«կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծում». Ռացիոնալ հավասարումներ

Պարզեցնելու համար օգտագործվում է ամենացածր ընդհանուր հայտարարը տրված հավասարումը. Այս մեթոդը օգտագործվում է, երբ դուք չեք կարող գրել տրված հավասարումը հավասարման յուրաքանչյուր կողմում մեկ ռացիոնալ արտահայտությամբ (և օգտագործել խաչաձև բազմապատկման մեթոդը): Այս մեթոդը կիրառվում է, երբ ձեզ տրվում է ռացիոնալ հավասարում 3 կամ ավելի կոտորակներով (երկու կոտորակի դեպքում խաչաձև բազմապատկումն ավելի լավ է):

Գտե՛ք կոտորակների ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը (կամ ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը): NOZ-ն է ամենափոքր թիվը, որը հավասարապես բաժանվում է յուրաքանչյուր հայտարարի վրա։

• Երբեմն NOZ-ը ակնհայտ թիվ է: Օրինակ, եթե տրված է հավասարումը` x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, ապա ակնհայտ է, որ 3, 2 և 6 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կլինի 6-ը:
• Եթե ​​NOD-ն ակնհայտ չէ, գրեք ամենամեծ հայտարարի բազմապատիկները և դրանցից գտեք մեկը, որը նույնպես մյուս հայտարարի բազմապատիկն է: Դուք հաճախ կարող եք գտնել NOD-ը՝ պարզապես երկու հայտարարները միասին բազմապատկելով: Օրինակ, եթե տրված է x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 հավասարումը, ապա NOZ = 8*9 = 72:
• Եթե ​​մեկ կամ մի քանի հայտարար պարունակում է փոփոխական, ապա գործընթացը որոշ չափով ավելի բարդ է (բայց ոչ անհնար): Այս դեպքում NOZ-ը արտահայտություն է (պարունակում է փոփոխական), որը բաժանվում է յուրաքանչյուր հայտարարի վրա։ Օրինակ՝ 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) հավասարման մեջ, քանի որ այս արտահայտությունը բաժանվում է յուրաքանչյուր հայտարարի՝ 3x(x-1)/(x): -1) = 3x; 3x (x-1) / 3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1):

Յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչը և հայտարարը բազմապատկեք մի թվով, որը հավասար է NOZ-ը յուրաքանչյուր կոտորակի համապատասխան հայտարարի վրա բաժանելու արդյունքին: Քանի որ դուք բազմապատկում եք և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը նույն թվով, դուք արդյունավետորեն բազմապատկում եք կոտորակը 1-ով (օրինակ՝ 2/2 = 1 կամ 3/3 = 1):

• Այսպիսով, մեր օրինակում բազմապատկեք x/3-ը 2/2-ով և ստացեք 2x/6, իսկ 1/2-ը 3/3-ով և ստացեք 3/6 (3x + 1/6 պետք չէ բազմապատկել, քանի որ հայտարարը հետևյալն է. 6).
• Գործեք նույն կերպ, երբ փոփոխականը հայտարարի մեջ է: Մեր երկրորդ օրինակում NOZ = 3x(x-1), ուստի 5/(x-1) անգամ (3x)/(3x) հավասար է 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x անգամ 3(x-1)/3(x-1) ստանալու համար 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) բազմապատկեք (x-1)/(x-1)-ով և կստանաք 2(x-1)/3x(x-1):

Գտեք x.Այժմ, երբ դուք կրճատել եք կոտորակները ընդհանուր հայտարարի, կարող եք ազատվել հայտարարից: Դա անելու համար հավասարման յուրաքանչյուր կողմը բազմապատկեք ընդհանուր հայտարարով: Ապա լուծե՛ք ստացված հավասարումը, այսինքն՝ գտե՛ք «x»։ Դա անելու համար մեկուսացրեք փոփոխականը հավասարման մի կողմում:

• Մեր օրինակում՝ 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6: Դրանով կարող եք ավելացնել 2 կոտորակ նույն հայտարարը, ուրեմն հավասարումը գրի՛ր՝ (2x+3)/6=(3x+1)/6։ Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով և ազատվեք հայտարարներից՝ 2x+3 = 3x +1: Լուծեք և ստացեք x = 2:
• Մեր երկրորդ օրինակում (հայտնի փոփոխականով), հավասարումը նման է (ընդհանուր հայտարարի կրճատումից հետո). 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x): -1) + 2 (x-1)/3x (x-1): Հավասարման երկու կողմերը NOZ-ով բազմապատկելով՝ դուք ազատվում եք հայտարարից և ստանում՝ 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), կամ 15x = 3x - 3 + 2x -2, կամ. 15x = x - 5 Լուծի՛ր և ստացի՛ր՝ x = -5/14:

Պարզ ասած, սրանք հավասարումներ են, որոնցում առկա է առնվազն մեկը հայտարարի մեջ փոփոխականով:

Օրինակ:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Օրինակ ոչկոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Ինչպե՞ս են լուծվում կոտորակային ռացիոնալ հավասարումները:

Հիմնական բանը, որ պետք է հիշել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների մասին, այն է, որ պետք է գրել դրանց մեջ: Իսկ արմատները գտնելուց հետո անպայման ստուգեք դրանք թույլատրելիության համար։ Հակառակ դեպքում կարող են հայտնվել կողմնակի արմատներ, և ամբողջ լուծումը սխալ կհամարվի:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմ.

Դուրս գրեք և «լուծեք» ՕՁ-ն։

Հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկեք ընդհանուր հայտարարով և կրճատեք ստացված կոտորակները: Հայտարարները կվերանան։

Գրի՛ր հավասարումը առանց փակագծերը բացելու։

Լուծե՛ք ստացված հավասարումը։

Ստուգեք հայտնաբերված արմատները ODZ-ով:

Ի պատասխան գրեք 7-րդ քայլի թեստն անցած արմատները:

Մի մտապահիր ալգորիթմը, 3-5 լուծված հավասարումներ, և այն ինքնին կհիշվի:

Օրինակ . Լուծել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Լուծում:

Պատասխան. \(3\).

Օրինակ . Գտե՛ք \(=0\) կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատները

Լուծում:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ՕՁ՝ \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Գրում ենք ու «լուծում» ՕՁ. Ընդարձակեք \(x^2+7x+10\) բանաձևով. \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\): Բարեբախտաբար, \(x_1\) և \(x_2\) մենք արդեն գտել ենք:
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Ակնհայտ է, որ կոտորակների ընդհանուր հայտարարը՝ \((x+2)(x+5)\): Մենք դրանով բազմապատկում ենք ամբողջ հավասարումը։
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Մենք կրճատում ենք կոտորակները
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Փակագծերի բացում
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Մենք տալիս ենք նման պայմաններ
\(2x^2+9x-5=0\)		Գտնելով հավասարման արմատները
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Արմատներից մեկը չի տեղավորվում ODZ-ի տակ, ուստի ի պատասխան գրում ենք միայն երկրորդ արմատը։

Պատասխան. \(\frac(1)(2)\):

Դասի նպատակները.

