Vodilni koeficient kvadratne enačbe. Nepopolne kvadratne enačbe

Kvadratna enačba - enostavno rešiti! *Dalje v besedilu "KU". Prijatelji, zdi se, da je v matematiki lahko lažje kot reševanje takšne enačbe. Nekaj ​​pa mi je govorilo, da ima veliko ljudi težave z njim. Odločil sem se, da vidim, koliko prikazov Yandex daje na zahtevo na mesec. Evo, kaj se je zgodilo, poglejte:

Kaj to pomeni? To pomeni, da išče približno 70.000 ljudi na mesec te informacije, kaj ima to poletje s tem in kaj se bo med šolsko leto- zahteve bodo dvakrat večje. To ni presenetljivo, saj tisti fantje in dekleta, ki so že dolgo končali šolo in se pripravljajo na izpit, iščejo te informacije, šolarji pa si tudi poskušajo osvežiti spomin.

Kljub temu, da obstaja veliko spletnih mest, ki govorijo o reševanju te enačbe, sem se odločil, da tudi prispevam in objavim gradivo. Prvič, želim, da obiskovalci pridejo na moje spletno mesto na to zahtevo; drugič, v drugih člankih, ko se pojavi govor "KU", bom dal povezavo do tega članka; tretjič, povedal vam bom nekaj več o njegovi rešitvi, kot je običajno navedeno na drugih straneh. Začnimo! Vsebina članka:

Kvadratna enačba je enačba v obliki:

kjer so koeficienti a,bin s poljubnimi številkami z a≠0.

V šolskem tečaju je snov podana v naslednji obliki - pogojno se izvede razdelitev enačb v tri razrede:

1. Imeti dve korenini.

2. * Imeti samo en koren.

3. Brez korenin. Tukaj je vredno omeniti, da nimajo pravih korenin

Kako se izračunajo korenine? Samo!

Izračunamo diskriminanto. Pod to "grozno" besedo se skriva zelo preprosta formula:

Korenske formule so naslednje:

*Te formule je treba poznati na pamet.

Takoj lahko zapišete in se odločite:

Primer:

1. Če je D > 0, ima enačba dva korena.

2. Če je D = 0, ima enačba en koren.

3. Če D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Poglejmo enačbo:

Avtor to priložnost ko diskriminant nič, šolski tečaj pravi, da se dobi en koren, tukaj je enak devet. Tako je, ampak ...

Ta predstavitev je nekoliko napačna. Pravzaprav obstajata dve korenini. Da, da, ne bodite presenečeni, izkaže se dva enak koren, in če smo matematično natančni, bi morali v odgovor zapisati dve korenini:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ampak to je tako - majhna digresija. V šoli lahko zapišete in rečete, da je samo en koren.

Zdaj pa naslednji primer:

Kot vemo, se koren negativnega števila ne izvleče, zato v tem primeru ni rešitve.

To je celoten proces odločanja.

Kvadratna funkcija.

Takole je rešitev videti geometrijsko. To je izjemno pomembno razumeti (v prihodnosti bomo v enem od člankov podrobno analizirali rešitev kvadratne neenakosti).

To je funkcija obrazca:

kjer sta x in y spremenljivki

a, b, c - dane številke, kjer je a ≠ 0

Graf je parabola:

To pomeni, da se izkaže, da z reševanjem kvadratne enačbe z "y" enako nič najdemo presečne točke parabole z osjo x. Od teh točk sta lahko dve (diskriminanta je pozitivna), ena (diskriminanta je nič) ali nobena (diskriminanta je negativna). Podrobnosti o kvadratna funkcija Lahko si ogledatečlanek Inne Feldman.

Razmislite o primerih:

Primer 1: Odločite se 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = -12

* Levo in desno stran enačbe lahko takoj razdelite z 2, torej jo poenostavite. Izračuni bodo lažji.

2. primer: Odloči se x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Dobili smo, da je x 1 = 11 in x 2 = 11

V odgovoru je dovoljeno zapisati x = 11.

