Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների լուծման օրինակներ. Տեսադաս «Ռացիոնալ հավասարումներ

\(\bullet\) Ռացիոնալ հավասարումը այն հավասարումն է, որն արտահայտվում է \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\], որտեղ \(P(x), \Q(x)\) - բազմանդամներ («x-երի» գումարը տարբեր աստիճաններով՝ բազմապատկված տարբեր թվերով):
Հավասարման ձախ կողմի արտահայտությունը կոչվում է ռացիոնալ արտահայտություն:
Ռացիոնալ հավասարման ODZ (ընդունելի արժեքների միջակայքը) բոլոր արժեքներն են \(x\), որոնց համար հայտարարը ՉԻ վերանում, այսինքն \(Q(x)\ne 0\):
\(\bullet\) Օրինակ՝ հավասարումներ \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]ռացիոնալ հավասարումներ են։
Առաջին հավասարման մեջ ODZ-ը բոլորը \(x\) է այնպես, որ \(x\ne 3\) (գրում են. \(x\in (-\infty;3)\բաժակ(3;+\infty)\)); երկրորդ հավասարման մեջ սրանք բոլորը \(x\) են, այնպիսին, որ \(x\ne -1; x\ne 1\) (գրել \(x\in (-\infty;-1)\բաժակ(-1;1)\բաժակ(1;+\infty)\)); իսկ երրորդ հավասարման մեջ ODZ-ի վրա սահմանափակումներ չկան, այսինքն՝ ODZ-ը բոլորը \(x\) է (գրում են \(x\in\mathbb(R)\) ): \(\bullet\) Թեորեմներ.
1) Երկու գործակիցների արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն եթե դրանցից մեկը զրո, մինչդեռ մյուսը չի կորցնում իր իմաստը, հետևաբար \(f(x)\cdot g(x)=0\) հավասարումը համարժեք է համակարգին. \[\սկիզբ (դեպքեր) \ձախ[ \սկիզբ (հավաքված)\սկիզբ (հավասարեցված) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \վերջ (հավասարեցված) \վերջ (հավաքված) \աջ։\\ \ տեքստ (ODV հավասարումներ) \վերջ (դեպքեր)\] 2) Կոտորակը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե համարիչը հավասար է զրոյի, իսկ հայտարարը հավասար չէ զրոյի, հետևաբար, հավասարումը \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) համարժեք է հավասարումների համակարգին \[\ սկիզբ (դեպքեր) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \վերջ (դեպքեր)\]\(\bullet\) Եկեք նայենք մի քանի օրինակների:

1) Լուծե՛ք \(x+1=\dfrac 2x\) հավասարումը: Գտնենք ՕՁ տրված հավասարումը\(x\ne 0\) է (քանի որ \(x\)-ը հայտարարի մեջ է):
Այսպիսով, ODZ-ը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
Եկեք բոլոր տերմինները տեղափոխենք մեկ մաս և կրճատենք ընդհանուր հայտարարի. \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Ձախ աջ սլաք\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Ձախ աջ սլաք\քառասուն \սկիզբ( դեպքեր) x^2+x-2=0\\x\ne 0\վերջ (դեպքեր)\]Համակարգի առաջին հավասարման լուծումը կլինի \(x=-2, x=1\) . Մենք տեսնում ենք, որ երկու արմատներն էլ զրոյական չեն։ Հետևաբար, պատասխանն է՝ \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Լուծե՛ք հավասարումը \(\ ձախ (\dfrac4x - 2\աջ)\cdot (x^2-x)=0\). Եկեք գտնենք այս հավասարման ODZ-ը: Մենք տեսնում ենք, որ միակ արժեքը \(x\), որի ձախ կողմը իմաստ չունի, \(x=0\) է: Այսպիսով, OD-ը կարող է գրվել հետևյալ կերպ. \(x\in (-\infty;0)\բաժակ(0;+\infty)\).
Այսպիսով, այս հավասարումը համարժեք է համակարգին.

