Cum să rezolvi corect ecuațiile raționale. Ecuații raționale

Ecuațiile cu fracții în sine nu sunt dificile și foarte interesante. Luați în considerare tipurile ecuații fracționaleși modalități de a le rezolva.

Cum se rezolvă ecuații cu fracții - x la numărător

Dacă este dată o ecuație fracțională, unde necunoscuta este la numărător, soluția nu necesită condiții suplimentare și se rezolvă fără bataie suplimentară. Forma generală o astfel de ecuație este x/a + b = c, unde x este o necunoscută, a, b și c sunt numere obișnuite.

Aflați x: x/5 + 10 = 70.

Pentru a rezolva ecuația, trebuie să scapi de fracții. Înmulțiți fiecare termen al ecuației cu 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x și 5 se reduce, 10 și 70 se înmulțesc cu 5 și obținem: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Aflați x: x/5 + x/10 = 90.

Acest exemplu este o versiune puțin mai complicată față de primul. Există două soluții aici.

• Opțiunea 1: Scăpați de fracții înmulțind toți termenii ecuației cu un numitor mai mare, adică cu 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Opțiunea 2: Adăugați partea stângă a ecuației. x/5 + x/10 = 90. Numitorul comun este 10. Împărțiți 10 la 5, înmulțiți cu x, obținem 2x. 10 împărțit la 10, înmulțit cu x, obținem x: 2x+x/10 = 90. Prin urmare 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Adesea există ecuații fracționale în care x-urile sunt pe părțile opuse ale semnului egal. Într-o astfel de situație, este necesar să transferați toate fracțiile cu x într-o direcție, iar numerele în alta.

• Aflați x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Mutați 2x/5 la dreapta cu semnul opus: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Reducem 5x/5 și obținem: x = 130.

Cum se rezolvă o ecuație cu fracții - x la numitor

Acest tip de ecuații fracționale necesită scrierea unor condiții suplimentare. Indicarea acestor condiții este o parte obligatorie și integrantă decizia corectă. Dacă nu le atribuiți, riscați, deoarece răspunsul (chiar dacă este corect) poate pur și simplu să nu fie luat în considerare.

Forma generală a ecuațiilor fracționale, unde x este la numitor, este: a/x + b = c, unde x este o necunoscută, a, b, c sunt numere ordinare. Rețineți că x poate să nu fie orice număr. De exemplu, x nu poate fi zero, deoarece nu puteți împărți la 0. Aceasta este ceea ce este condiție suplimentară, pe care trebuie să o precizăm. Aceasta se numește intervalul de valori acceptabile, prescurtat - ODZ.

Aflați x: 15/x + 18 = 21.

Scriem imediat ODZ pentru x: x ≠ 0. Acum că este indicată ODZ, rezolvăm ecuația folosind schema standard scăpând de fracții. Înmulțim toți termenii ecuației cu x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Adesea există ecuații în care numitorul conține nu numai x, ci și o altă operație cu acesta, cum ar fi adunarea sau scăderea.

Aflați x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Știm deja că numitorul nu poate fi egal cu zero, ceea ce înseamnă x-3 ≠ 0. Transferăm -3 în partea dreaptă, schimbând semnul „-” în „+” și obținem că x ≠ 3. ODZ este indicat.

Rezolvați ecuația, înmulțiți totul cu x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Mutați x-urile la dreapta, numerele la stânga: 24 = 3x => x = 8.

Obiectivele lecției:

Tutorial:

• formarea conceptului de ecuații raționale fracționale;
• să ia în considerare diverse modalități de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale;
• luați în considerare un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, inclusiv condiția ca fracția să fie egală cu zero;
• să predea soluția ecuațiilor raționale fracționale conform algoritmului;
• verificarea nivelului de asimilare a temei prin efectuarea de lucrări de testare.

