직선에서 한 점의 거리를 찾는 방법. 비행기의 직선에 대한 가장 간단한 문제

으어어어어어어어...음.. 혼자 문장을 읽는듯 쪼꼬미 =) 그래도 오늘은 적당한 악세사리를 샀으니 릴렉스가 도움이 되겠죠? 따라서 첫 번째 섹션으로 진행하겠습니다. 기사가 끝날 때까지 쾌활한 분위기를 유지하기를 바랍니다.

두 직선의 상호 배열

홀이 합창으로 따라 부르는 경우. 두 줄 수:

1) 일치;

2) 병렬: ;

3) 또는 단일 점에서 교차: .

인형을 위한 도움말 : 교차로의 수학적 기호를 기억하십시오. 매우 자주 발생합니다. 항목은 선이 점에서 선과 교차한다는 것을 의미합니다.

두 줄의 상대 위치를 결정하는 방법은 무엇입니까?

첫 번째 경우부터 시작하겠습니다.

두 선은 각각의 계수가 비례하는 경우에만 일치합니다., 즉, 평등을 나타내는 숫자 "람다"가 있습니다.

직선을 고려하고 해당 계수에서 3개의 방정식을 작성해 보겠습니다. 따라서 각 방정식에서 이러한 선은 일치합니다.

실제로 방정식의 모든 계수가 -1(변경 부호)을 곱하고 방정식의 모든 계수 2만큼 줄이면 동일한 방정식을 얻습니다. .

선이 평행한 두 번째 경우:

변수에서의 계수가 비례하는 경우에만 두 선이 평행합니다. , 하지만.

예를 들어 두 개의 직선을 고려하십시오. 변수에 대한 해당 계수의 비례성을 확인합니다.

그러나 .

그리고 세 번째 경우, 선이 교차할 때:

변수의 계수가 비례하지 않는 경우에만 두 선이 교차합니다., 즉 평등이 충족되는 "람다" 값이 없습니다.

따라서 직선의 경우 시스템을 구성합니다.

첫 번째 방정식에서 다음을 따르고 두 번째 방정식에서 , 따라서, 시스템이 일관성이 없다(해결책 없음). 따라서 변수의 계수는 비례하지 않습니다.

결론: 선이 교차

실제 문제에서는 방금 고려한 솔루션 방식을 사용할 수 있습니다. 그건 그렇고, 그것은 우리가 수업에서 고려한 공선성 벡터를 확인하는 알고리즘과 매우 유사합니다. 벡터의 선형(비) 의존성 개념. 벡터 기초. 그러나 더 문명화된 패키지가 있습니다.

실시예 1

선의 상대 위치를 찾으십시오.

결정직선의 방향 벡터 연구를 기반으로:

a) 방정식에서 선의 방향 벡터를 찾습니다. .

, 따라서 벡터는 동일선상에 있지 않고 선이 교차합니다.

만일을 대비하여 나는 교차로에 포인터가 있는 돌을 놓을 것입니다.

나머지는 돌을 뛰어 넘고 계속해서 Kashchei Deathless =)

b) 선의 방향 벡터를 찾습니다.

선은 동일한 방향 벡터를 가지므로 평행하거나 동일합니다. 여기서 행렬식은 필요하지 않습니다.

분명히 미지수의 계수는 비례하지만 .

평등이 참인지 알아봅시다:

따라서,

c) 선의 방향 벡터를 찾습니다.

다음 벡터의 좌표로 구성된 행렬식을 계산해 보겠습니다.
, 따라서 방향 벡터는 동일선상에 있습니다. 선은 평행하거나 일치합니다.

비례 계수 "람다"는 공선 방향 벡터의 비율에서 직접 쉽게 확인할 수 있습니다. 그러나 방정식 자체의 계수를 통해서도 찾을 수 있습니다. .

이제 평등이 참인지 알아봅시다. 두 자유 항은 모두 0이므로 다음과 같습니다.

결과 값은 다음을 만족합니다. 이 방정식(일반적으로 모든 숫자에 적합합니다).

따라서 선이 일치합니다.

답변:

곧 당신은 고려된 문제를 문자 그대로 몇 초 만에 구두로 해결하는 방법을 배우게 될 것입니다(또는 이미 배웠을 수도 있습니다). 이와 관련하여 독립적인 솔루션을 제공할 이유가 없습니다. 기하학적 기초에 중요한 벽돌을 하나 더 배치하는 것이 좋습니다.

주어진 선에 평행한 선을 그리는 방법은 무엇입니까?

이 가장 간단한 작업을 모르고 나이팅게일 강도는 가혹하게 처벌합니다.

실시예 2

직선은 방정식으로 주어집니다. 점을 지나는 평행선에 대한 방정식을 작성하십시오.

결정: 알 수 없는 행을 문자로 표시합니다. 조건은 그것에 대해 무엇을 말합니까? 선이 점을 통과합니다. 그리고 선이 평행하면 선 "ce"의 방향 벡터도 선 "te"를 구성하는 데 적합하다는 것이 분명합니다.

방정식에서 방향 벡터를 꺼냅니다.

답변:

예제의 기하학은 간단해 보입니다.

분석 검증은 다음 단계로 구성됩니다.

1) 선의 방향 벡터가 동일한지 확인합니다(선의 방정식이 적절하게 단순화되지 않으면 벡터는 동일선상에 있음).

2) 그 점이 결과 방정식을 만족하는지 확인합니다.

대부분의 경우 분석 검증은 구두로 수행하기 쉽습니다. 두 방정식을 보면 많은 사람들이 그림 없이 선이 어떻게 평행한지 빠르게 알아낼 것입니다.

오늘날의 자기 해결의 예는 창의적일 것입니다. 당신은 여전히 Baba Yaga와 경쟁해야 하고 그녀는 모든 종류의 수수께끼를 좋아하기 때문입니다.

실시예 3

다음과 같은 경우 직선에 평행한 점을 지나는 직선에 대한 방정식을 작성하십시오.

해결하는 방법은 합리적이고 그다지 합리적이지 않습니다. 가장 짧은 길은 수업이 끝날 때입니다.

우리는 평행선으로 약간의 작업을 수행했으며 나중에 다시 돌아올 것입니다. 선이 일치하는 경우는 별로 관심이 없으므로 다음에서 잘 알려진 문제를 고려하십시오. 학교 커리큘럼:

두 선의 교차점을 찾는 방법은 무엇입니까?

스트레이트인 경우 점에서 교차하면 좌표가 솔루션입니다. 선형 방정식 시스템

선의 교차점을 찾는 방법? 시스템을 해결합니다.

여기있어 기하학적 감각둘 선형 방정식두 개의 미지의평면에서 두 개의 교차하는(가장 자주) 직선입니다.

실시예 4

선의 교차점 찾기

결정: 그래픽 및 분석의 두 가지 해결 방법이 있습니다.

그래픽 방식단순히 주어진 선을 그리고 도면에서 직접 교차점을 찾는 것입니다:

여기 우리의 요점이 있습니다: . 확인하려면 좌표를 직선의 각 방정식에 대입해야 합니다. 좌표가 거기에도 맞아야 합니다. 즉, 점의 좌표는 시스템의 솔루션입니다. 사실, 우리는 그래픽 방식으로 해결하는 방법을 고려했습니다. 선형 방정식 시스템두 개의 방정식, 두 개의 미지수.

물론 그래픽 방식도 나쁘지는 않지만 눈에 띄는 단점이 있습니다. 아니요, 요점은 7학년 학생들이 이렇게 결정한다는 것이 아니라 옳고 그름이 정확한 도면시간이 지날 것입니다. 게다가 어떤 선들은 구성하기가 쉽지 않고, 교차점 자체가 공책 시트 밖 서른 왕국 어딘가에 있을 수 있다.

따라서 교차점을 찾는 것이 더 편리합니다. 분석 방법. 시스템을 해결합시다.

시스템을 풀기 위해 방정식의 항별 덧셈 방법이 사용되었습니다. 관련 기술을 개발하려면 해당 강의를 방문하십시오. 연립방정식을 푸는 방법?

답변:

검증은 간단합니다. 교차점의 좌표는 시스템의 각 방정식을 충족해야 합니다.

실시예 5

선이 교차하는 경우 선의 교차점을 찾으십시오.

이것은 DIY의 예입니다. 작업은 편리하게 여러 단계로 나눌 수 있습니다. 상태 분석에 따르면 다음이 필요합니다.
1) 직선의 방정식을 쓰십시오.
2) 직선의 방정식을 씁니다.
3) 선의 상대적 위치를 찾으십시오.
4) 선이 교차하면 교차점을 찾으십시오.

동작 알고리즘의 개발은 많은 기하학적 문제에 대한 전형이며, 이에 대해 반복해서 집중할 것입니다.

튜토리얼 끝 부분의 전체 솔루션 및 답변:

수업의 두 번째 섹션에 이르렀을 때 신발 한 켤레가 아직 닳지 않았습니다.

수직선. 점에서 선까지의 거리입니다.
선 사이의 각도

일반적이고 매우 중요한 작업부터 시작하겠습니다. 첫 번째 부분에서 우리는 주어진 직선에 평행한 직선을 만드는 방법을 배웠고 이제 닭 다리의 오두막이 90도 회전합니다.

주어진 선에 수직인 선을 그리는 방법은 무엇입니까?

실시예 6

직선은 방정식으로 주어집니다. 한 점을 지나는 수직선에 대한 방정식을 작성하십시오.

결정: 라는 가정하에 알려져 있습니다. 직선의 방향 벡터를 찾는 것이 좋을 것입니다. 선이 수직이므로 트릭은 간단합니다.

방정식에서 우리는 직선의 방향 벡터가 될 법선 벡터를 "제거"합니다.

우리는 점과 방향 벡터로 직선의 방정식을 구성합니다.

답변:

기하학적 스케치를 펼쳐 보겠습니다.

흠... 주황색 하늘, 주황색 바다, 주황색 낙타.

솔루션의 분석적 검증:

1) 방정식에서 방향 벡터 추출 그리고 도움으로 벡터의 내적우리는 선이 실제로 수직이라는 결론을 내립니다. .

그건 그렇고, 법선 벡터를 사용할 수 있습니다. 훨씬 쉽습니다.

2) 점이 결과 방정식을 만족하는지 확인 .

다시 한 번 확인은 구두로 수행하기 쉽습니다.

실시예 7

방정식이 알려진 경우 수직선의 교차점 찾기 그리고 점.

이것은 DIY의 예입니다. 작업에는 여러 가지 작업이 있으므로 솔루션을 포인트별로 정렬하는 것이 편리합니다.

우리의 재미있는 여행계속:

점에서 선까지의 거리

우리 앞에는 강의 직선 스트립이 있으며 우리의 임무는 가장 짧은 방법으로 강에 도달하는 것입니다. 장애물이 없으며 가장 최적의 경로는 수직선을 따라 이동합니다. 즉, 한 점에서 선까지의 거리는 수직선분의 길이입니다.

기하학의 거리는 전통적으로 표시됩니다. 그리스 문자"ro", 예: - 점 "em"에서 직선 "de"까지의 거리.

점에서 선까지의 거리 공식으로 표현된다

실시예 8

점에서 선까지의 거리 구하기

결정: 수식에 숫자를 조심스럽게 대입하고 계산하기만 하면 됩니다.

답변:

도면을 실행해 보겠습니다.

점에서 선까지의 거리는 정확히 빨간색 선분의 길이입니다. 1단위의 눈금에 체크무늬 종이에 그림을 그리면. \u003d 1cm(2셀)이면 일반 자로 거리를 측정할 수 있습니다.

동일한 도면에 따라 다른 작업을 고려하십시오.

작업은 선에 대해 점에 대칭인 점의 좌표를 찾는 것입니다. . 스스로 작업을 수행할 것을 제안하지만 중간 결과와 함께 솔루션 알고리즘을 간략하게 설명합니다.

1) 직선에 수직인 직선을 찾습니다.

2) 선의 교차점을 찾으십시오. .

두 작업 모두 이 단원에서 자세히 설명합니다.

3) 점은 세그먼트의 중간점입니다. 우리는 중간과 끝 중 하나의 좌표를 알고 있습니다. 에 의해 세그먼트의 중간 좌표에 대한 공식찾기 .

거리가 2.2 단위와 같은지 확인하는 것도 불필요합니다.

계산에 어려움이 있을 수 있지만 타워에서는 마이크로 계산기가 많은 도움이 되어 계산할 수 있습니다. 공통 분수. 여러 번 조언했으며 다시 추천합니다.

두 평행선 사이의 거리를 찾는 방법은 무엇입니까?

실시예 9

두 평행선 사이의 거리 구하기

이것은 독립 솔루션의 또 다른 예입니다. 약간의 힌트: 푸는 방법은 무한히 많습니다. 수업이 끝날 때 브리핑하지만 스스로 추측하는 것이 더 낫습니다. 나는 당신이 당신의 독창성을 잘 분산시킬 수 있었다고 생각합니다.

