Calculator de inginerie online

Ne grăbim să prezentăm tuturor un calculator de inginerie gratuit. Cu el, orice student poate efectua rapid și, cel mai important, cu ușurință diverse tipuri de calcule matematice online.

Calculatorul este preluat de pe site - calculator stiintific web 2.0

Un calculator de inginerie simplu și ușor de utilizat, cu o interfață discretă și intuitivă, va fi cu adevărat util pentru cea mai largă gamă de utilizatori de internet. Acum, când aveți nevoie de un calculator, vizitați site-ul nostru web și utilizați calculatorul de inginerie gratuit.

Un calculator de inginerie poate efectua atât operații aritmetice simple, cât și calcule matematice destul de complexe.

Web20calc este un calculator de inginerie care are un număr mare de funcții, de exemplu, cum se calculează toate funcțiile elementare. Calculatorul acceptă, de asemenea, funcții trigonometrice, matrici, logaritmi și chiar grafice.

Fără îndoială, Web20calc va fi de interes pentru acel grup de oameni care, în căutarea unor soluții simple, tastează în motoarele de căutare o interogare: un calculator matematic online. Aplicația web gratuită vă va ajuta să calculați instantaneu rezultatul oricărei expresii matematice, de exemplu, scădeți, adăugați, împărțiți, extrageți rădăcina, ridicați la o putere etc.

În expresie, puteți utiliza operațiile de exponențiere, adunare, scădere, înmulțire, împărțire, procent, constantă PI. Parantezele trebuie folosite pentru calcule complexe.

Caracteristicile calculatorului de inginerie:

1. operații aritmetice de bază;
2. lucrul cu numere într-o formă standard;
3. calculul rădăcinilor trigonometrice, funcțiilor, logaritmilor, exponențiației;
4. calcule statistice: adunare, medie aritmetică sau abatere standard;
5. aplicarea unei celule de memorie și funcții utilizator a 2 variabile;
6. lucrați cu unghiuri în radiani și măsuri de grade.

Calculatorul de inginerie permite utilizarea unei varietăți de funcții matematice:

Extragerea rădăcinilor (rădăcină pătrată, rădăcină cubică, precum și rădăcina de gradul n);
ex (e la x putere), exponent;
funcții trigonometrice: sinus - sin, cosinus - cos, tangentă - tan;
funcții trigonometrice inverse: arcsinus - sin-1, arccosinus - cos-1, arctangent - tan-1;
funcții hiperbolice: sinus - sinh, cosinus - cosh, tangentă - tanh;
logaritmi: logaritmul binar din baza doi este log2x, logaritmul din baza zece din baza zece este log, logaritmul natural este ln.

Acest calculator de inginerie include, de asemenea, un calculator de cantități cu capacitatea de a converti cantități fizice pentru diferite sisteme de măsurare - unități computerizate, distanță, greutate, timp etc. Cu această funcție, puteți converti instantaneu mile în kilometri, lire în kilograme, secunde în ore etc.

Pentru a face calcule matematice, introduceți mai întâi o secvență de expresii matematice în câmpul corespunzător, apoi faceți clic pe semnul egal și vedeți rezultatul. Puteți introduce valori direct de la tastatură (pentru aceasta, zona calculatorului trebuie să fie activă, prin urmare, va fi util să puneți cursorul în câmpul de introducere). Printre altele, datele pot fi introduse folosind butoanele calculatorului propriu-zis.

Pentru a construi grafice în câmpul de introducere, scrieți funcția așa cum este indicat în câmpul exemplu sau utilizați bara de instrumente special concepută pentru aceasta (pentru a merge la ea, faceți clic pe butonul cu pictograma sub formă de grafic). Pentru a converti valori, apăsați Unitate, pentru a lucra cu matrice - Matrice.

Primul nivel

Conversia expresiei. Teoria detaliată (2019)

Adesea auzim această frază neplăcută: „simplificați expresia”. De obicei, în acest caz, avem un fel de monstru ca acesta:

„Da, mult mai ușor”, spunem noi, dar un astfel de răspuns de obicei nu funcționează.

Acum vă voi învăța să nu vă fie frică de astfel de sarcini.