Odgovor: x = 11

3. primer: Odloči se x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je negativen, v realnih številkah ni rešitve.

Odgovor: ni rešitve

Diskriminant je negativen. Obstaja rešitev!

Tukaj bomo govorili o reševanju enačbe v primeru, ko dobimo negativni diskriminant. Ali veš kaj o kompleksnih številkah? Tukaj se ne bom spuščal v podrobnosti, zakaj in kje so nastali ter kakšna je njihova posebna vloga in nujnost v matematiki, to je tema za velik ločen članek.

Koncept kompleksnega števila.

Malo teorije.

Kompleksno število z je število v obliki

z = a + bi

kjer sta a in b realne številke, i je tako imenovana imaginarna enota.

a+bi je ENA ŠTEVILKA, ne seštevek.

Namišljena enota je enaka korenu minus ena:

Zdaj razmislite o enačbi:

Pridobite dve konjugirani koreni.

Nepopolna kvadratna enačba.

Razmislite o posebnih primerih, ko je koeficient "b" ali "c" enak nič (ali pa sta oba enaka nič). Rešujejo se enostavno brez diskriminatorjev.

Primer 1. Koeficient b = 0.

Enačba ima obliko:

Preobrazimo:

Primer:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Primer 2. Koeficient c = 0.

Enačba ima obliko:

Transformiraj, faktoriziraj:

*Promnožek je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič.

Primer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ali x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Primer 3. Koeficienta b = 0 in c = 0.

Tukaj je jasno, da bo rešitev enačbe vedno x = 0.

Uporabne lastnosti in vzorci koeficientov.

Obstajajo lastnosti, ki omogočajo reševanje enačb z velikimi koeficienti.

ax 2 + bx+ c=0 enakost

a + b+ c = 0, potem

— če za koeficiente enačbe ax 2 + bx+ c=0 enakost

a+ z =b, potem

Te lastnosti pomagajo rešiti določeno vrsto enačbe.

Primer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Vsota koeficientov je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, torej

2. primer: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Enakost a+ z =b, pomeni

Pravilnosti koeficientov.

1. Če je v enačbi ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficient "b" (a 2 +1), koeficient "c" pa je številčno enak koeficientu "a", potem so njegove korenine

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Primer. Razmislite o enačbi 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 = -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Če je v enačbi ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficient "b" (a 2 +1), koeficient "c" pa je številčno enak koeficientu "a", potem so njegove korenine

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Primer. Razmislite o enačbi 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Če je v enačbi ax 2 + bx - c = 0 koeficient "b" enako (a 2 – 1), in koeficient "c" številčno enak koeficientu "a", potem so njene korenine enake

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Primer. Razmislite o enačbi 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Če je v enačbi ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficient "b" enak (a 2 - 1), koeficient c pa je številčno enak koeficientu "a", potem so njegove korenine

sekira 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Primer. Razmislite o enačbi 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 = 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietin izrek.

Vietin izrek je poimenovan po slavnem francoskem matematiku Francoisu Vieti. Z uporabo Vietinega izreka lahko izrazimo vsoto in produkt korenov poljubnega KU v smislu njegovih koeficientov.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Če povzamemo, število 14 daje le 5 in 9. To sta korenine. Z določeno spretnostjo lahko z uporabo predstavljenega izreka številne kvadratne enačbe takoj ustno rešite.

Poleg tega Vietin izrek. priročno, ker po reševanju kvadratne enačbe na običajen način (skozi diskriminanto) lahko preverimo nastale korene. Priporočam, da to počnete ves čas.

NAČIN PRENOSA

Pri tej metodi se koeficient "a" pomnoži s prostim izrazom, kot da bi ga "prenesli" nanj, zato se imenuje način prenosa. Ta metoda se uporablja, kadar je enostavno najti korenine enačbe z uporabo Vietinega izreka in, kar je najpomembneje, kadar je diskriminanta natančen kvadrat.

