Rešitev najpreprostejših logaritemskih neenakosti. Priprava na izpit

Vaša zasebnost nam je pomembna. Zaradi tega smo razvili pravilnik o zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite našo politiko zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določene osebe ali stik z njo.

Od vas se lahko zahteva, da navedete svoje osebne podatke kadar koli, ko nas kontaktirate.

V nadaljevanju je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako jih lahko uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko oddate prijavo na spletnem mestu, lahko zbiramo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da stopimo v stik z vami in vas obvestimo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
Občasno lahko vaše osebne podatke uporabimo za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različnih raziskav, da bi izboljšali storitve, ki jih ponujamo, in vam zagotovili priporočila glede naših storitev.
Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki jih posredujete, uporabimo za upravljanje takšnih programov.

Razkritje tretjim osebam

Podatkov, ki jih prejmete od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

V primeru, da je treba - v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnih postopkih in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - razkriti svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge namene javnega interesa.
V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega naslednika tretje osebe.

Zaščita osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z upravnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse zasebnosti.

Med vso raznolikostjo logaritemskih neenakosti se ločeno proučujejo neenakosti s spremenljivo bazo. Rešujejo se po posebni formuli, ki jo iz neznanega razloga redko poučujejo v šoli:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Namesto kavke "∨" lahko postavite kateri koli znak neenakosti: več ali manj. Glavna stvar je, da sta v obeh neenakostih znaka enaka.

Tako se znebimo logaritmov in problem zmanjšamo na racionalno neenakost. Slednje je veliko lažje rešiti, vendar se pri zavrženju logaritmov lahko pojavijo dodatni koreni. Če jih želite odrezati, je dovolj, da poiščete obseg dopustnih vrednosti. Če ste pozabili ODZ logaritma, toplo priporočam, da ga ponovite - glejte "Kaj je logaritem".

Vse, kar je povezano z obsegom sprejemljivih vrednosti, je treba zapisati in rešiti ločeno:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Te štiri neenakosti tvorijo sistem in jih je treba izpolniti hkrati. Ko najdemo razpon sprejemljivih vrednosti, ga še vedno prečkamo z rešitvijo racionalne neenakosti - in odgovor je pripravljen.

Naloga. Reši neenakost:

Najprej zapišemo ODZ logaritma:

Prvi dve neenakosti se izvedeta samodejno, zadnjo pa bo treba napisati. Ker je kvadrat števila nič, če in samo če je število samo nič, imamo:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Izkazalo se je, da so ODZ logaritma vsa števila razen nič: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Zdaj rešimo glavno neenakost:

Izvedemo prehod iz logaritemske neenakosti v racionalno. V prvotni neenakosti je predznak »manj kot«, zato naj bo nastala neenakost tudi z znakom »manj kot«. Imamo:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Ničele tega izraza: x = 3; x = -3; x = 0. Poleg tega je x = 0 koren druge večkratnosti, kar pomeni, da se pri prehodu skozi njo predznak funkcije ne spremeni. Imamo:

Dobimo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ta niz je v celoti vsebovan v ODZ logaritma, kar pomeni, da je to odgovor.

Transformacija logaritemskih neenakosti

Pogosto se izvirna neenakost razlikuje od zgornje. To je enostavno popraviti v skladu s standardnimi pravili za delo z logaritmi - glejte "Osnovne lastnosti logaritmov". in sicer:

Vsako število lahko predstavimo kot logaritem z dano bazo;
Vsoto in razliko logaritmov z isto osnovo lahko nadomestimo z enim logaritmom.

Ločeno vas želim spomniti na obseg sprejemljivih vrednosti. Ker je v izvirni neenakosti lahko več logaritmov, je treba poiskati DPV vsakega od njih. Tako je splošna shema za reševanje logaritemskih neenakosti naslednja:

Poiščite ODZ vsakega logaritma, vključenega v neenakost;
Zmanjšajte neenakost na standardno z uporabo formul za seštevanje in odštevanje logaritmov;
Rešite nastalo neenakost po zgornji shemi.

Naloga. Reši neenakost:

Poiščite domeno definicije (ODZ) prvega logaritma:

Rešujemo po intervalni metodi. Iskanje ničel števca:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Nato - ničle imenovalca:

x − 1 = 0;
x = 1.

Na koordinatni puščici označimo ničle in predznake:

Dobimo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritem ODZ bo enak. Če mi ne verjameš, lahko preveriš. Zdaj preoblikujemo drugi logaritem tako, da je osnova dva:

Kot lahko vidite, so se trojke na dnu in pred logaritmom skrčile. Dobite dva logaritma z enako osnovo. Sestavimo jih skupaj:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Dobili smo standardno logaritemsko neenakost. Logaritmov se znebimo s formulo. Ker je v prvotni neenakosti predznak manj kot, mora biti tudi dobljeni racionalni izraz manjši od nič. Imamo:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Imamo dva kompleta:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Kandidat za odgovor: x ∈ (−1; 3).

Ostaja še prečkati te sklope - dobimo pravi odgovor:

Zanima nas presečišče množic, zato izberemo intervale, osenčene na obeh puščicah. Dobimo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - vse točke so preluknjane.

Ali menite, da je pred izpitom še čas in boste imeli čas za priprave? Morda je temu tako. Vsekakor pa prej kot študent začne trenirati, bolj uspešno opravi izpite. Danes smo se odločili, da članek posvetimo logaritemskim neenakostim. To je ena od nalog, ki pomeni priložnost za pridobitev dodatne točke.

Ali že veste, kaj je logaritem (log)? Resnično upamo. Toda tudi če nimate odgovora na to vprašanje, to ni problem. Zelo enostavno je razumeti, kaj je logaritem.

Zakaj ravno 4? Število 3 morate dvigniti na takšno moč, da dobite 81. Ko razumete načelo, lahko nadaljujete z bolj zapletenimi izračuni.

Pred nekaj leti ste šli skozi neenakosti. In od takrat jih nenehno srečuješ pri matematiki. Če imate težave pri reševanju neenakosti, si oglejte ustrezen razdelek.
Zdaj, ko smo se seznanili s koncepti ločeno, bomo prešli na njihovo obravnavo na splošno.

Najenostavnejša logaritemska neenakost.

Najenostavnejše logaritemske neenakosti niso omejene na ta primer, obstajajo še tri, le z različnimi predznaki. Zakaj je to potrebno? Da bi bolje razumeli, kako rešiti neenakost z logaritmi. Zdaj podajamo bolj uporaben primer, še vedno precej preprost, kompleksne logaritemske neenakosti pustimo za kasneje.

Kako ga rešiti? Vse se začne z ODZ. O tem bi morali vedeti več, če želite vedno enostavno rešiti katero koli neenakost.

Kaj je ODZ? DPV za logaritemske neenakosti

Okrajšava pomeni obseg veljavnih vrednosti. Pri nalogah za izpit se to besedilo pogosto pojavi. DPV vam je koristen ne le v primeru logaritemskih neenakosti.

Poglejte še enkrat zgornji primer. Na podlagi tega bomo upoštevali ODZ, da boste razumeli načelo, rešitev logaritemskih neenakosti pa ne postavlja vprašanj. Iz definicije logaritma izhaja, da mora biti 2x+4 večje od nič. V našem primeru to pomeni naslednje.

To število mora biti po definiciji pozitivno. Rešite zgoraj predstavljeno neenakost. To lahko naredimo celo ustno, tukaj je jasno, da X ne more biti manjši od 2. Rešitev neenakosti bo opredelitev obsega sprejemljivih vrednosti.
Zdaj pa pojdimo k reševanju najpreprostejše logaritemske neenakosti.

Sama logaritma iz obeh delov neenakosti zavržemo. Kaj nam ostane kot rezultat? preprosta neenakost.

To je enostavno rešiti. X mora biti večji od -0,5. Sedaj združimo dve dobljeni vrednosti v sistem. tako,

To bo območje dopustnih vrednosti za obravnavano logaritemsko neenakost.

Zakaj je ODZ sploh potreben? To je priložnost, da izločimo napačne in nemogoče odgovore. Če odgovor ni v območju sprejemljivih vrednosti, potem odgovor preprosto ni smiseln. To si je vredno zapomniti dolgo časa, saj je pri izpitu pogosto treba iskati ODZ in ne zadeva le logaritemskih neenakosti.

Algoritem za reševanje logaritemske neenakosti

Rešitev je sestavljena iz več korakov. Najprej je treba najti obseg sprejemljivih vrednosti. V ODZ bosta dve vrednosti, to smo upoštevali zgoraj. Naslednji korak je reševanje same neenakosti. Metode rešitve so naslednje:

metoda zamenjave množitelja;
razgradnja;
racionalizacijski način.

Glede na situacijo je treba uporabiti eno od zgornjih metod. Pojdimo naravnost k rešitvi. Razkrili bomo najbolj priljubljeno metodo, ki je primerna za reševanje nalog USE v skoraj vseh primerih. Nato bomo razmislili o metodi razgradnje. Pomaga lahko, če naletite na posebno "zapleteno" neenakost. Torej, algoritem za reševanje logaritemske neenakosti.

Primeri rešitev :

Ni zaman, da smo vzeli prav takšno neenakost! Bodite pozorni na podlago. Ne pozabite: če je večji od ena, ostane predznak pri iskanju obsega veljavnih vrednosti enak; sicer je treba predznak neenakosti spremeniti.

Kot rezultat dobimo neenakost:

Zdaj levo stran pripeljemo v obliko enačbe, ki je enaka nič. Namesto predznaka "manj kot" postavimo "enako", rešimo enačbo. Tako bomo našli ODZ. Upamo, da pri reševanju tako preproste enačbe ne boste imeli težav. Odgovora sta -4 in -2. To še ni vse. Te točke morate prikazati na grafikonu, postaviti "+" in "-". Kaj je treba za to narediti? V izraz nadomestite števila iz intervalov. Kjer so vrednosti pozitivne, tam vstavimo "+".

Odgovori: x ne sme biti večji od -4 in manjši od -2.

Našli smo obseg veljavnih vrednosti samo za levo stran, zdaj moramo najti obseg veljavnih vrednosti za desno stran. To nikakor ni lažje. Odgovor: -2. Obe prejeti področji presekamo.

In šele zdaj začnemo reševati samo neenakost.

Naj ga čim bolj poenostavimo, da se bomo lažje odločili.

V rešitvi ponovno uporabimo intervalno metodo. Preskočimo izračune, z njim je vse jasno že iz prejšnjega primera. Odgovori.

Toda ta metoda je primerna, če ima logaritemska neenakost enake osnove.

Reševanje logaritemskih enačb in neenakosti z različnimi osnovami vključuje začetno redukcijo na eno bazo. Nato uporabite zgornjo metodo. Obstaja pa tudi bolj zapleten primer. Razmislite o eni izmed najbolj zapletenih vrst logaritemskih neenakosti.

Logaritemske neenakosti s spremenljivo bazo

Kako rešiti neenakosti s takšnimi lastnostmi? Da, in takšne je mogoče najti na izpitu. Reševanje neenakosti na naslednji način bo ugodno vplivalo tudi na vaš izobraževalni proces. Oglejmo si vprašanje podrobno. Pustimo teorijo na stran in pojdimo naravnost k praksi. Za rešitev logaritmičnih neenakosti je dovolj, da se enkrat seznanite s primerom.

Za rešitev logaritemske neenakosti predstavljene oblike je potrebno desno stran zmanjšati na logaritem z isto osnovo. Načelo je podobno enakovrednim prehodom. Posledično bo neenakost videti takole.

Pravzaprav je treba ustvariti sistem neenakosti brez logaritmov. Z uporabo racionalizacijske metode preidemo na enakovredni sistem neenakosti. Samo pravilo boste razumeli, ko boste nadomestili ustrezne vrednosti in sledili njihovim spremembam. Sistem bo imel naslednje neenakosti.

Z uporabo metode racionalizacije pri reševanju neenakosti se morate spomniti naslednjega: od osnove morate odšteti eno, x po definiciji logaritma odšteje od obeh delov neenakosti (desni od leve), dva izrazi se pomnožijo in postavijo pod prvotni predznak glede na nič.

Nadaljnja rešitev se izvaja z intervalno metodo, tukaj je vse preprosto. Pomembno je, da razumete razlike v metodah reševanja, potem se bo vse začelo zlahka delati.

V logaritemskih neenakostih je veliko odtenkov. Najpreprostejše od njih je dovolj enostavno rešiti. Kako narediti tako, da bi vsako od njih rešili brez težav? V tem članku ste že prejeli vse odgovore. Zdaj je pred vami dolg trening. Nenehno vadite reševanje različnih problemov znotraj izpita in lahko boste dosegli najvišjo oceno. Vso srečo pri težkem delu!

Neenakost se imenuje logaritmična, če vsebuje logaritemsko funkcijo.

Metode za reševanje logaritemskih neenakosti se ne razlikujejo od drugih, razen v dveh stvareh.

Prvič, pri prehodu od logaritemske neenakosti k neenakosti sublogaritemskih funkcij sledi sledi predznaku nastale neenakosti. Upošteva naslednje pravilo.

Če je osnova logaritemske funkcije večja od $1$, potem se pri prehodu iz logaritemske neenakosti v neenakost podlogaritmičnih funkcij predznak neenakosti ohrani, in če je manjši od $1$, se obrne.

Drugič, rešitev katere koli neenakosti je interval, zato je treba na koncu rešitve neenakosti sublogaritemskih funkcij sestaviti sistem dveh neenakosti: prva neenakost tega sistema bo neenakost podlogaritemske funkcije, drugi pa bo interval domene definicije logaritemskih funkcij, vključenih v logaritemsko neenakost.