Ce arată funcția exponențială. Lecția „Funcția exponențială, proprietățile și graficul acesteia

Knowledge Hypermarket >>Matematică >>Matematică Clasa 10 >>

Functie exponentiala, proprietățile și graficul acestuia

Luați în considerare expresia 2x și găsiți valorile acesteia pentru diferite valori raționale ale variabilei x, de exemplu, pentru x=2;

În general, indiferent de ce valoare rațională dăm variabilei x, putem calcula oricând valoarea numerică corespunzătoare a expresiei 2x. Astfel, se poate vorbi de exponențial funcții y=2 x definit pe mulțimea Q numere rationale:

Să luăm în considerare câteva proprietăți ale acestei funcții.

Proprietatea 1. este o funcție crescătoare. Efectuăm dovada în două etape.
Primul pas. Să demonstrăm că dacă r este un număr rațional pozitiv, atunci 2 r >1.
Sunt posibile două cazuri: 1) r - numar natural, r = n; 2) ireductibil ordinar fracțiune,

În partea stângă a ultimei inegalități avem , iar în partea dreaptă 1. Prin urmare, ultima inegalitate poate fi rescrisă ca

Astfel, în orice caz, inegalitatea 2 r > 1 este valabilă, după cum este necesar.

Faza a doua. Fie x 1 și x 2 numere, iar x 1 și x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(am notat diferența x 2 -x 1 cu litera r).

Deoarece r este un număr rațional pozitiv, atunci, prin ceea ce s-a dovedit la prima etapă, 2 r > 1, adică 2 r -1 >0. Numărul 2x" este și el pozitiv, ceea ce înseamnă că produsul 2 x-1 (2 Г -1) este și el pozitiv. Astfel, am demonstrat că inegalitate 2 Xr -2x "\u003e 0.

Deci, din inegalitatea x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Proprietatea 2. limitat de jos și nu limitat de sus.
Mărginirea funcției de mai jos rezultă din inegalitatea 2 x > 0, care este valabilă pentru orice valori ale lui x din domeniul funcției. În același timp, indiferent de ce număr pozitiv M se ia, se poate alege întotdeauna un astfel de indicator x încât inegalitatea 2 x > M să fie îndeplinită - ceea ce caracterizează nemărginirea funcției de sus. Să dăm câteva exemple.

Proprietatea 3. nu are nici o valoare minimă, nici o valoare maximă.

Ce nu are această funcție cea mai mare valoare, evident, din moment ce, după cum tocmai am văzut, nu este mărginită de sus. Dar de jos este limitat, de ce nu are cea mai mică valoare?

Să presupunem că 2r este cea mai mică valoare a funcției (r este un exponent rațional). Luați un număr rațional q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Toate acestea sunt bune, zici tu, dar de ce considerăm funcția y-2 x numai pe mulțimea numerelor raționale, de ce nu o considerăm, ca și alte funcții cunoscute, pe întreaga dreaptă numerică sau pe vreun interval continuu de linia numerică? Ce ne oprește? Să ne gândim la situație.

Linia numerică conține nu numai numere raționale, ci și iraționale. Pentru funcțiile studiate anterior, acest lucru nu ne-a deranjat. De exemplu, am găsit valorile funcției y \u003d x 2 la fel de ușor pentru valorile raționale și iraționale ale lui x: a fost suficient să pătrați valoarea dată a lui x.

Dar cu funcția y \u003d 2 x, situația este mai complicată. Dacă argumentului x i se dă o valoare rațională, atunci în principiu x poate fi calculat (întoarceți-vă la începutul paragrafului, unde am făcut exact asta). Și dacă argumentului x i se dă o valoare irațională? Cum, de exemplu, să calculăm? Încă nu știm asta.
Matematicienii au găsit o cale de ieșire; asa au vorbit.

Se știe că Luați în considerare o succesiune de numere raționale - aproximări zecimale ale unui număr prin deficiență:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Este clar că 1,732 = 1,7320 și 1,732050 = 1,73205. Pentru a evita astfel de repetări, aruncăm acei membri ai secvenței care se termină cu numărul 0.

Apoi obținem o secvență crescătoare:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

În mod corespunzător, și succesiunea crește.

Toți membrii acestei secvențe sunt numere pozitive mai mici de 22, adică. această secvență este limitată. După teorema Weierstrass (vezi § 30), dacă o secvență este crescătoare și mărginită, atunci converge. Mai mult, din § 30 știm că, dacă o succesiune converge, atunci numai la o limită. Această limită unică a fost convenită să fie considerată valoarea unei expresii numerice. Și nu contează că este foarte greu de găsit chiar și o valoare aproximativă a expresiei numerice 2; este important ca acesta să fie un anumit număr (la urma urmei, nu ne-a fost frică să spunem că, de exemplu, este rădăcina unei ecuații raționale, rădăcina ecuației trigonometrice, fără să ne gândim cu adevărat la ce sunt exact aceste numere:
Așadar, am aflat ce semnificație pun matematicienii simbolului 2 ^. În mod similar, se poate determina ce este și, în general, ce este a, unde a este un număr irațional și a > 1.
Dar ce zici când 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Acum putem vorbi nu numai despre puteri cu exponenți raționali arbitrari, ci și despre puteri cu exponenți reali arbitrari. Se dovedește că gradele cu orice exponenți reali au toate proprietățile obișnuite ale gradelor: la înmulțirea gradelor cu aceleași baze, exponenții se adună, la împărțire, se scad, la ridicarea unui grad la o putere, se înmulțesc etc. . Dar cel mai important lucru este că acum putem vorbi despre funcția y-ax definită pe mulțimea tuturor numerelor reale.
Să revenim la funcția y \u003d 2 x, construim graficul acesteia. Pentru a face acest lucru, vom compila un tabel cu valorile funcției \u200b\u200de \u003d 2 x:

Să notăm punctele din planul de coordonate (Fig. 194), ele conturează o anumită linie, o desenează (Fig. 195).

Proprietățile funcției y - 2 x:
1)
2) nu este nici par, nici impar; 248
3) crește;

5) nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori;
6) continuu;
7)
8) convex în jos.

În curs sunt date dovezi stricte ale proprietăților enumerate ale funcției y-2 x matematica superioara. Unele dintre aceste proprietăți pe care le-am discutat mai devreme într-o măsură sau alta, unele dintre ele sunt clar demonstrate de graficul construit (vezi Fig. 195). De exemplu, absența parității sau a neobișnuitității unei funcții este legată geometric de lipsa de simetrie a graficului, respectiv, față de axa y sau despre origine.

Orice funcție de forma y=a x, unde a >1, are proprietăți similare. Pe fig. Se construiesc 196 într-un sistem de coordonate, grafice ale funcțiilor y=2 x, y=3 x, y=5 x.

Acum să luăm în considerare funcția, să facem un tabel de valori pentru aceasta:

Să marchem punctele pe planul de coordonate (Fig. 197), ele conturează o anumită linie, o desenează (Fig. 198).

Proprietățile funcției

1)
2) nu este nici par, nici impar;
3) scade;
4) nelimitat de sus, limitat de jos;
5) nu există nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare;
6) continuu;
7)
8) convex în jos.
Orice funcție de forma y \u003d a x, unde O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Vă rugăm să rețineți: grafice de funcții acestea. y \u003d 2 x, simetric față de axa y (Fig. 201). Aceasta este o consecință a afirmației generale (vezi § 13): graficele funcțiilor y = f(x) și y = f(-x) sunt simetrice față de axa y. În mod similar, graficele funcțiilor y \u003d 3 x și

Rezumând cele spuse, vom da o definiție a funcției exponențiale și vom evidenția cele mai importante proprietăți ale acesteia.

Definiție. Funcția de vizualizare se numește funcție exponențială.
Principalele proprietăți ale funcției exponențiale y \u003d a x

Graficul funcției y \u003d a x pentru a> 1 este prezentat în fig. 201 și pentru 0<а < 1 - на рис. 202.

Curba prezentată în fig. 201 sau 202 se numește exponent. De fapt, matematicienii numesc de obicei funcția exponențială în sine y = a x. Deci termenul „exponent” este folosit în două sensuri: atât pentru numele funcției exponențiale, cât și pentru numele graficului funcției exponențiale. De obicei, este clar dacă vorbim despre o funcție exponențială sau despre graficul acesteia.

Atenție la caracteristica geometrică a graficului funcției exponențiale y \u003d ax: axa x este asimptota orizontală a graficului. Adevărat, această afirmație este de obicei rafinată după cum urmează.
Axa x este asimptota orizontală a graficului funcției

Cu alte cuvinte

Prima notă importantă. Scolarii confundă adesea termenii: funcție de putere, funcție exponențială. Comparaţie:

Acestea sunt exemple de funcții de putere;

sunt exemple de funcții exponențiale.

În general, y \u003d x r, unde r este un număr specific, este o funcție de putere (argumentul x este conținut în baza gradului);
y \u003d a", unde a este un anumit număr (pozitiv și diferit de 1), este o funcție exponențială (argumentul x este conținut în exponent).

O funcție „exotică” atacantă precum y = x” nu este considerată nici exponențială, nici putere-lege (uneori este numită funcție exponențială-putere).

A doua notă importantă. De obicei, nu se consideră o funcție exponențială cu o bază a = 1 sau cu o bază a care satisface inegalitatea a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0și a Faptul este că, dacă a \u003d 1, atunci pentru orice valoare x egalitatea Ix \u003d 1 este adevărată. Astfel, funcția exponențială y \u003d a "pentru a \u003d 1" degenerează "într-o funcție constantă y \ u003d 1 - acest lucru nu este interesant. Dacă a \u003d 0, atunci 0x \u003d 0 pentru orice valoare pozitivă a lui x, adică obținem funcția y \u003d 0 definită pentru x\u003e 0 - acest lucru nu este, de asemenea, interesant.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Înainte de a trece la rezolvarea exemplelor, observăm că funcția exponențială este semnificativ diferită de toate funcțiile pe care le-ați studiat până acum. Pentru a studia amănunțit un obiect nou, trebuie să îl luați în considerare din unghiuri diferite, în diferite situații, așa că vor exista multe exemple.
Exemplul 1

Soluţie, a) După ce am trasat graficele funcțiilor y \u003d 2 x și y \u003d 1 într-un sistem de coordonate, observăm (Fig. 203) că au un punct comun (0; 1). Deci, ecuația 2x = 1 are o singură rădăcină x = 0.

