Cum se definește o expresie identică egală. Transformări identitare ale expresiilor

Proprietățile de bază ale adunării și înmulțirii numerelor.

Proprietatea comutativă a adunării: atunci când termenii sunt rearanjați, valoarea sumei nu se modifică. Pentru orice numere a și b, egalitatea este adevărată

Proprietatea asociativă a adunării: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a două numere, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea la primul număr. Pentru orice numere a, b și c egalitatea este adevărată

Proprietatea comutativă a înmulțirii: permutarea factorilor nu modifică valoarea produsului. Pentru orice numere a, b și c, egalitatea este adevărată

Proprietatea asociativă a înmulțirii: pentru a înmulți produsul a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea.

Pentru orice numere a, b și c, egalitatea este adevărată

Proprietate distributivă: Pentru a înmulți un număr cu o sumă, puteți înmulți acel număr cu fiecare termen și adăugați rezultatele. Pentru orice numere a, b și c egalitatea este adevărată

Din proprietățile comutative și asociative ale adunării rezultă că în orice sumă puteți rearanja termenii după cum doriți și îi puteți combina în grupuri într-un mod arbitrar.

Exemplul 1 Să calculăm suma 1,23+13,5+4,27.

Pentru a face acest lucru, este convenabil să combinați primul termen cu al treilea. Primim:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Din proprietățile comutative și asociative ale înmulțirii rezultă: în orice produs, puteți rearanja factorii în orice fel și îi puteți combina în mod arbitrar în grupuri.

Exemplul 2 Să aflăm valoarea produsului 1,8 0,25 64 0,5.

Combinând primul factor cu al patrulea și al doilea cu al treilea, vom avea:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Proprietatea de distribuție este valabilă și atunci când numărul este înmulțit cu suma a trei sau mai mulți termeni.

De exemplu, pentru orice numere a, b, c și d, egalitatea este adevărată

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Știm că scăderea poate fi înlocuită cu adunare prin adăugarea la minuend a numărului opus scăderii:

Aceasta permite o expresie numerică tipul a-b consideram suma numerelor a si -b, consideram o expresie numerica de forma a + b-c-d ca suma numerelor a, b, -c, -d etc. Proprietatile luate in considerare ale actiunilor sunt valabile si pentru astfel de sume.

Exemplul 3 Să găsim valoarea expresiei 3,27-6,5-2,5+1,73.

Această expresie este suma numerelor 3,27, -6,5, -2,5 și 1,73. Aplicând proprietățile de adunare, obținem: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

Exemplul 4 Să calculăm produsul 36·().

Multiplicatorul poate fi considerat ca suma numerelor și -. Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, obținem:

36()=36-36=9-10=-1.

Identități

Definiție. Se spune că două expresii ale căror valori corespunzătoare sunt egale pentru orice valoare ale variabilelor sunt identice.

Definiție. O egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor se numește identitate.

Să găsim valorile expresiilor 3(x+y) și 3x+3y pentru x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Am obtinut acelasi rezultat. Din proprietatea distributivă rezultă că, în general, pentru orice valoare a variabilelor, valorile corespunzătoare ale expresiilor 3(x+y) și 3x+3y sunt egale.

Luați în considerare acum expresiile 2x+y și 2xy. Pentru x=1, y=2 ele iau valori egale:

Cu toate acestea, puteți specifica valorile x și y astfel încât valorile acestor expresii să nu fie egale. De exemplu, dacă x=3, y=4, atunci

Expresiile 3(x+y) și 3x+3y sunt identic egale, dar expresiile 2x+y și 2xy nu sunt identic egale.

Egalitatea 3(x+y)=x+3y, adevărată pentru orice valori ale lui x și y, este o identitate.

Egalitățile numerice adevărate sunt, de asemenea, considerate identități.

Deci, identitățile sunt egalități care exprimă principalele proprietăți ale acțiunilor asupra numerelor:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Alte exemple de identități pot fi date:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformări identitare ale expresiilor

Înlocuirea unei expresii cu alta, identic egală cu aceasta, se numește transformare identică sau pur și simplu transformare a unei expresii.

Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.

Pentru a găsi valoarea expresiei xy-xz având în vedere valorile x, y, z, trebuie să efectuați trei pași. De exemplu, cu x=2,3, y=0,8, z=0,2 obținem:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Acest rezultat poate fi obținut în doar două etape, folosind expresia x(y-z), care este identic egală cu expresia xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Am simplificat calculele prin înlocuirea expresiei xy-xz cu aceeași expresie egală x(y-z).

