Calculul erorilor de măsurare relative și absolute. Eroarea relativă și absolută: concept, calcul și proprietăți

Măsurătorile multor cantități care apar în natură nu pot fi precise. Măsurarea dă un număr care exprimă o valoare cu diferite grade de precizie (măsurarea lungimii cu o precizie de 0,01 cm, calculul valorii unei funcții într-un punct cu o precizie de până la etc.), adică aproximativ, cu vreo eroare. Eroarea poate fi setată în avans sau, dimpotrivă, trebuie găsită.

Teoria erorilor are ca obiect de studiu mai ales numerele aproximative. Când calculează în loc de utilizați de obicei numere aproximative: (dacă acuratețea nu este deosebit de importantă), (dacă acuratețea este importantă). Cum să efectuați calcule cu numere aproximative, să determinați erorile acestora - aceasta este teoria calculelor aproximative (teoria erorilor).

În viitor, numerele exacte vor fi notate cu litere mari, iar numerele aproximative corespunzătoare vor fi notate cu litere mici.

Erorile care apar într-una sau alta etapă de rezolvare a problemei pot fi împărțite în trei tipuri:

1) Eroare de problemă. Acest tip de eroare apare la construcție model matematic fenomene. Este departe de a fi întotdeauna posibil să se țină cont de toți factorii și de gradul de influență a acestora asupra rezultatului final. Adică, modelul matematic al unui obiect nu este imaginea lui exactă, descrierea lui nu este exactă. O astfel de eroare este inevitabilă.

2) Eroare de metodă. Această eroare apare ca urmare a înlocuirii modelului matematic original cu unul mai simplificat, de exemplu, în unele probleme de analiză a corelației, un model liniar este acceptabil. O astfel de eroare poate fi eliminată, deoarece în etapele de calcul poate fi redusă la o valoare arbitrar mică.

3) Eroare de calcul („mașină”). Apare atunci când un computer efectuează operații aritmetice.

Definiție 1.1. Lasa - valoare exacta cantități (numere), - valoarea aproximativă a aceleiași cantități (). Adevărata eroare absolută numărul aproximativ este modulul diferenței dintre valorile exacte și cele aproximative:

. (1.1)

Fie, de exemplu, =1/3. Când calculează pe MK, au dat rezultatul împărțirii 1 la 3 ca număr aproximativ = 0,33. Apoi .

Cu toate acestea, în realitate, în majoritatea cazurilor, valoarea exactă a cantității nu este cunoscută, ceea ce înseamnă că (1.1) nu poate fi aplicată, adică adevărata eroare absolută nu poate fi găsită. Prin urmare, se introduce o altă valoare care servește ca o estimare (limită superioară pentru ).

Definiție 1.2. Limitați eroarea absolută număr aproximativ, reprezentând un număr exact necunoscut, se numește un astfel de număr posibil mai mic, care nu depășește adevăratul eroare absolută, adică . (1.2)

Pentru un număr aproximativ de mărimi care satisfac inegalitatea (1.2), există infinit de multe, dar cea mai valoroasă dintre ele va fi cea mai mică dintre toate cele găsite. Din (1.2), pe baza definiției modulului, avem , sau prescurtat ca egalitate

. (1.3)

Egalitatea (1.3) determină limitele în care se află un număr exact necunoscut (se spune că un număr aproximativ exprimă un număr exact cu o eroare absolută limitativă). Este ușor de observat că, cu cât sunt mai mici, cu atât aceste limite sunt determinate mai precis.

De exemplu, dacă măsurătorile cu o anumită valoare au dat rezultatul cm, în timp ce acuratețea acestor măsurători nu a depășit 1 cm, atunci lungimea adevărată (exactă) cm.

Exemplul 1.1. Dat un număr. Găsiți eroarea absolută limită a numărului după numărul .

Soluţie: Din egalitatea (1.3) pentru numărul ( =1.243; =0.0005) avem o inegalitate dublă , i.e.

Atunci problema se pune după cum urmează: să se găsească pentru număr eroarea absolută limitatoare care satisface inegalitatea . Ținând cont de condiția (*), obținem (în (*) scadem din fiecare parte a inegalității)

Din moment ce în cazul nostru , apoi , de unde =0,0035.

Răspuns: =0,0035.

Eroarea absolută de limitare oferă adesea o idee slabă a acurateței măsurătorilor sau calculelor. De exemplu, \u003d 1 m atunci când se măsoară lungimea unei clădiri va indica faptul că acestea nu au fost efectuate cu precizie, iar aceeași eroare \u003d\u003d 1 m la măsurarea distanței dintre orașe dă foarte mult evaluarea calitatii. Prin urmare, se introduce o altă valoare.

Definiție 1.3. Adevărata eroare relativă numărul, care este o valoare aproximativă a numărului exact, este raportul dintre eroarea absolută adevărată a numărului și modulul numărului însuși:

. (1.4)

De exemplu, dacă, respectiv, valorile exacte și aproximative, atunci

Cu toate acestea, formula (1.4) nu este aplicabilă dacă valoarea exactă a numărului nu este cunoscută. Prin urmare, prin analogie cu eroarea absolută limitatoare, se introduce eroarea relativă limitatoare.

Definiție 1.4. Limitarea erorii relative un număr care este o aproximare a unui număr exact necunoscut se numește cel mai mic număr posibil , care nu este depăşită de adevărata eroare relativă , adică

. (1.5)

Din inegalitatea (1.2) avem ; de unde, ținând cont de (1.5)

Formula (1.6) are o aplicabilitate practică mai mare în comparație cu (1.5), deoarece valoarea exactă nu participă la ea. Luând în considerare (1.6) și (1.3), se pot găsi limitele care conțin valoarea exactă a mărimii necunoscute.

Lasă unii valoare aleatorie A măsurat n ori in aceleasi conditii. Rezultatele măsurătorilor au dat un set n diverse numere

Eroare absolută- valoare dimensională. Printre n valorile erorilor absolute se întâlnesc în mod necesar atât pozitive, cât și negative.

Pentru valoarea cea mai probabilă a cantității dar de obicei ia in medie sensul rezultatelor măsurătorii

Cum mai mult număr măsurători, cu atât valoarea medie este mai aproape de valoarea adevărată.

