În procesul de măsurare a ceva, trebuie să se țină cont de faptul că rezultatul obținut nu este încă final. Pentru a calcula mai precis valoarea dorită, este necesar să se țină cont de eroare. Calculul este destul de simplu.

Cum să găsiți eroarea - calcul

Tipuri de erori:

• relativ;
• absolut.

Ce trebuie să calculați:

• calculator;
• rezultatele mai multor măsurători ale aceleiași mărimi.

Cum să găsiți o eroare - o secvență de acțiuni

• Măsurați valoarea de 3-5 ori.
• Adunați toate rezultatele și împărțiți numărul rezultat la numărul lor. Acest număr este o valoare reală.
• Calculați eroarea absolută scăzând din rezultatele măsurătorii valoarea obținută în pasul precedent. Formula: ∆X = Hisl - Hist. În cursul calculelor, este posibil să se obțină atât pozitive, cât și valori negative. În ambele cazuri, se ia modulul rezultatului. Dacă este necesar să se cunoască eroarea absolută a sumei a două mărimi, atunci calculele se efectuează după următoarea formulă: ∆(X + Y) = ∆X + ∆Y. Funcționează și atunci când este necesar să se calculeze eroarea diferenței dintre două mărimi: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y.
• Aflați eroarea relativă pentru fiecare dintre măsurători. În acest caz, trebuie să împărțiți eroarea absolută obținută la valoarea reală. Apoi înmulțiți coeficientul cu 100%. ε(x)=Δx/x0*100%. Valoarea poate fi sau nu convertită într-un procent.
• Pentru a obține o valoare mai precisă a erorii, este necesar să găsiți abaterea standard. Se caută destul de simplu: calculați pătratele tuturor valorilor eroare absolutăși apoi găsiți suma lor. Rezultatul obținut trebuie împărțit la numărul (N-1), în care N este numărul tuturor măsurătorilor. Ultimul pas este extragerea rădăcinii din rezultat. După astfel de calcule se va obține abaterea standard, care caracterizează de obicei eroarea de măsurare.
• Pentru a găsi eroarea absolută limitatoare, este necesar să găsiți cea mai mare numar mic, care în valoarea sa este egală sau depășește valoarea erorii absolute.
• Eroarea relativă limitatoare se caută prin aceeași metodă, doar că este necesar să se găsească un număr mai mare sau egal cu valoarea erorii relative.

Erorile de măsurare apar din diverse motive și afectează acuratețea valorii obținute. Știind cu ce este egală eroarea, puteți afla o valoare mai precisă a măsurătorii.

Eroare absolută și relativă

Elemente ale teoriei erorilor

Cifre exacte și aproximative

Precizia unui număr este în general fără îndoială când vorbim despre valorile întregi ale datelor (2 creioane, 100 de arbori). Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, când este imposibil să se indice valoarea exactă a unui număr (de exemplu, la măsurarea unui obiect cu o riglă, luarea rezultatelor de la un dispozitiv etc.), avem de-a face cu date aproximative.

O valoare aproximativă este un număr care diferă ușor de valoare exacta si inlocuindu-l in calcule. Gradul de diferență dintre valoarea aproximativă a unui număr și valoarea lui exactă se caracterizează prin eroare .

Există următoarele surse principale de erori:

1. Erori în formularea problemei ivit ca urmare a unei descrieri aproximative a unui fenomen real din punct de vedere matematic.

2. Erori de metodă asociat cu dificultatea sau imposibilitatea rezolvarii problemei si inlocuirea acesteia cu una similara, astfel incat sa aplici o metoda de rezolvare cunoscuta si accesibila si sa obtii un rezultat apropiat de cel dorit.

3. Erori fatale, asociat cu valorile aproximative ale datelor inițiale și datorită efectuării calculelor pe numere aproximative.

4. Erori de rotunjire asociat cu rotunjirea valorilor datelor inițiale, rezultate intermediare și finale obținute cu utilizarea instrumentelor de calcul.