Transformările de identitate ale expresiilor sunt utilizate pe scară largă în calcularea valorilor expresiilor și rezolvarea altor probleme. Au fost deja efectuate unele transformări identice, de exemplu, reducerea termenilor similari, deschiderea parantezelor. Amintiți-vă regulile pentru efectuarea acestor transformări:

pentru a aduce termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei;

dacă în fața parantezelor există un semn plus, atunci parantezele pot fi omise, păstrând semnul fiecărui termen cuprins între paranteze;

dacă există un semn minus înaintea parantezelor, atunci parantezele pot fi omise prin schimbarea semnului fiecărui termen cuprins între paranteze.

Exemplul 1 Să adăugăm termeni similari în suma 5x+2x-3x.

Folosim regula pentru reducerea termenilor similari:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Această transformare se bazează pe proprietatea distributivă a înmulțirii.

Exemplul 2 Să extindem parantezele din expresia 2a+(b-3c).

Aplicarea regulii de deschidere a parantezelor precedate de semnul plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Transformarea efectuată se bazează pe proprietatea asociativă a adunării.

Exemplul 3 Să extindem parantezele din expresia a-(4b-c).

Să folosim regula pentru extinderea parantezelor precedate de semnul minus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Transformarea efectuată se bazează pe proprietatea distributivă a înmulțirii și proprietatea asociativă a adunării. Să o arătăm. Să reprezentăm al doilea termen -(4b-c) din această expresie ca produs (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Aplicând aceste proprietăți ale acțiunilor, obținem:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Expresii identitare, identitate. Transformarea identității unei expresii. Dovezi de identitate

Să găsim valorile expresiilor 2(x - 1) 2x - 2 pentru valorile date ale variabilei x. Scriem rezultatele într-un tabel:

Se poate concluziona că valorile expresiilor 2(x - 1) 2x - 2 pentru fiecare valoare dată variabilele x sunt egale între ele. Conform proprietății distributive a înmulțirii față de scăderea 2(x - 1) = 2x - 2. Prin urmare, pentru orice altă valoare a variabilei x, valoarea expresiei 2(x - 1) 2x - 2 va fi și ea egale între ele. Astfel de expresii sunt numite identic egale.

De exemplu, expresiile 2x + 3x și 5x sunt sinonime, deoarece pentru fiecare valoare a variabilei x, aceste expresii dobândesc aceleasi valori(aceasta rezultă din proprietatea distributivă a înmulțirii față de adunare, deoarece 2x + 3x = 5x).

Luați în considerare acum expresiile 3x + 2y și 5xy. Dacă x \u003d 1 și b \u003d 1, atunci valorile corespunzătoare ale acestor expresii sunt egale între ele:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Cu toate acestea, puteți specifica valori x și y pentru care valorile acestor expresii nu vor fi egale între ele. De exemplu, dacă x = 2; y = 0, atunci

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

În consecință, există astfel de valori ale variabilelor pentru care valorile corespunzătoare ale expresiilor 3x + 2y și 5xy nu sunt egale între ele. Prin urmare, expresiile 3x + 2y și 5xy nu sunt identic egale.

Pe baza celor de mai sus, identitățile, în special, sunt egalități: 2(x - 1) = 2x - 2 și 2x + 3x = 5x.

O identitate este orice egalitate, care este scrisă proprietăți cunoscute acțiuni asupra numerelor. De exemplu,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Există, de asemenea, egalități precum identitățile:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Dacă reducem termeni similari în expresia -5x + 2x - 9, obținem că 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. În acest caz, se spune că expresia 5x + 2x - 9 a fost înlocuită cu expresia 7x - 9, care este identic cu acesta.

Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează prin aplicarea proprietăților operațiilor asupra numerelor. În special, transformări identice cu deschiderea parantezelor, construcția de termeni similari și altele asemenea.

Transformări identice trebuie efectuate la simplificarea expresiei, adică înlocuirea unei expresii cu o expresie identică cu ea, care ar trebui să fie mai scurtă.

Exemplul 1. Simplificați expresia:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - A + 2 b + 3 b - A= 3a + 5b + 2.