Deci, din ecuația 2x = 2° obținem x = 0.

b) După ce am construit graficele funcțiilor y \u003d 2 x și y \u003d 4 într-un singur sistem de coordonate, observăm (Fig. 203) că au un punct comun (2; 4). Deci, ecuația 2x = 4 are o singură rădăcină x = 2.

Deci, din ecuația 2 x \u003d 2 2 avem x \u003d 2.

c) și d) Pe baza acelorași considerații, concluzionăm că ecuația 2 x \u003d 8 are o singură rădăcină și, pentru a o găsi, este posibil să nu fie construite grafice ale funcțiilor corespunzătoare;

este clar că x=3, deoarece 2 3 =8. În mod similar, găsim singura rădăcină a ecuației

Deci, din ecuația 2x = 2 3 obținem x = 3, iar din ecuația 2 x = 2 x obținem x = -4.
e) Graficul funcției y \u003d 2 x este situat deasupra graficului funcției y \u003d 1 pentru x\u003e 0 - acest lucru este bine citit în Fig. 203. Prin urmare, soluția inegalității 2x > 1 este intervalul
f) Graficul funcției y \u003d 2 x este situat sub graficul funcției y \u003d 4 la x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Probabil ați observat că baza tuturor concluziilor făcute la rezolvarea exemplului 1 a fost proprietatea monotonității (creșterii) funcției y \u003d 2 x. Raționament similar ne permite să verificăm validitatea următoarelor două teoreme.

Soluţie. Puteți proceda astfel: construiți un grafic al funcției y-3 x, apoi întindeți-l de pe axa x cu un factor de 3 și apoi ridicați graficul rezultat cu 2 unități de scară. Dar este mai convenabil să folosiți faptul că 3- 3* \u003d 3 * + 1 și, prin urmare, reprezentați grafic funcția y \u003d 3 x * 1 + 2.

Să trecem, așa cum am făcut în mod repetat în astfel de cazuri, la un sistem de coordonate auxiliar cu originea în punctul (-1; 2) - linii punctate x = - 1 și 1x = 2 în Fig. 207. Să „atașăm” funcția y=3* la sistem nou coordonatele. Pentru a face acest lucru, selectăm puncte de control pentru funcție , dar le vom construi nu în vechiul, ci în noul sistem de coordonate (aceste puncte sunt marcate în Fig. 207). Apoi vom construi un exponent prin puncte - acesta va fi graficul necesar (vezi Fig. 207).
Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei anumite funcții pe segmentul [-2, 2], folosim faptul că funcția dată este în creștere și, prin urmare, își ia cele mai mici și, respectiv, cele mai mari valori la stânga și capetele din dreapta ale segmentului.
Asa de:

Exemplul 4 Rezolvați ecuația și inegalitățile:

Soluţie, a) Să construim grafice ale funcțiilor y=5* și y=6-x într-un sistem de coordonate (Fig. 208). Se intersectează la un punct; judecând după desen, acesta este punctul (1; 5). Verificarea arată că de fapt punctul (1; 5) satisface atât ecuația y = 5* cât și ecuația y=6x. Abscisa acestui punct servește ca unică rădăcină pentru ecuația dată.

Deci, ecuația 5 x = 6-x are o singură rădăcină x = 1.

b) și c) Exponentul y-5x se află deasupra dreptei y=6-x, dacă x>1, - acest lucru se vede clar în fig. 208. Prin urmare, soluția inegalității 5*>6-x poate fi scrisă astfel: x>1. Și soluția inegalității 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Răspuns: a) x = 1; b)x>1; c)x<1.

Exemplul 5 Dată o funcție Demonstrează asta
Soluţie. După condiție Avem.

Rezolvarea majorității problemelor matematice este oarecum legată de transformarea expresiilor numerice, algebrice sau funcționale. Acest lucru se aplică mai ales soluției. În variantele USE în matematică, acest tip de sarcină include, în special, sarcina C3. Învățarea cum să rezolvi sarcinile C3 este importantă nu numai pentru promovarea cu succes a examenului, ci și pentru motivul că această abilitate va fi utilă atunci când studiezi un curs de matematică în învățământul superior.

Efectuând sarcinile C3, trebuie să rezolvi diverse tipuri de ecuații și inegalități. Printre acestea se numără raționale, iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice, care conțin module (valori absolute), precum și combinate. Acest articol discută principalele tipuri de ecuații și inegalități exponențiale, precum și diferite metode de rezolvare a acestora. Citiți despre rezolvarea altor tipuri de ecuații și inegalități la rubrica „” din articolele dedicate metodelor de rezolvare a problemelor C3 din variantele USE în matematică.

Înainte de a trece la analiza specifice ecuații exponențiale și inegalități, în calitate de profesor de matematică, vă sugerez să periați unele dintre materialele teoretice de care vom avea nevoie.

