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Equazioni irrazionali e modi per risolverle. Equazioni irrazionali

Istituzione scolastica comunale

"Scuola secondaria Kudinskaya n. 2"

Modi per risolvere equazioni irrazionali

Completato da: Egorova Olga,

Supervisore:

Insegnante

matematica,

qualificazione superiore

introduzione....……………………………………………………………………………………… 3

Sezione 1. Metodi per risolvere le equazioni irrazionali…………………………………6

1.1 Risolvere le equazioni irrazionali della parte C……….….….………………………21

Sezione 2. Compiti individuali…………………………………………….....………...24

Risposte………………………………………………………………………………………….25

Bibliografia…….…………………………………………………………………….26

introduzione

Educazione matematica ricevuta in scuola di educazione generale, è un componente essenziale educazione generale e cultura generale uomo moderno. Quasi tutto ciò che circonda una persona moderna è tutto connesso in un modo o nell'altro con la matematica. MA recenti conquiste in fisica, ingegneria e informatica non lasciano dubbi sul fatto che in futuro lo stato delle cose rimarrà lo stesso. Pertanto, la soluzione di molti problemi pratici si riduce alla soluzione vari tipi equazioni per imparare a risolvere. Uno di questi tipi sono le equazioni irrazionali.

Equazioni irrazionali

Un'equazione contenente un'incognita (o un razionale espressione algebrica dall'ignoto) sotto il segno del radicale, è chiamato equazione irrazionale. Nella matematica elementare, le soluzioni alle equazioni irrazionali si trovano nell'insieme numeri reali.

Qualsiasi ir equazione razionale con l'aiuto di operazioni algebriche elementari (moltiplicazione, divisione, elevazione di entrambe le parti dell'equazione a una potenza intera) può essere ridotta a un'equazione algebrica razionale. Allo stesso tempo, va tenuto presente che il razionale risultante equazione algebrica può risultare non equivalente all'equazione irrazionale originale, ovvero può contenere radici "extra" che non saranno le radici dell'equazione irrazionale originale. Pertanto, avendo trovato le radici dell'equazione algebrica razionale ottenuta, è necessario verificare se tutte le radici dell'equazione razionale saranno le radici dell'equazione irrazionale.

Nel caso generale, è difficile indicare un metodo universale per risolvere qualsiasi equazione irrazionale, poiché è auspicabile che a seguito di trasformazioni dell'equazione irrazionale originale, non si ottenga solo una sorta di equazione algebrica razionale, tra le radici di che ci saranno le radici di questa equazione irrazionale, ma un'equazione algebrica razionale formata da polinomi di minor grado possibile. Il desiderio di ottenere quell'equazione algebrica razionale formata da polinomi del minor grado possibile è del tutto naturale, poiché trovare tutte le radici di un'equazione algebrica razionale può essere di per sé un compito piuttosto difficile, che possiamo risolvere completamente solo in un numero molto limitato di casi.

Tipi di equazioni irrazionali

Risolvere equazioni irrazionali di grado pari causa sempre più problemi che risolvere equazioni irrazionali di grado dispari. Quando si risolvono equazioni irrazionali di grado dispari, l'ODZ non cambia. Pertanto, di seguito considereremo equazioni irrazionali, il cui grado è pari. Esistono due tipi di equazioni irrazionali:

2..

Consideriamo il primo di essi.

equazione odz: f(x)≥ 0. In ODZ, il lato sinistro dell'equazione è sempre non negativo, quindi una soluzione può esistere solo quando g(X)≥ 0. In questo caso, entrambi i lati dell'equazione sono non negativi e l'esponenziazione 2 n fornisce un'equazione equivalente. Lo capiamo

Prestiamo attenzione al fatto che mentre ODZ viene eseguito automaticamente e non puoi scriverlo, ma la condizioneg(x) ≥ 0 deve essere verificato.

Nota: Questo è molto condizione importante equivalenza. In primo luogo, libera lo studente dalla necessità di indagare e, dopo aver trovato soluzioni, verificare la condizione f(x) ≥ 0 - la non negatività dell'espressione radice. In secondo luogo, si concentra sul controllo della condizioneg(x) ≥ 0 sono la non negatività del lato destro. Dopotutto, dopo la quadratura, l'equazione è risolta cioè, due equazioni vengono risolte contemporaneamente (ma a intervalli diversi dell'asse numerico!):

1. - dove g(X)≥ 0 e

2. - dove g(x) ≤ 0.

Nel frattempo, molti, secondo l'abitudine scolastica di trovare ODZ, fanno esattamente il contrario quando risolvono tali equazioni:

a) verificare, dopo aver trovato soluzioni, la condizione f(x) ≥ 0 (che è automaticamente soddisfatta), commettere errori aritmetici e ottenere un risultato errato;

b) ignorare la condizioneg(x) ≥ 0 - e ancora una volta la risposta potrebbe essere sbagliata.

Nota: La condizione di equivalenza è particolarmente utile quando si risolvono equazioni trigonometriche, in cui trovare l'ODZ è associato alla risoluzione di disuguaglianze trigonometriche, che è molto più difficile della risoluzione di equazioni trigonometriche. Registrare equazioni trigonometriche condizioni pari g(X)≥ 0 non è sempre facile da fare.

Consideriamo il secondo tipo di equazioni irrazionali.

. Lascia che l'equazione . Il suo ODZ:

Nell'ODZ, entrambi i membri non sono negativi e la quadratura fornisce l'equazione equivalente f(x) =g(X). Pertanto, nell'ODZ o

Con questo metodo di soluzione, è sufficiente verificare la non negatività di una delle funzioni: puoi sceglierne una più semplice.

Sezione 1. Metodi per risolvere le equazioni irrazionali

1 metodo. Liberazione dai radicali elevando successivamente entrambi i lati dell'equazione alla corrispondente potenza naturale

Il metodo più comunemente usato per risolvere le equazioni irrazionali è il metodo per liberarsi dai radicali elevando successivamente entrambe le parti dell'equazione alla corrispondente potenza naturale. In questo caso, va tenuto presente che quando entrambe le parti dell'equazione sono elevate a una potenza dispari, l'equazione risultante è equivalente a quella originale e quando entrambe le parti dell'equazione sono elevate a una potenza pari, il risultato L'equazione, in generale, non sarà equivalente all'equazione originale. Questo è facile da verificare elevando entrambi i lati dell'equazione a qualsiasi potenza pari. Questa operazione risulta nell'equazione , il cui insieme di soluzioni è l'unione di insiemi di soluzioni: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Tuttavia, nonostante questo inconveniente, è la procedura per elevare entrambe le parti dell'equazione a una potenza (spesso pari) che è la procedura più comune per ridurre un'equazione irrazionale a un'equazione razionale.

Risolvi l'equazione:

In cui si sono alcuni polinomi. In virtù della definizione dell'operazione di estrazione della radice nell'insieme dei numeri reali, i valori ammissibili dell'ignoto https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 altezza=21" altezza="21">..gif " larghezza="243" altezza="28 src=">.

Poiché entrambe le parti della prima equazione erano al quadrato, potrebbe risultare che non tutte le radici della seconda equazione saranno soluzioni dell'equazione originale, è necessario controllare le radici.

Risolvi l'equazione:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Alzando entrambi i lati dell'equazione in un cubo, otteniamo

Dato che https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(L'ultima equazione potrebbe avere radici che, in generale, non sono radici del equazione ).

Alziamo entrambi i lati di questa equazione a un cubo: . Riscriviamo l'equazione nella forma x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Verificando, stabiliamo che x1 = 0 è una radice estranea dell'equazione (-2 ≠ 1), e x2 = 1 soddisfa il equazione originale.

Risposta: x = 1.

2 metodo. Sostituzione di un sistema di condizioni adiacente

Quando si risolvono equazioni irrazionali contenenti radicali di ordine pari, nelle risposte possono apparire radici estranee, che non sono sempre facili da identificare. Per facilitare l'identificazione e l'eliminazione delle radici estranee, nel corso della risoluzione di equazioni irrazionali viene immediatamente sostituita da un sistema di condizioni adiacente. Ulteriori disuguaglianze nel sistema tengono effettivamente conto dell'ODZ dell'equazione da risolvere. Puoi trovare l'ODZ separatamente e tenerne conto in seguito, ma è preferibile utilizzare sistemi di condizioni misti: c'è meno pericolo di dimenticare qualcosa, non tenerne conto nel processo di risoluzione dell'equazione. Pertanto, in alcuni casi è più razionale utilizzare il metodo di transizione ai sistemi misti.

Risolvi l'equazione:

Risposta: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Questa equazione è equivalente al sistema

Risposta: l'equazione non ha soluzioni.

3 metodo. Usando le proprietà dell'ennesima radice

Quando si risolvono equazioni irrazionali, vengono utilizzate le proprietà della radice dell'ennesimo grado. radice aritmetica n- th gradi tra un chiamare un numero non negativo, n- i il cui grado è uguale a un. Se un n- Anche( 2n), allora a ≥ 0, altrimenti la radice non esiste. Se un n- strano( 2 n+1), quindi a è qualsiasi e = - ..gif" width="45" height="19"> Allora:

2.

3.

4.

5.

Applicando una di queste formule, formalmente (senza tener conto delle restrizioni indicate), va tenuto presente che l'ODZ delle parti sinistra e destra di ciascuna di esse può essere diversa. Ad esempio, l'espressione è definita con f ≥ 0 e g ≥ 0, e l'espressione è come in f ≥ 0 e g ≥ 0, così come f ≤ 0 e g ≤ 0.

Per ciascuna delle formule 1-5 (senza tener conto delle restrizioni indicate), la ODZ della sua parte destra può essere più ampia della ODZ della sinistra. Ne consegue che le trasformazioni dell'equazione con l'uso formale delle formule 1-5 "da sinistra a destra" (come sono scritte) portano ad un'equazione che è conseguenza di quella originaria. In questo caso possono apparire radici estranee dell'equazione originale, quindi la verifica è un passaggio obbligatorio per risolvere l'equazione originale.

Le trasformazioni delle equazioni con l'uso formale delle formule 1-5 "da destra a sinistra" sono inaccettabili, poiché è possibile giudicare l'ODZ dell'equazione originale e, di conseguenza, la perdita delle radici.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

che è una conseguenza dell'originale. La soluzione di questa equazione si riduce alla soluzione dell'insieme di equazioni .

Dalla prima equazione di questo insieme troviamo https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> da dove troviamo quindi le radici data equazione possono essere solo numeri (-1) e (-2). Il controllo mostra che entrambe le radici trovate soddisfano questa equazione.

Risposta: -1,-2.

Risolvi l'equazione: .

Soluzione: in base alle identità, sostituire il primo termine con . Nota che come somma di due numeri non negativi sul lato sinistro. "Rimuovi" il modulo e, dopo aver portato termini simili, risolvi l'equazione. Poiché, otteniamo l'equazione. Dal momento che e , quindi https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Risposta: x = 4,25.

4 metodo. Introduzione di nuove variabili

Un altro esempio di risoluzione di equazioni irrazionali è il modo in cui vengono introdotte nuove variabili, rispetto alle quali si ottiene un'equazione irrazionale più semplice o un'equazione razionale.

La soluzione delle equazioni irrazionali sostituendo l'equazione con la sua conseguenza (con successivo controllo delle radici) può essere effettuata come segue:

1. Trova l'ODZ dell'equazione originale.

2. Passa dall'equazione al suo corollario.

3. Trova le radici dell'equazione risultante.

4. Verificare se le radici trovate sono le radici dell'equazione originale.

Il controllo è il seguente:

A) viene verificata l'appartenenza di ciascuna radice trovata dell'ODZ all'equazione originale. Quelle radici che non appartengono all'ODZ sono estranee all'equazione originale.

B) per ogni radice inclusa nell'ODZ dell'equazione originale, si controlla se hanno segni identici le parti sinistra e destra di ciascuna delle equazioni che sorgono nel processo di risoluzione dell'equazione originale e sono elevate a una potenza pari. Quelle radici per le quali hanno le parti di qualsiasi equazione elevata a un potere pari segni diversi, sono estranei all'equazione originale.

C) solo quelle radici che appartengono alla ODZ dell'equazione originale e per le quali entrambe le parti di ciascuna delle equazioni che sorgono nel processo di risoluzione dell'equazione originale ed elevate a potenza pari hanno lo stesso segno sono verificate per sostituzione diretta in l'equazione originale.

Tale metodo risolutivo con il metodo di verifica indicato permette di evitare calcoli macchinosi nel caso di sostituzione diretta di ciascuna delle radici trovate dell'ultima equazione in quella originaria.

Risolvi l'equazione irrazionale:

.

L'insieme dei valori ammissibili di questa equazione:

Impostando , dopo la sostituzione otteniamo l'equazione

o la sua equazione equivalente

che può essere vista come un'equazione quadratica per . Risolvendo questa equazione, otteniamo

.

Pertanto, l'insieme di soluzioni dell'equazione irrazionale originale è l'unione degli insiemi di soluzioni delle seguenti due equazioni:

, .

Cubo entrambi i lati di ciascuna di queste equazioni e otteniamo due equazioni algebriche razionali:

, .

Risolvendo queste equazioni, troviamo che questa equazione irrazionale ha un'unica radice x = 2 (non è richiesta alcuna verifica, poiché tutte le trasformazioni sono equivalenti).

Risposta: x = 2.

Risolvi l'equazione irrazionale:

Denota 2x2 + 5x - 2 = t. Quindi l'equazione originale assumerà la forma . Quadrando entrambe le parti dell'equazione risultante e portando termini simili, otteniamo l'equazione , che è una conseguenza della precedente. Da esso troviamo t=16.

Tornando all'incognita x, otteniamo l'equazione 2x2 + 5x - 2 = 16, che è una conseguenza di quella originaria. Verificando, ci assicuriamo che le sue radici x1 \u003d 2 e x2 \u003d - 9/2 siano le radici dell'equazione originale.

Risposta: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 metodo. Trasformazione dell'equazione di identità

Quando si risolvono equazioni irrazionali, non si dovrebbe iniziare a risolvere un'equazione elevando entrambe le parti delle equazioni a una potenza naturale, cercando di ridurre la soluzione di un'equazione irrazionale alla risoluzione di un'equazione algebrica razionale. In primo luogo, è necessario vedere se è possibile effettuare una trasformazione identica dell'equazione, che può semplificare notevolmente la sua soluzione.

Risolvi l'equazione:

L'insieme di valori validi per questa equazione: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Dividi questa equazione per .

.

Noi abbiamo:

Per a = 0, l'equazione non avrà soluzioni; per , l'equazione può essere scritta come

per questa equazione non ha soluzioni, poiché per qualsiasi X, appartenente all'insieme dei valori ammissibili dell'equazione, l'espressione sul lato sinistro dell'equazione è positiva;

quando l'equazione ha una soluzione

Tenendo conto che l'insieme delle soluzioni ammissibili dell'equazione è determinato dalla condizione , otteniamo infine:

Quando si risolve questa equazione irrazionale, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> la soluzione dell'equazione sarà . Per tutti gli altri valori X l'equazione non ha soluzioni.

ESEMPIO 10:

Risolvi l'equazione irrazionale: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Decisione equazione quadrata Il sistema fornisce due radici: x1 = 1 e x2 = 4. La prima delle radici ottenute non soddisfa la disuguaglianza del sistema, quindi x = 4.

Appunti.

1) L'esecuzione di trasformazioni identiche ci consente di fare a meno della verifica.

2) La disuguaglianza x – 3 ≥0 si riferisce identiche trasformazioni, e non al dominio dell'equazione.

3) C'è una funzione decrescente sul lato sinistro dell'equazione e una funzione crescente sul lato destro di questa equazione. I grafici di funzioni decrescenti e crescenti all'intersezione dei loro domini di definizione non possono avere più di un punto comune. Ovviamente, nel nostro caso, x = 4 è l'ascissa del punto di intersezione dei grafici.

Risposta: x = 4.

6 metodo. Utilizzo del dominio di definizione delle funzioni nella risoluzione di equazioni

Questo metodo è più efficace quando si risolvono equazioni che includono funzioni https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> e si trovano le definizioni dell'area (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, quindi è necessario verificare se l'equazione è vera alle estremità dell'intervallo, inoltre, se a< 0, а b >0, allora è necessario controllare gli intervalli (a;0) e . Il più piccolo intero in E(y) è 3.

Risposta: x = 3.

8 metodo. Applicazione della derivata nella risoluzione di equazioni irrazionali

Molto spesso, quando si risolvono equazioni utilizzando il metodo delle derivate, viene utilizzato il metodo di stima.

ESEMPIO 15:

Risolvi l'equazione: (1)

Soluzione: poiché https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> o (2). Considera la funzione ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> e quindi in aumento. Pertanto, l'equazione è equivalente a un'equazione che ha una radice che è la radice dell'equazione originale.

Risposta:

ESEMPIO 16:

Risolvi l'equazione irrazionale:

Il dominio di definizione della funzione è un segmento. Trova il più grande e valore più piccolo i valori di questa funzione sull'intervallo. Per fare ciò, troviamo la derivata della funzione f(X): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Troviamo i valori della funzione f(X) alle estremità del segmento e al punto: So, Ma e, quindi, l'uguaglianza è possibile solo alla condizione https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > La verifica mostra che il numero 3 è la radice di questa equazione.

Risposta: x = 3.

9 metodo. Funzionale

Negli esami, a volte si offrono di risolvere equazioni che possono essere scritte nella forma , dove è una determinata funzione.

Ad esempio, alcune equazioni: 1) 2) . Infatti, nel primo caso , nel secondo caso . Pertanto, risolvi le equazioni irrazionali usando la seguente affermazione: se una funzione è strettamente crescente sull'insieme X e per qualsiasi , allora le equazioni, ecc., sono equivalenti sull'insieme X .

Risolvi l'equazione irrazionale: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> rigorosamente in aumento sul set R, e https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > che ha una radice univoca Pertanto, anche l'equazione equivalente (1) ha una radice univoca

Risposta: x = 3.

ESEMPIO 18:

Risolvi l'equazione irrazionale: (1)

In virtù della definizione della radice quadrata, otteniamo che se l'equazione (1) ha radici, allora esse appartengono all'insieme DIV_ADBLOCK166">

. (2)

Considera la funzione https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> che aumenta rigorosamente su questo set per qualsiasi ..gif" width="100" height ="41"> che ha una sola radice Pertanto, ed equivalente ad essa sull'insieme X l'equazione (1) ha un'unica radice

Risposta: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Soluzione: questa equazione è equivalente a un sistema misto

Se l'equazione contiene una variabile sotto il segno della radice quadrata, l'equazione è chiamata irrazionale.
Considera l'equazione irrazionale

Questa uguaglianza, per definizione della radice quadrata, significa che 2x + 1 = 32. In effetti, siamo passati dall'equazione irrazionale data all'equazione razionale 2x + 1 = 9 quadrando entrambi i membri dell'equazione irrazionale. Il metodo di quadratura di entrambi i membri di un'equazione è il metodo principale per risolvere le equazioni irrazionali. Tuttavia, questo è comprensibile: in quale altro modo sbarazzarsi del segno della radice quadrata? Dall'equazione 2x + 1 = 9 troviamo x = 4.
Questa è sia la radice dell'equazione 2x + 1 = 9 che l'equazione irrazionale data.
Il metodo di squadratura è tecnicamente semplice, ma a volte crea problemi. Si consideri, ad esempio, l'equazione irrazionale

Quadrando entrambi i lati, otteniamo

Successivamente abbiamo:
2x-4x = -7 +5; -2x = -2; x = 1.
Ma il valore x - 1, essendo la radice dell'equazione razionale 2x - 5 = 4x - 7, non è la radice dell'equazione irrazionale data. Come mai? Sostituendo 1 invece di x nell'equazione irrazionale data, otteniamo . Come possiamo parlare dell'adempimento dell'uguaglianza numerica, se entrambe le sue parti sinistra e destra contengono espressioni che non hanno senso? In questi casi, dicono: x \u003d 1 è una radice estranea per una data equazione irrazionale. Si scopre che l'equazione irrazionale data non ha radici.
Risolviamo l'equazione irrazionale


-
Le radici di questa equazione possono essere trovate oralmente, come abbiamo fatto alla fine del paragrafo precedente: il loro prodotto è - 38, e la somma è - 17; è facile intuire che questi sono i numeri 2
e - 19. Quindi, x 1 \u003d 2, x 2 \u003d - 19.
Sostituendo il valore 2 invece di x nell'equazione irrazionale data, otteniamo

Questo non è vero.
Sostituendo il valore - 19 invece di x nell'equazione irrazionale data, otteniamo

Anche questo non è corretto.
Qual è la conclusione? Entrambi i valori trovati sono radici estranee. In altre parole, l'equazione irrazionale data, come la precedente, non ha radici.
Una radice estranea non è un concetto nuovo per te, le radici estranee sono già state incontrate durante la risoluzione di equazioni razionali, il controllo aiuta a rilevarle. Per le equazioni irrazionali, il controllo è un passaggio obbligatorio nella risoluzione dell'equazione, che aiuterà a rilevare eventuali radici estranee e scartarle (di solito si dice "elimina").

Quindi, un'equazione irrazionale viene risolta quadrando entrambe le sue parti; dopo aver risolto l'equazione razionale risultante, è necessario effettuare un controllo, eliminando eventuali radici estranee.

Usando questa derivazione, diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 1 risolvere l'equazione

Decisione. Al quadrato entrambi i membri dell'equazione (1):


Successivamente, successivamente abbiamo

5x - 16 \u003d x 2 - 4x + 4;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0;
x 2 - 9 x + 20 = 0;
x 1 = 5, x 2 = 4.
Visita medica. Sostituendo x \u003d 5 nell'equazione (1), otteniamo - l'uguaglianza corretta. Sostituendo x \u003d 4 nell'equazione (1), otteniamo - l'uguaglianza corretta. Quindi, entrambi i valori trovati sono le radici dell'equazione (1).
On e t: 4; 5.

Esempio 2 risolvere l'equazione
(abbiamo incontrato questa equazione nel § 22 e abbiamo “rimandato” la sua soluzione a tempi migliori.) da un'equazione irrazionale, otteniamo
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2x) 2 .
Poi abbiamo
2x 2 + 8x + 16 \u003d 1936 - 176x + 4x 2;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0;
x 2 - 92 x + 960 = 0;
x 1 = 80, x 2 = 12.
Visita medica. Sostituendo x = 80 nell'equazione irrazionale data, otteniamo

Questa è ovviamente un'uguaglianza errata, poiché il suo lato destro contiene un numero negativo e il suo lato sinistro contiene un numero positivo. Quindi x = 80 è una radice estranea per questa equazione.

Sostituendo x = 12 nell'equazione irrazionale data, otteniamo

cioè. . = 20, è l'uguaglianza corretta. Pertanto, x = 12 è la radice di questa equazione.
Risposta: 12.



Dividiamo entrambe le parti dell'ultima equazione termine per termine per 2:

Visita medica. Sostituendo il valore x = 14 nell'equazione (2), otteniamo è un'uguaglianza errata, quindi x = 14 è una radice estranea.
Sostituendo il valore x = -1 nell'equazione (2), otteniamo
- vera uguaglianza. Pertanto, x = - 1 è la radice dell'equazione (2).
A t e t : - 1.

Esempio 4 risolvere l'equazione

Decisione. Naturalmente, puoi risolvere questa equazione nello stesso modo che abbiamo usato negli esempi precedenti: riscrivi l'equazione come

Piazza entrambi i lati di questa equazione, risolvi l'equazione razionale risultante e controlla le radici trovate sostituendole
equazione irrazionale originale.

Ma useremo un modo più elegante: introduciamo una nuova variabile y = . Quindi otteniamo 2y 2 + y - 3 \u003d 0 - un'equazione quadratica rispetto alla variabile y. Troviamo le sue radici: y 1 = 1, y 2 = -. Pertanto, il compito è stato ridotto a risolverne due

Dalla prima equazione troviamo x \u003d 1, la seconda equazione non ha radici (ricorda che prende solo valori non negativi).
Risposta 1.
Concludiamo questa sezione con una discussione teorica piuttosto seria. Il punto è il seguente. Hai già acquisito una certa esperienza nella risoluzione di varie equazioni: lineare, quadrata, razionale, irrazionale. Sai che quando si risolvono le equazioni, vengono eseguite varie trasformazioni,
ad esempio: un membro dell'equazione viene trasferito da una parte dell'equazione all'altra con segno opposto; entrambi i lati dell'equazione vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero; eliminare il denominatore, ovvero sostituire l'equazione = 0 con l'equazione p (x) = 0; Entrambi i lati dell'equazione sono al quadrato.

Certo, hai notato che a seguito di alcune trasformazioni potrebbero comparire delle radici estranee, e quindi dovevi essere vigile: controlla tutte le radici trovate. Quindi cercheremo ora di comprendere tutto questo da un punto di vista teorico.

Definizione. Due equazioni f (x) = g (x) e r (x) = s (x) si dicono equivalenti se hanno le stesse radici (o, in particolare, se entrambe le equazioni non hanno radici).

Di solito, quando risolvono un'equazione, cercano di sostituire questa equazione con una più semplice, ma equivalente. Tale cambiamento è chiamato trasformazione equivalente dell'equazione.

Le seguenti trasformazioni sono trasformazioni equivalenti dell'equazione:

1. Trasferimento dei termini dell'equazione da una parte dell'equazione all'altra con segni opposti.
Ad esempio, la sostituzione dell'equazione 2x + 5 = 7x - 8 con l'equazione 2x - 7x = - 8 - 5 è una trasformazione equivalente dell'equazione. Significa che

le equazioni 2x + 5 = 7x -8 e 2x - 7x = -8 - 5 sono equivalenti.

2. Moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero diverso da zero.
Ad esempio, sostituendo l'equazione 0,5x 2 - 0,3x \u003d 2 con l'equazione 5x 2 - Zx \u003d 20
(entrambe le parti dell'equazione sono state moltiplicate termine per termine per 10) è una trasformazione equivalente dell'equazione.

Le trasformazioni non equivalenti dell'equazione sono le seguenti trasformazioni:

1. Esenzione dai denominatori contenenti variabili.
Ad esempio, la sostituzione di un'equazione con l'equazione x 2 \u003d 4 è una trasformazione non equivalente dell'equazione. Il fatto è che l'equazione x 2 \u003d 4 ha due radici: 2 e - 2 e data equazione il valore x = 2 non può soddisfare (il denominatore svanisce). In questi casi, abbiamo detto questo: x \u003d 2 è una radice estranea.

2. Al quadrato di entrambi i lati dell'equazione.
Non forniremo esempi, poiché ce n'erano molti in questo paragrafo.
Se nel processo di risoluzione dell'equazione è stata utilizzata una delle trasformazioni non equivalenti indicate, tutte le radici trovate devono essere verificate per sostituzione nell'equazione originale, poiché tra esse potrebbero esserci radici estranee.

Argomento: “Equazioni irrazionali della forma , .»

(Sviluppo metodologico.)

Concetti basilari

Equazioni irrazionali dette equazioni in cui la variabile è contenuta sotto il segno della radice (radicale) o il segno dell'elevazione a potenza frazionaria.

Un'equazione della forma f(x)=g(x), dove almeno una delle espressioni f(x) o g(x) è irrazionale equazione irrazionale.

Proprietà di base dei radicali:

  • Tutti radicali anche grado sono aritmetica, quelli. se l'espressione radicale è negativa, allora il radicale non ha senso (non esiste); se l'espressione radice è uguale a zero, lo è anche il radicale zero; se l'espressione radicale è positiva, allora il valore del radicale esiste ed è positivo.
  • Tutti radicali grado dispari sono definiti per qualsiasi valore dell'espressione radicale. Inoltre, il radicale è negativo se l'espressione radicale è negativa; è zero se l'espressione radice è zero; è positivo se l'espressione soggiogata è positiva.

Metodi per la risoluzione di equazioni irrazionali

Risolvi un'equazione irrazionale - significa trovare tutti i valori reali della variabile, quando li sostituiscono nell'equazione originale, si trasforma nell'uguaglianza numerica corretta o per dimostrare che tali valori non esistono. Le equazioni irrazionali sono risolte sull'insieme dei numeri reali R.

L'intervallo di valori validi dell'equazione consiste in quei valori della variabile per i quali tutte le espressioni sotto il segno dei radicali di grado pari sono non negative.

I principali metodi per risolvere le equazioni irrazionali sono:

a) il metodo per elevare entrambe le parti dell'equazione alla stessa potenza;

b) il metodo di introduzione di nuove variabili (metodo delle sostituzioni);

c) metodi artificiali per la risoluzione di equazioni irrazionali.

In questo articolo, ci concentreremo sulla considerazione delle equazioni della forma sopra definita e presenteremo 6 metodi per risolvere tali equazioni.

1 metodo. Cubo.

Questo metodo richiede l'uso di formule di moltiplicazione abbreviate e non contiene "insidie", cioè non porta alla comparsa di radici estranee.

Esempio 1 risolvere l'equazione

Decisione:

Riscriviamo l'equazione nella forma e tagliatela a cubetti da entrambi i lati. Otteniamo un'equazione equivalente a questa equazione,

Risposta: x=2, x=11.

Esempio 2. Risolvi l'equazione.

Decisione:

Riscriviamo l'equazione nel modulo e alziamo entrambi i lati in un cubo. Otteniamo un'equazione equivalente a questa equazione

e considera l'equazione risultante come quadratica rispetto a una delle radici

quindi il discriminante è 0 e l'equazione può avere una soluzione x=-2.

Visita medica:

Risposta: x=-2.

Commento: Il controllo può essere omesso se l'equazione quadratica è completata.

2 metodo. Cubo usando una formula.

Continueremo a cubi l'equazione, ma allo stesso tempo utilizzeremo le formule modificate per la moltiplicazione abbreviata.

Usiamo le formule:

(modifica minore formula nota), poi

Esempio3. risolvere l'equazione .

Decisione:

Cubiamo l'equazione usando le formule fornite sopra.

Ma l'espressione deve essere uguale al lato destro. Pertanto abbiamo:

.

Ora, al cubo, otteniamo la solita equazione quadratica:

, e le sue due radici

Entrambi i valori, come mostrato dal test, sono corretti.

Risposta: x=2, x=-33.

Ma tutte le trasformazioni qui sono equivalenti? Prima di rispondere a questa domanda, risolviamo un'altra equazione.

Esempio 4. Risolvi l'equazione.

Decisione:

Elevando, come prima, entrambe le parti alla terza potenza, abbiamo:

Da dove (considerando che l'espressione tra parentesi è ), otteniamo:

Otteniamo, . Facciamo un controllo e assicuriamoci che x=0 sia una radice estranea.

Risposta: .

Rispondiamo alla domanda: "Perché sono nate radici estranee?"

L'uguaglianza porta all'uguaglianza . Sostituendo da con -s, otteniamo:

È facile verificare l'identità

Quindi, se , allora o , o . L'equazione può essere rappresentata come , .

Sostituendo da con -s, otteniamo: if , quindi o , o

Pertanto, quando si utilizza questo metodo di soluzione, è imperativo controllare e assicurarsi che non vi siano radici estranee.

3 metodo. Metodo di sistema.

Esempio 5 risolvere l'equazione .

Decisione:

Sia , . Quindi:

Com'è ovvio che

La seconda equazione del sistema si ottiene in modo tale che la combinazione lineare di espressioni radicali non dipenda dalla variabile originaria.

È facile vedere che il sistema non ha soluzione, e quindi l'equazione originale non ha soluzione.

Risposta: Nessuna radice.

Esempio 6 risolvere l'equazione .

Decisione:

Introduciamo una sostituzione, componiamo e risolviamo un sistema di equazioni.

Sia , . Quindi

Tornando alla variabile originale, abbiamo:

Risposta: x=0.

4 metodo. Usando la monotonia delle funzioni.

Prima di utilizzare questo metodo, passiamo alla teoria.

Avremo bisogno delle seguenti proprietà:

Esempio 7 risolvere l'equazione .

Decisione:

Il lato sinistro dell'equazione è una funzione crescente e il lato destro è un numero, ad es. costante, quindi, l'equazione non ha più di una radice, che selezioniamo: x \u003d 9. Controllo per assicurarsi che la radice sia adatta.

Le equazioni sono dette irrazionali se contengono una quantità sconosciuta sotto il segno della radice. Queste sono, ad esempio, le equazioni

In molti casi, applicando una o più volte l'esponenziazione di entrambe le parti dell'equazione, è possibile ridurre l'equazione irrazionale a un'equazione algebrica di un grado o dell'altro (che è una conseguenza dell'equazione originale). Poiché elevando l'equazione a potenza possono comparire soluzioni estranee, allora, dopo aver risolto l'equazione algebrica a cui abbiamo ridotto questa equazione irrazionale, dovremmo verificare le radici trovate sostituendo nell'equazione originale e salvare solo quelle che la soddisfano, e scarta il resto - estraneo.

Quando risolviamo equazioni irrazionali, ci limitiamo solo alle loro vere radici; tutte le radici di grado pari nella notazione delle equazioni sono intese in senso aritmetico.

Considerane alcuni esempi tipici equazioni irrazionali.

A. Equazioni contenenti l'incognita sotto il segno della radice quadrata. Se questa equazione ne contiene solo uno Radice quadrata, sotto il segno di cui c'è un'incognita, allora questa radice dovrebbe essere isolata, cioè posta in una parte dell'equazione, e tutti gli altri termini dovrebbero essere trasferiti in un'altra parte. Dopo aver quadrato entrambi i membri dell'equazione, ci siamo già liberati dall'irrazionalità e otteniamo un'equazione algebrica per

Esempio 1. Risolvi l'equazione.

Decisione. Isoliamo la radice sul lato sinistro dell'equazione;

Riquadriamo l'equazione risultante:

Troviamo le radici di questa equazione:

La verifica mostra che soddisfa solo l'equazione originale.

Se l'equazione include due o più radici contenenti x, la quadratura deve essere ripetuta più volte.

Esempio 2. Risolvi le seguenti equazioni:

Soluzione, a) Cerchiamo al quadrato entrambi i membri dell'equazione:

Separiamo la radice:

L'equazione risultante è di nuovo al quadrato:

Dopo le trasformazioni, otteniamo la seguente equazione quadratica per:

risolvilo:

Sostituendo nell'equazione originale, ci assicuriamo che ci sia la sua radice, ma è una radice estranea per essa.

b) L'esempio può essere risolto nello stesso modo in cui è stato risolto l'esempio a). Tuttavia, sfruttando il fatto che il lato destro di questa equazione non contiene un'incognita, procederemo diversamente. Moltiplichiamo l'equazione per l'espressione coniugata al suo lato sinistro; noi abbiamo

A destra è il prodotto della somma e della differenza, cioè la differenza dei quadrati. Da qui

Sul lato sinistro di questa equazione c'era la somma delle radici quadrate; sul lato sinistro dell'equazione ora ottenuta c'è la differenza delle stesse radici. Scriviamo le equazioni date e ricevute:

Prendendo la somma di queste equazioni, otteniamo

Facciamo il quadrato dell'ultima equazione e, dopo le semplificazioni, otteniamo

Da qui troviamo. Verificando siamo convinti che solo il numero serva da radice di questa equazione. Esempio 3. Risolvi l'equazione

Qui, già sotto il segno radicale, abbiamo i trinomi quadrati.

Decisione. Moltiplichiamo l'equazione per l'espressione coniugata con il suo lato sinistro:

Sottrarre l'ultima equazione da quella data:

Mettiamo al quadrato questa equazione:

Dall'ultima equazione troviamo . Controllando siamo convinti che solo il numero x \u003d 1 funge da radice di questa equazione.

B. Equazioni contenenti radici di terzo grado. Sistemi di equazioni irrazionali. Ci limitiamo a singoli esempi di tali equazioni e sistemi.

Esempio 4. Risolvi l'equazione

Decisione. Mostriamo due modi per risolvere l'equazione (70.1). Primo modo. Cubiamo entrambi i lati di questa equazione (vedi formula (20.8)):

(qui abbiamo sostituito la somma radici cubiche numero 4, usando l'equazione).

Quindi abbiamo

cioè, dopo le semplificazioni,

da cui entrambe le radici soddisfano l'equazione originale.

Il secondo modo. Mettiamo

L'equazione (70.1) sarà scritta come . Inoltre, è chiaro che . Dall'equazione (70.1) siamo passati al sistema

Dividendo la prima equazione del sistema termine per termine per la seconda, troviamo

Un'equazione irrazionale è qualsiasi equazione che contiene una funzione sotto il segno della radice. Per esempio:

Tali equazioni sono sempre risolte in 3 passaggi:

  1. Separare la radice. In altre parole, se ci sono altri numeri o funzioni a sinistra del segno di uguale oltre alla radice, tutto questo deve essere spostato a destra cambiando il segno. Allo stesso tempo, solo il radicale dovrebbe rimanere a sinistra, senza alcun coefficiente.
  2. 2. Cerchiamo al quadrato entrambi i lati dell'equazione. Allo stesso tempo, ricorda che l'intervallo della radice è costituito da tutti i numeri non negativi. Da qui la funzione a destra equazione irrazionale deve anche essere non negativo: g (x) ≥ 0.
  3. Il terzo passaggio segue logicamente dal secondo: è necessario eseguire un controllo. Il fatto è che nel secondo passaggio potremmo avere radici in più. E per tagliarli, è necessario sostituire i numeri candidati risultanti nell'equazione originale e verificare: si ottiene davvero l'uguaglianza numerica corretta?

Risolvere un'equazione irrazionale

Trattiamo la nostra equazione irrazionale data proprio all'inizio della lezione. Qui la radice è già appartata: alla sinistra del segno di uguale non c'è altro che la radice. Mettiamo al quadrato entrambi i lati:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4 x - 12 = 0

Risolviamo l'equazione quadratica risultante attraverso il discriminante:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Resta solo da sostituire questi numeri nell'equazione originale, ad es. eseguire un controllo. Ma anche qui puoi fare la cosa giusta per semplificare la decisione finale.

Come semplificare la soluzione

Pensiamo: perché controlliamo anche alla fine della risoluzione di un'equazione irrazionale? Vogliamo assicurarci che quando sostituiamo le nostre radici, ci sarà un numero non negativo a destra del segno di uguale. Del resto sappiamo già con certezza che si tratta di un numero non negativo a sinistra, perché la radice quadrata aritmetica (per cui la nostra equazione è chiamata irrazionale) per definizione non può essere minore di zero.

Pertanto, tutto ciò che dobbiamo verificare è che la funzione g ( x ) = 5 − x , che si trova a destra del segno di uguale, non sia negativa:

g(x) ≥ 0

Sostituiamo le nostre radici in questa funzione e otteniamo:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Dai valori ottenuti ne consegue che la radice x 1 = 6 non ci soddisfa, poiché sostituendo nel lato destro dell'equazione originale, otteniamo un numero negativo. Ma la radice x 2 \u003d −2 è abbastanza adatta per noi, perché:

  1. Questa radice è la soluzione dell'equazione quadratica ottenuta alzando entrambi i lati equazione irrazionale in un quadrato.
  2. Il lato destro dell'equazione irrazionale originale, quando viene sostituita la radice x 2 = −2, diventa un numero positivo, cioè allineare radice aritmetica non rotto.

Questo è l'intero algoritmo! Come puoi vedere, risolvere le equazioni con i radicali non è così difficile. La cosa principale è non dimenticare di controllare le radici ricevute, altrimenti è molto probabile che ottengano risposte extra.

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