속성 및 그래프의 역함수 결정. 상호 역 함수

집합 $X$와 $Y$가 실수 집합에 포함되도록 합니다. 가역 함수의 개념을 소개하겠습니다.

정의 1

$f:X\에서 Y$로 집합 $X$를 집합 $Y$로 매핑하는 함수는 $x_1,x_2\in X$ 요소에 대해 $x_1\ne x_2$가 $f(x_1)\ne f(x_2)$.

이제 역함수의 개념을 소개할 수 있습니다.

정의 2

$f:X\to Y$ 함수를 $X$ 세트를 $Y$ 세트로 매핑하는 함수가 반전 가능하도록 합니다. 그런 다음 $f^(-1):Y\to X$ 함수는 $Y$ 집합을 $X$ 집합으로 매핑하고 $f^(-1)\left(y\right)=x$ 조건으로 정의됩니다. $f( x)$의 역함수라고 합니다.

정리를 공식화합시다.

정리 1

$y=f(x)$ 함수가 정의되어 $X$ 구간에서 단조 증가(감소)하고 연속적입니다. 그런 다음, 이 함수 값의 해당 구간 $Y$에서 역함수를 가지며, 이 역시 $Y$ 구간에서 단조 증가(감소)하고 연속적입니다.

이제 상호 역함수의 개념을 직접 소개하겠습니다.

정의 3

정의 2의 프레임워크 내에서 $f(x)$ 및 $f^(-1)\left(y\right)$ 함수는 상호 역함수라고 합니다.

상호 역함수의 속성

$y=f(x)$ 및 $x=g(y)$ 함수를 상호 역함수라고 하면

$y=f(g\left(y\right))$ 및 $x=g(f(x))$

$y=f(x)$ 함수의 정의역은 $\ x=g(y)$ 함수 값의 정의역과 같습니다. 그리고 $x=g(y)$ 함수의 정의역은 $\ y=f(x)$ 함수 값의 정의역과 같습니다.

$y=f(x)$ 및 $x=g(y)$ 함수의 그래프는 직선 $y=x$에 대해 대칭입니다.

기능 중 하나가 증가(감소)하면 다른 기능도 증가(감소)합니다.

역함수 찾기

변수 $x$에 대한 방정식 $y=f(x)$가 풀립니다.

구한 근에서 $X$ 구간에 속하는 근을 찾습니다.

발견된 $x$는 번호 $y$에 할당됩니다.

실시예 1

$X=[-1,0]$ 구간에서 $y=x^2$ 함수에 대한 역함수 찾기

이 함수는 $X$ 구간에서 감소하고 연속적이므로 $Y=$ 구간에서도 이 구간에서 감소하고 연속적입니다(정리 1).

$x$ 계산:

\ \

적절한 $x$를 선택하십시오.

답변:역함수 $y=-\sqrt(x)$.

역함수를 찾는 문제

이 부분에서는 일부 기본 함수에 대한 역함수를 고려합니다. 작업은 위에 주어진 계획에 따라 해결됩니다.

실시예 2

$y=x+4$ 함수에 대한 역함수 찾기

$y=x+4$ 방정식에서 $x$ 찾기:

실시예 3

$y=x^3$ 함수에 대한 역함수 찾기

결정.

함수는 정의의 전체 영역에서 증가하고 연속적이므로 정리 1에 의해 역연속 및 증가 함수를 갖습니다.

$y=x^3$ 방정식에서 $x$ 찾기:

$x$의 적절한 값 찾기

우리의 경우 값이 적합합니다(범위가 모두 숫자이기 때문에)

변수를 재정의하면 역함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

실시예 4

$$ 구간에서 $y=cosx$ 함수에 대한 역함수 찾기

결정.

$X=\left$ 집합에서 $y=cosx$ 함수를 고려하십시오. $X$ 집합에서 연속적이고 감소하며 집합 $X=\left$를 집합 $Y=[-1,1]$에 매핑하므로 역 연속 단조 함수의 존재에 대한 정리에 의해, $ Y$ 집합의 $y=cosx$ 함수에는 역함수가 있습니다. 역함수도 연속적이고 $Y=[-1,1]$ 집합에서 증가하고 $[-1,1]$ 집합을 매핑합니다. $\left$ 세트로.