두 선 사이의 각도

모퉁이가 무엇이든간에 다음 잼 :

기하학에서 두 직선 사이의 각도는 더 작은 각도로 간주되며 이 각도에서 자동으로 둔각이 될 수 없습니다. 그림에서 빨간색 호로 표시된 각도는 교차하는 선 사이의 각도로 간주되지 않습니다. 그리고 "녹색" 이웃 또는 반대 방향크림슨 코너.

선이 수직이면 4개의 각 중 하나를 그 사이의 각으로 간주할 수 있습니다.

각도가 어떻게 다른가요? 정위. 첫째, 모서리를 "스크롤"하는 방향이 기본적으로 중요합니다. 둘째, 음의 방향 각도는 마이너스 기호로 작성됩니다(예: .

내가 왜 이런 말을 했지? 일반적인 각도의 개념으로 이해할 수 있을 것 같습니다. 사실 각도를 찾는 공식에서 부정적인 결과를 쉽게 얻을 수 있으며 놀라지 않아야합니다. 빼기 기호가 있는 각도는 더 나쁘지 않으며 매우 구체적인 기하학적 의미를 갖습니다. 음의 각도에 대한 도면에서 화살표로 방향(시계 방향)을 나타내는 것이 필수적입니다.

두 선 사이의 각도를 찾는 방법은 무엇입니까?두 가지 작업 공식이 있습니다.

실시예 10

선 사이의 각도 찾기

결정그리고 방법 1

일반 형식의 방정식으로 주어진 두 직선을 고려하십시오.

스트레이트인 경우 수직이 아닌, 그 다음에 지향적인그들 사이의 각도는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

분모에 세심한주의를 기울이자 - 이것이 바로 스칼라 곱직선의 방향 벡터:

이면 공식의 분모가 사라지고 벡터는 직교하고 선은 수직이 됩니다. 이것이 공식에서 선의 비수직성에 대해 유보된 이유입니다.

전술한 내용을 기반으로 솔루션은 다음 두 단계로 편리하게 공식화됩니다.

1) 직선 방향 벡터의 스칼라 곱을 계산합니다.
따라서 선은 수직이 아닙니다.

2) 다음 공식으로 선 사이의 각도를 찾습니다.

을 통해 역함수코너 자체를 찾기 쉽습니다. 이 경우 아크 탄젠트의 홀수를 사용합니다(그림 2 참조). 기본 함수의 그래프와 속성):

답변:

답변에 표시 정확한 값, 및 계산기를 사용하여 계산된 대략적인 값(도와 라디안 모두가 바람직함).

음, 마이너스, 마이너스, 괜찮습니다. 다음은 기하학적 그림입니다.

문제의 조건에서 첫 번째 숫자가 직선이고 각도의 "비틀림"이 정확하게 시작되기 때문에 각도가 음의 방향으로 판명 된 것은 놀라운 일이 아닙니다.

정말로 양의 각도를 얻으려면 직선을 바꿔야 합니다. 즉, 두 번째 방정식에서 계수를 가져와야 합니다. , 첫 번째 방정식에서 계수를 가져옵니다. 간단히 말해서 직접 시작해야 합니다. .

점에서 선까지의 거리는 점에서 선까지의 수직선의 길이입니다. 기술 기하학에서는 아래 알고리즘에 따라 그래픽으로 결정됩니다.

연산

직선은 투영 평면과 평행할 위치로 전송됩니다. 이렇게하려면 직교 투영의 변환 방법을 적용하십시오.
한 점에서 선까지 수직선을 그립니다. 이 구성은 직각 투영 정리를 기반으로 합니다.
수직선의 길이는 투영법을 변환하거나 직각 삼각형 방법을 사용하여 결정됩니다.

다음 그림은 복잡한 도면선분 CD에 의해 주어진 점 M과 선 b. 그들 사이의 거리를 찾아야 합니다.

알고리즘에 따르면 가장 먼저 할 일은 선을 투영 평면과 평행한 위치로 이동하는 것입니다. 변환 후에 점과 선 사이의 실제 거리는 변경되지 않아야 함을 이해하는 것이 중요합니다. 그렇기 때문에 공간에서 인물을 움직이지 않는 평면 교체 방법을 사용하는 것이 편리합니다.

1단계 구축 결과는 아래와 같다. 그림은 추가 정면 평면 P 4 가 b에 평행하게 도입되는 방법을 보여줍니다. 에 새로운 시스템(P 1 , P 4) 점 C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 은 X 축에서 C"", D"", M""만큼 X 1 축에서 같은 거리에 있습니다.

알고리즘의 두 번째 부분을 수행하면 b와 MN 사이의 직각 MND가 평면 P 4에 투영되기 때문에 M"" 1에서 수직 M"" 1 N"" 1을 선 b"" 1로 낮춥니다. 전체 크기. 통신 라인을 따라 점 N"의 위치를 결정하고 세그먼트 MN의 투영 M"N"을 그립니다.

에 마지막 스테이지투영 M"N" 및 M"" 1 N"" 1 에 의해 세그먼트 MN의 값을 결정할 필요가 있습니다. 이를 위해 우리는 구축합니다 정삼각형 M"" 1 N"" 1 N 0 , 다리 N"" 1 N 0 은 X 1 축에서 M" 및 N" 점 제거의 차이(Y M 1 – Y N 1)와 같습니다. 삼각형 M"" 1 N"" 1 N 0 의 빗변 M"" 1 N 0 의 길이는 M에서 b까지의 원하는 거리에 해당합니다.

두 번째 해결 방법

CD와 병행하여 새로운 정면 평면 П 4를 소개합니다. X 1 축을 따라 P 1 과 X 1 ∥C"D"와 교차합니다. 평면 교체 방법에 따라 그림과 같이 점 C "" 1, D"" 1 및 M"" 1의 투영을 결정합니다.
C "" 1 D "" 1에 수직으로 직선 b가 점 C" 2 \u003d b" 2에 투영되는 추가 수평 평면 P 5를 만듭니다.
점 M과 직선 b 사이의 거리는 빨간색으로 표시된 세그먼트 M "2 C" 2의 길이에 의해 결정됩니다.

공간에서 주어진 점에서 주어진 직선까지의 거리를 찾는 문제 해결

실시예 5

좌표가 M 1 2 , - 4 , - 1 인 점에서 x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 선까지의 거리를 구합니다.

결정

첫 번째 방법은 M 1 을 지나고 주어진 점에 수직인 평면 χ의 방정식을 작성하는 것으로 시작합니다. 다음과 같은 표현식을 얻습니다.

2(x - 2) - 1(y -(-4)) + 5(z -(-1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

조건에 의해 주어진 직선에 대한 평면 χ와의 교차점인 점 H1의 좌표를 찾는 것이 필요하다. 표준 형식에서 교차 형식으로 이동할 필요가 있습니다. 그런 다음 다음 형식의 방정식 시스템을 얻습니다.

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

시스템 x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramer의 방법으로 다음을 얻습니다.

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z - ∆ = 60 = 0

따라서 우리는 H 1 (1, - 1, 0) 을 갖습니다.

남 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

두 번째 방법은 표준 방정식에서 좌표를 검색하여 시작해야 합니다. 이렇게하려면 분수의 분모에주의하십시오. 그러면 a → = 2 , - 1 , 5 는 x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 선의 방향 벡터입니다. a → = 2 2 + (-1) 2 + 5 2 = 30 공식을 사용하여 길이를 계산해야 합니다.

선 x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 가 점 M 3 (- 1 , 0 , - 5)과 교차한다는 것이 분명하므로 원점 M 3 (- 1 , 0 , - 5) 점에서 끝 M 1 2 , - 4 , - 1 은 M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 입니다. 벡터 곱 a → = (2, - 1, 5) 와 M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) 를 구합니다.

a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j 형식의 표현을 얻습니다. → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

외적의 길이는 a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330입니다.

직선에 대한 점으로부터의 거리를 계산하는 공식을 사용할 모든 데이터가 있으므로 이를 적용하고 다음을 얻습니다.

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

답변: 11 .

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

첫 번째 수준

좌표 및 벡터. 종합 가이드 (2019)

이 기사에서 당신과 나는 기하학의 많은 문제를 간단한 산술로 줄일 수 있게 해주는 하나의 "요술 지팡이"에 대한 논의를 시작할 것입니다. 이 "지팡이"는 특히 공간 그림, 섹션 등을 만드는 데 불안함을 느낄 때 삶을 훨씬 쉽게 만들어줍니다. 이 모든 것은 특정 상상력과 실용적인 기술이 필요합니다. 여기에서 고려할 방법을 사용하면 모든 종류의 기하학적 구성과 추론에서 거의 완전히 추상화할 수 있습니다. 메서드가 호출됩니다 "좌표법". 이 기사에서는 다음 질문을 고려할 것입니다.

좌표 평면
평면의 점과 벡터
두 점에서 벡터 만들기
벡터 길이(두 점 사이의 거리)
중간점 좌표
벡터의 내적
두 벡터 사이의 각도

좌표 방법이 그렇게 불리는 이유를 이미 짐작했다고 생각합니다. 기하학적 개체가 아니라 수치적 특성(좌표)으로 작동하기 때문에 그러한 이름을 얻은 것은 사실입니다. 그리고 기하학에서 대수학으로의 이동을 가능하게 하는 변환 자체는 좌표계를 도입하는 것으로 구성됩니다. 원래 도형이 평면이면 좌표가 2차원이고 도형이 3차원이면 좌표가 3차원입니다. 이 기사에서는 2차원 경우만 고려할 것입니다. 그리고 이 기사의 주요 목적은 좌표 방법의 몇 가지 기본 기술을 사용하는 방법을 가르치는 것입니다(Unified State Examination의 파트 B에서 평면 측정 문제를 해결할 때 유용한 것으로 판명되기도 함). 이 주제에 대한 다음 두 섹션에서는 문제 C2(입체 측정 문제)를 해결하는 방법에 대해 설명합니다.

좌표 방법에 대한 논의를 시작하는 것이 논리적인 위치는 어디입니까? 아마도 좌표계의 개념으로. 그녀를 처음 만났을 때를 기억하십시오. 예를 들어 7학년 때 선형 함수의 존재에 대해 배웠을 때인 것 같습니다. 한 점 한 점 작성하셨다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 기억 나니? 임의의 숫자를 선택하여 공식에 대입하고 이러한 방식으로 계산했습니다. 예를 들어, 만약, 그러면, 만약, 그러면 등. 결과적으로 무엇을 얻었습니까? 그리고 좌표가 있는 포인트를 받았습니다. 그런 다음 "십자가"(좌표계)를 그리고 그 위의 눈금(단일 세그먼트로 가질 수 있는 셀 수)을 선택하고 받은 점을 표시한 다음 직선으로 연결한 결과 선 함수의 그래프입니다.

조금 더 자세히 설명해야 할 몇 가지 사항이 있습니다.

1. 편의상 하나의 세그먼트를 선택하여 모든 것이 사진에 잘 맞고 컴팩트하게 맞습니다.

2. 축은 왼쪽에서 오른쪽으로, 축은 아래에서 위로 이동한다고 가정합니다.

3. 그들은 직각으로 교차하며 교차점을 원점이라고합니다. 문자로 표시되어 있습니다.

4. 점의 좌표 기록에서 예를 들어 괄호 안의 왼쪽은 축을 따라 점의 좌표이고 오른쪽은 축을 따라 점의 좌표입니다. 특히, 단순히 요점을 의미합니다.

5. 좌표축의 임의의 점을 설정하려면 좌표(2개의 숫자)를 지정해야 합니다.

6. 축에 있는 임의의 점에 대해,

7. 축에 있는 임의의 점에 대해,

8. 축을 x축이라고 합니다.

9. 축을 y축이라고 합니다.

이제 다음 단계로 넘어가겠습니다. 두 점을 표시하십시오. 이 두 점을 선으로 연결하십시오. 그리고 화살표를 마치 한 점에서 점으로 선분을 그리는 것처럼 합시다. 즉, 선분을 방향으로 만들 것입니다!

지시된 세그먼트의 또 다른 이름이 무엇인지 기억하십니까? 맞습니다, 벡터라고 합니다!

따라서 점을 점으로 연결하면 시작점은 A점, 끝점은 B점,그런 다음 벡터를 얻습니다. 이 공사도 8학년 때 했잖아요, 기억나?

점과 같은 벡터는 두 개의 숫자로 나타낼 수 있습니다. 이 숫자를 벡터의 좌표라고 합니다. 질문: 벡터의 좌표를 찾기 위해 벡터의 시작과 끝 좌표를 아는 것으로 충분하다고 생각하십니까? 그렇습니다! 그리고 매우 쉽습니다:

따라서 벡터에서 점이 시작이고 끝이므로 벡터는 다음 좌표를 갖습니다.

예를 들어, 다음 벡터의 좌표

이제 반대로 벡터의 좌표를 찾아봅시다. 이를 위해 무엇을 변경해야 합니까? 예, 시작과 끝을 바꿔야 합니다. 이제 벡터의 시작은 한 점에 있고 끝은 점에 있습니다. 그 다음에:

자세히 보세요. 벡터와 벡터의 차이점은 무엇인가요? 그들의 유일한 차이점은 좌표의 기호입니다. 그들은 반대입니다. 이 사실은 다음과 같이 기록되어 있습니다.