Functie exponentiala

Ce este o funcție exponențială?

Funcția de vizualizare y = un x, Unde A> 0 și A≠ 1, numit functie exponentiala.

Principal proprietățile funcției exponențiale y = un x:

Graficul unei funcții exponențiale

Graficul funcției exponențiale este expozant:

Grafice ale funcțiilor exponențiale (exponenți)

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale

indicativ numite ecuații în care variabila necunoscută se găsește numai în exponenții oricăror puteri.

Pentru solutii ecuații exponențiale trebuie să cunoașteți și să puteți utiliza următoarea teoremă simplă:

Teorema 1. ecuație exponențială A f(X) = A g(X) (Unde A > 0, A≠ 1) este echivalentă cu ecuația f(X) = g(X).

În plus, este util să ne amintim formulele și acțiunile de bază cu grade:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Exemplul 1 Rezolvați ecuația:

Soluţie: utilizați formulele de mai sus și înlocuiți:

Ecuația devine atunci:

Primit discriminant ecuație pătratică pozitiv:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Aceasta înseamnă că această ecuație are două rădăcini. Le gasim:

Revenind la înlocuire, obținem:

A doua ecuație nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială este strict pozitivă pe întregul domeniu de definiție. Să o rezolvăm pe a doua:

Ținând cont de cele spuse în teorema 1, trecem la ecuația echivalentă: X= 3. Acesta va fi răspunsul la sarcină.

Răspuns: X = 3.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația:

Soluţie: ecuația nu are restricții în ceea ce privește aria valorilor admisibile, deoarece expresia radicală are sens pentru orice valoare X(functie exponentiala y = 9 4 -X pozitiv și nu egal cu zero).

Rezolvăm ecuația prin transformări echivalente folosind regulile de înmulțire și împărțire a puterilor:

Ultima tranziție a fost efectuată în conformitate cu teorema 1.

Răspuns:X= 6.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația:

Soluţie: ambele părți ale ecuației inițiale pot fi împărțite la 0,2 X. Această tranziție va fi echivalentă, deoarece această expresie este mai mare decât zero pentru orice valoare X(funcția exponențială este strict pozitivă pe domeniul său). Atunci ecuația ia forma:

Răspuns: X = 0.

Exemplul 4 Rezolvați ecuația:

Soluţie: simplificăm ecuația la una elementară prin transformări echivalente folosind regulile de împărțire și înmulțire a puterilor date la începutul articolului:

Împărțirea ambelor părți ale ecuației la 4 X, ca în exemplul anterior, este o transformare echivalentă, deoarece această expresie nu este egală cu zero pentru nicio valoare X.

Răspuns: X = 0.

Exemplul 5 Rezolvați ecuația:

Soluţie: funcţie y = 3X, aflat în partea stângă a ecuației, este în creștere. Funcţie y = —X-2/3, stând în partea dreaptă a ecuației, este în scădere. Aceasta înseamnă că dacă graficele acestor funcții se intersectează, atunci cel mult la un moment dat. În acest caz, este ușor de ghicit că graficele se intersectează în punct X= -1. Nu vor exista alte rădăcini.

Răspuns: X = -1.

Exemplul 6 Rezolvați ecuația:

Soluţie: simplificăm ecuația prin transformări echivalente, ținând cont peste tot că funcția exponențială este strict mai mare decât zero pentru orice valoare Xși folosind regulile de calcul al produsului și puterilor parțiale date la începutul articolului:

Răspuns: X = 2.

Rezolvarea inegalităților exponențiale

indicativ numite inegalităţi în care variabila necunoscută este cuprinsă numai în exponenţii unor puteri.

Pentru solutii inegalități exponențiale este necesară cunoașterea următoarei teoreme:

Teorema 2. Dacă A> 1, apoi inegalitatea A f(X) > A g(X) este echivalentă cu o inegalitate de același sens: f(X) > g(X). Daca 0< A < 1, то inegalitatea exponenţială A f(X) > A g(X) este echivalentă cu o inegalitate de sens opus: f(X) < g(X).

Exemplul 7 Rezolvați inegalitatea:

Soluţie: reprezentați inegalitatea inițială sub forma:

Împărțiți ambele părți ale acestei inegalități la 3 2 X, și (datorită pozitivității funcției y= 3 2X) semnul inegalității nu se va modifica:

Să folosim o înlocuire:

Atunci inegalitatea ia forma:

Deci, soluția inegalității este intervalul:

trecând la substituția inversă, obținem:

Inegalitatea din stânga, datorită pozitivității funcției exponențiale, este îndeplinită automat. A profita proprietate cunoscută logaritm, trecem la inegalitatea echivalentă:

Deoarece baza gradului este un număr mai mare decât unu, echivalentul (prin teorema 2) va fi trecerea la următoarea inegalitate:

Așa că în sfârșit obținem Răspuns:

Exemplul 8 Rezolvați inegalitatea:

Soluţie: folosind proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor, rescriem inegalitatea sub forma:

Să introducem o nouă variabilă:

Cu această înlocuire, inegalitatea ia forma:

Înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu 7, obținem următoarea inegalitate echivalentă:

Deci inegalitatea este satisfăcută următoarele valori variabil t:

Apoi, revenind la substituție, obținem:

Deoarece baza gradului aici este mai mare decât unu, este echivalent (prin teorema 2) să trecem la inegalitatea:

În sfârșit, obținem Răspuns:

Exemplul 9 Rezolvați inegalitatea:

Soluţie:

Împărțim ambele părți ale inegalității prin expresia:

Este întotdeauna mai mare decât zero (deoarece funcția exponențială este pozitivă), astfel încât semnul inegalității nu trebuie schimbat. Primim:

t , care sunt în intervalul:

Trecând la substituția inversă, constatăm că inegalitatea inițială se împarte în două cazuri:

Prima inegalitate nu are soluții datorită pozitivității funcției exponențiale. Să o rezolvăm pe a doua:

Exemplul 10 Rezolvați inegalitatea:

Soluţie:

Ramuri de parabolă y = 2X+2-X 2 sunt îndreptate în jos, deci este mărginit de sus de valoarea pe care o atinge la vârful său:

Ramuri de parabolă y = X 2 -2X+2, care se află în indicator, sunt direcționate în sus, ceea ce înseamnă că este limitat de jos de valoarea pe care o atinge în partea de sus:

În același timp, funcția se dovedește a fi mărginită de jos y = 3 X 2 -2X+2 în partea dreaptă a ecuației. Ea atinge cea mai mică valoare în același punct cu parabola din exponent, iar această valoare este 3 1 = 3. Deci, inegalitatea inițială poate fi adevărată numai dacă funcția din stânga și funcția din dreapta iau valoarea , egal cu 3 (intersecția intervalelor acestor funcții este doar acest număr). Această condiție este îndeplinită într-un singur punct X = 1.

Răspuns: X= 1.

Pentru a învăța cum să rezolvi ecuații exponențiale și inegalități, trebuie să te antrenezi constant în soluția lor. În această problemă dificilă, diverse mijloace didactice, cărți de probleme la matematică elementară, culegeri de probleme competitive, ore de matematică la școală, precum și sesiuni individuale cu un tutore profesionist. Vă doresc din suflet succes în pregătirile voastre și rezultate geniale la examen.

Serghei Valerievici

P.S. Dragi oaspeți! Vă rugăm să nu scrieți solicitări pentru rezolvarea ecuațiilor dvs. în comentarii. Din păcate, nu am timp deloc pentru asta. Astfel de mesaje vor fi șterse. Vă rugăm să citiți articolul. Poate că în el veți găsi răspunsuri la întrebări care nu v-au permis să vă rezolvați singur sarcina.

Functie exponentiala

Funcția formei y = a X , unde a este mai mare decât zero și a nu este egal cu unu se numește funcție exponențială. Principalele proprietăți ale funcției exponențiale:

1. Domeniul funcției exponențiale va fi mulțimea numerelor reale.

2. Domeniul funcției exponențiale va fi mulțimea tuturor numerelor reale pozitive. Uneori, acest set este notat cu R+ pentru concizie.

3. Dacă într-o funcție exponențială baza a este mai mare decât unu, atunci funcția va crește pe întregul domeniu de definiție. Dacă funcția exponențială pentru baza a satisface următoarea condiție 0

4. Toate proprietățile de bază ale gradelor vor fi valabile. Principalele proprietăți ale gradelor sunt reprezentate de următoarele egalități:

A X *A y = a (x+y) ;

(A X )/(A y ) = a (X y) ;

(a*b) X = (a X )*(A y );

(a/b) X = a X /b X ;

(A X ) y = a (X y) .

Aceste egalități vor fi valabile pentru toate valorile reale ale lui x și y.

5. Graficul funcției exponențiale trece întotdeauna prin punctul cu coordonatele (0;1)

6. În funcție de creșterea sau descreșterea funcției exponențiale, graficul acesteia va avea unul din două tipuri.

Următoarea figură prezintă un grafic al unei funcții exponențiale crescătoare: a>0.

Următoarea figură este un grafic al unei funcții exponențiale descrescătoare: 0

Atât graficul funcției exponențiale crescătoare, cât și graficul funcției exponențiale descrescătoare, conform proprietății descrise în al cincilea paragraf, trec prin punctul (0; 1).

7. O funcție exponențială nu are puncte extreme, adică, cu alte cuvinte, nu are puncte minime și maxime ale funcției. Dacă luăm în considerare funcția pe un anumit segment, atunci funcția va lua valorile minime și maxime la sfârșitul acestui interval.

8. Funcția nu este pară sau impară. O funcție exponențială este o funcție vedere generala. Acest lucru se poate observa și din grafice, niciunul dintre ele nu este simetric nici față de axa Oy, nici față de origine.

Logaritm

Logaritmii au fost întotdeauna considerați un subiect dificil în cursul de matematică din școală. Există multe definiții diferite ale logaritmului, dar din anumite motive majoritatea manualelor folosesc cele mai complexe și nefericite dintre ele.