$y=cosx$ 방정식에서 $x$ 찾기:

$x$의 적절한 값 찾기

변수를 재정의하면 역함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

실시예 5

$\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ 구간에서 $y=tgx$ 함수에 대한 역함수를 찾습니다.

결정.

$X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ 집합에서 $y=tgx$ 함수를 고려하십시오. $X$ 집합에서 연속적이고 증가하며 $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ 집합을 $Y 집합에 매핑합니다. =R$ 따라서 역연속 모노톤 함수의 존재에 대한 정리에 의해 집합 $Y$의 함수 $y=tgx$는 역함수를 가지며, 이는 또한 연속적이고 집합 $Y=R에서 증가합니다. $ 및 $R$ 집합을 $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ 집합에 매핑합니다.

$y=tgx$ 방정식에서 $x$ 찾기:

$x$의 적절한 값 찾기

변수를 재정의하면 역함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

역함수란? 주어진 함수의 역함수를 찾는 방법은 무엇입니까?

정의 .

함수 y=f(x)를 집합 D에 대해 정의하고 E를 해당 값의 집합이라고 가정합니다. 에 대한 역함수함수 y=f(x)는 함수 x=g(y)로, 집합 E에 대해 정의되고 f(x)=y가 되도록 각 y∈E에 값 x∈D를 할당합니다.

따라서 함수 y=f(x)의 영역은 역함수의 영역이고 y=f(x)의 영역은 역함수의 영역입니다.

주어진 함수 y=f(x)의 역함수를 찾으려면 :

1) 함수 공식에서 y 대신 x - y 대신 x를 대체합니다.

2) 결과 등식에서 y를 x로 표현합니다.

함수 y=2x-6의 역함수를 찾습니다.

y=2x-6 및 y=0.5x+3 함수는 서로 반대입니다.

직접 및 역함수의 그래프는 직선 y=x에 대해 대칭입니다.(I 및 III 좌표 분기의 이등분선).

y=2x-6 및 y=0.5x+3 - . 선형 함수의 그래프는 입니다. 직선을 그리려면 두 점을 취합니다.

방정식 x=f(y)가 고유한 솔루션을 가질 때 x에 대해 y를 고유하게 표현할 수 있습니다. 이것은 함수 y=f(x)가 정의 영역의 단일 지점에서 각 값을 취하는 경우 수행할 수 있습니다(이러한 함수를 거꾸로 할 수 있는).

정리(함수가 역함수가 되기 위한 필요충분조건)

함수 y=f(x)가 정의되고 수치적 간격에서 연속적인 경우 함수가 가역적이기 위해서는 f(x)가 엄격하게 단조적이어야 하는 것이 필요하고 충분합니다.

또한, y=f(x)가 구간에서 증가하면 이에 반대되는 함수도 이 구간에서 증가합니다. y=f(x)가 감소하면 역함수도 감소합니다.

전체 정의 영역에서 가역성 조건이 충족되지 않으면 함수가 증가하거나 감소하는 구간만 골라낼 수 있으며 이 구간에서 주어진 것과 반대되는 함수를 찾을 수 있습니다.

고전적인 예는 . 사이

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - 홀수 함수, 그래프는 점 O (0, 0)에 대해 대칭입니다.

x = 0에서 arcsin x = 0.

arcsin x > 0 at x є (0; 1]

아크신 엑스< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x는 x є [-1; 1]에 대해 증가합니다.

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>아크신 x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

아크 코사인

코사인 함수는 세그먼트에서 감소하고 -1에서 1까지의 모든 값을 취합니다. 따라서 |a|1과 같은 임의의 숫자 a에 대해 세그먼트의 방정식 cosx=a에 단일 근이 있습니다. 이 숫자 in은 숫자 a의 아크코사인이라고 하며 arcos a로 표시됩니다.

