Dispersia unei variabile aleatoare. Cum se elaborează o lege de distribuție a unei variabile aleatoare exemple Găsiți varianța conform legii distribuției

După cum se știe, variabilă aleatorie se numește o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor - cu literele mici corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatoare sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue.

Variabilă aleatoare discretă se numește o variabilă aleatorie care ia doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este o funcție care conectează valorile unei variabile aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată în una din următoarele moduri.

1 . Legea distribuției poate fi dată de tabelul:

unde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

în) prin intermediul funcția de distribuție F(x) , care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică. F(x) = P(X< x).

Proprietățile funcției F(x)

3 . Legea distribuției poate fi stabilită grafic – poligon de distribuție (poligon) (vezi problema 3).

Rețineți că pentru a rezolva unele probleme nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoașteți unul sau mai multe numere care reflectă cele mai importante caracteristici ale legii distribuției. Poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea sa medie. Numerele de acest fel sunt numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.

Caracteristicile numerice de bază ale unei variabile aleatoare discrete :

• Așteptări matematice (valoarea medie) a unei variabile aleatoare discrete M(X)=Σ x i p i.
  Pentru distribuția binomială M(X)=np, pentru distribuția Poisson M(X)=λ
• Dispersia variabilă aleatoare discretă D(X)=M2 sau D(X) = M(X 2) − 2. Diferența X–M(X) se numește abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.
  Pentru distribuția binomială D(X)=npq, pentru distribuția Poisson D(X)=λ
• Deviație standard (deviație standard) σ(X)=√D(X).

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete”

Sarcina 1.

Au fost emise 1.000 de bilete de loterie: 5 dintre ele vor câștiga 500 de ruble, 10 vor câștiga 100 de ruble, 20 vor câștiga 50 de ruble și 50 vor câștiga 10 ruble. Determinați legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare X - câștiguri pe bilet.

Decizie. În funcție de starea problemei, sunt posibile următoarele valori ale variabilei aleatoare X: 0, 10, 50, 100 și 500.

Numărul de bilete fără câștig este 1000 - (5+10+20+50) = 915, apoi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

În mod similar, găsim toate celelalte probabilități: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=0,01). =500) = 5/1000=0,005. Prezentăm legea rezultată sub forma unui tabel:

Aflați așteptările matematice ale lui X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Sarcina 3.

Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente eșuate într-un experiment, construiește un poligon de distribuție. Găsiți funcția de distribuție F(x) și reprezentați-o grafic. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete.

Decizie. 1. Variabila aleatorie discretă X=(numărul de elemente eșuate într-un experiment) are următoarele valori posibile: x 1 =0 (niciunul dintre elementele dispozitivului nu a eșuat), x 2 =1 (un element a eșuat), x 3 =2 ( două elemente au eșuat ) și x 4 \u003d 3 (trei elemente au eșuat).

Eșecurile elementelor sunt independente unele de altele, probabilitățile de eșec ale fiecărui element sunt egale între ele, prin urmare, este aplicabil formula lui Bernoulli . Având în vedere că, prin condiție, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinăm probabilitățile valorilor:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Verificați: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Astfel, legea de distribuție binomială dorită X are forma:

Pe axa absciselor, graficăm valorile posibile x i, iar pe axa ordonatelor, probabilitățile corespunzătoare р i . Să construim punctele M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Conectând aceste puncte cu segmente de linie, obținem poligonul de distribuție dorit.

3. Găsiți funcția de distribuție F(x) = P(X

Pentru x ≤ 0 avem F(x) = P(X<0) = 0;
pentru 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
pentru 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
pentru 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pentru x > 3 va fi F(x) = 1, deoarece evenimentul este sigur.

Graficul funcției F(x)

4. Pentru distribuția binomială X:
- așteptarea matematică М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersia D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- abaterea standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Variabile aleatorii”.

Sarcină 1 . Sunt 100 de bilete emise la loterie. S-a jucat o victorie de 50 USD. și zece câștiguri de 10 USD fiecare. Aflați legea distribuției valorii X - costul unui posibil câștig.

Decizie. Valori posibile ale lui X: x 1 = 0; X 2 = 10 și x 3 = 50. Deoarece există 89 de bilete „goale”, atunci p 1 = 0,89, probabilitatea de castig este de 10 c.u. (10 bilete) – p 2 = 0,10 și pentru un câștig de 50 c.u. –p 3 = 0,01. Prin urmare:

	0,89	0,10	0,01

Ușor de controlat: .

Sarcină 2. Probabilitatea ca cumpărătorul să se fi familiarizat în avans cu reclama produsului este de 0,6 (p = 0,6). Controlul selectiv al calității publicității este efectuat prin sondajul cumpărătorilor înaintea primului care a studiat reclama în prealabil. Faceți o serie de distribuție a numărului de cumpărători intervievați.

Decizie. După condiţia problemei p = 0,6. Din: q=1 -p = 0,4. Înlocuind aceste valori, obținem:și construiți o serie de distribuție:

pi		0,24

Sarcină 3. Un computer este format din trei elemente care funcționează independent: o unitate de sistem, un monitor și o tastatură. Cu o singură creștere bruscă a tensiunii, probabilitatea de defecțiune a fiecărui element este de 0,1. Pe baza distribuției Bernoulli, întocmește legea distribuției pentru numărul de elemente defectate în timpul unei supratensiuni în rețea.

Decizie. Considera distribuția Bernoulli(sau binom): probabilitatea ca în n teste, evenimentul A va apărea exact k o singura data: , sau:

	q n					p n

LA să revenim la sarcină.

Valori posibile ale lui X (număr de defecțiuni):

x 0 =0 - niciunul dintre elemente nu a eșuat;

x 1 =1 - defectarea unui element;

x 2 =2 - defectarea a două elemente;

x 3 =3 - defectarea tuturor elementelor.

Deoarece, prin condiție, p = 0,1, atunci q = 1 – p = 0,9. Folosind formula Bernoulli, obținem

, ,

, .

Controlul: .

Prin urmare, legea de distribuție dorită:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Sarcina 4. Produse 5000 de runde. Probabilitatea ca un cartuş să fie defect . Care este probabilitatea ca în întregul lot să fie exact 3 cartușe defecte?

Decizie. Aplicabil Distribuția Poisson: această distribuție este folosită pentru a determina probabilitatea ca, având în vedere un foarte mare

număr de încercări (încercări în masă), în fiecare dintre ele probabilitatea evenimentului A este foarte mică, evenimentul A va avea loc de k ori: , Unde .

Aici n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Găsim , apoi probabilitatea dorită: .

Sarcina 5. Când trageți înainte de prima lovitură cu probabilitatea de a lovi p = 0,6 pentru o lovitură, trebuie să găsiți probabilitatea ca lovitura să apară la a treia lovitură.

Decizie. Să aplicăm distribuția geometrică: să se facă încercări independente, în fiecare dintre ele evenimentul A are o probabilitate de apariție p (și de neapariție q = 1 - p). Încercările se încheie imediat ce apare evenimentul A.

În astfel de condiții, probabilitatea ca evenimentul A să se producă la testul k este determinată de formula: . Aici p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4;k \u003d 3. Prin urmare, .

Sarcina 6. Fie dată legea distribuției unei variabile aleatoare X:

Găsiți așteptările matematice.

Decizie. .

Rețineți că sensul probabilistic al așteptării matematice este valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Sarcina 7. Aflați varianța unei variabile aleatoare X cu următoarea lege de distribuție:

Decizie. Aici .

Legea distribuției pătratului lui X 2 :

X 2

Varianta necesară: .

Dispersia caracterizează gradul de abatere (împrăștiere) a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică.

Sarcina 8. Fie variabila aleatoare dată de distribuția:

			10m

Găsiți caracteristicile sale numerice.

Rezolvare: m, m 2 ,

M 2 , m.

Despre o variabilă aleatoare X, se poate spune fie - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o varianță de 13,04 m 2 , sau - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o abatere de m. A doua formulare este evident mai clară.

Sarcină 9. Valoare aleatoare X dat de funcția de distribuție:
.

Aflați probabilitatea ca, în urma testului, valoarea X să capete o valoare cuprinsă în interval .

Decizie. Probabilitatea ca X să ia o valoare dintr-un interval dat este egală cu incrementul funcției integrale în acest interval, i.e. . În cazul nostru și, prin urmare

.

Sarcină 10. Variabilă aleatoare discretă X dat de legea distributiei:

Găsiți funcția de distribuție F(x ) și construiește-i graficul.

Decizie. Deoarece funcţia de distribuţie

pentru , apoi

la ;

la ;

la ;

la ;

Grafic relevant:

Sarcina 11. Variabilă aleatoare continuă X dat de funcția de distribuție diferențială: .

Găsiți probabilitatea de a lovi X la interval

Decizie. Rețineți că acesta este un caz special al legii distribuției exponențiale.

Să folosim formula: .

Sarcină 12. Aflați caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare discrete X date de legea distribuției:

	–5
	X 2 : x2 . , Unde este funcția Laplace. Valorile acestei funcții sunt găsite folosind un tabel. În cazul nostru: . Conform tabelului găsim:, prin urmare:

Atribuirea serviciului. Calculatorul online este folosit pentru a construi un tabel de distribuție a unei variabile aleatoare X - numărul de experimente efectuate și pentru a calcula toate caracteristicile seriei: așteptare matematică, varianță și abatere standard. Procesul-verbal cu decizia se intocmeste in format Word. Exemplul #1. Se aruncă trei monede. Probabilitatea ca o stemă să cadă într-o singură rolă este de 0,5. Faceți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatoare X - numărul de steme care au căzut.
Decizie.
Probabilitatea ca nicio stemă să nu cadă: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Probabilitatea ca trei steme să cadă: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Legea distribuției unei variabile aleatoare X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Verificați: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Exemplul #2. Probabilitatea de a lovi ținta de către un trăgător cu o singură lovitură pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea trăgător - 0,85. Trăgătorii au tras o singură lovitură în țintă. Presupunând că atingerea țintei pentru trăgători individuali ca evenimente independente, găsiți probabilitatea evenimentului A - exact o lovitură pe țintă.
Decizie.
Luați în considerare evenimentul A - o lovitură pe țintă. Posibilele apariții ale acestui eveniment sunt următoarele:

1. Primul trăgător lovit, al doilea trăgător ratat: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Primul trăgător a ratat, al doilea trăgător a lovit ținta: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Primul și al doilea trăgător lovesc independent ținta: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Atunci probabilitatea evenimentului A - exact o lovitură pe țintă, va fi egală cu: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Definiție.Dispersare (împrăștiere) Variabila aleatoare discretă se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea sa matematică:

Exemplu. Pentru exemplul de mai sus, găsim

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt:

Valori posibile ale abaterii pătrate:

; ;

Dispersia este:

Cu toate acestea, în practică, această metodă de calcul a varianței este incomod, deoarece duce la calcule greoaie pentru un număr mare de valori ale unei variabile aleatorii. Prin urmare, se folosește o altă metodă.

Calculul variației

Teorema. Varianta este egală cu diferența dintre așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare X și pătratul așteptării sale matematice:

Dovada.Ținând cont de faptul că așteptarea matematică și pătratul așteptării matematice sunt valori constante, putem scrie:

Să aplicăm această formulă la exemplul de mai sus:

X
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Proprietăți de dispersie

1) Dispersia unei valori constante este zero:

2) Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:

.

3) Varianța sumei a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile:

4) Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile:

Valabilitatea acestei egalități rezultă din proprietatea 2.

Teorema. Varianța numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente, în fiecare dintre care probabilitatea de apariție a evenimentului este constantă, este egală cu produsul dintre numărul de încercări cu probabilitatea de apariție și probabilitatea evenimentului. care nu au loc în fiecare proces:

Exemplu. Fabrica produce 96% din produsele de clasa întâi și 4% din produsele de clasa a doua. 1000 de articole sunt alese la întâmplare. Lasa X- numarul de produse de clasa I din acest esantion. Găsiți legea distribuției, așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare.

Astfel, legea distribuției poate fi considerată binomială.

Exemplu. Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete X– numărul de apariții ale evenimentului DARîn două încercări independente, dacă probabilitățile de apariție a acestui eveniment în fiecare proces sunt egale și se știe că

pentru că valoare aleatorie X distribuite conform legii binomiale, atunci

Exemplu. Testele independente sunt efectuate cu aceeași probabilitate de apariție a evenimentului DAR la fiecare test. Găsiți probabilitatea ca un eveniment să se producă DAR dacă varianța numărului de apariții ale evenimentului în trei încercări independente este de 0,63.

Conform formulei de dispersie a legii binomiale, obținem:

;

Exemplu. Este testat un dispozitiv format din patru dispozitive care funcționează independent. Probabilitățile de defecțiune ale fiecăruia dintre dispozitive sunt, respectiv, egale ; ; . Găsiți așteptările și variația matematică a numărului de dispozitive defectate.

Luând numărul de dispozitive eșuate ca variabilă aleatorie, vedem că această variabilă aleatoare poate lua valorile 0, 1, 2, 3 sau 4.

Pentru a elabora o lege de distribuție pentru această variabilă aleatoare, este necesar să se determine probabilitățile corespunzătoare. Să acceptăm.

1) Niciun dispozitiv nu a eșuat:

2) Unul dintre dispozitive a eșuat.