Mai mult, la sfârșitul lecției, tu însuți vei simplifica acest exemplu la (doar!) un număr obișnuit (da, la naiba cu acele litere).

Dar înainte de a începe această lecție, trebuie să fii capabil se ocupă de fracțiiși factorizarea polinoamelor.

Prin urmare, dacă nu ați făcut acest lucru înainte, asigurați-vă că stăpâniți subiectele „” și „”.

Citit? Dacă da, atunci ești gata.

Sa mergem sa mergem!)

Notă importantă!Dacă, în loc de formule, vedeți farfurie, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac)

Operații de simplificare a expresiei de bază

Acum vom analiza principalele tehnici care sunt folosite pentru simplificarea expresiilor.

Cel mai simplu dintre ele este

1. Aducerea asemănătoare

Ce sunt asemănătoare? Ai trecut prin asta în clasa a VII-a, când literele au apărut pentru prima dată la matematică în loc de cifre.

Similar sunt termeni (monoame) cu aceeași parte de literă.

De exemplu, în suma, termenii similari sunt și.

Amintit?

Aduceți similare- înseamnă să adăugați mai mulți termeni similari unul cu celălalt și să obțineți un termen.

Dar cum putem pune litere împreună? - tu intrebi.

Acest lucru este foarte ușor de înțeles dacă vă imaginați că literele sunt un fel de obiecte.

De exemplu, scrisoarea este un scaun. Atunci care este expresia?

Două scaune plus trei scaune, cât va fi? Așa e, scaune: .

Acum încearcă această expresie:

Pentru a nu te confunda, lasă litere diferite să desemneze obiecte diferite.

De exemplu, - acesta este (ca de obicei) un scaun și - aceasta este o masă.

scaune mese scaune mese scaune scaune mese

Se numesc numerele cu care se înmulțesc literele din astfel de termeni coeficienți.

De exemplu, în monom coeficientul este egal. Și el este egal.

Deci, regula pentru a aduce similare:

Exemple:

Aduceți similare:

Raspunsuri:

2. (și sunt asemănătoare, întrucât, deci, acești termeni au aceeași parte de literă).

2. Factorizarea

Aceasta este de obicei cea mai importantă parte în simplificarea expresiilor.

După ce ați dat altele similare, cel mai adesea este nevoie de expresia rezultată factorizați, adică reprezintă ca produs.

Mai ales asta important în fracții: deoarece pentru a reduce fracția, numărătorul și numitorul trebuie exprimate ca produs.

Ați trecut prin metodele detaliate de factorizare a expresiilor din subiectul „”, așa că aici trebuie doar să vă amintiți ce ați învățat.

Pentru a face acest lucru, rezolvați câteva exemple (trebuie să factorizați)

Exemple:

Solutii:

3. Reducerea fracțiilor.

Ei bine, ce poate fi mai frumos decât să tai o parte din numărător și numitor și să le arunci din viața ta?

Aceasta este frumusețea abrevierilor.

E simplu:

Dacă numărătorul și numitorul conțin aceiași factori, ei pot fi redusi, adică îndepărtați din fracție.

Această regulă rezultă din proprietatea de bază a unei fracții:

Adică, esența operației de reducere este aceea Împărțim numărătorul și numitorul unei fracții la același număr (sau la aceeași expresie).

Pentru a reduce o fracție, aveți nevoie de:

1) numărătorul și numitorul factorizați

2) dacă numărătorul și numitorul conțin factori comuni, acestea pot fi șterse.

Exemple:

Principiul, cred, este clar?

Aș dori să vă atrag atenția asupra unei greșeli tipice de abreviere. Deși acest subiect este simplu, mulți oameni fac totul greșit, fără să-și dea seama de asta a tăia- inseamna divide numărător și numitor cu același număr.

Fără abrevieri dacă numărătorul sau numitorul este suma.

De exemplu: trebuie să simplificați.

Unii fac asta: ceea ce este absolut greșit.

Un alt exemplu: reduce.

„Cel mai inteligent” va face asta:

Spune-mi ce e în neregulă aici? S-ar părea: - acesta este un multiplicator, așa că puteți reduce.

Dar nu: - acesta este un factor de un singur termen în numărător, dar numărătorul în sine în ansamblu nu este descompus în factori.