정의 . 숫자 a의 아크 코사인(-1 a 1)은 코사인이 a와 같은 세그먼트의 숫자입니다.

속성.

전자(y) =
y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.
x = 1에서 arccos x = 0
arccos x > 0 at x є [-1; 1)

아크코스 x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x는 모든 x є [-1; 1]에 대해 감소합니다.

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - 감소합니다.

아크탄젠트

접선 함수는 세그먼트에서 증가합니다.
, 따라서 루트 정리에 따르면 방정식 tgx \u003d a(여기서 a는 실수임)는 간격 -에서 고유한 루트 x를 갖습니다. 이 근을 숫자 a의 아크 탄젠트라고 하며 arctga로 표시합니다.

정의. 숫자의 아크 탄젠트 ㅏ아르 자형 이 숫자를 x라고 합니다. , 그의 탄젠트는 a입니다.

속성.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - 함수가 홀수이고 그래프가 점 O(0, 0)에 대해 대칭입니다.

arctg x = 0에서 x = 0

함수는 x є R에 대해 증가합니다.

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>아크티지 x 1< arctg х 2

아크 탄젠트

간격 (0;)에 대한 코탄젠트 함수는 감소하고 R의 모든 값을 취합니다. 따라서 간격 (0;)의 모든 숫자 a에 대해 방정식 ctg x \u003d a의 단일 근이 있습니다. 이 숫자 a를 숫자 a의 아크 탄젠트라고 하며 arcctg a로 표시합니다.

정의. 숫자 a의 아크 탄젠트(여기서 R은 간격(0;))의 숫자입니다. , 그의 코탄젠트는 이다.

속성.

E(y) = (0, π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

arcctg x = 0- 존재하지 않는다.

기능 y = arcctg x감소 х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

함수는 모든 x є R에 대해 연속적입니다.

2.3 역삼각 함수를 포함하는 표현식의 항등 변환

예 1 . 식을 단순화합니다.

ㅏ)
어디

결정. 넣어보자
. 그 다음에
그리고
찾다
, 우리는 관계를 사용합니다
우리는 얻는다
하지만 . 이 세그먼트에서 코사인은 양수 값만 사용합니다. 따라서,
, 즉
어디
.

비)

결정.

에)

결정. 넣어보자
. 그 다음에
그리고
우리가 공식을 사용하는 것을 먼저 찾자.
, 어디
코사인은 이 구간에서 양수 값만 취하므로
.

수업 목표:

교육적인:

프로그램 자료에 따라 새로운 주제에 대한 지식을 형성합니다.
함수의 가역성의 속성을 연구하고 주어진 함수에 역함수를 찾는 방법을 가르칩니다.

개발 중:

자기 통제 기술, 주제 연설을 개발하십시오.
역함수의 개념을 마스터하고 역함수를 찾는 방법을 배웁니다.

교육적: 의사 소통 능력을 형성합니다.

장비:컴퓨터, 프로젝터, 스크린, SMART Board 대화형 화이트보드, 그룹 작업용 유인물(독립 작업).

수업 중.

1. 조직적 순간.

표적 – 학생들이 교실에서 일할 수 있도록 준비:

결석의 정의,

일에 대한 학생들의 태도, 관심의 조직;

수업의 주제와 목적에 대한 메시지.

2. 학생들의 기본 지식 업데이트.전면 투표.

표적 - 연구된 이론적 자료의 정확성과 인식을 확립하기 위해, 다룬 자료의 반복.<Приложение 1 >

함수의 그래프는 학생들을 위한 대화형 화이트보드에 표시됩니다. 교사는 기능의 그래프를 고려하고 기능의 연구된 속성을 나열하는 작업을 공식화합니다. 학생들은 연구 설계에 따라 함수의 속성을 나열합니다. 함수 그래프의 오른쪽에 있는 교사는 대화형 화이트보드에 마커와 함께 명명된 속성을 기록합니다.