Vom defini logaritmul simplu și clar. Să creăm un tabel pentru asta:

Deci, avem puteri de doi. Dacă luați numărul din linia de jos, atunci puteți găsi cu ușurință puterea la care trebuie să ridicați un doi pentru a obține acest număr. De exemplu, pentru a obține 16, trebuie să ridici doi la a patra putere. Și pentru a obține 64, trebuie să ridici doi la a șasea putere. Acest lucru se vede din tabel.

Și acum - de fapt, definiția logaritmului:

Definiție

Logaritm baza a din argumentul x este puterea la care trebuie ridicat numărul A pentru a obține numărul X.

Desemnare

log a x = b
unde a este baza, x este argumentul, b Care este exact logaritmul.

De exemplu, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmul de bază 2 al lui 8 este trei deoarece 2 3 = 8). Ar putea la fel de bine să înregistreze 2 64 = 6, deoarece 2 6 = 64.

Operația de găsire a logaritmului unui număr la o bază dată este numitălogaritm . Deci, să adăugăm un nou rând la tabelul nostru:

Din păcate, nu toți logaritmii sunt considerați atât de ușor. De exemplu, încercați să găsiți log 2 5. Numărul 5 nu este în tabel, dar logica dictează că logaritmul va fi undeva pe segment. Pentru că 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Astfel de numere se numesc iraționale: numerele de după virgulă pot fi scrise la nesfârșit și nu se repetă niciodată. Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, este mai bine să-l lăsați astfel: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Este important de înțeles că logaritmul este o expresie cu două variabile (bază și argument). La început, mulți oameni confundă unde este baza și unde este argumentul. A evita neînțelegeri nefericite uita-te doar la poza:

În fața noastră nu este nimic altceva decât definiția logaritmului. Amintiți-vă: logaritmul este o putere , la care trebuie să ridicați baza pentru a obține argumentul. Este baza care este ridicată la o putere - în imagine este evidențiată cu roșu. Se dovedește că baza este întotdeauna în jos! Le spun studenților mei această regulă minunată chiar de la prima lecție - și nu există nicio confuzie.

Ne-am dat seama de definiție - rămâne să învățăm cum să numărăm logaritmii, de exemplu. scapă de semnul „bușten”. Pentru început, observăm că Din definiție decurg două lucruri. fapte importante:

Argumentul și baza trebuie să fie întotdeauna mai mari decât zero. Aceasta rezultă din definiția gradului indicator rațional, la care se reduce definiția logaritmului.

Baza trebuie să fie diferită de unitate, deoarece o unitate pentru orice putere este încă o unitate. Din această cauză, întrebarea „la ce putere trebuie ridicat cineva pentru a obține doi” este lipsită de sens. Nu există o astfel de diplomă!

Asemenea restricții numit interval valid(ODZ). Se pare că ODZ al logaritmului arată astfel: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Observa asta fără limită de număr b (valoarea logaritmului) nu se suprapune. De exemplu, logaritmul poate fi foarte negativ: log 2 0,5 = −1, deoarece 0,5 = 2 −1 .

Totuși, acum luăm în considerare doar expresii numerice, unde nu este necesar să cunoaștem ODZ a logaritmului. Toate restricțiile au fost deja luate în considerare de către compilatorii problemelor. Dar când intră în joc ecuațiile logaritmice și inegalitățile, cerințele DHS vor deveni obligatorii. Într-adevăr, în bază și argument pot exista construcții foarte puternice, care nu corespund neapărat restricțiilor de mai sus.

Acum ia în considerare generalul schema de calcul a logaritmilor. Acesta constă din trei etape:

Trimiteți Fundația a și argumentul x ca o putere cu cea mai mică bază posibilă mai mare decât unu. Pe parcurs, este mai bine să scapi de fracțiile zecimale;

Decideți asupra unei variabile b ecuație: x = a b ;

Numărul primit b va fi răspunsul.

Asta e tot! Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, acest lucru se va vedea deja la primul pas. Cerința ca baza să fie mai mare decât unu este foarte relevantă: aceasta reduce probabilitatea de eroare și simplifică foarte mult calculele. La fel și cu fracțiile zecimale: dacă le convertiți imediat în cele obișnuite, vor exista de multe ori mai puține erori.

Să vedem cum funcționează această schemă exemple concrete:

Calculați logaritmul: log 5 25

Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a lui cinci: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Să facem și să rezolvăm ecuația:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

A primit un raspuns: 2.

Calculați logaritmul:

Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a lui trei: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

Să facem și să rezolvăm ecuația:

Am primit răspunsul: -4.

−4

Calculați logaritmul: log 4 64

Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a doi: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Să facem și să rezolvăm ecuația:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

A primit un raspuns: 3.

Calculați logaritmul: log 16 1

Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a doi: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Să facem și să rezolvăm ecuația:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

A primit un raspuns: 0.

Calculați logaritmul: log 7 14

Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere de șapte: 7 = 7 1 ; 14 nu este reprezentat ca o putere a șapte, deoarece 7 1< 14 < 7 2 ;

Din paragraful anterior rezultă că logaritmul nu este luat în considerare;

Răspunsul este fără schimbare: log 7 14.

log 7 14

O mică notă despre ultimul exemplu. Cum să vă asigurați că un număr nu este o putere exactă a altui număr? Foarte simplu - doar descompuneți-l în factori primi. Dacă există cel puțin doi factori diferiți în expansiune, numărul nu este o putere exactă.