În curs de dezvoltare:

• dezvoltarea capacităţii de a opera corect cu cunoştinţele dobândite, de a gândi logic;
• dezvoltarea abilităților intelectuale și a operațiilor mentale - analiză, sinteză, comparație și generalizare;
• dezvoltarea inițiativei, capacitatea de a lua decizii, nu de a se opri aici;
• dezvoltare gândire critică;
• dezvoltarea abilităților de cercetare.

Hrănirea:

• creşterea interes cognitiv la subiect;
• educarea independenţei în rezolvarea problemelor educaţionale;
• educarea voinței și perseverenței pentru a obține rezultatele finale.

Tipul de lecție: lectie - explicarea materialului nou.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Buna baieti! Ecuațiile sunt scrise pe tablă, priviți-le cu atenție. Puteți rezolva toate aceste ecuații? Care nu sunt și de ce?

Ecuațiile în care părțile din stânga și din dreapta sunt expresii raționale fracționale se numesc ecuații raționale fracționale. Ce crezi că vom studia astăzi la lecție? Formulați subiectul lecției. Deci, deschidem caiete și notăm subiectul lecției „Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”.

2. Actualizarea cunoștințelor. Sondaj frontal, lucru oral cu clasa.

Și acum vom repeta principalul material teoretic pe care trebuie să-l studiem subiect nou. Te rugăm să răspunzi la următoarele întrebări:

1. Ce este o ecuație? ( Egalitatea cu o variabilă sau variabile.)
2. Cum se numește ecuația #1? ( Liniar.) Metoda de soluţionare ecuatii lineare. (Mutați totul cu necunoscutul în partea stângă a ecuației, toate numerele la dreapta. Aduceți condiții asemănătoare. Găsiți multiplicatorul necunoscut).
3. Cum se numește ecuația 3? ( Pătrat.) Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice. ( Selectarea pătratului complet, prin formule, folosind teorema Vieta și consecințele acesteia.)
4. Ce este o proporție? ( Egalitatea a două relații.) Principala proprietate a proporției. ( Dacă proporția este adevărată, atunci produsul termenilor săi extremi este egal cu produsul termenilor medii.)
5. Ce proprietăți sunt folosite pentru a rezolva ecuații? ( 1. Dacă în ecuație transferăm termenul dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, atunci obținem o ecuație echivalentă cu cea dată. 2. Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, atunci se va obține o ecuație care este echivalentă cu numărul dat.)
6. Când este o fracție egală cu zero? ( Fracția este zero când numărătorul zero, iar numitorul nu este egal cu zero.)

3. Explicarea materialului nou.

Rezolvați ecuația nr. 2 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 10.

Care ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi folosind proprietatea de bază a proporției? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Rezolvați ecuația nr. 4 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 1,5.

Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Răspuns: 3;4.

Acum încercați să rezolvați ecuația #7 într-unul din moduri.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Răspuns: 0;5;-2.			Răspuns: 5;-2.

Explicați de ce s-a întâmplat asta? De ce sunt trei rădăcini într-un caz și două în celălalt? Ce numere sunt rădăcinile acestei ecuații raționale fracționale?

Până acum, elevii nu au întâlnit conceptul de rădăcină străină, le este într-adevăr foarte greu să înțeleagă de ce s-a întâmplat acest lucru. Dacă nimeni din clasă nu poate da o explicație clară a acestei situații, atunci profesorul pune întrebări de conducere.

• Cum diferă ecuațiile nr. 2 și 4 de ecuațiile nr. 5,6,7? ( În ecuațiile nr. 2 și 4 la numitorul numărului, nr. 5-7 - expresii cu o variabilă.)
• Care este rădăcina ecuației? ( Valoarea variabilei la care ecuația devine o egalitate adevărată.)
• Cum să afli dacă un număr este rădăcina unei ecuații? ( Faceți o verificare.)

Când fac un test, unii elevi observă că trebuie să împartă la zero. Ei concluzionează că numerele 0 și 5 nu sunt rădăcini. ecuația dată. Apare întrebarea: există o modalitate de a rezolva ecuații raționale fracționale care să elimine această eroare? Da, această metodă se bazează pe condiția ca fracția să fie egală cu zero.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Dacă x=5, atunci x(x-5)=0, deci 5 este o rădăcină străină.