Ուսուցողական:

• կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների հայեցակարգի ձևավորում;
• դիտարկել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման տարբեր եղանակներ.
• դիտարկել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ, ներառյալ այն պայմանը, որ կոտորակը հավասար է զրոյի.
• սովորեցնել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծումն ըստ ալգորիթմի;
• թեմայի յուրացման մակարդակի ստուգում՝ թեստային աշխատանք կատարելով.

Զարգացող:

• ձեռք բերված գիտելիքներով ճիշտ աշխատելու, տրամաբանորեն մտածելու ունակության զարգացում.
• ինտելեկտուալ հմտությունների և մտավոր գործողությունների զարգացում - վերլուծություն, սինթեզ, համեմատություն և ընդհանրացում;
• նախաձեռնության զարգացում, որոշումներ կայացնելու կարողություն, դրանով կանգ չառնելու ունակություն.
• զարգացում քննադատական ​​մտածողություն;
• հետազոտական ​​հմտությունների զարգացում.

Սնուցում:

• դաստիարակություն ճանաչողական հետաքրքրությունառարկայի նկատմամբ;
• անկախության կրթություն կրթական խնդիրների լուծման գործում.
• վերջնական արդյունքների հասնելու համար կամքի և հաստատակամության կրթություն.

Դասի տեսակըդաս - նոր նյութի բացատրություն.

Դասերի ժամանակ

1. Կազմակերպչական պահ.

Բարև տղաներ: Հավասարումները գրված են գրատախտակին, ուշադիր նայեք դրանց։ Կարո՞ղ եք լուծել այս բոլոր հավասարումները: Որոնք չեն և ինչու:

Այն հավասարումները, որոնցում ձախ և աջ կողմերը կոտորակային ռացիոնալ արտահայտություններ են, կոչվում են կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ: Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ կուսումնասիրենք այսօր դասին։ Ձևակերպեք դասի թեման. Այսպիսով, մենք բացում ենք տետրերը և գրում դասի թեման «Կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծում»:

2. Գիտելիքների ակտուալացում. Ճակատային հարցում, բանավոր աշխատանք դասարանի հետ.

Եվ հիմա մենք կկրկնենք հիմնական տեսական նյութը, որը մենք պետք է ուսումնասիրենք նոր թեմա. Խնդրում ենք պատասխանել հետևյալ հարցերին.

1. Ի՞նչ է հավասարումը: ( Հավասարություն փոփոխականի կամ փոփոխականների հետ.)
2. Ինչպե՞ս է կոչվում թիվ 1 հավասարումը: ( Գծային.) Գծային հավասարումների լուծման մեթոդ. ( Տեղափոխեք ամեն ինչ անհայտով հավասարման ձախ կողմում, բոլոր թվերը՝ աջ: Բերեք նման պայմաններ: Գտեք անհայտ բազմապատկիչը).
3. Ինչպե՞ս է կոչվում 3-րդ հավասարումը: ( Քառակուսի.) Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ. ( Ամբողջական քառակուսու ընտրություն՝ ըստ բանաձևերի, օգտագործելով Վիետայի թեորեմը և դրա հետևանքները.)
4. Ի՞նչ է համամասնությունը: ( Երկու հարաբերությունների հավասարություն.) Համամասնության հիմնական հատկությունը. ( Եթե ​​համամասնությունը ճշմարիտ է, ապա դրա ծայրահեղ անդամների արտադրյալը հավասար է միջին անդամների արտադրյալին.)
5. Ի՞նչ հատկություններ են օգտագործվում հավասարումները լուծելու համար: ( 1. Եթե հավասարման մեջ տերմինը տեղափոխում ենք մի մասից մյուսը՝ փոխելով նրա նշանը, ապա ստանում ենք տրվածին համարժեք հավասարում։ 2. Եթե հավասարման երկու մասերը բազմապատկվեն կամ բաժանվեն միևնույն ոչ զրոյական թվով, ապա կստացվի հավասարություն, որը համարժեք է տրվածին..)
6. Ե՞րբ է կոտորակը հավասար զրոյի: ( Կոտորակը զրո է, երբ համարիչը զրո, իսկ հայտարարը հավասար չէ զրոյի.)

3. Նոր նյութի բացատրություն.

Լուծե՛ք թիվ 2 հավասարումը տետրերում և գրատախտակում։

Պատասխանել: 10.

Ի՞նչ կոտորակային ռացիոնալ հավասարում կարող եք փորձել լուծել՝ օգտագործելով համամասնության հիմնական հատկությունը: (թիվ 5):

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Լուծե՛ք թիվ 4 հավասարումը տետրերում և գրատախտակում։

Պատասխանել: 1,5.

Ի՞նչ կոտորակային ռացիոնալ հավասարում կարող եք փորձել լուծել՝ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով հայտարարի վրա: (թիվ 6):

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4:

Պատասխանել: 3;4.

Այժմ փորձեք լուծել թիվ 7 հավասարումը եղանակներից մեկով:

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Պատասխանել: 0;5;-2.			Պատասխանել: 5;-2.

Բացատրեք, թե ինչու դա տեղի ունեցավ: Ինչու՞ մի դեպքում երեք արմատ կա, մյուս դեպքում՝ երկու։ Ո՞ր թվերն են այս կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատները:

Մինչ այժմ կողմնակի արմատ հասկացողությամբ ուսանողները չեն հանդիպել, նրանց համար իսկապես շատ դժվար է հասկանալ, թե ինչու դա տեղի ունեցավ։ Եթե ​​դասարանում ոչ ոք չի կարող հստակ բացատրություն տալ այս իրավիճակին, ապա ուսուցիչը առաջատար հարցեր է տալիս:

• Ինչպե՞ս են թիվ 2 և 4 հավասարումները տարբերվում թիվ 5,6,7 հավասարումներից: ( Թիվ 2 և 4 հավասարումներում թվի հայտարարում, թիվ 5-7՝ փոփոխականով արտահայտություններ..)
• Ո՞րն է հավասարման արմատը: ( Այն փոփոխականի արժեքը, որի դեպքում հավասարումը դառնում է իսկական հավասարություն.)
• Ինչպե՞ս պարզել, արդյոք թիվը հավասարման արմատն է: ( Ստուգեք.)

Թեստ անելիս որոշ աշակերտներ նկատում են, որ պետք է բաժանեն զրոյի: Նրանք եզրակացնում են, որ 0 և 5 թվերը այս հավասարման արմատները չեն: Հարց է առաջանում՝ կա՞ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ լուծելու միջոց, որը վերացնում է այս սխալը։ Այո, այս մեթոդը հիմնված է այն պայմանի վրա, որ կոտորակը հավասար է զրոյի։

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2:

Եթե ​​x=5, ապա x(x-5)=0, ուրեմն 5-ը կողմնակի արմատ է:

Եթե ​​x=-2, ապա x(x-5)≠0:

Պատասխանել: -2.

Փորձենք այսպես ձևակերպել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ։ Երեխաներն իրենք են ձևակերպում ալգորիթմը:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ.