Eroare absolută și relativă

Contabilizarea erorilor este aspect important aplicarea metodelor numerice, întrucât eroarea rezultatului final al rezolvării întregii probleme este produsul interacțiunii tuturor tipurilor de erori. Prin urmare, una dintre sarcinile principale ale teoriei erorilor este de a estima acuratețea rezultatului pe baza acurateței datelor inițiale.

Dacă este un număr exact și este valoarea sa aproximativă, atunci eroarea (eroarea) valorii aproximative este gradul de apropiere a valorii sale de valoarea sa exactă.

Cea mai simplă măsură cantitativă a erorii este eroarea absolută, care este definită ca

(1.1.2-1)

După cum se poate observa din formula 1.1.2-1, eroarea absolută are aceleași unități de măsură ca și valoarea. Prin urmare, prin mărimea erorii absolute, este departe de a fi întotdeauna posibil să se tragă o concluzie corectă despre calitatea aproximării. De exemplu, dacă , și vorbim despre o piesă de mașină, atunci măsurătorile sunt foarte aspre, iar dacă vorbim despre dimensiunea vasului, atunci sunt foarte precise. În acest sens, se introduce conceptul de eroare relativă, în care valoarea erorii absolute este raportată la modulul valorii aproximative ( ).

(1.1.2-2)

Utilizarea erorilor relative este convenabilă, în special, deoarece acestea nu depind de scara valorilor și unităților de date. Eroarea relativă se măsoară în fracții sau procente. Deci, de exemplu, dacă

,dar , apoi , si daca Și ,

deci .

Pentru a evalua numeric eroarea unei funcții, trebuie să cunoașteți regulile de bază pentru calcularea erorii acțiunilor:

· la adunarea și scăderea numerelor erorile absolute ale numerelor se adună

· la înmulțirea și împărțirea numerelor erorile lor relative sunt stivuite una peste alta

· când este ridicat la o putere de un număr aproximativ eroarea sa relativă se înmulțește cu exponent

Exemplul 1.1.2-1. Dată o funcție: . Aflați erorile absolute și relative ale valorii (eroarea rezultatului efectuării operațiilor aritmetice), dacă valorile sunt cunoscute, iar 1 este un număr exact, iar eroarea acestuia este zero.

După ce a determinat valoarea erorii relative, se poate găsi valoarea erorii absolute ca , unde valoarea este calculată prin formula pentru valori aproximative

Deoarece valoarea exactă a cantității este de obicei necunoscută, calculul Și conform formulelor de mai sus este imposibil. Prin urmare, în practică, erorile marginale ale formularului sunt evaluate:

(1.1.2-3)

Unde Și - valorile cunoscute, care sunt limitele superioare ale erorilor absolute și relative, altfel se numesc - erorile absolute și relative limitative. Astfel, valoarea exactă se află în:

Dacă valoarea cunoscut, atunci , iar dacă valoarea este cunoscută , apoi

Mărimile fizice sunt caracterizate de conceptul de „precizia erorii”. Există o vorbă că luând măsurători se poate ajunge la cunoaștere. Așa că se va putea afla care este înălțimea casei sau lungimea străzii, ca multe altele.

Introducere

Să înțelegem sensul conceptului de „măsură valoarea”. Procesul de măsurare este de a-l compara cu mărimi omogene, care sunt luate ca unitate.

Litrii sunt folosiți pentru a determina volumul, gramele sunt folosite pentru a calcula masa. Pentru a face mai convenabil efectuarea calculelor, am introdus sistemul SI al clasificării internaționale a unităților.

Pentru măsurarea lungimii mlaștinii în metri, masa - kilograme, volumul - litri cubi, timpul - secunde, viteza - metri pe secundă.

La calcul mărimi fizice nu este întotdeauna necesar să folosiți metoda tradițională, este suficient să aplicați calculul folosind o formulă. De exemplu, pentru a calcula indicatori precum viteza medie, trebuie să împărțiți distanța parcursă la timpul petrecut pe drum. Așa se calculează viteza medie.

