정의. 프리즘- 이것은 다면체이며, 모든 정점은 두 개의 평행한 평면에 있으며 동일한 두 평면에는 각각 평행한 변을 가진 동일한 다각형인 프리즘의 두 면과 이들에 있지 않은 모든 모서리가 있습니다. 평면은 평행합니다.

두 개의 동일한 면이 호출됩니다. 프리즘 베이스(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

프리즘의 다른 모든 면은 측면(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

모든 측면이 형성됨 프리즘의 측면 .

프리즘의 모든 측면은 평행 사변형입니다. .

밑면에 있지 않은 모서리를 프리즘의 측면 모서리라고 합니다( AA 1, 비비 1, CC 1, DD 1, EE 1).

프리즘 대각선 세그먼트가 호출되며, 그 끝은 프리즘의 면 중 하나에 있지 않은 프리즘의 두 정점(AD 1)입니다.

프리즘의 밑변을 연결하고 두 밑변에 동시에 수직인 선분의 길이를 프리즘 높이 .

지정:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (우회순서에서는 한 밑변의 꼭짓점을 표시한 다음 같은 순서로 다른 밑변의 꼭짓점을 표시하며, 각 변의 끝은 같은 문자로 지정하고 한 밑변에 있는 꼭짓점만 색인이없는 문자로 표시되고 다른 문자에는 색인이 있음)

프리즘의 이름은 밑면에 놓인 그림의 각도 수와 관련이 있습니다. 예를 들어 그림 1에서 밑면은 오각형이므로 프리즘은 오각기둥. 하지만 그때부터 그런 프리즘은 7개의 면을 가지고 있습니다. 칠면체(2개의 면은 프리즘의 밑면, 5개의 면은 평행사변형, 측면)

직선 프리즘 사이에서 눈에 띄는 프라이빗 뷰: 일반 프리즘.

직선 프리즘이라고합니다 옳은,베이스가 정다각형인 경우.

평행 육면체

직육면체- 밑면이 직사각형인 직육면체.

속성 및 정리:

,

여기서 d는 정사각형의 대각선입니다.
- 광장의 측면.

프리즘의 아이디어는 다음과 같이 주어집니다.

• 다양한 건축 구조;
• 어린이 장난감;
• 포장 상자;
• 디자이너 아이템 등

프리즘의 전체 및 측면 표면적

S 전체 \u003d S면 + 2S 메인,

어디 에스 풀- 총 표면적, S면- 측면 면적, 에스메인- 기본 영역

직선 프리즘의 측면 면적은 밑면 둘레와 프리즘 높이의 곱과 같습니다.

S면\u003d P 메인 * h,

어디 S면직선 프리즘의 측면 면적,

P 메인 - 직선 프리즘 밑면의 둘레,

h는 측면 모서리와 동일한 직선 프리즘의 높이입니다.

프리즘 볼륨

프리즘의 부피는 밑면의 면적과 높이의 곱과 같습니다.

정의.

이것은 밑변이 두 개의 동일한 정사각형이고 측면이 동일한 직사각형인 육각형입니다.

사이드 리브인접한 두 측면의 공통면입니다.

프리즘 높이프리즘의 밑면에 수직인 선분

프리즘 대각선- 같은 면에 속하지 않는 밑변의 두 꼭짓점을 연결하는 선분

대각선 평면- 프리즘의 대각선과 그 측면 모서리를 통과하는 평면

대각선 단면- 프리즘과 대각선의 교차점 경계. 올바른 대각선 섹션 사각기둥직사각형이다

수직 단면(직교 단면)- 이것은 프리즘과 그 측면 모서리에 수직으로 그려진 평면의 교차점입니다.

정사각기둥의 요소

그림은 해당 문자로 표시된 두 개의 일반 사각형 프리즘을 보여줍니다.