Če a± b+c≠ 0, potem se uporabi tehnika prenosa, na primer:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Glede na izrek Vieta v enačbi (2) je enostavno ugotoviti, da je x 1 = 10 x 2 = 1

Dobljene korenine enačbe je treba deliti z 2 (ker sta bila oba "vržena" iz x 2), dobimo

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Kakšna je utemeljitev? Poglejte, kaj se dogaja.

Diskriminante enačb (1) in (2) so:

Če pogledate korenine enačb, dobimo samo različne imenovalce, rezultat pa je odvisen natančno od koeficienta pri x 2:

Drugi (spremenjeni) koreni so 2-krat večji.

Zato rezultat delimo z 2.

*Če vržemo tri enake vrste, potem rezultat delimo s 3 itd.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq. ur-ie in izpit.

Na kratko bom povedal o njeni pomembnosti – ODLOČATI BI MORALO hitro in brez razmišljanja, na pamet je treba poznati formule korenin in diskriminanta. Veliko nalog, ki so del nalog USE, se nanaša na reševanje kvadratne enačbe (vključno z geometrijskimi).

Kaj je vredno omeniti!

1. Oblika enačbe je lahko "implicitna". Možen je na primer naslednji vnos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ali 15x+42+9x 2 - 45x=0 ali 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga spraviti v standardno obliko (da se ne boste zmedli pri reševanju).

2. Ne pozabite, da je x neznana vrednost in jo lahko označimo s katero koli drugo črko – t, q, p, h in drugimi.

Nepopolna kvadratna enačba se od klasičnih (popolnih) enačb razlikuje po tem, da so njeni faktorji ali prosti člen enak nič. Graf takšnih funkcij so parabole. Glede na splošni videz jih delimo v 3 skupine. Načela reševanja vseh vrst enačb so enaka.

Nič ni težko določiti vrste nepopolnega polinoma. Glavne razlike je najbolje upoštevati v ilustrativnih primerih:

1. Če je b = 0, je enačba ax 2 + c = 0.
2. Če je c = 0, potem je treba rešiti izraz ax 2 + bx = 0.
3. Če je b = 0 in c = 0, potem polinom postane enakost tipa ax 2 = 0.

Zadnji primer je bolj teoretična možnost in se nikoli ne pojavi pri preizkusih znanja, saj je edina resnična vrednost x v izrazu nič. V prihodnosti bodo obravnavane metode in primeri reševanja nepopolnih problemov. kvadratne enačbe 1) in 2) vrste.

Splošni algoritem za iskanje spremenljivk in primerov z rešitvijo

Ne glede na vrsto enačbe je algoritem rešitve zmanjšan na naslednje korake:

1. Prenesite izraz v obliko, ki je primerna za iskanje korenin.
2. Naredite izračune.
3. Zapišite odgovor.

Nepopolne enačbe je najlažje rešiti tako, da levo stran faktoriziramo in pustimo nič na desni strani. Tako se formula za nepopolno kvadratno enačbo za iskanje korenin zmanjša na izračun vrednosti x za vsakega od faktorjev.

Reševanja se lahko naučite le v praksi, zato razmislite konkreten primer iskanje korenin nepopolne enačbe:

Kot lahko vidite, je v tem primeru b = 0. Levo stran faktoriziramo in dobimo izraz:

4(x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Očitno je produkt enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Podobne zahteve izpolnjujejo vrednosti spremenljivke x1 = 0,5 in (ali) x2 = -0,5.

Da bi se enostavno in hitro spopadli z nalogo razgradnje kvadratni trinom množiteljev, si zapomnite naslednjo formulo:

Če v izrazu ni prostega izraza, je naloga močno poenostavljena. Dovolj bo le poiskati in odstraniti skupni imenovalec. Zaradi jasnosti si oglejte primer, kako rešiti nepopolne kvadratne enačbe v obliki ax2 + bx = 0.

Vzemimo spremenljivko x iz oklepajev in dobimo naslednji izraz:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Na podlagi logike sklepamo, da je x1 = 0 in x2 = -3.