Dacă x=-2, atunci x(x-5)≠0.

Răspuns: -2.

Să încercăm să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale în acest fel. Copiii înșiși formulează algoritmul.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale:

1. Mutați totul spre stânga.
2. Aduceți fracțiile la un numitor comun.
3. Alcătuiți un sistem: o fracție este zero când numărătorul este zero și numitorul nu este zero.
4. Rezolvați ecuația.
5. Verificați inegalitatea pentru a exclude rădăcinile străine.
6. Scrieți răspunsul.

Discuție: cum se formulează o soluție dacă se folosește proprietatea de bază a proporției și înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un numitor comun. (Suplimentați soluția: excludeți din rădăcinile sale pe cele care transformă numitorul comun la zero).

4. Înțelegerea primară a materialului nou.

Lucrați în perechi. Elevii aleg cum să rezolve singuri ecuația, în funcție de tipul de ecuație. Sarcini din manualul „Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600 (b, c, i); Nr. 601 (a, e, g). Profesorul controlează îndeplinirea sarcinii, răspunde la întrebările care au apărut și oferă asistență elevilor cu performanțe slabe. Autotest: Răspunsurile sunt scrise pe tablă.

b) 2 este o rădăcină străină. Răspuns: 3.

c) 2 este o rădăcină străină. Răspuns: 1.5.

a) Răspuns: -12,5.

g) Răspuns: 1; 1.5.

5. Declarație de teme.

1. Citiți articolul 25 din manual, analizați exemplele 1-3.
2. Învață algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale.
3. Rezolvați în caietele Nr. 600 (a, d, e); Nr. 601 (g, h).
4. Încercați să rezolvați #696(a) (opțional).

6. Îndeplinirea sarcinii de control pe tema studiată.

Lucrarea se face pe foi.

Exemplu de job:

A) Care dintre ecuații sunt raționale fracționale?

B) O fracție este zero când numărătorul este ______________________ iar numitorul este _______________________.

Î) Este numărul -3 rădăcina ecuației #6?

D) Rezolvați ecuația nr. 7.

Criterii de evaluare a sarcinilor:

• „5” este dat dacă elevul a finalizat corect mai mult de 90% din sarcină.
• „4” - 75% -89%
• „3” - 50% -74%
• „2” este acordat unui student care a finalizat mai puțin de 50% din sarcină.
• Nota 2 nu este trecută în jurnal, 3 este opțional.

7. Reflecție.

Pe pliantele cu muncă independentă, puneți:

• 1 - dacă lecția a fost interesantă și de înțeles pentru tine;
• 2 - interesant, dar nu clar;
• 3 - nu este interesant, dar de înțeles;
• 4 - nu este interesant, nu este clar.

8. Rezumând lecția.

Deci, astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu ecuațiile raționale fracționale, am învățat cum să rezolvăm aceste ecuații căi diferite, și-au testat cunoștințele cu ajutorul instruirii muncă independentă. Rezultatele muncii independente le vei afla in urmatoarea lectie, acasa vei avea ocazia sa consolidezi cunostintele acumulate.

Ce metodă de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, în opinia dumneavoastră, este mai ușoară, mai accesibilă, mai rațională? Indiferent de metoda de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, ce nu trebuie uitat? Care este „smecheria” ecuațiilor raționale fracționale?

Vă mulțumesc tuturor, lecția s-a terminat.

Am învățat deja cum să rezolvăm ecuații pătratice. Să extindem acum metodele studiate la ecuații raționale.

Ce s-a întâmplat expresie rațională? Am întâlnit deja acest concept. Expresii raționale numite expresii alcătuite din numere, variabile, gradele acestora și semnele operațiilor matematice.

În consecință, ecuațiile raționale sunt ecuații de forma: , unde - expresii raţionale.

Anterior, am luat în considerare doar acele ecuații raționale care se reduc la ecuații liniare. Acum să luăm în considerare acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații pătratice.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

O fracție este 0 dacă și numai dacă numărătorul ei este 0 și numitorul ei nu este 0.

Obtinem urmatorul sistem:

Prima ecuație a sistemului este ecuație pătratică. Înainte de a o rezolva, împărțim toți coeficienții săi la 3. Obținem:

Obținem două rădăcini: ; .

Deoarece 2 nu este niciodată egal cu 0, trebuie îndeplinite două condiții: . Deoarece niciuna dintre rădăcinile ecuației obținute mai sus nu se potrivește cu valorile invalide ale variabilei care au fost obținute la rezolvarea celei de-a doua inegalități, ambele sunt soluții ale acestei ecuații.

Răspuns:.

Deci, să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

1. Mutați toți termenii în partea stângă, astfel încât să se obțină 0 în partea dreaptă.

2. Transformați și simplificați partea stângă, aduceți toate fracțiile la un numitor comun.

3. Echivalează fracția rezultată cu 0, conform următorului algoritm: .

4. Notați acele rădăcini care sunt obținute în prima ecuație și satisfaceți a doua inegalitate ca răspuns.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația: .

Soluţie

La început, transferăm toți termenii către partea stanga astfel încât 0 rămâne în dreapta. Se obține:

Acum aducem partea stângă a ecuației la un numitor comun:

Această ecuație este echivalentă cu sistemul:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică.

Coeficienții acestei ecuații: . Calculăm discriminantul:

Obținem două rădăcini: ; .

Acum să rezolvăm a doua inegalitate: produsul factorilor nu este egal cu 0 dacă și numai dacă niciunul dintre factori nu este egal cu 0.

Trebuie îndeplinite două condiții: . Obținem că dintre cele două rădăcini ale primei ecuații, doar una este potrivită - 3.

Răspuns:.

În această lecție, ne-am amintit ce este o expresie rațională și, de asemenea, am învățat cum să rezolvăm ecuații raționale, care sunt reduse la ecuații patratice.

În lecția următoare, vom considera ecuațiile raționale ca modele de situații reale și vom lua în considerare, de asemenea, problemele de mișcare.

Bibliografie

1. Bashmakov M.I. Algebră, clasa a VIII-a. - M.: Iluminismul, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al., Algebra, 8. Ed. a 5-a. - M.: Educație, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră, clasa a VIII-a. Tutorial pentru institutii de invatamant. - M.: Educație, 2006.

1. Festivalul ideilor pedagogice" Lecție publică" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Teme pentru acasă

Până acum, am rezolvat doar ecuații întregi în raport cu necunoscutul, adică ecuații în care numitorii (dacă există) nu conțineau necunoscutul.

Adesea trebuie să rezolvați ecuații care conțin necunoscuta în numitori: astfel de ecuații se numesc fracționale.

Pentru a rezolva această ecuație, înmulțim ambele părți ale acesteia, adică cu un polinom care conține necunoscutul. Va fi noua ecuație echivalentă cu cea dată? Pentru a răspunde la întrebare, să rezolvăm această ecuație.

Înmulțind ambele părți ale acestuia cu , obținem:

Rezolvând această ecuație de gradul întâi, găsim:

Deci, ecuația (2) are o singură rădăcină

Înlocuind-o în ecuația (1), obținem:

Prin urmare, este și rădăcina ecuației (1).

Ecuația (1) nu are alte rădăcini. În exemplul nostru, acest lucru se poate observa, de exemplu, din faptul că în ecuația (1)

Cum trebuie să fie divizorul necunoscut egal cu dividendul 1 împărțit la câtul 2, adică

Deci, ecuațiile (1) și (2) au o singură rădăcină și, prin urmare, sunt echivalente.

2. Acum rezolvăm următoarea ecuație:

Cel mai simplu numitor comun: ; înmulțiți toți termenii ecuației cu ea:

După reducere obținem:

Să extindem parantezele:

Aducând termeni similari, avem:

Rezolvând această ecuație, găsim:

Înlocuind în ecuația (1), obținem:

În partea stângă, am primit expresii care nu au sens.

Prin urmare, rădăcina ecuației (1) nu este. Aceasta implică faptul că ecuațiile (1) și nu sunt echivalente.

În acest caz, spunem că ecuația (1) a dobândit o rădăcină străină.

Să comparăm soluția ecuației (1) cu soluția ecuațiilor pe care le-am considerat mai devreme (vezi § 51). În rezolvarea acestei ecuații, a trebuit să efectuăm două astfel de operații care nu au fost văzute înainte: în primul rând, am înmulțit ambele părți ale ecuației cu o expresie care conține necunoscutul (numitorul comun) și, în al doilea rând, am redus fracțiile algebrice cu factori care conțin necunoscutul .

Comparând ecuația (1) cu ecuația (2), vedem că nu toate valorile x valide pentru ecuația (2) sunt valabile pentru ecuația (1).

Numerele 1 și 3 nu sunt valori admisibile ale necunoscutului pentru ecuația (1), iar ca urmare a transformării au devenit admisibile pentru ecuația (2). Unul dintre aceste numere s-a dovedit a fi o soluție a ecuației (2), dar, desigur, nu poate fi o soluție a ecuației (1). Ecuația (1) nu are soluții.

Acest exemplu arată că atunci când ambele părți ale ecuației sunt înmulțite cu un factor care conține necunoscutul și când fracții algebrice se poate obţine o ecuaţie care nu este echivalentă cu cea dată şi anume: pot apărea rădăcini străine.

Prin urmare, tragem următoarea concluzie. Când se rezolvă o ecuație care conține o necunoscută în numitor, rădăcinile rezultate trebuie verificate prin substituție în ecuația originală. Rădăcinile străine trebuie aruncate.

Mai simplu spus, acestea sunt ecuații în care există cel puțin una cu o variabilă la numitor.

De exemplu:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exemplu nu ecuații raționale fracționale:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Cum se rezolvă ecuațiile raționale fracționale?

Principalul lucru de reținut despre ecuațiile raționale fracționale este că trebuie să scrieți în ele. Și după ce găsiți rădăcinile, asigurați-vă că le verificați pentru admisibilitate. În caz contrar, pot apărea rădăcini străine, iar întreaga soluție va fi considerată incorectă.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale:

Scrieți și „rezolvați” ODZ.

Înmulțiți fiecare termen din ecuație cu un numitor comun și reduceți fracțiile rezultate. Numitorii vor dispărea.

Scrieți ecuația fără a deschide paranteze.

Rezolvați ecuația rezultată.

Verificați rădăcinile găsite cu ODZ.

Scrieți ca răspuns rădăcinile care au trecut testul de la pasul 7.

Nu memorați algoritmul, 3-5 ecuații rezolvate - și va fi reținut de la sine.

Exemplu . Rezolvați ecuația rațională fracțională \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Soluţie:

Răspuns: \(3\).

Exemplu . Aflați rădăcinile ecuației raționale fracționale \(=0\)

Soluţie:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Notăm și „rezolvăm” ODZ. Extindeți \(x^2+7x+10\) în formula: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Din fericire, \(x_1\) și \(x_2\) le-am găsit deja.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Evident, numitorul comun al fracțiilor: \((x+2)(x+5)\). Înmulțim întreaga ecuație cu ea.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Reducem fracțiile
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Deschiderea parantezelor
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Dăm condiții asemănătoare
\(2x^2+9x-5=0\)		Găsirea rădăcinilor ecuației
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Una dintre rădăcini nu se potrivește sub ODZ, așa că, ca răspuns, notăm doar a doua rădăcină.

Răspuns: \(\frac(1)(2)\).