• 밑변 ABCD와 A 1 B 1 C 1 D 1은 같고 서로 평행하다
• 측면 AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C 및 CC 1 D 1 D, 각각은 직사각형
• 측면 - 프리즘의 모든 측면 면적의 합
• 전체 표면 - 모든 밑면과 측면의 면적의 합(측면과 밑면의 면적의 합)
• 사이드 리브 AA 1 , BB 1 , CC 1 및 DD 1 .
• 대각선 B 1 D
• 베이스 대각선 BD
• 대각선 단면 BB 1 D 1 D
• 수직 단면 A 2 B 2 C 2 D 2 .

정사각기둥의 성질

• 밑변은 두 개의 동일한 정사각형입니다.
• 베이스는 서로 평행
• 측면은 직사각형입니다.
• 측면은 서로 동일합니다.
• 측면은 베이스에 수직입니다.
• 측면 갈비뼈는 서로 평행하고 동일합니다.
• 모든 측면 리브에 수직이고 베이스에 평행한 수직 단면
• 수직 단면 각도 - 오른쪽
• 정사각기둥의 대각선 단면은 직사각형
• 베이스에 평행한 수직(직교 단면)

정사각기둥의 공식

문제 해결 지침

올바른 프리즘- 밑면의 프리즘이 정다각형이고 측면 모서리가 밑면의 평면에 수직입니다. 즉, 정사각기둥의 밑변에는 다음이 포함됩니다. 정사각형. (위의 일반 사각형 프리즘의 속성 참조) 메모. 이것은 기하학(단면 솔리드 기하학 - 프리즘) 작업에 대한 수업의 일부입니다. 다음은 해결에 어려움을 일으키는 작업입니다. 여기에 없는 기하학 문제를 해결해야 하는 경우 포럼에 작성하십시오.. 추출하는 동작을 나타내기 위해 제곱근기호는 문제 해결에 사용됩니다.√ .

일.

정 프리즘의 대각선은 밑변의 대각선과 프리즘의 높이로 형성 정삼각형. 따라서 피타고라스 정리에 따르면 주어진 정사각기둥의 대각선은 다음과 같습니다.
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22cm

답변: 22cm

일

결정.
정사각기둥의 밑변은 정사각형이므로 밑변(a로 표시)은 피타고라스 정리에 의해 구합니다.

A 2 + A 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

측면 높이(h로 표시)는 다음과 같습니다.

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
시간 2 + 12.5 = 16
시간 2 \u003d 3.5
시간 = √3.5

총 표면적은 측면 표면적의 합과 기본 면적의 2배입니다.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

답: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

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서적

• 테이블 세트입니다. 기하학. 10학년. 14개의 테이블 + 방법론, . 테이블은 680 x 980 mm 크기의 두꺼운 폴리그래픽 판지에 인쇄되어 있습니다. 브로셔 지침선생님을 위해. 14장으로 구성된 스터디 앨범…

프리즘. 평행 육면체

프리즘두 면이 같은 n각형인 다면체라고 합니다. (근거) , 평행한 평면에 놓여 있고 나머지 n개의 면은 평행사변형 (측면 모서리) . 사이드 리브 프리즘은 베이스에 속하지 않는 측면의 측면입니다.

측면 모서리가 밑면의 평면에 수직인 프리즘을 똑바로 프리즘(그림 1). 측면 모서리가 밑면의 평면에 수직이 아닌 경우 프리즘이 호출됩니다. 비스듬한 . 옳은 프리즘은 밑면이 정다각형인 직선 프리즘입니다.

키프리즘은베이스 평면 사이의 거리라고합니다. 대각선 프리즘은 같은 면에 속하지 않는 두 꼭짓점을 연결하는 선분입니다. 대각선 섹션 같은 면에 속하지 않는 두 변의 모서리를 지나는 평면에 의한 프리즘의 한 단면을 호출합니다. 수직 단면 프리즘의 측면 모서리에 수직인 평면에 의해 프리즘의 단면이라고 합니다.

측면 면적 프리즘은 모든 측면의 면적의 합입니다. 전체 표면적 프리즘의 모든 면의 면적의 합을 (즉, 측면의 면적과 밑변의 면적의 합)이라고 합니다.

임의의 프리즘에 대해 공식은 참입니다.:

어디 엘측면 리브의 길이입니다.

시간- 키;

피

큐

S면

에스 풀

에스메인기지의 면적입니다.

V프리즘의 부피입니다.

직선 프리즘의 경우 다음 공식이 참입니다.

어디 피- 베이스의 둘레;

엘측면 리브의 길이입니다.

시간- 키.

평행 육면체밑변이 평행사변형인 프리즘을 호출합니다. 측면 모서리가 밑변에 수직인 평행육면체를 직접 (그림 2). 측면 모서리가 밑면에 수직이 아닌 경우 평행 육면체를 호출합니다. 비스듬한 . 밑변이 직사각형인 직육면체를 직육면체라고 합니다. 직사각형. 모든 모서리가 동일한 직육면체를 입방체.

공통 꼭짓점이 없는 평행 육면체의 면을 반대 . 한 꼭짓점에서 나오는 모서리의 길이를 측정 평행 육면체. 상자는 프리즘이기 때문에 주요 요소는 프리즘에 대해 정의된 것과 동일한 방식으로 정의됩니다.

정리.

1. 직육면체의 대각선은 한 점에서 교차하여 이등분합니다.

2. 직육면체에서 대각선 길이의 제곱은 3차원의 제곱의 합과 같습니다.

3. 직육면체의 네 대각선은 모두 서로 같습니다.

임의의 평행 육면체의 경우 다음 공식이 참입니다.

어디 엘측면 리브의 길이입니다.

시간- 키;

피수직 단면의 둘레입니다.

큐– 수직 단면의 면적;

S면측면 표면적입니다.

에스 풀총 표면적입니다.

에스메인기지의 면적입니다.

V프리즘의 부피입니다.

직육면체의 경우 다음 공식이 참입니다.

어디 피- 베이스의 둘레;

엘측면 리브의 길이입니다.

시간오른쪽 평행 육면체의 높이입니다.

직육면체의 경우 다음 공식이 참입니다.

(3)

어디 피- 베이스의 둘레;

시간- 키;

디- 대각선;

알파벳– 평행 육면체의 측정.

큐브에 대한 올바른 공식은 다음과 같습니다.

어디 ㅏ늑골의 길이입니다.

디큐브의 대각선입니다.

실시예 1직사각형 직육면체의 대각선은 33dm이고 그 치수는 2:6:9와 관련이 있습니다. 직육면체의 치수를 찾으십시오.

결정.평행 육면체의 치수를 찾기 위해 공식 (3), 즉 직육면체의 빗변의 제곱은 치수의 제곱의 합과 같다는 사실. 로 나타내다 케이비례 계수. 그러면 평행 육면체의 치수는 2와 같습니다. 케이, 6케이그리고 9 케이. 문제 데이터에 대한 공식 (3)을 작성합니다.

이 방정식을 풀면 케이, 우리는 다음을 얻습니다.

따라서 평행육면체의 치수는 6dm, 18dm 및 27dm입니다.

답변: 6dm, 18dm, 27dm.

실시예 2측면 모서리가 밑변과 같고 밑변에 대해 60º의 각도로 기울어진 경우 밑변이 8cm인 정삼각형인 경사 삼각기둥의 부피를 구하십시오.

결정 . 그림을 만들어 봅시다(그림 3).

경사 프리즘의 부피를 찾으려면 밑변의 면적과 높이를 알아야 합니다. 이 프리즘의 밑면의 면적은 한 변이 8cm인 정삼각형의 면적입니다. 계산해 봅시다.

프리즘의 높이는 밑변 사이의 거리입니다. 위에서부터 하지만상단베이스의 1 하단베이스의 평면에 수직으로 내립니다. 하지만 1 디. 길이는 프리즘의 높이가 됩니다. D를 고려 하지만 1 기원 후: 사이드 리브의 경사각이기 때문에 하지만 1 하지만기본 평면으로 하지만 1 하지만= 8 cm 이 삼각형에서 우리는 하지만 1 디:

이제 공식 (1)을 사용하여 부피를 계산합니다.

답변: 192cm3.

실시예 3정육각기둥의 측면 가장자리는 14cm이고 가장 큰 대각선 단면의 면적은 168cm 2입니다. 프리즘의 총 표면적을 찾으십시오.

결정.그림을 그리자 (그림 4)

가장 큰 대각선 부분은 직사각형입니다. AA 1 DD 1, 대각선 이후 기원 후정육각형 ABCDEF가 가장 큽니다. 프리즘의 측면적을 계산하려면 베이스의 측면과 측면 리브의 길이를 알아야 합니다.

대각선 단면(직사각형)의 면적을 알면 밑변의 대각선을 찾습니다.

왜냐하면 , 그럼

그때부터 AB= 6cm

그러면 밑면의 둘레는 다음과 같습니다.

프리즘의 측면 면적을 찾으십시오.

한 변이 6cm인 정육각형의 면적은 다음과 같습니다.

프리즘의 총 표면적을 찾으십시오.

답변:

실시예 4직육면체의 밑변은 마름모입니다. 대각선 단면의 면적은 300cm 2 와 875cm 2입니다. 평행 육면체의 측면 면적을 찾으십시오.

결정.그림을 만들어 봅시다(그림 5).

마름모의 측면을 다음과 같이 표시하십시오. ㅏ, 마름모의 대각선 디 1 및 디 2, 상자의 높이 시간. 직육면체의 측면 면적을 찾으려면 밑면의 둘레에 높이를 곱해야 합니다(식 (2)). 기본 둘레 p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, 처럼 ABCD- 마름모. H = AA 1 = 시간. 저것. 찾을 필요가 ㅏ그리고 시간.

대각선 섹션을 고려하십시오. AA 1 봄 여름 시즌 1 - 한쪽이 마름모의 대각선인 직사각형 교류 = 디 1 , 두 번째 측면 가장자리 AA 1 = 시간, 그 다음에

섹션에 대해서도 마찬가지로 비비 1 DD 1 우리는 다음을 얻습니다.

대각선의 제곱의 합이 모든 변의 제곱의 합과 같도록 평행 사변형의 속성을 사용하여 평등을 얻습니다. 다음을 얻습니다.

다면체

입체 측정의 주요 연구 대상은 3차원 물체입니다. 신체어떤 표면으로 둘러싸인 공간의 일부입니다.

다면체표면이 유한한 수의 평면 다각형으로 구성된 몸체를 호출합니다. 다면체 표면의 모든 평평한 다각형 평면의 한 면에 있는 다면체를 볼록이라고 합니다. 이러한 평면과 다면체의 표면의 공통 부분을 가장자리. 볼록 다면체의 면은 평평한 볼록 다각형입니다. 얼굴의 측면이라고합니다 다면체의 모서리, 정점 다면체의 꼭짓점.

예를 들어, 정육면체는 면인 6개의 정사각형으로 구성됩니다. 12개의 모서리(정사각형의 변)와 8개의 정점(정사각형의 정점)을 포함합니다.

가장 단순한 다면체는 프리즘과 피라미드이며, 우리는 더 연구할 것입니다.

프리즘

프리즘의 정의와 속성

프리즘평행 병진에 의해 결합된 평행 평면에 놓인 두 개의 평평한 다각형과 이 다각형의 해당 점을 연결하는 모든 세그먼트로 구성된 다면체라고 합니다. 폴리곤은 프리즘 베이스, 그리고 다각형의 해당 꼭짓점을 연결하는 세그먼트는 프리즘의 측면 모서리.