1. Տեղափոխեք ամեն ինչ դեպի ձախ:
2. Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի:
3. Կազմե՛ք համակարգ. կոտորակը զրո է, երբ համարիչը զրո է, իսկ հայտարարը զրո չէ։
4. Լուծե՛ք հավասարումը.
5. Ստուգեք անհավասարությունը՝ բացառելու կողմնակի արմատները:
6. Պատասխանը գրի՛ր։

Քննարկում. Ինչպե՞ս ձևակերպել լուծում, եթե օգտագործվում է համամասնության հիմնական հատկությունը և հավասարման երկու կողմերի բազմապատկումը ընդհանուր հայտարարով: (Լրացրե՛ք լուծումը. արմատներից բացառե՛ք նրանց, որոնք ընդհանուր հայտարարը զրոյացնում են):

4. Նոր նյութի առաջնային ըմբռնում.

Աշխատանք զույգերով. Աշակերտներն ընտրում են, թե ինչպես լուծել հավասարումը ինքնուրույն՝ կախված հավասարման տեսակից: Առաջադրանքներ «Հանրահաշիվ 8» դասագրքից, Յու.Ն. Մակարիչև, 2007: Թիվ 600 (բ, գ, i); Թիվ 601 (ա, ե, է). Ուսուցիչը վերահսկում է առաջադրանքի կատարումը, պատասխանում է ծագած հարցերին և օգնում է վատ կատարող ուսանողներին: Ինքնաթեստ. Պատասխանները գրված են գրատախտակին:

բ) 2-ը կողմնակի արմատ է: Պատասխան՝ 3.

գ) 2-ը կողմնակի արմատ է: Պատասխան՝ 1.5.

ա) Պատասխան՝ -12.5.

է) Պատասխան՝ 1, 1.5.

5. Տնային աշխատանքի հայտարարություն.

1. Կարդացեք դասագրքից 25-րդ կետը, վերլուծեք 1-3 օրինակները:
2. Իմացեք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմը:
3. Լուծել թիվ 600 տետրերում (ա, դ, ե); Թիվ 601 (գ, ը).
4. Փորձեք լուծել #696(ա) (ըստ ցանկության):

6. ՈՒսումնասիրված թեմայով հսկիչ առաջադրանքի կատարում.

Աշխատանքը կատարվում է սավաններով։

Աշխատանքի օրինակ.

Ա) Հավասարումներից որո՞նք են կոտորակային ռացիոնալ.

Բ) Կոտորակը զրո է, երբ համարիչը _____________________ է, իսկ հայտարարը՝ _______________________:

Հ) Արդյո՞ք -3 թիվը #6 հավասարման արմատն է:

Դ) Լուծե՛ք թիվ 7 հավասարումը.

Առաջադրանքի գնահատման չափանիշներ.

• «5»-ը տրվում է, եթե աշակերտը ճիշտ է կատարել առաջադրանքի 90%-ից ավելին։
• «4» - 75% -89%
• «3» - 50% -74%
• «2» տրվում է այն աշակերտին, ով կատարել է առաջադրանքի 50%-ից պակաս:
• 2-րդ դասարանը չի դրվում ամսագրում, 3-ը պարտադիր չէ:

7. Անդրադարձ.

Անկախ աշխատանքով թռուցիկների վրա դրեք.

• 1 - եթե դասը հետաքրքիր և հասկանալի էր ձեզ համար.
• 2 - հետաքրքիր, բայց ոչ պարզ;
• 3 - ոչ հետաքրքիր, բայց հասկանալի;
• 4 - հետաքրքիր չէ, պարզ չէ:

8. Ամփոփելով դասը.

Այսպիսով, այսօր դասին մենք ծանոթացանք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների հետ, սովորեցինք, թե ինչպես լուծել այս հավասարումները տարբեր ճանապարհներ, վերապատրաստման օգնությամբ ստուգեցին իրենց գիտելիքները անկախ աշխատանք. Անկախ աշխատանքի արդյունքները կիմանաք հաջորդ դասին, տանը հնարավորություն կունենաք համախմբել ստացած գիտելիքները։

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների լուծման ո՞ր մեթոդն է, ըստ Ձեզ, ավելի հեշտ, հասանելի, ավելի ռացիոնալ։ Անկախ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման մեթոդից, ի՞նչը չպետք է մոռանալ։ Ո՞րն է կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների «խորամանկությունը»:

Շնորհակալություն բոլորիդ, դասն ավարտվեց։

Ծանոթանանք ռացիոնալ և կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներին, տանք դրանց սահմանումը, բերենք օրինակներ, ինչպես նաև վերլուծենք խնդիրների ամենատարածված տեսակները։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ռացիոնալ հավասարում. Սահմանում և օրինակներ

Ռացիոնալ արտահայտությունների հետ ծանոթությունը սկսվում է դպրոցի 8-րդ դասարանից։ Այս պահին, հանրահաշվի դասերին, ուսանողներն ավելի ու ավելի են սկսում կատարել առաջադրանքները հավասարումներով, որոնք պարունակում են ռացիոնալ արտահայտություններձեր գրառումներում: Եկեք թարմացնենք մեր հիշողությունը, թե ինչ է դա:

Սահմանում 1

ռացիոնալ հավասարումհավասարում է, որի երկու կողմերն էլ պարունակում են ռացիոնալ արտահայտություններ:

Տարբեր ձեռնարկներում կարող եք գտնել մեկ այլ ձևակերպում.

Սահմանում 2

ռացիոնալ հավասարում- սա հավասարություն է, որի ձախ կողմի գրառումը պարունակում է ռացիոնալ արտահայտություն, իսկ աջը պարունակում է զրո:

Ռացիոնալ հավասարումների համար մեր տված սահմանումները համարժեք են, քանի որ դրանք նույն բանն են նշանակում։ Մեր խոսքերի ճիշտությունը հաստատվում է նրանով, որ ցանկացած ռացիոնալ արտահայտությունների համար ՊԵվ Քհավասարումներ P=QԵվ P - Q = 0կլինեն համարժեք արտահայտություններ.

Այժմ անդրադառնանք օրինակներին։

Օրինակ 1

Ռացիոնալ հավասարումներ.

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, xx 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3:

Ռացիոնալ հավասարումները, ինչպես մյուս տեսակների հավասարումները, կարող են պարունակել 1-ից մի քանի փոփոխականների ցանկացած քանակ: Սկզբից մենք կքննարկենք պարզ օրինակներ, որում հավասարումները կպարունակեն միայն մեկ փոփոխական։ Եվ հետո մենք սկսում ենք աստիճանաբար բարդացնել խնդիրը:

Ռացիոնալ հավասարումները բաժանվում են երկու մեծ խմբի՝ ամբողջ թվային և կոտորակային։ Տեսնենք, թե որ հավասարումները կկիրառվեն խմբերից յուրաքանչյուրի համար։

Սահմանում 3

Ռացիոնալ հավասարումը կլինի ամբողջ թիվ, եթե նրա ձախ և աջ մասերի գրառումը պարունակում է ամբողջ ռացիոնալ արտահայտություններ:

Սահմանում 4

Ռացիոնալ հավասարումը կոտորակային կլինի, եթե դրա մասերից մեկը կամ երկուսը պարունակում են կոտորակ:

Կոտորակային ռացիոնալ հավասարումները անպայման պարունակում են բաժանում փոփոխականով, կամ փոփոխականը առկա է հայտարարի մեջ: Ամբողջ թվային հավասարումներ գրելու մեջ նման բաժանում չկա։

Օրինակ 2

3 x + 2 = 0Եվ (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5ամբողջ ռացիոնալ հավասարումներ են: Այստեղ հավասարման երկու մասերն էլ ներկայացված են ամբողջ թվային արտահայտություններով։

1 x - 1 = x 3 և x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ են։

Ամբողջ ռացիոնալ հավասարումները ներառում են գծային և քառակուսային հավասարումներ:

Ամբողջ թվերի հավասարումների լուծում

Նման հավասարումների լուծումը սովորաբար վերածվում է համարժեք հանրահաշվական հավասարումների։ Դրան կարելի է հասնել՝ կատարելով հավասարումների համարժեք փոխակերպումներ հետևյալ ալգորիթմի համաձայն.