Iată un alt exemplu: .

Această expresie este descompusă în factori, ceea ce înseamnă că puteți reduce, adică împărțiți numărătorul și numitorul cu, apoi cu:

Puteți împărți imediat la:

Pentru a evita astfel de greșeli, amintiți-vă o modalitate ușoară de a determina dacă o expresie este luată în considerare:

Operația aritmetică care se efectuează ultima la calcularea valorii expresiei este „principală”.

Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este descompusă în factori).

Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).

Pentru a rezolva singur, câteva exemple:

Exemple:

Solutii:

1. Sper că nu te-ai grăbit imediat să tai și? Încă nu a fost suficient să „reducem” unități ca aceasta:

Primul pas ar trebui să fie factorizarea:

4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este o operație binecunoscută: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii.

Să ne amintim:

Raspunsuri:

1. Numitorii și sunt coprime, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:

2. Aici numitorul comun este:

3. Aici, în primul rând, transformăm fracțiile mixte în fracțiuni improprii și apoi - conform schemei obișnuite:

Este cu totul altă problemă dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:

Să începem simplu:

a) Numitorii nu conțin litere

Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:

acum, la numărător, puteți aduce altele similare, dacă există, și le puteți factoriza:

Incearca-l tu insuti:

Raspunsuri:

b) Numitorii conțin litere

Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:

În primul rând, determinăm factorii comuni;

Apoi scriem toți factorii comuni o dată;

și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi descompunem în factori simpli:

Subliniem factorii comuni:

Acum scriem factorii comuni o dată și adăugăm la ei toți factorii necomuni (nu subliniați):

Acesta este numitorul comun.

Să revenim la scrisori. Numitorii sunt dați exact în același mod:

Descompunem numitorii în factori;

determina multiplicatori comuni (identici);

scrie toți factorii comuni o dată;

Le înmulțim cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Deci, in ordine:

1) descompuneți numitorii în factori:

2) determinați factorii comuni (identici):

3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):

Deci numitorul comun este aici. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:

Apropo, există un truc:

De exemplu: .

Vedem aceiași factori în numitori, doar toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:

in masura

in masura

in masura

în grad.

Să complicăm sarcina:

Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?

Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:

Nicăieri nu se spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!

Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce s-a învățat?

Deci, o altă regulă de neclintit:

Când aduceți fracții la un numitor comun, folosiți numai operația de înmulțire!

Dar ce trebuie să înmulți pentru a obține?

Aici și înmulțiți. Și înmulțiți cu:

Expresiile care nu pot fi factorizate vor fi numite „factori elementari”.

De exemplu, este un factor elementar. - de asemenea. Dar - nu: se descompune în factori.

Ce zici de exprimare? Este elementar?

Nu, deoarece poate fi factorizat:

(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).

Deci, factorii elementari în care descompuneți o expresie cu litere sunt un analog al factorilor simpli în care descompuneți numerele. Și vom face același lucru cu ei.

Vedem că ambii numitori au un factor. Va merge la numitorul comun în putere (rețineți de ce?).

Multiplicatorul este elementar și nu îl au în comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:

Alt exemplu:

Decizie:

Înainte de a înmulți acești numitori într-o panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:

Amenda! Apoi:

Alt exemplu:

Decizie:

Ca de obicei, factorizăm numitorii. În primul numitor, pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:

S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt deja atât de asemănătoare... Și adevărul este:

Deci hai sa scriem:

Adică, s-a dovedit așa: în paranteză, am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat la opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.

Acum aducem la un numitor comun:

Am înţeles? Acum să verificăm.

Sarcini pentru soluție independentă:

Raspunsuri:

Aici trebuie să ne amintim încă un lucru - diferența de cuburi:

Vă rugăm să rețineți că numitorul celei de-a doua fracții nu conține formula „pătratul sumei”! Pătratul sumei ar arăta astfel:

A este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea termen din acesta este produsul dintre primul și ultimul, și nu produsul lor dublat. Pătratul incomplet al sumei este unul dintre factorii de extindere a diferenței de cuburi:

Ce se întâmplă dacă există deja trei fracții?

