Jumlah bilangan asli. Apa itu bilangan asli? Sejarah, ruang lingkup, properti

bilangan bulat sangat akrab dan alami bagi kita. Dan ini tidak mengherankan, karena berkenalan dengan mereka dimulai dari tahun-tahun pertama kehidupan kita pada tingkat intuitif.

Informasi dalam artikel ini menciptakan pemahaman dasar tentang bilangan asli, mengungkapkan tujuannya, menanamkan keterampilan menulis dan membaca bilangan asli. Untuk asimilasi yang lebih baik materi, contoh dan ilustrasi yang diperlukan diberikan.

Navigasi halaman.

Bilangan asli adalah representasi umum.

Pendapat berikut ini tidak lepas dari logika suara: munculnya masalah menghitung benda (benda pertama, kedua, ketiga, dst) dan masalah penunjukan jumlah benda (satu, dua, tiga benda, dst) yang dipimpin untuk pembuatan alat untuk solusinya, alat ini adalah bilangan bulat.

Usulan ini menunjukkan tujuan utama bilangan asli- membawa informasi tentang jumlah item apa pun atau nomor seri item tertentu dalam kumpulan item yang dipertimbangkan.

Agar seseorang dapat menggunakan bilangan asli, mereka harus dapat diakses dalam beberapa cara, baik untuk persepsi maupun untuk reproduksi. Jika Anda membunyikan setiap bilangan asli, maka itu akan terlihat oleh telinga, dan jika Anda menggambarkan bilangan asli, maka itu dapat dilihat. Ini adalah cara paling alami untuk menyampaikan dan memahami bilangan asli.

Jadi mari kita mulai memperoleh keterampilan menggambarkan (menulis) dan keterampilan menyuarakan (membaca) bilangan asli, sambil mempelajari artinya.

Notasi desimal untuk bilangan asli.

Pertama, kita harus memutuskan apa yang akan kita bangun saat menulis bilangan asli.

Mari kita hafal gambar-gambar karakter berikut (kami tunjukkan dipisahkan dengan koma): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Gambar-gambar yang ditampilkan adalah rekaman dari apa yang disebut angka. Mari kita sepakati segera untuk tidak membalik, memiringkan, atau mendistorsi angka saat menulis.

Sekarang kita setuju bahwa hanya angka yang ditunjukkan yang dapat hadir dalam notasi bilangan asli apa pun dan tidak ada simbol lain yang dapat ditampilkan. Kita juga sepakat bahwa angka-angka dalam notasi suatu bilangan asli memiliki tinggi yang sama, disusun berjajar satu demi satu (hampir tidak ada lekukan), dan di sebelah kiri terdapat angka yang berbeda dengan angkanya. 0 .

Berikut adalah beberapa contoh notasi bilangan asli yang benar: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (catatan: lekukan antar angka tidak selalu sama, lebih lanjut tentang ini akan dibahas saat meninjau). Dari contoh di atas, dapat dilihat bahwa bilangan asli tidak harus mengandung semua digit 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; beberapa atau semua digit yang terlibat dalam penulisan bilangan asli dapat diulang.

Entri 014 , 0005 , 0 , 0209 bukan catatan bilangan asli, karena ada digit di sebelah kiri 0 .

Rekaman bilangan asli, yang dilakukan dengan memperhatikan semua persyaratan yang dijelaskan dalam paragraf ini, disebut notasi desimal dari bilangan asli.

Selanjutnya kita tidak akan membedakan antara bilangan asli dan notasinya. Mari kita perjelas ini: lebih lanjut dalam teks, frasa seperti “diberikan bilangan asli 582 ", yang berarti bahwa suatu bilangan asli diberikan, yang notasinya berbentuk 582 .

Bilangan asli dalam arti jumlah benda.

Saatnya untuk berurusan dengan makna kuantitatif yang dibawa oleh bilangan asli yang tercatat. Arti bilangan asli dalam hal penomoran objek dipertimbangkan dalam artikel perbandingan bilangan asli.

Mari kita mulai dengan bilangan asli, entri yang bertepatan dengan entri angka, yaitu dengan angka 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 Dan 9 .

Bayangkan kita membuka mata dan melihat beberapa objek, misalnya seperti ini. Dalam hal ini, kita dapat menulis apa yang kita lihat 1 subjek. Bilangan asli 1 dibaca sebagai " satu"(penurunan angka "satu", serta angka lainnya, kami akan memberikan dalam paragraf), untuk nomor 1 mengadopsi nama lain - " satuan».

Namun, istilah "satuan" adalah multi-nilai; selain bilangan asli 1 , disebut sesuatu yang dianggap secara keseluruhan. Misalnya, setiap item dari himpunannya dapat disebut unit. Misalnya, apel apa pun dari banyak apel adalah satu, kawanan burung apa pun dari banyak kawanan burung juga satu, dan seterusnya.

Sekarang kita membuka mata kita dan melihat: Artinya, kita melihat satu objek dan objek lain. Dalam hal ini, kita dapat menulis apa yang kita lihat 2 subjek. Bilangan asli 2 , berbunyi seperti " dua».

Juga, - 3 subjek (baca " tiga" subjek), - 4 (« empat"") dari subjek, - 5 (« lima»), - 6 (« enam»), - 7 (« tujuh»), - 8 (« delapan»), - 9 (« sembilan”) item.

Jadi, dari posisi yang dipertimbangkan, bilangan asli 1 , 2 , 3 , …, 9 menunjukkan nomor item.

Bilangan yang notasinya sesuai dengan notasi suatu angka 0 , ditelepon " nol". Angka nol BUKAN bilangan asli, namun biasanya dianggap bersama dengan bilangan asli. Ingat: nol berarti tidak adanya sesuatu. Misalnya, nol item bukanlah satu item.

Dalam paragraf artikel berikut, kami akan terus mengungkapkan arti bilangan asli dalam hal menunjukkan kuantitas.

bilangan asli satu digit.

Jelas, catatan dari masing-masing bilangan asli 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 terdiri dari satu tanda - satu digit.

Definisi.

Bilangan asli satu digit adalah bilangan asli, catatan yang terdiri dari satu tanda - satu digit.

Mari daftar semua bilangan asli satu digit: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ada sembilan bilangan asli satu digit.

Bilangan asli dua angka dan tiga angka.

Pertama, kami memberikan definisi bilangan asli dua digit.

Definisi.

Bilangan asli dua digit- ini adalah bilangan asli, yang catatannya adalah dua karakter - dua digit (berbeda atau sama).

Misalnya, bilangan asli 45 - dua digit, angka 10 , 77 , 82 juga dua digit 5 490 , 832 , 90 037 - bukan dua digit.

Mari kita cari tahu apa arti bilangan dua digit, sementara kita akan mulai dari arti kuantitatif bilangan asli satu digit yang sudah kita ketahui.

Pertama, mari kita perkenalkan konsepnya sepuluh.

Mari kita bayangkan situasi seperti itu - kita membuka mata dan melihat satu set yang terdiri dari sembilan objek dan satu objek lagi. Dalam hal ini, seseorang berbicara tentang 1 sepuluh (satu lusin) barang. Jika seseorang mempertimbangkan bersama satu sepuluh dan satu lagi sepuluh, maka dia berbicara tentang 2 puluhan (dua puluh). Jika kita menambahkan sepuluh menjadi dua puluhan, kita akan memiliki tiga puluhan. Melanjutkan proses ini, kita akan mendapatkan empat puluhan, lima puluhan, enam puluhan, tujuh puluhan, delapan puluhan, dan akhirnya sembilan puluhan.

Sekarang kita dapat beralih ke inti dari bilangan asli dua digit.

Untuk melakukan ini, anggap angka dua digit sebagai dua satu digit- satu di sebelah kiri dalam notasi angka dua digit, yang lain di sebelah kanan. Angka di sebelah kiri menunjukkan jumlah puluhan, dan angka di sebelah kanan menunjukkan jumlah satuan. Apalagi jika ada digit di sebelah kanan dalam catatan angka dua digit 0 , maka ini berarti tidak adanya unit. Ini adalah inti dari bilangan asli dua digit dalam hal menunjukkan jumlahnya.

Misalnya, bilangan asli dua digit 72 sesuai 7 puluhan dan 2 satuan (yaitu, 72 apel adalah satu set tujuh lusin apel dan dua apel lagi), dan jumlahnya 30 jawaban 3 puluhan dan 0 tidak ada satuan, yaitu satuan yang tidak disatukan dalam puluhan.

Mari kita jawab pertanyaan: "Berapa banyak bilangan asli dua digit yang ada"? Jawab mereka 90 .

Kami beralih ke definisi bilangan asli tiga digit.

Definisi.

Bilangan asli yang notasinya terdiri dari 3 tanda-tanda - 3 digit (berbeda atau berulang) disebut tiga digit.

Contoh bilangan asli tiga angka adalah 372 , 990 , 717 , 222 . bilangan bulat 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 bukan tiga digit.

Untuk memahami makna yang melekat pada bilangan asli tiga digit, kita memerlukan konsep ratusan.

Satu set sepuluh puluhan adalah 1 seratus (seratus). Seratus ratus adalah 2 ratusan. Dua ratus seratus lainnya adalah tiga ratus. Dan seterusnya, kami memiliki empat ratus, lima ratus, enam ratus, tujuh ratus, delapan ratus, dan akhirnya sembilan ratus.

Sekarang mari kita lihat bilangan asli tiga digit sebagai tiga bilangan asli satu digit, berjalan satu demi satu dari kanan ke kiri dalam notasi bilangan asli tiga digit. Angka di sebelah kanan menunjukkan jumlah satuan, angka berikutnya menunjukkan jumlah puluhan, angka berikutnya menunjukkan jumlah ratusan. angka 0 dalam catatan angka tiga digit berarti tidak adanya puluhan dan (atau) satuan.

Jadi, bilangan asli tiga digit 812 sesuai 8 ratusan 1 sepuluh besar dan 2 unit; nomor 305 - tiga ratus 0 puluhan, yaitu, puluhan tidak digabungkan menjadi ratusan, tidak) dan 5 unit; nomor 470 - empat ratus tujuh puluh (tidak ada satuan yang tidak digabungkan menjadi puluhan); nomor 500 - lima ratus (puluhan tidak digabungkan menjadi ratusan, dan satuan tidak digabungkan menjadi puluhan, tidak).

Demikian pula, seseorang dapat mendefinisikan empat digit, lima digit, enam digit, dan seterusnya. bilangan asli.

Bilangan asli multinilai.

Jadi, kita beralih ke definisi bilangan asli multi-nilai.

Definisi.

Bilangan asli multinilai- ini adalah bilangan asli, yang catatannya terdiri dari dua atau tiga atau empat, dll. tanda-tanda. Dengan kata lain, bilangan asli multi-digit adalah dua digit, tiga digit, empat digit, dll. angka.

Katakanlah segera bahwa himpunan yang terdiri dari sepuluh ratus adalah seribu, seribu ribu adalah satu juta, seribu juta adalah satu miliar, seribu miliar adalah satu triliun. Seribu triliun, seribu ribu triliun, dan seterusnya juga dapat diberikan nama mereka sendiri, tetapi tidak ada kebutuhan khusus untuk ini.

Jadi apa arti di balik bilangan asli multi-nilai?

Mari kita lihat bilangan asli multi-digit sebagai bilangan asli satu digit yang mengikuti satu demi satu dari kanan ke kiri. Nomor di sebelah kanan menunjukkan jumlah satuan, nomor berikutnya adalah jumlah puluhan, berikutnya adalah jumlah ratusan, kemudian jumlah ribuan, berikutnya adalah jumlah puluhan ribu, berikutnya adalah ratusan ribu , berikutnya adalah jumlah jutaan, berikutnya adalah jumlah puluhan juta, berikutnya adalah ratusan juta, berikutnya - jumlah miliar, lalu - jumlah puluhan miliar, lalu - ratusan miliar, lalu - triliunan, lalu - puluhan triliun, lalu - ratusan triliun, dan seterusnya.

Misalnya, bilangan asli multi-digit 7 580 521 sesuai 1 satuan, 2 puluhan, 5 ratusan 0 ribuan 8 puluhan ribu 5 ratusan ribu dan 7 jutaan.

Jadi, kita belajar mengelompokkan satuan menjadi puluhan, puluhan menjadi ratusan, ratusan menjadi ribuan, ribuan menjadi puluhan ribu, dan seterusnya, dan menemukan bahwa bilangan dalam catatan bilangan asli multi-digit menunjukkan bilangan yang sesuai dari kelompok di atas.

Membaca bilangan asli, kelas.

Kami telah menyebutkan bagaimana bilangan asli satu digit dibaca. Mari kita hafal isi tabel berikut ini.

Dan bagaimana angka dua digit lainnya dibaca?

Mari kita jelaskan dengan sebuah contoh. Membaca bilangan asli 74 . Seperti yang kami temukan di atas, nomor ini sesuai dengan 7 puluhan dan 4 satuan, yaitu 70 Dan 4 . Kami beralih ke tabel yang baru saja ditulis, dan nomornya 74 kita membaca sebagai: "Tujuh puluh empat" (kami tidak mengucapkan serikat "dan"). Jika Anda ingin membaca angka 74 dalam kalimat: "Tidak 74 apples" (kasus genitif), maka akan terdengar seperti ini: "Tidak ada tujuh puluh empat apel." Contoh lain. Nomor 88 - ini 80 Dan 8 , oleh karena itu, kita membaca: "Delapan puluh delapan." Dan ini adalah contoh kalimat: "Dia berpikir tentang delapan puluh delapan rubel."

Mari kita beralih ke membaca bilangan asli tiga digit.

Untuk melakukan ini, kita harus mempelajari beberapa kata baru lagi.

Tetap menunjukkan bagaimana sisa bilangan asli tiga digit dibaca. Dalam hal ini, kita akan menggunakan keterampilan yang sudah diperoleh dalam membaca angka satu digit dan dua digit.

Mari kita ambil contoh. Yuk baca nomornya 107 . Nomor ini sesuai 1 ratus dan 7 satuan, yaitu 100 Dan 7 . Beralih ke meja, kami membaca: "Seratus tujuh." Sekarang katakan nomornya 217 . Nomor ini adalah 200 Dan 17 , oleh karena itu, kita membaca: "Dua ratus tujuh belas." Juga, 888 - ini 800 (delapan ratus) dan 88 (delapan puluh delapan), kita membaca: "Delapan ratus delapan puluh delapan."

Kami beralih ke membaca angka multi-digit.

Untuk membaca, catatan bilangan asli multi-digit dibagi, mulai dari kanan, menjadi kelompok tiga digit, sedangkan di paling kiri kelompok tersebut mungkin ada salah satu 1 , atau 2 , atau 3 angka. Kelompok-kelompok ini disebut kelas. Kelas di sebelah kanan disebut kelas satuan. Kelas berikutnya (dari kanan ke kiri) disebut kelas ribuan, kelas selanjutnya adalah kelas jutaan, Berikutnya - kelas miliaran, lalu pergi kelas triliun. Anda dapat memberikan nama-nama kelas berikut, tetapi bilangan asli, yang catatannya terdiri dari: 16 , 17 , 18 dll. tanda-tanda biasanya tidak terbaca, karena sangat sulit dipahami oleh telinga.

Lihatlah contoh pemisahan angka multi-digit ke dalam kelas (untuk kejelasan, kelas dipisahkan satu sama lain dengan indentasi kecil): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Mari kita masukkan bilangan asli yang direkam ke dalam sebuah tabel, yang menurutnya mudah dipelajari cara membacanya.

Untuk membaca bilangan asli, kita memanggil dari kiri ke kanan bilangan yang membentuknya berdasarkan kelas dan menambahkan nama kelasnya. Pada saat yang sama, kami tidak mengucapkan nama kelas unit, dan juga melewatkan kelas-kelas yang membentuk tiga digit 0 . Jika catatan kelas memiliki angka di sebelah kiri 0 atau dua digit 0 , lalu abaikan angka-angka ini 0 dan baca angka yang diperoleh dengan membuang angka-angka ini 0 . Contohnya, 002 dibaca sebagai "dua", dan 025 - seperti "dua puluh lima".

Yuk baca nomornya 489 002 sesuai dengan aturan yang diberikan.

Kami membaca dari kiri ke kanan,

• baca nomornya 489 , mewakili kelas ribuan, adalah "empat ratus delapan puluh sembilan";
• tambahkan nama kelas, kami mendapatkan "empat ratus delapan puluh sembilan ribu";
• lebih lanjut di kelas unit yang kita lihat 002 , nol ada di sebelah kiri, kami mengabaikannya, oleh karena itu 002 dibaca sebagai "dua";
• nama kelas unit tidak perlu ditambahkan;
• sebagai hasilnya kita memiliki 489 002 - empat ratus delapan puluh sembilan ribu dua.

Mari kita mulai membaca nomornya 10 000 501 .

• Di sebelah kiri di kelas jutaan kita melihat nomornya 10 , kita membaca "sepuluh";
• tambahkan nama kelas, kami memiliki "sepuluh juta";
• selanjutnya kita lihat catatannya 000 di kelas ribuan, karena ketiga digit adalah digit 0 , lalu kita lewati kelas ini dan beralih ke yang berikutnya;
• kelas satuan mewakili angka 501 , yang kita baca "lima ratus satu";
• dengan demikian, 10 000 501 sepuluh juta lima ratus satu.

Mari kita lakukan tanpa penjelasan rinci: 1 789 090 221 214 - "satu triliun tujuh ratus delapan puluh sembilan miliar sembilan puluh juta dua ratus dua puluh satu ribu dua ratus empat belas."

Jadi, dasar dari keterampilan membaca bilangan asli banyak angka adalah kemampuan untuk memecah bilangan yang terdiri dari banyak angka menjadi kelas-kelas, pengetahuan tentang nama-nama kelas dan kemampuan membaca angka tiga angka.

Digit bilangan asli, nilai digit.

Dalam penulisan bilangan asli, nilai setiap angka tergantung pada posisinya. Misalnya, bilangan asli 539 sesuai 5 ratusan 3 puluhan dan 9 satuan, maka gambarnya 5 dalam entri nomor 539 mendefinisikan jumlah ratusan, digit 3 adalah jumlah puluhan, dan digit 9 - jumlah unit. Dikatakan bahwa nomor 9 berdiri di angka satuan dan nomor 9 adalah nilai angka satuan, nomor 3 berdiri di tempat puluhan dan nomor 3 adalah nilai tempat puluhan, dan bilangan 5 - di dalam ratusan tempat dan nomor 5 adalah nilai tempat ratusan.

Lewat sini, memulangkan- ini adalah, di satu sisi, posisi digit dalam notasi bilangan asli, dan di sisi lain, nilai digit ini ditentukan oleh posisinya.

Pangkat telah diberi nama. Jika Anda melihat angka-angka dalam catatan bilangan asli dari kanan ke kiri, angka-angka berikut akan sesuai dengan mereka: satuan, puluhan, ratusan, ribuan, puluhan ribu, ratusan ribu, jutaan, puluhan juta, dan segera.

Nama-nama kategori mudah diingat ketika disajikan dalam bentuk tabel. Mari kita menulis tabel yang berisi nama-nama 15 digit.

Perhatikan bahwa jumlah digit dari bilangan asli yang diberikan sama dengan jumlah karakter yang terlibat dalam penulisan bilangan ini. Dengan demikian, tabel yang direkam berisi nama-nama digit semua bilangan asli, yang catatannya berisi hingga 15 karakter. Digit berikut juga memiliki namanya sendiri, tetapi sangat jarang digunakan, jadi tidak masuk akal untuk menyebutkannya.

Dengan menggunakan tabel angka, akan lebih mudah untuk menentukan angka-angka dari bilangan asli yang diberikan. Untuk melakukan ini, Anda perlu menulis bilangan asli ini ke dalam tabel ini sehingga ada satu digit di setiap digit, dan digit paling kanan ada di digit satuan.

Mari kita ambil contoh. Mari kita menulis bilangan asli 67 922 003 942 dalam tabel, dan angka serta nilai angka-angka ini akan terlihat jelas.

Dalam catatan nomor ini, digit 2 berdiri di tempat satuan, angka 4 - di tempat puluhan, angka 9 - di tempat ratusan, dll. Perhatikan angkanya 0 , yang berupa angka puluhan ribu dan ratusan ribu. angka 0 dalam angka-angka ini berarti tidak adanya satuan angka-angka ini.

Kita juga harus menyebutkan apa yang disebut kategori terendah (terendah) dan tertinggi (tertinggi) dari bilangan asli multinilai. Pangkat bawah (junior) setiap bilangan asli multi-nilai adalah digit satuan. Digit tertinggi (tertinggi) dari bilangan asli adalah digit yang sesuai dengan digit paling kanan dalam catatan nomor ini. Misalnya, angka penting terkecil dari bilangan asli 23004 adalah angka satuan, dan angka tertinggi adalah angka puluhan ribu. Jika dalam notasi bilangan asli kita bergerak dengan angka dari kiri ke kanan, maka setiap digit berikutnya lebih rendah (lebih muda) yang sebelumnya. Misalnya angka ribuan lebih kecil dari angka puluhan ribu, apalagi angka ribuan lebih kecil dari angka ratusan ribu, jutaan, puluhan juta, dsb. Jika, dalam notasi bilangan asli, kita bergerak dalam digit dari kanan ke kiri, maka setiap digit berikutnya lebih tinggi (lebih tua) yang sebelumnya. Misalnya, angka ratusan lebih tua dari angka puluhan, dan terlebih lagi, itu lebih tua dari angka satuan.

Dalam beberapa kasus (misalnya, saat melakukan penambahan atau pengurangan), bukan bilangan asli itu sendiri yang digunakan, tetapi jumlah dari suku-suku bit dari bilangan asli ini.

Secara singkat tentang sistem bilangan desimal.

Jadi, kami berkenalan dengan bilangan asli, dengan makna yang terkandung di dalamnya, dan cara menulis bilangan asli menggunakan sepuluh digit.

Secara umum, cara penulisan bilangan dengan menggunakan tanda disebut sistem bilangan. Nilai angka dalam entri nomor mungkin atau mungkin tidak tergantung pada posisinya. Sistem bilangan yang nilai suatu angka dalam suatu entri bilangan bergantung pada posisinya disebut posisional.

Jadi, bilangan asli yang telah kita pertimbangkan dan cara penulisannya menunjukkan bahwa kita menggunakan sistem bilangan posisional. Perlu dicatat bahwa tempat spesial dalam sistem bilangan ini memiliki bilangan 10 . Memang, skor disimpan dalam puluhan: sepuluh unit digabungkan menjadi sepuluh, sepuluh puluhan digabungkan menjadi seratus, sepuluh ratusan menjadi seribu, dan seterusnya. Nomor 10 ditelepon dasar sistem bilangan yang diberikan, dan sistem bilangan itu sendiri disebut desimal.

Selain sistem bilangan desimal, ada yang lain, misalnya, dalam ilmu komputer, sistem bilangan posisi biner digunakan, dan kita menemukan sistem seksagesimal ketika kita sedang berbicara tentang pengukuran waktu.

Bibliografi.

• Matematika. Buku pelajaran apa saja untuk 5 kelas lembaga pendidikan.

Bilangan asli dapat digunakan untuk menghitung (satu apel, dua apel, dll.)

bilangan bulat(dari lat. naturalis- alami; bilangan asli) - angka yang muncul secara alami saat menghitung (misalnya, 1, 2, 3, 4, 5 ...). Barisan semua bilangan asli yang disusun dalam urutan menaik disebut alam berdampingan.

Ada dua pendekatan untuk definisi bilangan asli:

• menghitung (menomori) barang ( pertama, kedua, ketiga, keempat, kelima"…);
• bilangan asli - bilangan yang muncul ketika penunjukan kuantitas barang ( 0 item, 1 barang, 2 item, 3 item, 4 item, 5 item"...).

Dalam kasus pertama, rangkaian bilangan asli dimulai dari satu, yang kedua - dari nol. Tidak ada pendapat umum bagi sebagian besar ahli matematika tentang preferensi pendekatan pertama atau kedua (yaitu, apakah mempertimbangkan nol sebagai bilangan asli atau tidak). Sebagian besar sumber Rusia secara tradisional mengadopsi pendekatan pertama. Pendekatan kedua, misalnya, digunakan dalam tulisan Nicolas Bourbaki, di mana bilangan asli didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan hingga.

Bilangan negatif dan non-integer (rasional, real, ...) bukan termasuk bilangan asli.

Himpunan semua bilangan asli biasanya dilambangkan dengan simbol N (\displaystyle \mathbb (N) ) (dari lat. naturalis- alami). Himpunan bilangan asli tidak terbatas, karena untuk sembarang bilangan asli n (\displaystyle n) ada bilangan asli yang lebih besar dari n (\displaystyle n) .

Kehadiran nol memfasilitasi perumusan dan pembuktian banyak teorema dalam aritmatika bilangan asli, sehingga pendekatan pertama memperkenalkan gagasan yang berguna seri alami yang diperpanjang, termasuk nol. Baris diperpanjang dilambangkan N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) atau Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)) .

Aksioma yang memungkinkan untuk menentukan himpunan bilangan asli

Aksioma kacang untuk bilangan asli

Artikel utama: Aksioma Peano

Suatu himpunan N (\displaystyle \mathbb (N) ) akan disebut himpunan bilangan asli jika beberapa elemennya tetap 1 (satu) milik N (\displaystyle \mathbb (N) ) (1 N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), dan fungsi S (\displaystyle S) dengan domain N (\displaystyle \mathbb (N) ) dan range N (\displaystyle \mathbb (N) ) (disebut fungsi suksesi; S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) )) sehingga kondisi berikut terpenuhi:

1. satuannya adalah bilangan asli (1 N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ));
2. bilangan yang mengikuti bilangan asli juga natural (jika x N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) , maka S (x) N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )) ;
3. satu tidak mengikuti bilangan asli apa pun (∄ x N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1))));
4. jika bilangan asli a (\displaystyle a) segera mengikuti kedua bilangan asli b (\displaystyle b) dan bilangan asli c (\displaystyle c) , maka b = c (\displaystyle b=c) (jika S (b ) = a ( \displaystyle S(b)=a) dan S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , lalu b = c (\displaystyle b=c));
5. (aksioma induksi) jika ada kalimat (pernyataan) P (\displaystyle P) terbukti untuk bilangan asli n = 1 (\displaystyle n=1) ( dasar induksi) dan jika asumsi benar untuk bilangan asli lain n (\displaystyle n) menyiratkan bahwa benar untuk bilangan asli berikut n (\displaystyle n) ( hipotesis induksi), maka proposisi ini berlaku untuk semua bilangan asli (misalkan P (n) (\displaystyle P(n)) merupakan predikat satu tempat (unary) yang parameternya adalah bilangan asli n (\displaystyle n) . P (1 ) (\displaystyle P(1)) dan n (P (n) P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)) ))) , lalu n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Aksioma di atas mencerminkan pemahaman intuitif kita tentang deret alami dan garis bilangan.

Fakta mendasar adalah bahwa aksioma ini pada dasarnya secara unik menentukan bilangan asli (sifat kategoris dari sistem aksioma Peano). Yaitu, seseorang dapat membuktikan (lihat juga bukti singkat) bahwa jika (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) dan (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ( (\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))) adalah dua model untuk sistem aksioma Peano, maka keduanya harus isomorfik, yaitu terdapat pemetaan yang dapat dibalik (bijeksi) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) sehingga f (1) = 1 ~ (\displaystyle f( 1) =(\tilde (1))) dan f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x )) ) untuk semua x N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

Oleh karena itu, cukup untuk memperbaiki sebagai N (\displaystyle \mathbb (N) ) salah satu model spesifik dari himpunan bilangan asli.

Definisi teori himpunan bilangan asli (definisi Frege-Russell)

Menurut teori himpunan, satu-satunya objek konstruksi sistem matematika adalah himpunan.

Jadi, bilangan asli juga diperkenalkan, berdasarkan konsep himpunan, menurut dua aturan:

• S (n) = n ( n ) (\displaystyle S(n)=n\cup \kiri\(n\kanan\)) .

Bilangan yang didefinisikan dengan cara ini disebut ordinal.

Mari kita gambarkan beberapa bilangan urut pertama dan bilangan asli yang sesuai:

• 0 = (\displaystyle 0=\varnothing );
• 1 = ( 0 ) = ( ) (\displaystyle 1=\left\(0\right\)=\left\(\varnothing \right\)) ;
• 2 = ( 0 , 1 ) = ( , ( ) ) (\displaystyle 2=\left\(0,1\right\)=(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \ kanan\)(\besar \))) ;
• 3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( , ( ) , ( , ( ) ) ) (\displaystyle 3=\left\(0,1,2\kanan\)=(\Besar \() \varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )) .

Nol sebagai bilangan asli

Terkadang, terutama dalam literatur asing dan terjemahan, aksioma pertama dan ketiga Peano menggantikan satu dengan nol. Dalam hal ini, nol dianggap sebagai bilangan asli. Ketika didefinisikan dalam hal kelas set yang setara, nol adalah bilangan asli menurut definisi. Tidaklah wajar untuk secara khusus membuangnya. Selain itu, ini akan secara signifikan memperumit konstruksi dan penerapan teori lebih lanjut, karena dalam kebanyakan konstruksi nol, seperti himpunan kosong, bukanlah sesuatu yang terisolasi. Keuntungan lain dari menganggap nol sebagai bilangan asli adalah N (\displaystyle \mathbb (N) ) membentuk monoid.

Dalam literatur Rusia, nol biasanya dikecualikan dari bilangan asli (0 N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), dan himpunan bilangan asli dengan nol dilambangkan sebagai N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0) ). Jika nol termasuk dalam definisi bilangan asli, maka himpunan bilangan asli ditulis sebagai N (\displaystyle \mathbb (N) ) , dan tanpa nol - sebagai N (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) ) .

Dalam literatur matematika internasional, dengan memperhatikan hal di atas dan untuk menghindari ambiguitas, himpunan ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) biasanya disebut himpunan bilangan bulat positif dan dilambangkan dengan Z + (\displaystyle \ mathbb (Z) _(+)) . Himpunan ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) sering disebut himpunan bilangan bulat non-negatif dan dilambangkan dengan Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(\ geqslant 0)).

Posisi himpunan bilangan asli (N (\displaystyle \mathbb (N) )) di antara himpunan bilangan bulat (Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) ), angka rasional(Q (\displaystyle \mathbb (Q) )), bilangan asli(R (\displaystyle \mathbb (R) )) dan bilangan irasional(R Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) ))

Nilai himpunan bilangan asli

Ukuran himpunan tak hingga dicirikan oleh konsep "kekuatan himpunan", yang merupakan generalisasi dari jumlah elemen himpunan hingga ke himpunan tak terbatas. Dalam ukuran (yaitu kardinalitas), himpunan bilangan asli lebih besar daripada himpunan hingga, tetapi kurang dari interval apa pun, misalnya, interval (0 , 1) (\displaystyle (0,1)) . Himpunan bilangan asli memiliki kardinalitas yang sama dengan himpunan bilangan rasional. Himpunan yang kardinalitasnya sama dengan himpunan bilangan asli disebut himpunan yang dapat dihitung. Jadi, himpunan suku-suku suatu barisan dapat dihitung. Pada saat yang sama, ada barisan di mana setiap bilangan asli muncul berkali-kali, karena himpunan bilangan asli dapat direpresentasikan sebagai gabungan yang dapat dihitung dari himpunan yang dapat dihitung terpisah (misalnya, N = k = 0 ( n = 0 (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0 )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\kanan))).

Operasi bilangan asli

Operasi tertutup (operasi yang tidak mengeluarkan hasil dari himpunan bilangan asli) pada bilangan asli meliputi operasi aritmatika berikut:

• tambahan: istilah + istilah = jumlah;
• perkalian: pengali × pengali = produk;
• eksponensial: a b (\displaystyle a^(b)) , di mana a (\displaystyle a) adalah basis dari eksponen, b (\displaystyle b) adalah eksponen. Jika a (\displaystyle a) dan b (\displaystyle b) adalah bilangan asli, maka hasilnya juga bilangan asli.

Selain itu, dua operasi lagi dipertimbangkan (dari sudut pandang formal, operasi tersebut bukan operasi pada bilangan asli, karena tidak didefinisikan untuk semua pasangan angka (kadang ada, kadang tidak)):

• pengurangan: minuend - pengurangan = selisih. Dalam hal ini, minuend harus lebih besar dari subtrahend (atau sama dengan itu, jika kita menganggap nol sebagai bilangan asli);
• pembagian dengan sisa: dividen / pembagi = (hasil bagi, sisa). Hasil bagi p (\displaystyle p) dan sisa r (\displaystyle r) ketika a (\displaystyle a) dibagi dengan b (\displaystyle b) didefinisikan sebagai berikut: a = p b + r (\displaystyle a= p\cdot b+ r) , selain itu, 0 rb (\displaystyle 0\leqslant r dapat direpresentasikan sebagai a = p 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a) , yaitu, bilangan apa pun dapat berupa dianggap pribadi, dan sisanya a (\displaystyle a) .

Perlu diperhatikan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian adalah dasar. Secara khusus, ring bilangan bulat didefinisikan secara tepat melalui operasi biner penjumlahan dan perkalian.

Sifat dasar

• Komutatifitas penjumlahan:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

• Komutatifitas perkalian:

a b = b a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

• Asosiatif penjumlahan:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)) .

• Asosiatif perkalian:

(a b) c = a (b c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

• Distribusi perkalian terhadap penjumlahan:

( a (b + c) = a b + a c (b + c) a = b a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(kasus))) .

Struktur aljabar

Penjumlahan mengubah himpunan bilangan asli menjadi semigrup dengan kesatuan, peran kesatuan dimainkan oleh 0 . Perkalian juga mengubah himpunan bilangan asli menjadi semigrup dengan satuan, sedangkan elemen identitasnya adalah 1 . Penutupan pada operasi penjumlahan-pengurangan dan perkalian-pembagian menghasilkan kelompok bilangan bulat Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) dan bilangan positif rasional Q + (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) masing-masing .

Definisi teori himpunan

Mari kita gunakan definisi bilangan asli sebagai kelas ekivalen dari himpunan hingga. Jika kita menyatakan kelas ekivalen suatu himpunan SEBUAH, dihasilkan oleh bijeksi, menggunakan tanda kurung siku: [ SEBUAH], operasi aritmatika dasar didefinisikan sebagai berikut:

• [ A ] + [ B ] = [ A B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
• [ A ] [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
• [ A ] [ B ] = [ A B ] (\displaystyle ([A])^([B])=) ,

• A B (\displaystyle A\sqcup B) - gabungan himpunan yang terputus-putus;
• A × B (\displaystyle A\times B) - produk langsung;
• A B (\displaystyle A^(B)) - kumpulan tampilan dari B di dalam SEBUAH.

Dapat ditunjukkan bahwa operasi yang dihasilkan pada kelas diperkenalkan dengan benar, yaitu, mereka tidak bergantung pada pilihan elemen kelas dan bertepatan dengan definisi induktif.

Apa itu bilangan asli? Sejarah, ruang lingkup, properti

Matematika muncul dari filsafat umum sekitar abad keenam SM. e., dan sejak saat itu memulai pawai kemenangannya di seluruh dunia. Setiap tahap perkembangan memperkenalkan sesuatu yang baru - akun dasar berevolusi, berubah menjadi kalkulus diferensial dan integral, berabad-abad berubah, rumus menjadi semakin membingungkan, dan saatnya tiba ketika "yang paling matematika kompleks"Semua nomor telah menghilang darinya." Tapi apa dasarnya?

Awal waktu

Bilangan asli muncul bersama dengan operasi matematika pertama. Sekali tulang belakang, dua duri, tiga duri ... Mereka muncul berkat ilmuwan India yang mengembangkan sistem angka posisi pertama.
Kata "positionality" berarti bahwa lokasi setiap digit dalam suatu angka ditentukan secara ketat dan sesuai dengan kategorinya. Misalnya, angka 784 dan 487 adalah angka yang sama, tetapi angkanya tidak setara, karena yang pertama termasuk 7 ratusan, sedangkan yang kedua hanya 4. Orang-orang Arab mengambil inovasi orang India, yang membawa angka ke bentuk yang kita ketahui sekarang.

Pada zaman kuno, angka diberi makna mistis, ahli matematika terbesar Pythagoras percaya bahwa angka mendasari penciptaan dunia bersama dengan elemen utama - api, air, bumi, udara. Jika kita mempertimbangkan semuanya hanya dari sisi matematika, lalu apa itu bilangan asli? Bidang bilangan asli dilambangkan sebagai N dan merupakan barisan bilangan tak hingga yang bilangan bulat dan positif: 1, 2, 3, … + . Nol dikecualikan. Hal ini terutama digunakan untuk menghitung item dan menunjukkan pesanan.

Apa itu bilangan asli dalam matematika? Aksioma Peano

Bidang N adalah bidang dasar yang menjadi dasar matematika dasar. Seiring waktu, bidang bilangan bulat, rasional, bilangan kompleks dibedakan.

Karya matematikawan Italia Giuseppe Peano memungkinkan penataan aritmatika lebih lanjut, mencapai formalitasnya dan membuka jalan bagi kesimpulan lebih lanjut yang melampaui bidang N. Apa itu bilangan asli telah dijelaskan sebelumnya dalam bahasa sederhana, di bawah ini kami akan mempertimbangkan definisi matematika berdasarkan aksioma Peano.

• Satu dianggap sebagai bilangan asli.
• Bilangan yang mengikuti bilangan asli adalah bilangan asli.
• Tidak ada bilangan asli sebelum satu.
• Jika angka b mengikuti kedua angka c dan angka d, maka c=d.
• Aksioma induksi, yang selanjutnya menunjukkan apa itu bilangan asli: jika beberapa pernyataan yang bergantung pada suatu parameter benar untuk bilangan 1, maka kita asumsikan itu juga berlaku untuk bilangan n dari bidang bilangan asli N. Kemudian pernyataan ini juga benar untuk n =1 dari bidang bilangan asli N.

Operasi dasar untuk bidang bilangan asli

Karena bidang N menjadi yang pertama untuk perhitungan matematis, baik domain definisi dan rentang nilai dari sejumlah operasi di bawah ini merujuk padanya. Mereka tertutup dan tidak. Perbedaan utama adalah bahwa operasi tertutup dijamin untuk meninggalkan hasil dalam himpunan N, tidak peduli berapa pun angka yang terlibat. Sudah cukup bahwa mereka alami. Hasil dari interaksi numerik yang tersisa tidak lagi begitu ambigu dan secara langsung tergantung pada jenis angka apa yang terlibat dalam ekspresi, karena mungkin bertentangan dengan definisi utama. Jadi, operasi tertutup:

• penambahan – x + y = z, di mana x, y, z termasuk dalam bidang N;
• perkalian - x * y = z, di mana x, y, z termasuk dalam bidang N;
• eksponensial - xy, di mana x, y termasuk dalam bidang N.

Operasi yang tersisa, yang hasilnya mungkin tidak ada dalam konteks definisi "apa itu bilangan asli", adalah sebagai berikut:

Sifat-sifat bilangan milik bidang N

Semua penalaran matematis selanjutnya akan didasarkan pada sifat-sifat berikut, yang paling sepele, tetapi tidak kalah pentingnya.

• Sifat komutatif penjumlahan adalah x + y = y + x, di mana bilangan x, y termasuk dalam bidang N. Atau yang terkenal "jumlah tidak berubah dari perubahan tempat suku."
• Sifat komutatif perkalian adalah x * y = y * x, di mana bilangan x, y termasuk dalam bidang N.
• Sifat asosiatif penjumlahan adalah (x + y) + z = x + (y + z), di mana x, y, z termasuk dalam bidang N.
• Sifat asosiatif perkalian adalah (x * y) * z = x * (y * z), di mana bilangan x, y, z termasuk dalam bidang N.
• sifat distribusi - x (y + z) = x * y + x * z, di mana bilangan x, y, z termasuk dalam bidang N.

tabel phytagoras

Salah satu langkah awal pengetahuan seluruh struktur matematika dasar oleh anak sekolah, setelah mereka memahami sendiri bilangan mana yang disebut bilangan asli, adalah tabel Pythagoras. Itu dapat dianggap tidak hanya dari sudut pandang sains, tetapi juga sebagai monumen ilmiah yang berharga.

Tabel perkalian ini telah mengalami sejumlah perubahan dari waktu ke waktu: nol telah dihapus darinya, dan angka dari 1 hingga 10 menunjukkan dirinya sendiri, tanpa memperhitungkan pesanan akun (ratusan, ribuan ...). Ini adalah tabel di mana judul baris dan kolom adalah angka, dan isi sel perpotongannya sama dengan produk mereka.

Dalam praktik mengajar dalam beberapa dekade terakhir, ada kebutuhan untuk menghafal tabel Pythagoras "secara berurutan", yaitu menghafal terlebih dahulu. Perkalian dengan 1 dikeluarkan karena hasilnya 1 atau lebih besar. Sementara itu, pada tabel dengan mata telanjang, Anda dapat melihat sebuah pola: hasil kali angka bertambah satu langkah, yang sama dengan judul baris. Jadi, faktor kedua menunjukkan kepada kita berapa kali kita perlu mengambil yang pertama untuk mendapatkan produk yang diinginkan. Sistem ini tidak seperti yang dipraktikkan pada Abad Pertengahan: bahkan memahami apa itu bilangan asli dan betapa sepelenya itu, orang berhasil memperumit penghitungan sehari-hari mereka menggunakan sistem yang didasarkan pada kekuatan dua.

Subset sebagai tempat lahir matematika

pada saat ini bidang bilangan asli N dianggap hanya sebagai salah satu himpunan bagian dari bilangan kompleks, tetapi ini tidak membuatnya kurang berharga dalam sains. Bilangan asli adalah hal pertama yang dipelajari seorang anak dengan mempelajari dirinya sendiri dan dunia di sekitarnya. Satu jari, dua jari ... Berkat dia, seseorang mengembangkan pemikiran logis, serta kemampuan untuk menentukan penyebab dan menyimpulkan efeknya, membuka jalan bagi penemuan-penemuan hebat.

Diskusi:Bilangan asli

Kontroversi sekitar nol

Untuk beberapa alasan, saya tidak dapat membayangkan nol sebagai bilangan asli ... Tampaknya orang dahulu tidak tahu nol sama sekali. Ya, dan TSB tidak menganggap nol sebagai bilangan asli. Jadi setidaknya itu poin yang bisa diperdebatkan. Bisakah Anda mengatakan sesuatu yang lebih netral tentang nol? Atau ada argumen yang bagus? --.:Ajvol:. 18:18, 9 Sep 2004 (UTC)

digulung kembali perubahan terakhir. --Maks. 20:24 9 Sep 2004 (UTC)

Akademi Prancis pernah mengeluarkan dekrit khusus yang menurutnya 0 termasuk dalam himpunan bilangan asli. Sekarang ini adalah standar, menurut saya, tidak perlu untuk memperkenalkan konsep "bilangan asli Rusia", tetapi untuk mematuhi standar ini. Secara alami, harus disebutkan bahwa dulu tidak demikian (tidak hanya di Rusia tetapi di mana-mana). Tosha 23:16, 9 Sep 2004 (UTC)

Akademi Prancis bukanlah dekrit bagi kami. Dalam literatur matematika berbahasa Inggris, juga tidak ada pendapat yang mapan tentang hal ini. Lihat misalnya --Maxal 23:58, 9 Sep 2004 (UTC)

Di suatu tempat di sana tertulis: "Jika Anda menulis artikel tentang masalah kontroversial, maka cobalah untuk menyajikan semua sudut pandang, berikan tautan ke pendapat yang berbeda." Pulau Bes 23:15, 25 Des 2004 (UTC)

Saya tidak melihatnya di sini isu kontroversial, tetapi saya melihat: 1) tidak menghormati peserta lain dengan mengubah / menghapus teks mereka secara signifikan (biasanya mendiskusikan mereka sebelum membuat perubahan signifikan); 2) penggantian definisi yang ketat (menunjukkan kardinalitas himpunan) dengan yang tidak jelas (apakah ada perbedaan besar antara "penomoran" dan "notasi kuantitas"?). Oleh karena itu, saya kembali melakukan rollback, namun, saya meninggalkan komentar terakhir. --Maks. 23:38, 25 Des 2004 (UTC)

Tidak hormat adalah bagaimana saya melihat suap Anda. Jadi mari kita tidak membicarakannya. editan saya tidak mengubah esensi pasal, hanya dengan jelas merumuskan dua definisi. Versi artikel sebelumnya merumuskan definisi "tanpa nol" sebagai yang utama, dan "dengan nol" sebagai semacam pembangkangan. Ini sama sekali tidak memenuhi persyaratan Wikipedia (lihat kutipan di atas), dan juga tidak cukup gaya ilmiah pernyataan dalam versi sebelumnya. Saya menambahkan kata-kata "kardinalitas himpunan" sebagai penjelasan untuk "penunjukan kuantitas" dan "pencacahan" untuk "penomoran". Dan jika Anda tidak melihat perbedaan antara "penomoran" dan "penunjukan kuantitas", maka, izinkan saya bertanya, mengapa Anda mengedit artikel matematika? Pulau Bes 23:58, 25 Des 2004 (UTC)

Adapun "tidak mengubah esensi" - versi sebelumnya menekankan bahwa perbedaan definisi hanya dalam merujuk nol ke bilangan asli. Dalam versi Anda, definisi disajikan sangat berbeda. Adapun definisi "dasar", maka seharusnya begitu, karena artikel ini di Rusia Wikipedia, yang berarti pada dasarnya Anda harus berpegang pada apa yang Anda katakan diterima secara umum di sekolah matematika Rusia. Saya mengabaikan razia. --Maksal 00:15, 26 Des 2004 (UTC)

Padahal, ini hanya selisih nol saja. Faktanya, inilah perbedaan utama yang berasal dari pemahaman yang berbeda tentang sifat bilangan asli: dalam satu versi - sebagai kuantitas; di sisi lain - sebagai angka. Ini sangat konsep yang berbeda tidak peduli seberapa keras Anda mencoba untuk menyembunyikan bahwa Anda tidak memahaminya.

Tentang fakta bahwa di Wikipedia bahasa Rusia diharuskan mengutip sudut pandang Rusia sebagai yang dominan. Perhatikan baik-baik di sini. Lihatlah artikel bahasa Inggris tentang Natal. Tidak dikatakan bahwa Natal harus dirayakan pada tanggal 25 Desember, karena begitulah cara mereka merayakannya di Inggris dan Amerika Serikat. Kedua sudut pandang diberikan di sana (dan mereka berbeda tidak lebih dan tidak kurang dari perbedaan bilangan asli "dengan nol" dan "tanpa nol"), dan tidak satu kata pun tentang mana di antara mereka yang dianggap lebih benar.

Dalam artikel versi saya, kedua sudut pandang ditetapkan sebagai independen dan sama-sama valid. Standar Rusia ditunjukkan oleh kata-kata yang Anda rujuk di atas.

Mungkin, dari sudut pandang filosofis, konsep bilangan asli memang sangat berbeda, tetapi artikel tersebut pada dasarnya menawarkan definisi matematika, di mana perbedaannya adalah 0 N (\displaystyle 0\in \mathbb (N) ) atau 0 N (\displaystyle 0\not \in \mathbb (N) ) . Sudut pandang yang dominan atau tidak adalah masalah yang pelik. Saya menghargai ungkapan itu diamati di sebagian besar dunia Barat pada tanggal 25 Desember dari artikel bahasa Inggris tentang Natal sebagai mengungkapkan sudut pandang dominan, tanpa tanggal lain yang diberikan di paragraf pertama. Omong-omong, di versi artikel sebelumnya tentang bilangan asli juga tidak ada indikasi langsung tentang bagaimana diperlukan untuk menentukan bilangan asli, hanya definisi tanpa nol yang disajikan sebagai lebih umum (di Rusia). Bagaimanapun, ada baiknya kompromi telah ditemukan. --Maksal 00:53, 26 Des 2004 (UTC)

Yang agak mengejutkan adalah ungkapan "Dalam literatur Rusia, nol biasanya dikecualikan dari jumlah bilangan asli", tuan-tuan, nol tidak dianggap sebagai bilangan asli, kecuali ditentukan lain, di seluruh dunia. Bahasa Prancis yang sama, sejauh yang saya baca, secara khusus menetapkan pencantuman angka nol. Tentu saja, N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) lebih sering digunakan, tetapi jika, misalnya, saya menyukai wanita, saya tidak akan mengubah pria menjadi wanita. Druid. 2014-02-23

Ketidakpopuleran bilangan asli

Tampaknya bagi saya bahwa bilangan asli adalah subjek yang tidak populer dalam artikel matematika (mungkin paling tidak karena kurangnya definisi tunggal). Dalam pengalaman saya, saya sering menemukan istilah dalam artikel matematika bilangan bulat non-negatif Dan bilangan bulat positif(yang ditafsirkan dengan jelas) daripada bilangan bulat. Pihak yang berkepentingan diminta untuk menyatakan (tidak) setuju dengan pengamatan ini. Jika pengamatan ini menemukan dukungan, maka masuk akal untuk menunjukkannya di artikel. --Maks. 01:12, 26 Des 2004 (UTC)

Tanpa ragu, Anda benar di bagian ringkasan pernyataan Anda. Itu semua karena perbedaan definisi. Saya sendiri dalam beberapa kasus lebih memilih untuk menunjukkan "bilangan bulat positif" atau "bilangan bulat non-negatif" daripada "alami" untuk menghindari perbedaan mengenai penyertaan nol. Dan saya biasanya setuju dengan bagian operasi. Pulau Bes 01:19, 26 Des 2004 (UTC) Dalam artikel - ya, mungkin benar. Namun, dalam teks yang lebih banyak, serta di mana konsep sering digunakan, mereka biasanya masih menggunakan bilangan bulat, pendahuluan, bagaimanapun, menjelaskan "apa" bilangan asli yang sedang kita bicarakan - dengan atau tanpa nol. LoKi 19:31 30 Juli 2005 (UTC)

angka

Apakah layak mencantumkan nama-nama angka (satu, dua, tiga, dst.) di bagian akhir artikel ini? Bukankah lebih masuk akal untuk memasukkan ini ke dalam artikel Number? Namun, artikel ini, menurut saya, harus lebih bersifat matematis. Bagaimana menurut Anda? --LoKi 19:32, 30 Juli 2005 (UTC)

Secara umum, aneh bagaimana mungkin mendapatkan bilangan asli biasa dari himpunan *kosong*? Secara umum, berapa banyak kekosongan dan kekosongan yang tidak bergabung, kecuali kekosongan, tidak ada yang akan berhasil! Bukankah itu definisi alternatif sama sekali? Diposting pada 21:46, 17 Juli 2009 (Moskow)

Sifat kategoris dari sistem aksioma Peano

Saya menambahkan komentar tentang sifat kategoris dari sistem aksioma Peano, yang, menurut pendapat saya, adalah fundamental. Harap format tautan ke buku dengan benar[[User:A_Devyatkov 06:58, June 11, 2010 (UTC)]]

Aksioma Peano

Di hampir semua literatur asing dan di Wikipedia, aksioma Peano dimulai dengan "0 adalah bilangan asli." Memang, dalam sumber aslinya tertulis "1 adalah bilangan asli." Namun, pada tahun 1897 Peano melakukan perubahan dan mengubah 1 menjadi 0. Hal ini tertulis dalam "Formulaire de mathematiques", Volume II - No. 2. halaman 81. Ini adalah link ke versi elektronik di halaman kanan:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (fr).

Penjelasan dari perubahan ini diberikan dalam "Rivista di matematica", Volume 6-7, 1899, halaman 76. Juga tautan ke versi elektronik di halaman kanan:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (Italia).

0=0

Apa yang dimaksud dengan "aksioma meja putar digital"?

Saya ingin memutar kembali artikel ke versi patroli terbaru. Pertama, seseorang mengganti nama aksioma Peano menjadi aksioma Piano, karena itu tautannya berhenti bekerja. Kedua, Curd tertentu menambahkan informasi yang sangat besar ke artikel, yang menurut saya, sama sekali tidak pantas dalam artikel ini. Ditulis secara tidak ensiklopedis, selain itu, hasil Tvorogov sendiri dan tautan ke bukunya sendiri diberikan. Saya bersikeras bahwa bagian "aksioma meja putar digital" harus dihapus dari artikel ini. P.s. Mengapa bagian tentang angka nol dihapus? mesyarik 14:58, 12 Maret 2014 (UTC)

Topiknya tidak diungkapkan, definisi yang jelas tentang bilangan asli diperlukan

Tolong jangan menulis bid'ah seperti " Bilangan asli (bilangan asli) - angka yang muncul secara alami saat menghitung."Secara alami, tidak ada yang muncul di otak. Akan ada persis apa yang Anda taruh di sana.

Dan untuk anak berusia lima tahun, bagaimana menjelaskan bilangan berapa yang merupakan bilangan asli? Lagi pula, ada orang yang perlu dijelaskan sebagai anak berusia lima tahun. Apa perbedaan bilangan asli dengan bilangan biasa? Contoh yang dibutuhkan! 1, 2, 3 alami, dan 12 alami, dan -12? dan tiga perempat, atau misalnya 4,25 alami? 95.181.136.132 15:09 6 November 2014 (UTC)

• Bilangan asli adalah konsep dasar, abstraksi awal. Mereka tidak dapat didefinisikan. Anda dapat secara sewenang-wenang masuk jauh ke dalam filsafat, tetapi pada akhirnya Anda harus mengakui (mengambilnya dengan iman?) Beberapa sikap metafisik yang kaku, atau mengakui bahwa tidak ada definisi absolut, bilangan asli adalah bagian dari sistem formal buatan, sebuah model yang diciptakan oleh seseorang (atau Tuhan). Berikut ini adalah risalah yang menarik tentang masalah ini. Bagaimana Anda suka, misalnya, opsi ini: "Deret alami adalah sistem Peano yang konkret, yaitu, model teori aksiomatik Peano." Merasa lebih baik? RomanSuzi 17:52, 6 November 2014 (UTC)
  • Tampaknya dengan model dan teori aksiomatik Anda, Anda hanya memperumit segalanya. Definisi ini akan dipahami dalam kasus terbaik dua dari seribu orang. Oleh karena itu, saya pikir paragraf pertama kehilangan kalimat " Dengan kata sederhana: Bilangan asli adalah bilangan bulat positif dimulai dari satu inklusif." Definisi seperti itu terdengar normal bagi kebanyakan orang. Dan tidak ada alasan untuk meragukan definisi bilangan asli. Lagi pula, setelah membaca artikel itu, saya benar-benar tidak mengerti sampai akhir apa bilangan asli dan bilangan 807423 adalah bilangan asli atau bilangan asli adalah yang terdiri dari bilangan ini, yaitu 8 0 7 4 2 3. Seringkali komplikasi hanya merusak segalanya.Infa tentang bilangan asli harus ada di halaman ini dan tidak di banyak tautan ke halaman lain.95.181.136.132 10:03, 7 November 2014 (UTC)
    • Di sini perlu untuk membedakan antara dua tugas: (1) untuk dengan jelas (walaupun tidak ketat) menjelaskan kepada pembaca yang jauh dari matematika apa bilangan asli, sehingga dia kurang lebih memahami dengan benar; (2) untuk memberikan definisi yang ketat dari bilangan asli yang mengikuti sifat dasarnya. Anda benar dalam mendukung opsi pertama dalam pembukaan, tetapi justru itulah yang diberikan dalam artikel: bilangan asli adalah formalisasi matematika dari hitungan: satu, dua, tiga, dll. Contoh Anda (807423) dapat pasti berubah saat menghitung, yang berarti ini juga bilangan asli. Tidak jelas bagi saya mengapa Anda mencampur angka dan cara penulisannya dalam angka, ini adalah topik terpisah, tidak terkait langsung dengan definisi angka. Penjelasan Anda: bilangan asli adalah bilangan bulat positif dimulai dari satu inklusif» tidak baik, karena Anda tidak dapat mendefinisikan kurang dari konsep umum(bilangan asli) melalui (bilangan) yang lebih umum yang belum ditentukan. Sulit bagi saya untuk membayangkan seorang pembaca yang tahu apa itu bilangan bulat positif, tetapi tidak tahu apa itu bilangan asli. LGB 12:06 7 November 2014 (UTC)
      • Bilangan asli tidak dapat didefinisikan dalam bilangan bulat. RomanSuzi 17:01, 7 November 2014 (UTC)

• "Tentu saja, tidak ada yang terjadi di otak." Studi terbaru menunjukkan (saya tidak dapat menemukan tautan sekarang) bahwa otak manusia siap untuk menggunakan bahasa. Jadi, secara alami, dalam gen kita sudah ada kesiapan untuk menguasai bahasa. Nah, untuk bilangan asli inilah yang Anda butuhkan. Konsep "1" dapat ditunjukkan dengan tangan, dan kemudian - dengan induksi, tambahkan tongkat, dapatkan 2, 3, dan seterusnya. Atau : I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Tetapi mungkin Anda memiliki saran khusus untuk meningkatkan artikel, berdasarkan sumber yang sah? RomanSuzi 17:57, 6 November 2014 (UTC)

Apa itu bilangan asli dalam matematika?

Vladimir Z

Bilangan asli digunakan untuk menghitung objek dan menghitung jumlahnya. Untuk penomoran, digunakan bilangan bulat positif, mulai dari 1.

Dan untuk menghitung angka, 0 juga disertakan di sini, yang menunjukkan tidak adanya objek.

Apakah konsep bilangan asli mengandung angka 0 tergantung pada aksioma. Jika presentasi teori matematika apa pun membutuhkan kehadiran 0 dalam himpunan bilangan asli, maka ini ditetapkan dan dianggap sebagai kebenaran (aksioma) yang tak terbantahkan dalam teori ini. Definisi angka 0, baik positif maupun negatif, sangat dekat dengan ini. Jika kita mengambil definisi bilangan asli sebagai himpunan semua bilangan bulat NON-NEGATIF, maka muncul pertanyaan, apa angka 0 - positif atau negatif?

DI DALAM aplikasi praktis, sebagai aturan, definisi pertama digunakan, yang tidak menyertakan angka 0.

Pensil

Bilangan asli adalah bilangan bulat positif. Bilangan asli digunakan untuk menghitung (jumlah) objek atau untuk menunjukkan jumlah objek atau untuk menunjukkan nomor seri suatu objek dalam daftar. Beberapa penulis secara artifisial memasukkan nol dalam konsep "bilangan asli". Yang lain menggunakan kata-kata "bilangan asli dan nol". Ini tidak berprinsip. Himpunan bilangan asli tidak terbatas, karena dengan sembarang bilangan asli besar, Anda dapat melakukan operasi penjumlahan dengan bilangan asli lain dan mendapatkan bilangan yang lebih besar.

Bilangan negatif dan bukan bilangan bulat tidak termasuk dalam himpunan bilangan asli.

Sayan

Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung. Mereka hanya bisa positif dan utuh. Apa artinya ini dalam sebuah contoh? Karena angka-angka ini digunakan untuk menghitung, mari kita coba menghitung sesuatu. Apa yang bisa dihitung? Misalnya, orang. Kita dapat menghitung orang seperti ini: 1 orang, 2 orang, 3 orang, dst. Angka 1, 2, 3 dan lain-lain yang digunakan untuk menghitung akan alami. Kami tidak pernah mengatakan -1 (minus satu) orang atau 1,5 (satu setengah) orang (maaf untuk permainan kata-kata :), jadi -1 dan 1,5 (seperti semua bilangan negatif dan pecahan) bukan bilangan asli.

Lorelei

Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung benda.

Bilangan asli terkecil adalah satu. Pertanyaan yang sering muncul adalah apakah nol adalah bilangan asli. Tidak, itu tidak di sebagian besar sumber Rusia, tetapi di negara lain angka nol diakui sebagai alami ...

Moreljuba

Bilangan asli dalam matematika adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung sesuatu atau seseorang secara berurutan. Satu dianggap sebagai bilangan asli terkecil. Nol dalam banyak kasus tidak termasuk dalam kategori bilangan asli. Angka negatif juga tidak disertakan di sini.

Salam Slavia.

Bilangan asli, juga alami, adalah bilangan yang muncul dengan cara biasa ketika dihitung, yang lebih besar dari nol. Barisan setiap bilangan asli yang disusun dalam urutan menaik disebut deret asli.

Elena Nikityuk

Istilah bilangan asli digunakan dalam matematika. Bilangan bulat positif disebut bilangan asli. Bilangan asli terkecil dianggap "0". Untuk menghitung apa pun, mereka menggunakan yang sama - bilangan asli, misalnya 1,2,3 ... dan seterusnya.

Bilangan asli adalah bilangan yang kita hitung, yaitu isla satu, dua, tiga, empat, lima dan lainnya adalah bilangan asli.

Ini tentu saja bilangan positif yang lebih besar dari nol.

Bilangan pecahan juga tidak termasuk dalam himpunan bilangan asli.

-Anggrek-

Bilangan asli diperlukan untuk menghitung sesuatu. Mereka adalah serangkaian hanya angka positif, mulai dari satu. Penting untuk diketahui bahwa angka-angka ini adalah bilangan bulat eksklusif. Apa pun bisa dihitung dengan bilangan asli.

Marlena

Bilangan asli adalah bilangan bulat, yang biasanya kita gunakan saat menghitung objek apa pun. Nol seperti itu tidak termasuk dalam bidang bilangan asli, karena kita biasanya tidak menggunakannya dalam perhitungan.

Inara-pd

Bilangan asli adalah bilangan yang kita gunakan untuk menghitung - satu, dua, tiga, dan seterusnya.

Bilangan alami muncul dari kebutuhan praktis manusia.

Bilangan asli ditulis dengan sepuluh digit.

Nol bukan bilangan asli.

Apa itu bilangan asli?

Naumenko

Bilangan disebut bilangan asli. digunakan untuk penomoran dan penghitungan benda-benda alam (bunga, pohon, binatang, burung, dll.).

Bilangan bulat disebut angka ALAMI, MEREKA BERLAWANAN DAN NOL,

Menjelaskan. apa yang alami melalui bilangan bulat salah!! !

Bilangan genap - habis dibagi 2, dan ganjil - tidak habis dibagi 2.

Bilangan disebut bilangan prima. hanya memiliki 2 pembagi - satu dan dirinya sendiri ...
Persamaan pertama Anda tidak memiliki solusi. untuk x = 6 6 bilangan asli kedua.

Bilangan asli (natural number) - bilangan yang muncul secara alami selama penghitungan (baik dalam arti pencacahan maupun dalam arti kalkulus).

Himpunan semua bilangan asli biasanya dilambangkan dengan \mathbb(N). Himpunan bilangan asli tidak terbatas, karena untuk setiap bilangan asli ada bilangan asli yang lebih besar.

Anna Semenchenko

bilangan-bilangan yang timbul secara alamiah selama berhitung (baik dalam pengertian pencacahan maupun dalam pengertian kalkulus).
Ada dua pendekatan untuk definisi bilangan asli - bilangan yang digunakan dalam:
pencacahan (penomoran) item (pertama, kedua, ketiga, ...);
penunjukan jumlah item (tidak ada item, satu item, dua item, ...). Diadopsi dalam karya Bourbaki, di mana bilangan asli didefinisikan sebagai kekuatan himpunan hingga.
Bilangan negatif dan non-integer (rasional, real, ...) tidak alami.
Himpunan semua bilangan asli biasanya dilambangkan dengan tanda. Himpunan bilangan asli tidak terbatas, karena untuk setiap bilangan asli ada bilangan asli yang lebih besar.

bilangan bulat

Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung berbagai item atau untuk menunjukkan nomor seri dari setiap objek di antara yang serupa atau homogen.

Bilangan asli dapat ditulis menggunakan sepuluh digit pertama:

Untuk menulis bilangan asli sederhana, biasanya menggunakan kalkulus desimal posisional, di mana nilai setiap digit ditentukan oleh tempatnya dalam catatan.

Bilangan asli adalah bilangan paling sederhana yang sering kita gunakan dalam Kehidupan sehari-hari. Dengan bantuan angka-angka ini, kami membuat perhitungan, menghitung objek, menentukan jumlah, urutan, dan jumlahnya.

Kita mulai berkenalan dengan bilangan asli sejak usia dini, sehingga akrab dan alami bagi kita masing-masing.

Gagasan umum bilangan asli

Bilangan asli dirancang untuk membawa informasi tentang jumlah objek, nomor seri dan himpunan objek.

Seseorang menggunakan bilangan asli, karena mereka tersedia untuknya baik pada tingkat persepsi maupun pada tingkat reproduksi. Saat menyuarakan bilangan asli apa pun, kita dapat dengan mudah menangkapnya dengan telinga, dan setelah menggambarkan bilangan asli, kita melihatnya.

Semua bilangan asli disusun dalam urutan menaik dan membentuk barisan bilangan dimulai dari bilangan asli terkecil yaitu satu.

Jika kita telah memutuskan bilangan asli terkecil, maka akan lebih sulit dengan yang terbesar, karena bilangan seperti itu tidak ada karena deret bilangan asli tidak terbatas.

Ketika kita menambahkan satu ke bilangan asli, kita berakhir dengan angka yang mengikuti angka yang diberikan.

Angka seperti 0 bukanlah bilangan asli, tetapi hanya berfungsi untuk menunjukkan angka "nol" dan berarti "tidak ada". 0 berarti tidak adanya jumlah satuan deret ini dalam notasi desimal.

Semua bilangan asli dilambangkan dengan huruf kapital. huruf latin N.

Referensi sejarah untuk penunjukan bilangan asli

Pada zaman dahulu orang belum mengetahui apa itu bilangan dan bagaimana cara menghitung jumlah benda. Tetapi kemudian muncul kebutuhan untuk menghitung, dan lelaki itu menemukan cara menghitung ikan yang ditangkap, buah yang dikumpulkan, dll.

Sebentar lagi, manusia purba sampai pada kesimpulan bahwa lebih mudah untuk menuliskan jumlah yang dia butuhkan. Untuk tujuan ini orang primitif mereka mulai menggunakan kerikil, dan kemudian tongkat, yang diawetkan dalam angka Romawi.

Momen selanjutnya dalam perkembangan sistem kalkulus adalah penggunaan huruf abjad dalam notasi beberapa angka.

Sistem perhitungan pertama termasuk sistem India desimal dan Babilonia sexagesimal.

Sistem kalkulus modern, meskipun disebut bahasa Arab, sebenarnya adalah salah satu varian dari sistem India. Benar, dalam sistem perhitungannya tidak ada angka nol, tetapi orang-orang Arab menambahkannya, dan sistem memperoleh bentuknya saat ini.

Sistem desimal

Kami telah bertemu bilangan asli dan belajar cara menulisnya menggunakan sepuluh digit. Anda juga sudah tahu bahwa menulis angka dengan menggunakan tanda disebut sistem bilangan.

Nilai sebuah digit dalam entri angka tergantung pada posisinya dan disebut positional. Artinya, saat menulis bilangan asli, kita menggunakan kalkulus posisi.

Sistem ini didasarkan pada kedalaman bit dan desimal. Dalam sistem desimal, dasar untuk konstruksinya adalah angka dari 0 hingga 9.

Tempat khusus dalam sistem seperti itu diberikan kepada angka 10, karena, pada dasarnya, akun disimpan dalam puluhan.

Tabel kelas dan kategori:

Jadi, misalnya 10 satuan digabung menjadi puluhan, lalu menjadi ratusan, ribuan, dan sejenisnya. Oleh karena itu, bilangan 10 merupakan dasar dari sistem kalkulus dan disebut sistem kalkulus desimal.

bilangan bulat- angka yang digunakan untuk menghitung benda . Setiap bilangan asli dapat ditulis menggunakan sepuluh angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Catatan bilangan seperti itu disebut desimal.

Barisan semua bilangan asli disebut alam berdampingan .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Paling kecil bilangan asli adalah satu (1). Dalam deret alami, setiap angka berikutnya adalah 1 lebih banyak dari yang sebelumnya. seri alami tak berujung tidak ada bilangan terbesar.

Arti angka tergantung pada tempatnya dalam notasi angka. Misalnya, angka 4 berarti: 4 satuan jika berdiri di atas tempat terakhir dalam entri nomor (dalam satuan tempat); 4 sepuluh, jika dia berada di tempat terakhir (di tempat puluhan); 4 ratusan, jika di tempat ketiga dari akhir (di dalam tempat ratusan).

Angka 0 artinya kurangnya unit kategori ini dalam notasi desimal suatu angka. Ini juga berfungsi untuk menunjukkan angka " nol". Angka ini berarti "tidak ada". Skor 0:3 pertandingan sepak bola mengatakan bahwa tim pertama tidak mencetak satu gol pun melawan lawan.

Nol tidak termasuk ke bilangan asli. Dan memang penghitungan barang tidak pernah dimulai dari awal.

Jika bilangan asli hanya memiliki satu digit – satu digit, maka itu disebut jelas. Itu. jelasbilangan asli- bilangan asli yang catatannya terdiri dari satu karakter – satu angka. Misalnya, angka 1, 6, 8 adalah satu digit.

dua digitbilangan asli- bilangan asli, catatan yang terdiri dari dua karakter - dua digit.

Misalnya, angka 12, 47, 24, 99 adalah dua digit.

Juga, sesuai dengan jumlah karakter dalam nomor tertentu, nama diberikan ke nomor lain:

angka 326, 532, 893 - tiga digit;

angka 1126, 4268, 9999 - empat digit dll.

Dua digit, tiga digit, empat digit, lima digit, dll. nomor disebut angka multi-digit .

Untuk membaca angka multi-digit, mereka dibagi, mulai dari kanan, menjadi kelompok-kelompok yang masing-masing terdiri dari tiga digit (kelompok paling kiri dapat terdiri dari satu atau dua digit). Kelompok-kelompok ini disebut kelas.

Juta adalah seribu ribu (1000 ribu), ditulis 1 juta atau 1.000.000.

Miliar adalah 1000 juta. Tercatat sebesar 1 miliar atau 1.000.000.000.

Tiga digit pertama di sebelah kanan membentuk kelas satuan, tiga berikutnya - kelas ribuan, lalu ada kelas jutaan, miliaran, dll. (Gbr. 1).

Beras. 1. Kelas jutaan, kelas ribuan dan kelas satuan (dari kiri ke kanan)

Angka 15389000286 ditulis dalam bit grid (Gbr. 2).

Beras. 2. Digit grid: angka 15 miliar 389 juta 286

Jumlah ini memiliki 286 orang di kelas satu, nol orang di kelas ribuan, 389 orang di kelas jutaan, dan 15 orang di kelas miliaran.

Pada abad kelima SM filosof Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama Achilles berlari sejauh ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum dapat mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa tipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya mengerti, peralatan matematika aplikasi unit variabel pengukurannya belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dari sudut pandang fisik, ini terlihat seperti perlambatan waktu hingga benar-benar berhenti pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.

Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya menjadi pada tempatnya. Achilles berjalan dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? tinggal di satuan konstan pengukuran waktu dan tidak beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi tidak solusi lengkap Masalah. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda) . Apa yang ingin saya fokuskan? Perhatian khusus, adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah hal yang berbeda yang tidak boleh dikacaukan, karena memberikan peluang eksplorasi yang berbeda.

Rabu, 4 Juli 2018

Sangat baik perbedaan antara set dan multiset dijelaskan di Wikipedia. Kami melihat.

Seperti yang Anda lihat, "kumpulan tidak dapat memiliki dua elemen yang identik", tetapi jika ada elemen yang identik di dalam himpunan, himpunan seperti itu disebut "multiset". Makhluk yang berakal tidak akan pernah mengerti logika absurditas seperti itu. Ini adalah tingkat burung beo yang bisa berbicara dan monyet yang terlatih, di mana pikiran absen dari kata "sepenuhnya". Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengkhotbahkan ide-ide absurd mereka kepada kita.

Sekali waktu, para insinyur yang membangun jembatan berada di sebuah perahu di bawah jembatan selama pengujian jembatan. Jika jembatan runtuh, insinyur biasa-biasa saja mati di bawah puing-puing ciptaannya. Jika jembatan dapat menahan beban, insinyur berbakat membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana matematikawan bersembunyi di balik ungkapan "ingat aku, aku di rumah", atau lebih tepatnya "matematika mempelajari konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika untuk matematikawan itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di meja kas, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan meletakkannya di meja kami ke dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami meletakkan uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu tagihan dari setiap tumpukan dan memberikan "kumpulan gaji matematika" kepada ahli matematika itu. Kami menjelaskan matematika bahwa dia akan menerima sisa tagihan hanya ketika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: "Anda dapat menerapkannya pada orang lain, tetapi tidak pada saya!" Selanjutnya, jaminan akan dimulai bahwa ada nomor uang kertas yang berbeda pada uang kertas dari denominasi yang sama, yang berarti bahwa mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang identik. Yah, kami menghitung gaji dalam koin - tidak ada angka di koin. Di sini ahli matematika akan dengan panik mengingat fisika: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom untuk setiap koin adalah unik ...

Dan sekarang saya memiliki yang paling banyak minat Tanyakan: di mana batas di mana elemen multiset berubah menjadi elemen himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains di sini bahkan tidak dekat.

Lihat di sini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama, artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita mempertimbangkan nama stadion yang sama, kita dapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama adalah himpunan dan multiset pada waktu yang sama. Bagaimana benar? Dan di sini matematikawan-dukun-shuller mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang satu set atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, mengikatnya dengan kenyataan, cukup untuk menjawab satu pertanyaan: bagaimana elemen satu himpunan berbeda dari elemen himpunan lain? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".

Minggu, 18 Maret 2018

Jumlah digit angka adalah tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk menemukan jumlah digit angka dan menggunakannya, tetapi mereka adalah dukun untuk itu, untuk mengajari keturunan mereka keterampilan dan kebijaksanaan mereka, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.

Apakah Anda perlu bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah Digit Angka". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dengannya Anda dapat menemukan jumlah digit dari bilangan apa pun. Bagaimanapun, angka adalah simbol grafik yang dengannya kita menulis angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya terdengar seperti ini: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak dapat memecahkan masalah ini, tetapi dukun dapat melakukannya secara mendasar.

Mari kita cari tahu apa dan bagaimana kita lakukan untuk menemukan jumlah digit nomor yang diberikan. Jadi, katakanlah kita memiliki bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk menemukan jumlah angka dari bilangan ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.

1. Tulis nomornya di secarik kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengonversi angka menjadi simbol grafik angka. Ini bukan operasi matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang diterima menjadi beberapa gambar yang berisi nomor terpisah. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.

3. Ubah karakter grafik individu menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.

4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang itu matematika.

Jumlah angka dari angka 12345 adalah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" dari dukun yang digunakan oleh ahli matematika. Tapi itu tidak semua.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah di sistem bilangan mana kita menulis bilangan. Jadi, di sistem yang berbeda perhitungannya, jumlah angka-angka dari bilangan yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subscript di sebelah kanan bilangan. DARI jumlah yang besar 12345 Saya tidak ingin membodohi kepala saya, perhatikan nomor 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka dari angka yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Ini seperti menemukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter akan memberikan hasil yang sama sekali berbeda.

Nol di semua sistem bilangan terlihat sama dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta bahwa . Sebuah pertanyaan untuk matematikawan: bagaimana itu dilambangkan dalam matematika yang bukan angka? Apa, untuk ahli matematika, tidak ada yang lain selain angka? Untuk dukun, saya bisa mengizinkan ini, tetapi untuk ilmuwan, tidak. Realitas bukan hanya tentang angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak dapat membandingkan angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeda dari jumlah yang sama menyebabkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka itu tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil tindakan matematika tidak bergantung pada nilai angka, satuan ukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan ini.

Tanda di pintu Membuka pintu dan berkata:

Aduh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa yang tidak terbatas saat naik ke surga! Nimbus di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?

Betina... Lingkaran di atas dan panah ke bawah adalah jantan.

Jika Anda memiliki karya seni desain seperti itu yang muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,

Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:

Secara pribadi, saya berusaha sendiri untuk melihat minus empat derajat pada orang yang buang air besar (satu gambar) (susunan beberapa gambar: tanda minus, angka empat, penunjukan derajat). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip busur persepsi gambar grafis. Dan matematikawan mengajari kita ini sepanjang waktu. Berikut adalah contoh.

1A bukan "minus empat derajat" atau "satu a". Ini adalah "orang buang air besar" atau angka "dua puluh enam" dalam sistem bilangan heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem angka ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.