Aflați dacă puterile exacte ale numărului sunt: ​​8; 48; 81; 35; paisprezece.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - gradul exact, deoarece există un singur multiplicator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nu este o putere exactă deoarece există doi factori: 3 și 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grad exact;
35 = 7 5 - din nou nu este un grad exact;
14 \u003d 7 2 - din nou nu este un grad exact;

8, 81 - grad exact; 48, 35, 14 - nr.

De asemenea, rețineți că numerele prime în sine sunt întotdeauna puteri exacte ale lor.

Logaritm zecimal

Unii logaritmi sunt atât de comune încât au un nume și o denumire specială.

Definiție

Logaritm zecimal din argumentul x este logaritmul la baza 10, adică puterea la care trebuie să ridici numărul 10 pentru a obține numărul X.

Desemnare

lg x

De exemplu, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

De acum înainte, când în manual apare o expresie precum „Găsiți lg 0.01”, să știți că aceasta nu este o greșeală de tipar. Acesta este logaritmul zecimal. Cu toate acestea, dacă nu sunteți obișnuit cu o astfel de desemnare, o puteți rescrie oricând:
log x = log 10 x

Tot ceea ce este adevărat pentru logaritmii obișnuiți este valabil și pentru zecimale.

logaritmul natural

Există un alt logaritm care are propria sa notație. Într-un fel, este chiar mai important decât zecimală. Este despre despre logaritmul natural.

Definiție

logaritmul natural din argumentul x este logaritmul de bază e , adică puterea la care trebuie ridicat numărul e pentru a obține numărul X.

Desemnare

ln x

Mulți se vor întreba: care este numărul e? Acesta este un număr irațional valoare exacta imposibil de găsit și înregistrat. Iată doar primele numere:
e = 2,718281828459...

Nu vom aprofunda ce este acest număr și de ce este necesar. Amintiți-vă doar că e - baza logaritmul natural:
ln x = log e x

Astfel ln e = 1; log e 2 = 2; la e 16 = 16 - etc. Pe de altă parte, ln 2 este un număr irațional. În general, logaritmul natural al oricărui număr rațional este irațional. Cu excepția, desigur, unității: ln 1 = 0.

Pentru logaritmii naturali, toate regulile care sunt adevărate pentru logaritmii obișnuiți sunt valabile.

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în orice mod posibil. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, există reguli aici, care se numesc proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: log a x și log a y . Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

Buturuga un x +jurnal Ay = jurnal A ( X · y );

Buturuga un x −log Ay = jurnal A ( X : y ).

Asa de, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Notă: moment cheie aici sunt aceleasi baze. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați expresia logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția " "). Aruncă o privire la exemple - și vezi:

Aflați valoarea expresiei: log 6 4 + log 6 9.

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Pe baza acestui fapt, mulți hârtii de test. Da, acel control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului în următoarele reguli:

Este ușor să vezi asta ultima regula urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0 puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Tot drumul ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul au același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne la numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Teorema

Lăsați logaritmul să se înregistreze un x . Apoi pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă punem c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul este la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea doar atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponentul argumentului. Număr n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numeste asa:identitate logaritmică de bază.

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b este ridicat în așa măsură încât numărul b în acest grad să dea numărul a? Așa este: acesta este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

O sarcină

Aflați valoarea expresiei:

Soluţie

Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, primim:

200

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examen :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

log a a = 1 este unitate logaritmică. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze A chiar din acest fundament egal cu unu.

log a 1 = 0 este zero logaritmic. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul - logaritmul este zero! deoarece un 0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Acestea sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică!

Găsiți valoarea expresiei pentru diferite valori raționale ale variabilei x=2; 0; -3; -

Rețineți, indiferent de numărul pe care îl înlocuim în loc de variabila x, puteți găsi întotdeauna valoarea acestei expresii. Deci, luăm în considerare o funcție exponențială (y este egal cu trei cu puterea x), definită pe mulțimea numerelor raționale: .

Să construim un grafic al acestei funcții făcând un tabel cu valorile acesteia.

Să trasăm o linie netedă care trece prin aceste puncte (Fig. 1)

Folosind graficul acestei funcții, luați în considerare proprietățile acesteia:

3. Creșteri pe întreaga zonă de definiție.

1. interval de la zero la plus infinit.

8. Funcția este convexă în jos.

Dacă într-un sistem de coordonate pentru a construi grafice de funcții; y=(y este egal cu doi la puterea x, y este egal cu cinci la puterea x, y este egal cu șapte la puterea x), puteți vedea că au aceleași proprietăți ca și y=(y este egal cu trei la puterea x) ( Fig. .2), adică toate funcțiile de forma y = (y este egal cu a cu puterea lui x, cu o mai mare decât unu) vor avea astfel de proprietăți

Să diagramăm funcția:

1. Alcătuirea unui tabel cu valorile acestuia.

Marcam punctele obtinute pe planul de coordonate.

