Mai simplu spus, acestea sunt ecuații în care există cel puțin una cu o variabilă la numitor.

De exemplu:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exemplu nu fracționat ecuații raționale:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Cum se rezolvă ecuațiile raționale fracționale?

Principalul lucru de reținut despre ecuațiile raționale fracționale este că trebuie să scrieți în ele. Și după ce găsiți rădăcinile, asigurați-vă că le verificați pentru admisibilitate. În caz contrar, pot apărea rădăcini străine, iar întreaga soluție va fi considerată incorectă.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale:

Scrieți și „rezolvați” ODZ.

Înmulțiți fiecare termen din ecuație cu un numitor comun și reduceți fracțiile rezultate. Numitorii vor dispărea.

Scrieți ecuația fără a deschide paranteze.

Rezolvați ecuația rezultată.

Verificați rădăcinile găsite cu ODZ.

Scrieți ca răspuns rădăcinile care au trecut testul de la pasul 7.

Nu memorați algoritmul, 3-5 ecuații rezolvate - și va fi reținut de la sine.

Exemplu . Rezolvați ecuația rațională fracțională \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Decizie:

Răspuns: \(3\).

Exemplu . Aflați rădăcinile ecuației raționale fracționale \(=0\)

Decizie:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Notăm și „rezolvăm” ODZ. Extindeți \(x^2+7x+10\) în formula: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Din fericire, \(x_1\) și \(x_2\) le-am găsit deja.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Evident, numitorul comun al fracțiilor: \((x+2)(x+5)\). Înmulțim întreaga ecuație cu ea.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Reducem fracțiile
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Deschiderea parantezelor
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Dăm condiții asemănătoare
\(2x^2+9x-5=0\)		Găsirea rădăcinilor ecuației
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Una dintre rădăcini nu se potrivește sub ODZ, așa că, ca răspuns, notăm doar a doua rădăcină.

Răspuns: \(\frac(1)(2)\).

Decizie ecuații raționale fracționale

Ghid de ajutor

Ecuațiile raționale sunt ecuații în care sunt atât partea stângă, cât și cea dreaptă expresii raționale.

(Reamintim că expresiile raționale sunt numere întregi și expresii fracționale fără radicali, inclusiv operații de adunare, scădere, înmulțire sau împărțire - de exemplu: 6x; (m – n)2; x/3y etc.)

Ecuațiile fracționale-raționale, de regulă, sunt reduse la forma:

Unde P(X) și Q(X) sunt polinoame.

Pentru a rezolva astfel de ecuații, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu Q(x), ceea ce poate duce la rădăcini străine. Prin urmare, la rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, este necesar să se verifice rădăcinile găsite.

O ecuație rațională se numește întreg, sau algebrică, dacă nu are o împărțire printr-o expresie care conține o variabilă.

Exemple de ecuație rațională întreagă:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Dacă într-o ecuație rațională există o împărțire printr-o expresie care conține variabila (x), atunci ecuația se numește rațional fracțional.

Un exemplu de ecuație rațională fracțională:

15
x + - = 5x - 17
X

Ecuațiile raționale fracționale sunt de obicei rezolvate după cum urmează:

1) găsiți un numitor comun al fracțiilor și înmulțiți ambele părți ale ecuației cu acesta;

2) rezolvați întreaga ecuație rezultată;

3) excludeți din rădăcinile sale pe cele care transformă numitorul comun al fracțiilor la zero.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor raționale întregi și fracționale.

Exemplul 1. Rezolvați întreaga ecuație

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Decizie:

Găsirea celui mai mic numitor comun. Acesta este 6. Împărțiți 6 la numitor și înmulțiți rezultatul cu numărătorul fiecărei fracții. Obținem o ecuație echivalentă cu aceasta:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Din partea stângă și dreaptă același numitor, poate fi omis. Atunci avem o ecuație mai simplă:

3(x - 1) + 4x = 5x.

O rezolvăm deschizând paranteze și reducând termenii similari:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Exemplu rezolvat.