Pentru a demonstra că egalitatea este o identitate (cu alte cuvinte, pentru a dovedi identitatea, se utilizează transformări identitare ale expresiilor.

Puteți dovedi identitatea în unul dintre următoarele moduri:

efectuează transformări identice ale părții stângi, reducându-l astfel la forma părții drepte;
efectuează transformări identice ale părții sale drepte, reducându-l astfel la forma părții stângi;
efectuează transformări identice ale ambelor părți ale sale, ridicând astfel ambele părți la aceleași expresii.

Exemplul 2. Demonstrați identitatea:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Dezvoltare

1) Să transformăm partea stângă a acestei egalități:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Prin transformări identice, expresia din partea stângă a egalității a fost redusă la forma laturii drepte și s-a dovedit astfel că această egalitate este o identitate.

2) Să transformăm partea dreaptă a acestei egalități:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Prin transformări identice, partea dreaptă a egalității a fost redusă la forma părții stângi și s-a dovedit astfel că această egalitate este o identitate.

3) În acest caz, este convenabil să simplificați ambele părți din stânga și din dreapta ale egalității și să comparați rezultatele:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Prin transformări identice, părțile stânga și dreaptă ale egalității au fost reduse la aceeași formă: 26x - 44. Prin urmare, această egalitate este o identitate.

Ce expresii se numesc identice? Dați un exemplu de expresii identice. Ce egalitate se numește identitate? Dați un exemplu de identitate. Ce se numește transformarea identitară a unei expresii? Cum se dovedește identitatea?

(Oral) Sau există expresii identice egale:

1) 2a + a și 3a;

2) 7x + 6 și 6 + 7x;

3) x + x + x și x 3;

4) 2(x - 2) și 2x - 4;

5) m - n și n - m;

6) 2a ∙ r și 2p ∙ a?

Sunt expresiile identice egale:

1) 7x - 2x și 5x;

2) 5a - 4 și 4 - 5a;

3) 4m + n și n + 4m;

4) a + a și a 2;

5) 3(a - 4) și 3a - 12;

6) 5m ∙ n și 5m + n?

(Verbal) Este identitatea egalității:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Deschide paranteza:

Deschide paranteza:

Reduceți termenii similari:

Numiți mai multe expresii care sunt identice cu expresiile 2a + 3a.
Simplificați expresia folosind proprietățile de permutare și conjunctive ale înmulțirii:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

Simplificați expresia:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Verbal) Simplificați expresia:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Reduceți termenii similari:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2p - 7) - 2(g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

Deschideți parantezele și reduceți termenii similari:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20) dacă x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4 dacă a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), dacă m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y dacă x = -1, y = 1.

Simplificați expresia și găsiți-i valoarea:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4) dacă x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, dacă v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), dacă a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n dacă m = 1,8; n = -0,9.

Dovediți identitatea:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

Dovediți identitatea:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

Lungimea uneia dintre laturile triunghiului este de un cm, iar lungimea fiecăreia dintre celelalte două laturi este cu 2 cm mai mare decât aceasta. Scrieți perimetrul triunghiului ca expresie și simplificați expresia.
Lățimea dreptunghiului este x cm și lungimea este cu 3 cm mai mult decât lățimea. Scrieți perimetrul dreptunghiului ca expresie și simplificați expresia.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Extindeți parantezele și simplificați expresia:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

Dovediți identitatea:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

Dovediți identitatea:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Demonstrați că valoarea expresiei

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) nu depinde de valoarea variabilei.

Demonstrați că pentru orice valoare a variabilei, valoarea expresiei

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

este același număr.

Demonstrați că suma a trei numere pare consecutive este divizibilă cu 6.
Demonstrați că dacă n este un număr natural, atunci valoarea expresiei -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) este un număr par.

Exerciții de repetat

Un aliaj care cântărește 1,6 kg conține 15% cupru. Câte kg de cupru sunt conținute în acest aliaj?
Ce procent este numărul 20 din:

1) pătrat;

Turistul a mers 2 ore pe jos și 3 ore a mers cu bicicleta. În total, turistul a parcurs 56 km. Aflați viteza cu care turistul a mers cu bicicleta dacă este cu 12 km/h mai mult decât viteza cu care a mers.