Tradicionalni način reševanja in nepopolnih kvadratnih enačb

Kaj se bo zgodilo, če uporabimo diskriminantno formulo in poskušamo najti korenine polinoma s koeficienti enakimi nič? Vzemimo primer iz zbirke tipičnih nalog za Enotni državni izpit iz matematike v letu 2017, rešili ga bomo s standardnimi formulami in z metodo faktorizacije.

7x 2 - 3x = 0.

Izračunaj vrednost diskriminanta: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Izkazalo se je, da ima polinom dva korena:

Zdaj rešite enačbo s faktorjenjem in primerjajte rezultate.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Kot lahko vidite, obe metodi dajeta enak rezultat, vendar se je izkazalo, da je drugi način reševanja enačbe veliko lažji in hitrejši.

Vietin izrek

Toda kaj storiti z ljubljenim Vietovim izrekom? Ali je mogoče to metodo uporabiti z nepopolnim trinomom? Poskusimo razumeti vidike redukcije nepopolnih enačb na klasično obliko ax2 + bx + c = 0.

Pravzaprav je v tem primeru mogoče uporabiti Vietin izrek. Izraz je treba le spraviti v splošno obliko in nadomestiti manjkajoče izraze z ničlo.

Na primer, pri b = 0 in a = 1, da bi odpravili možnost zmede, je treba nalogo zapisati v obliki: ax2 + 0 + c = 0. Nato je razmerje vsote in produkta korenin in faktorje polinoma lahko izrazimo na naslednji način:

Teoretični izračuni pomagajo seznaniti se z bistvom vprašanja in vedno zahtevajo razvoj spretnosti pri reševanju posebne naloge. Ponovno se obrnimo na referenčno knjigo tipičnih nalog za izpit in poiščimo primeren primer:

Izraz zapišemo v obliki, ki je primerna za uporabo Vietinega izreka:

x2 + 0 - 16 = 0.

Naslednji korak je ustvariti sistem pogojev:

Očitno bodo koreni kvadratnega polinoma x 1 \u003d 4 in x 2 \u003d -4.

Zdaj pa vadimo enačbo v splošni obliki. Vzemite naslednji primer: 1/4× x 2 – 1 = 0

Če želite uporabiti izrek Vieta za izraz, se morate znebiti ulomka. Levo in desno stran pomnožite s 4 in poglejte rezultat: x2– 4 = 0. Nastalo enakost je pripravljeno rešiti z Vietovim izrekom, vendar je veliko lažje in hitreje dobiti odgovor preprosto s premikanjem c = 4 na desno stran enačbe: x2 = 4.

Če povzamemo, je treba povedati, da najboljši način rešitev nepopolnih enačb je faktorizacija, je najenostavnejša in hitra metoda. Če naletite na težave pri iskanju korenin, se lahko obrnete na tradicionalno metodo iskanja korenin prek diskriminanta.

Kvadratna enačba je enačba v obliki a*x^2 +b*x+c=0, kjer so a,b,c nekatera poljubna realna (realna) števila, x pa spremenljivka. In število a ni enako 0.

Številke a,b,c imenujemo koeficienti. Število a - imenujemo vodilni koeficient, število b je koeficient pri x, število c pa prosti člen. V nekateri literaturi najdemo tudi druga imena. Število a imenujemo prvi koeficient, število b pa drugi koeficient.

Klasifikacija kvadratnih enačb

Kvadratne enačbe imajo svojo klasifikacijo.

Glede na prisotnost koeficientov:

1. Polna

2. Nepopolna

Po vrednosti koeficienta najvišje stopnje neznanke(na vrednost vodilnega koeficienta):

1. Dano

2. Ni zmanjšano

Kvadratna enačba imenuje se popolnače vsebuje vse tri koeficiente in so različni. Splošna oblika polna kvadratna enačba: a*x^2 +b*x+c=0;

Kvadratna enačba imenujemo nepopolnače je v enačbi a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 eden od koeficientov b ali c enak nič (b \u003d 0 ali c \u003d 0), bo tudi nepopolna kvadratna enačba enačba, v kateri sta tako koeficient b kot koeficient c hkrati enaka nič (oba b=0 in c=0).