Folosind unități de măsură care sunt de zece, o sută, o mie de ori mai mari decât indicatorii unităților de măsură acceptate, se numesc multipli.

Numele fiecărui prefix corespunde numărului său multiplicator:

1. Deca.
2. Hecto.
3. Kilogram.
4. Mega.
5. Giga.
6. Tera.

În știința fizică, pentru a scrie astfel de factori este folosită o putere de 10. De exemplu, un milion este notat cu 10 6 .

Într-o riglă simplă, lungimea are o unitate de măsură - un centimetru. Ea este de 100 de ori mai putin de un metru. O riglă de 15 cm are 0,15 m lungime.

Rigla este cea mai simplă formă instrumente de masura pentru măsurarea lungimii. Dispozitivele mai complexe sunt reprezentate de un termometru - astfel încât un higrometru - pentru a determina umiditatea, un ampermetru - pentru a măsura nivelul de forță cu care se propagă un curent electric.

Cât de precise vor fi măsurătorile?

Luați o riglă și un creion simplu. Sarcina noastră este să măsurăm lungimea acestei articole de papetărie.

Mai întâi trebuie să determinați care este valoarea diviziunii indicată pe scara dispozitivului de măsurare. Pe cele două diviziuni, care sunt cele mai apropiate linii ale scalei, sunt scrise numere, de exemplu, „1” și „2”.

Este necesar să se calculeze câte diviziuni sunt incluse în intervalul acestor numere. Dacă numărați corect, obțineți „10”. Scădeți din numărul care este mai mare, numărul care va fi mai mic și împărțiți la numărul care formează diviziunile dintre cifre:

(2-1)/10 = 0,1 (cm)

Deci determinăm că prețul care determină împărțirea articolelor de papetărie este numărul 0,1 cm sau 1 mm. Se arată clar cum se determină indicatorul de preț pentru divizare folosind orice dispozitiv de măsurare.

Măsurând un creion cu o lungime ceva mai mică de 10 cm, vom folosi cunoștințele acumulate. Dacă nu ar exista mici diviziuni pe riglă, ar urma concluzia că obiectul are o lungime de 10 cm.Această valoare aproximativă se numește eroare de măsurare. Indică nivelul de inexactitate care poate fi tolerat în măsurare.

Determinarea parametrilor lungimii unui creion cu mai mult nivel inalt precizie, o valoare de diviziune mai mare realizează o precizie de măsurare mai mare, ceea ce asigură o eroare mai mică.

În acest caz, nu se pot face măsurători absolut precise. Și indicatorii nu trebuie să depășească dimensiunea prețului de diviziune.

S-a stabilit că dimensiunile erorii de măsurare sunt ½ din preț, care este indicat pe compartimentele instrumentului utilizat pentru determinarea dimensiunilor.

După măsurarea creionului la 9,7 cm, determinăm indicatorii erorii acestuia. Acesta este un decalaj de 9,65 - 9,85 cm.

Formula care măsoară o astfel de eroare este calculul:

A = a ± D (a)

A - sub forma unei marimi pentru masurarea proceselor;

a - valoarea rezultatului măsurării;

D - desemnarea erorii absolute.

Când scădeți sau adăugați valori cu o eroare, rezultatul va fi egal cu suma indicatorilor de eroare, care este fiecare valoare individuală.

Introducere în concept

Dacă luăm în considerare în funcție de modul în care este exprimat, putem distinge următoarele soiuri:

• Absolut.
• Relativ.
• Dat.

Eroarea absolută de măsurare este indicată de litera majusculă „Delta”. Acest concept este definit ca diferența dintre valorile măsurate și cele reale ale mărimii fizice care este măsurată.

Expresia erorii absolute de măsurare este unitățile mărimii care trebuie măsurată.

Când se măsoară masa, aceasta va fi exprimată, de exemplu, în kilograme. Acesta nu este un standard de precizie a măsurătorilor.

Cum se calculează eroarea măsurătorilor directe?

Există modalități de a reprezenta erorile de măsurare și de a le calcula. Pentru a face acest lucru, este important să puteți determina mărimea fizică cu acuratețea necesară, să știți care este eroarea absolută de măsurare, că nimeni nu o va putea găsi vreodată. Puteți calcula doar valoarea de limită.

Chiar dacă acest termen este folosit condiționat, el indică exact datele limită. Erorile de măsurare absolute și relative sunt indicate prin aceleași litere, diferența este în ortografia lor.

La măsurarea lungimii, eroarea absolută va fi măsurată în acele unități în care se calculează lungimea. Și eroarea relativă este calculată fără dimensiuni, deoarece este raportul dintre eroarea absolută și rezultatul măsurării. Această valoare este adesea exprimată ca procent sau fracții.

Erorile de măsurare absolute și relative au mai multe căi diferite calcule în funcție de ce mărimi fizice.

Conceptul de măsurare directă

Eroarea absolută și relativă a măsurătorilor directe depind de clasa de precizie a dispozitivului și de capacitatea de a determina eroarea de cântărire.

Înainte de a vorbi despre modul în care se calculează eroarea, este necesar să se clarifice definițiile. O măsurătoare directă este o măsurătoare în care rezultatul este citit direct de pe scala instrumentului.

Când folosim un termometru, riglă, voltmetru sau ampermetru, efectuăm întotdeauna măsurători directe, deoarece folosim direct un dispozitiv cu o scară.

Există doi factori care afectează performanța:

• Eroare de instrument.
• Eroarea sistemului de referință.

Limita de eroare absolută pentru măsurătorile directe va fi egală cu suma erorii pe care o arată dispozitivul și a erorii care apare în timpul procesului de citire.

D = D (pr.) + D (absent)

Exemplu de termometru medical

Valorile de precizie sunt indicate pe instrumentul însuși. Pe un termometru medical se înregistrează o eroare de 0,1 grade Celsius. Eroarea de citire este jumătate din valoarea diviziunii.

D = C/2

Dacă valoarea diviziunii este de 0,1 grade, atunci pentru un termometru medical se pot face calcule:

D \u003d 0,1 o C + 0,1 o C / 2 \u003d 0,15 o C

Pe partea din spate cantarile altui termometru sunt specificatii tehnice si este indicat ca pentru masuratori corecte este necesara scufundarea termometrului cu spatele intreg. nu este specificat. Singura eroare rămasă este eroarea de numărare.

Dacă valoarea diviziunii scalei acestui termometru este de 2 o C, atunci puteți măsura temperatura cu o precizie de 1 o C. Acestea sunt limitele erorii de măsurare absolute admise și calculul erorii absolute de măsurare.

Un sistem special de calcul al preciziei este utilizat în instrumentele electrice de măsurare.

Precizia instrumentelor electrice de măsură

Pentru a specifica acuratețea unor astfel de dispozitive, se folosește o valoare numită clasa de precizie. Pentru desemnarea sa, se folosește litera „Gamma”. Pentru a determina cu exactitate erorile de măsurare absolute și relative, trebuie să cunoașteți clasa de precizie a dispozitivului, care este indicată pe scară.

Luați, de exemplu, un ampermetru. Scara sa indică clasa de precizie, care arată numărul 0,5. Este potrivit pentru măsurători la constantă și curent alternativ, se referă la dispozitivele sistemului electromagnetic.

Acesta este un dispozitiv destul de precis. Dacă îl compari cu un voltmetru de școală, poți vedea că are o clasă de precizie 4. Această valoare trebuie cunoscută pentru calcule ulterioare.

Aplicarea cunoștințelor

Astfel, D c \u003d c (max) X γ / 100

Această formulă va fi folosită pentru exemple concrete. Să folosim un voltmetru și să găsim eroarea în măsurarea tensiunii pe care o dă bateria.

Să conectăm bateria direct la voltmetru, după ce am verificat în prealabil dacă săgeata este la zero. Când dispozitivul a fost conectat, săgeata a deviat cu 4,2 diviziuni. Această stare poate fi descrisă după cum urmează:

1. Se poate observa că valoarea maximă a lui U pentru acest articol este 6.
2. Clasa de precizie -(γ) = 4.
3. U(o) = 4,2 V.
4. C=0,2 V

Folosind aceste date de formulă, erorile de măsurare absolute și relative sunt calculate după cum urmează:

D U \u003d DU (ex.) + C / 2

D U (pr.) \u003d U (max) X γ / 100

D U (pr.) \u003d 6 V X 4/100 \u003d 0,24 V

Aceasta este eroarea dispozitivului.

Calculul erorii absolute de măsurare în acest caz se va efectua după cum urmează:

D U = 0,24 V + 0,1 V = 0,34 V

Folosind formula considerată, puteți afla cu ușurință cum să calculați eroarea absolută de măsurare.

Există o regulă pentru erorile de rotunjire. Vă permite să găsiți media dintre limita de eroare absolută și cea relativă.

Învățarea determinării erorii de cântărire

Acesta este un exemplu de măsurători directe. Pe loc special merită cântărit. La urma urmei, cântarele cu pârghie nu au o scară. Să învățăm cum să determinăm eroarea unui astfel de proces. Precizia măsurării masei este afectată de precizia greutăților și de perfecțiunea cântarelor în sine.

Folosim o cântar cu un set de greutăți care trebuie plasate exact pe partea dreaptă a cântarului. Luați o riglă pentru cântărire.

Înainte de a începe experimentul, trebuie să echilibrați cântarul. Punem rigla pe bolul din stânga.

Masa va fi egală cu suma greutăților instalate. Să determinăm eroarea de măsurare a acestei mărimi.

D m = D m (greutăți) + D m (greutăți)

Eroarea de măsurare a masei constă din doi termeni asociați cu cântare și greutăți. Pentru a afla fiecare dintre aceste valori, la fabricile de producție de cântare și greutăți, produsele sunt furnizate cu documente speciale care vă permit să calculați precizia.

Aplicarea tabelelor

Să folosim un tabel standard. Eroarea cântarului depinde de cât de multă masă este pusă pe cântar. Cu cât este mai mare, cu atât eroarea este mai mare.

Chiar dacă puneți un corp foarte ușor, va fi o eroare. Acest lucru se datorează procesului de frecare care are loc în osii.

Al doilea tabel se referă la un set de greutăți. Indică faptul că fiecare dintre ele are propria eroare de masă. Cea de 10 grame are o eroare de 1 mg, precum și cea de 20 de grame. Calculăm suma erorilor fiecăreia dintre aceste ponderi, luată din tabel.

Este convenabil să scrieți masa și eroarea de masă în două linii, care sunt situate una sub alta. Cu cât greutatea este mai mică, cu atât măsurarea este mai precisă.

Rezultate

În cursul materialului avut în vedere s-a stabilit că este imposibil să se determine eroarea absolută. Puteți seta doar indicatorii de limită. Pentru aceasta se folosesc formulele descrise mai sus în calcule. Acest material propus spre studiu la scoala elevilor din clasele 8-9. Pe baza cunoștințelor acumulate, se pot rezolva probleme de determinare a erorilor absolute și relative.

Să presupunem că lățimea exactă a mesei este A = 384 mm și, măsurând-o, obținem a = 381 mm. Se numește modulul diferenței dintre valoarea exactă a mărimii măsurate și valoarea ei aproximativă eroare absolută. ÎN acest exemplu eroare absolută 3 mm. Dar, în practică, nu știm niciodată valoarea exactă a mărimii măsurate, așa că nu putem ști exact eroarea absolută.

Dar, de obicei, cunoaștem acuratețea instrumentelor de măsurare, experiența observatorului care efectuează măsurătorile și așa mai departe. Acest lucru face posibilă formarea unei idei despre eroarea absolută de măsurare. Dacă, de exemplu, măsuram lungimea unei încăperi cu o bandă de măsurare, atunci nu ne este greu să luăm în calcul metri și centimetri, dar este puțin probabil să putem ține cont de milimetri. Da, nu este nevoie de asta. Prin urmare, facem în mod deliberat o eroare în termen de 1 cm. Eroarea absolută în lungimea camerei este mai mică de 1 cm. Când măsuram lungimea oricărui segment cu o riglă milimetrică, avem dreptul să afirmăm că eroarea de măsurare nu depășește 1 mm.

Eroarea absolută e a a numărului aproximativ a face posibilă stabilirea limitelor în care se află numărul exact A:

Eroarea absolută nu este un indicator suficient al calității măsurătorii și nu caracterizează acuratețea calculelor sau măsurătorilor. Dacă se știe că, măsurand o anumită lungime, am obținut o eroare absolută de 1 cm, atunci nu se pot face concluzii dacă am măsurat bine sau rău. Dacă am măsurat lungimea unui creion la 15 cm și am greșit cu 1 cm, măsurarea noastră nu este bună. Dacă am măsurat un coridor de 20 de metri și am făcut o greșeală de doar 1 cm, atunci măsurarea noastră este o probă de precizie. Nu numai eroarea absolută în sine este importantă, ci și ponderea pe care o face din valoarea măsurată.. În primul exemplu, abs. eroarea de 1 cm este 1/15 din valoarea măsurată sau 7%, în al doilea - 1/2000 sau 0,05%. A doua dimensiune este mult mai bună.

Eroarea relativă este raportul dintre eroarea absolută și valoarea absolută a valorii aproximative:

Spre deosebire de eroarea absolută, care este de obicei o valoare dimensională, eroarea relativă este întotdeauna o valoare adimensională. De obicei se exprimă în %.

Exemplu

La măsurarea unei lungimi de 5 cm este permisă o eroare absolută de 0,1 cm.Care este eroarea relativă? (Răspuns 2%)

La calcularea numărului de locuitori ai orașului, care s-a dovedit a fi 2.000.000, a fost permisă o eroare de 100 de persoane. Care este eroarea relativă? (Răspuns 0,005%)

Rezultatul oricărei măsurători este exprimat printr-un număr care caracterizează doar aproximativ valoarea măsurată. Prin urmare, în calculele de care avem de-a face aproximativ numerele. Când scrieți numere aproximative, se presupune că ultima cifră din dreapta caracterizează mărimea erorii absolute.

De exemplu, dacă se scrie 12,45, aceasta nu înseamnă că valoarea caracterizată de acest număr nu conține miimi. Se poate argumenta că miimile nu au fost luate în considerare în timpul măsurării, prin urmare, eroarea absolută este mai mică de jumătate din unitatea ultimei cifre: . În mod similar, în ceea ce privește numărul aproximativ 1,283, putem spune că eroarea absolută este mai mică de 0,0005: .

Numerele aproximative sunt scrise de obicei în așa fel încât eroarea absolută să nu depășească unitatea ultimei zecimală . Sau, cu alte cuvinte, eroarea absolută a unui număr aproximativ este caracterizată de numărul de zecimale după virgulă.

Ce se întâmplă dacă, după măsurarea atentă a unei cantități, se dovedește că aceasta conține o unitate întreagă, 2 zecimi, 5 sutimi, nu conține miimi și zece miimi nu pot fi numărate? Dacă scriem 1,25, atunci miimile nu sunt luate în considerare în această înregistrare, în timp ce de fapt suntem siguri că nu sunt. În acest caz, este obișnuit să puneți 0 în locul lor - trebuie să scrieți 1.250. Astfel, numerele 1,25 și 1,250 nu înseamnă același lucru. Prima conține miimi; doar nu știm cât. Al doilea nu conține miimi, nimic nu se poate spune despre zece miimi.

Este mai dificil atunci când scrieți numere mari aproximative. Să fie numărul sătenilor egală 2000 de oameni, și în oraș aproximativ 457.000 locuitori. Mai mult, suntem siguri de orasul in mii, dar permitem o eroare in sute si zeci. În primul caz, zerourile de la sfârșitul numărului indică absența sutelor, zecilor și unu, vom numi astfel de zerouri. plin de înțeles; în al doilea caz, zerourile indică ignoranța noastră cu privire la numărul de sute, zeci și unități. Vom numi astfel de zerouri nesemnificativ. Când scrieți un număr aproximativ care conține zerouri, este necesar să specificați suplimentar semnificația acestora. Zerourile sunt de obicei nesemnificative. Uneori puteți indica nesemnificația zerourilor scriind numărul în formă exponențială (457 * 10 3).

Să comparăm precizia a două numere aproximative 1362,3 și 2,37. În primul, eroarea absolută nu depășește 0,1; în al doilea, este 0,01. Prin urmare, al doilea număr pare mai precis decât primul.

Să calculăm eroarea relativă. Pentru primul număr ; pentru al doilea . Al doilea număr este semnificativ (de aproape 100 de ori) mai puțin precis decât primul. Se pare că acest lucru se datorează faptului că în primul număr sunt date 5 cifre corecte (semnificative), în timp ce în al doilea - doar 3.

Toate cifrele unui număr aproximativ, în care suntem siguri, vor fi numite cifre adevărate (semnificative). Zerourile imediat la dreapta după virgulă nu sunt semnificative, ele indică doar ordinea cifrelor semnificative la dreapta. Zerourile din pozițiile cele mai din dreapta ale unui număr pot fi atât semnificative, cât și nesemnificative. De exemplu, fiecare dintre următoarele numere are 3 cifre semnificative: 283*10 5 , 200*10 2 , 22,5, 0,0811, 2,10, 0,0000458.

Exemplu

Câte cifre semnificative (corecte) sunt în următoarele numere:

0.75 (2), 12.050 (5), 1875*10 5 (4), 0.06*10 9 (1)

Estimați eroarea relativă a următoarelor numere aproximative:

zerouri semnificative: 21000 (0,005%),

Este ușor de observat că pentru o estimare aproximativă a erorii relative a unui număr, este suficient să numărăm numărul de cifre semnificative. Pentru un număr care are o singură cifră semnificativă, eroarea relativă este de aproximativ 10%;

cu 2 cifre semnificative - 1%;

cu 3 cifre semnificative - 0,1%;

cu 4 cifre semnificative - 0,01% etc.

Când calculăm cu numere aproximative, ne va interesa întrebarea: cum, pe baza numerelor aproximative date, să obținem un răspuns cu eroarea relativă necesară.

Adesea, în acest caz, toate datele inițiale trebuie luate cu aceeași eroare, și anume cu eroarea celei mai puțin precise dintre numerele date. Prin urmare, este adesea necesar să înlocuiți un număr mai precis cu unul mai puțin precis - pentru a rotunji.

rotunjire la zecimi 27.136 » 27.1,

rotunjire la numere întregi 32,8 » 33.

Regula de rotunjire: Dacă cifra cea mai din stânga eliminată în timpul rotunjirii este mai mică de 5, atunci ultima cifră reținută nu este modificată; dacă cifra din stânga care trebuie eliminată este mai mare de 5 sau dacă este egală cu 5, atunci ultima cifră reținută este incrementată cu 1.

Exemplu

rotunjire la zecimi 17,96 (18,0)

rotunjire la sutimi 14,127 (14,13)

rotunjiți pentru a păstra cele 3 numere corecte: 83,501 (83,5), 728,21 (728), 0,0168835 (0,01688).

Eroarea absolută și relativă sunt folosite pentru a evalua inexactitatea în calculele efectuate cu complexitate ridicată. Ele sunt, de asemenea, utilizate în diferite măsurători și pentru rotunjirea rezultatelor calculelor. Luați în considerare cum să determinați eroarea absolută și relativă.

Eroare absolută

Eroarea absolută a numărului numiți diferența dintre acest număr și valoarea lui exactă.
Luați în considerare un exemplu : 374 de elevi învață la școală. Dacă acest număr este rotunjit la 400, atunci eroarea absolută de măsurare este 400-374=26.

Pentru a calcula eroarea absolută, este necesar de la Mai mult scade mai putin.

Există o formulă pentru eroarea absolută. Notăm numărul exact cu litera A, iar cu litera a - aproximarea la numărul exact. Un număr aproximativ este un număr care diferă ușor de numărul exact și îl înlocuiește de obicei în calcule. Apoi formula va arăta astfel:

Δa=A-a. Cum să găsiți eroarea absolută prin formula, am discutat mai sus.

În practică, eroarea absolută nu este suficientă pentru a evalua cu precizie măsurarea. Rareori se poate cunoaște exact valoarea mărimii măsurate pentru a calcula eroarea absolută. Dacă măsurați o carte de 20 cm lungime și permiteți o eroare de 1 cm, puteți citi măsurarea cu o eroare mare. Dar dacă s-a făcut o eroare de 1 cm la măsurarea unui perete de 20 de metri, această măsurătoare poate fi considerată cât se poate de precisă. Prin urmare, în practică mai mult importanţă are o definiție a erorii relative de măsurare.

Înregistrați eroarea absolută a numărului folosind semnul ±. De exemplu , lungimea rolei de tapet este de 30 m ± 3 cm Limita erorii absolute se numește eroare absolută limitatoare.

Eroare relativă

Eroare relativă numit raportul dintre eroarea absolută a unui număr și numărul însuși. Pentru a calcula eroarea relativă din exemplul studentului, împărțim 26 la 374. Obținem numărul 0,0695, îl transformăm într-un procent și obținem 6%. Eroarea relativă se notează procentual, deoarece este o mărime adimensională. Eroarea relativă este o estimare precisă a erorii de măsurare. Dacă luăm o eroare absolută de 1 cm la măsurarea lungimii segmentelor de 10 cm și 10 m, atunci erorile relative vor fi de 10%, respectiv 0,1%. Pentru un segment cu lungimea de 10 cm, eroarea de 1 cm este foarte mare, aceasta este o eroare de 10%. Iar pentru un segment de zece metri, 1 cm nu contează, doar 0,1%.

Există erori sistematice și aleatorii. Eroarea sistematică este eroarea care rămâne neschimbată în timpul măsurătorilor repetate. Eroarea aleatoare apare ca urmare a impactului asupra procesului de măsurare factori externiși își poate schimba valoarea.

Reguli pentru calcularea erorilor

Există mai multe reguli pentru estimarea nominală a erorilor:

• la adunarea și scăderea numerelor, este necesar să se adauge erorile absolute ale acestora;
• la împărțirea și înmulțirea numerelor, este necesar să se adauge erori relative;
• atunci când este exponențiată, eroarea relativă este înmulțită cu exponent.

Aproximativ și numere exacte sunt scrise folosind zecimale. Se ia doar valoarea medie, deoarece valoarea exactă poate fi infinit de lungă. Pentru a înțelege cum să scrieți aceste numere, trebuie să aflați despre numerele corecte și îndoielnice.

Numerele adevărate sunt acele numere a căror cifră depășește eroarea absolută a numărului. Dacă cifra cifrei este mai mică decât eroarea absolută, se numește îndoielnică. De exemplu , pentru o fracție de 3,6714 cu o eroare de 0,002, numerele 3,6,7 vor fi corecte, iar 1 și 4 vor fi îndoielnice.În înregistrarea numărului aproximativ rămân doar numerele corecte. Fracția în acest caz va arăta astfel - 3,67.

Ce am învățat?

Erorile absolute și relative sunt utilizate pentru a evalua acuratețea măsurătorilor. Eroarea absolută este diferența dintre numărul exact și cel aproximativ. Eroarea relativă este raportul dintre eroarea absolută a unui număr și numărul însuși. În practică, se utilizează eroarea relativă, deoarece este mai precisă.