Da, la fel! În primul rând, ne vom asigura că numărul maxim de factori în numitori este același:

Atenție: dacă schimbați semnele dintr-o paranteză, semnul din fața fracției se schimbă în opus. Când schimbăm semnele din a doua paranteză, semnul din fața fracției este inversat din nou. Drept urmare, el (semnul din fața fracției) nu s-a schimbat.

Scriem primul numitor în întregime în numitorul comun, apoi adăugăm la el toți factorii care nu au fost încă scriși, din al doilea și apoi din al treilea (și așa mai departe, dacă sunt mai multe fracții). Adică merge așa:

Hmm... Cu fracții, este clar ce să faci. Dar ce zici de cei doi?

Este simplu: știi cum să adunăm fracții, nu? Deci, trebuie să vă asigurați că zeul devine o fracțiune! Amintiți-vă: o fracție este o operație de împărțire (numărătorul este împărțit la numitor, în cazul în care ați uitat brusc). Și nu este nimic mai ușor decât împărțirea unui număr la. În acest caz, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracție:

Exact ce este nevoie!

5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:

Procedură

Care este procedura de calcul a unei expresii numerice? Amintiți-vă, având în vedere valoarea unei astfel de expresii:

ai numarat?

Ar trebui să funcționeze.

Deci, vă reamintesc.

Primul pas este să calculezi gradul.

Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, le puteți face în orice ordine.

Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.

Dar: expresia dintre paranteze este evaluată în dezordine!

Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi evaluăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.

Ce se întâmplă dacă există și alte paranteze între paranteze? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Care este primul lucru de făcut atunci când evaluezi o expresie? Așa e, calculează paranteze. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.

Deci, ordinea acțiunilor pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o efectuez chiar acum):

Bine, totul este simplu.

Dar asta nu este același lucru cu o expresie cu litere, nu-i așa?

Nu, e la fel! Numai în loc de operații aritmetice este necesar să se facă operații algebrice, adică operațiile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (o folosim adesea când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru factorizare, trebuie să utilizați i sau pur și simplu să scoateți factorul comun din paranteze.

De obicei, scopul nostru este de a reprezenta o expresie ca produs sau coeficient.

De exemplu:

Să simplificăm expresia.

1) Mai întâi simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem diferența de fracții, iar scopul nostru este să o reprezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:

Este imposibil să simplificați mai mult această expresie, toți factorii de aici sunt elementari (mai vă amintiți ce înseamnă asta?).

2) obținem:

Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai ușor.

3) Acum puteți scurta:

Asta e. Nimic complicat, nu?

Alt exemplu:

Simplificați expresia.

Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.

Decizie:

În primul rând, să definim procedura.

Mai întâi, să adăugăm fracțiile dintre paranteze, în loc de două fracții, se va dovedi una.

Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, adăugăm rezultatul cu ultima fracție.

Voi numerota schematic pașii:

Acum voi arăta întregul proces, colorând acțiunea curentă cu roșu:

În cele din urmă, vă voi oferi două sfaturi utile:

1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. In orice moment avem altele asemanatoare, este indicat sa le aducem imediat.

2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare o oportunitate de reducere, aceasta trebuie folosită. Excepție fac fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă acum au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.

Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:

Și a promis chiar de la început:

Raspunsuri:

Soluții (pe scurt):

Dacă ați făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci, luați în considerare, ați stăpânit subiectul.

Acum, la învățare!

CONVERSIUNEA EXPRESIILOR. REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Operatii de simplificare de baza:

• Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
• Factorizare: scoaterea din paranteze a factorului comun, aplicarea etc.
• Reducerea fracțiilor: numărătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, din care valoarea fracției nu se modifică.
  1) numărător și numitor factorizați
  2) dacă există factori comuni la numărător și numitor, aceștia pot fi tăiați.

  IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!

• Adunarea și scăderea fracțiilor:
  ;
• Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
  ;

Observație 1

O funcție logică poate fi scrisă folosind o expresie logică și apoi puteți merge la circuitul logic. Este necesar să se simplifice expresiile logice pentru a obține un circuit logic cât mai simplu (și, prin urmare, mai ieftin). De fapt, o funcție logică, o expresie logică și un circuit logic sunt trei limbaje diferite care vorbesc despre aceeași entitate.