Omeniti velja, da tukaj ni nič povedano o vodilnem koeficientu, saj mora biti po definiciji kvadratne enačbe drugačen od nič.

danoče je njegov vodilni koeficient enako ena(a=1). Splošni pogled na dano kvadratno enačbo: x^2 +d*x+e=0.

Kvadratna enačba se imenuje nezmanjšana,če je vodilni koeficient v enačbi enak nič. Splošni pogled na nereducirano kvadratno enačbo: a*x^2 +b*x+c=0.

Treba je opozoriti, da je mogoče vsako nereducirano kvadratno enačbo reducirati na reducirano. Da bi to naredili, je treba koeficiente kvadratne enačbe deliti z vodilnim koeficientom.

Kvadratni primeri

Razmislite o primeru: imamo enačbo 2*x^2 - 6*x+7 =0;

Pretvorimo ga v zgornjo enačbo. Vodilni koeficient je 2. Z njim delimo koeficiente naše enačbe in zapišimo odgovor.

x^2 - 3*x+3,5 =0;

Kot ste opazili, je na desni strani kvadratne enačbe polinom druge stopnje a * x ^ 2 + b * x + c. Imenuje se tudi kvadratni trinom.

Ta tema se morda sprva zdi zapletena zaradi številnih ne tako preprostih formul. Ne samo, da imajo kvadratne enačbe dolge vnose, ampak tudi korenine najdemo prek diskriminanta. Skupaj so na voljo tri nove formule. Ni zelo enostavno zapomniti. To je mogoče šele po pogostem reševanju takšnih enačb. Potem si bodo vse formule zapomnile same.

Splošni pogled na kvadratno enačbo

Tukaj je predlagan njihov eksplicitni zapis, ko je najprej zapisana največja stopnja, nato pa - v padajočem vrstnem redu. Pogosto obstajajo situacije, ko se izrazi razlikujejo. Potem je bolje enačbo prepisati v padajočem vrstnem redu stopnje spremenljivke.

Naj uvedemo notacijo. Predstavljeni so v spodnji tabeli.

Če sprejmemo te zapise, se vse kvadratne enačbe zmanjšajo na naslednji zapis.

Poleg tega je koeficient a ≠ 0. Naj bo ta formula označena s številko ena.

Ko je enačba podana, ni jasno, koliko korenov bo v odgovoru. Ker je vedno možna ena od treh možnosti:

• rešitev bo imela dve korenini;
• odgovor bo ena številka;
• Enačba sploh nima korenin.

In čeprav odločitev ni končana, je težko razumeti, katera od možnosti bo izpadla v določenem primeru.

Vrste zapisov kvadratnih enačb

Naloge imajo lahko različne vnose. Ne izgledajo vedno tako splošna formula kvadratna enačba. Včasih mu bo manjkalo nekaj izrazov. Kar je bilo napisano zgoraj je popolna enačba. Če v njem odstranite drugi ali tretji izraz, dobite nekaj drugega. Te zapise imenujemo tudi kvadratne enačbe, le nepopolne.

Poleg tega lahko izginejo le izrazi, za katere koeficienta "b" in "c". Število "a" v nobenem primeru ne more biti enako nič. Ker se v tem primeru formula spremeni v linearno enačbo. Formule za nepopolno obliko enačb bodo naslednje:

Torej obstajata samo dve vrsti, poleg popolnih obstajajo tudi nepopolne kvadratne enačbe. Naj bo prva formula številka dve, druga pa številka tri.

Diskriminant in odvisnost števila korenin od njegove vrednosti

To število je treba poznati, da lahko izračunamo korenine enačbe. Vedno ga je mogoče izračunati, ne glede na to, kakšna je formula kvadratne enačbe. Za izračun diskriminanta morate uporabiti spodaj napisano enakost, ki bo imela številko štiri.

Po zamenjavi vrednosti koeficientov v to formulo lahko dobite številke različni znaki. Če je odgovor pritrdilen, bosta odgovor na enačbo dva različna korena. Z negativnim številom bodo koreni kvadratne enačbe odsotni. Če je enak nič, bo odgovor ena.

Kako se reši popolna kvadratna enačba?

Pravzaprav se je obravnava tega vprašanja že začela. Ker morate najprej najti diskriminanta. Ko je razjasnjeno, da obstajajo koreni kvadratne enačbe in je njihovo število znano, morate uporabiti formule za spremenljivke. Če obstajata dve korenini, potem morate uporabiti takšno formulo.

Ker vsebuje znak "±", bosta dve vrednosti. Podpisani izraz kvadratni koren je diskriminant. Zato je mogoče formulo prepisati na drugačen način.

Formula pet. Iz istega zapisa je razvidno, da če je diskriminanta nič, bosta oba korena zavzela enake vrednosti.

Če rešitev kvadratnih enačb še ni bila izdelana, je bolje, da pred uporabo diskriminantne in spremenljivke formule zapišete vrednosti vseh koeficientov. Kasneje ta trenutek ne bo povzročal težav. Toda na samem začetku je zmeda.

Kako se reši nepopolna kvadratna enačba?

Tukaj je vse veliko bolj preprosto. Tudi dodatne formule niso potrebne. In ne boste potrebovali tistih, ki so že napisani za diskriminatorno in neznano.

Najprej razmislite nepopolna enačba na številki dve. Pri tej enakosti naj bi neznano vrednost vzeli iz oklepaja in rešili linearno enačbo, ki bo ostala v oklepaju. Odgovor bo imel dve korenini. Prva je nujno enaka nič, ker obstaja faktor, ki ga sestavlja sama spremenljivka. Drugo dobimo z reševanjem linearne enačbe.

Nepopolno enačbo pri številki tri rešimo s prenosom števila z leve strani enačbe na desno. Nato morate deliti s koeficientom pred neznano. Ostaja samo, da izvlečete kvadratni koren in ga ne pozabite dvakrat zapisati z nasprotnimi predpisi.

Sledi nekaj dejanj, ki vam pomagajo pri učenju reševanja vseh vrst enakosti, ki se spremenijo v kvadratne enačbe. Študentu bodo pomagali, da se izogne ​​napakam zaradi nepazljivosti. Te pomanjkljivosti so vzrok za slabe ocene pri študiju obsežne teme »Kvadrične enačbe (8. razred)«. Kasneje teh dejanj ne bo treba nenehno izvajati. Ker bo stabilna navada.

• Najprej morate enačbo napisati v standardni obliki. Se pravi, najprej izraz z največjo stopnjo spremenljivke, nato pa - brez stopnje in zadnji - samo številka.

• Če se pred koeficientom "a" pojavi minus, lahko začetniku zaplete delo pri preučevanju kvadratnih enačb. Bolje se je znebiti. V ta namen je treba vso enakost pomnožiti z "-1". To pomeni, da bodo vsi izrazi spremenili predznak v nasprotno.

• Na enak način je priporočljivo, da se znebite frakcij. Enačbo preprosto pomnožite z ustreznim faktorjem, tako da se imenovalci izničijo.

Primeri

Potrebno je rešiti naslednje kvadratne enačbe:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva enačba: x 2 - 7x \u003d 0. Je nepopolna, zato se reši, kot je opisano za formulo številka dve.

Po oklepaju se izkaže: x (x - 7) \u003d 0.

Prvi koren ima vrednost: x 1 = 0. Drugi bomo našli iz linearna enačba: x - 7 = 0. Lahko vidimo, da je x 2 = 7.

Druga enačba: 5x2 + 30 = 0. Spet nepopolna. Rešuje se le tako, kot je opisano za tretjo formulo.

Po prenosu 30 na desno stran enačbe: 5x 2 = 30. Zdaj morate deliti s 5. Izkazalo se je: x 2 = 6. Odgovori bodo številke: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Tretja enačba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Tukaj in spodaj se bo rešitev kvadratnih enačb začela tako, da jih prepišemo v standardni pogled: - x 2 - 2x + 15 = 0. Zdaj je čas, da uporabimo drugo koristen nasvet in vse pomnožimo z minus ena. Izkazalo se je x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Po četrti formuli morate izračunati diskriminanto: D = 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. To je pozitivno število. Iz zgoraj navedenega se izkaže, da ima enačba dva korena. Izračunati jih je treba po peti formuli. Po njem se izkaže, da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Potem je x 1 = 3, x 2 = - 5.

Četrta enačba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 se pretvori v to: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njen diskriminanta je enaka tej vrednosti: -23. Ker je ta številka negativna, bo odgovor na to nalogo naslednji vnos: "Ni korenin."

Peto enačbo 12x + x 2 + 36 = 0 je treba prepisati na naslednji način: x 2 + 12x + 36 = 0. Po uporabi formule za diskriminanto dobimo število nič. To pomeni, da bo imel en koren, in sicer: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šesta enačba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahteva transformacije, ki so sestavljene iz dejstva, da morate pred odpiranjem oklepajev prinesti podobne člene. Namesto prvega bo takšen izraz: x 2 + 2x + 1. Po enakosti se pojavi ta vnos: x 2 + 3x + 2. Po štetju podobnih izrazov bo enačba dobila obliko: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepopolno. Podobno kot je že veljalo za malo višje. Korenini tega bosta številki 0 in 1.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 ali x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Ko sem se naučil reševati enačbe prve stopnje, seveda želim delati z drugimi, zlasti z enačbami druge stopnje, ki se sicer imenujejo kvadratne.

Kvadratne enačbe so enačbe tipa ax² + bx + c = 0, kjer je spremenljivka x, številke bodo - a, b, c, kjer a ni enako nič.

Če je v kvadratni enačbi en ali drugi koeficient (c ali b) enak nič, se bo ta enačba nanašala na nepopolno kvadratno enačbo.

Kako rešiti nepopolno kvadratno enačbo, če so učenci doslej znali reševati samo enačbe prve stopnje? Razmislite o nepopolnih kvadratnih enačbah različni tipi in preproste načine njihove odločitve.

a) Če je koeficient c enak 0, koeficient b pa ni enak nič, se ax ² + bx + 0 = 0 zmanjša na enačbo v obliki ax ² + bx = 0.

Če želite rešiti takšno enačbo, morate poznati formulo za reševanje nepopolne kvadratne enačbe, ki je sestavljena iz razgradnje leve strani na faktorje in kasneje uporabe pogoja, da je produkt enak nič.

Na primer, 5x ² - 20x \u003d 0. Levo stran enačbe razstavimo na faktorje, medtem ko delamo običajno matematična operacija: vzeti skupni faktor iz oklepajev

5x (x - 4) = 0

Uporabimo pogoj, da so produkti enaki nič.

5 x = 0 ali x - 4 = 0

Odgovor bo: prvi koren je 0; drugi koren je 4.

b) Če je b = 0 in prosti člen ni enak nič, se enačba ax ² + 0x + c = 0 zmanjša na enačbo oblike ax ² + c = 0. Rešite enačbe v dveh načini: a) razstavljanje polinoma enačbe na levi strani na faktorje ; b) z uporabo lastnosti aritmetičnega kvadratnega korena. Takšno enačbo rešimo z eno od metod, na primer:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Odgovor je: prvi koren je 5/2; drugi koren je - 5/2.

c) Če je b enak 0 in je c enak 0, se ax² + 0 + 0 = 0 zmanjša na enačbo v obliki ax² = 0. V takšni enačbi bo x enak 0.

Kot lahko vidite, imajo lahko nepopolne kvadratne enačbe največ dva korena.