• նախ հավասարման աջ կողմում զրո ենք ստանում, դրա համար անհրաժեշտ է հավասարման աջ կողմում գտնվող արտահայտությունը տեղափոխել ձախ կողմ և փոխել նշանը.
• այնուհետև հավասարման ձախ կողմի արտահայտությունը վերածում ենք բազմանդամի ստանդարտ տեսք.

Մենք պետք է ստանանք հանրահաշվական հավասարում. Այս հավասարումը համարժեք կլինի սկզբնական հավասարման նկատմամբ: Հեշտ դեպքերը թույլ են տալիս լուծել խնդիրը՝ ամբողջ հավասարումը նվազեցնելով գծային կամ քառակուսայինի: Ընդհանուր դեպքում լուծում ենք աստիճանի հանրահաշվական հավասարում n.

Օրինակ 3

Անհրաժեշտ է գտնել ամբողջ հավասարման արմատները 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Լուծում

Եկեք վերափոխենք սկզբնական արտահայտությունը՝ դրան համարժեք հանրահաշվական հավասարում ստանալու համար։ Դա անելու համար մենք հավասարման աջ կողմում պարունակվող արտահայտությունը կտեղափոխենք ձախ կողմ և նշանը կփոխենք հակառակի վրա։ Արդյունքում մենք ստանում ենք. 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Այժմ մենք ձախ կողմում գտնվող արտահայտությունը կվերածենք ստանդարտ ձևի բազմանդամի և կատարենք անհրաժեշտ գործողություններայս բազմանդամով.

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Մեզ հաջողվեց սկզբնական հավասարման լուծումը կրճատել ձևի քառակուսային հավասարման լուծմանը x 2 − 5 x − 6 = 0. Այս հավասարման տարբերակիչը դրական է. D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49:Սա նշանակում է, որ կլինեն երկու իրական արմատներ. Եկեք դրանք գտնենք՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը.

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 կամ x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 կամ x 2 = - 1

Ստուգենք լուծման ընթացքում գտած հավասարման արմատների ճիշտությունը։ Այս թվի համար, որը մենք ստացել ենք, մենք փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ. 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3Եվ 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Առաջին դեպքում 63 = 63 , երկրորդում 0 = 0 . Արմատներ x=6Եվ x = − 1իսկապես օրինակի պայմանում տրված հավասարման արմատներն են:

Պատասխան. 6 , − 1 .

Եկեք տեսնենք, թե ինչ է նշանակում «ամբողջ հավասարման ուժը»: Այս տերմինին հաճախ կհանդիպենք այն դեպքերում, երբ պետք է մի ամբողջ հավասարում ներկայացնել հանրահաշվականի տեսքով։ Եկեք սահմանենք հայեցակարգը.

Սահմանում 5

Ամբողջ թվի հավասարման աստիճանըհանրահաշվական հավասարման աստիճանն է, որը համարժեք է սկզբնական ամբողջ հավասարմանը:

Եթե ​​նայեք վերը նշված օրինակի հավասարումներին, կարող եք հաստատել. այս ամբողջ հավասարման աստիճանը երկրորդն է:

Եթե ​​մեր դասընթացը սահմանափակվեր երկրորդ աստիճանի հավասարումների լուծմամբ, ապա թեմայի քննարկումը կարող էր ավարտվել այստեղ։ Բայց ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ. Երրորդ աստիճանի հավասարումների լուծումը հղի է դժվարություններով. Իսկ չորրորդ աստիճանից բարձր հավասարումների համար այն ընդհանրապես գոյություն չունի ընդհանուր բանաձևերարմատները. Այս առումով երրորդ, չորրորդ և այլ աստիճանների ամբողջ հավասարումների լուծումը մեզանից պահանջում է օգտագործել մի շարք այլ տեխնիկա և մեթոդներ:

Ամբողջ ռացիոնալ հավասարումների լուծման առավել հաճախ օգտագործվող մոտեցումը հիմնված է ֆակտորիզացիայի մեթոդի վրա: Գործողությունների ալգորիթմը այս դեպքում հետևյալն է.

• մենք արտահայտությունը փոխանցում ենք աջ կողմից ձախ կողմ, որպեսզի զրո մնա ռեկորդի աջ կողմում.
• մենք ձախ կողմի արտահայտությունը ներկայացնում ենք որպես գործոնների արտադրյալ, այնուհետև անցնում ենք մի քանի ավելի պարզ հավասարումների բազմությանը:

Օրինակ 4

Գտե՛ք (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) հավասարման լուծումը։

Լուծում

Արտահայտությունը ձայնագրության աջից տեղափոխում ենք ձախ կողմ՝ հակառակ նշանով. (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Ձախ կողմը ստանդարտ ձևի բազմանդամի վերածելը անիրագործելի է, քանի որ դա մեզ կտա չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում. x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Փոխակերպման հեշտությունը չի արդարացնում նման հավասարումը լուծելու բոլոր դժվարությունները:

Շատ ավելի հեշտ է այլ ճանապարհով գնալ՝ մենք հանում ենք ընդհանուր գործոնը x 2 − 10 x + 13.Այսպիսով, մենք հասնում ենք ձևի հավասարմանը (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Այժմ ստացված հավասարումը փոխարինում ենք երկու քառակուսի հավասարումների բազմությամբ x 2 - 10 x + 13 = 0Եվ x 2 − 2 x − 1 = 0և տարբերակիչի միջոցով գտե՛ք դրանց արմատները՝ 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 :

Պատասխան. 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2:

Նմանապես, մենք կարող ենք օգտագործել նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը: Այս մեթոդը մեզ թույլ է տալիս անցնել համարժեք հավասարումների, որոնց հզորություններն ավելի ցածր են, քան սկզբնական ամբողջ հավասարման մեջ:

Օրինակ 5

Արդյո՞ք հավասարումը արմատներ ունի: (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Լուծում

Եթե ​​հիմա փորձենք մի ամբողջ ռացիոնալ հավասարումը կրճատել հանրահաշվականի, ապա կստանանք 4-րդ աստիճանի հավասարում, որը ռացիոնալ արմատներ չունի։ Հետևաբար, մեզ համար ավելի հեշտ կլինի գնալ այլ ճանապարհով. ներմուծել նոր փոփոխական y, որը կփոխարինի հավասարման արտահայտությունը: x 2 + 3 x.

Այժմ մենք կաշխատենք ամբողջ հավասարմամբ (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Հավասարման աջ կողմը հակառակ նշանով տեղափոխում ենք ձախ կողմ և կատարում անհրաժեշտ փոխակերպումները։ Մենք ստանում ենք. y 2 + 4 y + 3 = 0. Գտնենք քառակուսի հավասարման արմատները. y = − 1Եվ y = − 3.

Հիմա եկեք կատարենք հակառակ փոխարինումը: Մենք ստանում ենք երկու հավասարումներ x 2 + 3 x = − 1Եվ x 2 + 3 x = - 3:Եկեք դրանք վերագրենք x 2 + 3 x + 1 = 0 և x 2 + 3 x + 3 = 0. Ստացված առաջին հավասարման արմատները գտնելու համար օգտագործում ենք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը՝ - 3 ± 5 2: Երկրորդ հավասարման դիսկրիմինանտը բացասական է: Սա նշանակում է, որ երկրորդ հավասարումը չունի իրական արմատներ:

Պատասխան.- 3 ± 5 2

Խնդիրներում բավականին հաճախ հանդիպում են բարձր աստիճանի ամբողջ թվային հավասարումներ: Նրանցից վախենալ պետք չէ։ Դուք պետք է պատրաստ լինեք կիրառել դրանք լուծելու ոչ ստանդարտ մեթոդ, ներառյալ մի շարք արհեստական ​​փոխակերպումներ:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների լուծում

Մենք սկսում ենք այս ենթաթեմայի մեր դիտարկումը p (x) q (x) = 0 ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմով, որտեղ p(x)Եվ q(x)ամբողջ թվով ռացիոնալ արտահայտություններ են։ Այլ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծումը միշտ կարող է կրճատվել նշված ձևի հավասարումների լուծմանը:

p (x) q (x) = 0 հավասարումների լուծման առավել հաճախ օգտագործվող մեթոդը հիմնված է հետևյալ հայտարարության վրա՝ թվային կոտորակ. u v, որտեղ vզրոյից տարբերվող թիվ է, որը հավասար է զրոյի միայն այն դեպքերում, երբ կոտորակի համարիչը հավասար է զրոյի։ Հետևելով վերը նշված հայտարարության տրամաբանությանը, կարող ենք պնդել, որ p (x) q (x) = 0 հավասարման լուծումը կարող է կրճատվել մինչև երկու պայման. p(x)=0Եվ q(x) ≠ 0. Դրա վրա կառուցված է p (x) q (x) = 0 ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ.

• մենք գտնում ենք ողջ ռացիոնալ հավասարման լուծումը p(x)=0;
• մենք ստուգում ենք, թե արդյոք պայմանը բավարարված է լուծման ընթացքում հայտնաբերված արմատների համար q(x) ≠ 0.

Եթե ​​այս պայմանը կատարվում է, ապա գտնված արմատը, եթե ոչ, ապա արմատը խնդրի լուծում չէ:

Օրինակ 6

Գտե՛ք 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 հավասարման արմատները:

Լուծում

Մենք գործ ունենք p (x) q (x) = 0 ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարման հետ, որում p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0: Սկսենք լուծել գծային հավասարումը 3 x - 2 = 0. Այս հավասարման արմատը կլինի x = 2 3.

Ստուգենք գտնված արմատը, արդյոք այն բավարարում է պայմանին 5 x 2 - 2 ≠ 0. Դա անելու համար փոխարինեք թվային արժեքը արտահայտության մեջ: Մենք ստանում ենք՝ 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0:

Պայմանը բավարարված է. Դա նշանակում է որ x = 2 3սկզբնական հավասարման արմատն է։

Պատասխան. 2 3 .

Կա կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման մեկ այլ տարբերակ p (x) q (x) = 0: Հիշեցնենք, որ այս հավասարումը համարժեք է ամբողջ հավասարմանը p(x)=0սկզբնական հավասարման x փոփոխականի թույլատրելի արժեքների միջակայքի վրա: Սա մեզ թույլ է տալիս p(x) q(x) = 0 հավասարումները լուծելիս օգտագործել հետևյալ ալգորիթմը.

• լուծել հավասարումը p(x)=0;
• գտեք x փոփոխականի համար ընդունելի արժեքների միջակայքը.
• մենք վերցնում ենք արմատները, որոնք գտնվում են x փոփոխականի թույլատրելի արժեքների շրջանում, որպես սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման ցանկալի արմատներ:

Օրինակ 7

Լուծե՛ք x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 հավասարումը:

Լուծում

Սկսենք, եկեք որոշենք քառակուսի հավասարում x 2 − 2 x − 11 = 0. Դրա արմատները հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք արմատային բանաձևը զույգ երկրորդ գործակցի համար: Մենք ստանում ենք D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12և x = 1 ± 2 3:

Այժմ մենք կարող ենք գտնել x-ի ODV-ը սկզբնական հավասարման համար: Սրանք բոլորը թվեր են, որոնց համար x 2 + 3 x ≠ 0. Դա նույնն է, ինչ x (x + 3) ≠ 0, որտեղից x ≠ 0, x ≠ − 3:

Այժմ եկեք ստուգենք, արդյոք լուծման առաջին փուլում ստացված x = 1 ± 2 3 արմատները գտնվում են x փոփոխականի ընդունելի արժեքների միջակայքում: Մենք տեսնում ենք, թե ինչ է մտնում: Սա նշանակում է, որ սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարումն ունի երկու արմատ x = 1 ± 2 3:

Պատասխան. x = 1 ± 2 3

Նկարագրված լուծման երկրորդ մեթոդը ավելի հեշտ, քան առաջինըայն դեպքերում, երբ հեշտ է գտնել x փոփոխականի թույլատրելի արժեքների տարածքը և հավասարման արմատները. p(x)=0իռացիոնալ. Օրինակ՝ 7 ± 4 26 9: Արմատները կարող են լինել ռացիոնալ, բայց մեծ համարիչով կամ հայտարարով: Օրինակ, 127 1101 Եվ − 31 59 . Սա ժամանակ է խնայում վիճակը ստուգելու համար: q(x) ≠ 0Ըստ ODZ-ի, շատ ավելի հեշտ է բացառել արմատները, որոնք չեն համապատասխանում:

Երբ հավասարման արմատները p(x)=0ամբողջ թվեր են, p (x) q (x) = 0 ձևի հավասարումների լուծման համար ավելի նպատակահարմար է օգտագործել նկարագրված ալգորիթմներից առաջինը։ Ավելի արագ գտնել ամբողջ հավասարման արմատները p(x)=0, այնուհետև ստուգեք՝ արդյոք պայմանը բավարարված է նրանց համար q(x) ≠ 0, և չգտնել ODZ-ը, այնուհետև լուծել հավասարումը p(x)=0այս ՕՁ–ի վրա։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ նման դեպքերում սովորաբար ավելի հեշտ է ստուգում կատարել, քան ODZ-ը գտնելը։

Օրինակ 8

Գտե՛ք (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 հավասարման արմատները. = 0.

Լուծում

Մենք սկսում ենք հաշվի առնելով ամբողջ հավասարումը (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0և գտնելով դրա արմատները: Դրա համար մենք կիրառում ենք ֆակտորիզացիայի միջոցով հավասարումների լուծման մեթոդը։ Ստացվում է, որ սկզբնական հավասարումը համարժեք է չորս հավասարումների բազմությանը 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, որոնցից երեքը գծային են և մեկը քառակուսի է: Մենք գտնում ենք արմատները՝ առաջին հավասարումից x = 1 2, երկրորդից x=6, երրորդից - x \u003d 7, x \u003d - 2, չորրորդից - x = − 1.

Ստուգենք ստացված արմատները։ Մեզ համար դժվար է որոշել ODZ-ն այս դեպքում, քանի որ դրա համար մենք ստիպված կլինենք լուծել հինգերորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում։ Ավելի հեշտ կլինի ստուգել այն պայմանը, ըստ որի կոտորակի հայտարարը, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում, չպետք է անհետանա։

Իր հերթին, արտահայտության մեջ փոխարինեք արմատները x փոփոխականի փոխարեն x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112և հաշվարկիր դրա արժեքը.

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0։

Կատարված ստուգումը թույլ է տալիս մեզ պարզել, որ սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատներն են 1 2, 6 և − 2 .

Պատասխան. 1 2 , 6 , - 2

Օրինակ 9

Գտե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատները 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0:

Լուծում

Սկսենք հավասարումից (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Գտնենք դրա արմատները։ Մեզ համար ավելի հեշտ է այս հավասարումը ներկայացնել որպես քառակուսի և գծային հավասարումների համակցություն 5 x 2 - 7 x - 1 = 0Եվ x − 2 = 0.

Արմատները գտնելու համար օգտագործում ենք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը։ Առաջին հավասարումից ստանում ենք երկու արմատ x = 7 ± 69 10, իսկ երկրորդից. x=2.

Արմատների արժեքը սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելը պայմանները ստուգելու համար բավականին դժվար կլինի մեզ համար: Ավելի հեշտ կլինի որոշել x փոփոխականի LPV-ն: Այս դեպքում x փոփոխականի DPV-ն բոլոր թվերն են, բացառությամբ նրանց, որոնց համար պայմանը բավարարված է. x 2 + 5 x − 14 = 0. Ստանում ենք՝ x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ :

Հիմա եկեք ստուգենք, արդյոք մեր գտած արմատները պատկանում են x փոփոխականի համար ընդունելի արժեքների միջակայքին:

Արմատները x = 7 ± 69 10 - պատկանում են, հետևաբար, դրանք սկզբնական հավասարման արմատներն են, և x=2- չի պատկանում, հետևաբար, դա կողմնակի արմատ է:

Պատասխան. x = 7 ± 69 10:

Առանձին քննենք այն դեպքերը, երբ p (x) q (x) = 0 ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարման համարիչը պարունակում է թիվ։ Նման դեպքերում, եթե համարիչը զրոյից բացի այլ թիվ է պարունակում, ապա հավասարումը արմատներ չի ունենա։ Եթե ​​այս թիվը հավասար է զրոյի, ապա հավասարման արմատը կլինի ODZ-ից ցանկացած թիվ:

Օրինակ 10

Լուծե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 :

Լուծում

Այս հավասարումը արմատներ չի ունենա, քանի որ հավասարման ձախ մասի կոտորակի համարիչը պարունակում է ոչ զրոյական թիվ։ Սա նշանակում է, որ x-ի ցանկացած արժեքի դեպքում խնդրի պայմանում տրված կոտորակի արժեքը հավասար չի լինի զրոյի:

Պատասխան.ոչ մի արմատ:

Օրինակ 11

Լուծե՛ք 0 x 4 + 5 x 3 = 0 հավասարումը:

Լուծում

Քանի որ կոտորակի համարիչը զրո է, ապա հավասարման լուծումը կլինի x-ի ցանկացած արժեք ODZ x փոփոխականից:

Հիմա եկեք սահմանենք ODZ-ը: Այն կներառի բոլոր x արժեքները, որոնց համար x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Հավասարումների լուծումներ x 4 + 5 x 3 = 0են 0 Եվ − 5 , քանի որ այս հավասարումը համարժեք է հավասարմանը x 3 (x + 5) = 0, և դա, իր հերթին, համարժեք է երկու հավասարումների բազմությանը x 3 = 0 և x + 5 = 0որտեղ տեսանելի են այս արմատները: Մենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ ընդունելի արժեքների ցանկալի միջակայքը ցանկացած x է, բացառությամբ x=0Եվ x = -5.

Ստացվում է, որ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ունի անսահման թվով լուծումներ, որոնք ցանկացած թվեր են, բացի զրոյից և - 5-ից:

Պատասխան. - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Այժմ խոսենք կամայական ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների և դրանց լուծման մեթոդների մասին: Նրանք կարող են գրվել որպես r(x) = s(x), որտեղ r(x)Եվ s(x)ռացիոնալ արտահայտություններ են, և դրանցից առնվազն մեկը կոտորակային է: Նման հավասարումների լուծումը կրճատվում է p (x) q (x) = 0 ձևի հավասարումների լուծմանը:

Մենք արդեն գիտենք, որ կարող ենք համարժեք հավասարում ստանալ՝ արտահայտությունը հավասարման աջ կողմից հակառակ նշանով ձախ կողմ տեղափոխելով։ Սա նշանակում է, որ հավասարումը r(x) = s(x)համարժեք է հավասարմանը r (x) - s (x) = 0. Մենք նաև արդեն քննարկել ենք, թե ինչպես կարելի է ռացիոնալ արտահայտությունը ռացիոնալ կոտորակի վերածել: Դրա շնորհիվ մենք կարող ենք հեշտությամբ վերափոխել հավասարումը r (x) - s (x) = 0 p (x) q (x) ձևի իր նույնական ռացիոնալ կոտորակի մեջ:

Այսպիսով, մենք շարժվում ենք սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարումից r(x) = s(x) p (x) q (x) = 0 ձևի հավասարմանը, որը մենք արդեն սովորել ենք լուծել:

Հարկ է նշել, որ անցումներ կատարելիս r (x) - s (x) = 0դեպի p (x) q (x) = 0 և ապա դեպի p(x)=0մենք կարող ենք հաշվի չառնել x փոփոխականի վավեր արժեքների տիրույթի ընդլայնումը:

Միանգամայն իրատեսական է, որ սկզբնական հավասարումը r(x) = s(x)և հավասարումը p(x)=0վերափոխումների արդյունքում դրանք կդադարեն համարժեք լինել։ Այնուհետև հավասարման լուծումը p(x)=0կարող է մեզ արմատներ տալ, որոնք օտար կլինեն r(x) = s(x). Այս առումով, յուրաքանչյուր դեպքում անհրաժեշտ է ստուգում իրականացնել վերը նկարագրված մեթոդներից որևէ մեկով:

Թեման ուսումնասիրելը ձեզ համար հեշտացնելու համար մենք ամբողջ տեղեկատվությունը ընդհանրացրել ենք ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմի մեջ: r(x) = s(x):

• արտահայտությունը աջ կողմից փոխանցում ենք հակառակ նշանով և աջից ստանում զրո;
• մենք սկզբնական արտահայտությունը փոխակերպում ենք ռացիոնալ կոտորակի p (x) q (x)՝ հաջորդաբար գործողություններ կատարելով կոտորակների և բազմանդամների հետ.
• լուծել հավասարումը p(x)=0;
• մենք բացահայտում ենք կողմնակի արմատները՝ ստուգելով դրանց պատկանելությունը ODZ-ին կամ փոխարինելով սկզբնական հավասարմանը:

Տեսողականորեն գործողությունների շղթան այսպիսի տեսք կունենա.

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → դուրս գալը r o n d e r o o n s

Օրինակ 12

Լուծեք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը x x + 1 = 1 x + 1:

Լուծում

Անցնենք x x + 1 - 1 x + 1 = 0 հավասարմանը: Փոխակերպենք հավասարման ձախ մասի կոտորակային ռացիոնալ արտահայտությունը p (x) q (x) ձևի:

Սրա համար մենք պետք է բերենք ռացիոնալ կոտորակներընդհանուր հայտարարի և պարզեցնել արտահայտությունը.

xx + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - xx (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

2 x - 1 x (x + 1) = 0 հավասարման արմատները գտնելու համար մենք պետք է լուծենք հավասարումը. − 2 x − 1 = 0. Մենք ստանում ենք մեկ արմատ x = - 1 2.

Մեզ մնում է ստուգումը կատարել ցանկացած եղանակով։ Դիտարկենք երկուսն էլ։

Ստացված արժեքը փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ: Մենք ստանում ենք - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1: Մենք եկել ենք ճիշտ թվային հավասարության − 1 = − 1 . Դա նշանակում է որ x = − 1 2սկզբնական հավասարման արմատն է։

Այժմ մենք ստուգելու ենք ODZ-ի միջոցով: Եկեք որոշենք x փոփոխականի համար ընդունելի արժեքների տարածքը: Սա կլինի թվերի ամբողջությունը, բացառությամբ − 1-ի և 0-ի (երբ x = − 1 և x = 0, կոտորակների հայտարարները անհետանում են): Արմատը, որը մենք ստացել ենք x = − 1 2պատկանում է ՕՁ-ին։ Սա նշանակում է, որ դա սկզբնական հավասարման արմատն է։

Պատասխան. − 1 2 .

Օրինակ 13

Գտե՛ք x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x հավասարման արմատները:

Լուծում

Մենք գործ ունենք կոտորակային ռացիոնալ հավասարման հետ։ Հետևաբար, մենք կգործենք ըստ ալգորիթմի:

Արտահայտությունը աջ կողմից տեղափոխենք ձախ հակառակ նշանով՝ x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Կատարենք անհրաժեշտ փոխակերպումները՝ x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x:

Մենք գալիս ենք հավասարմանը x=0. Այս հավասարման արմատը զրո է։

Եկեք ստուգենք, արդյոք այս արմատը օտար է սկզբնական հավասարման համար: Փոխարինեք արժեքը սկզբնական հավասարման մեջ՝ 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0: Ինչպես տեսնում եք, ստացված հավասարումը իմաստ չունի։ Սա նշանակում է, որ 0-ը կողմնակի արմատ է, իսկ սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը արմատներ չունի:

Պատասխան.ոչ մի արմատ:

Եթե ​​մենք ալգորիթմում չենք ներառել այլ համարժեք փոխակերպումներ, դա ամենևին չի նշանակում, որ դրանք չեն կարող օգտագործվել։ Ալգորիթմը ունիվերսալ է, բայց այն նախատեսված է ոչ թե սահմանափակելու, այլ օգնելու համար:

Օրինակ 14

Լուծե՛ք 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 հավասարումը

Լուծում

Ամենահեշտ ձևը տրված կոտորակային ռացիոնալ հավասարումն ըստ ալգորիթմի լուծելն է։ Բայց կա մեկ այլ ճանապարհ. Եկեք այն համարենք.

Աջ և ձախ մասերից հանում ենք 7-ը, ստանում ենք՝ 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24:

Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ ձախ կողմի հայտարարի արտահայտությունը պետք է հավասար լինի աջ կողմի թվի փոխադարձ թվին, այսինքն՝ 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7:

3-րդ երկու մասից հանել՝ 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7: Ըստ անալոգիայի 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, որտեղից 1 5 - x 2 \u003d 1 3, և հետագա 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Եկեք ստուգենք՝ պարզելու համար, թե արդյոք հայտնաբերված արմատները սկզբնական հավասարման արմատներն են։

Պատասխան. x = ± 2

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Մենք վերը նշված հավասարումը ներկայացրեցինք § 7-ում: Նախ, մենք հիշում ենք, թե ինչ է ռացիոնալ արտահայտությունը: Սա - հանրահաշվական արտահայտություն, որը կազմված է թվերից և x փոփոխականից՝ օգտագործելով գումարման, հանման, բազմապատկման, բաժանման և հզորացման գործողությունները բնական ցուցիչով։

Եթե ​​r(x)-ը ռացիոնալ արտահայտություն է, ապա r(x) = 0 հավասարումը կոչվում է ռացիոնալ հավասարում:

Այնուամենայնիվ, գործնականում ավելի հարմար է մի փոքր ավելի շատ օգտագործել լայն մեկնաբանությունտերմին «ռացիոնալ հավասարում». սա h(x) = q(x) ձևի հավասարումն է, որտեղ h(x) և q(x) ռացիոնալ արտահայտություններ են:

Մինչ այժմ մենք չէինք կարող լուծել որևէ ռացիոնալ հավասարում, այլ միայն մեկը, որը տարբեր փոխակերպումների և դատողությունների արդյունքում վերածվեց. գծային հավասարում. Այժմ մեր հնարավորությունները շատ ավելի մեծ են. մենք կկարողանանք լուծել ռացիոնալ հավասարում, որը վերածվում է ոչ միայն գծային.
mu, այլ նաև քառակուսի հավասարման:

Հիշեք, թե ինչպես էինք ավելի վաղ լուծել ռացիոնալ հավասարումները և փորձեք ձևակերպել լուծման ալգորիթմ:

Օրինակ 1լուծել հավասարումը

Լուծում. Մենք վերագրում ենք հավասարումը ձևով

Այս դեպքում, ինչպես միշտ, մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ A \u003d B և A - B \u003d 0 հավասարությունները արտահայտում են նույն հարաբերությունները A-ի և B-ի միջև: Սա թույլ տվեց մեզ փոխանցել տերմինը հավասարման ձախ կողմում. հակառակ նշան.

Կատարենք հավասարման ձախ կողմի փոխակերպումներ։ Մենք ունենք

Հիշեք հավասարության պայմանները կոտորակներըզրո. եթե և միայն այն դեպքում, երբ երկու հարաբերությունները միաժամանակ բավարարված են.

1) կոտորակի համարիչը զրո է (a = 0); 2) կոտորակի հայտարարը տարբերվում է զրոյից):
Հավասարեցնելով (1) հավասարման ձախ կողմի կոտորակի համարիչը, ստանում ենք.

Մնում է ստուգել վերը նշված երկրորդ պայմանի կատարումը։ Հարաբերակցությունը (1) հավասարման համար նշանակում է, որ . x 1 = 2 և x 2 = 0.6 արժեքները բավարարում են նշված հարաբերությունները և, հետևաբար, ծառայում են որպես (1) հավասարման արմատներ, և միևնույն ժամանակ տվյալ հավասարման արմատներ:

1) Փոխակերպենք հավասարումը ձևի

2) Կատարենք այս հավասարման ձախ կողմի փոխակերպումները.

(միաժամանակ փոխել են համարիչի նշանները և
կոտորակներ):
Այս կերպ, տրված հավասարումըվերցնում է ձևը

3) Լուծի՛ր x 2 - 6x + 8 = 0 հավասարումը. Գտիր

4) Գտնված արժեքների համար ստուգեք պայմանը . 4 թիվը բավարարում է այս պայմանին, իսկ 2 թիվը՝ ոչ։ Այսպիսով, 4-ը տրված հավասարման արմատն է, իսկ 2-ը՝ կողմնակի արմատ:
Պատասխան՝ 4.

2. Ռացիոնալ հավասարումների լուծում՝ նոր փոփոխականի ներմուծմամբ

Նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը ձեզ ծանոթ է, մենք այն օգտագործել ենք մեկից ավելի անգամ։ Օրինակներով ցույց տանք, թե ինչպես է այն օգտագործվում ռացիոնալ հավասարումներ լուծելիս:

Օրինակ 3Լուծե՛ք x 4 + x 2 - 20 = 0 հավասարումը:

Լուծում. Մենք ներկայացնում ենք նոր փոփոխական y \u003d x 2: Քանի որ x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, ապա տրված հավասարումը կարող է վերաշարադրվել ձևով.

y 2 + y - 20 = 0:

Սա քառակուսի հավասարում է, որի արմատները մենք կգտնենք՝ օգտագործելով հայտնիը բանաձեւեր; մենք ստանում ենք y 1 = 4, y 2 = - 5:
Բայց y \u003d x 2, ինչը նշանակում է, որ խնդիրը կրճատվել է երկու հավասարումների լուծման վրա.
x2=4; x 2 \u003d -5.

Առաջին հավասարումից մենք գտնում ենք, որ երկրորդ հավասարումն արմատներ չունի:
Պատասխան.
ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 ձևի հավասարումը կոչվում է երկքառակուսի հավասարում («բի» - երկու, այսինքն, կարծես «երկու անգամ քառակուսի» հավասարում): Հենց նոր լուծված հավասարումը ճիշտ երկքառակուսի էր: Ցանկացած երկքառակուսի հավասարում լուծվում է այնպես, ինչպես օրինակ 3-ի հավասարումը. ներմուծվում է նոր փոփոխական y \u003d x 2, արդյունքում ստացված քառակուսի հավասարումը լուծվում է y փոփոխականի նկատմամբ, այնուհետև վերադարձվում է x փոփոխականին:

Օրինակ 4լուծել հավասարումը

Լուծում. Նկատի ունեցեք, որ նույն x 2 + 3x արտահայտությունն այստեղ հանդիպում է երկու անգամ: Հետևաբար, իմաստ ունի ներմուծել նոր փոփոխական y = x 2 + Zx: Սա մեզ թույլ կտա վերաշարադրել հավասարումը ավելի պարզ և հաճելի ձևով (որը, ըստ էության, նպատակ է հետապնդում ներմուծել նոր փոփոխական- և ձայնագրությունն ավելի հեշտ է
, և հավասարման կառուցվածքն ավելի պարզ է դառնում).

Իսկ այժմ մենք կօգտագործենք ռացիոնալ հավասարումը լուծելու ալգորիթմը։

1) Եկեք հավասարման բոլոր անդամները տեղափոխենք մեկ մաս.

= 0
2) Փոխակերպենք հավասարման ձախ կողմը

Այսպիսով, մենք տրված հավասարումը վերածել ենք ձևի

3) 7y 2 + 29y -4 = 0 հավասարումից մենք գտնում ենք (մենք արդեն բավականին շատ քառակուսի հավասարումներ ենք լուծել, ուստի, հավանաբար, չարժե միշտ մանրամասն հաշվարկներ տալ դասագրքում):

4) Ստուգենք գտնված արմատները՝ օգտագործելով 5 (y - 3) (y + 1) պայմանը։ Երկու արմատներն էլ բավարարում են այս պայմանին։
Այսպիսով, y նոր փոփոխականի քառակուսային հավասարումը լուծված է.
Քանի որ y \u003d x 2 + Zx, և y, ինչպես մենք հաստատել ենք, վերցնում է երկու արժեք՝ 4 և, - մենք դեռ պետք է լուծենք երկու հավասարումներ՝ x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Առաջին հավասարման արմատները 1 և - 4 թվերն են, երկրորդ հավասարման արմատները՝ թվերը։

Դիտարկված օրինակներում նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը, ինչպես մաթեմատիկոսներն են սիրում ասել, համարժեք էր իրավիճակին, այսինքն՝ լավ էր համապատասխանում դրան։ Ինչո՞ւ։ Այո, քանի որ նույն արտահայտությունը մի քանի անգամ հստակորեն հանդիպել է հավասարումների գրառման մեջ, և խելամիտ էր այս արտահայտությունը նշանակել նոր տառով: Բայց միշտ չէ, որ այդպես է, երբեմն նոր փոփոխական է «հայտնվում» միայն փոխակերպումների գործընթացում։ Սա հենց այն է, ինչ տեղի կունենա հաջորդ օրինակում:

Օրինակ 5լուծել հավասարումը
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24:
Լուծում. Մենք ունենք
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2:

Այսպիսով, տրված հավասարումը կարող է վերագրվել այսպես

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Այժմ «հայտնվել է» նոր փոփոխական՝ y = x 2 - Zx:

Նրա օգնությամբ հավասարումը կարող է վերաշարադրվել y (y + 2) \u003d 24 և ապա y 2 + 2y - 24 \u003d 0 ձևով: Այս հավասարման արմատները 4 և -6 թվերն են:

Վերադառնալով սկզբնական x փոփոխականին, մենք ստանում ենք երկու հավասարումներ x 2 - Zx \u003d 4 և x 2 - Zx \u003d - 6: Առաջին հավասարումից մենք գտնում ենք x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; երկրորդ հավասարումը արմատներ չունի։

Պատասխան՝ 4, - 1։

Դասի բովանդակությունը դասի ամփոփումաջակցություն շրջանակային դասի ներկայացման արագացուցիչ մեթոդներ ինտերակտիվ տեխնոլոգիաներ Պրակտիկա առաջադրանքներ և վարժություններ ինքնաքննության սեմինարներ, թրեյնինգներ, դեպքեր, որոնումներ տնային առաջադրանքների քննարկման հարցեր հռետորական հարցեր ուսանողներից Նկարազարդումներ աուդիո, տեսահոլովակներ և մուլտիմեդիալուսանկարներ, նկարներ գրաֆիկա, աղյուսակներ, սխեմաներ հումոր, անեկդոտներ, կատակներ, կոմիքսներ առակներ, ասացվածքներ, խաչբառեր, մեջբերումներ Հավելումներ վերացականներհոդվածներ չիպսեր հետաքրքրասեր խաբեբա թերթիկների համար դասագրքեր հիմնական և լրացուցիչ տերմինների բառարան այլ Դասագրքերի և դասերի կատարելագործումուղղել դասագրքի սխալներըԴասագրքի նորարարության տարրերի թարմացում դասագրքում՝ հնացած գիտելիքները նորերով փոխարինելով Միայն ուսուցիչների համար կատարյալ դասեր օրացուցային պլանմեկ տարով ուղեցույցներքննարկման ծրագրեր Ինտեգրված դասեր