프리즘 높이베이스의 평면 사이의 거리라고합니다 (). 같은 면에 속하지 않는 프리즘의 두 꼭짓점을 연결하는 선분을 프리즘 대각선(). 프리즘이라고 합니다 n-석탄베이스가 n-gon인 경우.

모든 프리즘에는 다음과 같은 속성이 있으며, 이는 프리즘의 밑면이 평행 병진으로 결합된다는 사실에서 비롯됩니다.

1. 프리즘의 밑변은 동일합니다.

2. 프리즘의 측면 모서리는 평행하고 동일합니다.

프리즘의 표면은 밑면과 측면. 프리즘의 측면은 평행사변형으로 구성됩니다(이는 프리즘의 속성에서 따옴). 프리즘의 측면 면적은 측면 면적의 합입니다.

직선 프리즘

프리즘이라고 합니다 똑바로측면 모서리가 베이스에 수직인 경우. 그렇지 않으면 프리즘이 호출됩니다. 비스듬한.

직선 프리즘의 면은 직사각형입니다. 직선 프리즘의 높이는 측면과 같습니다.

전면프리즘측면 표면적과 밑면의 면적의 합입니다.

올바른 프리즘 밑면에 정다각형이 있는 직각기둥이라고 합니다.

정리 13.1. 직선 프리즘의 측면 면적은 둘레와 프리즘 높이의 곱과 같습니다(또는 동등하게 측면 가장자리까지).

증거. 직선 프리즘의 측면은 밑변이 프리즘의 밑변에서 다각형의 변인 직사각형이고 높이는 프리즘의 측면 모서리입니다. 그런 다음 정의에 따라 측면 표면적은 다음과 같습니다.

,

직선 프리즘 밑면의 둘레는 어디에 있습니까?

평행 육면체

평행 사변형이 프리즘의 밑면에 있으면 다음이라고합니다. 평행 육면체. 평행육면체의 모든 면은 평행사변형입니다. 이 경우 평행 육면체의 반대면은 평행하고 동일합니다.

정리 13.2. 평행 육면체의 대각선은 한 점에서 교차하고 교차점이 반으로 나뉩니다.

증거. 예를 들어 두 개의 임의의 대각선을 고려하십시오. 왜냐하면 평행 육면체의 면은 평행 사변형이고, 이는 T에 따라 세 번째에 평행한 약 두 개의 직선임을 의미합니다. 또한, 이는 선과 동일한 평면(평면)에 놓여 있음을 의미합니다. 이 평면은 평행한 평면과 평행선 및 를 따라 교차합니다. 따라서 사변형은 평행사변형이며, 평행사변형의 성질상 그 대각선과 교점과 교점이 반으로 나누어져 증명해야 했습니다.

밑변이 직사각형인 직육면체를 직육면체라고 합니다. 직육면체. 직육면체의 모든 면은 직사각형입니다. 직육면체의 평행하지 않은 모서리의 길이는 선형 치수(측정). 3가지 사이즈(너비, 높이, 길이)가 있습니다.

정리 13.3. 직육면체에서 대각선의 제곱은 3차원의 제곱의 합과 같습니다. (피타고라스식 T를 두 번 적용하여 증명됨).

모든 모서리가 동일한 직육면체를 입방체.

작업

13.1 대각선은 몇 개입니까? N- 카본 프리즘

13.2 경사 삼각형 프리즘에서 측면 모서리 사이의 거리는 37, 13 및 40입니다. 더 큰 측면과 반대쪽 측면 모서리 사이의 거리를 찾으십시오.

13.3 정삼각기둥의 아래쪽 밑면을 통해 선분을 따라 측면을 교차하는 평면이 그려지며 그 사이의 각도는 입니다. 프리즘의 밑면에 대한 이 평면의 경사각을 찾으십시오.