\[\սկիզբ(դեպքեր) \ձախ[ \սկիզբ(հավաքված)\սկիզբ(հավասարեցված) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(հավասարեցված) \end(հավաքված) \աջ: \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Ձախ աջ սլաք \չորս \սկիզբ (դեպքեր) \ձախ[ \սկիզբ (հավաքված)\սկիզբ (հավասարեցված) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \վերջ (հավասարեցված) \վերջ (հավաքված) \աջ։\\ x\ne 0 \վերջ (դեպքեր) \քառաթուղթ \Ձախ աջ սլաք \քառյակ \սկիզբ (դեպքեր) \ձախ[ \սկիզբ (հավաքված)\սկիզբ (հավասարեցված) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \վերջ (հավասարեցված) \վերջ (հավաքված) \աջ:\\ x\ne 0 \վերջ (դեպքեր) \քառաթափ \Ձախ աջ սլաք \քառյակ \ձախ[ \սկիզբ (հավաքված) \սկիզբ (հավասարեցված) &x=2\\ &x=1 \վերջ (հավասարեցված) \վերջ (հավաքված) \աջ։\]Իրոք, չնայած այն հանգամանքին, որ \(x=0\)-ը երկրորդ գործոնի արմատն է, եթե սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինեք \(x=0\), դա իմաստ չի ունենա, քանի որ. \(\dfrac 40\) արտահայտությունը սահմանված չէ:
Այսպիսով, այս հավասարման լուծումը \(x\in \(1;2\)\) է:

3) Լուծե՛ք հավասարումը \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]Մեր հավասարման մեջ \(4x^2-1\ne 0\) , որտեղից \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , այսինքն \(x\ne -\frac12; \frac12\) .
Մենք բոլոր տերմինները տեղափոխում ենք ձախ կողմում և կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի.

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-xx^2)(4x^2-1) \quad \Ձախ աջ սլաք \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\չորսանոց \Ձախ աջ սլաք \քառյակ \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \չորսանոց \ձախ աջ սլաք\)

\(\Ձախ աջ սլաք \քառաթուղթ \սկիզբ (դեպքեր) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(դեպքեր) \քառաթուղթ \ձախ աջ սլաք \քառյակ \սկիզբ (դեպքեր) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \վերջ (դեպքեր) \քառյակ \Ձախ աջ սլաք \չորս \սկիզբ (դեպքեր) \ձախ[ \սկիզբ (հավաքված) \սկիզբ( հավասարեցված) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(հավասարեցված)\end(հավաքված) \աջ։\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end (դեպքեր) \քառյակ \ Ձախ աջ սլաք \քառասուն x=-3\)

Պատասխան՝ \(x\in \(-3\)\) .

Մեկնաբանություն. Եթե ​​պատասխանը բաղկացած է թվերի վերջավոր շարքից, ապա դրանք կարող են գրվել՝ բաժանված կիսատև կետերով գանգուր փակագծերում, ինչպես ցույց է տրված նախորդ օրինակներում։

Լուծվող առաջադրանքներ ռացիոնալ հավասարումներ, մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը նրանք հանդիպում են ամեն տարի, հետևաբար, ատեստավորման թեստը հանձնելուն նախապատրաստվելով, շրջանավարտները պետք է անպայման ինքնուրույն կրկնեն այս թեմայի տեսությունը: Նման առաջադրանքներից գլուխ հանելու համար շրջանավարտները, ովքեր հանձնում են քննության թե՛ հիմնական, և թե՛ պրոֆիլային մակարդակը, անպայման պետք է: Տիրապետելով տեսությանը և զբաղվելով գործնական վարժություններ«Ռացիոնալ հավասարումներ» թեմայով ուսանողները կկարողանան խնդիրներ լուծել ցանկացած թվով գործողություններով և ակնկալել ստանալ մրցակցային միավորներ՝ հիմնվելով քննության արդյունքների վրա:

Ինչպե՞ս պատրաստվել քննությանը «Shkolkovo» կրթական պորտալի հետ:

Երբեմն բավականին դժվար է գտնել մի աղբյուր, որտեղ ամբողջությամբ ներկայացված է մաթեմատիկական խնդիրների լուծման հիմնական տեսությունը։ Դասագիրքը կարող է պարզապես ձեռքի տակ չլինել։ Իսկ երբեմն նույնիսկ ինտերնետում բավական դժվար է լինում գտնել անհրաժեշտ բանաձեւերը։

«Shkolkovo» կրթական պորտալը կփրկի ձեզ որոնելու անհրաժեշտությունից ճիշտ նյութըև կօգնի ձեզ լավ պատրաստվել սերտիֆիկացման թեստն անցնելու համար:

«Ռացիոնալ հավասարումներ» թեմայով ամբողջ անհրաժեշտ տեսությունը պատրաստվել է մեր մասնագետների կողմից և ներկայացվել առավել մատչելի ձևով։ Ուսումնասիրելով ներկայացված տեղեկատվությունը` ուսանողները կկարողանան լրացնել գիտելիքների բացերը:

Համար հաջող նախապատրաստությունՔննության համար շրջանավարտներին պետք է ոչ միայն հիմնավորել տեսական նյութ«Ռացիոնալ հավասարումներ» թեմայով, բայց առաջադրանքներ կատարելը վարժեցնելու վերաբերյալ կոնկրետ օրինակներ. Մեծ ընտրությունառաջադրանքները ներկայացված են «Կատալոգ» բաժնում:

Կայքի յուրաքանչյուր վարժության համար մեր մասնագետները սահմանել են լուծման ալգորիթմ և նշել ճիշտ պատասխանը: Ուսանողները կարող են զբաղվել տարբեր դժվարության խնդիրներ լուծելով՝ կախված ուսուցման մակարդակից: Համապատասխան բաժնում առաջադրանքների ցանկը մշտապես լրացվում և թարմացվում է:

Ուսումնասիրեք տեսական նյութը և հղկեք «Ռացիոնալ հավասարումներ» թեմայով խնդիրներ լուծելու հմտությունները, ինչպես ներառված են. ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ թեստեր, կարող եք առցանց: Անհրաժեշտության դեպքում ներկայացված առաջադրանքներից որևէ մեկը կարող է ավելացվել «Ֆավորիտներ» բաժնում։ Եվս մեկ անգամ կրկնելով «Ռացիոնալ հավասարումներ» թեմայով հիմնական տեսությունը՝ ավագ դպրոցի աշակերտը կկարողանա ապագայում վերադառնալ խնդրին՝ հանրահաշվի դասին ուսուցչի հետ քննարկելու դրա լուծման առաջընթացը։

Դասի նպատակները.

Ուսուցողական:

• կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների հայեցակարգի ձևավորում;
• դիտարկել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման տարբեր եղանակներ.
• դիտարկել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ, ներառյալ այն պայմանը, որ կոտորակը հավասար է զրոյի.
• սովորեցնել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծումն ըստ ալգորիթմի;
• թեմայի յուրացման մակարդակի ստուգում՝ թեստային աշխատանք կատարելով.

Զարգացող:

• ձեռք բերված գիտելիքներով ճիշտ աշխատելու, տրամաբանորեն մտածելու ունակության զարգացում.
• ինտելեկտուալ հմտությունների և մտավոր գործողությունների զարգացում - վերլուծություն, սինթեզ, համեմատություն և ընդհանրացում;
• նախաձեռնության զարգացում, որոշումներ կայացնելու կարողություն, դրանով կանգ չառնելու ունակություն.
• զարգացում քննադատական ​​մտածողություն;
• հետազոտական ​​հմտությունների զարգացում.

Սնուցում:

• դաստիարակություն ճանաչողական հետաքրքրությունառարկայի նկատմամբ;
• անկախության կրթություն կրթական խնդիրների լուծման գործում.
• վերջնական արդյունքների հասնելու համար կամքի և հաստատակամության կրթություն.

Դասի տեսակըդաս - նոր նյութի բացատրություն.

Դասերի ժամանակ

1. Կազմակերպչական պահ.

Բարև տղաներ: Հավասարումները գրված են գրատախտակին, ուշադիր նայեք դրանց։ Կարո՞ղ եք լուծել այս բոլոր հավասարումները: Որոնք չեն և ինչու:

Հավասարումներ, որոնցում ձախ և աջ մասերը կոտորակային են ռացիոնալ արտահայտություններ, կոչվում են կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ։ Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ կուսումնասիրենք այսօր դասին։ Ձևակերպեք դասի թեման. Այսպիսով, մենք բացում ենք տետրերը և գրում դասի թեման «Կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծում»:

2. Գիտելիքների ակտուալացում. Ճակատային հարցում, բանավոր աշխատանք դասարանի հետ.

Եվ հիմա մենք կկրկնենք հիմնական տեսական նյութը, որը մենք պետք է ուսումնասիրենք նոր թեմա. Խնդրում ենք պատասխանել հետևյալ հարցերին.

1. Ի՞նչ է հավասարումը: ( Հավասարություն փոփոխականի կամ փոփոխականների հետ.)
2. Ինչպե՞ս է կոչվում թիվ 1 հավասարումը: ( Գծային.) Լուծման մեթոդ գծային հավասարումներ. (Տեղափոխեք ամեն ինչ անհայտով հավասարման ձախ կողմում, բոլոր թվերը՝ աջ: Բերեք նման պայմաններ: Գտեք անհայտ բազմապատկիչը).
3. Ինչպե՞ս է կոչվում 3-րդ հավասարումը: ( Քառակուսի.) Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ. ( Ամբողջական քառակուսու ընտրություն՝ ըստ բանաձևերի, օգտագործելով Վիետայի թեորեմը և դրա հետևանքները.)
4. Ի՞նչ է համամասնությունը: ( Երկու հարաբերությունների հավասարություն.) Համամասնության հիմնական հատկությունը. ( Եթե ​​համամասնությունը ճշմարիտ է, ապա դրա ծայրահեղ անդամների արտադրյալը հավասար է միջին անդամների արտադրյալին.)
5. Ի՞նչ հատկություններ են օգտագործվում հավասարումները լուծելու համար: ( 1. Եթե հավասարման մեջ տերմինը տեղափոխում ենք մի մասից մյուսը՝ փոխելով նրա նշանը, ապա ստանում ենք տրվածին համարժեք հավասարում։ 2. Եթե հավասարման երկու մասերը բազմապատկվեն կամ բաժանվեն միևնույն ոչ զրոյական թվով, ապա կստացվի հավասարություն, որը համարժեք է տրվածին..)
6. Ե՞րբ է կոտորակը հավասար զրոյի: ( Կոտորակը զրո է, երբ համարիչը զրո է, իսկ հայտարարը զրոյական չէ.)

3. Նոր նյութի բացատրություն.

Լուծե՛ք թիվ 2 հավասարումը տետրերում և գրատախտակում։

Պատասխանել: 10.

Ի՞նչ կոտորակային ռացիոնալ հավասարում կարող եք փորձել լուծել՝ օգտագործելով համամասնության հիմնական հատկությունը: (թիվ 5):

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Լուծե՛ք թիվ 4 հավասարումը տետրերում և գրատախտակում։

Պատասխանել: 1,5.

Ի՞նչ կոտորակային ռացիոնալ հավասարում կարող եք փորձել լուծել՝ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով հայտարարի վրա: (թիվ 6):

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4:

Պատասխանել: 3;4.

Այժմ փորձեք լուծել թիվ 7 հավասարումը եղանակներից մեկով:

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Պատասխանել: 0;5;-2.			Պատասխանել: 5;-2.

Բացատրեք, թե ինչու դա տեղի ունեցավ: Ինչու՞ մի դեպքում երեք արմատ կա, մյուս դեպքում՝ երկու։ Ո՞ր թվերն են այս կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատները:

Մինչ այժմ կողմնակի արմատ հասկացողությամբ ուսանողները չեն հանդիպել, նրանց համար իսկապես շատ դժվար է հասկանալ, թե ինչու դա տեղի ունեցավ։ Եթե ​​դասարանում ոչ ոք չի կարող հստակ բացատրություն տալ այս իրավիճակին, ապա ուսուցիչը առաջատար հարցեր է տալիս:

• Ինչպե՞ս են թիվ 2 և 4 հավասարումները տարբերվում թիվ 5,6,7 հավասարումներից: ( Թիվ 2 և 4 հավասարումներում թվի հայտարարում, թիվ 5-7՝ փոփոխականով արտահայտություններ..)
• Ո՞րն է հավասարման արմատը: ( Այն փոփոխականի արժեքը, որի դեպքում հավասարումը դառնում է իսկական հավասարություն.)
• Ինչպե՞ս պարզել, արդյոք թիվը հավասարման արմատն է: ( Ստուգեք.)

Թեստ անելիս որոշ աշակերտներ նկատում են, որ պետք է բաժանեն զրոյի: Նրանք եզրակացնում են, որ 0 և 5 թվերը այս հավասարման արմատները չեն: Հարց է առաջանում՝ կա՞ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ լուծելու միջոց, որը վերացնում է այս սխալը։ Այո, այս մեթոդը հիմնված է այն պայմանի վրա, որ կոտորակը հավասար է զրոյի։

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2:

Եթե ​​x=5, ապա x(x-5)=0, ուրեմն 5-ը կողմնակի արմատ է:

Եթե ​​x=-2, ապա x(x-5)≠0:

Պատասխանել: -2.

Փորձենք այսպես ձևակերպել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ։ Երեխաներն իրենք են ձևակերպում ալգորիթմը:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ.

1. Տեղափոխեք ամեն ինչ դեպի ձախ:
2. Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի:
3. Կազմե՛ք համակարգ. կոտորակը զրո է, երբ համարիչը զրո է, իսկ հայտարարը զրո չէ։
4. Լուծե՛ք հավասարումը.
5. Ստուգեք անհավասարությունը՝ բացառելու կողմնակի արմատները:
6. Պատասխանը գրի՛ր։

Քննարկում. Ինչպե՞ս ձևակերպել լուծում, եթե օգտագործվում է համամասնության հիմնական հատկությունը և հավասարման երկու կողմերի բազմապատկումը ընդհանուր հայտարարով: (Լրացրե՛ք լուծումը. արմատներից բացառե՛ք նրանց, որոնք ընդհանուր հայտարարը զրոյացնում են):

4. Նոր նյութի առաջնային ըմբռնում.

Աշխատանք զույգերով. Աշակերտներն ընտրում են, թե ինչպես լուծել հավասարումը ինքնուրույն՝ կախված հավասարման տեսակից: Առաջադրանքներ «Հանրահաշիվ 8» դասագրքից, Յու.Ն. Մակարիչև, 2007: Թիվ 600 (բ, գ, i); Թիվ 601 (ա, ե, է). Ուսուցիչը վերահսկում է առաջադրանքի կատարումը, պատասխանում է ծագած հարցերին և օգնում է վատ կատարող ուսանողներին: Ինքնաթեստ. Պատասխանները գրված են գրատախտակին:

բ) 2-ը կողմնակի արմատ է: Պատասխան՝ 3.

գ) 2-ը կողմնակի արմատ է: Պատասխան՝ 1.5.

ա) Պատասխան՝ -12.5.

է) Պատասխան՝ 1, 1.5.

5. Տնային աշխատանքի հայտարարություն.

1. Կարդացեք դասագրքից 25-րդ կետը, վերլուծեք 1-3 օրինակները:
2. Իմացեք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմը:
3. Լուծել թիվ 600 տետրերում (ա, դ, ե); Թիվ 601 (գ, ը).
4. Փորձեք լուծել #696(ա) (ըստ ցանկության):

6. ՈՒսումնասիրված թեմայով հսկիչ առաջադրանքի կատարում.

Աշխատանքը կատարվում է սավաններով։

Աշխատանքի օրինակ.

Ա) Հավասարումներից որո՞նք են կոտորակային ռացիոնալ.

Բ) Կոտորակը զրո է, երբ համարիչը _____________________ է, իսկ հայտարարը՝ _______________________:

Հ) Արդյո՞ք -3 թիվը #6 հավասարման արմատն է:

Դ) Լուծե՛ք թիվ 7 հավասարումը.

Առաջադրանքի գնահատման չափանիշներ.

• «5»-ը տրվում է, եթե աշակերտը ճիշտ է կատարել առաջադրանքի 90%-ից ավելին։
• «4» - 75% -89%
• «3» - 50% -74%
• «2» տրվում է այն աշակերտին, ով կատարել է առաջադրանքի 50%-ից պակաս:
• 2-րդ դասարանը չի դրվում ամսագրում, 3-ը պարտադիր չէ:

7. Անդրադարձ.

Անկախ աշխատանքով թռուցիկների վրա դրեք.

• 1 - եթե դասը հետաքրքիր և հասկանալի էր ձեզ համար.
• 2 - հետաքրքիր, բայց ոչ պարզ;
• 3 - ոչ հետաքրքիր, բայց հասկանալի;
• 4 - հետաքրքիր չէ, պարզ չէ:

8. Ամփոփելով դասը.

Այսպիսով, այսօր դասին մենք ծանոթացանք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների հետ, սովորեցինք, թե ինչպես լուծել այս հավասարումները տարբեր ճանապարհներ, վերապատրաստման օգնությամբ ստուգեցին իրենց գիտելիքները անկախ աշխատանք. Անկախ աշխատանքի արդյունքները կիմանաք հաջորդ դասին, տանը հնարավորություն կունենաք համախմբել ստացած գիտելիքները։

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների լուծման ո՞ր մեթոդն է, ըստ Ձեզ, ավելի հեշտ, հասանելի, ավելի ռացիոնալ։ Անկախ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման մեթոդից, ի՞նչը չպետք է մոռանալ։ Ո՞րն է կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների «խորամանկությունը»:

Շնորհակալություն բոլորիդ, դասն ավարտվեց։

Լուծում կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ

Օգնության ուղեցույց

Ռացիոնալ հավասարումները հավասարումներ են, որոնցում և՛ ձախ, և՛ աջ կողմերը ռացիոնալ արտահայտություններ են:

(Հիշենք, որ ռացիոնալ արտահայտությունները ամբողջ թվեր են և կոտորակային արտահայտություններառանց ռադիկալների, ներառյալ գումարման, հանման, բազմապատկման կամ բաժանման գործողությունները, օրինակ՝ 6x; (m – n)2; x/3y և այլն)

Կոտորակային-ռացիոնալ հավասարումները, որպես կանոն, վերածվում են ձևի.

Որտեղ Պ(x) Եվ Ք(x) բազմանդամներ են։

Նման հավասարումներ լուծելու համար հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք Q(x-ով), ինչը կարող է հանգեցնել կողմնակի արմատների առաջացման: Ուստի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ լուծելիս անհրաժեշտ է ստուգել գտնված արմատները։

Ռացիոնալ հավասարումը կոչվում է ամբողջ թիվ կամ հանրահաշվական, եթե այն չունի բաժանում փոփոխական պարունակող արտահայտությամբ։

Ամբողջ ռացիոնալ հավասարման օրինակներ.

5x - 10 = 3 (10 - x)

3x
-=2x-10
4

Եթե ​​ռացիոնալ հավասարման մեջ կա (x) փոփոխական պարունակող արտահայտության բաժանում, ապա հավասարումը կոչվում է կոտորակային ռացիոնալ։

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարման օրինակ.

15
x + - = 5x - 17
x

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումները սովորաբար լուծվում են հետևյալ կերպ.

1) գտնել կոտորակների ընդհանուր հայտարարը և դրանով բազմապատկել հավասարման երկու մասերը.

2) լուծել ստացված ամբողջ հավասարումը.

3) իր արմատներից բացառել նրանց, որոնք կոտորակների ընդհանուր հայտարարը զրոյացնում են.

Ամբողջական և կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման օրինակներ.

Օրինակ 1. Լուծե՛ք ամբողջ հավասարումը

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Լուծում:

Գտնելով ամենացածր ընդհանուր հայտարարը: Սա 6 է: 6-ը բաժանեք հայտարարի վրա և ստացվածը բազմապատկեք յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչով: Մենք ստանում ենք այս մեկին համարժեք հավասարում.

3 (x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Քանի որ ձախ և աջ կողմերից նույն հայտարարը, այն կարելի է բաց թողնել։ Այնուհետև մենք ունենք ավելի պարզ հավասարում.

3 (x - 1) + 4x = 5x:

Մենք լուծում ենք այն՝ բացելով փակագծերը և կրճատելով նման տերմինները.

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Օրինակ լուծված.

Օրինակ 2. Լուծե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարում

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Մենք գտնում ենք ընդհանուր հայտարար. Սա x (x - 5): Այսպիսով.

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Այժմ մենք կրկին ազատվում ենք հայտարարից, քանի որ այն նույնն է բոլոր արտահայտությունների համար։ Կրճատում ենք նման անդամները, հավասարում ենք զրոյի և ստանում քառակուսի հավասարում:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0:

Լուծելով քառակուսի հավասարումը, մենք գտնում ենք դրա արմատները՝ -2 և 5:

Եկեք ստուգենք, արդյոք այս թվերը սկզբնական հավասարման արմատներն են:

x = –2-ի համար x(x – 5) ընդհանուր հայտարարը չի անհետանում: Այսպիսով, -2-ը սկզբնական հավասարման արմատն է:

x = 5-ում ընդհանուր հայտարարը անհետանում է, և երեք արտահայտություններից երկուսը կորցնում են իրենց նշանակությունը: Այսպիսով, 5 թիվը սկզբնական հավասարման արմատը չէ:

Պատասխան՝ x = -2

Ավելի շատ օրինակներ

Օրինակ 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2.2:

Պատասխան՝ -2.2; 6.

Օրինակ 2

Հավասարումների լուծում կոտորակներովեկեք նայենք օրինակներին. Օրինակները պարզ են և պատկերավոր։ Նրանց օգնությամբ դուք կարող եք հասկանալ առավել հասկանալի ձևով,.
Օրինակ, դուք պետք է լուծեք պարզ հավասարում x/b + c = d:

Այս տեսակի հավասարումը կոչվում է գծային, քանի որ հայտարարը պարունակում է միայն թվեր:

Լուծումը կատարվում է հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով b-ով, այնուհետև հավասարումը ստանում է x = b*(d – c) ձևը, այսինքն. կրճատվում է ձախ կողմի կոտորակի հայտարարը:

Օրինակ, ինչպես լուծել կոտորակային հավասարում:
x/5+4=9
Երկու մասերը բազմապատկում ենք 5-ով։ Ստանում ենք.
x+20=45
x=45-20=25

Մեկ այլ օրինակ, որտեղ անհայտը հայտարարի մեջ է.

