Metode reševanja kvadratnih enačb. Kvadratne enačbe

Problem je dobro znan iz matematike. Tu so začetni podatki koeficienti a, b, c. Rešitev v splošnem primeru sta dva korena x 1 in x 2, ki se izračunata po formulah:

Vse vrednosti, uporabljene v tem programu, so resničnega tipa.

alg korenine kvadratne enačbe

stvar a, b, c, x1, x2, d

zgodaj vnos a, b, c

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b–Öd)/(2a)

izhod x1, x2

Slabost takšnega algoritma je vidna s prostim očesom. Ne poseduje najpomembnejša lastnost uporablja za kvalitativne algoritme: univerzalnost glede na začetne podatke. Ne glede na vrednosti začetnih podatkov mora algoritem pripeljati do določenega rezultata in priti do konca. Rezultat je lahko številčen odgovor, lahko pa tudi sporočilo, da s takšnimi podatki problem nima rešitve. Postanki na sredini algoritma zaradi nezmožnosti izvedbe neke operacije niso dovoljeni. Ista lastnost v literaturi o programiranju se imenuje učinkovitost algoritma (v vsakem primeru je treba dobiti kakšen rezultat).

Da bi zgradili univerzalni algoritem, je treba najprej natančno analizirati matematično vsebino problema.

Rešitev enačbe je odvisna od vrednosti koeficientov a, b, c. Tukaj je analiza tega problema (omejujemo se le na iskanje pravih korenin):

če je a=0, b=0, c=0, potem je kateri koli x rešitev enačbe;

če je a=0, b=0, c¹0, potem enačba nima rešitev;

če je a=0, b¹0, potem to linearna enačba, ki ima eno rešitev: x=–c/b;

če je a¹0 in d=b 2 -4ac³0, potem ima enačba dva realna korena (formule so podane zgoraj);

če a¹0 in d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Blok diagram algoritma:

Isti algoritem v algoritemskem jeziku:

alg korenine kvadratne enačbe

stvar a, b, c, d, x1, x2

zgodaj vnos a, b, c

če a=0

potem če b=0

potem če c=0

potem izhod "kateri koli x je rešitev"

drugače izpis "ni rešitev"

drugače x:= -c/b

drugače d:=b2–4ac

če in d<0

potem izpis "brez pravih korenin"

drugače e x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)

izhod “x1=”,x1, “x2=”,x2

Ta algoritem se ponovno uporablja ukaz strukture veje. Splošni pogled na ukaz veje v diagramih poteka in v algoritemskem jeziku je naslednji:

Najprej se preveri »pogoj« (izračuna se relacija, logični izraz). Če je pogoj resničen, se izvede "serija 1" - zaporedje ukazov, ki jih označuje puščica z napisom "da" (pozitivna veja). V nasprotnem primeru se izvede "serija 2" (negativna veja). V EL je pogoj zapisan za službeno besedo "če", pozitivna veja - za besedo "potem", negativna veja - za besedo "sicer". Črke "kv" označujejo konec veje.

Če veje ene veje vsebujejo druge veje, ima tak algoritem strukturo gnezdene veje. Prav to strukturo ima algoritem "korenine kvadratne enačbe". V njem se zaradi kratkosti namesto besed "da" in "ne" uporabljata "+" in "-".

Razmislite o naslednjem problemu: dano pozitivno celo število n. Potrebno je izračunati n! (n-faktorski). Spomnimo se definicije faktoriala.

Spodaj je blok diagram algoritma. Uporablja tri spremenljivke celega tipa: n je argument; i je vmesna spremenljivka; F je rezultat. Za preverjanje pravilnosti algoritma je bila zgrajena sledilna tabela. V takšni tabeli se za določene vrednosti začetnih podatkov sledi spremembam spremenljivk, vključenih v algoritem, po korakih. Ta tabela je sestavljena za primer n=3.

Sled dokazuje pravilnost algoritma. Zdaj pa zapišimo ta algoritem v algoritemskem jeziku.

alg Faktorski

cel n, i, F

zgodaj vnos n

F:=1; i:=1

do i£n, ponovite

nc F:=F´i

Ta algoritem ima ciklično strukturo. Algoritem uporablja strukturni ukaz "loop-while" ali "loop with predpogoj". Splošni pogled na ukaz "loop-bye" v diagramih poteka in v EL je naslednji:

Izvajanje niza ukazov (telo zanke) se ponovi, medtem ko je pogoj zanke resničen. Ko pogoj postane napačen, se zanka konča. Servisni besedi "nts" in "kts" označujeta začetek cikla oziroma konec cikla.

Zanka s predpogojem je glavna, a ne edina oblika organizacije cikličnih algoritmov. Druga možnost je zanka s postpogojem. Vrnimo se k algoritmu za reševanje kvadratne enačbe. K temu lahko pristopimo s tega položaja: če je a=0, potem to ni več kvadratna enačba in jo je mogoče prezreti. V tem primeru bomo domnevali, da je uporabnik pri vnosu podatkov naredil napako in bi morali biti pozvani k ponovitvi vnosa. Z drugimi besedami, algoritem bo zagotovil nadzor zanesljivosti začetnih podatkov, s čimer bo uporabniku omogočil, da popravi napako. Prisotnost takšnega nadzora je še en znak dobre kakovosti programa.

Na splošno je strukturni ukaz "zanka s postpogojem" ali "zanka-pred" predstavljen na naslednji način:

Tu se uporablja pogoj zaključka zanke. Ko postane resnična, se zanka konča.

Sestavimo algoritem za reševanje naslednjega problema: podani dve naravni števili M in N. Izračunati je treba njun največji skupni delitelj - gcd(M,N).

Ta problem je rešen z metodo, znano kot Evklidov algoritem. Njegova ideja temelji na lastnosti, da če je M>N, potem gcd(M

1) če so številke enake, vzemite njihovo skupno vrednost kot odgovor; v nasprotnem primeru nadaljujte z izvajanjem algoritma;

2) določi večje število;

3) nadomestimo večje število z razliko med večjo in manjšo vrednostjo;

4) vrnitev k izvajanju 1. odstavka.

Blok diagram in algoritem v AL bosta naslednja:

Algoritem ima strukturo zanke z ugnezdenim razvejanjem. Naredite lastno sledenje tega algoritma za primer M=18, N=12. Rezultat je gcd=6, kar je očitno res.

Bibliografski opis: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Rešitve kvadratne enačbe// Mladi znanstvenik. - 2016. - Št. 6.1. - S. 17-20..04.2019).

Naš projekt je posvečen načinom reševanja kvadratnih enačb. Namen projekta: naučiti se reševati kvadratne enačbe na načine, ki niso vključeni v šolski kurikulum. Naloga: poiščite vse možne načine reševanja kvadratnih enačb in se naučite, kako jih sami uporabljati in sošolce seznaniti s temi metodami.

Kaj so "kvadratne enačbe"?

Kvadratna enačba- enačba obrazca sekira2 + bx + c = 0, kje a, b, c- nekaj številk ( a ≠ 0), x- neznano.

Številke a, b, c imenujemo koeficienti kvadratne enačbe.

a se imenuje prvi koeficient;
b se imenuje drugi koeficient;
c - prosti član.

In kdo je prvi »izumil« kvadratne enačbe?

Nekatere algebraične tehnike za reševanje linearnih in kvadratnih enačb so bile znane že pred 4000 leti v starodavnem Babilonu. Najdene starodavne babilonske glinene tablice, datirane nekje med letoma 1800 in 1600 pr.n.št., so najzgodnejši dokaz preučevanja kvadratnih enačb. Iste tablice vsebujejo metode za reševanje določenih vrst kvadratnih enačb.

Potrebo po reševanju enačb ne le prve, ampak tudi druge stopnje v starih časih je povzročila potreba po reševanju problemov, povezanih z iskanjem površin kopnega in zemeljskih del vojaške narave, pa tudi z razvojem astronomije in sama matematika.

Pravilo za reševanje teh enačb, navedeno v babilonskih besedilih, v bistvu sovpada s sodobnim, vendar ni znano, kako so Babilonci prišli do tega pravila. Skoraj vsa doslej najdena klinopisna besedila dajejo le težave z rešitvami, navedenimi v obliki receptov, brez navedbe, kako so bile najdene. Kljub visoki stopnji razvoja algebre v Babilonu v klinopisnih besedilih manjka koncept negativnega števila in splošne metode za reševanje kvadratnih enačb.

Babilonski matematiki iz približno 4. stoletja pr. uporabil metodo kvadratnega komplementa za reševanje enačb s pozitivnimi koreni. Okoli 300 pr.n.št. Euclid je prišel do splošnejše metode geometrijske rešitve. Prvi matematik, ki je našel rešitve enačbe z negativnimi koreninami v obliki algebraične formule, je bil indijski znanstvenik. Brahmagupta(Indija, 7. stoletje n.št.).

Brahmagupta je orisal splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, zmanjšanih na eno samo kanonično obliko:

ax2 + bx = c, a>0

V tej enačbi so lahko koeficienti negativni. Brahmaguptino pravilo v bistvu sovpada z našim.

V Indiji so bila javna tekmovanja pri reševanju težkih problemov običajna. V eni od starih indijskih knjig o takih tekmovanjih piše takole: »Kakor sonce zasenči zvezde s svojim sijajem, tako bo učen človek zasenčil slavo na javnih srečanjih, predlagal in reševal algebraične probleme.« Naloge so bile pogosto oblečene v poetično obliko.

V algebraični razpravi Al-Khwarizmi podana je klasifikacija linearnih in kvadratnih enačb. Avtor navaja 6 vrst enačb in jih izrazi takole:

1) "Kvadrati so enaki koreninam", to je ax2 = bx.

2) "Kvadrati so enaki številu", to je ax2 = c.

3) "Koreni so enaki številu", to je ax2 = c.

4) "Kvadrati in števila so enaki koreninam", to je ax2 + c = bx.

5) "Kvadrati in koreni so enaki številu", to je ax2 + bx = c.

6) "Korene in števila so enaki kvadratom", to je bx + c == ax2.

Za Al-Khwarizmija, ki se je izogibal uporabi negativnih števil, so izrazi vsake od teh enačb seštevanja in ne odštevanja. V tem primeru se enačbe, ki nimajo pozitivnih rešitev, očitno ne upoštevajo. Avtor opisuje metode za reševanje teh enačb z uporabo metod al-jabr in al-muqabala. Njegova odločitev seveda ne sovpada povsem z našo. Da ne omenjam dejstva, da gre zgolj za retorično, je treba na primer opozoriti, da Al-Khwarizmi, tako kot vsi matematiki pred 17. stoletjem, pri reševanju nepopolne kvadratne enačbe prve vrste ne upošteva ničle. rešitev, verjetno zato, ker pri konkretnih praktičnih nalogah ni pomembna. Pri reševanju popolnih kvadratnih enačb Al-Khwarizmi določi pravila za njihovo reševanje s posebnimi številčnimi primeri in nato z njihovimi geometrijskimi dokazi.

Oblike za reševanje kvadratnih enačb po modelu Al-Khwarizmija v Evropi so bile prvič opisane v "Knjigi Abacus", napisani leta 1202. italijanski matematik Leonard Fibonacci. Avtor je samostojno razvil nekaj novih algebrskih primerov reševanja problemov in je prvi v Evropi pristopil k uvajanju negativnih števil.

Ta knjiga je pripomogla k širjenju algebraičnega znanja ne le v Italiji, ampak tudi v Nemčiji, Franciji in drugih evropskih državah. Številne naloge iz te knjige so bile prenesene v skoraj vse evropske učbenike 14.-17. stoletja. Splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, reduciranih na eno samo kanonično obliko x2 + bx = c z vsemi možnimi kombinacijami predznakov in koeficientov b, c, je bilo oblikovano v Evropi leta 1544. M. Stiefel.

Vieta ima splošno izpeljavo formule za reševanje kvadratne enačbe, vendar je Vieta prepoznal le pozitivne korene. italijanski matematiki Tartaglia, Cardano, Bombelli med prvimi v 16. stoletju. upoštevajte poleg pozitivnih in negativne korenine. Šele v XVII stoletju. zahvaljujoč delu Girard, Descartes, Newton in drugih znanstvenikov, način reševanja kvadratnih enačb dobi sodobno obliko.

Razmislite o več načinih reševanja kvadratnih enačb.

Standardni načini reševanja kvadratnih enačb iz šolskega učnega načrta:

Faktorizacija leve strani enačbe.
Metoda izbire polnega kvadrata.
Rešitev kvadratnih enačb po formuli.
Grafična rešitev kvadratne enačbe.
Rešitev enačb z uporabo Vietinega izreka.

Podrobneje se zadržimo na rešitvi reduciranih in nereduciranih kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka.

Spomnimo se, da je za rešitev dane kvadratne enačbe dovolj, da poiščemo dve števili, ki imata zmnožek enak prostemu členu, vsota pa je enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom.

Primer.x 2 -5x+6=0

Najti morate števila, katerih zmnožek je 6 in vsota 5. Ti številki bosta 3 in 2.

Odgovor: x 1 =2, x 2 =3.

Toda to metodo lahko uporabite za enačbe, pri katerih prvi koeficient ni enak eni.

Primer.3x 2 +2x-5=0

Vzamemo prvi koeficient in ga pomnožimo s prostim členom: x 2 +2x-15=0

Korenine te enačbe bodo števila, katerih zmnožek je - 15, vsota pa - 2. Ti številki sta 5 in 3. Da bi našli korenine prvotne enačbe, dobljene korenine delimo s prvim koeficientom.

Odgovor: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rešitev enačb po metodi "prenosa".

Razmislite o kvadratni enačbi ax 2 + bx + c = 0, kjer je a≠0.

Če oba njena dela pomnožimo z a, dobimo enačbo a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Naj bo ax = y, od koder je x = y/a; potem pridemo do enačbe y 2 + by + ac = 0, ki je enakovredna dani. Njegove korenine pri 1 in 2 najdemo z uporabo Vietinega izreka.

Končno dobimo x 1 = y 1 /a in x 2 = y 2 /a.

Pri tej metodi se koeficient a pomnoži s prostim izrazom, kot da bi bil nanj "prenesen", zato se imenuje metoda "prenosa". Ta metoda se uporablja, kadar je enostavno najti korenine enačbe z uporabo Vietinega izreka in, kar je najpomembneje, kadar je diskriminanta natančen kvadrat.

Primer.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Koeficient 2 "prenesemo" na prosti člen in z zamenjavo dobimo enačbo y 2 - 11y + 30 = 0.

Po Vietinem inverznem izreku

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odgovor: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Lastnosti koeficientov kvadratne enačbe.

Naj bo podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Če je a + b + c \u003d 0 (tj. vsota koeficientov enačbe je nič), potem je x 1 \u003d 1.

2. Če je a - b + c \u003d 0 ali b \u003d a + c, potem je x 1 \u003d - 1.

Primer.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Ker je a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 = 0), potem je x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Odgovor: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Primer.132x 2 + 247x + 115 = 0

Ker a-b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), nato x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Odgovor: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Obstajajo še druge lastnosti koeficientov kvadratne enačbe. vendar je njihova uporaba bolj zapletena.

8. Reševanje kvadratnih enačb z uporabo nomograma.

Slika 1. Nomogram

To je stara in trenutno pozabljena metoda za reševanje kvadratnih enačb, umeščena na 83. stran zbirke: Bradis V.M. Štirimestne matematične tabele. - M., Izobraževanje, 1990.

Tabela XXII. Nomogram za reševanje enačb z2 + pz + q = 0. Ta nomogram omogoča, da brez reševanja kvadratne enačbe določimo korenine enačbe z njenimi koeficienti.

Krivilinearna lestvica nomograma je zgrajena po formulah (slika 1):

Ob predpostavki OS = p, ED = q, OE = a(vse v cm), iz slike 1 podobnost trikotnikov SAN in CDF dobimo delež

od koder po zamenjavah in poenostavitvah sledi enačba z 2 + pz + q = 0, in pismo z pomeni oznako katere koli točke na ukrivljeni lestvici.

riž. 2 Reševanje kvadratne enačbe z nomogramom

Primeri.

1) Za enačbo z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram daje korena z 1 = 8,0 in z 2 = 1,0

Odgovor: 8,0; 1.0.

2) Rešite enačbo z uporabo nomograma

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Koeficiente te enačbe delimo z 2, dobimo enačbo z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram daje korena z 1 = 4 in z 2 = 0,5.

Odgovor: 4; 0,5

9. Geometrijska metoda za reševanje kvadratnih enačb.

Primer.X 2 + 10x = 39.

V izvirniku je ta problem formuliran na naslednji način: "Kvadrat in deset korenov sta enaka 39."

Razmislite o kvadratu s stranico x, na njegovih straneh so zgrajeni pravokotniki, tako da je druga stran vsakega od njih 2,5, zato je površina vsake 2,5x. Nastala številka se nato dopolni z novim kvadratom ABCD, pri čemer se v vogalih izpolnijo štirje enaki kvadrati, stranica vsakega od njih je 2,5 in površina 6,25

riž. 3 Grafični način reševanja enačbe x 2 + 10x = 39

Območje S kvadrata ABCD lahko predstavimo kot vsoto površin: prvotnega kvadrata x 2, štirih pravokotnikov (4∙2,5x = 10x) in štirih pritrjenih kvadratov (6,25∙4 = 25), tj. S = x 2 + 10x = 25. Če zamenjamo x 2 + 10x s številom 39, dobimo, da je S = 39 + 25 = 64, kar pomeni, da je stranica kvadrata ABCD, t.j. segment AB \u003d 8. Za želeno stran x prvotnega kvadrata dobimo

10. Rešitev enačb z uporabo Bezoutovega izreka.

Bezoutov izrek. Preostanek po delitvi polinoma P(x) z binomom x - α je enak P(α) (to je vrednost P(x) pri x = α).

Če je število α koren polinoma P(x), potem je ta polinom brez ostanka deljiv z x -α.

Primer.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. P(x) delimo z (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 ali x-3=0, x=3; Odgovor: x1 =2, x2 =3.

Izhod: Sposobnost hitrega in racionalnega reševanja kvadratnih enačb je preprosto nujna za reševanje bolj zapletenih enačb, na primer frakcijskih racionalnih enačb, enačb višjih potenk, bikvadratnih enačb ter v srednji šoli trigonometričnih, eksponentnih in logaritmičnih enačb. Po preučevanju vseh najdenih metod za reševanje kvadratnih enačb lahko sošolcem svetujemo, da poleg standardnih metod rešujejo po metodi prenosa (6) in rešujejo enačbe z lastnostjo koeficientov (7), saj so bolj dostopne za razumevanje .

Literatura:

Bradis V.M. Štirimestne matematične tabele. - M., Izobraževanje, 1990.
Algebra 8. razred: učbenik za 8. razred. Splošna izobrazba ustanove Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ur. S. A. Telyakovsky, 15. izd., revidirano. - M.: Razsvetljenje, 2015
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazer G.I. Zgodovina matematike v šoli. Vodnik za učitelje. / Ed. V.N. Mlajši. - M.: Razsvetljenje, 1964.

diapozitiv 2

Cikel kvadratnih enačb pouka algebre v 8. razredu po učbeniku A.G. Mordkovich

Učitelj srednje šole MBOU Grushevskaya Kireeva T.A.

diapozitiv 3

Cilji: predstaviti pojme kvadratne enačbe, korena kvadratne enačbe; prikazati rešitve kvadratnih enačb; oblikovati sposobnost reševanja kvadratnih enačb; pokazati način reševanja popolnih kvadratnih enačb s formulo korenin kvadratne enačbe.

diapozitiv 4

diapozitiv 5

Malo zgodovine Kvadratne enačbe v starodavnem Babilonu. Potrebo po reševanju enačb ne le prve, ampak tudi druge stopnje je že v antiki povzročila potreba po reševanju problemov, povezanih z iskanjem površin kopnega in zemeljskih del vojaške narave, pa tudi z razvojem astronomije. in sama matematika. Babilonci so znali reševati kvadratne enačbe približno 2000 let pred našo vero. Z uporabo sodobnega algebrskega zapisa lahko rečemo, da so v njihovih klinopisnih besedilih poleg nepopolnih tudi takšne, na primer, popolne kvadratne enačbe.

diapozitiv 6

Pravilo za reševanje teh enačb, določeno v babilonskih besedilih, sovpada s sodobnim, vendar ni znano, kako so Babilonci prišli do tega pravila. Skoraj vsa doslej najdena klinopisna besedila dajejo le težave z rešitvami, navedenimi v obliki receptov, brez navedbe, kako so bile najdene. Kljub visoki stopnji razvoja algebre v Babiloniji v klinopisnih besedilih ni koncepta negativnega števila in splošnih metod za reševanje kvadratnih enačb.

Diapozitiv 7

Definicija 1. Kvadratna enačba je enačba v obliki, kjer so koeficienti a, b, c poljubna realna števila, polinom pa se imenuje kvadratni trinom. a je prvi ali najvišji koeficient c je drugi koeficient c je prosti člen

Diapozitiv 8

Definicija 2. Kvadratna enačba se imenuje reducirana, če je njen vodilni koeficient enak 1; kvadratna enačba se imenuje nereducirana, če je vodilni koeficient drugačen od 1. Primer. 2 - 5 + 3 = 0 - nereducirana kvadratna enačba - reducirana kvadratna enačba

Diapozitiv 9

Definicija 3. Popolna kvadratna enačba je kvadratna enačba, v kateri so prisotni vsi trije členi. a + in + c \u003d 0 Nepopolna kvadratna enačba je enačba, v kateri niso prisotni vsi trije izrazi; je enačba, za katero je vsaj eden od koeficientov v, with nič.

Diapozitiv 10

Metode reševanja nepopolnih kvadratnih enačb.

diapozitiv 11

Reši naloge št. 24.16 (a, b) Reši enačbo: ali Odgovori. ali Odgovori.

diapozitiv 12

Definicija 4 Koren kvadratne enačbe je katera koli vrednost spremenljivke x, pri kateri kvadratni trinom izgine; taka vrednost spremenljivke x se imenuje tudi koren kvadratnega trinoma.Rešitev kvadratne enačbe pomeni poiskati vse njene korene ali ugotoviti, da ni korenin.

diapozitiv 13

Diskriminant kvadratne enačbe D 0 D=0 Enačba nima korenin Enačba ima dva korena Enačba ima en koren Formule za korenine kvadratne enačbe

Diapozitiv 14

D>0 ima kvadratna enačba dva korena, ki ju najdemo s formulami Primer. Rešite enačbo Rešitev. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, odgovor: 1; -3

diapozitiv 15

Algoritem za reševanje kvadratne enačbe 1. Izračunajte diskriminanta D po formuli D = 2. Če je D 0, ima kvadratna enačba dva korena.

Kvadratne enačbe se preučujejo v 8. razredu, tako da tukaj ni nič zapletenega. Sposobnost njihovega reševanja je bistvenega pomena.

Kvadratna enačba je enačba v obliki ax 2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a , b in c poljubna števila in a ≠ 0.

Pred preučevanjem posebnih metod reševanja ugotavljamo, da lahko vse kvadratne enačbe razdelimo v tri razrede:

Brez korenin;
Imajo natanko en koren;
Imajo dve različni korenini.

To je pomembna razlika med kvadratnimi in linearnimi enačbami, kjer koren vedno obstaja in je edinstven. Kako ugotoviti, koliko korenov ima enačba? Za to je čudovita stvar - diskriminatorno.

Diskriminantno

Naj je podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0. Potem je diskriminant preprosto število D = b 2 − 4ac .

To formulo je treba poznati na pamet. Od kod prihaja, zdaj ni pomembno. Pomembna je še ena stvar: po predznaku diskriminante lahko določite, koliko korenov ima kvadratna enačba. in sicer:

Če D< 0, корней нет;
Če je D = 0, obstaja točno en koren;
Če je D > 0, bosta dva korena.

Upoštevajte: diskriminant označuje število korenin in sploh ne njihovih znakov, kot iz nekega razloga mnogi mislijo. Oglejte si primere in vse boste razumeli sami:

Naloga. Koliko korenov imajo kvadratne enačbe:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapišemo koeficiente za prvo enačbo in poiščemo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Torej je diskriminant pozitiven, zato ima enačba dva različna korena. Drugo enačbo analiziramo na enak način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negativen, korenin ni. Zadnja enačba ostane:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je enak nič - koren bo ena.

Upoštevajte, da so bili za vsako enačbo izpisani koeficienti. Da, dolgo je, ja, dolgočasno je – vendar ne boste mešali možnosti in ne delajte neumnih napak. Izberite sami: hitrost ali kakovost.

Mimogrede, če "napolnite roko", vam čez nekaj časa ne bo več treba pisati vseh koeficientov. Takšne operacije boste izvajali v glavi. Večina ljudi to začne početi nekje po 50-70 rešenih enačbah – na splošno ne toliko.

Korenine kvadratne enačbe

Zdaj pa preidimo na rešitev. Če je diskriminanta D > 0, lahko korenine najdemo s formulami:

Osnovna formula za korenine kvadratne enačbe

Ko je D = 0, lahko uporabite katero koli od teh formul - dobite enako število, ki bo odgovor. Končno, če D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Prva enačba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ enačba ima dva korena. Poiščimo jih:

Druga enačba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ enačba ima spet dva korena. Poiščimo jih

\[\begin(poravnaj) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(poravnaj)\]

Na koncu še tretja enačba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ enačba ima en koren. Uporabite lahko katero koli formulo. Na primer, prvi:

Kot lahko vidite iz primerov, je vse zelo preprosto. Če poznate formule in znate šteti, ne bo težav. Najpogosteje pride do napak, ko se v formulo nadomestijo negativni koeficienti. Tukaj bo spet pomagala zgoraj opisana tehnika: poglejte formulo dobesedno, pobarvajte vsak korak - in se zelo kmalu znebite napak.

Nepopolne kvadratne enačbe

Zgodi se, da je kvadratna enačba nekoliko drugačna od tiste, ki je podana v definiciji. Na primer:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Zlahka je videti, da v teh enačbah manjka eden od členov. Takšne kvadratne enačbe je še lažje rešiti kot standardne: niti jim ni treba izračunati diskriminante. Torej, predstavimo nov koncept:

Enačbo ax 2 + bx + c = 0 imenujemo nepopolna kvadratna enačba, če je b = 0 ali c = 0, t.j. koeficient spremenljivke x ali prostega elementa je enak nič.

Seveda je možen zelo težak primer, ko sta oba ta koeficienta enaka nič: b \u003d c \u003d 0. V tem primeru ima enačba obliko ax 2 \u003d 0. Očitno ima taka enačba eno samo koren: x \u003d 0.

Razmislimo o drugih primerih. Naj bo b = 0, potem dobimo nepopolno kvadratno enačbo oblike ax 2 + c \u003d 0. Rahlo jo preoblikujemo:

Ker aritmetika Kvadratni koren obstaja samo iz nenegativnega števila, zadnja enakost je smiselna samo za (−c /a ) ≥ 0. Zaključek:

Če nepopolna kvadratna enačba v obliki ax 2 + c = 0 izpolnjuje neenakost (−c / a ) ≥ 0, bosta dva korena. Formula je navedena zgoraj;
Če (−c / a)< 0, корней нет.

Kot lahko vidite, diskriminant ni bil potreben - v nepopolnih kvadratnih enačbah sploh ni zapletenih izračunov. Pravzaprav se niti ni treba spomniti neenakosti (−c / a ) ≥ 0. Dovolj je, da izrazimo vrednost x 2 in vidimo, kaj je na drugi strani znaka enakosti. Če je število pozitivno, bosta dva korena. Če je negativen, korenin sploh ne bo.

Zdaj pa se ukvarjamo z enačbami v obliki ax 2 + bx = 0, v katerih je prosti element enak nič. Tukaj je vse preprosto: vedno bosta dve korenini. Dovolj je, da polinom faktoriziramo:

Če vzamemo skupni faktor iz oklepaja

Zmnožek je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Od tod izvirajo korenine. Na koncu bomo analizirali več teh enačb: