostankače se konča z 0, 2, 4, 6 ali 8 (tj. katera koli soda številka). Na primer številke:
400, -1502, -24, 66996, 818 - deljeno z 2 brez ostanka.

In takoj analizirajmo "sorodni" znak: celo število je deljivo s 4če je število sestavljeno iz zadnjih dveh števk (po njihovem vrstnem redu) je deljivo s 4.

400 je deljivo s 4 (ker je 00 (nič) deljivo s 4);
-1502 - ni deljivo s 4 (ker 02 (dva) ni deljivo s 4);
-24 je seveda deljivo s 4;
66996 - deljivo s 4 (ker je 96 deljivo s 4);
818 - ni deljivo s 4 (ker 18 ni deljivo s 4).

Naredite svojo preprosto utemeljitev za to dejstvo.

Deljivost s 3 je nekoliko težja: celo število je deljivo s 3 brez ostanka, če vsota njegovih števk je deljivo s 3.

Preverimo, ali je število 27901 deljivo s 3. Če želite to narediti, seštejemo njegova števila:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - ni deljivo s 3
Zaključek: 27901 ni deljivo s 3.

Seštejmo števke števila -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - deljivo s 3
Zaključek: število -825432 je deljivo s 3

Celotno število je deljivo s 5, če se konča s petico ali ničlo:
775, -2390 - deljivo s 5

Celo število je deljivo z 10če se konča z ničlo:
798400 - deljivo z 10 (in očitno pri 100). No, verjetno se vsi spomnijo - če želite deliti z 10, morate samo odstraniti eno ničlo: 79840

Obstajajo tudi znaki deljivosti s 6, 8, 9, 11 itd., Vendar od njih praktično ni nobenega smisla =)

Treba je opozoriti, da so našteti kriteriji (na videz tako preprosti) strogo dokazani teorija števil. Ta del algebre je na splošno precej zanimiv, vendar so njegovi izreki ... samo sodobna kitajska izvedba =) In Voldemar pri zadnji mizi je bil dovolj ... ampak to je v redu, kmalu se bomo ukvarjali z življenjem vadbo =)

Naslednji niz številk je kup racionalna števila :
- to pomeni, da je vsako racionalno število mogoče predstaviti kot ulomek s celim številom števec in naravno imenovalec.

Očitno je nabor celih števil podmnožica nizi racionalnih števil:

Dejansko je vsako celo število mogoče predstaviti kot racionalni ulomek, Na primer: itd. Tako lahko celo število upravičeno imenujemo racionalno število.

Značilen "identifikacijski" znak racionalnega števila je dejstvo, da pri delitvi števca z imenovalcem dobimo bodisi
je celo število,

oz
– končni decimalka,

oz
- neskončno periodično decimalka (ponovno predvajanje se morda ne bo začelo takoj).

Občudujte razdelitev in poskusite to dejanje izvesti čim manj! V organizacijskem članku Višja matematika za telebane in v drugih lekcijah sem večkrat ponavljal, ponavljal in bom ponovil to mantro:

AT višja matematika trudimo se, da vsa dejanja izvedemo v navadnih (pravilnih in nepravilnih) ulomkih

Strinjam se, da je ravnanje z ulomkom veliko bolj priročno kot z decimalno število 0,375 (da ne omenjam neskončnih ulomkov).

Gremo dalje. Poleg racionalnih jih je veliko iracionalna števila, od katerih je vsak lahko predstavljen kot neskončno neperiodična decimalni ulomek. Z drugimi besedami, v "neskončnih repih" iracionalnih števil ni pravilnosti:
("letnica rojstva Leva Tolstoja" dvakrat)
itd.

O slavnih konstantah "pi" in "e" je veliko informacij, zato se na njih ne zadržujem.

Nastane unija racionalnih in iracionalnih števil niz realnih (realnih) števil:

- ikona združenja kompleti.

Geometrijska interpretacija niza vam je znana - to je številska premica:

Vsako pravo število ustreza določeni točki številske premice in obratno - vsaka točka številske premice nujno ustreza nekemu realnemu številu. V bistvu sem zdaj formulirala lastnost kontinuitete realne številke, ki je, čeprav se zdi očiten, strogo dokazan v teku matematične analize.

Številska premica je označena tudi z neskončnim intervalom, zapis ali enakovredni zapis pa simbolizira dejstvo, da pripada množici realnih števil (ali preprosto "x" - realno število).

Z vdelavami je vse pregledno: množica racionalnih števil je podmnožica nizi realnih številk:
, zato lahko vsako racionalno število varno imenujemo realno število.

Tudi množica iracionalnih številk je podmnožica realne številke:

Hkrati so podmnožice in ne sekajo- to pomeni, da nobenega iracionalnega števila ni mogoče predstaviti kot racionalni ulomek.

Ali obstajajo še kakšni drugi številski sistemi? Obstaja! To je npr. kompleksna števila, s katerim priporočam, da si v prihodnjih dneh ali celo urah preberete dobesedno.

Medtem se obrnemo na preučevanje množičnih operacij, katerih duh se je uresničil že na koncu tega poglavja:

Dejanja na sklopih. Vennovi diagrami

Vennovi diagrami (podobni Eulerjevim krogom) so shematski prikaz dejanj z množicami. Še enkrat vas opozarjam, da ne bom pokrival vseh operacij:

1) križišče in in je označena z

Presečišče množic se imenuje množica, kateri vsak element pripada in set , in set . Grobo rečeno, presečišče je skupni del množic:

Torej, na primer za komplete:

Če množice nimajo enakih elementov, je njihovo presečišče prazno. Pravkar smo naleteli na tak primer, ko smo obravnavali številske nize:

Množice racionalnih in iracionalnih števil je mogoče shematično predstaviti z dvema krogoma, ki se ne prekrivata.

Operacija križišča velja tudi za več sklopov, zlasti Wikipedia ima dobro primer presečišča nizov črk treh abeced.

2) unija za sklope je značilna logična povezava ALI in je označena z

Unija množic je množica, katere vsak element pripada množici oz set :

Napišimo unijo množic:
- grobo rečeno, tukaj morate navesti vse elemente nizov in , in iste elemente (v tem primeru enota na presečišču množic) je treba enkrat navesti.

Toda množice se seveda ne smejo sekati, kot je to v primeru racionalnih in iracionalnih števil:

V tem primeru lahko narišete dva osenčena kroga, ki se ne sekata.

Operacija združitve je uporabna za več nizov, na primer, če , potem:

Ni nujno, da so številke v naraščajočem vrstnem redu. (To sem naredil zgolj iz estetskih razlogov). Brez odlašanja lahko rezultat zapišemo takole:

3) Razlika in ne spada v sklop:

Razlika se glasi takole: "a brez biti". In lahko trdite na popolnoma enak način: upoštevajte sklope. Če želite zapisati razliko, morate iz nabora "vreči" vse elemente, ki so v kompletu:

Primer s številskimi nizi:
- tukaj so vsa naravna števila izključena iz množice celih števil, sam zapis pa se glasi takole: "množica celih števil brez množice naravnih."

ogledalo: Razlika množice in pokličemo množico, katere vsak element pripada množici in ne spada v sklop:

Za iste komplete
- iz nabora "vrženo" tisto, kar je v kompletu.

Toda ta razlika se izkaže za prazna: . In v resnici - če so cela števila izključena iz nabora naravnih števil, potem pravzaprav nič ne bo ostalo :)

Poleg tega včasih razmislite simetrično razlika, ki združuje oba "polmeseca":
- z drugimi besedami, je "vse razen presečišča množic."

4) Kartezijanski (neposredni) produkt množice in se imenuje množica vse urejeno parov, v katerih sta element in element

Zapišemo kartezinski produkt množic:
- pare je priročno naštevati po naslednjem algoritmu: »najprej vsak element množice zaporedoma pritrdimo na 1. element množice, nato vsak element množice pritrdimo na 2. element množice, nato vsak element kompleta pritrdite na 3. element kompleta»:

ogledalo: Kartezijanski produkt množice in se imenuje množica vseh urejeno pari, v katerih . V našem primeru:
- tukaj je shema snemanja podobna: najprej zaporedoma pritrdimo vse elemente nabora na "minus ena", nato na "de" - isti elementi:

Ampak to je zgolj zaradi udobja - v obeh primerih so lahko pari navedeni v poljubnem vrstnem redu - pomembno je, da zapišete tukaj vse možni pari.

In zdaj vrhunec programa: kartezijanski izdelek ni nič drugega kot niz točk v našem native Kartezijev koordinatni sistem .

Vaja za samopritrdilni material:

Izvedite operacije, če:

Kup priročno ga je opisati s seznamom njegovih elementov.

In modna muha z intervali realnih številk:

Spomnimo se, da oglati oklepaj pomeni vključitevštevilke v interval, in okrogle - to izključitev, torej "minus ena" pripada nizu in "tri" ne spada v sklop. Poskusite ugotoviti, kaj je kartezijski produkt teh nizov. Če imate težave, sledite risbi;)

Hitra rešitev naloge na koncu lekcije.

Nastavite prikaz

Zaslon nastavljeno na nastavitev je pravilo, po katerem je vsak element množice povezan z elementom (ali elementi) množice. V primeru, da se ujema edini element, se to pravilo imenuje jasno opredeljeno funkcijo ali samo funkcijo.

Funkcija, kot mnogi vedo, je najpogosteje označena s črko - asociira vsakemu element je edina vrednost, ki pripada nizu.

No, zdaj bom spet motil veliko študentov 1. vrste in jim ponudil 6 tem za povzetke (komplet):

Nameščeno (prostovoljno ali neprostovoljno =)) pravilo povezuje vsakega študenta množice z eno temo povzetka niza.

…in verjetno si niti predstavljati niste mogli, da bi igrali vlogo argumenta funkcije =) =)

Elementi zastavljene oblike domena funkcije (označene z ) in elementi niza - obseg funkcije (označene z ).

Konstruirano preslikavo množic ima zelo pomembno lastnost: je ena proti ena oz bijektivna(bijekcija). AT ta primer to pomeni to vsakemuštudent je usklajen eno edinstveno tema eseja in obratno - za vsakogar en in edini študent je določen s temo povzetka.

Vendar ne smemo misliti, da je vsaka preslikava bijektivna. Če je 7. študent dodan v 1. vrstico (v niz), bo dopisovanje ena proti ena izginilo - ali pa bo eden od študentov ostal brez teme (sploh brez prikaza), ali pa bo neka tema namenjena dvema študentoma hkrati. Obratna situacija: če se naboru doda še sedma tema, bo izgubljeno tudi preslikava ena proti ena - ena od tem bo ostala nezahtevana.

Dragi študenti, v 1. vrsti ne bodite razburjeni - ostalih 20 ljudi bo po pouku šlo očistiti ozemlje univerze pred jesenskim listjem. Vodja dobave bo dal dvajset golikov, po katerem bo med glavnim delom skupine in metlami vzpostavljeno medsebojno dopisovanje ..., Voldemar pa bo imel tudi čas, da teče v trgovino =)). edinstven"y" in obratno - za katero koli vrednost "y" lahko nedvoumno obnovimo "x". Torej gre za bijektivno funkcijo.

! Za vsak slučaj odpravim morebitni nesporazum: moj stalni zadržek glede obsega ni naključen! Funkcija morda ni definirana za vse "x", poleg tega pa je lahko tudi v tem primeru ena proti ena. Tipičen primer:

Toda pri kvadratna funkcija nič takega ni opaziti, prvič:
- tj. različni pomeni"x" se je pojavil v enako pomeni "y"; in drugič: če je nekdo izračunal vrednost funkcije in nam povedal, da , potem ni jasno - ta "y" je bil pridobljen pri ali ob ? Ni treba posebej poudarjati, da tu niti ne diši po medsebojni nedvoumnosti.

2. naloga: pogled grafi osnovnih elementarnih funkcij in na kos papirja zapiši bijektivne funkcije. Kontrolni seznam na koncu te lekcije.

Nastavite moč

Intuicija nakazuje, da izraz označuje velikost nabora, in sicer število njegovih elementov. In intuicija nas ne vara!

Kardinalnost praznega niza je nič.

Kardinalnost sklopa je šest.

Moč nabora črk ruske abecede je triintrideset.

Na splošno je moč katerega koli končno nabor je enak številu elementov tega niza.

... morda vsi ne razumejo popolnoma, kaj je končno set - če začnete šteti elemente tega niza, se bo prej ali slej štetje končalo. Kaj se imenuje, in Kitajcem bo nekega dne zmanjkalo.

Seveda lahko množice primerjamo po kardinalnosti in imenujemo njihovo enakost v tem smislu enako moč. Ekvivalentnost je opredeljena na naslednji način:

Dve množici sta enakovredni, če je med njima mogoče vzpostaviti medsebojno korespondenco..

Nabor študentov je enakovreden nizu abstraktnih tem, nabor črk ruske abecede je enakovreden kateremu koli nizu 33 elementov itd. Upoštevajte, kaj točno kdorkoli nabor 33 elementov - v tem primeru je pomembno le njihovo število. Črke ruske abecede je mogoče primerjati ne le z mnogimi številkami
1, 2, 3, ..., 32, 33, pa tudi na splošno s čredo 33 krav.

Stvari so veliko bolj zanimive z neskončnimi nizi. Tudi neskončnosti so različne! ...zelena in rdeča "Najmanjši" neskončni nizi so štetje kompleti. Če je precej preprosto, lahko elemente takšnega niza oštevilčimo. Referenčni primer je niz naravnih števil . Da - je neskončen, vendar ima vsak njegov element v PRINCIPU številko.

Primerov je veliko. Zlasti je množica vseh sodih naravnih števil štetna. Kako to dokazati? Treba je vzpostaviti njegovo medsebojno korespondenco z nizom naravnih števil ali preprosto oštevilčiti elemente:

Vzpostavi se korespondenca ena proti ena, zato so množice enakovredne in množica je štetna. Je paradoksalno, a z vidika moči – sotih naravnih števil je toliko kot naravnih!

Tudi nabor celih števil je števen. Njegove elemente je mogoče oštevilčiti, na primer tako:

Poleg tega je nabor racionalnih številk tudi štet. . Ker je števec celo število (in, kot je pravkar prikazano, jih je mogoče oštevilčiti), imenovalec pa je naravno število, potem bomo prej ali slej "prišli" do katerega koli racionalnega ulomka in mu dodelili številko.

Toda nabor realnih številk je že nešteto, tj. njegovih elementov ni mogoče oštevilčiti. To dejstvočeprav očitno, je v teoriji množic strogo dokazano. Imenuje se tudi kardinalnost množice realnih števil kontinuum, in v primerjavi s štetimi množicami je to "bolj neskončen" niz.

Ker obstaja ena proti ena korespondenca med množico in številsko črto (glej zgoraj), potem je tudi množica točk realne premice nešteto. In še več, enako število točk je na odseku kilometra in milimetra! Klasičen primer:

Z obračanjem žarka v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler ne sovpada z žarkom, bomo vzpostavili medsebojno korespondenco med točkami modrih segmentov. Tako je na segmentu toliko točk, kolikor jih je na segmentu in !

Ta paradoks je očitno povezan s skrivnostjo neskončnosti ... zdaj pa se ne bomo obremenjevali s problemi vesolja, ker je naslednji korak

2. naloga Funkcije ena proti ena v ilustracijah lekcij

Cilji lekcije:

izobraževalni: oblikovanje veščin za prepoznavanje sklopov, podmnožic; oblikovanje spretnosti za iskanje območja presečišča in združitve množic v slikah ter poimenovanje elementov s tega področja, reševanje problemov;
razvijanje: razvoj kognitivni interesštudenti; razvoj intelektualne sfere posameznika, razvoj sposobnosti primerjanja in posploševanja.
vzgojno: gojiti natančnost in pozornost pri sprejemanju odločitev.

Med poukom.

1. Organizacijski trenutek.

2. Učitelj poroča o temi pouka, skupaj z učenci oblikuje cilje in cilje.

3. Učitelj se skupaj z učenci spomni gradiva na temo »Skupine« v 7. razredu, uvaja nove pojme in definicije, formule za reševanje problemov.

"Mnogi so mnogi, ki jih menimo kot eno" (ustanovitelj teorije množic - Georg Cantor). Cantor Georg (1845-1918) - nemški matematik, logik, teolog, ustvarjalec teorije transfinitnih (neskončnih) množic, ki je odločilno vplivala na razvoj matematičnih znanosti na prelomu iz 19. v 20. stoletje.

Niz je eden od osnovnih konceptov sodobne matematike, ki se uporablja v skoraj vseh njenih oddelkih.

Na žalost osnovnega koncepta teorije - koncepta množice - ni mogoče natančno opredeliti. Seveda lahko rečemo, da je niz »zbirka«, »zbirka«, »ansambel«, »zbirka«, »družina«, »sistem«, »razred« itd., vendar vse to ne bi bilo matematično definicijo, temveč zlorabo besedišča ruskega jezika.

Za opredelitev katerega koli pojma je treba najprej navesti, kot poseben primer katerega več splošni koncept, je, to je nemogoče narediti za pojem množice, ker v matematiki ni bolj splošnega pojma kot množica.

Pogosto se morate pogovarjati o več stvareh, združenih z nekim znakom. Torej, lahko govorimo o kompletu vseh stolov v sobi, o kompletu vseh celic Človeško telo, množica vseh krompirjev v dani vreči, množica vseh rib v oceanu, množica vseh kvadratov na ravnini, množica vseh točk na danem krogu itd.

Predmeti, ki sestavljajo dano množico, se imenujejo njeni elementi.

Na primer, nabor dni v tednu je sestavljen iz elementov: ponedeljek, torek, sreda, četrtek, petek, sobota, nedelja.

Veliko mesecev - od elementov: januar, februar, marec, april, maj, junij, julij, avgust, september, oktober, november, december.

Kup aritmetične operacije- iz elementov: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje.

Na primer, če A pomeni množico vseh naravnih števil, potem 6 pripada A, 3 pa ne pripada A.

Če je A množica vseh mesecev v letu, potem maj pripada A, sreda pa ne pripada A.

Če množica vsebuje končno število elementov, se imenuje končna, če pa ima neskončno število elementov, potem se imenuje neskončna. Torej je množica dreves v gozdu končna, toda množica točk na krogu je neskončna.

Paradoks v logiki- to je protislovje, ki ima status logično pravilnega sklepa in je hkrati sklepanje, ki vodi v medsebojno izključujoče sklepe.

Kot smo že omenili, je koncept množice v središču matematike. Z uporabo najpreprostejših nizov in različnih matematičnih konstrukcij je mogoče zgraditi skoraj vsak matematični objekt. G. Kantor je aktivno spodbujal idejo o gradnji celotne matematike na podlagi teorije množic. Vendar pa je koncept niza kljub vsej svoji preprostosti prežet z nevarnostjo protislovij ali, kot pravijo, paradoksov. Pojav paradoksov je posledica dejstva, da ni mogoče upoštevati vseh konstrukcij in vseh sklopov.

Najenostavnejši paradoks je " brivski paradoks".

En vojak je dobil ukaz, naj obrije tiste in samo tiste vojake njegovega voda, ki se niso obrili sami. Neupoštevanje ukaza v vojski, kot veste, je najhujši zločin. Vendar se je pojavilo vprašanje, ali naj se ta vojak obrije. Če se brije, ga je treba pripisati številnim vojakom, ki se brijejo sami, in nima pravice briti takega. Če se ne brije sam, bo padel v množico vojakov, ki se ne brijejo sami, in po ukazu je dolžan obriti take vojake. Paradoks.

Na nizih, pa tudi na mnogih drugih matematičnih objektih, lahko izvajate različne operacije, ki jih včasih imenujemo teoretične operacije ali operacije množic. Kot rezultat operacij se iz prvotnih nizov pridobijo novi sklopi. Sklopi so označeni z velikimi latiničnimi črkami, njihovi elementi pa z malimi. Snemanje a R pomeni, da element a spada v sklop R, tj a R. Sicer pa kdaj a ne spada v sklop R, piši a R .

Dva kompleta AMPAK in AT poklical enako (AMPAK =AT), če so sestavljeni iz istih elementov, torej vsakega elementa množice AMPAK je element niza AT in obratno, vsak element množice AT je element niza AMPAK .

Nastavite primerjavo.

Nabor A je v množici B (skupina B vključuje množico A), če je vsak element iz A element iz B:

Pravijo, da veliko AMPAK vsebovana v mnogih AT ali nastavite AMPAK je podmnožica kompleti AT(v tem primeru napišite AMPAK AT), če je vsak element množice AMPAK je tudi element sklopa AT. To razmerje med množicami se imenuje vključitev . Za kateri koli komplet AMPAK obstajajo vključki: Ø AMPAK in AMPAK AMPAK

V tem primeru A poklical podmnožica B, B - superset A. Če, potem A poklical lastno podmnožico AT. opazi, da ,

A-priorat,

Oba sklopa se imenujeta enakoče so med seboj podmnožice

Operacije na nizih

križišče.

unija.

Lastnosti.

1. Operacija unije množic je komutativna

2. Operacija unije množic je tranzitivna

3. Prazna množica X je nevtralen element operacije unije množic

1. Naj bo A = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6,7). Potem

2. A \u003d (2,4,6,8,10), B = (3,6,9,12). Najdimo zvezo in presečišče teh množic:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Nabor otrok je podmnožica celotne populacije

4. Presečišče množice celih števil z množico pozitivnih števil je množica naravnih števil.

5. Unija množice racionalnih števil z množico iracionalnih števil je množica pozitivnih števil.

6. Nič je dopolnilo množice naravnih števil glede na množico nenegativnih celih števil.

Vennovi diagrami(Vennovi diagrami) - pogosto imeštevilne vizualizacijske metode in metode grafične ilustracije, ki se pogosto uporabljajo na različnih področjih znanosti in matematike: teorija množic, pravzaprav "vennov diagram" pokaže vse možno razmerje med sklopi ali dogodki iz neke družine; sorte vennove diagrame so: Eulerjev diagram,

Vennov diagram štirih sklopov.

Pravzaprav "vennov diagram" prikazuje vse možne odnose med sklopi ali dogodki iz neke družine. Običajni Vennov diagram ima tri sklope. Venn je sam poskušal najti eleganten način s simetričnimi oblikami ki predstavljajo na diagramu več nize, vendar mu je to uspelo le za štiri nize (glej sliko na desni) z uporabo elips.

Eulerjev diagram

Eulerjev diagrami so podobni Vennovim diagramom.. Eulerjev diagram se lahko uporablja za vrednotenje verjetnosti teoretičnih identitet.

1. naloga. V razredu je 30 ljudi, od katerih vsak poje ali pleše. Znano je, da 17 ljudi poje, 19 ljudi pa zna plesati. Koliko ljudi poje in pleše hkrati?

Odločitev: Najprej ugotavljamo, da od 30 ljudi 30 - 17 = 13 ljudi ne zna peti.

Vsi znajo plesati, ker glede na pogoj vsak učenec razreda poje ali zapleše. Skupno lahko pleše 19 ljudi, 13 jih ne zna peti, kar pomeni, da lahko 19-13 = 6 ljudi pleše in poje hkrati.

Problemi na presečišču in združitvi množic.

Podane so množice A = (3,5, 0, 11, 12, 19), B = (2,4, 8, 12, 18,0).
Poiščite množice AU B,
Sestavite vsaj sedem besed, katerih črke tvorijo podmnožice množice
A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
Naj bo A množica naravnih števil, deljivih z 2, B pa množica naravnih števil, deljivih s 4. Kakšen zaključek lahko sklepamo o teh množicah?
Podjetje zaposluje 67 ljudi. Od tega jih 47 ve angleški jezik, 35 je nemških in 23 obeh jezikov. Koliko ljudi v podjetju ne govori angleško oz nemški?
Od 40 učencev v našem razredu jih ima 32 rad mleko, 21 jih ima rad limonado, 15 pa tako mleko kot limonado. Koliko otrok v našem razredu ne mara mleka ali limonade?
12 mojih sošolcev rad bere detektivske zgodbe, 18 jih rad bere znanstveno fantastiko, trije z veseljem berejo oboje, eden pa sploh ne bere ničesar. Koliko učencev je v našem razredu?
Od tistih 18 mojih sošolcev, ki radi gledajo trilerje, jih le 12 ni naklonjeno gledanju risank. Koliko mojih sošolcev gleda samo »risanke«, če je v našem razredu 25 učencev, od katerih vsak rad gleda bodisi trilerje, bodisi risanke ali oboje?
Od 29 fantov na našem dvorišču se le dva ne ukvarjata s športom, ostali pa obiskujejo nogometno ali teniško sekcijo ali celo oboje. Nogomet igra 17 fantov, tenis pa 19. Koliko nogometašev igra tenis? Koliko teniških igralcev igra nogomet?
65 % babičinih zajcev obožuje korenje, 10 % obožuje korenje in zelje. Koliko odstotkov kuncev ni naklonjeno jesti zelja?
V enem razredu je 25 učencev. Od tega 7 ljubi hruške, 11 ljubi češnje. Dva kot hruške in češnje; 6 - hruške in jabolka; 5 - jabolka in češnje. A v razredu sta dva učenca, ki imata rada vse, in štirje, ki sadja sploh ne marajo. Koliko učencev v tem razredu ima rada jabolka?
Na lepotnem tekmovanju se je udeležilo 22 deklet. Od tega jih je bilo 10 lepih, 12 pametnih in 9 prijaznih. Le 2 dekleti sta bili lepi in pametni; 6 deklet je bilo pametnih in prijaznih hkrati. Ugotovite, koliko lepih in hkrati prijaznih deklet je bilo, če vam povem, da med udeleženci ni bilo niti enega pametnega, prijaznega in hkrati lepo dekle?
V našem razredu je 35 učencev. Za prvo četrtino od petih v ruskem jeziku je imelo 14 dijakov; pri matematiki - 12; v zgodovini - 23, v ruščini in matematiki - 4; pri matematiki in zgodovini - 9; pri ruskem jeziku in zgodovini - 5. Koliko učencev ima petic pri vseh treh predmetih, če v razredu ni niti enega učenca, ki ne bi imel petic pri vsaj enem od teh predmetov?
Od 100 ljudi jih 85 govori angleško, 80 špansko in 75 nemško. Vsi govorijo vsaj en tuji jezik. Med njimi ni tistih, ki znajo dva tuja jezika, so pa tisti, ki govorijo tri jezike. Koliko od teh 100 ljudi zna tri jezike?
Od zaposlenih v podjetju jih je 16 obiskalo Francijo, 10 - Italijo, 6 - Anglijo; v Angliji in Italiji - 5; v Angliji in Franciji - 6; v vseh treh državah - 5 zaposlenih. Koliko ljudi je obiskalo tako Italijo kot Francijo, če je v podjetju 19 ljudi in je vsak obiskal vsaj eno od teh držav?