Այս տեսակի հավասարումները կոչվում են կոտորակային ռացիոնալ կամ պարզապես կոտորակային:

Կոտորակային հավասարումը կլուծեինք՝ ազատվելով կոտորակներից, որից հետո այս հավասարումը, ամենից հաճախ, վերածվում է գծային կամ քառակուսի հավասարման, որը լուծվում է սովորական եղանակով։ Պետք է հաշվի առնել միայն հետևյալ կետերը.

• փոփոխականի արժեքը, որը հայտարարը դարձնում է 0, չի կարող արմատ լինել.
• դուք չեք կարող բաժանել կամ բազմապատկել հավասարումը =0 արտահայտությամբ:

Այստեղ ուժի մեջ է մտնում այնպիսի հասկացություն, ինչպիսին է թույլատրելի արժեքների տարածքը (ODZ) - սրանք այն հավասարման արմատների արժեքներն են, որոնց համար հավասարումը իմաստ ունի:

Այսպիսով, լուծելով հավասարումը, անհրաժեշտ է գտնել արմատները, այնուհետև ստուգել դրանք ODZ-ի հետ համապատասխանության համար: Այն արմատները, որոնք չեն համապատասխանում մեր DHS-ին, բացառվում են պատասխանից։

Օրինակ, դուք պետք է լուծեք կոտորակային հավասարում.

Ելնելով վերը նշված կանոնից՝ x-ը չի կարող լինել = 0, այսինքն. ODZ այս դեպքում՝ x - զրոյից տարբերվող ցանկացած արժեք:

Մենք ազատվում ենք հայտարարից՝ հավասարման բոլոր անդամները x-ով բազմապատկելով

Եվ լուծեք սովորական հավասարումը

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Պատասխան՝ x = 1/3

Եկեք ավելի բարդ լուծենք հավասարումը.

Այստեղ առկա է նաև ՕՁՀ՝ x -2։

Այս հավասարումը լուծելով՝ մենք ամեն ինչ չենք տեղափոխի մեկ ուղղությամբ և կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի։ Մենք անմիջապես հավասարման երկու կողմերը բազմապատկում ենք մի արտահայտությամբ, որը կնվազեցնի բոլոր հայտարարները միանգամից:

Հայտարարները կրճատելու համար անհրաժեշտ է ձախ կողմը բազմապատկել x + 2-ով, իսկ աջ կողմը 2-ով: Այսպիսով, հավասարման երկու կողմերը պետք է բազմապատկվեն 2-ով (x + 2):

Սա կոտորակների ամենատարածված բազմապատկումն է, որը մենք արդեն քննարկել ենք վերևում:

Մենք գրում ենք նույն հավասարումը, բայց մի փոքր այլ կերպ:

Ձախ կողմը կրճատվում է (x + 2), իսկ աջ կողմը 2-ով: Կրճատումից հետո ստանում ենք սովորական գծային հավասարումը.

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, որը համապատասխանում է մեր ODZ-ին

Պատասխան՝ x = 2:

Հավասարումների լուծում կոտորակներովոչ այնքան դժվար, որքան կարող է թվալ: Այս հոդվածում մենք դա ցույց տվեցինք օրինակներով: Եթե ​​որևէ դժվարություն ունեք ինչպես լուծել հավասարումները կոտորակներով, ապա չեղարկեք բաժանորդագրությունը մեկնաբանություններում։

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ նրա հետ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր կողմից հավաքված անձնական տվյալներթույլ է տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ այդ մասին եզակի առաջարկներ, առաջխաղացումներ և այլ միջոցառումներ և առաջիկա իրադարձություններ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքով, դատական ​​կարգով, դատական ​​վարույթում և (կամ) հիմնված հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների վրա պետական ​​մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, այդ թվում՝ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական՝ պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան: