Faktorizacijski izrek za kvadratni trinom. Faktorizacija kvadratnih trinomov: primeri in formule

Razširjanje polinomov za pridobitev izdelka se včasih zdi zmedeno. Vendar to ni tako težko, če razumete postopek korak za korakom. Članek podrobno opisuje, kako faktorizirati kvadratni trinom.

Mnogi ne razumejo, kako faktorizirati kvadratni trinom in zakaj je to storjeno. Sprva se morda zdi, da je to neuporabna vaja. Toda v matematiki se nič ne naredi kar tako. Transformacija je potrebna za poenostavitev izraza in priročnost izračuna.

Polinom, ki ima obliko - ax² + bx + c, se imenuje kvadratni trinom. Izraz "a" mora biti negativen ali pozitiven. V praksi se ta izraz imenuje kvadratna enačba. Zato včasih rečejo drugače: kako razgraditi kvadratna enačba.

Zanimivo! Kvadratni polinom se imenuje zaradi največje stopnje - kvadrat. In trinom - zaradi 3 komponentnih členov.

Nekatere druge vrste polinomov:

• linearni binom (6x+8);
• kubični štirikotnik (x³+4x²-2x+9).

Faktorizacija kvadratnega trinoma

Najprej je izraz enak nič, nato morate najti vrednosti korenov x1 in x2. Morda ni korenin, lahko sta ena ali dve korenini. Prisotnost korenin določi diskriminant. Njegovo formulo je treba poznati na pamet: D=b²-4ac.

Če je rezultat D negativen, ni korenin. Če je pozitiven, obstajata dve korenini. Če je rezultat nič, je koren ena. Korenine se izračunajo tudi po formuli.

Če rezultat izračuna diskriminanta ni, lahko uporabite katero koli od formul. V praksi je formula preprosto skrajšana: -b / 2a.

Formule za različne vrednosti diskriminantne so različne.

Če je D pozitiven:

Če je D nič:

Spletni kalkulatorji

Internet ima spletni kalkulator. Lahko se uporablja za faktorizacijo. Nekateri viri ponujajo priložnost, da si rešitev ogledate korak za korakom. Takšne storitve pomagajo bolje razumeti temo, vendar morate poskusiti dobro razumeti.

Uporaben video: Faktoriziranje kvadratnega trinoma

Primeri

Vabimo vas k ogledu preprosti primeri kako faktorizirati kvadratno enačbo.

Primer 1

Tukaj je jasno prikazano, da bo rezultat dva x, ker je D pozitiven. V formulo jih je treba nadomestiti. Če so koreni negativni, je predznak v formuli obrnjen.

Poznamo ekspanzijsko formulo kvadratni trinom množitelji: a(x-x1)(x-x2). Vrednosti postavimo v oklepaje: (x+3)(x+2/3). Pred izrazom v eksponentu ni števila. To pomeni, da obstaja enota, je spuščena.

Primer 2

Ta primer jasno kaže, kako rešiti enačbo, ki ima en koren.

Zamenjajte dobljeno vrednost:

Primer 3

Dano: 5x²+3x+7

Najprej izračunamo diskriminanto, kot v prejšnjih primerih.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant je negativen, kar pomeni, da ni korenin.

Po prejemu rezultata je vredno odpreti oklepaje in preveriti rezultat. Pojaviti se mora izvirni trinom.

Alternativna rešitev

Nekateri ljudje se nikoli niso mogli spoprijateljiti z diskriminantom. Obstaja še en način za faktorizacijo kvadratnega trinoma. Za udobje je metoda prikazana na primeru.

Dano: x²+3x-10

Vemo, da bi morali na koncu dobiti 2 oklepaja: (_)(_). Ko je izraz videti takole: x² + bx + c, postavimo x na začetek vsakega oklepaja: (x_) (x_). Preostali dve številki sta produkt, ki daje "c", to je v tem primeru -10. Če želite izvedeti, kakšne so te številke, lahko uporabite samo izbirno metodo. Nadomeščene številke se morajo ujemati s preostalim izrazom.

Na primer, množenje naslednjih številk daje -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. št.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. št.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. št.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Prilega se.

Torej, transformacija izraza x2+3x-10 izgleda takole: (x-2)(x+5).

Pomembno! Bodite previdni, da ne zamenjate znakov.

Razgradnja kompleksnega trinoma

Če je "a" večja od ena, se začnejo težave. A vse ni tako težko, kot se zdi.

Za faktorizacijo je treba najprej videti, ali je mogoče kaj razstaviti.

Na primer, glede na izraz: 3x²+9x-30. Tukaj je številka 3 vzeta iz oklepajev:

3(x²+3x-10). Rezultat je že znani trinom. Odgovor je videti takole: 3(x-2)(x+5)

Kako razstaviti, če je izraz na kvadrat negativen? V tem primeru se številka -1 vzame iz oklepaja. Na primer: -x²-10x-8. Izraz bo potem videti takole:

Shema se malo razlikuje od prejšnje. Obstaja le nekaj novih stvari. Recimo, da je podan izraz: 2x²+7x+3. Odgovor je zapisan tudi v 2 oklepaju, ki ju je treba izpolniti (_) (_). V 2. oklepaju je zapisano X, v 1. pa kar ostane. Izgleda takole: (2x_)(x_). V nasprotnem primeru se prejšnja shema ponovi.

Številka 3 daje številke:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Enačbe rešujemo tako, da podane številke nadomestimo. Zadnja možnost ustreza. Torej transformacija izraza 2x²+7x+3 izgleda takole: (2x+1)(x+3).

Drugi primeri

Izraza ni vedno mogoče preoblikovati. Pri drugi metodi rešitev enačbe ni potrebna. Toda možnost pretvorbe izrazov v produkt se preverja samo prek diskriminanta.

Vredno je vaditi reševanje kvadratnih enačb, tako da pri uporabi formul ni težav.

Uporaben video: faktorizacija trinoma

Zaključek

Uporabite ga lahko na kakršen koli način. Ampak bolje je delati oboje do avtomatizma. Tudi tisti, ki bodo svoje življenje povezali z matematiko, se morajo naučiti dobro reševati kvadratne enačbe in polinome razgraditi na faktorje. Vse naslednje matematične teme so zgrajene na tem.

Faktorizacija kvadratnih trinomov se nanaša na šolske naloge s katerimi se bodo vsi prej ali slej soočili. Kako narediti? Kakšna je formula za faktoriranje kvadratnega trinoma? Pojdimo skozi to korak za korakom s primeri.

Splošna formula

Faktorizacija kvadratnih trinomov se izvede z reševanjem kvadratne enačbe. To je preprost problem, ki ga je mogoče rešiti z več metodami - z iskanjem diskriminante z uporabo Vietinega izreka obstaja in grafični način rešitve. Prvi dve metodi se preučujeta v srednji šoli.

Splošna formula izgleda takole:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritem za izvedbo naloge

Za faktorizacijo kvadratnih trinomov morate poznati Witov izrek, imeti pri roki program za reševanje, znati grafično poiskati rešitev ali poiskati korenine enačbe druge stopnje po diskriminantni formuli. Če je podan kvadratni trinom in ga je treba faktorizirati, je algoritem dejanj naslednji:

1) Izenačite izvirni izraz z nič, da dobite enačbo.

2) Navedite podobne pogoje (če je potrebno).

3) Poiščite korenine katerega koli znan način. Grafično metodo je najbolje uporabiti, če je vnaprej znano, da so koreni cela in majhna števila. Ne smemo pozabiti, da je število korenov enako največji stopnji enačbe, to pomeni, da ima kvadratna enačba dva korena.

4) Nadomestna vrednost X v izraz (1).

5) Zapišite faktorizacijo kvadratnih trinomov.

Primeri

Praksa vam omogoča, da končno razumete, kako se ta naloga izvaja. Primeri ponazarjajo faktorizacijo kvadratnega trinoma:

morate razširiti izraz:

Uporabimo naš algoritem:

1) x 2 -17x+32=0

2) podobni izrazi se zmanjšajo

3) po formuli Vieta je za ta primer težko najti korenine, zato je bolje uporabiti izraz za diskriminanto:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Zamenjaj korenine, ki smo jih našli v glavni formuli za razgradnjo:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Potem bo odgovor:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Preverimo, ali rešitve, ki jih najde diskriminanta, ustrezajo Vietinim formulam:

14,845 . 2,155=32

Za te korene se uporablja Vietin izrek, našli so se pravilno, kar pomeni, da je tudi faktorizacija, ki smo jo dobili, pravilna.

Podobno razširimo 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

V prejšnjem primeru so bile rešitve neceloštevilne, vendar realne številke, ki jih je enostavno najti s kalkulatorjem pred vami. Zdaj razmislite o več kompleksen primer, v katerem bodo korenine kompleksne: faktorizirajte x 2 + 4x + 9. Po Vietini formuli ni mogoče najti korenin, diskriminanta pa je negativna. Korenine bodo na kompleksni ravnini.

D=-20

Na podlagi tega dobimo korenine, ki nas zanimajo -4 + 2i * 5 1/2 in -4-2i * 5 1/2, ker (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Želeno ekspanzijo dobimo tako, da v splošno formulo nadomestimo korenine.

Drug primer: razložiti morate izraz 23x 2 -14x + 7.

Imamo enačbo 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Torej so korenine 14+21,166i in 14-21,166i. Odgovor bo:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Naj navedemo primer, ki ga je mogoče rešiti brez pomoči diskriminanta.

Naj bo treba razstaviti kvadratno enačbo x 2 -32x + 255. Očitno ga lahko reši tudi diskriminant, vendar je v tem primeru hitreje najti korenine.

x 1 =15

x2=17

Pomeni x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Svet je potopljen v ogromno število. Vsak izračun poteka z njihovo pomočjo.

Ljudje se učijo številk, da v poznejšem življenju ne bi nasedli prevare. Za izobraževanje in izračun lastnega proračuna je treba posvetiti ogromno časa.

Matematika je natančna znanost, ki igra veliko vlogo v življenju. V šoli se otroci učijo številk in nato dejanj na njih.

Dejanja na številkah so popolnoma drugačna: množenje, širitev, seštevanje in drugo. Poleg preprostih formul se pri študiju matematike uporabljajo tudi bolj zapletena dejanja. Obstaja ogromno formul, po katerih so znane kakršne koli vrednosti.

V šoli, takoj ko se pojavi algebra, se v življenje študenta dodajo formule za poenostavitev. Obstajajo enačbe, ko obstajata dve neznani številki, vendar poiščite na preprost način ne bo delovalo. Trinom je spojina treh monomov s pomočjo preprosta metoda odštevanja in seštevanja. Trinom je rešen z uporabo Vietinega izreka in diskriminanta.

Formula za faktoriranje kvadratnega trinoma v faktorje

Obstajata dve pravilni in preproste rešitve primer:

• diskriminatorno;
• Vietin izrek.

Kvadratni trinom ima neznan kvadrat, pa tudi število brez kvadrata. Prva možnost za rešitev problema uporablja formulo Vieta. To je preprosta formulače bodo števke, ki so pred neznano, najmanjša vrednost.

Za druge enačbe, kjer je število pred neznano, je treba enačbo rešiti preko diskriminanta. Konec je težka odločitev, vendar se diskriminant uporablja veliko pogosteje kot Vietin izrek.

Na začetku je za iskanje vseh spremenljivk enačbe treba primer dvigniti na 0. Rešitev primera lahko preverimo in ugotovimo, ali so številke pravilno nastavljene.

Diskriminantno

1. Enačbo je treba enačiti z 0.

2. Vsako število pred x se imenuje števila a, b, c. Ker pred prvim kvadratom x ni števila, je enako 1.

3. Zdaj se rešitev enačbe začne skozi diskriminanto:

4. Sedaj smo našli diskriminanto in našli dva x. Razlika je v tem, da bo v enem primeru pred b plus, v drugem pa minus:

5. Z reševanjem dveh števil se je izkazalo -2 in -1. Zamenjaj pod prvotno enačbo:

6. V tem primeru se je izkazalo dva pravilne možnosti. Če sta obe rešitvi pravilni, je vsaka resnična.

Z diskriminanto se rešujejo tudi bolj zapletene enačbe. Če pa je vrednost diskriminanta manjša od 0, je primer napačen. Diskriminant pri iskanju je vedno pod korenom, negativna vrednost pa ne more biti v korenu.

Vietin izrek

Uporablja se za reševanje enostavnih nalog, kjer pred prvim x ni številka, to je a=1. Če se možnost ujema, se izračun izvede po Vietinem izreku.

Za rešitev katerega koli trinoma je treba enačbo dvigniti na 0. Prvi koraki za diskriminanto in Vietin izrek so enaki.

2. Zdaj obstajajo razlike med obema metodama. Vietin izrek ne uporablja le "suhega" izračuna, temveč tudi logiko in intuicijo. Vsaka številka ima svojo črko a, b, c. Izrek uporablja vsoto in zmnožek dveh števil.

Zapomni si! Število b se vedno doda z nasprotnim predznakom, število c pa ostane nespremenjeno!

Zamenjava vrednosti podatkov v primeru , dobimo:

3. Z logično metodo nadomestimo najprimernejša števila. Razmislite o vseh možnih rešitvah:

1. Številki sta 1 in 2. Ko seštejemo, dobimo 3, če pa pomnožimo, ne dobimo 4. Ni primerno.
2. Vrednost 2 in -2. Ko se pomnoži, bo -4, ko pa se doda, se izkaže 0. Ni primerno.
3. Številki 4 in -1. Ker množenje vsebuje negativno vrednost, to pomeni, da bo eno od številk z minusom. Primerno za seštevanje in množenje. Pravilna možnost.

4. Ostaja le še preveriti, razporediti številke in preveriti, ali je izbrana možnost pravilna.

5. S spletnim preverjanjem smo ugotovili, da se -1 ne ujema s stanjem primera, kar pomeni, da je napačna rešitev.

Pri dodajanju negativna vrednost v primeru morate številko postaviti v oklepaje.

V matematiki vedno bo preproste naloge in zapleteno. Znanost sama vključuje različne probleme, izreke in formule. Če razumete in pravilno uporabite znanje, bodo vse težave z izračuni nepomembne.

Matematika ne potrebuje stalnega pomnjenja. Naučiti se morate razumeti rešitev in se naučiti nekaj formul. Postopoma, v skladu z logičnimi zaključki, je mogoče rešiti podobne probleme, enačbe. Takšna znanost se morda na prvi pogled zdi zelo težka, a če se potopite v svet številk in nalog, se bo pogled močno spremenil v boljša stran.

Tehnične posebnosti vedno ostajajo najbolj iskani na svetu. Zdaj, na svetu sodobne tehnologije Matematika je postala nepogrešljiv atribut katerega koli področja. Vedno se morate spomniti na uporabne lastnosti matematika.

Dekompozicija trinoma z oklepaji

Poleg reševanja na običajne načine obstaja še ena - razgradnja v oklepaje. Uporablja se z Vietino formulo.

1. Enačbo izenačite z 0.

sekira 2 + bx+ c= 0

2. Korenine enačbe ostajajo enake, vendar namesto nič zdaj uporabljajo formule za razširitev oklepajev.

sekira 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Rešitev x=-1, x=3

Faktorizacija kvadratnega trinoma je lahko uporabno pri reševanju neenakosti iz problema C3 ali problema s parametrom C5. Prav tako bo veliko besednih problemov B13 rešenih veliko hitreje, če poznate Vietin izrek.

Ta izrek je seveda mogoče obravnavati s stališča 8. razreda, v katerem je prvič opravljen. Naša naloga pa je, da se na izpit dobro pripravimo in se naučimo čim bolj učinkovito reševati izpitne naloge. Zato je v tej lekciji pristop nekoliko drugačen od šolskega.

Formula za korenine enačbe po Vietinem izreku poznam (ali vsaj videl) veliko:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

kjer so "a, b" in "c" koeficienti kvadratnega trinoma "ax^2+bx+c".

Če se želite naučiti, kako enostavno uporabljati izrek, poglejmo, od kod prihaja (tako si ga bo res lažje zapomniti).

Imejmo enačbo `ax^2+ bx+ c = 0`. Za dodatno udobje ga delimo z `a` in dobimo `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Takšna enačba se imenuje reducirana kvadratna enačba.

Pomembne točke lekcije: vsak kvadratni polinom, ki ima korenine, je mogoče razstaviti v oklepaje. Recimo, da je naše lahko predstavljeno kot `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, kjer je `k` in `l` - nekaj konstant.

Poglejmo, kako se oklepaji odprejo:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Tako je `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

To se nekoliko razlikuje od klasične interpretacije Vietini izreki- v njej iščemo korenine enačbe. Predlagam, da poiščem pogoje razširitve nosilcev- tako da se vam ni treba spomniti minusa iz formule (kar pomeni `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Dovolj je, da izberete dve takšni števili, katerih vsota je enaka povprečnemu koeficientu, produkt pa je enak prostemu členu.

Če potrebujemo rešitev enačbe, potem je očitno: koreni `x=-k` ali `x=-l` (saj bo v teh primerih eden od oklepajev nastavljen na nič, kar pomeni, da je celoten izraz bo enak nič).

Na primer, pokazal bom algoritem, kako razstaviti kvadratni polinom v oklepaje.

Prvi primer. Algoritem za faktoriranje kvadratnega trinoma

Pot, ki jo imamo, je kvadratni trinom `x^2+5x+4`.

Zmanjša se (koeficient `x^2` enako ena). Ima korenine. (Zagotovo lahko ocenite diskriminanto in se prepričate, da je večji od nič.)

Naslednji koraki (teh se je treba naučiti tako, da naredite vse vadbene naloge):

1. Naredite naslednji zapis: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Pustite prosti prostor namesto pik, tja bomo dodali ustrezne številke in znake.
2. Poglej vse možne možnosti, kako lahko razstaviš število "4" v zmnožek dveh števil. Dobimo pare "kandidatov" za korenine enačbe: `2, 2` in `1, 4`.
3. Ocenite, iz katerega para lahko dobite povprečni koeficient. Očitno je `1, 4`.
4. Zapiši $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. Naslednji korak je, da pred vstavljenimi številkami postavite znake.

   Kako razumeti in si za vedno zapomniti, kateri znaki morajo biti pred številkami v oklepajih? Poskusite jih razširiti (oklepaji). Koeficient pred `x` na prvo potenco bo `(± 4 ± 1)` (znakov še ne poznamo - izbrati moramo), in mora biti enak `5`. Očitno bosta tukaj dva plusa $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   To operacijo izvedite večkrat (zdravo, naloge za usposabljanje!) in s tem ne bo nikoli več težav.

Če morate rešiti enačbo `x^2+5x+4`, potem njena rešitev ni težka. Njegove korenine so "-4, -1".

Drugi primer. Faktorizacija kvadratnega trinoma s koeficienti različnih predznakov

Rešiti moramo enačbo `x^2-x-2=0`. Nehote, diskriminant je pozitiven.

Sledimo algoritmu.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \lddots).$$
2. Obstaja samo ena celoštevilska faktorizacija 2: `2 · 1`.
3. Preskočimo točko – ni kaj izbirati.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Zmnožek naših števil je negativen ("-2" je prosti izraz), kar pomeni, da bo eno od njih negativno, drugo pa pozitivno.
   Ker je njuna vsota enaka `-1` (koeficient `x`), bo `2` negativna (intuitivna razlaga - dve je večje od obeh števil, bo "povleklo" več v negativni smeri). Dobimo $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Tretji primer. Faktorizacija kvadratnega trinoma

Enačba "x^2+5x -84 = 0".

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Razgradnja 84 na cele faktorje: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Ker potrebujemo, da je razlika (ali vsota) števil 5, bo par 7, 12 primeren.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

upam, dekompozicija tega kvadratnega trinoma v oklepaje razumljivo.

Če potrebujete rešitev enačbe, potem je tukaj: "12, -7".

Naloge za usposabljanje

Tukaj je nekaj primerov, ki jih je enostavno rešujejo z uporabo Vietinega izreka.(Primeri vzeti iz Matematike, 2002.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Nekaj ​​let po tem, ko je bil članek napisan, se je pojavila zbirka 150 nalog za razširitev kvadratnega polinoma z uporabo Vietinega izreka.

Všečkajte in postavite vprašanja v komentarjih!