기능 속성:

연구가 끝나면 교사는 오늘 수업에서 기능의 또 다른 속성 인 가역성에 대해 알게 될 것이라고보고합니다. 새로운 자료에 대한 의미 있는 연구를 위해 교사는 학생들이 수업이 끝날 때 대답해야 하는 주요 질문에 익숙해지도록 어린이들을 초대합니다. 일반 칠판에 질문을 작성하고 각 학생에게 유인물을 제공합니다(수업 전에 배포).

가역적 기능이란?
모든 기능을 되돌릴 수 있습니까?
역 주어진 함수는 무엇입니까?
함수와 그 역함수의 정의 영역과 값 집합은 어떻게 관련되어 있습니까?
함수가 분석적으로 주어진다면 공식으로 역함수를 어떻게 정의합니까?
함수가 그래픽으로 주어진 경우 역함수를 그리는 방법은 무엇입니까?

3. 신소재에 대한 설명.

표적 - 프로그램 자료에 따라 새로운 주제에 대한 지식을 형성합니다. 함수의 가역성의 속성을 연구하고 주어진 함수에 역함수를 찾는 방법을 가르칩니다. 주제를 개발합니다.

교사는 단락의 자료에 따라 자료를 발표합니다. 대화형 게시판에서 교사는 정의 영역과 값 집합이 동일한 두 함수의 그래프를 비교하지만 함수 중 하나는 단조이고 다른 하나는 그렇지 않음으로써 학생들을 가역 함수의 개념으로 안내합니다 .

그런 다음 교사는 가역 함수의 정의를 공식화하고 대화형 화이트보드의 단조 함수 그래프를 사용하여 가역 함수 정리를 증명합니다.

정의 1: 함수 y=f(x), x X가 호출됩니다. 거꾸로 할 수 있는, 집합 X의 한 지점에서만 값을 취하는 경우.

정리: 함수 y=f(x)가 집합 X에서 모노톤이면 반전 가능합니다.

증거:

기능을 보자 y=f(x)에 의해 증가 엑스놔줘 x 1 ≠ x 2- 세트의 2점 엑스.
확실성을 위해, x 1< x 2.
그럼 무엇으로부터 x 1< x 2다음을 따른다 f(x 1) < f(x 2).
따라서 인수의 다른 값은 함수의 다른 값에 해당합니다. 기능은 되돌릴 수 있습니다.

(정리 증명 중 교사는 마커로 그림에 필요한 모든 설명을합니다)

역함수의 정의를 공식화하기 전에 교사는 학생들에게 제안된 함수 중 가역적인 함수를 결정하도록 요청합니다. 대화형 화이트보드는 함수의 그래프를 보여주고 분석적으로 정의된 여러 함수가 작성되었습니다.

비)

G) y = 2x + 5

디) y = -x 2 + 7

교사는 역함수의 정의를 소개합니다.

정의 2: 가역 함수를 보자 y=f(x)세트에 정의 엑스그리고 E(f)=Y. 각각 맞추자 와이~에서 와이그렇다면 유일한 의미 엑스, 어느 때 f(x)=y.그런 다음 정의된 함수를 얻습니다. 와이, ㅏ 엑스는 함수의 범위입니다

이 기능은 다음과 같이 표시됩니다. x=f -1(y)함수의 역함수라고 합니다. y=f(x).

학생들은 정의 영역과 역함수 값 집합 간의 관계에 대한 결론을 도출하도록 초대됩니다.

주어진 함수의 역함수를 찾는 방법에 대한 질문을 고려하기 위해 교사는 두 명의 학생을 참여시켰습니다. 전날 어린이들은 교사로부터 주어진 역함수를 찾기 위한 분석적 및 그래픽적 방법을 독립적으로 분석하는 과제를 받았습니다. 교사는 학생들이 수업을 준비하는 데 컨설턴트 역할을 했습니다.

첫 번째 학생의 메시지.

참고: 함수의 단조성은 다음과 같습니다. 충분한역함수가 존재하기 위한 조건. 그러나 그것은 아니다필요조건.

함수가 단조롭지 않지만 가역적일 때, 함수가 단조롭지 않고 가역적이지 않을 때, 단조롭고 가역적일 때 학생은 다양한 상황의 예를 들었습니다.

그런 다음 학생은 학생들에게 분석적으로 주어진 역함수를 찾는 방법을 소개합니다.

알고리즘 찾기

함수가 단조로운지 확인하십시오.
x를 y로 표현합니다.
변수 이름을 바꿉니다. x \u003d f -1 (y) 대신 y \u003d f -1 (x)를 씁니다.

그런 다음 두 가지 예를 해결하여 주어진 역함수의 함수를 찾습니다.

예 1:함수 y=5x-3에 대한 역함수가 있음을 보여주고 그 분석적 표현을 찾으십시오.

결정. 선형 함수 y=5x-3은 R에 대해 정의되고, R에 대해 증가하며, 그 범위는 R입니다. 따라서 역함수는 R에 존재합니다. 그 분석적 표현을 찾기 위해 방정식 y=5x-3을 다음과 관련하여 풉니다. 엑스; 이것은 원하는 역함수입니다. R에 의해 정의되고 증가합니다.

예 2:함수 y=x 2 , x≤0 에 대한 역함수가 있음을 보여주고 그 분석적 표현을 찾으십시오.

함수는 정의 영역에서 연속적이고 단조롭기 때문에 역전할 수 있습니다. 정의의 영역과 함수의 값 집합을 분석한 후, 역함수에 대한 분석적 표현에 대해 상응하는 결론을 내립니다.

두 번째 학생은 에 대해 발표합니다. 그래픽역함수를 찾는 방법. 설명하는 동안 학생은 대화형 화이트보드의 기능을 사용합니다.

함수 y=f(x)의 역함수 y=f -1(x)의 그래프를 얻으려면 함수 y=f(x)의 그래프를 직선에 대해 대칭적으로 변환해야 합니다. y=x.

대화형 화이트보드에 대한 설명 중에 다음 작업이 수행됩니다.

동일한 좌표계에서 함수의 그래프와 역함수의 그래프를 구성하십시오. 역함수에 대한 분석식을 작성하십시오.

4. 신소재의 1차 고정.

표적 - 연구 자료에 대한 이해의 정확성과 인식을 확립하고, 자료에 대한 기본 이해의 격차를 식별하고, 수정합니다.

학생들은 짝으로 나뉩니다. 그들은 쌍으로 작업하는 작업이 포함된 시트가 제공됩니다. 작업 완료 시간은 제한되어 있습니다(5-7분). 한 쌍의 학생은 컴퓨터에서 작업하고 이 시간 동안 프로젝터는 꺼져 있고 나머지 어린이는 학생들이 컴퓨터에서 어떻게 작업하는지 볼 수 없습니다.

시간이 끝나면(대다수의 학생이 과제를 완료했다고 가정) 대화형 화이트보드(프로젝터가 다시 켜짐)에 학생의 과제가 표시되며, 테스트 중에 과제가 완료되었음을 명확히 합니다. 한 쌍. 필요한 경우 교사는 수정 및 설명 작업을 수행합니다.

쌍으로 독립적 인 작업<부록 2 >

5. 공과의 결과.강의 전에 받았던 질문들. 수업 성적 발표.

숙제 §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

대수학과 분석의 시작. 10 학년 교육 기관의 2 부분 (프로필 수준) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova 및 기타; 에드. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

상호 역함수.

함수를 엄격하게 단조로운(증가 또는 감소)로 정의하고 이 기능의 범위 정의 영역에서 연속적으로 유지한 다음 간격에서 값 범위를 갖는 연속적이고 엄격하게 단조로운 함수가 정의됩니다. 에 대해 역이다 .

다시 말해서, 이 간격에서 증가하거나 감소하는 경우 특정 간격의 함수에 대한 역함수에 대해 이야기하는 것이 합리적입니다.

기능 에프 그리고 g 상호라고 합니다.

역함수의 개념을 전혀 고려하지 않는 이유는 무엇입니까?

이것은 방정식을 푸는 문제로 인해 발생합니다. 솔루션은 역함수의 관점에서 작성됩니다.

고려하다 역함수를 찾는 몇 가지 예 .