Să trasăm o linie netedă care trece prin aceste puncte (Fig. 3).

Folosind graficul acestei funcții, indicăm proprietățile acesteia:

1. Domeniul definiției este mulțimea tuturor numerelor reale.

2. Nu este nici par, nici impar.

3. Scăderi pe întregul domeniu de definire.

4. Nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori.

5. Limitat de jos, dar nu limitat de sus.

6. Continuă pe întregul domeniu de definire.

7. interval de valori de la zero la plus infinit.

8. Funcția este convexă în jos.

În mod similar, dacă într-un sistem de coordonate pentru a construi grafice de funcții; y=(y este egal cu o secundă cu puterea x, y este egal cu o cincime cu puterea x, y este egal cu o șapte cu puterea x), puteți vedea că au aceleași proprietăți ca și y=(y este egal cu o treime cu puterea x). puterea lui x). x) (Fig. 4), adică toate funcțiile de forma y \u003d (y este egal cu unul împărțit la puterea lui x, cu o mai mare decât zero, dar mai mică de unu) au astfel de proprietăți

Să construim grafice ale funcțiilor într-un sistem de coordonate

aceasta înseamnă că graficele funcțiilor y \u003d y \u003d (y este egal cu a cu puterea lui x și y este egal cu unul împărțit cu a la puterea lui x) vor fi, de asemenea, simetrice pentru aceeași valoare a unui .

Rezum ceea ce s-a spus dând o definiție a unei funcții exponențiale și indicând principalele sale proprietăți:

Definiție: O funcție de forma y \u003d, unde (y este egală cu a cu puterea lui x, unde a este pozitivă și diferită de unul), se numește funcție exponențială.

Este necesar să ne amintim diferențele dintre funcția exponențială y= și funcția de putere y=, a=2,3,4,…. atât auditiv cât și vizual. Funcția exponențială X este o diplomă și functie de putere X este baza.

Exemplul 1: Rezolvați ecuația (trei la puterea lui x este egal cu nouă)

(y este egal cu trei cu puterea lui x și y este egal cu nouă) fig.7

Rețineți că au un punct comun M (2; 9) (em cu coordonatele două; nouă), ceea ce înseamnă că abscisa punctului va fi rădăcina acestei ecuații. Adică, ecuația are o singură rădăcină x = 2.

Exemplul 2: Rezolvați ecuația

Într-un sistem de coordonate, vom construi două grafice ale funcției y \u003d (y este egal cu cinci cu puterea lui x și y este egal cu o douăzeci și cinci) Fig.8. Graficele se intersectează într-un punct T (-2; (te cu coordonatele minus două; o douăzeci și cinci). Prin urmare, rădăcina ecuației este x \u003d -2 (numărul minus doi).

Exemplul 3: Rezolvați inegalitatea

Într-un sistem de coordonate, construim două grafice ale funcției y \u003d

(y este egal cu trei cu puterea lui x și y este egal cu douăzeci și șapte).

Fig.9 Graficul funcției este situat deasupra graficului funcției y=când

x Prin urmare, soluția inegalității este intervalul (de la minus infinit la trei)

Exemplul 4: Rezolvați inegalitatea

Într-un sistem de coordonate, vom construi două grafice ale funcției y \u003d (y este egal cu o pătrime din puterea lui x și y este egal cu șaisprezece). (Fig. 10). Graficele se intersectează într-un punct K (-2;16). Aceasta înseamnă că soluția inegalității este intervalul (-2; (de la minus doi la plus infinit), deoarece graficul funcției y \u003d este situat sub graficul funcției la x

Raționamentul nostru ne permite să verificăm validitatea următoarelor teoreme:

Terem 1: Dacă este adevărat dacă și numai dacă m=n.

Teorema 2: Dacă este adevărată dacă și numai dacă, atunci inegalitatea este adevărată dacă și numai dacă (Fig. *)

Teorema 4: Dacă este adevărată dacă și numai dacă (Fig.**), inegalitatea este adevărată dacă și numai dacă Teorema 3: Dacă este adevărată dacă și numai dacă m=n.

Exemplul 5: Trasează funcția y=

Modificăm funcția aplicând proprietatea gradului y=

Să construim sistem suplimentar coordonate și în noul sistem de coordonate vom construi un grafic al funcției y \u003d (y este egal cu doi cu puterea lui x) Fig.11.

Exemplul 6: Rezolvați ecuația

Într-un sistem de coordonate, construim două grafice ale funcției y \u003d

(Y este egal cu șapte cu puterea lui x și Y este egal cu opt minus x) Fig.12.

Graficele se intersectează într-un punct E (1; (e cu coordonatele unu; șapte). Prin urmare, rădăcina ecuației este x = 1 (x egal cu unu).

Exemplul 7: Rezolvați inegalitatea

Într-un sistem de coordonate, construim două grafice ale funcției y \u003d

(Y este egal cu un sfert cu puterea lui x și Y este egal cu x plus cinci). Graficul funcției y= se află sub graficul funcției y=x+5 at, soluția inegalității este intervalul x (de la minus unu la plus infinit).