Cel mai mic multiplu comun al unui număr 2. Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun, dar pentru două sau mai multe numere

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun?

Este necesar să găsim fiecare factor al fiecăruia dintre cele două numere pentru care găsim cel mai mic multiplu comun și apoi să înmulțim între ei factorii care au coincis cu primul și al doilea număr. Rezultatul produsului va fi multiplu dorit.

De exemplu, avem numerele 3 și 5 și trebuie să găsim LCM (cel mai mic multiplu comun). S.U.A. trebuie înmulțitși trei și cinci pentru toate numerele incepand de la 1 2 3... si tot asa pana vedem acelasi numar aici si acolo.

Înmulțim cele trei și obținem: 3, 6, 9, 12, 15

Înmulțiți cinci și obțineți: 5, 10, 15

Metoda de descompunere în factori primi este cea mai clasică pentru găsirea celui mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor multiple. Această metodă este demonstrată clar și simplu în următorul videoclip:

Adunați, înmulțiți, împărțiți, reduceți la un numitor comun și altele operatii aritmetice o activitate foarte incitantă, exemplele care ocupă o foaie întreagă sunt deosebit de admirate.

Deci, găsiți multiplu comun pentru două numere, care va fi cel mai mic număr cu care două numere sunt divizibile. Vreau să observ că nu este necesar să recurgeți la formule în viitor pentru a găsi ceea ce căutați, dacă puteți număra în minte (și acest lucru poate fi antrenat), atunci numerele în sine apar în cap și apoi fracțiile clic ca nucile.

Pentru început, vom învăța că putem înmulți două numere unul față de celălalt, apoi reducem această cifră și împărțim alternativ la aceste două numere, așa că vom găsi cel mai mic multiplu.

De exemplu, două numere 15 și 6. Înmulțim și obținem 90. Acest lucru este clar mai mult număr. Mai mult, 15 este divizibil cu 3 și 6 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că împărțim și 90 la 3. Obținem 30. Încercăm să împărțim 30 la 15 este 2. Și 30 împarte 6 este 5. Deoarece 2 este limita, se dovedește că cel mai mic multiplu pentru numerele 15 și 6 va fi 30.

Cu mai multe numere va fi puțin mai dificil. dar dacă știi ce numere dau rest zero la împărțire sau înmulțire, atunci, în principiu, nu există mari dificultăți.

• Cum să găsiți NOC

  Iată un videoclip care vă va arăta două moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM). Exersând folosind prima dintre metodele propuse, puteți înțelege mai bine care este cel mai mic multiplu comun.

Iată o altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun. Să aruncăm o privire la un exemplu ilustrativ.

Este necesar să găsiți LCM a trei numere simultan: 16, 20 și 28.

• Reprezentăm fiecare număr ca produs al factorilor primi:
• Scriem puterile tuturor factorilor primi:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Selectăm toți divizorii primi (multiplicatorii) cu cele mai mari grade, îi înmulțim și găsim LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Astfel, în urma calculului, s-a obținut numărul 560. Este cel mai mic multiplu comun, adică este divizibil cu fiecare dintre cele trei numere fără rest.

Cel mai mic multiplu comun este numărul care poate fi împărțit la mai multe numere date fără rest. Pentru a calcula o astfel de cifră, trebuie să luați fiecare număr și să îl descompuneți în factori simpli. Acele numere care se potrivesc sunt eliminate. Lasă pe toți pe rând, înmulțiți-i între ei pe rând și obțineți cel dorit - cel mai mic multiplu comun.

NOC, sau cel mai mic multiplu comun, este cel mai mic numar natural două sau mai multe numere care sunt divizibile cu fiecare dintre numerele date fără rest.

Iată un exemplu despre cum să găsești cel mai mic multiplu comun al lui 30 și 42.

• Primul pas este descompunerea acestor numere în factori primi.

Pentru 30, este 2 x 3 x 5.

Pentru 42, acesta este 2 x 3 x 7. Deoarece 2 și 3 sunt în expansiunea numărului 30, le tăiem.

• Scriem factorii care sunt incluși în extinderea numărului 30. Acesta este 2 x 3 x 5.
• Acum trebuie să le înmulțiți cu factorul lipsă, pe care îl avem când descompunem 42, iar acesta este 7. Obținem 2 x 3 x 5 x 7.
• Găsim ceea ce este egal cu 2 x 3 x 5 x 7 și obținem 210.

Ca rezultat, obținem că LCM al numerelor 30 și 42 este 210.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să urmați câțiva pași simpli în succesiune. Luați în considerare acest lucru folosind exemplul a două numere: 8 și 12

1. Descompunem ambele numere în factori primi: 8=2*2*2 și 12=3*2*2
2. Reducem aceiași multiplicatori pentru unul dintre numere. În cazul nostru, se potrivește 2 * 2, le reducem pentru numărul 12, apoi 12 va avea un factor: 3.
3. Aflați produsul tuturor factorilor rămași: 2*2*2*3=24

Verificând, ne asigurăm că 24 este divizibil cu 8 și 12, iar acesta este cel mai mic număr natural care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere. Iată-ne găsiți cel mai mic multiplu comun.

Voi încerca să explic folosind exemplul numerelor 6 și 8. Cel mai mic multiplu comun este numărul care poate fi împărțit la aceste numere (în cazul nostru, 6 și 8) și nu va mai rămâne niciun rest.

Deci, începem să înmulțim mai întâi 6 cu 1, 2, 3 etc. și 8 cu 1, 2, 3 etc.

Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt divizibile fără rest cel mai mare divizor comun aceste numere. Notați GCD(a, b).

Luați în considerare găsirea GCD folosind exemplul a două numere naturale 18 și 60:

1 Să descompunem numerele în factori primi:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Ștergeți din expansiunea primului număr toți factorii care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr, obținem 2×3×3 .

3 Înmulțim factorii primi rămași după tăiere și obținem cel mai mare divizor comun al numerelor: mcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Rețineți că nu contează de la primul sau al doilea număr în care tăiem factorii, rezultatul va fi același:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 Și 432

Să descompunem numerele în factori primi:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Ștergeți din primul număr, ai cărui factori nu sunt în al doilea și al treilea număr, obținem:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

Ca rezultat al GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Găsirea GCD cu algoritmul lui Euclid

A doua modalitate de a găsi cel mai mare divizor comun folosind algoritmul lui Euclid. Algoritmul lui Euclid este cel mai mult mod eficient găsirea GCD, folosindu-l trebuie să găsiți în mod constant restul diviziunii numerelor și să aplicați formulă recurentă.

Formula recurentă pentru GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), unde a mod b este restul împărțirii a la b.

algoritmul lui Euclid

Exemplu Găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor 7920 Și 594

Să găsim GCD( 7920 , 594 ) folosind algoritmul Euclid, vom calcula restul diviziunii folosind un calculator.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Ca rezultat, obținem GCD( 7920 , 594 ) = 198

Cel mai mic multiplu comun

Găsirea unui numitor comun la adunarea și scăderea fracțiilor numitori diferiti trebuie să știe și să poată calcula cel mai mic multiplu comun(NOC).

Un multiplu al numărului „a” este un număr care este el însuși divizibil cu numărul „a” fără rest.

Numerele care sunt multipli ai lui 8 (adică aceste numere vor fi împărțite la 8 fără rest): acestea sunt numerele 16, 24, 32...

Multiplii lui 9: 18, 27, 36, 45…

Există infiniti multipli ai unui număr dat a, spre deosebire de divizorii aceluiași număr. Divizori - un număr finit.

Un multiplu comun a două numere naturale este un număr care este divizibil egal cu ambele numere..

Cel mai mic multiplu comun(LCM) a două sau mai multe numere naturale este cel mai mic număr natural care este el însuși divizibil cu fiecare dintre aceste numere.

Cum să găsiți NOC

LCM poate fi găsit și scris în două moduri.

Prima modalitate de a găsi LCM

Această metodă este de obicei folosită pentru numere mici.

1. Scriem multiplii pentru fiecare dintre numere într-o linie până când există un multiplu care este același pentru ambele numere.
2. Un multiplu al numărului „a” este notat cu litera majusculă „K”.

Exemplu. Găsiți LCM 6 și 8.

A doua modalitate de a găsi LCM

Această metodă este convenabilă de utilizat pentru a găsi LCM pentru trei sau mai multe numere.

Numărul de factori identici în expansiunile numerelor poate fi diferit.

În extinderea numărului mai mic (numerele mai mici), subliniați factorii care nu au fost incluși în extinderea numărului mai mare (în exemplul nostru, este 2) și adăugați acești factori la extinderea numărului mai mare.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Înregistrați munca rezultată ca răspuns.
Răspuns: LCM (24, 60) = 120

De asemenea, puteți oficializa găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM) după cum urmează. Să găsim LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

După cum puteți vedea din expansiunea numerelor, toți factorii lui 12 sunt incluși în expansiunea lui 24 (cel mai mare dintre numere), așa că adăugăm doar un 2 din extinderea numărului 16 la LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Răspuns: LCM (12, 16, 24) = 48

Cazuri speciale de găsire a NOC

Dacă unul dintre numere este divizibil egal cu celelalte, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este egal cu acest număr.

De exemplu, LCM(60, 15) = 60
Deoarece numerele coprime nu au divizori primi comuni, cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere.

Pe site-ul nostru, puteți folosi și un calculator special pentru a găsi online cel mai mic multiplu comun pentru a vă verifica calculele.

Dacă un număr natural este divizibil doar cu 1 și cu el însuși, atunci se numește prim.

Orice număr natural este întotdeauna divizibil cu 1 și cu el însuși.

Numărul 2 este cel mai mic număr prim. Acesta este singurul număr prim par, restul numerelor prime sunt impare.

Există multe numere prime, iar primul dintre ele este numărul 2. Cu toate acestea, nu există un ultim număr prim. În secțiunea „Pentru studiu”, puteți descărca un tabel cu numere prime până la 997.

Dar multe numere naturale sunt divizibile egal cu alte numere naturale.

• numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;
• 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil egal (pentru 12 acestea sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori ai numărului.

Împărțitorul unui număr natural a este un astfel de număr natural care împarte numărul dat „a” fără rest.

Un număr natural care are mai mult de doi factori se numește număr compus.

Rețineți că numerele 12 și 36 au divizori comuni. Acestea sunt numerele: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12.

Divizorul comun a două numere date „a” și „b” este numărul cu care ambele numere date „a” și „b” sunt împărțite fără rest.

Cel mai mare divizor comun(mcd) a două numere date „a” și „b” este cel mai mare număr, prin care ambele numere „a” și „b” sunt divizibile fără rest.

Pe scurt, cel mai mare divizor comun al numerelor „a” și „b” se scrie după cum urmează:

Exemplu: mcd (12; 36) = 12 .

Divizorii numerelor din înregistrarea soluției sunt notați cu litera „D”.

Numerele 7 și 9 au un singur divizor comun - numărul 1. Se numesc astfel de numere numere coprime.

Numerele coprime sunt numere naturale care au un singur divizor comun - numărul 1. GCD-ul lor este 1.

Cum să găsiți cel mai mare divizor comun

Pentru a găsi mcd a două sau mai multe numere naturale aveți nevoie de:

• descompuneți divizorii numerelor în factori primi;

Calculele sunt scrise convenabil folosind o bară verticală. În stânga liniei, notați mai întâi dividendul, în dreapta - divizorul. Mai departe în coloana din stânga notăm valorile private.

Să explicăm imediat cu un exemplu. Să factorizăm numerele 28 și 64 în factori primi.

Subliniați aceiași factori primi în ambele numere.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Găsim produsul factorilor primi identici și notăm răspunsul;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Răspuns: GCD (28; 64) = 4

Puteți aranja locația GCD în două moduri: într-o coloană (cum s-a făcut mai sus) sau „în linie”.

Prima modalitate de a scrie GCD

Găsiți GCD 48 și 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

A doua modalitate de a scrie GCD

Acum să scriem soluția de căutare GCD într-o linie. Găsiți GCD 10 și 15.

Pe site-ul nostru de informații, puteți găsi, de asemenea, cel mai mare divizor comun online, folosind programul de ajutor pentru a vă verifica calculele.

Găsirea celui mai mic multiplu comun, metode, exemple de găsire a LCM.

Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articol la rubrica LCM - Least Common Multiple, definiție, exemple, relație dintre LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), Și Atentie speciala Să aruncăm o privire la exemple. Să arătăm mai întâi cum se calculează LCM a două numere în funcție de MCD-ul acestor numere. Apoi, luați în considerare găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceea, ne vom concentra pe găsirea LCM de trei și Mai mult numere și, de asemenea, acordați atenție calculului LCM al numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Relația existentă dintre LCM și GCD vă permite să calculați cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive prin cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare are forma LCM(a, b)=a b: MCM(a, b). Luați în considerare exemple de găsire a LCM conform formulei de mai sus.

Aflați cel mai mic multiplu comun al celor două numere 126 și 70.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim legătura LCM cu GCD, care este exprimată prin formula LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere conform formulei scrise.

Găsiți mcd(126, 70) folosind algoritmul lui Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , deci mcd(126, 70)=14 .

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Ce este LCM(68, 34)?

Deoarece 68 este divizibil egal cu 34 , atunci mcd(68, 34)=34 . Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b , atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a .

Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă facem un produs al tuturor factorilor primi ai acestor numere, după care excludem din acest produs toți factorii primi comuni care sunt prezenți în expansiunile acestor numere, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Regula anunțată pentru găsirea LCM rezultă din egalitatea LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în expansiunile numerelor a și b. La rândul său, mcd(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (care este descrisă în secțiunea despre găsirea mcd folosind descompunerea numerelor în factori primi). ).

Să luăm un exemplu. Să știm că 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . Alcătuiți produsul tuturor factorilor acestor expansiuni: 2 3 3 5 5 5 7 . Acum excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți atât în ​​extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2 3 5 5 7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al lui 75 și 210 , adică LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

După descompunerea numerelor 441 și 700 în factori primi, găsește cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Să descompunem numerele 441 și 700 în factori primi:

Se obține 441=3 3 7 7 și 700=2 2 5 5 7 .

Acum să facem un produs al tuturor factorilor implicați în expansiunile acestor numere: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Deci LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind descompunerea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă adunăm factorii lipsă din extinderea numărului b la factorii din extinderea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b.

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, expansiunile lor în factori primi sunt după cum urmează: 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . La factorii 3, 5 și 5 din extinderea numărului 75, adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din extinderea numărului 210, obținem produsul 2 3 5 5 7 , a cărui valoare este LCM(75 , 210).

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2 2 3 7 și 648=2 2 2 3 3 3 3 . La factorii 2 , 2 , 3 și 7 din extinderea numărului 84 ​​adăugăm factorii lipsă 2 , 3 , 3 și 3 din extinderea numărului 648 , obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 , care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al numerelor 84 și 648 este 4.536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun a trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea succesivă a LCM a două numere. Amintiți-vă teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, ak, cel mai mic multiplu comun mk dintre aceste numere se găsește în calculul succesiv m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk−1 , ak) .

Luați în considerare aplicarea acestei teoreme pe exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Aflați LCM a celor patru numere 140, 9, 54 și 250.

Mai întâi găsim m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm mcd(140, 9) , avem 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , prin urmare, mcd( 140, 9)=1, de unde LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Adică m2 =1 260 .

Acum găsim m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Să o calculăm prin mcd(1 260, 54) , care este determinată și de algoritmul Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Atunci mcd(1 260, 54)=18 , de unde LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Adică m 3 \u003d 3 780.

Rămâne de găsit m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3 780, 250) folosind algoritmul Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prin urmare, mcd(3 780, 250)=10, deci LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Adică m 4 \u003d 94 500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

În multe cazuri, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere este găsit în mod convenabil utilizând descompunerea în factori primi a numerelor date. În același timp, ar trebui să se respecte următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din expansiunea primului număr. al treilea număr se adaugă factorilor obținuți și așa mai departe.

Luați în considerare un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind descompunerea numerelor în factori primi.

Aflați cel mai mic multiplu comun al cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Mai întâi, obținem descompunerea acestor numere în factori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 este un număr prim, coincide cu descompunerea lui în factori primi) și 143=11 13 .

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2 , 2 , 3 și 7) trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6 . Extinderea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în extinderea primului număr 84 . Pe lângă factorii 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48 , obținem un set de factori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 . Nu este nevoie să adăugați factori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din expansiunea numărului 143 . Obținem produsul 2 2 2 2 3 7 11 13 , care este egal cu 48 048 .

Prin urmare, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative

Uneori există sarcini în care trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor, printre care unul, mai multe sau toate numerele sunt negative. În aceste cazuri, toate numerele negative trebuie înlocuite cu numerele lor opuse, după care trebuie găsită LCM-ul numerelor pozitive. Acesta este modul de a găsi LCM al numerelor negative. De exemplu, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) și LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Putem face acest lucru deoarece mulțimea multiplilor lui a este aceeași cu mulțimea multiplilor lui -a (a și -a sunt numere opuse). Într-adevăr, fie b un multiplu al lui a , atunci b este divizibil cu a , iar conceptul de divizibilitate afirmă existența unui astfel de număr întreg q care b=a q . Dar va fi adevărată și egalitatea b=(−a)·(−q), ceea ce, în virtutea aceluiași concept de divizibilitate, înseamnă că b este divizibil cu −a , adică b este un multiplu al −a . Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă b este un multiplu al lui −a , atunci b este și un multiplu al lui a .

Aflați cel mai mic multiplu comun al numerelor negative −145 și −45.

Să înlocuim numerele negative −145 și −45 cu numerele lor opuse 145 și 45 . Avem LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . După ce am determinat mcd(145, 45)=5 (de exemplu, folosind algoritmul Euclid), calculăm LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Astfel, cel mai mic multiplu comun al numerelor întregi negative −145 și −45 este 1.305 .

www.cleverstudents.ru

Continuăm să studiem diviziunea. În această lecție, ne vom uita la concepte precum GCDȘi NOC.

GCD este cel mai mare divizor comun.

NOC este cel mai mic multiplu comun.

Subiectul este destul de plictisitor, dar este necesar să-l înțelegeți. Fără a înțelege acest subiect, nu vei putea lucra eficient cu fracțiile, care reprezintă un adevărat obstacol în matematică.

Cel mai mare divizor comun

Definiție. Cel mai mare divizor comun al numerelor AȘi b AȘi bîmpărțit fără rest.

Pentru a înțelege bine această definiție, înlocuim variabilele AȘi b oricare două numere, de exemplu, în loc de o variabilă Aînlocuiți numărul 12 și în loc de variabilă b numărul 9. Acum să încercăm să citim această definiție:

Cel mai mare divizor comun al numerelor 12 Și 9 este cel mai mare număr cu care 12 Și 9 împărțit fără rest.

Din definiție reiese clar că vorbim despre un divizor comun al numerelor 12 și 9, iar acest divizor este cel mai mare dintre toți divizorii existenți. Acest cel mai mare divizor comun (mcd) trebuie găsit.

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al două numere, se folosesc trei metode. Prima metodă necesită destul de mult timp, dar vă permite să înțelegeți bine esența subiectului și să simțiți întregul său sens.

A doua și a treia metodă sunt destul de simple și fac posibilă găsirea rapidă a GCD. Vom lua în considerare toate cele trei metode. Și ce să aplici în practică - tu alegi.

Prima modalitate este de a găsi toți divizorii posibili ai două numere și de a alege cel mai mare dintre ei. Să luăm în considerare această metodă în exemplul următor: găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 9.

În primul rând, găsim toți divizorii posibili ai numărului 12. Pentru a face acest lucru, împărțim 12 în toți divizorii din intervalul de la 1 la 12. Dacă divizorul ne permite să împărțim 12 fără rest, atunci îl vom evidenția cu albastru și faceți o explicație adecvată între paranteze.

12: 1 = 12
(12 împărțit la 1 fără rest, deci 1 este un divizor al lui 12)

12: 2 = 6
(12 împărțit la 2 fără rest, deci 2 este un divizor al lui 12)

12: 3 = 4
(12 împărțit la 3 fără rest, deci 3 este un divizor al lui 12)

12: 4 = 3
(12 împărțit la 4 fără rest, deci 4 este un divizor al lui 12)

12:5 = 2 (2 rămase)
(12 nu este împărțit la 5 fără rest, deci 5 nu este un divizor al lui 12)

12: 6 = 2
(12 împărțit la 6 fără rest, deci 6 este un divizor al lui 12)

12: 7 = 1 (5 rămase)
(12 nu este împărțit la 7 fără rest, deci 7 nu este un divizor al lui 12)

12: 8 = 1 (4 au rămas)
(12 nu este împărțit la 8 fără rest, deci 8 nu este un divizor al lui 12)

12:9 = 1 (3 rămase)
(12 nu este împărțit la 9 fără rest, deci 9 nu este un divizor al lui 12)

12: 10 = 1 (2 au rămas)
(12 nu se împarte la 10 fără rest, deci 10 nu este un divizor al lui 12)

12:11 = 1 (1 rămas)
(12 nu este împărțit la 11 fără rest, deci 11 nu este un divizor al lui 12)

12: 12 = 1
(12 împărțit la 12 fără rest, deci 12 este un divizor al lui 12)

Acum să găsim divizorii numărului 9. Pentru a face acest lucru, verificați toți divizorii de la 1 la 9

9: 1 = 9
(9 împărțit la 1 fără rest, deci 1 este un divizor al lui 9)

9: 2 = 4 (1 rămas)
(9 nu este împărțit la 2 fără rest, deci 2 nu este un divizor al lui 9)

9: 3 = 3
(9 împărțit la 3 fără rest, deci 3 este un divizor al lui 9)

9: 4 = 2 (1 rămas)
(9 nu este împărțit la 4 fără rest, deci 4 nu este un divizor al lui 9)

9:5 = 1 (4 rămase)
(9 nu este împărțit la 5 fără rest, deci 5 nu este un divizor al lui 9)

9: 6 = 1 (3 au rămas)
(9 nu a împărțit la 6 fără rest, deci 6 nu este un divizor al lui 9)

9:7 = 1 (2 rămase)
(9 nu este împărțit la 7 fără rest, deci 7 nu este un divizor al lui 9)

9:8 = 1 (1 rămas)
(9 nu este împărțit la 8 fără rest, deci 8 nu este un divizor al lui 9)

9: 9 = 1
(9 împărțit la 9 fără rest, deci 9 este un divizor al lui 9)

Acum scrieți divizorii ambelor numere. Numerele evidențiate cu albastru sunt divizorii. Să le scriem:

După ce ați scris divizorii, puteți determina imediat care dintre ele este cel mai mare și cel mai comun.

Prin definiție, cel mai mare divizor comun al lui 12 și 9 este numărul cu care 12 și 9 sunt divizibili egal. Cel mai mare și comun divizor al numerelor 12 și 9 este numărul 3

Atât numărul 12, cât și numărul 9 sunt divizibil cu 3 fără rest:

Deci mcd (12 și 9) = 3

A doua modalitate de a găsi GCD

Acum luați în considerare a doua modalitate de a găsi cel mai mare divizor comun. esență aceasta metoda este să factorizezi ambele numere în factori primi și să înmulțim pe cei comuni.

Exemplul 1. Găsiți GCD al numerelor 24 și 18

Mai întâi, să factorăm ambele numere în factori primi:

Acum le înmulțim factorii comuni. Pentru a nu se confunda, pot fi subliniați factorii comuni.

Ne uităm la descompunerea numărului 24. Primul său factor este 2. Căutăm același factor în descompunerea numărului 18 și vedem că există și el. Subliniem ambele două:

Din nou ne uităm la descompunerea numărului 24. Al doilea factor al său este, de asemenea, 2. Căutăm același factor în descompunerea numărului 18 și vedem că nu este acolo pentru a doua oară. Atunci nu scoatem în evidență nimic.

Următoarele două din extinderea numărului 24 lipsesc și din extinderea numărului 18.

Trecem la ultimul factor în descompunerea numărului 24. Acesta este factorul 3. Căutăm același factor în descompunerea numărului 18 și vedem că există și el. Subliniem ambele trei:

Deci, factorii comuni ai numerelor 24 și 18 sunt factorii 2 și 3. Pentru a obține GCD, acești factori trebuie înmulțiți:

Deci mcd (24 și 18) = 6

A treia modalitate de a găsi GCD

Acum luați în considerare a treia modalitate de a găsi cel mai mare divizor comun. Esența acestei metode constă în faptul că numerele care trebuie căutate pentru cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi. Apoi, din descompunerea primului număr, se șterg factorii care nu sunt incluși în descompunerea celui de-al doilea număr. Numerele rămase în prima expansiune sunt înmulțite și obțin GCD.

De exemplu, să găsim GCD pentru numerele 28 și 16 în acest fel. În primul rând, descompunem aceste numere în factori primi:

Avem două extinderi: și

Acum, din extinderea primului număr, ștergem factorii care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr. Extinderea celui de-al doilea număr nu include șapte. O vom șterge din prima extensie:

Acum înmulțim factorii rămași și obținem GCD:

Numărul 4 este cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 16. Ambele numere sunt divizibile cu 4 fără rest:

Exemplul 2 Găsiți MCD al numerelor 100 și 40

Scoaterea în factor a numărului 100

Scoaterea în factor a numărului 40

Avem două extinderi:

Acum, din extinderea primului număr, ștergem factorii care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr. Extinderea celui de-al doilea număr nu include unul cinci (există doar unul cinci). O ștergem din prima descompunere

Înmulțiți numerele rămase:

Am primit răspunsul 20. Deci numărul 20 este cel mai mare divizor comun al numerelor 100 și 40. Aceste două numere sunt divizibile cu 20 fără rest:

GCD (100 și 40) = 20.

Exemplul 3 Aflați mcd-ul numerelor 72 și 128

Scoaterea în factor a numărului 72

Scoaterea în factor a numărului 128

2×2×2×2×2×2×2

Acum, din extinderea primului număr, ștergem factorii care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr. Extinderea celui de-al doilea număr nu include două triplete (nu există deloc). Le ștergem din prima descompunere:

Am primit răspunsul 8. Deci numărul 8 este cel mai mare divizor comun al numerelor 72 și 128. Aceste două numere sunt divizibile cu 8 fără rest:

GCD (72 și 128) = 8

Găsirea GCD pentru numere multiple

Cel mai mare divizor comun poate fi găsit pentru mai multe numere și nu doar pentru două. Pentru aceasta, numerele care trebuie căutate după cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi, apoi se găsește produsul factorilor primi comuni ai acestor numere.

De exemplu, să găsim GCD pentru numerele 18, 24 și 36

Factorizarea numărului 18

Factorizarea numărului 24

Factorizarea numărului 36

Avem trei extinderi:

Acum selectăm și subliniem factorii comuni din aceste numere. Factorii comuni trebuie incluși în toate cele trei numere:

Vedem că factorii comuni pentru numerele 18, 24 și 36 sunt factorii 2 și 3. Înmulțind acești factori, obținem MCD pe care îl căutăm:

Am primit răspunsul 6. Deci numărul 6 este cel mai mare divizor comun al numerelor 18, 24 și 36. Aceste trei numere sunt divizibile cu 6 fără rest:

GCD (18, 24 și 36) = 6

Exemplul 2 Găsiți mcd pentru numerele 12, 24, 36 și 42

Să factorizăm fiecare număr. Apoi găsim produsul factorilor comuni ai acestor numere.

Factorizarea numărului 12

Factorizarea numărului 42

Avem patru extinderi:

Acum selectăm și subliniem factorii comuni din aceste numere. Factorii comuni trebuie incluși în toate cele patru numere:

Vedem că factorii comuni pentru numerele 12, 24, 36 și 42 sunt factorii 2 și 3. Înmulțind acești factori, obținem MCD pe care îl căutăm:

Am primit răspunsul 6. Deci numărul 6 este cel mai mare divizor comun al numerelor 12, 24, 36 și 42. Aceste numere sunt divizibile cu 6 fără rest:

mcd(12, 24, 36 și 42) = 6

Din lecția anterioară, știm că dacă un număr este împărțit la altul fără rest, se numește multiplu al acestui număr.

Se dovedește că un multiplu poate fi comun mai multor numere. Și acum ne va interesa un multiplu de două numere, în timp ce ar trebui să fie cât mai mic posibil.

Definiție. Cel mai mic multiplu comun (LCM) al numerelor AȘi b- AȘi b A si numarul b.

Definiția conține două variabile AȘi b. Să înlocuim oricare două numere pentru aceste variabile. De exemplu, în loc de o variabilă Aînlocuiți numărul 9 și în locul variabilei b să înlocuim numărul 12. Acum să încercăm să citim definiția:

Cel mai mic multiplu comun (LCM) al numerelor 9 Și 12 - acest cel mai mic număr, care este un multiplu 9 Și 12 . Cu alte cuvinte, este un număr atât de mic care este divizibil fără rest cu numărul 9 iar pe număr 12 .

Este clar din definiție că LCM este cel mai mic număr care este divizibil fără rest cu 9 și 12. Acest LCM este necesar să fie găsit.

Există două moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM). Prima modalitate este că puteți nota primii multipli ai două numere și apoi alegeți dintre acești multipli un astfel de număr care va fi comun ambelor numere și mic. Să aplicăm această metodă.

În primul rând, să găsim primii multipli pentru numărul 9. Pentru a găsi multiplii pentru 9, trebuie să înmulțiți pe rând acesti nouă cu numerele de la 1 la 9. Răspunsurile pe care le obțineți vor fi multipli ai numărului 9. Deci , să începem. Multiplii vor fi evidențiați cu roșu:

Acum găsim multipli pentru numărul 12. Pentru a face acest lucru, înmulțim pe rând 12 cu toate numerele de la 1 la 12.

Luați în considerare soluția următoarei probleme. Pasul băiatului este de 75 cm, iar pasul fetei este de 60 cm. Este necesar să găsiți cea mai mică distanță la care amândoi vor face un număr întreg de pași.

Soluţie.Întreaga cale pe care o vor parcurge băieții trebuie să fie divizibil cu 60 și 70 fără rest, deoarece fiecare trebuie să facă un număr întreg de pași. Cu alte cuvinte, răspunsul trebuie să fie un multiplu de 75 și 60.

Mai întâi, vom scrie toți multiplii, pentru numărul 75. Obținem:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Acum să scriem numerele care vor fi multiplu de 60. Obținem:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Acum găsim numerele care sunt în ambele rânduri.

• Multiplii comuni ai numerelor vor fi numere, 300, 600 etc.

Cel mai mic dintre ele este numărul 300. În acest caz, se va numi cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

Revenind la starea problemei, cea mai mică distanță la care băieții fac un număr întreg de pași va fi de 300 cm. Băiatul va merge în acest fel în 4 pași, iar fata va trebui să facă 5 pași.

Găsirea celui mai mic multiplu comun

• Cel mai mic multiplu comun al două numere naturale a și b este cel mai mic număr natural care este un multiplu atât al lui a cât și al lui b.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun a două numere, nu este necesar să notați toți multiplii acestor numere pe rând.

Puteți folosi următoarea metodă.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun

În primul rând, trebuie să descompuneți aceste numere în factori primi.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Acum să notăm toți factorii care sunt în expansiunea primului număr (2,2,3,5) și să adăugăm la ei toți factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (5).

Ca rezultat, obținem o serie de numere prime: 2,2,3,5,5. Produsul acestor numere va fi cel mai puțin comun factor pentru aceste numere. 2*2*3*5*5 = 300.

Schema generală pentru găsirea celui mai mic multiplu comun

• 1. Descompune numerele în factori primi.
• 2. Notați factorii primi care fac parte din unul dintre ei.
• 3. Adăugați la acești factori toți cei care se află în descompunerea restului, dar nu în cel selectat.
• 4. Aflați produsul tuturor factorilor notați.

Această metodă este universală. Poate fi folosit pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al oricărui număr de numere naturale.

Calculatorul online vă permite să găsiți rapid cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun de două sau orice alt număr de numere.

Calculator pentru găsirea GCD și NOC

Găsiți GCD și NOC

GCD și NOC găsite: 6433

Cum se folosește calculatorul

• Introduceți numere în câmpul de introducere
• În cazul introducerii unor caractere incorecte, câmpul de introducere va fi evidențiat cu roșu
• apăsați butonul „Găsiți GCD și NOC”

Cum se introduc numerele

• Numerele sunt introduse separate prin spații, puncte sau virgule
• Lungimea numerelor introduse nu este limitată, deci găsirea mcd și mcm al numerelor lungi nu va fi dificilă

Ce este NOD și NOK?

Cel mai mare divizor comun a mai multor numere este cel mai mare întreg natural prin care toate numerele originale sunt divizibile fără rest. Cel mai mare divizor comun este prescurtat ca GCD.
Cel mai mic multiplu comun mai multe numere este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele originale fără rest. Cel mai mic multiplu comun este prescurtat ca NOC.

Cum se verifică dacă un număr este divizibil cu un alt număr fără rest?

Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu altul fără rest, puteți folosi unele proprietăți de divizibilitate a numerelor. Apoi, combinându-le, se poate verifica divizibilitatea după unele dintre ele și combinațiile lor.

Câteva semne de divizibilitate a numerelor

1. Semnul divizibilității unui număr cu 2
Pentru a determina dacă un număr este divizibil cu doi (dacă este par), este suficient să ne uităm la ultima cifră a acestui număr: dacă este egal cu 0, 2, 4, 6 sau 8, atunci numărul este par, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 2.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 2.
Soluţie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul este divizibil cu doi.

2. Semnul divizibilității unui număr cu 3
Un număr este divizibil cu 3 când suma cifrelor sale este divizibil cu 3. Astfel, pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 3, trebuie să calculați suma cifrelor și să verificați dacă este divizibil cu 3. Chiar dacă suma cifrelor s-a dovedit a fi foarte mare, puteți repeta același proces din nou.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 3.
Soluţie: numărăm suma cifrelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu trei.

3. Semnul divizibilității unui număr cu 5
Un număr este divizibil cu 5 când ultima lui cifră este zero sau cinci.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 5.
Soluţie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul NU este divizibil cu cinci.

4. Semnul divizibilității unui număr cu 9
Acest semn este foarte asemănător cu semnul divizibilității cu trei: un număr este divizibil cu 9 când suma cifrelor sale este divizibil cu 9.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 9.
Soluţie: calculăm suma cifrelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 9, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu nouă.

Cum să găsiți MCD și LCM a două numere

Cum să găsiți GCD-ul a două numere

Cel mai într-un mod simplu calcularea celui mai mare divizor comun a două numere înseamnă a găsi toți divizorii posibili ai acelor numere și a-l alege pe cel mai mare dintre ei.

Luați în considerare această metodă folosind exemplul de găsire a GCD(28, 36):

1. Factorizăm ambele numere: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Găsim factori comuni, adică cei pe care ambele numere îi au: 1, 2 și 2.
3. Calculăm produsul acestor factori: 1 2 2 \u003d 4 - acesta este cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 36.

Cum se găsește LCM a două numere

Există două modalități cele mai comune de a găsi cel mai mic multiplu a două numere. Prima modalitate este că puteți scrie primii multipli ai două numere și apoi alegeți dintre ei un astfel de număr care va fi comun ambelor numere și, în același timp, cel mai mic. Și al doilea este să găsiți GCD-ul acestor numere. Să ne gândim doar la asta.

Pentru a calcula LCM, trebuie să calculați produsul numerelor originale și apoi să îl împărțiți la GCD găsit anterior. Să găsim LCM pentru aceleași numere 28 și 36:

1. Aflați produsul numerelor 28 și 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) este deja cunoscut ca fiind 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Găsirea GCD și LCM pentru numere multiple

Cel mai mare divizor comun poate fi găsit pentru mai multe numere și nu doar pentru două. Pentru aceasta, numerele care trebuie căutate după cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi, apoi se găsește produsul factorilor primi comuni ai acestor numere. De asemenea, pentru a găsi GCD-ul mai multor numere, puteți utiliza următoarea relație: mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c).

O relație similară se aplică și celui mai mic multiplu comun de numere: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Exemplu: găsiți GCD și LCM pentru numerele 12, 32 și 36.

1. Mai întâi, să factorizăm numerele: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Să găsim factori comuni: 1, 2 și 2 .
3. Produsul lor va da mcd: 1 2 2 = 4
4. Acum să găsim LCM: pentru aceasta găsim mai întâi LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Pentru a găsi LCM a tuturor celor trei numere, trebuie să găsiți MCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , MCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articol la rubrica LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, relație dintre LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), și acordați o atenție deosebită rezolvării exemplelor. Să arătăm mai întâi cum se calculează LCM a două numere în funcție de MCD-ul acestor numere. Apoi, luați în considerare găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceea, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculului LCM a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Relația existentă dintre LCM și GCD vă permite să calculați cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive prin cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare are forma LCM(a, b)=a b: MCM(a, b) . Luați în considerare exemple de găsire a LCM conform formulei de mai sus.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al celor două numere 126 și 70.

Soluţie.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim relația dintre LCM și GCD exprimată prin formula LCM(a, b)=a b: MCM(a, b). Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere conform formulei scrise.

Găsiți mcd(126, 70) folosind algoritmul lui Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , deci mcd(126, 70)=14 .

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: LCM(126; 70)=126 70: MCM(126; 70)= 126 70:14=630.

Răspuns:

LCM(126, 70)=630.

Exemplu.

Ce este LCM(68, 34)?

Soluţie.

pentru că 68 este divizibil egal cu 34 , apoi mcd(68, 34)=34 . Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68.

Răspuns:

LCM(68, 34)=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.

Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă facem un produs al tuturor factorilor primi ai acestor numere, după care excludem din acest produs toți factorii primi comuni care sunt prezenți în expansiunile acestor numere, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Din egalitate rezultă regula anunțată pentru găsirea LCM LCM(a, b)=a b: MCM(a, b). Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în expansiunile numerelor a și b. La rândul său, mcd(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (care este descrisă în secțiunea despre găsirea mcd folosind descompunerea numerelor în factori primi). ).

Să luăm un exemplu. Să știm că 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . Alcătuiți produsul tuturor factorilor acestor expansiuni: 2 3 3 5 5 5 7 . Acum excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți atât în ​​extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2 3 5 5 7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 210, adică LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Exemplu.

După descompunerea numerelor 441 și 700 în factori primi, găsește cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Soluţie.

Să descompunem numerele 441 și 700 în factori primi:

Se obține 441=3 3 7 7 și 700=2 2 5 5 7 .

Acum să facem un produs al tuturor factorilor implicați în expansiunile acestor numere: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . În acest fel, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Răspuns:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind descompunerea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă adunăm factorii lipsă din extinderea numărului b la factorii din descompunerea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b..

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, expansiunile lor în factori primi sunt după cum urmează: 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . La factorii 3, 5 și 5 din descompunerea numărului 75, adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din descompunerea numărului 210, obținem produsul 2 3 5 5 7 , a cărui valoare este LCM(75 , 210).

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Soluţie.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2 2 3 7 și 648=2 2 2 3 3 3 3 . La factorii 2 , 2 , 3 și 7 din descompunerea numărului 84 ​​adăugăm factorii lipsă 2 , 3 , 3 și 3 din descompunerea numărului 648 , obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 , care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al numerelor 84 și 648 este 4.536.

Răspuns:

LCM(84, 648)=4 536 .

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun a trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea succesivă a LCM a două numere. Amintiți-vă teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Teorema.

Fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, ak, cel mai mic multiplu comun mk dintre aceste numere se găsește în calculul succesiv m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk−1 , ak) .

Luați în considerare aplicarea acestei teoreme pe exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Exemplu.

Aflați LCM a celor patru numere 140, 9, 54 și 250.

Soluţie.

În acest exemplu a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Mai întâi găsim m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm mcd(140, 9) , avem 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , prin urmare, mcd( 140, 9)=1, de unde LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1260. Adică m2 =1 260 .

Acum găsim m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Să o calculăm prin mcd(1 260, 54) , care este determinată și de algoritmul Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Atunci mcd(1 260, 54)=18 , de unde LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Adică m 3 \u003d 3 780.

Rămas de găsit m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3 780, 250) folosind algoritmul Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prin urmare, mcd(3 780, 250)=10, de unde mcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Adică m 4 \u003d 94 500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

Răspuns:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

În multe cazuri, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere este găsit în mod convenabil utilizând descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, trebuie respectată următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din expansiunea primului număr. al treilea număr se adaugă factorilor obținuți și așa mai departe.

Luați în considerare un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind descompunerea numerelor în factori primi.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Soluţie.

Mai întâi, obținem expansiunile acestor numere în factori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 factori primi) și 143=11 13 .

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2 , 2 , 3 și 7 ) trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6 . Extinderea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în extinderea primului număr 84 . Pe lângă factorii 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48 , obținem un set de factori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 . Nu este nevoie să adăugați factori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din expansiunea numărului 143 . Obținem produsul 2 2 2 2 3 7 11 13 , care este egal cu 48 048 .