Bilangan asli satu digit. bilangan bulat

bilangan bulat

bilangan bulat definisi adalah bilangan bulat positif. Bilangan asli digunakan untuk menghitung objek dan untuk banyak tujuan lainnya. Berikut angka-angkanya:

Ini adalah deret bilangan alami.
Nol adalah bilangan asli? Tidak, nol bukanlah bilangan asli.
Ada berapa bilangan asli? Ada himpunan tak terbatas bilangan asli.
Berapakah bilangan asli terkecil? Salah satunya adalah bilangan asli terkecil.
Berapakah bilangan asli terbesar? Itu tidak dapat ditentukan, karena ada himpunan tak terbatas dari bilangan asli.

Jumlah bilangan asli adalah bilangan asli. Jadi, penjumlahan bilangan asli a dan b:

Hasil kali bilangan asli adalah bilangan asli. Jadi, hasil kali bilangan asli a dan b:

c selalu bilangan asli.

Perbedaan bilangan asli Tidak selalu ada bilangan asli. Jika minuend lebih besar dari subtrahend, maka selisih bilangan asli adalah bilangan asli, sebaliknya tidak.

Hasil bagi bilangan asli Tidak selalu ada bilangan asli. Jika untuk bilangan asli a dan b

dimana c adalah bilangan asli, artinya a habis dibagi b. Dalam contoh ini, a adalah dividen, b adalah pembagi, c adalah hasil bagi.

Pembagi suatu bilangan asli adalah bilangan asli yang dengannya bilangan pertama habis dibagi rata.

Setiap bilangan asli habis dibagi 1 dan dirinya sendiri.

Bilangan asli sederhana hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Di sini yang kami maksud adalah terbagi sepenuhnya. Contoh, nomor 2; 3; 5; 7 hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Ini adalah bilangan asli sederhana.

Satu tidak dianggap sebagai bilangan prima.

Bilangan yang lebih besar dari satu dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Contoh bilangan komposit:

Satu tidak dianggap sebagai bilangan komposit.

Himpunan bilangan asli terdiri dari satu, bilangan prima dan bilangan komposit.

Himpunan bilangan asli dilambangkan huruf latin N.

Sifat-sifat penjumlahan dan perkalian bilangan asli:

sifat komutatif penjumlahan

sifat asosiatif penjumlahan

(a + b) + c = a + (b + c);

sifat komutatif perkalian

sifat asosiatif perkalian

(ab)c = a(bc);

sifat distributif perkalian

A (b + c) = ab + ac;

Bilangan bulat

Integer adalah bilangan asli, nol dan kebalikan dari bilangan asli.

Bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli adalah bilangan bulat negatif, contoh:

1; -2; -3; -4;...

Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf latin Z.

Angka rasional

Angka rasional adalah bilangan bulat dan pecahan.

Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan periodik. Contoh:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Dapat dilihat dari contoh bahwa bilangan bulat apa pun adalah pecahan periodik dengan periode nol.

Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat nomor, n alami nomor. Mari kita nyatakan angka 3,(6) dari contoh sebelumnya sebagai pecahan.

Apa itu bilangan asli dan bukan bilangan asli? Bagaimana menjelaskan kepada seorang anak, atau mungkin tidak kepada seorang anak, apa perbedaan di antara mereka? Mari kita cari tahu. Sejauh yang kami ketahui, bilangan non alami dan bilangan asli dipelajari di kelas 5, dan tujuan kami adalah untuk menjelaskan kepada siswa agar mereka benar-benar memahami dan mempelajari apa dan bagaimana.

Cerita

Bilangan asli adalah salah satu konsep tertua. Dahulu kala, ketika orang masih tidak tahu cara menghitung dan tidak tahu tentang angka, ketika mereka perlu menghitung sesuatu, misalnya, ikan, binatang, mereka pingsan. berbagai mata pelajaran titik atau garis, seperti yang kemudian ditemukan oleh para arkeolog. Pada saat itu sangat sulit bagi mereka untuk hidup, tetapi peradaban pertama kali berkembang ke sistem angka Romawi, dan kemudian ke sistem angka desimal. Sekarang hampir semua orang menggunakan angka Arab.

Semua tentang bilangan asli

Bilangan asli adalah bilangan prima yang kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari untuk menghitung benda untuk menentukan jumlah dan urutannya. Saat ini kami menggunakan notasi desimal untuk menulis angka. Untuk menuliskan angka apa pun, kami menggunakan sepuluh digit - dari nol hingga sembilan.

Bilangan asli adalah bilangan yang kita gunakan saat menghitung benda atau menunjukkan nomor urut sesuatu. Contoh: 5, 368, 99, 3684.

Deret bilangan disebut bilangan asli, yang disusun dalam urutan menaik, yaitu. dari satu hingga tak terhingga. Baris ini dimulai dengan bilangan terkecil- 1, dan tidak ada bilangan asli terbesar, karena deret bilangan tidak terbatas.

Secara umum, nol tidak dianggap sebagai bilangan asli, karena itu berarti tidak adanya sesuatu, dan juga tidak ada penghitungan benda.

Sistem bilangan arab adalah sistem modern yang kita gunakan setiap hari. Ini adalah salah satu varian dari India (desimal).

Sistem bilangan ini menjadi modern karena angka 0, yang ditemukan oleh orang Arab. Sebelum itu, itu tidak ada dalam sistem India.

bilangan non-alami. Apa itu?

Bilangan asli tidak termasuk bilangan negatif dan bukan bilangan bulat. Jadi mereka - bilangan non-alami

Di bawah ini adalah contoh.

Bilangan tidak asli adalah:

Bilangan negatif, contoh: -1, -5, -36.. dan seterusnya.
Bilangan rasional yang dinyatakan dalam desimal: 4,5, -67, 44,6.
Dalam bentuk pecahan sederhana: 1/2, 40 2/7, dst.

Bilangan irasional, seperti e = 2,71828, 2 = 1,41421 dan sejenisnya.

Kami berharap kami telah banyak membantu Anda dengan bilangan asli dan non-alami. Sekarang akan menjadi lebih mudah bagi Anda untuk menjelaskan topik ini kepada anak Anda, dan dia akan mempelajarinya sebaik para ahli matematika yang hebat!

Matematika muncul dari filsafat umum sekitar abad keenam SM. e., dan sejak saat itu memulai pawai kemenangannya di seluruh dunia. Setiap tahap perkembangan memperkenalkan sesuatu yang baru - akun dasar berevolusi, berubah menjadi kalkulus diferensial dan integral, berabad-abad berubah, rumus menjadi semakin membingungkan, dan saatnya tiba ketika "yang paling matematika kompleks- semua nomor menghilang darinya. Tapi apa dasarnya?

Awal waktu

Bilangan asli muncul setara dengan yang pertama operasi matematika. Sekali tulang belakang, dua duri, tiga duri ... Mereka muncul berkat ilmuwan India yang menyimpulkan posisi pertama

Kata "positionality" berarti bahwa lokasi setiap digit dalam suatu angka ditentukan secara ketat dan sesuai dengan kategorinya. Misalnya, angka 784 dan 487 adalah angka yang sama, tetapi angkanya tidak setara, karena yang pertama termasuk 7 ratusan, sedangkan yang kedua hanya 4. Inovasi orang India diambil oleh orang-orang Arab, yang membawa angka ke bentuk yang kita kenal sekarang.

Pada zaman kuno, angka diberi makna mistis, Pythagoras percaya bahwa angka mendasari penciptaan dunia bersama dengan elemen utama - api, air, bumi, udara. Jika kita mempertimbangkan semuanya hanya dari sisi matematika, lalu apa itu bilangan asli? Bidang bilangan asli dilambangkan sebagai N dan merupakan barisan bilangan tak hingga yang bilangan bulat dan positif: 1, 2, 3, … + . Nol dikecualikan. Hal ini terutama digunakan untuk menghitung item dan menunjukkan pesanan.

Apa yang ada dalam matematika? Aksioma Peano

Bidang N adalah bidang dasar yang menjadi dasar matematika dasar. Seiring waktu, bidang bilangan bulat, rasional,

Karya matematikawan Italia Giuseppe Peano memungkinkan penataan aritmatika lebih lanjut, mencapai formalitasnya dan membuka jalan bagi kesimpulan lebih lanjut yang melampaui bidang N.

Apa itu bilangan asli, sudah ditemukan sebelumnya bahasa sederhana, definisi matematis berdasarkan aksioma Peano akan dibahas di bawah ini.

Satu dianggap sebagai bilangan asli.
Bilangan yang mengikuti bilangan asli adalah bilangan asli.
Tidak ada bilangan asli sebelum satu.
Jika angka b mengikuti kedua angka c dan angka d, maka c=d.
Aksioma induksi, yang selanjutnya menunjukkan apa itu bilangan asli: jika beberapa pernyataan yang bergantung pada suatu parameter benar untuk bilangan 1, maka kita asumsikan itu juga berlaku untuk bilangan n dari bidang bilangan asli N. Kemudian pernyataan ini juga benar untuk n =1 dari bidang bilangan asli N.

Operasi dasar untuk bidang bilangan asli

Karena bidang N menjadi yang pertama untuk perhitungan matematis, baik domain definisi maupun rentang nilai dari sejumlah operasi di bawah ini merujuk padanya. Mereka tertutup dan tidak. Perbedaan utama adalah bahwa operasi tertutup dijamin untuk meninggalkan hasil dalam himpunan N, tidak peduli berapa pun angka yang terlibat. Sudah cukup bahwa mereka alami. Hasil dari interaksi numerik yang tersisa tidak lagi begitu ambigu dan secara langsung tergantung pada jenis angka apa yang terlibat dalam ekspresi, karena mungkin bertentangan dengan definisi utama. Jadi, operasi tertutup:

penambahan - x + y = z, di mana x, y, z termasuk dalam bidang N;
perkalian - x * y = z, di mana x, y, z termasuk dalam bidang N;
eksponensial - x y , di mana x, y termasuk dalam bidang N.

Operasi yang tersisa, yang hasilnya mungkin tidak ada dalam konteks definisi "apa itu bilangan asli", adalah sebagai berikut:

Sifat-sifat bilangan yang termasuk dalam bidang N

Semua penalaran matematis selanjutnya akan didasarkan pada sifat-sifat berikut, yang paling sepele, tetapi tidak kalah pentingnya.

Sifat komutatif penjumlahan adalah x + y = y + x, di mana bilangan x, y termasuk dalam bidang N. Atau yang terkenal "jumlah tidak berubah dari perubahan tempat suku."
Sifat komutatif perkalian adalah x * y = y * x, di mana bilangan x, y termasuk dalam bidang N.
Sifat asosiatif penjumlahan adalah (x + y) + z = x + (y + z), di mana x, y, z termasuk dalam bidang N.
Sifat asosiatif perkalian adalah (x * y) * z = x * (y * z), di mana bilangan x, y, z termasuk dalam bidang N.
sifat distribusi - x (y + z) = x * y + x * z, di mana bilangan x, y, z termasuk dalam bidang N.

tabel phytagoras

Salah satu langkah awal pengetahuan seluruh struktur matematika dasar oleh anak sekolah, setelah mereka memahami sendiri bilangan mana yang disebut bilangan asli, adalah tabel Pythagoras. Itu dapat dianggap tidak hanya dari sudut pandang sains, tetapi juga sebagai monumen ilmiah yang berharga.

Tabel perkalian ini telah mengalami sejumlah perubahan dari waktu ke waktu: nol telah dihapus darinya, dan angka dari 1 hingga 10 menunjukkan dirinya sendiri, tanpa memperhitungkan pesanan akun (ratusan, ribuan ...). Ini adalah tabel di mana judul baris dan kolom adalah angka, dan isi sel perpotongannya sama dengan produk mereka.

Dalam praktik mengajar dalam beberapa dekade terakhir, ada kebutuhan untuk menghafal tabel Pythagoras "secara berurutan", yaitu menghafal terlebih dahulu. Perkalian dengan 1 dikeluarkan karena hasilnya 1 atau lebih besar. Sementara itu, pada tabel dengan mata telanjang, Anda dapat melihat sebuah pola: hasil kali angka bertambah satu langkah, yang sama dengan judul baris. Jadi, faktor kedua menunjukkan kepada kita berapa kali kita perlu mengambil yang pertama untuk mendapatkan produk yang diinginkan. Sistem ini tidak seperti yang dipraktikkan pada Abad Pertengahan: bahkan memahami apa itu bilangan asli dan betapa sepelenya itu, orang berhasil memperumit penghitungan sehari-hari mereka menggunakan sistem yang didasarkan pada kekuatan dua.

Subset sebagai tempat lahir matematika

pada saat ini bidang bilangan asli N dianggap hanya sebagai salah satu himpunan bagian dari bilangan kompleks, tetapi ini tidak membuatnya kurang berharga dalam sains. Bilangan asli adalah hal pertama yang dipelajari seorang anak dengan mempelajari dirinya sendiri dan dunia di sekitarnya. Satu jari, dua jari ... Berkat dia, seseorang terbentuk berpikir logis, serta kemampuan untuk menentukan penyebab dan menyimpulkan akibat, membuka jalan bagi penemuan-penemuan hebat.

bilangan paling sederhana adalah bilangan asli. Mereka digunakan dalam Kehidupan sehari-hari untuk menghitung item, yaitu untuk menghitung jumlah dan urutannya.

Apa itu bilangan asli: bilangan asli sebutkan bilangan yang digunakan untuk menghitung item atau untuk menunjukkan nomor seri item apa pun dari semua homogen item.

bilangan bulatadalah angka yang dimulai dari satu. Mereka terbentuk secara alami saat menghitung.Misalnya, 1,2,3,4,5... -bilangan asli pertama.

bilangan asli terkecil- satu. Tidak ada bilangan asli terbesar. Saat menghitung angka nol tidak digunakan, jadi nol adalah bilangan asli.

deret bilangan asli adalah barisan semua bilangan asli. Tulis bilangan asli:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Dalam bilangan asli, setiap nomor lebih banyak satu dari yang sebelumnya.

Berapa banyak bilangan dalam deret asli? Deret alami tidak terbatas, tidak ada bilangan asli terbesar.

Desimal karena 10 unit dari kategori apa pun membentuk 1 unit dengan urutan tertinggi. posisional jadi bagaimana nilai angka tergantung pada tempatnya di nomor, mis. dari kategori di mana ia direkam.

Kelas bilangan asli.

Setiap bilangan asli dapat ditulis menggunakan 10 angka Arab:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Untuk membaca bilangan asli, mereka dibagi, mulai dari kanan, menjadi kelompok-kelompok yang masing-masing terdiri dari 3 digit. 3 dulu bilangan di sebelah kanan adalah golongan satuan, 3 selanjutnya golongan ribuan, kemudian golongan jutaan, milyaran dandll. Setiap digit dari kelas disebutmemulangkan.

Perbandingan bilangan asli.

Dari 2 bilangan asli, bilangan yang dipanggil tadi dalam hitungan lebih sedikit. Misalnya, nomor 7 lebih kecil 11 (ditulis seperti ini:7 < 11 ). Ketika satu nomor lebih dari satu detik, tertulis seperti ini:386 > 99 .

Tabel angka dan kelas angka.


satuan kelas 1	angka satuan pertama tempat kedua sepuluh peringkat ke-3 ratusan
kelas 2 ribu	Satuan digit pertama dari ribuan angka ke-2 puluhan ribu peringkat 3 ratusan ribu
kelas 3 jutaan	1 digit unit juta digit ke-2 puluhan juta Digit ketiga ratusan juta
miliaran kelas 4	Satuan digit pertama miliar digit ke-2 puluhan miliar Digit ke-3 ratusan miliar

Angka kelas 5 dan lebih tinggi mengacu pada angka besar. Unit kelas 5 - triliunan, 6th kelas - kuadriliun, kelas 7 - triliun, kelas 8 - sextillions, kelas 9 - eptillions.

Sifat dasar bilangan asli.

Komutatifitas penjumlahan . a + b = b + a
Komutatifitas perkalian. ab=ba
Asosiatif penjumlahan. (a + b) + c = a + (b + c)
Asosiatif perkalian.
Distribusi perkalian terhadap penjumlahan:

Tindakan pada bilangan asli.

4. Pembagian bilangan asli adalah operasi kebalikan dari perkalian.

Jika sebuah b c \u003d a, kemudian

Rumus pembagian:

a: 1 = a

a: a = 1, a 0

0: a = 0, a 0

(sebuahb) : c = (a:c) b

(sebuahb) : c = (b:c) a

Ekspresi numerik dan persamaan numerik.

Notasi yang menghubungkan bilangan dengan tanda aksi adalah ekspresi numerik.

Misalnya, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Entri di mana tanda sama dengan menggabungkan 2 ekspresi numerik adalah persamaan numerik. Kesetaraan memiliki sisi kiri dan sisi kanan.

Urutan operasi aritmatika yang dilakukan.

Penjumlahan dan pengurangan bilangan adalah operasi derajat pertama, sedangkan perkalian dan pembagian adalah operasi derajat kedua.

Ketika ekspresi numerik terdiri dari tindakan hanya satu derajat, maka mereka dilakukan secara berurutan dari kiri ke kanan.

Ketika ekspresi terdiri dari tindakan hanya tingkat pertama dan kedua, maka tindakan pertama kali dilakukan derajat kedua, dan kemudian - tindakan tingkat pertama.

Ketika ada tanda kurung dalam ekspresi, tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu.

Misalnya, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

bilangan bulat- angka yang digunakan untuk menghitung benda . Setiap bilangan asli dapat ditulis menggunakan sepuluh angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Catatan bilangan seperti itu disebut desimal.

Barisan semua bilangan asli disebut alam berdampingan .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Paling kecil bilangan asli adalah satu (1). Dalam deret alami, setiap angka berikutnya adalah 1 lebih banyak dari yang sebelumnya. seri alami tak berujung tidak ada bilangan terbesar.

Arti angka tergantung pada tempatnya dalam notasi angka. Misalnya, angka 4 berarti: 4 satuan jika berdiri di atas tempat terakhir dalam entri nomor (dalam satuan tempat); 4 sepuluh, jika dia berada di tempat terakhir (di tempat puluhan); 4 ratusan, jika di tempat ketiga dari akhir (di tempat ratusan).

Angka 0 artinya kurangnya unit kategori ini dalam notasi desimal suatu angka. Ini juga berfungsi untuk menunjukkan angka " nol". Angka ini berarti "tidak ada". Skor 0:3 pertandingan sepak bola mengatakan bahwa tim pertama tidak mencetak satu gol pun melawan lawan.

Nol tidak termasuk ke bilangan asli. Dan memang penghitungan barang tidak pernah dimulai dari awal.

Jika bilangan asli hanya memiliki satu digit – satu digit, maka itu disebut jelas. Itu. jelasbilangan asli- bilangan asli yang catatannya terdiri dari satu tanda – satu angka. Misalnya, angka 1, 6, 8 adalah satu digit.

dua digitbilangan asli- bilangan asli, catatan yang terdiri dari dua karakter - dua digit.

Misalnya, angka 12, 47, 24, 99 adalah dua digit.

Juga, sesuai dengan jumlah karakter dalam nomor tertentu, nama diberikan ke nomor lain:

angka 326, 532, 893 - tiga digit;

angka 1126, 4268, 9999 - empat digit dll.

Dua digit, tiga digit, empat digit, lima digit, dll. nomor disebut angka multi-digit .

Untuk membaca angka multi-digit, mereka dibagi, mulai dari kanan, menjadi kelompok-kelompok yang masing-masing terdiri dari tiga digit (kelompok paling kiri dapat terdiri dari satu atau dua digit). Kelompok-kelompok ini disebut kelas.

Juta adalah seribu ribu (1000 ribu), ditulis 1 juta atau 1.000.000.

Miliar adalah 1000 juta. Tercatat sebesar 1 miliar atau 1.000.000.000.

Tiga digit pertama di sebelah kanan membentuk kelas satuan, tiga berikutnya - kelas ribuan, lalu ada kelas jutaan, miliaran, dll. (Gbr. 1).

Beras. 1. Kelas jutaan, kelas ribuan dan kelas satuan (dari kiri ke kanan)

Angka 15389000286 ditulis dalam bit grid (Gbr. 2).