Sarcini interesante pentru studenții leneși

11 echipe participă la campionatul de fotbal al orașului. Fiecare echipă joacă un meci cu celelalte. Demonstrați că în orice moment al competiției există o echipă care a jucat un număr par de meciuri sau nu a jucat încă niciunul.

Luați în considerare două egalități:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Această egalitate va fi valabilă pentru orice valoare a variabilei a. Intervalul de valori valide pentru acea egalitate va fi întregul set de numere reale.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Această inegalitate va fi valabilă pentru toate valorile variabilei a, cu excepția unui egal cu zero. Intervalul de valori acceptabile pentru această inegalitate va fi întregul set de numere reale, cu excepția zero.

Despre fiecare dintre aceste egalități, se poate susține că va fi adevărat pentru orice valori admisibile ale variabilelor a. Astfel de ecuații în matematică se numesc identități.

Conceptul de identitate

O identitate este o egalitate care este adevărată pentru orice valori admisibile ale variabilelor. Dacă orice valori valide sunt înlocuite în această egalitate în loc de variabile, atunci trebuie să se obțină egalitatea numerică corectă.

Este de remarcat faptul că adevăratele egalități numerice sunt și identități. Identitățile, de exemplu, vor fi proprietăți ale acțiunilor asupra numerelor.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Dacă două expresii pentru orice variabile admisibile sunt, respectiv, egale, atunci astfel de expresii sunt numite identic egale. Mai jos sunt câteva exemple de expresii identice:

1. (a 2) 4 și a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) şi -a3*b2;

3. ((x 3 *x 8)/x) și x 10 .

Putem înlocui întotdeauna o expresie cu orice altă expresie identică cu prima. O astfel de înlocuire va fi o transformare identică.

Exemple de identitate

Exemplul 1: Sunt următoarele identități egalități:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Nu toate expresiile de mai sus vor fi identități. Dintre aceste egalități, doar 1,2 și 3 egalități sunt identități. Indiferent de numerele pe care le înlocuim în ele, în loc de variabilele a și b, obținem totuși egalitățile numerice corecte.

Dar egalitatea nu mai este o identitate. Pentru că nu pentru toate valorile admisibile această egalitate va fi îndeplinită. De exemplu, cu valorile a = 5 și b = 2, obțineți următorul rezultat:

Această egalitate nu este adevărată, deoarece numărul 3 nu este egal cu numărul -3.

Conversiile de identitate sunt munca pe care o facem cu expresii numerice și alfabetice, precum și cu expresii care conțin variabile. Efectuăm toate aceste transformări pentru a aduce expresia originală într-o formă care să fie convenabilă pentru rezolvarea problemei. Vom lua în considerare principalele tipuri de transformări identice în acest subiect.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Transformarea identității unei expresii. Ce este?

Pentru prima dată ne întâlnim cu conceptul de noi transformați identici în lecțiile de algebră din clasa a VII-a. Apoi ne familiarizăm mai întâi cu conceptul de expresii identice egale. Să ne ocupăm de conceptele și definițiile pentru a facilita asimilarea subiectului.

Definiția 1

Transformarea identității unei expresii sunt acțiuni efectuate pentru a înlocui expresia originală cu o expresie care va fi identic egală cu cea originală.

Adesea, această definiție este folosită într-o formă prescurtată, în care cuvântul „identic” este omis. Se presupune că în orice caz realizăm transformarea expresiei în așa fel încât să obținem o expresie identică cu cea originală, iar aceasta nu trebuie subliniată separat.

Să ilustrăm această definiție cu exemple.

Exemplul 1

Dacă înlocuim expresia x + 3 - 2 la expresia identic egală x+1, apoi efectuăm transformarea identică a expresiei x + 3 - 2.

Exemplul 2

Înlocuirea expresiei 2 a 6 cu expresia a 3 este transformarea identităţii, în timp ce înlocuirea expresiei X la expresie x2 nu este o transformare identică, deoarece expresiile Xși x2 nu sunt identic egali.

Vă atragem atenția asupra formei de scriere a expresiilor atunci când efectuați transformări identice. De obicei scriem expresia originală și expresia rezultată ca o egalitate. Deci, scrierea x + 1 + 2 = x + 3 înseamnă că expresia x + 1 + 2 a fost redusă la forma x + 3 .

Executarea secvențială a acțiunilor ne conduce la un lanț de egalități, care este mai multe transformări identice consecutive. Deci, înțelegem notația x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x ca o implementare secvențială a două transformări: în primul rând, expresia x + 1 + 2 a fost redusă la forma x + 3 și a fost redusă la forma 3 + x.

Transformări identitare și ODZ

O serie de expresii pe care începem să le studiem în clasa a 8-a nu au sens pentru nicio valoare a variabilelor. Efectuarea transformărilor identice în aceste cazuri necesită să acordăm atenție regiunii valorilor admisibile ale variabilelor (ODV). Efectuarea de transformări identice poate lăsa ODZ neschimbat sau îl poate restrânge.

Exemplul 3

La efectuarea unei tranziții de la expresie a + (−b) la expresie a-b intervalul de valori permise ale variabilelor Ași b ramâne acelasi.

Exemplul 4

Trecerea de la expresia x la expresia x 2 x duce la o restrângere a intervalului de valori acceptabile ale variabilei x din mulțimea tuturor numerelor reale la mulțimea tuturor numerelor reale, din care zero a fost exclus.

Exemplul 5

Transformarea identității unei expresii x 2 x expresia x duce la extinderea intervalului de valori acceptabile ale variabilei x din mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția zero, la mulțimea tuturor numerelor reale.

Îngustarea sau extinderea intervalului de valori admisibile ale variabilelor atunci când se efectuează transformări identice este importantă în rezolvarea problemelor, deoarece poate afecta acuratețea calculelor și poate duce la erori.

Transformări identitare de bază

Să vedem acum ce sunt transformări identice și cum sunt efectuate. Să evidențiem acele tipuri de transformări identice cu care trebuie să ne confruntăm cel mai adesea în grupul principal.

Pe lângă transformările de bază ale identităţii, există o serie de transformări care se referă la expresii de un anumit tip. Pentru fracții, acestea sunt metode de reducere și reducere la un nou numitor. Pentru expresiile cu rădăcini și puteri, toate acțiunile care sunt efectuate pe baza proprietăților rădăcinilor și puterilor. Pentru expresiile logaritmice, acțiunile care sunt efectuate pe baza proprietăților logaritmilor. Pentru expresiile trigonometrice, toate acțiunile folosesc formule trigonometrice. Toate aceste transformări particulare sunt discutate în detaliu în subiecte separate care pot fi găsite pe resursa noastră. Din acest motiv, nu ne vom opri asupra lor în acest articol.

Să trecem la luarea în considerare a principalelor transformări identice.

Rearanjarea termenilor, factorilor

Să începem prin a rearanja termenii. Ne confruntăm cel mai adesea cu această transformare identică. Și următoarea afirmație poate fi considerată regula principală aici: în orice sumă, rearanjarea termenilor pe alocuri nu afectează rezultatul.

Această regulă se bazează pe proprietățile comutative și asociative ale adunării. Aceste proprietăți ne permit să rearanjam termenii pe locuri și, în același timp, să obținem expresii care sunt identice cu cele originale. De aceea rearanjarea termenilor în locuri din sumă este o transformare identică.

Exemplul 6

Avem suma a trei termeni 3 + 5 + 7 . Dacă schimbăm termenii 3 și 5, atunci expresia va lua forma 5 + 3 + 7. Există mai multe opțiuni pentru rearanjarea termenilor în acest caz. Toate duc la obținerea unor expresii identice cu cea inițială.

Nu numai numerele, ci și expresiile pot acționa ca termeni în sumă. Ele, la fel ca și numerele, pot fi rearanjate fără a afecta rezultatul final al calculelor.

Exemplul 7

În suma a trei termeni 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 și - 12 a de forma 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) termenii a pot fi rearanjați, de exemplu, astfel (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . La rândul său, puteți rearanja termenii în numitorul fracției 1 a + b, în timp ce fracția va lua forma 1 b + a. Și expresia de sub semnul rădăcinii a 2 + 2 a + 5 este, de asemenea, o sumă în care termenii pot fi interschimbați.

La fel ca și termenii, în expresiile originale se pot schimba factorii și se pot obține ecuații identic corecte. Această acțiune este guvernată de următoarea regulă:

Definiția 2

În produs, rearanjarea factorilor pe alocuri nu afectează rezultatul calculului.

Această regulă se bazează pe proprietățile comutative și asociative ale înmulțirii, care confirmă corectitudinea transformării identice.

Exemplul 8

Muncă 3 5 7 permutarea factorilor poate fi reprezentată în una dintre următoarele forme: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 sau 3 7 5.

Exemplul 9

Permutarea factorilor din produsul x + 1 x 2 - x + 1 x va da x 2 - x + 1 x x + 1

Extindere suport

Parantezele pot conține intrări de expresii numerice și expresii cu variabile. Aceste expresii pot fi transformate în expresii identice egale, în care nu vor fi deloc paranteze sau vor fi mai puține decât în expresiile originale. Acest mod de conversie a expresiilor se numește extindere a parantezei.

Exemplul 10

Să efectuăm acțiuni cu paranteze într-o expresie a formei 3 + x − 1 x pentru a obține expresia identic adevărată 3 + x − 1 x.

Expresia 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x poate fi convertită în expresia identic egală fără paranteze 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Am discutat în detaliu regulile de conversie a expresiilor cu paranteze în subiectul „Extindere bracket”, care este postat pe resursa noastră.

Gruparea termenilor, factorilor

În cazurile în care avem de-a face cu trei sau mai mulți termeni, putem recurge la un astfel de tip de transformări identice ca o grupare de termeni. Prin această metodă de transformare se înțelege unirea mai multor termeni într-un grup prin rearanjarea lor și plasarea lor între paranteze.

La grupare, termenii sunt interschimbați în așa fel încât termenii grupați să fie în înregistrarea expresiei unul lângă celălalt. După aceea, ele pot fi incluse între paranteze.

Exemplul 11

Luați expresia 5 + 7 + 1 . Dacă grupăm primul termen cu al treilea, obținem (5 + 1) + 7 .

Gruparea factorilor se realizează în mod similar grupării termenilor.

Exemplul 12

În lucru 2 3 4 5 este posibil să grupăm primul factor cu al treilea, iar al doilea factor cu al patrulea, în acest caz ajungem la expresia (2 4) (3 5). Și dacă am grupa primul, al doilea și al patrulea factor, am obține expresia (2 3 5) 4.

Termenii și factorii care sunt grupați pot fi reprezentați atât prin numere prime, cât și prin expresii. Regulile de grupare au fost discutate în detaliu în subiectul „Termeni și factori de grupare”.

Înlocuirea diferențelor cu sume, produse parțiale și invers

Înlocuirea diferențelor cu sume a devenit posibilă datorită cunoașterii noastre cu numere opuse. Acum scăderea dintr-un număr A numere b poate fi văzută ca o adăugare la număr A numere −b. Egalitate a − b = a + (− b) poate fi considerat echitabil și, pe baza ei, efectuează înlocuirea diferențelor cu sume.

Exemplul 13

Luați expresia 4 + 3 − 2 , în care diferența de numere 3 − 2 putem scrie ca sumă 3 + (− 2) . obține 4 + 3 + (− 2) .

Exemplul 14

Toate diferențele de exprimare 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 pot fi înlocuite cu sume ca 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Putem trece la sume din orice diferențe. În mod similar, putem face o substituție inversă.

Înlocuirea împărțirii prin înmulțire cu reciproca divizorului este posibilă prin conceptul de numere reciproce. Această transformare poate fi scrisă ca a: b = a (b − 1).

Această regulă a stat la baza regulii de împărțire a fracțiilor obișnuite.

Exemplul 15

Privat 1 2: 3 5 poate fi înlocuit cu un produs de formă 1 2 5 3.

În mod similar, prin analogie, împărțirea poate fi înlocuită cu înmulțire.

Exemplul 16

În cazul expresiei 1+5:x:(x+3)înlocuiți diviziunea cu X poate fi înmulțit cu 1 x. Împărțirea după x + 3 putem înlocui prin înmulțirea cu 1 x + 3. Transformarea ne permite să obținem o expresie identică cu cea inițială: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Înlocuirea înmulțirii prin împărțire se efectuează conform schemei a b = a: (b − 1).

Exemplul 17

În expresia 5 x x 2 + 1 - 3, înmulțirea poate fi înlocuită cu împărțirea ca 5: x 2 + 1 x - 3.

Efectuarea de acțiuni cu numere

Efectuarea operațiunilor cu numere este supusă regulii de ordine a operațiilor. În primul rând, operațiile sunt efectuate cu puteri ale numerelor și rădăcini ale numerelor. După aceea, înlocuim logaritmii, funcțiile trigonometrice și alte funcții cu valorile lor. Apoi se execută acțiunile din paranteze. Și apoi puteți deja să efectuați toate celelalte acțiuni de la stânga la dreapta. Este important să rețineți că înmulțirea și împărțirea se efectuează înainte de adunare și scădere.

Operațiile cu numere vă permit să transformați expresia originală într-una identică egală cu aceasta.

Exemplul 18

Să transformăm expresia 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x efectuând toate operațiile posibile cu numere.

Decizie

În primul rând, să ne uităm la grad 2 3 și rădăcina 4 și calculați valorile lor: 2 3 = 8 și 4 = 2 2 = 2 .

Înlocuiți valorile obținute în expresia originală și obțineți: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Acum să facem parantezele: 8 − 1 = 7 . Și să trecem la expresia 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Trebuie doar să facem înmulțirea 3 și 7 . Se obține: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Răspuns: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Operațiile cu numere pot fi precedate de alte tipuri de transformări identice, cum ar fi gruparea numerelor sau parantezele extinse.

Exemplul 19

Luați expresia 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Decizie

În primul rând, vom schimba coeficientul dintre paranteze 6: 3 asupra sensului ei 2 . Se obține: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Să extindem parantezele: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Să grupăm factorii numerici din produs, precum și termenii care sunt numere: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Să facem parantezele: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Răspuns:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Dacă lucrăm cu expresii numerice, atunci scopul muncii noastre va fi găsirea valorii expresiei. Dacă transformăm expresii cu variabile, atunci scopul acțiunilor noastre va fi simplificarea expresiei.

Bracketing factorul comun

În cazurile în care termenii din expresie au același factor, atunci putem scoate acest factor comun din paranteze. Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să reprezentăm expresia originală ca produsul unui factor comun și o expresie între paranteze, care constă din termenii originali fără un factor comun.

Exemplul 20

Numeric 2 7 + 2 3 putem elimina factorul comun 2 în afara parantezelor și obțineți o expresie identică corectă a formei 2 (7 + 3).

Puteți reîmprospăta memoria regulilor pentru scoaterea factorului comun dintre paranteze în secțiunea corespunzătoare a resursei noastre. Materialul discută în detaliu regulile de eliminare a factorului comun din paranteze și oferă numeroase exemple.

Reducerea termenilor similari

Acum să trecem la sume care conțin termeni similari. Aici sunt posibile două opțiuni: sume care conțin aceiași termeni și sume ai căror termeni diferă printr-un coeficient numeric. Operațiile cu sume care conțin termeni similari se numesc reducerea termenilor similari. Se efectuează după cum urmează: scoatem partea comună a literei din paranteze și calculăm suma coeficienților numerici dintre paranteze.

Exemplul 21

Luați în considerare expresia 1 + 4 x − 2 x. Putem scoate partea literală a lui x din paranteze și obținem expresia 1 + x (4 − 2). Să calculăm valoarea expresiei dintre paranteze și să obținem suma formei 1 + x · 2 .

Înlocuirea numerelor și expresiilor cu expresii identice egale

Numerele și expresiile care alcătuiesc expresia originală pot fi înlocuite cu expresii care sunt identic egale cu acestea. O astfel de transformare a expresiei originale duce la o expresie care este identic egală cu aceasta.

Exemplul 22 Exemplul 23

Luați în considerare expresia 1 + a5, în care putem înlocui gradul a 5 cu un produs identic egal cu acesta, de exemplu, de forma a 4. Aceasta ne va da expresia 1 + a 4.

Transformarea efectuată este artificială. Are sens doar în pregătirea pentru alte transformări.

Exemplul 24

Luați în considerare transformarea sumei 4 x 3 + 2 x 2. Aici termenul 4x3 putem reprezenta ca produs 2 x 2 x 2 x. Ca urmare, expresia originală ia forma 2 x 2 2 x + 2 x 2. Acum putem izola factorul comun 2x2 si scoate-l din paranteze: 2 x 2 (2 x + 1).

Adunarea și scăderea aceluiași număr

Adunarea și scăderea aceluiași număr sau expresie în același timp este o tehnică artificială de transformare a expresiei.

Exemplul 25

Luați în considerare expresia x 2 + 2 x. Putem adăuga sau scădea una din el, ceea ce ne va permite să efectuăm ulterior o altă transformare identică - să selectăm pătratul binomului: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Având o idee despre identități , este logic să trecem la cunoștință cu . În acest articol, vom răspunde la întrebarea ce sunt expresii identice egale și, de asemenea, folosind exemple, ne vom da seama care expresii sunt identice și care nu.

Navigare în pagină.

Ce sunt expresii identice egale?

Definiția expresiilor identic egale este dată în paralel cu definiția identității. Acest lucru se întâmplă la ora de algebră din clasa a VII-a. În manualul de algebră pentru 7 clase, autorul Yu. N. Makarychev oferă următoarea formulare:

Definiție.

sunt expresii ale căror valori sunt egale pentru orice valori ale variabilelor incluse în acestea. Expresiile numerice care corespund acelorași valori sunt, de asemenea, numite identic egale.

Această definiție este folosită până la clasa 8, este valabilă pentru expresii întregi, deoarece au sens pentru orice valoare a variabilelor incluse în ele. Iar în clasa a 8-a este specificată definiția expresiilor identic egale. Să explicăm cu ce este legat.

În clasa a 8-a începe studiul altor tipuri de expresii, care, spre deosebire de expresiile întregi, pot să nu aibă sens pentru unele valori ale variabilelor. Acest lucru face necesar să se introducă definiții ale valorilor admisibile și invalide ale variabilelor, precum și gama de valori admisibile ale ODV a unei variabile și, ca urmare, să se clarifice definiția expresiilor identice egale.

Definiție.

Sunt numite două expresii ale căror valori sunt egale pentru toate valorile admisibile ale variabilelor lor expresii identice egale. Se spune că două expresii numerice care au aceeași valoare sunt, de asemenea, identice.

În această definiție a expresiilor identice egale, merită clarificat sensul expresiei „pentru toate valorile admisibile ale variabilelor incluse în acestea”. Implica toate astfel de valori ale variabilelor pentru care ambele expresii identice egale au sens simultan. Această idee va fi clarificată în secțiunea următoare, luând în considerare exemple.

Definiția expresiilor identice egale în manualul lui A. G. Mordkovich este dată puțin diferit:

Definiție.

Expresii identice egale sunt expresii din partea stângă și dreaptă a identității.

În sens, aceasta și definițiile anterioare coincid.

Exemple de expresii identice egale

Definițiile introduse în subsecțiunea precedentă ne permit să aducem exemple de expresii identice egale.

Să începem cu expresii numerice identice. Expresiile numerice 1+2 și 2+1 sunt identice, deoarece corespund valorilor egale 3 și 3. Expresiile 5 și 30:6 sunt, de asemenea, identice, la fel ca și expresiile (2 2) 3 și 2 6 (valorile ultimelor expresii sunt egale datorită ). Dar expresiile numerice 3+2 și 3−2 nu sunt identice, deoarece corespund valorilor 5 și, respectiv, 1, dar nu sunt egale.

Acum dăm exemple de expresii identice cu variabile. Acestea sunt expresiile a+b și b+a . Într-adevăr, pentru orice valoare a variabilelor a și b, expresiile scrise iau aceleași valori (care rezultă din numere). De exemplu, cu a=1 și b=2 avem a+b=1+2=3 și b+a=2+1=3 . Pentru orice alte valori ale variabilelor a și b, vom obține și valori egale ale acestor expresii. Expresiile 0·x·y·z și 0 sunt, de asemenea, identic egale pentru orice valori ale variabilelor x, y și z. Dar expresiile 2 x și 3 x nu sunt identice, deoarece, de exemplu, la x=1 valorile lor nu sunt egale. Într-adevăr, pentru x=1, expresia 2 x este 2 1=2 , iar expresia 3 x este 3 1=3 .

Când zonele de valori admisibile ale variabilelor din expresii coincid, ca, de exemplu, în expresiile a+1 și 1+a, sau a b 0 și 0, sau și, iar valorile acestor expresii sunt egale pentru toate valorile variabilelor din aceste zone, atunci aici totul este clar - aceste expresii sunt identice pentru toate valorile admisibile ale variabilelor incluse în ele. Deci a+1≡1+a pentru orice a , expresiile a b 0 și 0 sunt identic egale pentru orice valori ale variabilelor a și b , iar expresiile și sunt identic egale pentru toate x din ; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.