Eroare absolutăi

Eroare relativăi a-a dimensiune se numește cantitate

Eroarea relativă este o mărime adimensională. De obicei, eroarea relativă este exprimată în procente, pentru aceasta e i inmultiti cu 100%. Valoarea erorii relative caracterizează precizia măsurării.

Eroare absolută medie este definit astfel:

Subliniem necesitatea însumării valorilor absolute (module) ale mărimilor D și eu .În caz contrar, se va obține rezultatul identic zero.

Eroare relativă medie se numeste cantitate

La numere mari măsurători.

Eroarea relativă poate fi considerată ca fiind valoarea erorii pe unitatea mărimii măsurate.

Precizia măsurătorilor este evaluată pe baza unei comparații a erorilor rezultatelor măsurătorilor. Așadar, erorile de măsurare sunt exprimate în așa formă încât, pentru a aprecia acuratețea, ar fi suficient să se compare doar erorile rezultatelor, fără a compara dimensiunile obiectelor măsurate sau a cunoaște aceste dimensiuni foarte aproximativ. Din practică se știe că eroarea absolută de măsurare a unghiului nu depinde de valoarea unghiului, iar eroarea absolută de măsurare a lungimii depinde de valoarea lungimii. Cu cât valoarea lungimii este mai mare, cu atât eroarea absolută este mai mare pentru această metodă și condițiile de măsurare. Prin urmare, în funcție de eroarea absolută a rezultatului, este posibil să se judece acuratețea măsurării unghiului, dar este imposibil să se judece acuratețea măsurării lungimii. Exprimarea erorii în formă relativă face posibilă compararea, în anumite cazuri, a preciziei măsurătorilor unghiulare și liniare.

Concepte de bază ale teoriei probabilităților. Eroare aleatorie.

Eroare aleatorie numită componenta erorii de măsurare, care se modifică aleatoriu cu măsurători repetate ale aceleiași mărimi.

Când măsurătorile repetate ale aceleiași cantități constante și neschimbate sunt efectuate cu aceeași grijă și în aceleași condiții, obținem rezultate de măsurare - unele dintre ele diferă unele de altele, iar unele coincid. Astfel de discrepanțe în rezultatele măsurătorii indică prezența componentelor de eroare aleatoare în ele.

Eroarea aleatorie apare din acțiunea simultană a mai multor surse, fiecare dintre acestea având un efect imperceptibil asupra rezultatului măsurării, dar efectul total al tuturor surselor poate fi destul de puternic.

Erorile aleatorii sunt o consecință inevitabilă a oricărei măsurători și se datorează:

a) citiri inexacte la scara instrumentelor și instrumentelor;

b) nu sunt condiții identice pentru măsurători repetate;

c) modificări aleatorii conditii externe(temperatura, presiunea, Câmp de forță etc.) care nu pot fi controlate;

d) toate celelalte influențe asupra măsurătorilor, ale căror cauze ne sunt necunoscute. Mărimea erorii aleatoare poate fi redusă la minimum prin repetarea repetată a experimentului și prin procesarea matematică adecvată a rezultatelor.

O eroare aleatorie poate lua diferite valori absolute, care nu pot fi prezise pentru un anumit act de măsurare. Această eroare poate fi atât pozitivă, cât și negativă. Erorile aleatorii sunt întotdeauna prezente într-un experiment. În absența erorilor sistematice, ele fac ca măsurătorile repetate să se împrăștie în jurul valorii adevărate.

Sa presupunem ca cu ajutorul unui cronometru masuram perioada de oscilatie a pendulului, iar masurarea se repeta de multe ori. Erori la pornirea și oprirea cronometrului, o eroare în valoarea referinței, o mică mișcare neuniformă a pendulului - toate acestea provoacă o împrăștiere a rezultatelor măsurătorilor repetate și, prin urmare, pot fi clasificate drept erori aleatorii.

Dacă nu există alte erori, atunci unele rezultate vor fi oarecum supraestimate, în timp ce altele vor fi ușor subestimate. Dar dacă, pe lângă aceasta, și ceasul este în urmă, atunci toate rezultatele vor fi subestimate. Aceasta este deja o eroare sistematică.

Unii factori pot provoca atât erori sistematice, cât și aleatorii în același timp. Deci, pornind și oprind cronometrul, putem crea o mică răspândire neregulată în momentele de pornire și oprire a ceasului în raport cu mișcarea pendulului și, prin urmare, să introducem o eroare aleatorie. Dar dacă, în plus, de fiecare dată când ne grăbim să pornim cronometrul și întârziem oarecum să-l oprim, atunci aceasta va duce la o eroare sistematică.

Erorile aleatorii sunt cauzate de o eroare de paralaxă la citirea diviziunilor scalei instrumentului, scuturarea fundației clădirii, influența mișcării ușoare a aerului etc.

Deși este imposibil să se excludă erori aleatorii ale măsurătorilor individuale, teorie matematică fenomenele aleatorii ne permit să reducem influența acestor erori asupra rezultatului final al măsurării. Se va arăta mai jos că pentru aceasta este necesar să se facă nu una, ci mai multe măsurători, iar cu cât valoarea erorii pe care dorim să o obținem este mai mică, cu atât mai multe măsurători trebuie efectuate.

Datorită faptului că apariția erorilor aleatorii este inevitabilă și inevitabilă, sarcina principală a oricărui proces de măsurare este de a reduce erorile la minimum.

Teoria erorilor se bazează pe două ipoteze principale, confirmate de experiență:

1. Cu un număr mare de măsurători, erori aleatorii de aceeași amploare, dar semn diferit, adică erorile în direcția de creștere și scădere a rezultatului sunt destul de frecvente.

2. Erorile absolute mari sunt mai puțin frecvente decât cele mici, astfel încât probabilitatea unei erori scade pe măsură ce valoarea acesteia crește.

Comportamentul variabilelor aleatoare este descris prin regularități statistice, care fac obiectul teoriei probabilităților. Definiția statistică a probabilității w i evoluții i este atitudinea

Unde n - numărul total experimente, n i- numărul de experimente în care a avut loc evenimentul i s-a întâmplat. În acest caz, numărul total de experimente ar trebui să fie foarte mare ( n®¥). Cu un număr mare de măsurători, erorile aleatoare se supun unei distribuții normale (distribuția Gauss), ale cărei caracteristici principale sunt următoarele:

1. Cu cât abaterea valorii valorii măsurate este mai mare de la valoarea adevărată, cu atât probabilitatea unui astfel de rezultat este mai mică.

2. Abaterile în ambele direcții de la valoarea adevărată sunt la fel de probabile.

Din ipotezele de mai sus rezultă că, pentru a reduce influența erorilor aleatoare, este necesară măsurarea acestei mărimi de mai multe ori. Să presupunem că măsurăm o valoare x. Lăsați produs n masuratori: x 1 , x 2 , ... x n- prin aceeași metodă și cu aceeași grijă. Se poate aștepta ca numărul dn rezultate obţinute, care se află într-un interval destul de îngust de la X inainte de x + dx, ar trebui să fie proporțional cu:

Valoarea intervalului luat dx;

Numărul total de măsurători n.

Probabilitate dw(X) că ceva valoare X se află în intervalul de la X inainte de x+dx, definite după cum urmează :

(cu numărul de măsurători n ®¥).

Funcţie f(X) se numește funcție de distribuție sau densitate de probabilitate.

Ca postulat al teoriei erorilor, se presupune că rezultatele măsurătorilor directe și erorile lor aleatoare, cu un număr mare de ele, respectă legea distribuției normale.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue găsită de Gauss X are următoarea formă:

, unde mis - parametrii de distribuție .

Parametrul m al distribuției normale este egal cu valoarea medie á Xñ o variabilă aleatoare, care, pentru o funcție de distribuție cunoscută arbitrară, este determinată de integrală

În acest fel, valoarea m este valoarea cea mai probabilă a valorii măsurate x, adică. cea mai bună estimare a ei.

Parametrul s 2 al distribuției normale este egal cu varianța D a variabilei aleatoare, care este determinată în general de următoarea integrală

Rădăcină pătrată de la varianță se numește abaterea standard a variabilei aleatoare.

Abaterea medie (eroarea) variabilei aleatoare ásñ este determinată folosind funcția de distribuție după cum urmează

Eroarea medie de măsurare ásñ, calculată din funcția de distribuție Gaussiană, este legată de valoarea abaterii standard s după cum urmează:

< s > = 0,8s.

Parametrii s și m sunt legați după cum urmează:

Această expresie vă permite să găsiți abaterea standard s dacă există o curbă de distribuție normală.

Graficul funcției Gauss este prezentat în figuri. Funcţie f(X) este simetrică în raport cu ordonata trasată în punct x= m; trece prin maxim în punct x= m și are o inflexiune în punctele m ±s. Astfel, dispersia caracterizează lățimea funcției de distribuție sau arată cât de larg sunt împrăștiate valorile unei variabile aleatoare în raport cu valoarea sa adevărată. Cum măsurare precisă, cu cât rezultatele măsurătorilor individuale sunt mai aproape de valoarea adevărată, adică. valoarea lui s este mai mică. Figura A prezintă funcția f(X) pentru trei valori s .

Aria unei figuri delimitată de o curbă f(X) și linii verticale trasate din puncte X 1 și X 2 (Fig. B) , este numeric egal cu probabilitatea ca rezultatul măsurării să se încadreze în intervalul D x = x 1 - X 2, care se numește nivelul de încredere. Aria de sub întreaga curbă f(X) este egală cu probabilitatea ca o variabilă aleatoare să se încadreze în intervalul de la 0 la ¥, i.e.

întrucât probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu.

Folosind distribuția normală, teoria erorii pune și rezolvă două probleme principale. Prima este o evaluare a preciziei măsurătorilor. Al doilea este o evaluare a preciziei mediei aritmetice a rezultatelor măsurătorilor.5. Interval de încredere. Coeficientul elevului.

Teoria probabilității vă permite să determinați dimensiunea intervalului în care cu o probabilitate cunoscută w sunt rezultatele măsurătorilor individuale. Această probabilitate se numește nivel de încredere, și intervalul corespunzător (<X>±D X)w numit interval de încredere. Nivelul de încredere este, de asemenea, egal cu proporția relativă a rezultatelor care se încadrează în intervalul de încredere.

Dacă numărul de măsurători n este suficient de mare, atunci probabilitatea de încredere exprimă proporția din numărul total n acele măsurători în care valoarea măsurată a fost în intervalul de încredere. Fiecare nivel de încredere w corespunde intervalului său de încredere.w 2 80%. Cu cât intervalul de încredere este mai larg, cu atât este mai probabil să obțineți un rezultat în intervalul respectiv. În teoria probabilității, se stabilește o relație cantitativă între valoarea intervalului de încredere, probabilitatea de încredere și numărul de măsurători.

Dacă alegem ca interval de încredere intervalul corespunzător erorii medii, adică D a = ANUNȚ darñ, atunci pentru un număr suficient de mare de măsurători corespunde probabilității de încredere w 60%. Pe măsură ce numărul de măsurători scade, probabilitatea de încredere corespunzătoare unui astfel de interval de încredere (á darñ ± ANUNȚ darñ) scade.

Astfel, pentru a estima intervalul de încredere al unei variabile aleatoare, se poate folosi valoarea erorii medii -D darñ .

Pentru a caracteriza magnitudinea unei erori aleatoare, este necesar să se stabilească două numere, și anume, mărimea intervalului de încredere și mărimea probabilității de încredere. . Specificarea doar a mărimii erorii fără probabilitatea de încredere corespunzătoare este în mare măsură lipsită de sens.

Dacă eroarea medie de măsurare ásñ este cunoscută, intervalul de încredere scris ca (<X> ±asñ) w, determinat cu probabilitate de încredere w= 0,57.

Dacă abaterea standard s este cunoscută distribuția rezultatelor măsurătorilor, intervalul indicat are forma (<X>± tw s) w, Unde tw- coeficient in functie de valoarea probabilitatii de incredere si calculat dupa distributia gaussiana.

Cantitățile cele mai frecvent utilizate D X sunt prezentate în tabelul 1.

Măsurătorile se numesc Drept, dacă valorile cantităților sunt determinate direct de instrumente (de exemplu, măsurarea lungimii cu o riglă, determinarea timpului cu un cronometru etc.). Măsurătorile se numesc indirect, dacă valoarea mărimii măsurate este determinată prin măsurători directe ale altor mărimi care sunt asociate cu relația specifică măsurată.

Erori aleatorii în măsurători directe

Eroare absolută și relativă. Să se țină N măsurători de aceeași cantitate Xîn absenţa erorii sistematice. Rezultatele măsurătorilor individuale arată astfel: X 1 ,X 2 , …,X N. Valoarea medie a mărimii măsurate este aleasă ca fiind cea mai bună:

Eroare absolută măsurarea unică se numește diferența de forma:

Eroare absolută medie N măsurători unice:

(2)

numit eroare medie absolută.

Eroare relativă este raportul dintre eroarea medie absolută și valoarea medie a mărimii măsurate:

. (3)

Erori de instrument în măsurători directe

Dacă nu există instrucțiuni speciale, eroarea instrumentului este egală cu jumătate din valoarea sa de diviziune (riglă, pahar).

Eroarea instrumentelor echipate cu vernier este egală cu valoarea diviziunii vernierului (micrometru - 0,01 mm, șubler - 0,1 mm).

Eroarea valorilor tabelare este egală cu jumătate din unitatea ultimei cifre (cinci unități din ordinul următor după ultima cifră semnificativă).

Eroarea instrumentelor electrice de măsură se calculează în funcție de clasa de precizie DIN indicat pe scala instrumentului:

De exemplu:
Și
,

Unde U maxȘi eu max– limita de măsurare a aparatului.

Eroarea dispozitivelor cu indicație digitală este egală cu unitatea ultimei cifre a indicației.

După aprecierea erorilor aleatorii și instrumentale se ia în considerare cea a cărei valoare este mai mare.

Calculul erorilor în măsurători indirecte

Majoritatea măsurătorilor sunt indirecte. În acest caz, valoarea dorită X este o funcție a mai multor variabile dar,b, c… , ale căror valori pot fi găsite prin măsurători directe: Х = f( A, b, c…).

Media aritmetică a rezultatului măsurătorilor indirecte va fi egală cu:

X = f( A, b, c…).

Una dintre modalitățile de a calcula eroarea este modul de diferențiere a logaritmului natural al funcției X = f( A, b, c...). Dacă, de exemplu, valoarea dorită X este determinată de relația X = , apoi după luarea logaritmului obținem: lnX = ln A+ln b+ln( c+ d).

Diferența acestei expresii este:

În ceea ce privește calculul valorilor aproximative, se poate scrie pentru eroarea relativă sub forma:

 =
. (4)

Eroarea absolută în acest caz se calculează cu formula:

Х = Х(5)

Astfel, calculul erorilor și calculul rezultatului pentru măsurători indirecte se efectuează în următoarea ordine:

1) Efectuați măsurători ale tuturor cantităților incluse în formula originală pentru a calcula rezultatul final.

2) Calculați valorile medii aritmetice ale fiecărei valori măsurate și erorile absolute ale acestora.

3) Înlocuiți în formula originală valorile medii ale tuturor valorilor măsurate și calculați valoarea medie a valorii dorite:

X = f( A, b, c…).

4) Luați logaritmul formulei originale X = f( A, b, c...) și notați expresia erorii relative sub forma formulei (4).

5) Calculaţi eroarea relativă  = .

6) Calculați eroarea absolută a rezultatului folosind formula (5).

7) Rezultatul final se scrie astfel:

X \u003d X cf X

Erorile absolute și relative ale celor mai simple funcții sunt date în tabel:

Absolut

eroare

Relativ

eroare

A+ b

a+ b

Datorită erorilor inerente instrumentului de măsurare, metodei și tehnicii de măsurare alese, diferența dintre condițiile externe în care se efectuează măsurarea față de cele stabilite și alte motive, rezultatul aproape a fiecărei măsurători este împovărat cu o eroare. Această eroare este calculată sau estimată și atribuită rezultatului obținut.

Eroare de măsurare(pe scurt - eroare de măsurare) - abatere a rezultatului măsurării de la valoarea reală a mărimii măsurate.

Valoarea adevărată a cantității datorită prezenței erorilor rămâne necunoscută. Este folosit pentru a rezolva sarcini teoretice metrologie. În practică, se folosește valoarea reală a cantității, care înlocuiește valoarea adevărată.

Eroarea de măsurare (Δx) se găsește prin formula:

x = x măsura. - x actual (1,3)

unde x măsura. - valoarea cantitatii obtinute pe baza masuratorilor; x actual este valoarea cantității luate ca fiind reală.

Valoarea reală pentru măsurători individuale este adesea luată ca valoare obținută cu ajutorul unui instrument de măsurare exemplar, pentru măsurători repetate - media aritmetică a valorilor măsurătorilor individuale incluse în această serie.

Erorile de măsurare pot fi clasificate după următoarele criterii:

După natura manifestării - sistematic și aleatoriu;

Prin expresie - absolută și relativă;

În funcție de condițiile de modificare a valorii măsurate - static și dinamic;

Conform metodei de prelucrare a unui număr de măsurători - aritmetice și pătrate medii;

În funcție de caracterul complet al acoperirii sarcinii de măsurare - privat și complet;

Relativ la unitate cantitate fizica— erori de reproducere a unității, stocare a unității și transmitere a dimensiunii unității.

Eroare sistematică de măsurare(pe scurt - eroare sistematică) - o componentă a erorii rezultatului măsurării, care rămâne constantă pentru o serie dată de măsurători sau se modifică în mod regulat în timpul măsurătorilor repetate ale aceleiași mărimi fizice.

După natura manifestării, erorile sistematice sunt împărțite în constante, progresive și periodice. Erori sistematice permanente(pe scurt - erori constante) - erori, perioadă lungă de timp păstrându-și valoarea (de exemplu, pe parcursul întregii serii de măsurători). Acesta este cel mai frecvent tip de eroare.

Erori sistematice progresive(pe scurt - erori progresive) - erori în continuă creștere sau scădere (de exemplu, erori datorate uzurii vârfurilor de măsurare care vin în contact în timpul șlefuirii cu o piesă atunci când aceasta este controlată de un dispozitiv de control activ).

Eroare sistematică periodică(pe scurt - eroare periodică) - o eroare a cărei valoare este o funcție de timp sau o funcție de mișcarea pointerului Aparat de măsură(de exemplu, prezența excentricității în goniometrele cu scară circulară provoacă o eroare sistematică care variază în funcție de o lege periodică).

Pe baza motivelor apariției erorilor sistematice, există erori instrumentale, erori de metodă, erori subiective și erori datorate abaterii condițiilor externe de măsurare de la metodele stabilite.

Eroare de măsurare instrumentală(pe scurt - eroare instrumentală) este rezultatul unui număr de motive: uzura pieselor dispozitivului, frecare excesivă în mecanismul dispozitivului, curse inexacte pe scară, discrepanță între real și valorile nominale masuri etc.

Eroarea metodei de măsurare(pe scurt - eroarea metodei) poate apărea din cauza imperfecțiunii metodei de măsurare sau simplificărilor acesteia, stabilite prin procedura de măsurare. De exemplu, o astfel de eroare se poate datora vitezei insuficiente a instrumentelor de măsurare utilizate la măsurarea parametrilor proceselor rapide sau a impurităților nesocotite atunci când se determină densitatea unei substanțe pe baza rezultatelor măsurării masei și volumului acesteia.

Eroarea subiectivă de măsurare(pe scurt – eroare subiectivă) se datorează erorilor individuale ale operatorului. Uneori, această eroare se numește diferență personală. Este cauzată, de exemplu, de o întârziere sau avans în acceptarea unui semnal de către operator.

Eroare de abatere(într-o direcție) a condițiilor exterioare de măsurare din cele stabilite prin procedura de măsurare duce la apariția unei componente sistematice a erorii de măsurare.

Erorile sistematice distorsionează rezultatul măsurării, astfel încât acestea trebuie eliminate, pe cât posibil, prin introducerea de corecții sau ajustarea instrumentului pentru a aduce erorile sistematice la un minimum acceptabil.

Eroare sistematică neexclusă(pe scurt - eroare neexclusă) - aceasta este eroarea rezultatului măsurării din cauza erorii în calcularea și introducerea unei corecții pentru efectul unei erori sistematice sau a unei mici erori sistematice, a cărei corecție nu este introdusă datorită micime.

Acest tip de eroare este uneori denumit reziduuri de părtinire neexcluse(pe scurt - solduri neexcluse). De exemplu, la măsurarea lungimii unui metru de linie în lungimile de undă ale radiației de referință, au fost relevate mai multe erori sistematice neexcluse (i): din cauza măsurării inexacte ale temperaturii - 1 ; din cauza determinării inexacte a indicelui de refracție al aerului - 2, din cauza valorii inexacte a lungimii de undă - 3.

De obicei, se ia în considerare suma erorilor sistematice neexcluse (limitele acestora sunt stabilite). Cu numărul de termeni N ≤ 3, limitele erorilor sistematice neexcluse sunt calculate prin formula

Când numărul de termeni este N ≥ 4, formula este utilizată pentru calcule

(1.5)

unde k este coeficientul de dependență al erorilor sistematice neexcluse de probabilitatea de încredere aleasă P cu distribuția lor uniformă. La P = 0,99, k = 1,4, la P = 0,95, k = 1,1.

Eroare de măsurare aleatorie(pe scurt - eroare aleatorie) - o componentă a erorii rezultatului măsurării, modificându-se aleator (în semn și valoare) într-o serie de măsurători de aceeași dimensiune a unei mărimi fizice. Cauzele erorilor aleatorii: erori de rotunjire la citirea citirilor, variația citirilor, modificări ale condițiilor de măsurare de natură aleatorie etc.

Erorile aleatorii cauzează dispersarea rezultatelor măsurătorilor într-o serie.

Teoria erorilor se bazează pe două prevederi, confirmate de practică:

1. La un număr mare de măsurători, apar la fel de des erori aleatorii de aceeași valoare numerică, dar de alt semn;

2. Erorile mari (în valoare absolută) sunt mai puțin frecvente decât cele mici.

Din prima poziție rezultă o concluzie importantă pentru practică: odată cu creșterea numărului de măsurători, eroarea aleatorie a rezultatului obținut dintr-o serie de măsurători scade, deoarece suma erorilor măsurătorilor individuale din această serie tinde spre zero, adică

(1.6)

De exemplu, în urma măsurătorilor, s-a obținut o serie de valori rezistență electrică(care sunt corectate pentru efectele erorilor sistematice): R1 = 15,5 ohmi, R2 = 15,6 ohmi, R3 = 15,4 ohmi, R4 = 15,6 ohmi și R5 = 15,4 ohmi. Prin urmare, R = 15,5 ohmi. Abaterile de la R (R 1 \u003d 0,0; R 2 \u003d +0,1 Ohm, R 3 \u003d -0,1 Ohm, R 4 \u003d +0,1 Ohm și R 5 \u003d -0,1 Ohm) sunt erori aleatorii ale măsurătorilor individuale într-un serie dată. Este ușor de observat că suma R i = 0,0. Acest lucru indică faptul că erorile măsurătorilor individuale din această serie sunt calculate corect.

În ciuda faptului că, odată cu creșterea numărului de măsurători, suma erorilor aleatoare tinde spre zero (în acest exemplu s-a întâmplat să fie zero), eroarea aleatorie a rezultatului măsurării trebuie estimată. În teoria variabilelor aleatoare, dispersia o2 servește ca o caracteristică a dispersiei valorilor unei variabile aleatoare. „| / o2 \u003d a se numește abaterea standard a populației generale sau abaterea standard.

Este mai convenabil decât dispersia, deoarece dimensiunea acesteia coincide cu dimensiunea mărimii măsurate (de exemplu, valoarea cantității se obține în volți, abaterea standard va fi și în volți). Întrucât în practica măsurătorilor se tratează termenul „eroare”, termenul „eroare pătratică medie” derivat din acesta ar trebui folosit pentru a caracteriza un număr de măsurători. Un număr de măsurători pot fi caracterizate prin eroarea medie aritmetică sau intervalul rezultatelor măsurătorilor.

Intervalul rezultatelor măsurătorilor (pe scurt - interval) este diferența algebrică dintre cele mai mari și cele mai mici rezultate ale măsurătorilor individuale care formează o serie (sau eșantion) de n măsurători:

R n \u003d X max - X min (1,7)

unde R n este intervalul; X max și X min - cel mai mare și cea mai mică valoare valori dintr-o serie dată de măsurători.

De exemplu, din cinci măsurători ale diametrului găurii d, valorile R 5 = 25,56 mm și R 1 = 25,51 mm s-au dovedit a fi valorile maxime și minime ale acestuia. În acest caz, R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. Aceasta înseamnă că erorile rămase din această serie sunt mai mici de 0,05 mm.

Eroarea aritmetică medie a unei singure măsurători dintr-o serie(pe scurt - eroarea medie aritmetică) - caracteristica generalizată de împrăștiere (din motive aleatorii) a rezultatelor măsurătorilor individuale (de aceeași valoare), incluse într-o serie de n măsurători independente la fel de precise, se calculează prin formula

(1.8)

unde X i este rezultatul celei de-a i-a măsurători incluse în serie; x este media aritmetică a n valori ale mărimii: |X i - X| este valoarea absolută a erorii celei de-a i-a măsurători; r este eroarea medie aritmetică.

Valoarea adevărată a erorii medii aritmetice p este determinată din raport

p = lim r, (1,9)

Cu numărul de măsurători n > 30, între media aritmetică (r) și pătratul mediu (e) exista corelatii

s = 1,25r; r și = 0,80 s. (1,10)

Avantajul erorii medii aritmetice este simplitatea calculului acesteia. Dar și mai des determină eroarea pătratică medie.

Eroare pătratică medie măsurare individuală într-o serie (pe scurt - eroare pătrată medie) - o caracteristică generalizată de împrăștiere (din motive aleatorii) a rezultatelor măsurătorilor individuale (de aceeași valoare) incluse într-o serie de P măsurători independente la fel de precise, calculate prin formula

(1.11)

Eroarea pătratică medie pentru eșantionul general o, care este limita statistică a lui S, poate fi calculată pentru /i-mx > prin formula:

Σ = lim S (1.12)

În realitate, numărul de dimensiuni este întotdeauna limitat, deci nu se calculează σ , și valoarea sa aproximativă (sau estimarea), care este s. Cu atât mai mult P, cu atât s este mai aproape de limita sa σ .

Cu o distribuție normală, probabilitatea ca eroarea unei singure măsurători dintr-o serie să nu depășească eroarea pătratică medie calculată este mică: 0,68. Prin urmare, în 32 de cazuri din 100 sau 3 cazuri din 10, eroarea reală poate fi mai mare decât cea calculată.

Figura 1.2 Scăderea valorii erorii aleatoare a rezultatului măsurătorilor multiple cu creșterea numărului de măsurători într-o serie

Într-o serie de măsurători, există o relație între eroarea rms a unei singure măsurători s și eroarea rms a mediei aritmetice S x:

care este adesea numită „regula lui Y n”. Din această regulă rezultă că eroarea de măsurare datorată acțiunii unor cauze aleatoare poate fi redusă de n ori dacă se efectuează n măsurători de aceeași dimensiune a oricărei mărimi, iar valoarea medie aritmetică este luată ca rezultat final (Fig. 1.2). ).

Efectuarea a cel puțin 5 măsurători într-o serie face posibilă reducerea efectului erorilor aleatorii de mai mult de 2 ori. Cu 10 măsurători, efectul erorii aleatoare este redus cu un factor de 3. O creștere suplimentară a numărului de măsurători nu este întotdeauna fezabilă din punct de vedere economic și, de regulă, este efectuată numai pentru măsurători critice care necesită o precizie ridicată.

Eroarea pătratică medie a unei singure măsurători dintr-o serie de măsurători duble omogene S α este calculată prin formula

(1.14)

unde x" i și x"" i sunt rezultatele i-lea ale măsurătorilor de aceeași mărime în direcțiile înainte și invers, cu un instrument de măsurare.

Cu măsurători inegale, eroarea pătrată medie a mediei aritmetice din serie este determinată de formula

(1.15)

unde p i este greutatea celei de-a i-a măsurători într-o serie de măsurători inegale.

Eroarea pătratică medie a rezultatului măsurătorilor indirecte ale mărimii Y, care este o funcție a lui Y \u003d F (X 1, X 2, X n), este calculată prin formula

(1.16)

unde S 1 , S 2 , S n sunt erori pătratice medii ale rezultatelor măsurătorilor pentru X 1 , X 2 , X n .

Dacă, pentru o mai mare fiabilitate a obținerii unui rezultat satisfăcător, se efectuează mai multe serii de măsurători, eroarea pătratică medie a unei măsurători individuale din seria m (S m) se găsește prin formula

(1.17)

Unde n este numărul de măsurători din serie; N este numărul total de măsurători din toate seriile; m este numărul de serii.

Cu un număr limitat de măsurători, este adesea necesar să se cunoască eroarea RMS. Pentru a determina eroarea S, calculată prin formula (2.7) și eroarea S m , calculată prin formula (2.12), puteți folosi următoarele expresii

(1.18)

(1.19)

unde S și S m sunt erorile pătratice medii ale lui S și respectiv S m .

De exemplu, la procesarea rezultatelor unei serii de măsurători ale lungimii x, am obținut

= 86 mm 2 la n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm sau S = ±0,7 mm

Valoarea S = ±0,7 mm înseamnă că, din cauza erorii de calcul, s este în intervalul de la 2,4 la 3,8 mm, prin urmare, zecimi de milimetru nu sunt de încredere aici. În cazul considerat este necesar să se noteze: S = ±3 mm.

Pentru a avea o mai mare încredere în estimarea erorii rezultatului măsurării, se calculează eroarea de încredere sau limitele de încredere ale erorii. Cu o lege de distribuție normală, limitele de încredere ale erorii sunt calculate ca ±t-s sau ±t-s x , unde s și s x sunt erorile pătratice medii, respectiv, ale unei singure măsurători dintr-o serie și media aritmetică; t este un număr în funcție de nivelul de încredere P și de numărul de măsurători n.

Un concept important este fiabilitatea rezultatului măsurării (α), adică. probabilitatea ca valoarea dorită a mărimii măsurate să se încadreze într-un interval de încredere dat.

De exemplu, la prelucrarea pieselor pe mașini-unelte într-un mod tehnologic stabil, distribuția erorilor respectă legea normală. Să presupunem că toleranța pentru lungimea părții este setată la 2a. În acest caz, intervalul de încredere în care se află valoarea dorită a lungimii piesei a va fi (a - a, a + a).

Dacă 2a = ±3s, atunci fiabilitatea rezultatului este a = 0,68, adică, în 32 de cazuri din 100, este de așteptat ca dimensiunea piesei să depășească toleranța de 2a. La evaluarea calitatii piesei conform tolerantei 2a = ±3s, fiabilitatea rezultatului va fi de 0,997. În acest caz, se poate aștepta ca doar trei părți din 1000 să depășească toleranța stabilită.Cu toate acestea, o creștere a fiabilității este posibilă numai cu o scădere a erorii în lungimea piesei. Deci, pentru a crește fiabilitatea de la a = 0,68 la a = 0,997, eroarea în lungimea piesei trebuie redusă cu un factor de trei.

Recent primit utilizare largă termenul „fiabilitatea măsurării”. În unele cazuri, este folosit în mod nerezonabil în locul termenului „precizia măsurării”. De exemplu, în unele surse puteți găsi expresia „stabilirea unității și fiabilității măsurătorilor în țară”. Întrucât ar fi mai corect să spunem „stabilirea unității și precizia necesară a măsurătorilor”. Fiabilitatea este considerată de noi ca o caracteristică calitativă, reflectând apropierea de zero a erorilor aleatorii. Cantitativ, poate fi determinat prin nefiabilitatea măsurătorilor.

Incertitudinea măsurătorilor(pe scurt - nefiabilitate) - o evaluare a discrepanței dintre rezultatele într-o serie de măsurători datorită influenței impactului total al erorilor aleatoare (determinate prin metode statistice și non-statistice), caracterizată prin intervalul de valori în în care se află adevărata valoare a mărimii măsurate.

În conformitate cu recomandările Biroului Internațional de Greutăți și Măsuri, incertitudinea este exprimată ca eroarea de măsurare efectivă totală - Su incluzând eroarea efectivă S (determinată prin metode statistice) și eroarea efectivă u (determinată prin metode nestatistice) , adică

(1.20)

Limită eroarea de măsurare(pe scurt - eroare marginală) - eroarea maximă de măsurare (plus, minus), a cărei probabilitate nu depășește valoarea lui P, în timp ce diferența 1 - P este nesemnificativă.

De exemplu, cu o distribuție normală, probabilitatea unei erori aleatoare de ±3s este 0,997, iar diferența 1-P = 0,003 este nesemnificativă. Prin urmare, în multe cazuri, eroarea de încredere ±3s este luată drept limită, adică pr = ±3s. Dacă este necesar, pr poate avea și alte relații cu s pentru P suficient de mare (2s, 2,5s, 4s etc.).

În legătură cu faptul că în standardele GSI, în locul termenului „root mean square error”, este folosit termenul „root mean square deviation”, în raționamentul ulterioar ne vom menține pe acest termen.

Eroare absolută de măsurare(pe scurt - eroare absolută) - eroare de măsurare, exprimată în unități ale valorii măsurate. Deci, eroarea X de măsurare a lungimii părții X, exprimată în micrometri, este o eroare absolută.

Termenii „eroare absolută” și „valoare absolută a erorii” nu trebuie confundați, care este înțeles ca valoarea erorii fără a ține cont de semn. Deci, dacă eroarea absolută de măsurare este de ±2 μV, atunci valoarea absolută a erorii va fi de 0,2 μV.

Eroare relativă de măsurare(pe scurt - eroare relativă) - eroare de măsurare, exprimată ca fracțiune din valoarea valorii măsurate sau ca procent. Eroarea relativă δ se găsește din rapoartele:

(1.21)

De exemplu, există o valoare reală a lungimii piesei x = 10,00 mm și o valoare absolută a erorii x = 0,01 mm. Eroarea relativă va fi

Eroare statică este eroarea rezultatului măsurătorii datorată condițiilor măsurării statice.

Eroare dinamică este eroarea rezultatului măsurării datorită condițiilor de măsurare dinamică.

Eroare de reproducere a unității- eroarea rezultatului măsurătorilor efectuate la reproducerea unei unităţi de mărime fizică. Deci, eroarea în reproducerea unei unități folosind standardul de stat este indicată sub forma componentelor sale: o eroare sistematică neexclusă, caracterizată prin limita sa; eroare aleatorie caracterizată prin abaterea standard s și instabilitatea anuală ν.

Eroare de transmisie dimensiunea unității este eroarea din rezultatul măsurătorilor efectuate la transmiterea mărimii unității. Eroarea de transmisie a mărimii unității include erori sistematice neexcluse și erori aleatorii ale metodei și mijloacelor de transmitere a mărimii unității (de exemplu, un comparator).

abstract

Eroare absolută și relativă

Introducere

Eroare absolută - este o estimare a erorii absolute de măsurare. Calculat căi diferite. Metoda de calcul este determinată de distribuția variabilei aleatoare. În consecință, mărimea erorii absolute depinde de distribuția variabilei aleatoare poate fi diferit. Dacă este valoarea măsurată și este adevărata valoare, apoi inegalitatea trebuie să fie satisfăcut cu o probabilitate apropiată de 1. Dacă variabila aleatoare distribuit conform legii normale, atunci de obicei deviația sa standard este considerată eroare absolută. Eroarea absolută este măsurată în aceleași unități ca și valoarea în sine.

Există mai multe moduri de a scrie o cantitate împreună cu eroarea sa absolută.

· De obicei se folosește notația semnată ± . De exemplu, recordul de 100 m stabilit în 1983 este 9,930±0,005 s.

· Pentru a înregistra valorile măsurate cu o precizie foarte mare, se folosește o altă notație: numerele corespunzătoare erorii ultimelor cifre ale mantisei sunt adăugate între paranteze. De exemplu, valoarea măsurată a constantei Boltzmann este 1,380 6488 (13)×10?23 J/K, care poate fi scris și mult mai mult ca 1.380 6488×10?23 ± 0,000 0013×10?23 J/K.

Eroare relativă- eroare de măsurare, exprimată ca raport dintre eroarea absolută de măsurare și valoarea reală sau medie a mărimii măsurate (RMG 29-99):.

Eroarea relativă este o mărime adimensională sau este măsurată ca procent.

1. Ce se numește valoare aproximativă?

Prea mult și prea puțin? În procesul de calcule, de multe ori trebuie să se ocupe de numere aproximative. Lasa DAR- valoarea exactă a unei anumite cantități, denumită în continuare număr exact DAR.Sub valoarea aproximativă a cantității DAR,sau numere aproximativenumit un număr dar, care înlocuiește valoarea exactă a cantității DAR.Dacă dar< DAR,apoi darse numește valoarea aproximativă a numărului Și din lipsă.Dacă dar> DAR,- apoi în exces.De exemplu, 3,14 este o aproximare a numărului ? prin deficiență și 3,15 prin exces. Pentru a caracteriza gradul de acuratețe al acestei aproximări, se utilizează conceptul erori sau erori.

eroare ?darnumăr aproximativ darse numește diferența de formă

?a = A - a,

Unde DAReste numărul exact corespunzător.

Figura arată că lungimea segmentului AB este între 6 cm și 7 cm.

Aceasta înseamnă că 6 este valoarea aproximativă a lungimii segmentului AB (în centimetri)\u003e cu o deficiență, iar 7 este cu un exces.

Notând lungimea segmentului cu litera y, obținem: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentAB (vezi fig. 149) este mai aproape de 6 cm decât de 7 cm.Este aproximativ egal cu 6 cm.Se spune că numărul 6 a fost obținut prin rotunjirea lungimii segmentului la numere întregi.

. Ce este o eroare de aproximare?

A) absolut?

B) Rudă?

A) Eroarea absolută de aproximare este modulul diferenței dintre valoarea adevărată a unei mărimi și valoarea ei aproximativă. |x - x_n|, unde x este valoarea adevărată, x_n este valoarea aproximativă. De exemplu: lungimea unei foi de hârtie A4 este (29,7 ± 0,1) cm, iar distanța de la Sankt Petersburg la Moscova este (650 ± 1) km. Eroarea absolută în primul caz nu depășește un milimetru, iar în al doilea - un kilometru. Întrebarea este de a compara acuratețea acestor măsurători.

Dacă credeți că lungimea foii se măsoară mai precis deoarece eroarea absolută nu depășește 1 mm. Atunci te înșeli. Aceste valori nu pot fi comparate direct. Hai să facem niște raționamente.

La măsurarea lungimii unei foi, eroarea absolută nu depășește 0,1 cm cu 29,7 cm, adică ca procent, este 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% din valoarea măsurată.

Când măsurăm distanța de la Sankt Petersburg la Moscova, eroarea absolută nu depășește 1 km la 650 km, care este 1/650 * 100% = 0,15% din valoarea măsurată ca procent. Vedem că distanța dintre orașe este măsurată mai precis decât lungimea unei foi A4.

B) Eroarea relativă de aproximare este raportul dintre eroarea absolută și modulul valorii aproximative a mărimii.

fracția de eroare matematică

unde x este valoarea adevărată, x_n este valoarea aproximativă.

Eroarea relativă este de obicei numită procent.

Exemplu. Rotunjirea numărului 24,3 la unități are ca rezultat numărul 24.

Eroarea relativă este egală. Ei spun că eroarea relativă în acest caz este de 12,5%.

) Ce fel de rotunjire se numește rotunjire?

A) cu un dezavantaj?

b) Prea mult?

A) rotunjirea în jos

Când rotunjiți un număr exprimat ca fracție zecimală la 10^(-n), primele n cifre după virgulă sunt reținute, iar cele ulterioare sunt eliminate.

De exemplu, rotunjirea 12,4587 la cea mai apropiată miime cu un demerit are ca rezultat 12,458.

B) Rotunjirea

La rotunjirea unui număr exprimat ca fracție zecimală, până la 10^(-n), primele n cifre după virgulă sunt reținute cu un exces, iar cele ulterioare sunt aruncate.

De exemplu, rotunjirea 12,4587 la cea mai apropiată miime cu un demerit are ca rezultat 12,459.

) Regula pentru rotunjirea zecimalelor.

Regulă. Pentru a rotunji o zecimală la o anumită cifră a întregii sau a părții fracționale, toate cifrele mai mici sunt înlocuite cu zerouri sau eliminate, iar cifra care precede cifra eliminată în timpul rotunjirii nu își schimbă valoarea dacă este urmată de numerele 0, 1, 2, 3, 4 și crește cu 1 (unul) dacă numerele sunt 5, 6, 7, 8, 9.

Exemplu. Rotunjiți fracția 93,70584 la:

zece miimi: 93,7058

miimi: 93,706

sutimi: 93,71

zecimi: 93,7

întreg: 94

zeci: 90

În ciuda egalității erorilor absolute, din moment ce cantitățile măsurate sunt diferite. Cu cât dimensiunea măsurată este mai mare, cu atât eroarea relativă este mai mică la un absolut constant.

Îndrumare

Ai nevoie de ajutor pentru a învăța un subiect?

Experții noștri vă vor consilia sau vă vor oferi servicii de îndrumare pe subiecte care vă interesează.
Trimiteți o cerere indicand subiectul chiar acum pentru a afla despre posibilitatea obtinerii unei consultatii.

Recomandăm și noi

Se încarcă...