Exemplul 2. Rezolvați o ecuație rațională fracțională

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

Găsim un numitor comun. Acesta este x(x - 5). Asa de:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Acum scăpăm din nou de numitor, deoarece este același pentru toate expresiile. Reducem termeni similari, echivalăm ecuația la zero și obținem ecuație pătratică:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

După ce am rezolvat ecuația pătratică, găsim rădăcinile acesteia: -2 și 5.

Să verificăm dacă aceste numere sunt rădăcinile ecuației originale.

Pentru x = –2, numitorul comun x(x – 5) nu dispare. Deci -2 este rădăcina ecuației originale.

La x = 5, numitorul comun dispare, iar două dintre cele trei expresii își pierd sensul. Deci numărul 5 nu este rădăcina ecuației originale.

Răspuns: x = -2

Mai multe exemple

Exemplul 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.

Răspuns: -2,2; 6.

Exemplul 2

T. Kosyakova,
școala N№ 80, Krasnodar

Rezolvarea ecuațiilor pătratice și fracționale-raționale care conțin parametri

Lecția 4

Subiectul lecției:

Scopul lecției: pentru a forma capacitatea de a rezolva ecuații fracționale-raționale care conțin parametri.

Tip de lecție: introducerea de material nou.

1. (Oral.) Rezolvați ecuațiile:

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

Decizie.

Găsiți valori nevalide A:

Răspuns. În cazul în care un dacă A = – 19 , atunci nu există rădăcini.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația

Decizie.

Găsiți valori nevalide ale parametrilor A :

10 – A = 5, A = 5;

10 – A = A, A = 5.

Răspuns. În cazul în care un A = 5 A № 5 , apoi x=10– A .

Exemplul 3. La ce valori ale parametrului b ecuația Are:

a) două rădăcini b) singura rădăcină?

Decizie.

1) Găsiți valori nevalide ale parametrilor b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 sau b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 sau b = – 2.

2) Rezolvați ecuația x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

A)

Excluderea valorilor parametrilor nevalide b , obținem că ecuația are două rădăcini, dacă b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, dar aceasta este o valoare a parametrului nevalidă b ; dacă b 2 –1=0 , adică b=1 sau.

Răspuns: a) dacă b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , apoi două rădăcini; b) dacă b=1 sau b=-1 , apoi singura rădăcină.

Muncă independentă

Opțiunea 1

Rezolvați ecuațiile:

Opțiunea 2

Rezolvați ecuațiile:

Răspunsuri

ÎN 1. si daca A=3 , atunci nu există rădăcini; dacă b) dacă dacă A № 2 , atunci nu există rădăcini.

ÎN 2.În cazul în care un A=2 , atunci nu există rădăcini; dacă A=0 , atunci nu există rădăcini; dacă
b) dacă A=– 1 , atunci ecuația își pierde sensul; dacă atunci nu există rădăcini;
dacă

Temă pentru acasă.

Rezolvați ecuațiile:

Răspunsuri: a) Dacă A № –2 , apoi x= A ; dacă A=–2 , atunci nu există soluții; b) dacă A № –2 , apoi x=2; dacă A=–2 , atunci nu există soluții; c) dacă A=–2 , apoi X- orice alt număr decât 3 ; dacă A № –2 , apoi x=2; d) dacă A=–8 , atunci nu există rădăcini; dacă A=2 , atunci nu există rădăcini; dacă

Lecția 5

Subiectul lecției:„Rezolvarea ecuațiilor fracționale-raționale care conțin parametri”.

Obiectivele lecției:

invatarea rezolvarii ecuatiilor cu o conditie nestandard;
asimilarea conștientă de către studenți a conceptelor algebrice și a relațiilor dintre acestea.

Tip de lecție: sistematizare și generalizare.

Verificarea temelor.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

a) relativ la x; b) relativ la y.

Decizie.

a) Găsiți valori nevalide y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– valoarea parametrului nevalidă y.

În cazul în care un y№ 0 , apoi x=y-2; dacă y=0, atunci ecuația își pierde sensul.

b) Găsiți valori nevalide ale parametrilor X: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– valoarea parametrului nevalidă X; y(2+x-y)=0, y=0 sau y=2+x;

y=0 nu satisface conditia y(y–x)№ 0 .