어떤 점이 벡터의 시작이고 어느 것이 끝인지 구체적으로 명시되지 않은 경우 벡터는 두 개의 대문자가 아니라 하나의 소문자로 표시됩니다(예: 등).

이제 조금 관행다음 벡터의 좌표를 찾습니다.

시험:

이제 좀 더 어려운 문제를 해결하십시오.

한 지점에 온차스크랩이 있는 벡터 토러스에는 co-or-di-on-you가 있습니다. Find-di-te abs-cis-su 포인트.

모든 것이 매우 산문적입니다. 점의 좌표라고 합시다. 그 다음에

벡터의 좌표가 무엇인지 결정하여 시스템을 컴파일했습니다. 그런 다음 점에는 좌표가 있습니다. 우리는 가로 좌표에 관심이 있습니다. 그 다음에

답변:

벡터로 다른 무엇을 할 수 있습니까? 예, 거의 모든 것이 일반 숫자와 동일합니다(나누는 것은 불가능하지만 두 가지 방법으로 곱할 수 있다는 점만 제외하고, 그 중 하나는 잠시 후에 여기에서 논의할 것입니다)

벡터는 서로 쌓일 수 있습니다.
벡터는 서로 뺄 수 있습니다.
벡터는 0이 아닌 임의의 숫자로 곱하거나 나눌 수 있습니다.
벡터는 서로 곱할 수 있습니다.

이러한 모든 작업은 매우 시각적인 기하학적 표현을 가지고 있습니다. 예를 들어 덧셈과 뺄셈에 대한 삼각형(또는 평행사변형) 규칙은 다음과 같습니다.

벡터는 숫자를 곱하거나 나눌 때 늘어나거나 줄어들거나 방향이 변경됩니다.

그러나 여기서 우리는 좌표에 어떤 일이 발생하는지에 대한 질문에 관심을 가질 것입니다.

1. 두 벡터를 더(빼기)할 때 좌표 요소를 요소별로 더(빼기)합니다. 즉:

2. 벡터에 숫자를 곱(나누기)할 때 모든 좌표에 다음 숫자를 곱합니다(나누기).

예를 들어:

· ko-or-di-nat 세기-to-ra의 합계 찾기.

먼저 각 벡터의 좌표를 구합시다. 둘 다 같은 원점, 즉 원점을 가지고 있습니다. 그들의 끝은 다릅니다. 그 다음에, . 이제 벡터의 좌표를 계산합니다. 그러면 결과 벡터의 좌표의 합은 다음과 같습니다.

답변:

이제 다음 문제를 직접 해결하십시오.

· 벡터 좌표의 합 찾기

우리는 다음을 확인합니다:

이제 다음 문제를 고려해 보겠습니다. 좌표 평면에 두 개의 점이 있습니다. 그들 사이의 거리를 찾는 방법? 첫 번째 점을 두 번째 점으로 두십시오. 그들 사이의 거리를 로 표시합시다. 명확성을 위해 다음 그림을 만들어 보겠습니다.

내가 한 것? 내가 먼저 연결했다 포인트 및,또한 점에서 축에 평행한 선을 그리고 점에서 축에 평행한 선을 그었습니다. 그들은 한 지점에서 교차하여 멋진 모습을 형성 했습니까? 그녀가 멋진 이유는 무엇입니까? 예, 당신과 나는 직각 삼각형에 대해 거의 모든 것을 알고 있습니다. 글쎄요, 피타고라스 정리는 확실합니다. 원하는 선분은 이 삼각형의 빗변이고 선분은 다리입니다. 점의 좌표는 무엇입니까? 예, 그림에서 쉽게 찾을 수 있습니다. 세그먼트가 축에 평행하고 각각 길이를 찾기가 쉽기 때문에 세그먼트의 길이를 각각 표시하면 다음을 통해

이제 피타고라스 정리를 사용합시다. 우리는 다리의 길이를 알고 빗변을 찾을 것입니다.

따라서 두 점 사이의 거리는 좌표와의 차 제곱의 근합입니다. 또는 - 두 점 사이의 거리는 두 점을 연결하는 선분의 길이입니다. 점 사이의 거리가 방향에 의존하지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그 다음에:

이것으로부터 우리는 세 가지 결론을 도출합니다.

두 점 사이의 거리를 계산하는 방법을 조금 연습해 보겠습니다.

예를 들어, 다음과 사이의 거리는 다음과 같습니다.

아니면 다르게 가봅시다: 벡터의 좌표를 찾으세요

그리고 벡터의 길이를 찾으십시오.

보시다시피 똑같습니다!

이제 혼자서 약간 연습하십시오.

작업: 주어진 점 사이의 거리 찾기:

우리는 다음을 확인합니다:

약간 다르게 들리지만 동일한 공식에 대한 몇 가지 문제가 더 있습니다.

1. 눈꺼풀에서 라까지의 길이의 제곱을 찾으십시오.

2. 눈꺼풀 길이-to-ra의 나이디테 스퀘어

쉽게 처리할 수 있을 것 같은데요? 우리는 다음을 확인합니다:

1. 그리고 이것은 주의를 위한 것입니다) 우리는 이전에 벡터의 좌표를 이미 찾았습니다: . 그런 다음 벡터에는 좌표가 있습니다. 길이의 제곱은 다음과 같습니다.

2. 벡터의 좌표 찾기

그러면 길이의 제곱은

복잡하지 않죠? 단순한 산수, 그 이상은 아닙니다.

다음 작업은 명확하게 분류할 수 없습니다. 일반 학식그리고 간단한 그림을 그리는 능력.

1. 가로축이 있는 n번째 점 연결, 절단 위치에서 각도의 사인을 찾습니다.

그리고

여기서 어떻게 할까요? 와 축 사이의 각도의 사인을 찾아야 합니다. 그리고 어디에서 사인을 찾을 수 있습니까? 맞습니다, 직각 삼각형에서. 그래서 우리는 무엇을해야합니까? 이 삼각형을 만드십시오!

점의 좌표 이후 세그먼트는 동일하고 세그먼트입니다. 각도의 사인을 찾아야 합니다. 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율이라는 것을 상기시켜 드리겠습니다.

우리에게 남은 것은 무엇입니까? 빗변을 찾으십시오. 두 가지 방법으로 이를 수행할 수 있습니다. 피타고라스 정리(다리는 알려져 있습니다!) 또는 두 점 사이의 거리 공식(실제로 첫 번째 방법과 동일합니다!). 나는 두 번째 길을 갈 것이다:

답변:

다음 작업이 훨씬 쉬워 보일 것입니다. 그녀 - 포인트의 좌표에.

작업 2.그 점에서, per-pen-di-ku-lar는 abs-ciss 축으로 낮아집니다. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

그림을 만들어 봅시다.

수직선의 밑변은 그것이 x축(축)과 교차하는 점입니다. 저에게는 이것이 점입니다. 그림은 좌표가 있음을 보여줍니다. . 우리는 가로 좌표, 즉 "X" 구성 요소에 관심이 있습니다. 그녀는 평등하다.

답변: .

작업 3.이전 문제의 조건에서 점에서 좌표축까지의 거리의 합을 구합니다.

점에서 축까지의 거리가 얼마인지 안다면 작업은 일반적으로 기본입니다. 알잖아? 나는 희망하지만 여전히 당신에게 상기시켜줍니다.

그래서 조금 더 높은 곳에 위치한 내 그림에서 이미 그러한 수직선을 묘사 했습니까? 어떤 축인가요? 축으로. 그리고 그 길이는 얼마입니까? 그녀는 평등하다. 이제 축에 수직을 직접 그리고 길이를 찾으십시오. 그것은 평등 할 것입니다, 그렇죠? 그러면 그들의 합은 같습니다.

답변: .

작업 4.문제 2의 조건에서 x축을 중심으로 한 점과 대칭인 점의 세로좌표를 구합니다.

대칭이 무엇인지 직관적으로 이해하신 것 같은데요? 많은 건물, 테이블, 평면, 많은 기하학적 모양: 공, 원통, 정사각형, 마름모 등 매우 많은 개체가 가지고 있습니다. 대략적으로 말하면 대칭은 다음과 같이 이해할 수 있습니다. 그림은 두 개(또는 그 이상)로 구성됩니다. 동일한 반쪽. 이 대칭을 축이라고 합니다. 그러면 축이란 무엇입니까? 이것은 정확히 그림이 동일한 반으로 "잘라낼" 수 있는 선입니다(이 그림에서 대칭 축은 직선입니다).

이제 우리의 임무로 돌아가자. 축에 대해 대칭인 점을 찾고 있다는 것을 알고 있습니다. 그런 다음이 축은 대칭 축입니다. 따라서 축이 세그먼트를 두 개의 동일한 부분으로 자르도록 점을 표시해야 합니다. 그러한 점을 스스로 표시하십시오. 이제 내 솔루션과 비교하십시오.

당신도 같은 일을 했습니까? 잘! 찾은 지점에서 세로 좌표에 관심이 있습니다. 그녀는 평등하다

답변:

이제 잠시 생각한 후 y축에 대해 점 A에 대칭인 점의 가로 좌표는 무엇입니까? 당신의 대답은 무엇인가? 정답: .

일반적으로 규칙은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

x축을 중심으로 한 점에 대칭인 점의 좌표는 다음과 같습니다.

y축을 중심으로 한 점에 대칭인 점에는 다음과 같은 좌표가 있습니다.

자, 이제 정말 무섭습니다. 직무: 원점을 기준으로 한 점에 대해 대칭인 점의 좌표를 찾습니다. 먼저 스스로 생각하고 내 그림을 봐!

답변:

지금 평행사변형 문제:

작업 5: 포인트는 ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma입니다. 디티 또는 디온투 포인트 찾기.

논리와 좌표 방법의 두 가지 방법으로 이 문제를 해결할 수 있습니다. 먼저 좌표 방법을 적용한 다음 다른 방법을 결정할 수 있는 방법을 알려 드리겠습니다.

점의 가로 좌표가 같다는 것은 분명합니다. (점에서 x축으로 그린 수직선에 있습니다). 좌표를 찾아야 합니다. 우리의 그림이 평행사변형이라는 사실을 이용합시다. 두 점 사이의 거리 공식을 사용하여 세그먼트의 길이를 찾습니다.

점과 축을 연결하는 수직선을 낮춥니다. 교차점은 문자로 표시됩니다.

세그먼트의 길이는 동일합니다. (이 순간에 대해 논의한 문제를 스스로 찾으면) 피타고라스 정리를 사용하여 세그먼트의 길이를 찾을 수 있습니다.

세그먼트의 길이는 세로좌표와 정확히 동일합니다.

답변: .

또 다른 솔루션(이를 설명하는 그림만 제공하겠습니다)

솔루션 진행 상황:

1. 지출

2. 점 좌표와 길이 찾기

3. 그것을 증명하십시오.

다른 것 절단 길이 문제:

포인트는 la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka입니다. 그의 정중선 길이, par-ral-lel-noy를 찾으십시오.

삼각형의 중심선이 무엇인지 기억하십니까? 그런 다음이 작업은 기본입니다. 기억나지 않는다면 다시 상기시켜 드리겠습니다. 삼각형의 중간선은 대변의 중점을 연결하는 선입니다. 그것은 밑면과 평행하고 그 절반과 같습니다.

베이스는 세그먼트입니다. 우리는 그것의 길이를 더 일찍 찾아야 했습니다. 그것은 같습니다. 그런 다음 정중선의 길이는 길이의 절반이고 동일합니다.

답변: .

주석: 이 문제는 다른 방법으로 해결할 수 있습니다. 이에 대해서는 잠시 후에 설명하겠습니다.

그 동안 여기에 몇 가지 작업이 있습니다. 실습을 해보세요. 매우 간단하지만 좌표 방법을 사용하여 "손을 잡는" 데 도움이 됩니다!

1. 포인트가 나타납니다-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. 중심선의 길이를 찾으십시오.

2. 포인트 및 yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. 디티 또는 디온투 포인트 찾기.

3. 컷에서 길이를 찾고 두 번째 점을 연결하고

4. ko-or-di-nat-noy 비행기에서 red-shen-noy fi-gu-ry 영역을 찾으십시오.

5. na-cha-le ko-or-di-nat를 중심으로 한 원이 한 점을 지납니다. 그녀의 콧수염을 찾아보세요.

6. Nai-di-te-ra-di-us circle-no-sti, 직각-no-ka 근처의 describe-san-noy, 무언가-ro-go의 tops-shi-ny have co-or- di-na-you co-from-reply-하지만

솔루션:

1. 사다리꼴의 정중선은 밑변의 합과 같은 것으로 알려져 있습니다. 기본은 동일하지만 기본입니다. 그 다음에

답변:

2. 이 문제를 해결하는 가장 쉬운 방법은 알아차리는 것입니다(평행사변형 규칙). 벡터의 좌표를 계산하면 어렵지 않습니다. 벡터를 추가할 때 좌표가 추가됩니다. 그런 다음 좌표가 있습니다. 벡터의 시작이 좌표가 있는 점이므로 점은 동일한 좌표를 갖습니다. 우리는 세로 좌표에 관심이 있습니다. 그녀는 평등하다.