Pentru a simplifica expresiile logice, utilizați legile algebrei logicii.

Unele transformări sunt similare cu transformările formulelor din algebra clasică (incluzând factorul comun, folosind legi comutative și asociative etc.), în timp ce alte transformări se bazează pe proprietăți pe care operațiile de algebră clasică nu le au (folosind legea distribuției pentru conjuncție, legile absorbției, lipirii, regulile lui de Morgan etc.).

Legile algebrei logicii sunt formulate pentru operații logice de bază - „NU” - inversare (negație), „ȘI” - conjuncție (înmulțire logică) și „SAU” - disjuncție (adunare logică).

Legea dublei negații înseamnă că operația „NU” este reversibilă: dacă o aplici de două ori, atunci în final valoarea logică nu se va schimba.

Legea Mijlocului Exclus afirmă că orice expresie logică este fie adevărată, fie falsă („nu există o treime”). Prin urmare, dacă $A=1$, atunci $\bar(A)=0$ (și invers), ceea ce înseamnă că conjuncția acestor mărimi este întotdeauna egală cu zero, iar disjuncția este egală cu unu.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Să simplificăm această formulă:

Figura 3

Aceasta implică faptul că $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Răspuns: elevii $B$, $C$ și $D$ joacă șah, dar elevul $A$ nu joacă.

Când simplificați expresiile logice, puteți efectua următoarea secvență de acțiuni:

1. Înlocuiți toate operațiile „nebaze” (echivalență, implicație, OR exclusiv etc.) cu expresiile lor prin operațiile de bază de inversare, conjuncție și disjuncție.
2. Extindeți inversiunile expresiilor complexe conform regulilor lui de Morgan, astfel încât numai variabilele individuale să aibă operații de negație.
3. Apoi simplificați expresia folosind extinderea parantezelor, factorii comuni între paranteze și alte legi ale algebrei logicii.

Exemplul 2

Aici se folosesc succesiv regula lui de Morgan, legea distributivă, legea mijlocului exclus, legea comutativă, legea repetiției, legea din nou comutativă și legea absorbției.

Cu ajutorul oricărei limbi, puteți exprima aceleași informații în cuvinte și expresii diferite. Limbajul matematic nu face excepție. Dar aceeași expresie poate fi scrisă în mod echivalent în moduri diferite. Și în unele situații, una dintre intrări este mai simplă. Vom vorbi despre simplificarea expresiilor în această lecție.

Oamenii comunică în diferite limbi. Pentru noi, o comparație importantă este perechea „Limba rusă – limba matematică”. Aceleași informații pot fi raportate în diferite limbi. Dar, pe lângă aceasta, poate fi pronunțat diferit într-o singură limbă.

De exemplu: „Peter este prieten cu Vasya”, „Vasya este prieten cu Petya”, „Peter și Vasya sunt prieteni”. Spus diferit, dar unul și același. Prin oricare dintre aceste fraze, am înțelege ce este în joc.

Să ne uităm la această frază: „Băiatul Petya și băiatul Vasya sunt prieteni”. Înțelegem ce este în joc. Cu toate acestea, nu ne place cum sună această frază. Nu putem să o simplificăm, să spunem la fel, dar mai simplu? „Băiat și băiat” - puteți spune o dată: „Băieții Petya și Vasya sunt prieteni”.

„Băieți”... Nu se vede din numele lor că nu sunt fete. Îndepărtăm „băieții”: „Petia și Vasya sunt prieteni”. Și cuvântul „prieteni” poate fi înlocuit cu „prieteni”: „Petia și Vasya sunt prieteni”. Drept urmare, prima frază, lungă și urâtă a fost înlocuită cu o afirmație echivalentă, care este mai ușor de spus și mai ușor de înțeles. Am simplificat această expresie. A simplifica înseamnă a spune mai ușor, dar a nu pierde, a nu denatura sensul.

Același lucru se întâmplă și în limbajul matematic. Același lucru poate fi spus diferit. Ce înseamnă simplificarea unei expresii? Aceasta înseamnă că pentru expresia originală există multe expresii echivalente, adică cele care înseamnă același lucru. Și din toată această mulțime, trebuie să alegem cel mai simplu, după părerea noastră, sau cel mai potrivit pentru scopurile noastre ulterioare.

De exemplu, luați în considerare o expresie numerică. Va fi echivalent cu .

De asemenea, va fi echivalent cu primele două: .

Se pare că ne-am simplificat expresiile și am găsit cea mai scurtă expresie echivalentă.

Pentru expresiile numerice, trebuie întotdeauna să faceți toată munca și să obțineți expresia echivalentă ca un singur număr.

Luați în considerare un exemplu de expresie literală . Evident, va fi mai simplu.

Când simplificați expresiile literale, trebuie să efectuați toate acțiunile posibile.

Este întotdeauna necesar să simplificați o expresie? Nu, uneori o notație echivalentă, dar mai lungă, va fi mai convenabilă pentru noi.

Exemplu: Scădeți numărul din număr.

Este posibil să se calculeze, dar dacă primul număr ar fi reprezentat prin notația sa echivalentă: , atunci calculele ar fi instantanee: .

Adică, o expresie simplificată nu este întotdeauna benefică pentru noi pentru calcule ulterioare.

Cu toate acestea, de foarte multe ori ne confruntăm cu o sarcină care sună ca „simplificați expresia”.

Simplificați expresia: .

Decizie

1) Efectuați acțiuni în prima și a doua paranteză: .

2) Calculați produsele: .

Evident, ultima expresie are o formă mai simplă decât cea inițială. Am simplificat-o.

Pentru a simplifica expresia, aceasta trebuie înlocuită cu un echivalent (egal).

Pentru a determina expresia echivalentă, trebuie:

1) efectuați toate acțiunile posibile,

2) folosiți proprietățile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire pentru a simplifica calculele.

Proprietăți de adunare și scădere:

1. Proprietatea comutativă a adunării: suma nu se modifică din rearanjarea termenilor.

2. Proprietatea asociativă a adunării: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a două numere, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea număr la primul număr.

3. Proprietatea de a scădea o sumă dintr-un număr: pentru a scădea suma dintr-un număr, puteți scădea fiecare termen individual.

Proprietăți de înmulțire și împărțire

1. Proprietatea comutativă a înmulțirii: produsul nu se modifică dintr-o permutare a factorilor.

2. Proprietate asociativă: pentru a înmulți un număr cu produsul a două numere, îl poți înmulți mai întâi cu primul factor, iar apoi să înmulți produsul rezultat cu al doilea factor.

3. Proprietatea distributivă a înmulțirii: pentru a înmulți un număr cu o sumă, trebuie să-l înmulți cu fiecare termen separat.

Să vedem cum facem de fapt calcule mentale.

Calculati:

Decizie

1) Imaginează-ți cum

2) Să reprezentăm primul multiplicator ca sumă de termeni de biți și să efectuăm înmulțirea:

3) vă puteți imagina cum și efectuați înmulțirea:

4) Înlocuiți primul factor cu o sumă echivalentă:

Legea distributivă poate fi folosită și în sens invers: .

Urmați acești pași:

1) 2)

Decizie

1) Pentru comoditate, puteți folosi legea distribuției, doar utilizați-o în direcția opusă - scoateți factorul comun din paranteze.

2) Să scoatem factorul comun din paranteze

Este necesar să cumpărați linoleum în bucătărie și hol. Zona bucatarie - hol -. Există trei tipuri de linoleum: pentru și ruble pentru. Cât va costa fiecare dintre cele trei tipuri de linoleum? (Fig. 1)

Orez. 1. Ilustrație pentru starea problemei

Decizie

Metoda 1. Puteți găsi separat câți bani va fi nevoie pentru a cumpăra linoleum în bucătărie, apoi adăugați-l pe hol și adăugați lucrările rezultate.

§ 1 Conceptul de simplificare a unei expresii literale

În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de „termeni similari” și, folosind exemple, vom învăța cum să efectuăm reducerea termenilor similari, simplificând astfel expresiile literale.

Să aflăm sensul conceptului de „simplificare”. Cuvântul „simplificare” este derivat din cuvântul „simplificare”. A simplifica înseamnă a face simplu, mai simplu. Prin urmare, a simplifica o expresie literală înseamnă a o scurta, cu un număr minim de acțiuni.