Răspuns: a) dacă y=0, atunci ecuația își pierde sensul; dacă y№ 0 , apoi x=y-2; b) dacă x=0 X№ 0 , apoi y=2+x .

Exemplul 2. Pentru ce valori întregi ale parametrului a sunt rădăcinile ecuației aparțin intervalului

D = (3 A + 2) 2 – 4A(A+ 1) 2 = 9 A 2 + 12A + 4 – 8A 2 – 8A,

D = ( A + 2) 2 .

În cazul în care un A № 0 sau A № – 1 , apoi

Răspuns: 5 .

Exemplul 3. Găsiți relativ X soluții întregi ale ecuației

Răspuns. În cazul în care un y=0, atunci ecuația nu are sens; dacă y=–1, apoi X- orice număr întreg, altul decât zero; dacă y# 0, y# – 1, atunci nu există soluții.

Exemplul 4 Rezolvați ecuația cu parametrii A și b .

În cazul în care un A№ – b , apoi

Răspuns. În cazul în care un a= 0 sau b= 0 , atunci ecuația își pierde sensul; dacă A№ 0,b№ 0, a=-b , apoi X- orice alt număr decât zero; dacă A№ 0,b№ 0,a№ -b apoi x=-a, x=-b .

Exemplul 5. Demonstrați că pentru orice valoare diferită de zero a parametrului n, ecuația are o singură rădăcină egală cu – n .

Decizie.

adică x=-n, ceea ce urma să fie dovedit.

Temă pentru acasă.

1. Găsiți soluții întregi ale ecuației

2. La ce valori ale parametrului c ecuația Are:
a) două rădăcini b) singura rădăcină?

3. Găsiți toate rădăcinile întregi ale ecuației dacă A O N .

4. Rezolvați ecuația 3xy - 5x + 5y = 7: a) relativ y; b) relativ X .

1. Ecuația este satisfăcută de orice valori întregi egale ale lui x și y, altele decât zero.
2. a) Când
b) la sau
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Dacă atunci nu există rădăcini; dacă
b) dacă atunci nu există rădăcini; dacă

Test

Opțiunea 1

1. Determinați tipul de ecuație 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 la o) c=-3; b) c=2;în) c=4 .

2. Rezolvați ecuațiile: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; în)

3. Rezolvați ecuația 3x-xy-2y=1:

a) relativ X ;
b) relativ y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0,știind că parametrul n ia doar valori întregi.

5. Pentru ce valori ale lui b are ecuația Are:

a) două rădăcini
b) singura rădăcină?

Opțiunea 2

1. Determinați tipul de ecuație 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 la o) c=-4; b) c=7;în) c=1 .

2. Rezolvați ecuațiile: a) y2 +cy=0; b) ny2 –8y+2=0;în)

3. Rezolvați ecuația 6x-xy+2y=5:

a) relativ X ;
b) relativ y .

4. Aflați rădăcinile întregi ale ecuației nx 2 -22x+2n=0 ,știind că parametrul n ia doar valori întregi.

5. Pentru ce valori ale parametrului a ecuația Are:

a) două rădăcini
b) singura rădăcină?

Răspunsuri

ÎN 1. 1. a) Ecuație liniară;
b) ecuație pătratică incompletă; c) o ecuaţie pătratică.
2. a) Dacă b=0, apoi x=0; dacă b#0, apoi x=0, x=b;
b) dacă cО (9;+Ґ ), atunci nu există rădăcini;
c) dacă A=–4 , atunci ecuația își pierde sensul; dacă A№ –4 , apoi x=- A .
3. a) Dacă y=3, atunci nu există rădăcini; dacă);
b) A=–3, A=1.

Sarcini suplimentare

Rezolvați ecuațiile:

Literatură

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Despre parametrii de la bun început. - Tutor, nr 2/1991, p. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Conditiile necesareîn sarcini cu parametri. – Kvant, nr. 11/1991, p. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Rezolvarea problemelor, conținând parametri. Partea 2. - M., Perspectivă, 1990, p. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Cinci sute paisprezece sarcini cu parametri. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Sarcini cu parametri. - M., Educaţie, 1986.

În acest articol vă voi arăta algoritmi pentru rezolvarea a șapte tipuri de ecuații raționale, care se reduc la pătrate prin modificarea variabilelor. În cele mai multe cazuri, transformările care duc la înlocuire sunt foarte netriviale și este destul de dificil să le ghiciți singur.

Pentru fiecare tip de ecuație, voi explica cum să faceți o modificare a variabilei în ea, iar apoi voi arăta o soluție detaliată în tutorialul video corespunzător.

Aveți ocazia să continuați să rezolvați singuri ecuațiile și apoi să vă verificați soluția cu tutorialul video.

Deci, să începem.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Rețineți că produsul dintre patru paranteze este în partea stângă a ecuației, iar numărul este în partea dreaptă.

1. Să grupăm parantezele cu două, astfel încât suma termenilor liberi să fie aceeași.

2. Înmulțiți-le.

3. Să introducem o schimbare de variabilă.

În ecuația noastră, grupăm prima paranteză cu a treia, iar a doua cu a patra, deoarece (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

În acest moment, modificarea variabilei devine evidentă:

Obținem ecuația

Răspuns:

2 .

O ecuație de acest tip este similară cu cea anterioară cu o diferență: în partea dreaptă a ecuației se află produsul unui număr prin. Și se rezolvă într-un mod complet diferit:

1. Grupăm parantezele câte două, astfel încât produsul termenilor liberi să fie același.

2. Înmulțim fiecare pereche de paranteze.

3. Din fiecare factor, scoatem x din paranteză.

4. Împărțiți ambele părți ale ecuației la .

5. Introducem o schimbare de variabilă.

În această ecuație, grupăm prima paranteză cu a patra, iar a doua cu a treia, deoarece:

Rețineți că în fiecare paranteză coeficientul la și termenul liber sunt aceleași. Să scoatem multiplicatorul din fiecare paranteză:

Deoarece x=0 nu este rădăcina ecuației originale, împărțim ambele părți ale ecuației la . Primim:

Obtinem ecuatia:

Răspuns:

3 .

Rețineți că numitorii ambelor fracții conțin trinoame pătrate, al cărui coeficient de conducere și termen liber sunt aceleași. Scoatem, ca în ecuația celui de-al doilea tip, x din paranteză. Primim:

Împărțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții la x:

Acum putem introduce o schimbare de variabilă:

Obținem ecuația pentru variabila t:

4 .

Rețineți că coeficienții ecuației sunt simetrici față de cel central. O astfel de ecuație se numește returnabil .

Pentru a o rezolva

1. Împărțiți ambele părți ale ecuației la (Putem face acest lucru deoarece x=0 nu este rădăcina ecuației.) Obținem:

2. Grupați termenii în acest fel:

3. În fiecare grup, scoatem factorul comun:

4. Să introducem un înlocuitor:

5. Să exprimăm expresia în termeni de t:

De aici

Obținem ecuația pentru t:

Răspuns:

5. Ecuații omogene.

Ecuațiile care au structura uneia omogene pot fi întâlnite la rezolvarea exponențială, logaritmică și ecuații trigonometrice, deci trebuie recunoscut.

Ecuațiile omogene au următoarea structură:

În această egalitate, A, B și C sunt numere, iar aceleași expresii sunt indicate printr-un pătrat și un cerc. Adică, în partea stângă a ecuației omogene se află suma monomiilor care au același grad (în acest caz, gradul monomiilor este 2) și nu există termen liber.

Pentru a rezolva ecuația omogenă, împărțim ambele părți la

Atenţie! Când împărțiți părțile din dreapta și din stânga ecuației la o expresie care conține o necunoscută, puteți pierde rădăcinile. Prin urmare, este necesar să verificăm dacă rădăcinile expresiei prin care împărțim ambele părți ale ecuației sunt rădăcinile ecuației originale.

Să mergem pe primul drum. Obtinem ecuatia:

Acum introducem o substituție de variabilă:

Simplificați expresia și obțineți o ecuație biquadratică pentru t:

Răspuns: sau

7 .

Această ecuație are următoarea structură:

Pentru a o rezolva, trebuie să selectați pătratul complet din partea stângă a ecuației.

Pentru a selecta un pătrat complet, trebuie să adăugați sau să scădeți produsul dublu. Apoi obținem pătratul sumei sau al diferenței. Acest lucru este esențial pentru o substituție reușită a variabilei.

Să începem prin a găsi produsul dublu. Va fi cheia pentru a înlocui variabila. În ecuația noastră, produsul dublu este

Acum să ne dăm seama ce este mai convenabil să avem - pătratul sumei sau al diferenței. Luați în considerare, pentru început, suma expresiilor:

Amenda! această expresie este exact egală cu dublul produsului. Apoi, pentru a obține pătratul sumei între paranteze, trebuie să adăugați și să scădeți produsul dublu:

Ecuațiile cu fracții în sine nu sunt dificile și foarte interesante. Luați în considerare tipurile ecuații fracționaleși modalități de a le rezolva.

Cum se rezolvă ecuații cu fracții - x la numărător

Dacă este dată o ecuație fracțională, unde necunoscuta este la numărător, soluția nu necesită condiții suplimentare și se rezolvă fără bataie suplimentară. Forma generală o astfel de ecuație este x/a + b = c, unde x este o necunoscută, a, b și c sunt numere obișnuite.

Aflați x: x/5 + 10 = 70.

Pentru a rezolva ecuația, trebuie să scapi de fracții. Înmulțiți fiecare termen al ecuației cu 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x și 5 se reduce, 10 și 70 se înmulțesc cu 5 și obținem: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Aflați x: x/5 + x/10 = 90.

Acest exemplu este o versiune puțin mai complicată față de primul. Există două soluții aici.

• Opțiunea 1: Scăpați de fracții înmulțind toți termenii ecuației cu numitorul mai mare, adică cu 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Opțiunea 2: Adăugați partea stângă a ecuației. x/5 + x/10 = 90. Numitorul comun este 10. Împărțiți 10 la 5, înmulțiți cu x, obținem 2x. 10 împărțit la 10, înmulțit cu x, obținem x: 2x+x/10 = 90. Prin urmare 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Adesea există ecuații fracționale în care x-urile sunt pe părțile opuse ale semnului egal. Într-o astfel de situație, este necesar să transferați toate fracțiile cu x într-o direcție, iar numerele în alta.

• Aflați x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Mutați 2x/5 la dreapta cu semnul opus: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Reducem 5x/5 și obținem: x = 130.

Cum se rezolvă o ecuație cu fracții - x la numitor

Acest tip de ecuații fracționale necesită scrierea unor condiții suplimentare. Indicarea acestor condiții este o parte obligatorie și integrantă decizia corectă. Dacă nu le atribuiți, riscați, deoarece răspunsul (chiar dacă este corect) poate pur și simplu să nu fie luat în considerare.

Forma generală a ecuațiilor fracționale, unde x este la numitor, este: a/x + b = c, unde x este o necunoscută, a, b, c sunt numere ordinare. Rețineți că x poate să nu fie orice număr. De exemplu, x nu poate fi zero, deoarece nu puteți împărți la 0. Aceasta este ceea ce este condiție suplimentară, pe care trebuie să o precizăm. Aceasta se numește intervalul de valori acceptabile, prescurtat - ODZ.

Aflați x: 15/x + 18 = 21.

Scriem imediat ODZ pentru x: x ≠ 0. Acum că este indicată ODZ, rezolvăm ecuația folosind schema standard scăpând de fracții. Înmulțim toți termenii ecuației cu x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Adesea există ecuații în care numitorul conține nu numai x, ci și o altă operație cu acesta, de exemplu, adunarea sau scăderea.

Aflați x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Știm deja că numitorul nu poate fi egal cu zero, ceea ce înseamnă x-3 ≠ 0. Transferăm -3 în partea dreaptă, schimbând semnul „-” în „+” și obținem că x ≠ 3. ODZ este indicat.

Rezolvați ecuația, înmulțiți totul cu x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Mutați x-urile la dreapta, numerele la stânga: 24 = 3x => x = 8.