답변:

3. 우리는 두 점 사이의 거리 공식에 따라 즉시 행동합니다.

답변:

4. 그림을보고 두 그림 사이에 음영 처리 된 영역이 "압착"되어 있다고 말합니다. 두 개의 사각형 사이에 끼워져 있습니다. 그런 다음 원하는 그림의 면적은 큰 정사각형의 면적에서 작은 정사각형의 면적을 뺀 것과 같습니다. 작은 정사각형의 한 변은 점을 연결하는 선분이며 길이는 다음과 같습니다.

그러면 작은 정사각형의 면적은

우리는 큰 정사각형으로 동일한 작업을 수행합니다. 측면은 점을 연결하는 세그먼트이고 길이는 다음과 같습니다.

그러면 큰 정사각형의 면적은

원하는 그림의 면적은 다음 공식으로 구합니다.

답변:

5. 원의 중심이 원점이고 한 점을 통과하는 경우 반지름은 세그먼트의 길이와 정확히 동일합니다(그림을 그리면 이것이 분명한 이유를 이해할 수 있습니다). 이 세그먼트의 길이를 찾으십시오.

답변:

6. 직사각형에 외접하는 원의 반지름은 대각선의 절반과 같다고 알려져 있습니다. 두 대각선 중 하나의 길이를 찾자(결국 직사각형에서 두 대각선은 동일합니다!)

답변:

글쎄, 당신은 모든 것을 관리 했습니까? 그것을 알아내는 것은 그렇게 어렵지 않았습니까? 여기에는 단 하나의 규칙이 있습니다. 시각적 그림을 만들고 모든 데이터를 단순히 "읽을 수" 있습니다.

우리에게 남은 것이 거의 없습니다. 말 그대로 두 가지 더 논의하고 싶은 사항이 있습니다.

이 간단한 문제를 해결해 봅시다. 2점을 주어라. 세그먼트의 중간 좌표를 찾습니다. 이 문제에 대한 해결책은 다음과 같습니다. 점을 원하는 중간으로 두면 좌표가 있습니다.

즉: 세그먼트 중간의 좌표 = 세그먼트 끝의 해당 좌표의 산술 평균.

이 규칙은 매우 간단하며 일반적으로 학생들에게 어려움을 일으키지 않습니다. 어떤 문제가 있고 어떻게 사용되는지 봅시다.

1. find-di-te 또는 di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th 포인트 및

2. 포인트는 yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka입니다. 그의 dia-go-on-lei의 re-re-se-che-niya의 di-te 또는 di-na-tu 포인트를 찾으십시오.

3. 원의 중심에서 디테 아브시스 시스 찾기, 직사각형 근처에 있는 디텍트 산노이, 탑스 시-우리가 뭔가-로고 코-오-디-를 가지고 있습니다. 아니-당신은 수의사-stvenno-에서 공동-하지만.

솔루션:

1. 첫 번째 작업은 그냥 고전입니다. 세그먼트의 중간 지점을 결정하여 즉시 조치를 취합니다. 그녀는 좌표가 있습니다. 좌표는 동일합니다.

답변:

2. 주어진 사변형이 평행사변형(심지어 마름모도!)이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 변의 길이를 계산하고 서로 비교하여 스스로 증명할 수 있습니다. 평행사변형에 대해 무엇을 알고 있습니까? 대각선은 교차점에 의해 이등분됩니다! 아하! 그렇다면 대각선의 교차점은 무엇입니까? 이것은 대각선의 중간입니다! 특히 대각선을 선택하겠습니다. 그런 다음 점은 좌표를 가지며 점의 세로 좌표는 다음과 같습니다.

답변:

3. 직사각형에 외접하는 원의 중심은 무엇입니까? 대각선의 교차점과 일치합니다. 직사각형의 대각선에 대해 무엇을 알고 있습니까? 그것들은 동일하고 교차점이 반으로 나뉩니다. 작업이 이전 작업으로 축소되었습니다. 예를 들어 대각선을 살펴보십시오. 그러면 가 외접원의 중심이면 중심이 됩니다. 좌표를 찾고 있습니다. 가로 좌표는 동일합니다.

답변:

이제 혼자 연습을 좀 해보세요. 각 문제에 대한 답만 알려드릴 테니 스스로 확인하실 수 있도록 할게요.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, triangle-no-ka 근처의 describe-san-noy, someone-ro-go의 꼭대기에는 ko-or-di -no 미스터가 있습니다.

2. 원의 중심에서 di-te 또는 di-na-tu 찾기, 삼각형 근처에 san-noy 설명, tops-shi-we have something-ro-go 좌표

3. 어떤 종류의 ra-di-y-sa가 abs-ciss 축에 닿도록 한 점에 중심이 있는 원이 있어야 합니까?

4. Find-di-te or-di-on-the point of re-re-se-che-ing 축과 from-cut, connect-nya-yu-th-th 포인트 및

대답:

모든 것이 잘 되었습니까? 정말 바랍니다! 이제 - 마지막 푸시입니다. 이제 특히 조심하십시오. 지금 설명할 자료는 다음과 직접적인 관련이 있습니다. 간단한 작업부분 B에서 좌표 방법으로, 그러나 또한 문제 C2의 모든 곳에서 발생합니다.

내 약속 중 아직 지키지 않은 것은 무엇입니까? 내가 도입하기로 약속한 벡터에 대한 작업과 결국 도입한 작업을 기억하십니까? 내가 잊은 게 없는 게 확실해? 잊어버렸다! 벡터의 곱셈이 무엇을 의미하는지 설명하는 것을 잊었습니다.

벡터에 벡터를 곱하는 방법에는 두 가지가 있습니다. 선택한 방법에 따라 다른 성격의 객체를 얻습니다.

벡터 곱은 상당히 까다롭습니다. 그것을 하는 방법과 그것이 필요한 이유에 대해서는 다음 기사에서 논의할 것입니다. 그리고 이것에서 우리는 스칼라 곱에 초점을 맞출 것입니다.

계산할 수 있는 두 가지 방법이 이미 있습니다.

예상대로 결과는 동일해야 합니다! 먼저 첫 번째 방법을 살펴보겠습니다.

좌표를 통한 내적

찾기: - 공통 명칭 내적

계산 공식은 다음과 같습니다.

즉, 내적 = 벡터 좌표의 곱의 합입니다!

예시:

찾기-디-테

결정:

각 벡터의 좌표를 찾습니다.

다음 공식으로 스칼라 곱을 계산합니다.

답변:

복잡한 것은 전혀 없습니다!

자, 이제 직접 시도해 보세요.

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie Century-to-ditch 및

관리하셨나요? 어쩌면 그는 약간의 트릭을 눈치 챘을까요? 점검 해보자:

이전 작업에서와 같이 벡터 좌표! 답변: .

좌표 외에도 스칼라 곱을 계산하는 또 다른 방법이 있습니다. 즉, 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도 코사인을 통해:

벡터와 사이의 각도를 나타냅니다.

즉, 스칼라 곱은 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도 코사인의 곱과 같습니다.

훨씬 더 간단한 첫 번째 공식이 있다면 적어도 코사인이 없는 두 번째 공식이 필요한 이유는 무엇입니까? 그리고 우리는 첫 번째와 두 번째 공식에서 벡터 사이의 각도를 찾는 방법을 추론할 수 있도록 필요합니다!

그러면 벡터의 길이에 대한 공식을 기억하십시오!

그런 다음 이 데이터를 내적 공식에 연결하면 다음을 얻습니다.

그러나 다른 측면에서:

그래서 우리는 무엇을 얻었습니까? 이제 두 벡터 사이의 각도를 계산하는 공식이 생겼습니다! 때로는 간결함을 위해 다음과 같이 쓰기도 합니다.

즉, 벡터 사이의 각도를 계산하는 알고리즘은 다음과 같습니다.

좌표를 통해 스칼라 곱을 계산합니다.
벡터의 길이를 찾아 곱합니다.
점 1의 결과를 점 2의 결과로 나눕니다.

예를 들어 연습해 보겠습니다.

1. 눈꺼풀과 라미 사이의 각도를 구합니다. 당신의 대답을 도 단위로 주십시오.

2. 이전 문제의 조건에서 벡터 사이의 코사인 찾기

해보자: 첫 번째 문제를 해결하는 데 도움을 드리고 두 번째 문제는 스스로 해보도록 할게요! 동의한다? 그럼 시작하겠습니다!

1. 이 벡터들은 우리의 오랜 친구입니다. 우리는 이미 그들의 스칼라 곱을 고려했고 그것은 동일했습니다. 좌표는 , . 그런 다음 길이를 찾습니다.

그런 다음 벡터 사이의 코사인을 찾습니다.

각도의 코사인 값은 얼마입니까? 여기가 코너입니다.

답변:

자, 이제 두 번째 문제를 직접 풀고 비교해보세요! 아주 짧은 해결책을 제시하겠습니다.

2. 좌표가 있고 좌표가 있습니다.

벡터 사이의 각도라고 하면 다음과 같습니다.

답변:

벡터에 대한 직접 작업과 B 부분의 좌표 방법에 유의해야 합니다. 시험 일아주 드물다. 그러나 대부분의 C2 문제는 좌표계를 도입하여 쉽게 해결할 수 있습니다. 따라서 이 기사를 기초로 생각할 수 있습니다. 이를 기반으로 해결해야 할 매우 까다로운 구성을 만들 것입니다. 도전적인 작업.

좌표 및 벡터. 중급

당신과 나는 좌표 방법을 계속 연구하고 있습니다. 마지막 부분에서 우리는 다음을 허용하는 여러 중요한 공식을 도출했습니다.

벡터 좌표 찾기
벡터의 길이 찾기(또는: 두 점 사이의 거리)
벡터를 더하고 빼십시오. 실수로 곱하십시오.
세그먼트의 중간점 찾기
벡터의 내적 계산
벡터 사이의 각도 찾기

물론 이 6개의 점에 전체 좌표 방식이 맞지는 않습니다. 그것은 대학에서 알게 될 분석 기하학과 같은 과학의 기초가 됩니다. 단일 상태에서 문제를 해결할 수 있는 기반을 구축하고 싶습니다. 시험. 우리는 파트 B의 작업을 알아 냈습니다. 이제 품질로 넘어갈 시간입니다. 새로운 수준! 이 기사에서는 좌표 방법으로 전환하는 것이 합리적일 수 있는 C2 문제를 해결하는 방법에 대해 설명합니다. 이 합리성은 문제에서 무엇을 찾아야 하는지, 어떤 수치를 제시하느냐에 따라 결정된다. 따라서 질문이 다음과 같은 경우 좌표 방법을 사용합니다.

두 평면 사이의 각도 찾기
선과 평면 사이의 각도 찾기
두 선 사이의 각도 찾기
점에서 평면까지의 거리 구하기
점에서 선까지의 거리 구하기
직선에서 평면까지의 거리 구하기
두 선 사이의 거리 찾기

문제의 조건에서 주어진 도형이 회전체(구, 원통, 원뿔...)인 경우

좌표 방법에 적합한 수치는 다음과 같습니다.

직육면체
피라미드(삼각형, 사각형, 육각형)

또한 제 경험상 좌표 방법을 사용하는 것은 부적절합니다.:

섹션 영역 찾기
체적의 계산

그러나 좌표 방법에 대한 세 가지 "바람직하지 않은" 상황은 실제로 매우 드물다는 점에 즉시 유의해야 합니다. 대부분의 작업에서, 특히 3차원 구조(때로는 상당히 복잡함)에 그다지 강하지 않은 경우에는 구세주가 될 수 있습니다.

내가 위에 나열한 모든 수치는 무엇입니까? 사각형, 삼각형, 원형과 같이 더 이상 평평하지 않고 볼륨이 있습니다! 따라서 2차원 좌표계가 아닌 3차원 좌표계를 고려할 필요가 있다. 그것은 매우 쉽게 구축됩니다. 가로 좌표와 세로 좌표 외에 다른 축인 적용 축을 소개합니다. 그림은 상대적인 위치를 개략적으로 보여줍니다.

그들 모두는 서로 수직이며 한 점에서 교차합니다. 우리는 이것을 원점이라고 부릅니다. 가로축은 이전과 같이 세로축 - , 도입된 적용축 - 으로 표시됩니다.

이전에 평면의 각 점이 가로 좌표와 세로 좌표라는 두 개의 숫자로 특징 지어지면 공간의 각 점은 이미 가로 좌표, 세로 좌표, 적용의 세 숫자로 설명됩니다. 예를 들어:

따라서 점의 가로 좌표는 이고 세로 좌표는 이며 적용 대상은 입니다.

때때로 점의 가로 좌표는 가로 좌표 축에 있는 점의 투영이라고도 하며 세로 좌표는 세로 축에 있는 점의 투영이며 적용은 적용 축에 있는 점의 투영입니다. 따라서 점이 주어진 경우 좌표가 있는 점은 다음과 같습니다.

평면에 한 점의 투영이라고 함

자연스러운 질문이 생깁니다. 2차원 경우에 대해 파생된 모든 공식이 공간에서 유효합니까? 대답은 예입니다. 그들은 정의롭고 똑같은 모습을 하고 있습니다. 작은 세부 사항을 위해. 나는 당신이 이미 어느 것을 추측했다고 생각합니다. 모든 공식에서 적용 축을 담당하는 항을 하나 더 추가해야 합니다. 즉.

1. 두 개의 포인트가 주어지면:

벡터 좌표:
두 점 사이의 거리(또는 벡터 길이)
세그먼트의 중간에 좌표가 있습니다.

2. 두 벡터가 주어지면: and, then:

그들의 내적은 다음과 같습니다.
벡터 사이 각도의 코사인은 다음과 같습니다.

그러나 공간은 그렇게 단순하지 않습니다. 아시다시피 좌표를 하나 더 추가하면 이 공간에 "살아있는" 인물의 스펙트럼이 상당히 다양해집니다. 그리고 추가 설명을 위해 대략적으로 말하면 직선의 "일반화"를 소개할 필요가 있습니다. 이 "일반화"는 비행기가 될 것입니다. 비행기에 대해 무엇을 알고 있습니까? 비행기란 무엇인가라는 질문에 답해 보세요. 말하기는 매우 어렵습니다. 그러나 우리 모두는 그것이 어떻게 생겼는지 직관적으로 상상합니다.

대략적으로 말하자면, 이것은 일종의 끝없는 "잎"이 우주로 밀려나는 것입니다. "무한대"는 평면이 모든 방향으로 확장된다는 것, 즉 면적이 무한대와 같다는 것을 이해해야 합니다. 그러나 "손가락에 대한"이 설명은 평면의 구조에 대해 조금도 알 수 없습니다. 그리고 우리는 그것에 관심을 가질 것입니다.

기하학의 기본 공리 중 하나를 기억합시다.

두개의 다양한 포인트직선은 평면을 통과하며 단 하나만 통과합니다.

또는 우주에서의 아날로그:

물론 두 개의 주어진 점에서 직선의 방정식을 유도하는 방법을 기억합니다. 이것은 전혀 어렵지 않습니다. 첫 번째 점에 좌표가 있고 두 번째 점이 있으면 직선의 방정식은 다음과 같습니다.

당신은 이것을 7 학년 때 겪었습니다. 공간에서 직선의 방정식은 다음과 같습니다. 좌표가 있는 두 점을 가집니다. , 두 점을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

예를 들어, 선은 점을 통과합니다.

이것을 어떻게 이해해야 할까요? 이것은 다음과 같이 이해해야 합니다. 좌표가 다음 시스템을 충족하는 경우 점은 선 위에 있습니다.

우리는 직선의 방정식에 그다지 관심이 없을 것이지만 직선의 방향 벡터라는 매우 중요한 개념에 주의를 기울일 필요가 있습니다. - 어느 0이 아닌 벡터주어진 선에 놓이거나 그것에 평행하다.

예를 들어, 두 벡터는 모두 직선의 방향 벡터입니다. 직선 위에 있는 한 점을 방향 벡터라고 합니다. 그러면 직선의 방정식은 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있습니다.

다시 한 번, 저는 직선의 방정식에 별로 관심이 없을 것입니다. 하지만 방향 벡터가 무엇인지 기억해 주셨으면 합니다! 다시: 선 위에 있거나 평행선에 있는 0이 아닌 벡터입니다.

철회하다 평면의 3점 방정식더 이상 사소하지 않으며 일반적으로 이 문제는 과정에서 고려되지 않습니다. 고등학교. 그러나 헛되이! 이 기술은 복잡한 문제를 해결하기 위해 좌표 방법에 의존할 때 매우 중요합니다. 그러나 새로운 것을 배우고자 하는 열망으로 가득 차 있다고 생각하십니까? 또한 분석 기하학 과정에서 일반적으로 공부하는 기술을 이미 사용하는 방법을 알고 있다는 것이 밝혀지면 대학의 선생님에게 깊은 인상을 줄 수 있습니다. 시작하겠습니다.

평면의 방정식은 평면의 직선 방정식과 크게 다르지 않습니다. 즉, 다음과 같은 형식을 갖습니다.

일부 숫자(전부는 아님 영) 및 변수, 예: 등 보시다시피 평면의 방정식은 직선의 방정식(선형함수)과 크게 다르지 않습니다. 그러나 우리가 당신과 논쟁한 것을 기억하십니까? 우리는 하나의 직선 위에 있지 않은 세 개의 점이 있으면 평면의 방정식이 그들로부터 고유하게 복원된다고 말했습니다. 하지만 어떻게? 나는 당신에게 설명하려고 노력할 것입니다.

평면 방정식은 다음과 같으므로

그리고 점들은 이 평면에 속하고, 각 점의 좌표를 평면의 방정식에 대입할 때 올바른 항등을 얻어야 합니다.

따라서 이미 미지수가 있는 3개의 방정식을 풀 필요가 있습니다! 양도 논법! 그러나 우리는 항상 다음과 같이 가정할 수 있습니다(이를 위해 나누어야 함). 따라서 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식을 얻습니다.

그러나 우리는 그러한 시스템을 해결하지 않을 것이지만 그 시스템에서 이어지는 비밀 표현을 작성합니다.

주어진 세 점을 지나는 평면의 방정식

\[\왼쪽| (\begin(배열)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(배열)) \right| = 0\]

중지! 이건 또 뭐야? 아주 특이한 모듈이 있습니다! 그러나 눈앞에 보이는 물체는 모듈과 아무 관련이 없습니다. 이 객체를 3차 행렬식이라고 합니다. 이제부터 평면의 좌표 방법을 다룰 때 바로 이러한 결정 요소를 자주 접하게 될 것입니다. 3차 행렬식이란? 이상하게도 그것은 단지 숫자일 뿐입니다. 우리가 행렬식과 비교할 특정 숫자를 이해하는 것이 남아 있습니다.

먼저 보다 일반적인 형식으로 3차 행렬식을 작성해 보겠습니다.

몇 가지 숫자가 있습니다. 또한 첫 번째 색인은 행 번호를 의미하고 색인은 열 번호를 의미합니다. 예를 들어, 주어진 숫자가 두 번째 행과 세 번째 열의 교차점에 있음을 의미합니다. 다음과 같은 질문을 합시다. 이러한 행렬식을 정확히 어떻게 계산할까요? 즉, 어떤 특정 숫자와 비교할 것인가? 정확히 3차의 행렬식에 대해 휴리스틱(시각적) 삼각형 규칙이 있으며 다음과 같습니다.

주 대각선 요소의 곱(왼쪽 위에서 오른쪽 아래로) 첫 번째 삼각형을 주 대각선에 "수직"을 형성하는 요소의 곱 주 대각선에 "수직"을 형성하는 두 번째 삼각형을 형성하는 요소의 곱 대각선
두 번째 대각선 요소의 곱(오른쪽 위에서 왼쪽 아래로) 첫 번째 삼각형 "수직"을 형성하는 요소의 곱과 두 번째 삼각형 "수직"을 형성하는 요소의 곱 보조 대각선
그런 다음 행렬식은 단계에서 얻은 값과

이 모든 것을 숫자로 쓰면 다음 표현식을 얻습니다.

그러나이 형식의 계산 방법을 외울 필요는 없습니다. 머리에 삼각형을 유지하고 무엇에 무엇을 더하고 무엇에서 무엇을 빼느냐에 대한 아이디어만 있으면 충분합니다.

예를 들어 삼각형 방법을 설명하겠습니다.

1. 행렬식 계산:

우리가 무엇을 더하고 무엇을 빼는지 알아봅시다:

"플러스"와 함께 제공되는 용어:

이것은 주 대각선입니다. 요소의 곱은 다음과 같습니다.

첫 번째 삼각형, "주대각선에 수직: 요소의 곱은 다음과 같습니다.

두 번째 삼각형, "주대각선에 수직: 요소의 곱은 다음과 같습니다.

세 개의 숫자를 추가합니다.

"빼기"가 붙는 용어

이것은 측면 대각선입니다. 요소의 곱은 다음과 같습니다.

첫 번째 삼각형, "2차 대각선에 수직: 요소의 곱은

두 번째 삼각형, "2차 대각선에 수직: 요소의 곱은

세 개의 숫자를 추가합니다.

더하기 항의 합에서 빼기 항의 합을 빼면 됩니다.

따라서,

보시다시피, 3차 행렬식의 계산에는 복잡하고 초자연적인 것이 없습니다. 삼각형에 대해 기억하고 산술 실수를 하지 않는 것이 중요합니다. 이제 자신을 계산해보십시오.

우리는 다음을 확인합니다:

주 대각선에 수직인 첫 번째 삼각형:
주 대각선에 수직인 두 번째 삼각형:
플러스 항의 합계:
측면 대각선에 수직인 첫 번째 삼각형:
측면 대각선에 수직인 두 번째 삼각형:
마이너스가 있는 항의 합계:
더하기 항의 합계에서 빼기 항의 합계를 뺀 값:

여기에 몇 가지 결정 요인이 더 있습니다. 값을 직접 계산하고 답변과 비교하십시오.

대답:

글쎄, 모든 것이 일치 했습니까? 좋습니다. 그러면 계속 진행할 수 있습니다. 어려움이 있다면 제 조언은 다음과 같습니다. 인터넷에는 온라인으로 행렬식을 계산하는 많은 프로그램이 있습니다. 필요한 것은 자신의 행렬식을 찾아내고 스스로 계산한 다음 프로그램이 계산한 것과 비교하는 것입니다. 결과가 일치하기 시작할 때까지 계속됩니다. 이 순간이 머지 않아 올 것이라고 확신합니다!

이제 제가 3을 지나는 평면의 방정식에 대해 이야기할 때 썼던 행렬식으로 돌아가 보겠습니다. 주어진 포인트:

(삼각형 방법을 사용하여) 값을 직접 계산하고 결과를 0으로 설정하기만 하면 됩니다. 당연히 그것들은 변수이기 때문에 그것에 의존하는 몇 가지 표현식을 얻게 될 것입니다. 한 직선 위에 있지 않은 주어진 세 점을 지나는 평면의 방정식이 되는 것은 이 표현입니다!

간단한 예를 들어 설명하겠습니다.

1. 점을 통과하는 평면의 방정식을 작성하십시오.

우리는 이 세 가지 점에 대한 행렬식을 구성합니다.

단순화:

이제 삼각형 규칙에 따라 직접 계산합니다.

\[(\left| (\begin(배열)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(배열)) \ right| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

따라서 점을 통과하는 평면의 방정식은 다음과 같습니다.

이제 한 가지 문제를 직접 해결한 다음 이에 대해 논의해 보겠습니다.

2. 점을 지나는 평면의 방정식 찾기

이제 솔루션에 대해 논의해 보겠습니다.

우리는 행렬식을 만듭니다:

그리고 그 값을 계산하십시오:

그러면 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

또는 감소하면 다음을 얻습니다.

이제 자제를 위한 두 가지 작업:

세 점을 지나는 평면의 방정식을 작성하십시오.

대답:

모든 것이 일치 했습니까? 다시 말하지만, 특정 어려움이 있다면 내 조언은 다음과 같습니다. 머리에서 3 점을 가져 와서 (높은 확률로 한 직선에 놓이지 않을 가능성이 높음) 그 위에 비행기를 만드십시오. 그런 다음 온라인에서 자신을 확인하십시오. 예를 들어 사이트에서:

그러나 행렬식의 도움으로 평면의 방정식뿐만 아니라 구성할 것입니다. 기억하세요. 벡터의 경우 내적만이 정의되는 것이 아닙니다. 벡터와 혼합 제품도 있습니다. 그리고 두 벡터의 스칼라 곱이 숫자이면 두 벡터의 벡터 곱은 벡터가 되고 이 벡터는 주어진 벡터에 수직이 됩니다.

그리고 그 모듈은 면적과 같음벡터 및. 한 점에서 선까지의 거리를 계산하려면 이 벡터가 필요합니다. 벡터의 외적과 좌표가 주어진 경우 어떻게 계산할 수 있습니까? 3차 행렬식이 다시 우리의 도움이 됩니다. 그러나 외적을 계산하는 알고리즘으로 넘어가기 전에 약간의 서정적 탈선을 해야 합니다.

이 다이그레션은 기저 벡터와 관련이 있습니다.

도식적으로 그림에 표시되어 있습니다.

왜 기본이라고 생각합니까? 사실은 다음과 같습니다.

또는 그림에서:

이 공식의 타당성은 다음과 같은 이유로 명백합니다.

벡터 제품

이제 교차 제품 소개를 시작할 수 있습니다.

두 벡터의 벡터 곱은 다음 규칙에 따라 계산되는 벡터입니다.

이제 외적을 계산하는 몇 가지 예를 들어보겠습니다.

예 1: 벡터의 외적 찾기:

솔루션: 저는 행렬식을 만듭니다.

그리고 나는 그것을 계산합니다.

이제 기본 벡터를 작성하는 것부터 일반적인 벡터 표기법으로 돌아가겠습니다.

따라서:

이제 시도하십시오.

준비가 된? 우리는 다음을 확인합니다:

그리고 전통적으로 두 제어할 작업:

다음 벡터의 외적을 찾으십시오.
다음 벡터의 외적을 찾으십시오.

대답:

세 벡터의 혼합 곱

내가 필요한 마지막 구성은 세 벡터의 혼합 곱입니다. 스칼라와 마찬가지로 숫자입니다. 두 가지 방법으로 계산할 수 있습니다. - 행렬식을 통해, - 혼합 곱을 통해.

즉, 세 개의 벡터가 있다고 가정해 보겠습니다.

그런 다음 로 표시된 세 벡터의 혼합 곱은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

1. - 즉, 혼합 곱은 벡터의 스칼라 곱과 다른 두 벡터의 벡터 곱입니다.

예를 들어, 세 벡터의 혼합 곱은 다음과 같습니다.

벡터 곱을 사용하여 직접 계산하고 결과가 일치하는지 확인하십시오!

그리고 다시 - 독립적인 결정에 대한 두 가지 예:

대답:

좌표계 선택

자, 이제 우리는 기하학의 복잡한 입체 문제를 해결하는 데 필요한 모든 지식 기반을 갖게 되었습니다. 그러나 이를 해결하기 위한 예제와 알고리즘으로 직접 진행하기 전에 다음 질문에 대해 생각하는 것이 유용할 것이라고 생각합니다. 특정 그림에 대한 좌표계를 선택합니다.결국, 계산이 얼마나 번거로운지를 궁극적으로 결정하는 것은 좌표계의 상대적 위치와 공간에서의 그림의 선택입니다.

이 섹션에서 우리는 다음과 같은 형태를 고려하고 있음을 상기시킵니다.

직육면체
직선 프리즘(삼각형, 육각형…)
피라미드(삼각형, 사각형)
사면체(삼각뿔과 동일)

직육면체 또는 큐브의 경우 다음 구성을 권장합니다.

즉, "모퉁이에"그림을 배치합니다. 큐브와 상자는 아주 좋은 피규어입니다. 그들에게는 정점의 좌표를 항상 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어 (그림과 같이)

정점 좌표는 다음과 같습니다.

물론 이것을 기억할 필요는 없지만 정육면체나 직사각형 상자를 가장 잘 배치하는 방법을 기억하는 것이 바람직합니다.

직선 프리즘

프리즘은 더 해로운 인물입니다. 다양한 방법으로 공간에 배치할 수 있습니다. 그러나 다음이 최선의 선택이라고 생각합니다.

삼각 프리즘:

즉, 삼각형의 변 중 하나를 축에 완전히 놓고 정점 중 하나가 원점과 일치합니다.

육각 프리즘:

즉, 정점 중 하나가 원점과 일치하고 측면 중 하나가 축에 있습니다.

사각형 및 육각형 피라미드:

정육면체와 유사한 상황: 밑면의 두 면을 좌표축과 결합하고 정점 중 하나를 원점과 결합합니다. 유일한 작은 어려움은 점의 좌표를 계산하는 것입니다.

육각형 피라미드의 경우 - 육각형 프리즘과 동일합니다. 주요 작업은 다시 정점의 좌표를 찾는 것입니다.

사면체(삼각뿔)

상황은 내가 삼각형 프리즘에 대해 준 것과 매우 유사합니다. 한 정점은 원점과 일치하고 한쪽은 좌표축에 있습니다.

자, 이제 당신과 나는 마침내 문제를 해결하기 시작하는 단계에 가까워졌습니다. 이 기사의 맨 처음에 말한 것에서 다음과 같은 결론을 도출할 수 있습니다. 대부분의 C2 문제는 각도 문제와 거리 문제의 두 가지 범주로 나뉩니다. 먼저 각도를 찾는 문제를 고려할 것입니다. 그것들은 차례로 다음 범주로 나뉩니다(복잡성이 증가함에 따라).

모서리 찾기 문제

두 선 사이의 각도 구하기
두 평면 사이의 각도 찾기

이러한 문제를 순차적으로 고려해 보겠습니다. 두 직선 사이의 각도를 찾는 것부터 시작하겠습니다. 자, 기억하세요. 이전에 여러분과 제가 비슷한 예를 푼 적이 있습니까? 우리는 이미 비슷한 것을 가지고 있었기 때문에 ... 우리는 두 벡터 사이의 각도를 찾고 있었습니다. 두 벡터가 주어지면 두 벡터 사이의 각도는 다음 관계에서 찾을 수 있습니다.

이제 목표가 생겼습니다. 두 직선 사이의 각도를 찾는 것입니다. "평면 그림"으로 돌아가 봅시다.

두 선이 교차할 때 우리는 몇 개의 각을 얻습니까? 이미 것들. 사실, 그들 중 두 개만 같지 않고 다른 것들은 수직입니다(따라서 그들과 일치합니다). 따라서 두 직선 사이의 각도를 고려해야 하는 각도는 무엇입니까? 또는? 규칙은 다음과 같습니다. 두 직선 사이의 각도는 항상 도 이하입니다.. 즉, 두 각도에서 항상 가장 작은 각도 측정값을 가진 각도를 선택합니다. 즉, 이 그림에서 두 선 사이의 각도는 같습니다. 매번 두 각도 중 가장 작은 각도를 찾는 것을 귀찮게 하지 않기 위해 교활한 수학자들은 모듈을 사용할 것을 제안했습니다. 따라서 두 직선 사이의 각도는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

주의 깊은 독자인 당신은 질문을 했을 것입니다. 사실, 각도의 코사인을 계산하는 데 필요한 바로 그 숫자를 어디서 얻습니까? 답: 우리는 선의 방향 벡터에서 그것들을 취할 것입니다! 따라서 두 선 사이의 각도를 찾는 알고리즘은 다음과 같습니다.

우리는 공식 1을 적용합니다.

또는 더 자세히:

첫 번째 직선의 방향 벡터의 좌표를 찾고 있습니다.
우리는 두 번째 라인의 방향 벡터의 좌표를 찾고 있습니다.
스칼라 곱의 계수 계산
우리는 첫 번째 벡터의 길이를 찾고 있습니다.
우리는 두 번째 벡터의 길이를 찾고 있습니다.
점 4의 결과에 점 5의 결과를 곱합니다.
점 3의 결과를 점 6의 결과로 나눕니다. 선 사이의 각도의 코사인을 얻습니다.
만약 주어진 결과각도를 정확하게 계산할 수 있습니다. 우리는 그것을 찾고 있습니다.
그렇지 않으면 아크코사인을 통해 씁니다.

자, 이제 작업으로 넘어갈 시간입니다. 처음 두 가지의 솔루션을 자세히 설명하고 다른 솔루션의 솔루션을 요약, 그리고 마지막 두 문제에 대해서는 답만 제시할 것이므로 모든 계산은 직접 수행해야 합니다.

작업:

1. 오른쪽 tet-ra-ed-re에서 you-so-that tet-ra-ed-ra와 me-di-a-noy bo-ko-how 쪽 사이의 각도를 찾으십시오.

2. 오른쪽 앞으로 6-석탄-피-라-미-데, 백-로-나-오스-노-바-니야가 어떻게 든 동일하고 측면 갈비뼈가 동일합니다. 직선 사이의 각도를 찾으십시오. 라인과.

3. 오른손잡이 포유레치콜노이 피라미디의 모든 모서리의 길이는 서로 같습니다. 직선 사이의 각도를 구하고 from-re-zok - you-so-that 주어진 pi-ra-mi-dy, point는 se-re-di-on her bo-koth rib

4. 정육면체의 가장자리에서 직선과 직선 사이의 각도를 찾을 수 있도록 한 점에서

5. 포인트 - 직육면체의 가장자리에 있는 세-리-디-나이-디-테 직선 사이의 각도와.

내가 작업을 이 순서로 배치한 것은 우연이 아닙니다. 아직 좌표 방법 탐색을 시작할 시간이 없었지만 가장 "문제가 있는" 수치를 직접 분석하고 가장 간단한 큐브를 다루도록 할게요! 점차적으로 모든 그림으로 작업하는 방법을 배워야 합니다. 나는 주제에서 주제로 작업의 복잡성을 증가시킬 것입니다.

문제 해결을 시작해 보겠습니다.

1. 사면체를 그리고 앞서 제안한 대로 좌표계에 배치합니다. 정사면체는 정사면체이므로 밑변을 포함한 모든 면은 정삼각형입니다. 한 변의 길이가 주어지지 않으므로 같게 취할 수 있습니다. 각도가 실제로 우리의 정사면체가 얼마나 "늘어날지"에 달려 있지 않다는 것을 이해하고 있다고 생각합니다. 또한 사면체에 높이와 중앙값을 그립니다. 길을 따라 나는 그 기초를 그릴 것입니다 (우리에게도 유용 할 것입니다).

와 사이의 각도를 찾아야 합니다. 우리는 무엇을 알고 있습니까? 우리는 점의 좌표만 알고 있습니다. 따라서 더 많은 점의 좌표를 찾아야 합니다. 이제 우리는 생각합니다: 점은 삼각형의 높이(또는 이등분선 또는 중앙값)의 교차점입니다. 점은 높은 지점입니다. 점은 세그먼트의 중간점입니다. 그런 다음 마지막으로 다음을 찾아야 합니다. 점의 좌표: .

가장 간단한 점 좌표부터 시작하겠습니다. 그림을 보십시오. 점의 적용이 0과 같은 것이 분명합니다(점은 평면에 있음). 세로 좌표는 동일합니다(중앙값이기 때문에). 가로 좌표를 찾는 것이 더 어렵습니다. 그러나 이것은 피타고라스 정리에 기초하여 쉽게 수행됩니다. 삼각형을 고려하십시오. 빗변은 같고 다리 중 하나는 같습니다. 그러면:

마지막으로 다음이 있습니다.

이제 점의 좌표를 구해보자. 해당 응용 프로그램은 다시 0과 같고 세로 좌표는 점의 세로 좌표와 동일합니다. 즉. 가로 좌표를 찾자. 이것을 기억하면 이것은 다소 사소한 일입니다. 정삼각형의 높이를 비율의 교차점으로 나눕니다.위에서부터 계산합니다. 이후: 세그먼트의 길이와 동일한 점의 원하는 가로 좌표는 다음과 같습니다. 따라서 점의 좌표는 다음과 같습니다.

점의 좌표를 구해보자. 그 가로 좌표와 세로 좌표가 점의 가로 좌표와 세로 좌표와 일치하는 것이 분명합니다. 그리고 아플리케는 세그먼트의 길이와 같습니다. - 이것은 삼각형의 다리 중 하나입니다. 삼각형의 빗변은 세그먼트입니다. 굵게 강조한 이유를 검색합니다.

점은 세그먼트의 중간점입니다. 그런 다음 세그먼트의 중간 좌표에 대한 공식을 기억해야 합니다.

이제 방향 벡터의 좌표를 찾을 수 있습니다.

모든 것이 준비되었습니다. 모든 데이터를 공식으로 대체합니다.

따라서,

답변:

그런 "끔찍한" 대답을 두려워해서는 안 됩니다. 문제 C2의 경우 이것이 일반적인 관행입니다. 차라리 이 부분에서 '아름다운' 대답에 놀랐다. 또한, 당신이 언급했듯이, 나는 실제로 피타고라스 정리와 정삼각형 높이의 속성 이외의 다른 것에 의지하지 않았습니다. 즉, 입체적 문제를 해결하기 위해 최소한의 입체적 구조를 사용했습니다. 이것의 이득은 다소 성가신 계산에 의해 부분적으로 "소멸"됩니다. 그러나 그것들은 상당히 알고리즘적입니다!

2. 좌표계 및 밑면과 함께 정육각형 피라미드를 그립니다.

선과 선 사이의 각도를 찾아야 합니다. 따라서 우리의 작업은 점의 좌표를 찾는 것으로 축소됩니다. 우리는 작은 그림에서 마지막 세 개의 좌표를 찾고 점의 좌표를 통해 꼭짓점의 좌표를 찾습니다. 할 일이 많지만 시작해야 합니다!

a) 좌표: 해당 응용 프로그램과 세로 좌표가 0임이 분명합니다. 가로 좌표를 찾아봅시다. 이렇게하려면 직각 삼각형을 고려하십시오. 아아, 우리는 빗변 만 알고 있습니다. 우리는 다리를 찾으려고 노력할 것입니다 (다리 길이의 두 배가 우리에게 점의 가로 좌표를 줄 것이 분명하기 때문에). 어떻게 그녀를 찾을 수 있습니까? 피라미드 바닥에 어떤 모습이 있는지 기억해 볼까요? 이것은 정육각형입니다. 무슨 뜻인가요? 이것은 모든면과 모든 각도가 동일하다는 것을 의미합니다. 우리는 그러한 코너를 찾아야 합니다. 어떤 아이디어? 많은 아이디어가 있지만 공식이 있습니다.

정 n각형의 각의 합은 .

따라서 정육각형의 각의 합은 도입니다. 그러면 각 각도는 다음과 같습니다.

그림을 다시 봅시다. 세그먼트가 각도의 이등분선이라는 것은 분명합니다. 그러면 각도는 도입니다. 그 다음에:

그럼 어디.

그래서 좌표가 있습니다

b) 이제 점의 좌표를 쉽게 찾을 수 있습니다.

c) 점의 좌표를 찾습니다. 가로 좌표가 세그먼트의 길이와 일치하므로 동일합니다. 세로 좌표를 찾는 것도 그리 어렵지 않습니다. 우리가 점을 연결하고 선의 교차점을 나타내는 경우에 대해 말하십시오. (간단한 건설을 스스로하십시오). 따라서 점 B의 세로 좌표는 세그먼트 길이의 합과 같습니다. 다시 삼각형을 보자. 그 다음에

그런 다음 이후 점에는 좌표가 있습니다.

d) 이제 점의 좌표를 찾으십시오. 직사각형을 고려하고 다음을 증명하십시오. 따라서 점의 좌표는 다음과 같습니다.

e) 꼭짓점의 좌표를 찾는 것이 남아 있습니다. 그 가로 좌표와 세로 좌표가 점의 가로 좌표와 세로 좌표와 일치하는 것이 분명합니다. 앱을 찾아보자. 그때부터. 직각 삼각형을 고려하십시오. 문제의 상태에 따라 측면 가장자리. 이것은 내 삼각형의 빗변입니다. 그런 다음 피라미드의 높이는 다리입니다.

그런 다음 점에는 좌표가 있습니다.

그게 다야, 나는 모든 관심 지점의 좌표를 가지고 있습니다. 직선 방향 벡터의 좌표를 찾고 있습니다.

우리는 이 벡터들 사이의 각도를 찾고 있습니다:

답변:

다시 말하지만, 이 문제를 풀 때 나는 정삼각형의 코사인과 사인의 정의뿐만 아니라 일반 n각형의 각도의 합에 대한 공식을 제외하고는 정교한 트릭을 사용하지 않았습니다.

3. 피라미드에서 모서리의 길이가 다시 주어지지 않았으므로 계산할 것입니다. 하나와 동일. 따라서 측면뿐만 아니라 모든 모서리가 서로 같기 때문에 피라미드의 바닥과 나는 정사각형이 있고 측면은 정삼각형입니다. 문제의 텍스트에 제공된 모든 데이터를 표시하는 그러한 피라미드와 평면의 기초를 묘사합시다.

우리는 와 사이의 각도를 찾고 있습니다. 나는 점들의 좌표를 찾을 때 아주 간단한 계산을 할 것이다. 다음과 같이 "해독"해야 합니다.

b) - 세그먼트의 중간. 그녀의 좌표:

c) 삼각형에서 피타고라스 정리를 사용하여 선분의 길이를 구하겠습니다. 나는 삼각형에서 피타고라스 정리에 의해 찾을 것입니다.

좌표:

d) - 세그먼트의 중간. 그 좌표는

e) 벡터 좌표

f) 벡터 좌표

g) 각도 찾기:

큐브 - 가장 단순한 그림. 나는 당신이 그것을 스스로 알아낼 수 있다고 확신합니다. 4번과 5번 문제에 대한 답은 다음과 같습니다.

선과 평면 사이의 각도 찾기

자, 간단한 퍼즐의 시대는 끝났습니다! 이제 예제는 훨씬 더 어려울 것입니다. 선과 평면 사이의 각도를 찾기 위해 다음과 같이 진행합니다.

세 점을 사용하여 평면의 방정식을 작성합니다.
,
3차 행렬식을 사용합니다.
두 점으로 우리는 직선의 방향 벡터의 좌표를 찾고 있습니다.
직선과 평면 사이의 각도를 계산하는 공식을 적용합니다.

보시다시피, 이 공식은 두 선 사이의 각도를 찾는 데 사용한 공식과 매우 유사합니다. 오른쪽의 구조는 동일하고 왼쪽에서 이전과 같이 코사인이 아닌 사인을 찾고 있습니다. 글쎄, 하나의 불쾌한 행동이 추가되었습니다 - 평면의 방정식에 대한 검색.

서두르지 맙시다 해결 예:

1. Os-no-va-ni-em straight-my Prize-we are-la-et-xia equal-but-poor-ren-ny triangle-nick you-with- that Prize-we are equal. 직선과 평면이 이루는 각 구하기

2. 서쪽 Nai-di-te에서 직사각형 pa-ral-le-le-pi-pe-de에서 직선과 평면 사이의 각도

3. 오른손 6석탄 프리즘에서는 모든 모서리가 동일합니다. 직선과 평면 사이의 각도를 찾으십시오.

4. 늑골의 서쪽에서 os-but-va-ni-em이 있는 오른쪽 삼각형 pi-ra-mi-de에서 Nai-di-te 각도, os의 ob-ra-zo-van -ny 평면 -no-va-niya 및 straight-my, 갈비뼈의 se-re-di-na를 통과하고

5. 오른쪽 사각형의 파이라미디와 윗변의 길이는 모두 같다. 점이 pi-ra-mi-dy의 bo-ko-in-th 모서리에서 se-re-di-인 경우 직선과 평면 사이의 각도를 찾으십시오.

다시, 나는 처음 두 가지 문제를 자세하게, 세 번째 문제를 간단히 해결할 것이며, 마지막 두 문제는 스스로 해결하도록 남겨두겠습니다. 또한 이미 삼각형 및 사각뿔, 그러나 프리즘으로 - 아직 아닙니다.

솔루션:

1. 프리즘과 베이스를 그립니다. 좌표계와 결합하여 문제 설명에 제공된 모든 데이터를 표시해 보겠습니다.

비율을 준수하지 않은 것에 대해 사과하지만 문제를 해결하기 위해 이것은 사실 그렇게 중요하지 않습니다. 비행기는 그냥 " 뒷벽» 내 프리즘. 그러한 평면의 방정식이 다음과 같은 형식을 갖는다고 간단히 추측하는 것으로 충분합니다.

그러나 다음과 같이 직접 표시할 수도 있습니다.

이 평면에서 임의의 세 점을 선택합니다(예: .

평면의 방정식을 만들어 봅시다.

당신을 위한 연습: 이 행렬식을 스스로 계산하십시오. 성공하셨나요? 그러면 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

또는 단순히

따라서,

예제를 해결하려면 직선의 방향 벡터의 좌표를 찾아야 합니다. 점이 원점과 일치하기 때문에 벡터의 좌표는 단순히 점의 좌표와 일치하므로 먼저 점의 좌표를 찾습니다.

이렇게하려면 삼각형을 고려하십시오. 위에서 높이(중앙값과 이등분선이기도 함)를 그려 보겠습니다. 이후 점의 세로 좌표는 동일합니다. 이 점의 가로 좌표를 찾으려면 세그먼트의 길이를 계산해야 합니다. 피타고라스 정리에 의해 다음이 있습니다.

그런 다음 점에는 좌표가 있습니다.

점은 점에 "올라간" 것입니다.

그런 다음 벡터의 좌표:

답변:

보시다시피 그러한 문제를 해결하는 데 근본적으로 어려운 것은 없습니다. 실제로 프리즘과 같은 도형의 "직선도"는 프로세스를 조금 더 단순화합니다. 이제 다음 예제로 넘어가겠습니다.

2. 우리는 평행 육면체를 그리고 그 안에 평면과 직선을 그리고 별도로 아래쪽 바닥을 그립니다.

먼저 평면의 방정식을 찾습니다. 평면에 있는 세 점의 좌표:

(처음 두 좌표는 명백한 방법, 그리고 그 점에서 그림의 마지막 좌표를 쉽게 찾을 수 있습니다.) 그런 다음 평면의 방정식을 작성합니다.

우리는 다음을 계산합니다.

방향 벡터의 좌표를 찾고 있습니다. 좌표가 점의 좌표와 일치하는 것이 분명하지 않습니까? 좌표를 찾는 방법? 이것은 적용 축을 따라 1만큼 상승한 점의 좌표입니다! . 그런 다음 원하는 각도를 찾습니다.

답변:

3. 정육각뿔을 그리고 그 안에 평면과 직선을 그린다.

여기에서는 이 문제의 해결은 말할 것도 없고 평면을 그리는 것조차 문제가 있지만 좌표 방법은 상관하지 않습니다! 그것의 주요 장점은 다재다능함에 있습니다!

평면은 세 점을 통과합니다. . 우리는 그들의 좌표를 찾고 있습니다:

하나) . 마지막 두 점의 좌표를 직접 표시하십시오. 이를 위해 육각 피라미드로 문제를 해결해야 합니다!

2) 평면의 방정식을 만듭니다.

우리는 벡터의 좌표를 찾고 있습니다: . (삼각뿔 문제를 다시 보세요!)

3) 우리는 각도를 찾고 있습니다:

답변:

보시다시피 이러한 작업에는 초자연적으로 어려운 것이 없습니다. 당신은 뿌리에 매우주의해야합니다. 마지막 두 문제에 대해서는 다음과 같은 답변만 드리겠습니다.

보시다시피 문제를 해결하는 기술은 어디에서나 동일합니다. 주요 작업은 꼭짓점의 좌표를 찾아 일부 공식으로 대체하는 것입니다. 각도 계산을 위해 다음과 같은 문제를 한 가지 더 고려해야 합니다.

두 평면 사이의 각도 계산

솔루션 알고리즘은 다음과 같습니다.

세 점에 대해 첫 번째 평면의 방정식을 찾고 있습니다.
다른 세 점에 대해 두 번째 평면의 방정식을 찾고 있습니다.
다음 공식을 적용합니다.

보시다시피, 공식은 이전 두 가지와 매우 유사하며 직선 사이 및 직선과 평면 사이의 각도를 찾고 있었습니다. 그래서 당신은 이것을 기억할 수 없을 것입니다 특별한 작업. 바로 문제로 넘어가 보겠습니다.

1. 직각기둥을 기준으로 백로가 같고, 옆면의 대각선이 같다. 평면과 상품 바닥의 평면 사이의 각도를 찾으십시오.

2. 오른쪽으로 4-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de에서 누군가의 모든 모서리가 동일하고 평면과 Ko-Stu 평면 사이의 각도의 사인을 찾으십시오. per-pen-di-ku-lyar-그러나 스트레이트-마이의 요점.

3. 일반 4개의 석탄 프리즘에서 os-no-va-nia의 측면은 동일하고 측면 가장자리는 동일합니다. 가장자리에서-me-che-점까지 그렇게. 평면 사이의 각도를 구하고

4. 오른쪽 사각기둥에서 밑변의 변이 같고 변의 모서리가 같다. 가장자리에서 me-che-to 점까지 평면 사이의 각도를 찾으십시오.

5. 입방체에서 평면과 평면 사이의 각도의 co-si-nus를 찾으십시오.

문제 해결:

1. 나는 올바른 것을 그립니다 (밑변은 정삼각형입니다) 삼각 프리즘문제의 상태에 나타나는 평면을 표시하십시오.

우리는 두 평면의 방정식을 찾아야 합니다. 기본 방정식은 간단하게 얻습니다. 세 점에 대해 해당 행렬식을 만들 수 있지만 저는 즉시 방정식을 만들 것입니다.

이제 방정식을 찾아봅시다. Point는 좌표를 가지고 있습니다. Point - 이후 - 삼각형의 중앙값과 높이, 삼각형에서 피타고라스 정리로 쉽게 찾을 수 있습니다. 그런 다음 점에는 좌표가 있습니다. 점의 적용을 찾으십시오. 이렇게 하려면 직각 삼각형을 고려하십시오.

그런 다음 다음 좌표를 얻습니다. 평면의 방정식을 구성합니다.

평면 사이의 각도를 계산합니다.

답변:

2. 그림 만들기:

가장 어려운 점은 한 점을 수직으로 지나며 어떤 신비한 평면인지 이해하는 것입니다. 글쎄, 중요한 것은 그것이 무엇입니까? 중요한 것은 주의력입니다! 실제로 선은 수직입니다. 선도 수직입니다. 그러면 이 두 선을 지나는 평면은 선에 수직이 되고, 그런데 그 점을 지나게 됩니다. 이 평면은 피라미드의 꼭대기도 통과합니다. 그런 다음 원하는 비행기 - 그리고 비행기는 이미 우리에게 주어졌습니다. 우리는 점의 좌표를 찾고 있습니다.

우리는 점을 통해 점의 좌표를 찾습니다. 점의 좌표가 다음과 같을 것이라는 작은 그림을 보면 쉽게 추론할 수 있습니다. 피라미드 꼭대기의 좌표를 찾기 위해 이제 남은 것은 무엇입니까? 여전히 높이를 계산해야 합니다. 이것은 동일한 피타고라스 정리를 사용하여 수행됩니다. 먼저 (밑변에서 정사각형을 형성하는 작은 삼각형에서) 증명하십시오. 조건에 따라 다음이 있습니다.

이제 모든 것이 준비되었습니다. 정점 좌표:

우리는 평면의 방정식을 구성합니다.

당신은 이미 행렬식 계산의 전문가입니다. 쉽게 얻을 수 있습니다:

또는 그렇지 않으면 (두 부분에 2의 루트를 곱하면)

이제 평면의 방정식을 구해봅시다.

(평면 방정식을 구하는 방법을 잊지 않았습니까? 이 빼기 1이 어디에서 왔는지 이해하지 못하면 평면 방정식의 정의로 돌아가십시오! 그것은 항상 그 이전에 나타났습니다. 내 비행기가 원점에 속했다는 것을!)

우리는 행렬식을 계산합니다.

(평면의 방정식이 점을 지나는 직선의 방정식과 일치하는 것을 알 수 있습니다! 왜 그런지 생각해보세요!)

이제 각도를 계산합니다.

사인을 찾아야 합니다.

답변:

3. 까다로운 질문: 무엇 직사각형 프리즘, 당신은 어떻게 생각하십니까? 그것은 당신에게 잘 알려진 평행선입니다! 바로 그리기! 기초를 별도로 묘사 할 수도 없으며 여기에서 거의 사용하지 않습니다.

앞에서 언급했듯이 평면은 다음 방정식으로 작성됩니다.

이제 비행기를 만듭니다.

우리는 즉시 평면 방정식을 구성합니다.

각도를 찾고

이제 마지막 두 문제에 대한 답변:

자, 지금은 휴식을 취해야 할 때입니다. 당신과 나는 훌륭하고 훌륭한 일을 해냈기 때문입니다!

좌표 및 벡터. 고급 레벨

이 기사에서 우리는 좌표 방법을 사용하여 해결할 수 있는 또 다른 종류의 문제인 거리 문제에 대해 논의할 것입니다. 즉, 다음과 같은 경우를 고려합니다.

기울어진 선 사이의 거리를 계산합니다.

복잡성이 증가함에 따라 주어진 작업을 주문했습니다. 가장 쉬운 것은 찾기 평면 거리를 가리킴그리고 가장 어려운 부분은 찾기 교차 선 사이의 거리. 물론 불가능한 것은 없습니다! 미루지 말고 즉시 첫 번째 유형의 문제에 대한 고려를 진행합시다.

점에서 평면까지의 거리 계산

이 문제를 해결하려면 무엇이 필요합니까?

1. 포인트 좌표

따라서 필요한 모든 데이터를 얻는 즉시 다음 공식을 적용합니다.

당신은 이미 지난 부분에서 분석한 이전 문제에서 평면의 방정식을 만드는 방법을 알고 있어야 합니다. 바로 본론으로 들어가겠습니다. 계획은 다음과 같습니다. 1, 2 - 나는 당신이 결정하는 것을 돕습니다. 그리고 어느 정도 자세하게는 3, 4 - 대답 만하면 스스로 결정을 내리고 비교합니다. 시작했습니다!

작업:

1. 큐브가 주어집니다. 정육면체의 모서리 길이는 절단에서 평면까지의 se-re-di-ny에서 di-te 거리 찾기

2. 주어진 오른쪽-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe edge 백로-온 os-no-va-nia는 동일합니다. 한 점에서 평면까지의 거리를 찾으십시오.

3. os-but-va-ni-em이 있는 직각삼각형 pi-ra-mi-de에서 다른 모서리는 동일하고 100-ro-on os-no-vaniya는 동일합니다. 상단에서 평면까지의 거리를 찾으십시오.

4. 오른손잡이 6석탄 프리즘에서는 모든 모서리가 동일합니다. 한 점에서 평면까지의 거리를 구합니다.

솔루션:

1. 단일 모서리가 있는 큐브를 그리고 세그먼트와 평면을 만들고 세그먼트의 중간을 문자로 표시합니다.

먼저, 쉬운 것부터 시작하겠습니다: 점의 좌표를 찾으십시오. 그 이후로 (세그먼트 중간의 좌표를 기억하십시오!)

이제 우리는 세 점에서 평면의 방정식을 작성합니다.

\[\왼쪽| (\begin(배열)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(배열)) \right| = 0\]

이제 거리를 찾기 시작할 수 있습니다.

2. 모든 데이터를 표시하는 그림으로 다시 시작합니다!

피라미드의 경우 밑면을 별도로 그리는 것이 좋습니다.

닭발처럼 그린다고 해도 이 문제를 쉽게 풀 수는 없습니다!

이제 점의 좌표를 쉽게 찾을 수 있습니다.

점의 좌표 때문에

2. 점의 좌표가 선분의 중간이므로

평면에서 더 많은 두 점의 좌표를 쉽게 찾을 수 있습니다. 평면의 방정식을 작성하고 단순화합니다.

\[\왼쪽| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(배열)) \right|) \right| = 0\]

점에 좌표가 있으므로 거리를 계산합니다.

답변(매우 드물게!):

자, 이해하셨나요? 여기에 있는 모든 것이 이전 부분에서 고려한 예와 마찬가지로 기술적인 것 같습니다. 따라서 해당 자료를 숙달했다면 나머지 두 문제를 해결하는 데 어려움이 없을 것이라고 확신합니다. 답변을 드리겠습니다.

선에서 평면까지의 거리 계산

사실 여기에 새로운 것은 없습니다. 선과 평면은 어떻게 서로에 대해 상대적으로 위치할 수 있습니까? 그들은 모든 가능성을 가지고 있습니다. 교차하거나 직선이 평면에 평행합니다. 주어진 선이 교차하는 평면에서 선까지의 거리는 얼마라고 생각합니까? 그러한 거리가 0과 같은 것이 분명한 것 같습니다. 흥미롭지 않은 경우.

두 번째 경우는 더 까다롭습니다. 여기서 거리는 이미 0이 아닙니다. 그러나 선은 평면에 평행하므로 선의 각 점은 이 평면에서 등거리에 있습니다.

따라서:

그리고 이것은 내 작업이 이전 작업으로 축소되었음을 의미합니다. 우리는 선상의 임의의 점의 좌표를 찾고, 평면의 방정식을 찾고, 점에서 평면까지의 거리를 계산합니다. 사실, 시험에서 그러한 작업은 극히 드뭅니다. 나는 겨우 하나의 문제를 발견할 수 있었고 그 안에 있는 데이터는 좌표 방법이 그것에 별로 적용되지 않는 정도였습니다!

이제 훨씬 더 중요한 또 다른 종류의 문제로 넘어가 보겠습니다.

점에서 선까지의 거리 계산하기

무엇이 필요할까요?

1. 우리가 거리를 찾고 있는 점의 좌표:

2. 직선에 있는 임의의 점의 좌표

3. 직선의 방향 벡터 좌표

어떤 공식을 사용합니까?

이 분수의 분모가 당신에게 의미하는 바는 무엇이며 명확해야 합니다. 이것은 직선의 방향 벡터의 길이입니다. 여기 매우 까다로운 분자가 있습니다! 표현은 벡터의 벡터곱의 모듈(길이)을 의미하며, 벡터곱을 계산하는 방법은 앞 작업에서 공부하였다. 지식을 새로 고침하십시오. 이제 우리에게 매우 유용할 것입니다!

따라서 문제 해결 알고리즘은 다음과 같습니다.

1. 우리는 거리를 찾고 있는 점의 좌표를 찾고 있습니다.

2. 우리는 거리를 찾고 있는 선 상의 임의의 점의 좌표를 찾고 있습니다.

3. 벡터 만들기

4. 직선의 방향 벡터를 만듭니다.

5. 외적 계산

6. 결과 벡터의 길이를 찾고 있습니다.

7. 거리 계산:

우리는 할 일이 많고 예제가 상당히 복잡할 것입니다! 그러니 이제 모든 관심을 집중하세요!

1. Dana는 꼭짓점이 있는 오른손잡이 삼각형 pi-ra-mi-da입니다. 백로온 os-no-va-niya pi-ra-mi-dy는 평등하고, you-so-ta는 평등합니다. bo-ko-th edge의 se-re-di-ny에서 직선까지의 거리를 찾으십시오. -스티븐-하지만.

2. 갈비뼈의 길이와 right angle-no-para-ral-le-le-pi-pe-da의 길이가 각각 같고, top-shi-ny에서 straight-my까지의 Find-di-te 거리

3. 오른쪽 6개의 석탄 프리즘에서 떼의 모든 모서리는 한 점에서 직선까지의 거리와 동일합니다.

솔루션:

1. 우리는 모든 데이터를 표시하는 깔끔한 그림을 만듭니다.

할 일이 많습니다! 먼저 우리가 무엇을 찾고 어떤 순서로 찾을 것인지 말로 설명하고 싶습니다.

1. 점의 좌표와

2. 포인트 좌표

3. 점의 좌표와

4. 벡터의 좌표와

5. 그들의 외적

6. 벡터 길이

7. 벡터 곱의 길이

8. 에서 까지의 거리

글쎄요, 우리는 할 일이 많습니다! 소매를 걷어 올리자!

1. 피라미드 높이의 좌표를 찾으려면 점의 좌표를 알아야 합니다. 적용 대상은 0이고 세로 좌표는 가로 좌표와 같습니다. 마지막으로 좌표를 얻었습니다.

점 좌표

2. - 세그먼트의 중간

3. - 세그먼트의 중간

중간점

4.좌표

벡터 좌표

5. 벡터 곱을 계산합니다.

6. 벡터의 길이: 가장 쉬운 방법은 선분을 삼각형의 중간 선으로 바꾸는 것입니다. 즉, 밑변의 절반과 같음을 의미합니다. 하도록 하다.

7. 벡터 곱의 길이를 고려합니다.

8. 마지막으로 거리를 구합니다.

휴, 그게 다야! 솔직히 말해서, 이 문제를 전통적인 방법(구성을 통해)으로 해결하는 것이 훨씬 빠를 것입니다. 그러나 여기에서는 모든 것을 기성품 알고리즘으로 줄였습니다! 솔루션 알고리즘이 명확하다고 생각하십니까? 따라서 나머지 2가지 문제는 스스로 해결해 주시길 부탁드립니다. 답변을 비교하시겠습니까?

다시 말하지만, 좌표 방법에 의존하는 것보다 구성을 통해 이러한 문제를 해결하는 것이 더 쉽습니다(빠르게). 나는 당신이 "아무것도 완료하지 않는" 보편적인 방법을 보여주기 위해 이 해결 방법을 시연했습니다.

마지막으로 문제의 마지막 클래스를 고려하십시오.

기울어진 선 사이의 거리 계산

여기서 문제 해결 알고리즘은 이전 알고리즘과 유사합니다. 우리가 가진 것:

3. 첫 번째 선과 두 번째 선의 점을 연결하는 벡터:

선 사이의 거리는 어떻게 구합니까?

공식은 다음과 같습니다.

분자는 혼합 곱의 모듈(이전 부분에서 소개함)이고 분모는 이전 공식(선의 방향 벡터의 벡터 곱의 모듈, 우리가 보고 있는 거리 을 위한).

나는 당신에게 그것을 상기시킬 것입니다

그 다음에 거리 공식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.:

이 행렬식을 행렬식으로 나눕니다! 솔직히 말해서, 나는 여기서 농담을 할 기분이 아닙니다! 이 공식, 실제로는 매우 번거롭고 계산이 복잡합니다. 내가 너라면 최후의 수단으로 만 사용할 것입니다!

위의 방법을 사용하여 몇 가지 문제를 해결해 보겠습니다.

1. 오른쪽 삼각형 프리즘에서 모든 모서리가 어떻게 든 동일하고 직선과 직선 사이의 거리를 찾으십시오.

2. 오른쪽 앞머리 모양의 삼각기둥이 주어졌을 때, 누군가의 os-no-va-niya의 모든 모서리는 Se-che-tion과 같으며, 다른 쪽 갈비뼈와 se-re-di-nu 갈비뼈를 지나는 것은 다음과 같습니다. yav-la-et-sya square-ra-tom. 스트레이트-위-미(straight-we-mi)와

내가 첫 번째를 결정하고, 그것에 따라 두 번째를 결정하십시오!

1. 프리즘을 그려 선을 표시하거나

점 C 좌표: 다음

점 좌표

벡터 좌표

점 좌표

벡터 좌표

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(배열)(*(20)(l))(\begin(배열)(*(20)(c))0&1&0\end(배열))\\(\begin(배열)(*(20) (c))0&0&1\end(배열))\\(\begin(배열)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(배열))\end(배열)) \right| = \frac((\제곱 3 ))(2)\]

벡터와 벡터 사이의 외적을 고려합니다.

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(배열)(l)\begin(배열)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(배열)\\\begin(배열 )(*(20)(c))0&0&1\end(배열)\\\begin(배열)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(배열)\end(배열) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

이제 우리는 길이를 고려합니다.

답변:

이제 조심스럽게 두 번째 작업을 완료하십시오. 이에 대한 대답은 다음과 같습니다.

좌표 및 벡터. 간단한 설명 및 기본 공식

벡터는 유향 세그먼트입니다. - 벡터의 시작, - 벡터의 끝.
벡터는 또는로 표시됩니다.

절대값 vector - 벡터를 나타내는 세그먼트의 길이. 로 지정함.

벡터 좌표:

,
벡터 \displaystyle a 의 끝은 어디입니까?

벡터의 합: .

벡터의 곱:

벡터의 내적:

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