Luați în considerare expresia 9x + 4x. Aceasta este o expresie literală care este o sumă. Termenii de aici sunt prezentați ca produse ale unui număr și ale unei litere. Factorul numeric al unor astfel de termeni se numește coeficient. În această expresie, coeficienții vor fi numerele 9 și 4. Vă rugăm să rețineți că multiplicatorul reprezentat de literă este același în ambii termeni ai acestei sume.

Amintiți-vă legea distributivă a înmulțirii:

Pentru a înmulți suma cu un număr, puteți înmulți fiecare termen cu acest număr și adăugați produsele rezultate.

În general, se scrie după cum urmează: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.

Această lege este valabilă în ambele sensuri ac + bc = (a + b) ∙ c

Să o aplicăm expresiei noastre literale: suma produselor lui 9x și 4x este egală cu produsul, al cărui prim factor este suma lui 9 și 4, al doilea factor este x.

9 + 4 = 13 face 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

În loc de trei acțiuni în expresie, a rămas o acțiune - înmulțirea. Deci, ne-am simplificat expresia literală, adică. a simplificat-o.

§ 2 Reducerea termenilor similari

Termenii 9x și 4x diferă doar prin coeficienți - astfel de termeni sunt numiți similari. Partea cu litere a termenilor similari este aceeași. Termenii similari includ, de asemenea, numere și termeni egali.

De exemplu, în expresia 9a + 12 - 15, numerele 12 și -15 vor fi termeni similari, iar în suma produselor lui 12 și 6a, numerele 14 și produsele lui 12 și 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), termenii egali reprezentați de produsul dintre 12 și 6a.

Este important să rețineți că termenii cu coeficienți egali și factori literali diferiți nu sunt similari, deși uneori este util să le aplicați legea distributivă a înmulțirii, de exemplu, suma produselor lui 5x și 5y este egală cu produsul a numărului 5 și a sumei lui x și y

5x + 5y = 5(x + y).

Să simplificăm expresia -9a + 15a - 4 + 10.

În acest caz, termenii -9a și 15a sunt termeni similari, deoarece diferă doar prin coeficienți. Au același multiplicator de litere, iar termenii -4 și 10 sunt, de asemenea, similari, deoarece sunt numere. Adăugăm termeni similari:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Obținem: 6a + 6.

Simplificand expresia, am gasit sumele termenilor similari, in matematica aceasta se numeste reducerea termenilor similari.

Dacă aducerea unor astfel de termeni este dificilă, puteți găsi cuvinte pentru ei și puteți adăuga obiecte.

De exemplu, luați în considerare expresia:

Pentru fiecare literă luăm propriul obiect: b-măr, c-pere, apoi va rezulta: 2 mere minus 5 pere plus 8 pere.

Putem scădea perele din mere? Desigur că nu. Dar putem adăuga 8 pere la minus 5 pere.

Dam termeni similari -5 pere + 8 pere. Termenii similari au aceeași parte literală, prin urmare, atunci când reduceți termenii similari, este suficient să adăugați coeficienții și să adăugați partea literală la rezultat:

(-5 + 8) pere - primești 3 pere.

Revenind la expresia noastră literală, avem -5s + 8s = 3s. Astfel, după reducerea termenilor similari, obținem expresia 2b + 3c.

Deci, în această lecție, v-ați familiarizat cu conceptul de „termeni similari” și ați învățat cum să simplificați expresiile literale aducând termeni similari.

Lista literaturii folosite:

1. Matematică. Clasa a VI-a: planuri de lecții pentru manualul de I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-compilator L.A. Topilin. Mnemosyne 2009.
2. Matematică. Clasa a VI-a: un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ. I.I.Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematică. Clasa 6: manual pentru institutii de invatamant / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov și alții / editat de G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Academia Rusă de Științe, Academia Rusă de Educație. M.: „Iluminismul”, 2010.
4. Matematică. Clasa 6: manual pentru instituții de învățământ general / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhohov, A.S. Cesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
5. Matematică. Clasa a 6-a: manual / G.K. Muravin, O.V. Furnică. – M.: Butarda, 2014.

Imagini folosite: