A kocka gyökfüggvény grafikonja. Hatványfüggvény és gyökök - definíció, tulajdonságok és képletek

Srácok, folytatjuk a teljesítményfüggvények tanulmányozását. A mai óra témája egy függvény lesz – az x kockagyöke. Mi az a kockagyökér? Az y számot x kockagyökének (a harmadik fok gyökének) nevezzük, ha az egyenlőség teljesül. Jelölje:, ahol x a gyökszám, 3 a kitevő.

Amint látjuk, a kockagyök negatív számokból is kinyerhető. Kiderült, hogy a gyökünk minden számra létezik. A negatív szám harmadik gyöke egyenlő egy negatív számmal. Ha páratlan hatványra emeljük, a jel megmarad, a harmadik hatvány pedig páratlan. Ellenőrizzük az egyenlőséget: Legyen. Mindkét kifejezést harmadik hatványra emeljük Akkor vagy A gyökök jelölésében megkapjuk a kívánt azonosságot.

Srácok, most határozzuk meg a funkciónkat. 1) A definíciós tartomány a valós számok halmaza. 2) A függvény páratlan, mivel Következőként az x 0-ban lévő függvényünket tekintjük, ami után a grafikont az origóhoz viszonyítva tükrözzük. 3) A függvény növekszik x 0-nál. A mi függvényünknél az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg, ami növekedést jelent. 4) A funkció felülről nincs korlátozva. Tulajdonképpen bármitől egy nagy szám kiszámolhatjuk a harmadik fok gyökerét, és felfelé haladhatunk a végtelenbe, egyre nagyobb érveket találva. 5) x 0 esetén a legkisebb érték 0. Ez a tulajdonság nyilvánvaló.

Építsük fel a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományra. Ne feledje, hogy a függvényünk páratlan. A függvény tulajdonságai: 1) D(y)=(-;+) 2) páratlan függvény. 3) Növeli (-;+) 4) Korlátlan. 5) Nincs minimális vagy maximális érték. 6) A függvény a teljes valós vonalon folytonos. 7) E (y) \u003d (-; +). 8) Lefelé konvex (-; 0), konvex fel (0; +).

Példa. Ábrázolja a függvényt és olvassa el. Döntés. Építsünk két függvénygrafikont ugyanazon a koordinátasíkon, a feltételeinket figyelembe véve. Az x-1-nél a kockagyök, x-1-nél egy lineáris függvény grafikonját készítjük. 1) D(y)=(-;+) 2) A függvény se nem páros, se nem páratlan. 3) Csökken (-;-1), nő (-1;+) 4) Felülről korlátlan, alulról korlátozott. 5) Legnagyobb érték nem. Legalacsonyabb érték egyenlő mínusz eggyel. 6) A függvény a teljes valós vonalon folytonos. 7) E(y)= (-1;+)

Bevezető helyett

A korszerű technológiák (CSE) és taneszközök (multimédiás tábla) használata az órákon segíti a tanárt az eredményes tanórák megtervezésében és lebonyolításában, megteremti a tanulók számára a képességek megértésének, memorizálásának és gyakorlásának feltételeit.

Az óra dinamikusnak és érdekesnek bizonyul, ha az óra során különböző tanulási formákat kombinálsz.

A modern didaktikában négy általános szervezeti formák tanulás:

• egyéni közvetítés;
• gőzszoba;
• csoport;

kollektív (felcserélhető összetételű párokban). (Dyachenko V.K. Modern didaktika. - M .: Nemzetnevelés, 2005).

A hagyományos tanórákon általában csak a fent felsorolt ​​első három oktatási formát alkalmazzák. kollektív forma a tanítást (páros műszakban végzett munka) gyakorlatilag nem használja a tanár. A tanulásnak ez a szervezeti formája azonban lehetővé teszi a csapat számára, hogy mindenkit felkészítsen arra, hogy aktívan részt vegyen mások képzésében. A kollektív oktatási forma a vezető a CSR-technológiában.

A kollektív tanulási mód technológiájának egyik legelterjedtebb módszere a „kölcsönös képzés” módszere.

Ez a „varázslatos” technika minden tantárgyból és leckéből jó. A cél az edzés.

A tréning az önkontroll örököse, segíti a hallgatót a tanulási tárggyal való kapcsolatteremtésben, megkönnyítve a megfelelő lépések-cselekvések megtalálását. Az ismeretek elsajátításának, megszilárdításának, átcsoportosításának, átdolgozásának, alkalmazásának képzése révén az emberi kognitív képességek fejlesztése valósul meg. (Yanovitskaya E.V. Hogyan tanítsunk és tanuljunk az osztályteremben úgy, hogy tanulni akarjunk. Útmutató. - Szentpétervár: Oktatási projektek, M.: Kiadó A.M. Kushnir, 2009.-14.o.;131)

Segít gyorsan megismételni bármely szabályt, emlékezni a vizsgált kérdésekre adott válaszokra, megszilárdítani a szükséges készségeket. A módszer szerinti munkavégzés optimális ideje 5-10 perc. A képzési kártyákkal kapcsolatos munkát általában szóbeli számolás során végzik, vagyis az óra elején, de a tanár belátása szerint az óra bármely szakaszában elvégezhető, annak céljaitól függően és szerkezet. A képzési kártyán 5-10 egyszerű példa (kérdés, feladat) lehet. Az osztály minden tanulója kártyát kap. A kártyák mindenkinél mások, vagy az „összevont csapatban” (gyerekek egy sorban ülnek) mindenki számára más. Az összevont leválás (csoport) a tanulók meghatározott nevelési-oktatási feladat ellátására kialakított átmeneti együttműködése. (Yalovets T.V. A kollektív tanítási módszer technológiája a tanár szakmai fejlődésében: Oktatási és módszertani kézikönyv. - Novokuznyeck: IPK Kiadó, 2005. - 122. o.)

Óraprojekt a témában „Y= függvény, tulajdonságai és grafikonja”

Az óra projektjében, melynek témája: „ y= függvény, tulajdonságai és grafikonja” bemutatásra kerül a kölcsönös képzés technikájának alkalmazása a hagyományos és multimédiás taneszközök használatával kombinálva.

Az óra témája: " y= függvény, tulajdonságai és grafikonja”

Célok:

• felkészítés az ellenőrző munkára;
• egy függvény összes tulajdonságának ismeretének és a függvénygráfok ábrázolásának és tulajdonságaik olvasásának képességének ellenőrzése.

Feladatok: tantárgy szintje:

tárgyon túli szint:

• megtanulják elemezni a grafikus információkat;
• fejleszteni kell a párbeszédre való képességet;
• az interaktív táblával való munkavégzés képességének és készségének fejlesztése a grafikonokkal való munka példáján keresztül.

Az óra szerkezete	Idő
1. A tanár információbevitele (ITI)	5 perc.
2. Alapismeretek aktualizálása: páros műszakos munkavégzés a módszertan szerint “Kölcsönös képzés”	8 perc.
3. Ismerkedés az „Y= függvény, tulajdonságai és grafikonja” témakörrel: tanári előadás	8 perc.
4. A „Funkció” témában újonnan tanulmányozott és már átadott anyag összevonása: interaktív tábla segítségével	15 perc.
5. Önuralom : teszt formájában	7 perc.
6. Összegzés, házi feladat rögzítése.	2 perc.

Nézzük meg közelebbről az egyes szakaszok tartalmát.

1. A tanári információbevitel (ITI) tartalmazza Idő szervezése; a téma, a cél és az óraterv hangoztatása; páros munkaminta bemutatása a kölcsönös képzés módszere szerint.

A tanulók páros munkamintájának bemutatása az óra ezen szakaszában célszerű megismételni a szükséges technikával végzett munka algoritmusát, mert. az óra következő szakaszában a teljes osztálycsapat munkáját rá tervezik. Ugyanakkor megnevezheti a munka hibáit az algoritmus szerint (ha van ilyen), valamint értékelheti ezen hallgatók munkáját.

2. A referencia tudás aktualizálása páros műszakos összetételben történik a kölcsönös képzés módszere szerint.

A módszertan algoritmusa magában foglalja az egyéni, páros (statikus párok) és kollektív (műszakos összetételű párok) szervezeti képzési formákat.

Egyéni: mindenki, aki megkapja a kártyát, megismerkedik annak tartalmával (elolvassa a kártya hátoldalán található kérdéseket és válaszokat).

• első(„gyakornok szerepében”) felolvassa a feladatot és válaszol a partnerkártya kérdéseire;
• második("edző" szerepében) - ellenőrzi a kártya hátoldalán szereplő válaszok helyességét;
• hasonlóképpen dolgozzon egy másik kártyán, szerepeket váltva;
• jelöljön meg egy-egy lapon és cserélje ki a kártyákat;
• lépj át egy új párra.

Kollektív:

• az új párban úgy működnek, mint az elsőben; átállás új párra stb.

Az átmenetek száma a tanár által erre szánt időtől függ ezt a szakaszt az egyes tanulók és az együttműködő partnerek szorgalmától és megértésének gyorsaságától.

A párban végzett munka után a tanulók az adatrögzítő lapokon jelöléseket végeznek, a tanár elvégzi a munka mennyiségi és minőségi elemzését.

A lista így nézhet ki:

Ivanov Petya 7 "b" osztály

dátum	Kártyaszám	A hibák száma	Kivel dolgoztál együtt
20.12.09	№7	0	Sidorov K.
	№3	2	Petrova M.
	№2	1	Samoilova Z.

3. Az „Y = függvény, tulajdonságai és grafikonja” témakörrel való ismerkedést a tanár prezentáció formájában, multimédiás tanulási eszközök segítségével végzi (4. melléklet). Ez egyrészt a modern hallgatók számára érthető vizualizációs lehetőség, másrészt időt takarít meg az új tananyag magyarázatán.

4. A „Funkció ” két változatban szervezve, hagyományos taneszközök (tábla, tankönyv) és innovatív (interaktív tábla) felhasználásával.

Először a tankönyvből több feladatot kínálunk az újonnan tanulmányozott anyag megszilárdítására. A tanításhoz használt tankönyvet használjuk. A munkavégzés az egész osztállyal egyszerre történik. Ebben az esetben egy tanuló elvégzi az „a” feladatot - egy hagyományos táblán; a másik a „b” feladat az interaktív táblán, a többi tanuló ugyanazon feladatok megoldásait írja le egy füzetbe, és hasonlítsa össze megoldását a táblákon bemutatott megoldással. Ezután a tanár értékeli a tanulók munkáját a táblánál.

Ezután a „Funkció” témában tanult anyag gyorsabb konszolidálása érdekében interaktív táblával végzett frontális munka javasolt, amely a következőképpen szervezhető:

• a feladat és az ütemterv megjelenik az interaktív táblán;
• a válaszolni akaró tanuló a táblához lép, elvégzi a szükséges konstrukciókat és hangoztatja a választ;
• új feladat és új ütemterv jelenik meg a táblán;
• Egy másik diák jön ki válaszolni.

Így rövid időn belül elég sok feladat megoldására, tanulói válaszok értékelésére nyílik lehetőség. Néhány érdekes feladat (hasonlóan a soron következő feladatokhoz ellenőrzési munka), jegyzetfüzetbe rögzíthető.

5. Az önkontroll szakaszában a tanulóknak egy tesztet ajánlanak fel, amelyet önvizsgálat követ (3. melléklet).

Irodalom

1. Djacsenko, V.K. Modern didaktika [Szöveg] / V.K. Djacsenko - M.: Közoktatás, 2005.
2. Yalovets, T.V. A kollektív tanítási módszer technológiája a pedagógus szakmai fejlődésében: Oktatási és módszertani kézikönyv [Szöveg] / T.V. Yalovets. - Novokuznyeck: IPC Kiadó, 2005.
3. Yanovitskaya, E.V. Hogyan taníts és tanulj az osztályteremben úgy, hogy szeretnél tanulni. Útmutató [Szöveg] / E.V. Yanovitskaya. - Szentpétervár: Oktatási projektek, M.: Kiadó A.M. Kushnir, 2009.

Óra és előadás a következő témában: "Hatványfüggvények. Köbgyök. A köbgyök tulajdonságai"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 9. osztály számára
1C oktatási komplexum: "Algebrai feladatok paraméterekkel, 9-11. osztály" Szoftverkörnyezet "1C: Matematikai konstruktor 6.0"

Hatványfüggvény definíciója - kockagyök

Srácok, folytatjuk a teljesítményfüggvények tanulmányozását. Ma az x függvény kockagyökéréről fogunk beszélni.
Mi az a kockagyökér?
Egy y számot x kockagyökének (harmadfokú gyökérnek) nevezünk, ha $y^3=x$ igaz.
Ezeket $\sqrt(x)$-ként jelöljük, ahol x a gyökérszám, 3 a kitevő.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Amint látjuk, a kockagyök negatív számokból is kinyerhető. Kiderült, hogy a gyökünk minden számra létezik.
A negatív szám harmadik gyöke egyenlő egy negatív számmal. Ha páratlan hatványra emeljük, a jel megmarad, a harmadik hatvány pedig páratlan.

Ellenőrizzük az egyenlőséget: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Legyen $\sqrt((-x))=a$ és $\sqrt(x)=b$. Emeljük mindkét kifejezést a harmadik hatványra. $–x=a^3$ és $x=b^3$. Ezután $a^3=-b^3$ vagy $a=-b$. A gyökök jelölésében megkapjuk a kívánt azonosságot.

A kockagyökerek tulajdonságai

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Bizonyítsuk be a második tulajdonságot. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Azt találtuk, hogy a $\sqrt(\frac(a)(b))$ szám a kockában egyenlő a $\frac(a)(b)$ értékkel, majd egyenlő a $\sqrt(\frac(a) (b))$, amit és kellett bizonyítani.

Srácok, ábrázoljuk a függvénygrafikonunkat.
1) A definíciós tartomány a valós számok halmaza.
2) A függvény páratlan, mert $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Ezután tekintsük a függvényünket $x≥0$ esetén, majd tükrözzük a grafikont az origóhoz viszonyítva.
3) A függvény növekszik $х≥0$ esetén. A mi függvényünkben az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg, ami növelést jelent.
4) A funkció felülről nincs korlátozva. Valójában tetszőlegesen nagy számból ki lehet számítani a harmadik fok gyökerét, és felfelé haladhatunk a végtelenbe, egyre nagyobb érveket találva.
5) $x≥0$ esetén a legkisebb érték 0. Ez a tulajdonság nyilvánvaló.
Készítsük el a függvény grafikonját pontok alapján x≥0 esetén.

Építsük fel a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományra. Ne feledje, hogy a függvényünk páratlan.

Funkció tulajdonságai:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Páratlan függvény.
3) Növeli (-∞;+∞).
4) Korlátlan.
5) Nincs minimális vagy maximális érték.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Konvex lefelé (-∞;0-val), konvex felfelé (0;+∞).

Példák hatványfüggvények megoldására

Példák
1. Oldja meg a $\sqrt(x)=x$ egyenletet.
Döntés. Építsünk két grafikont ugyanazon a koordinátasíkon: $y=\sqrt(x)$ és $y=x$.

Amint látja, grafikonjaink három pontban metszik egymást.
Válasz: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Készítse el a függvény grafikonját! $y=\sqrt((x-2))-3$.
Döntés. A grafikonunkat a $y=\sqrt(x)$ függvény grafikonjából kapjuk, két egységgel jobbra és három egységgel lefelé történő párhuzamos eltolással.

3. Készítsen függvénygráfot és olvassa el. $\begin(esetek)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(esetek)$.
Döntés. Építsünk két függvénygrafikont ugyanazon a koordinátasíkon, a feltételeinket figyelembe véve. $х≥-1$ esetén egy köbgyök, $х≤-1$ esetén lineáris függvény grafikonját készítjük.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) A függvény nem páros és nem páratlan.
3) Csökken (-∞;-1), nő (-1;+∞).
4) Korlátlan felülről, korlátlan alulról.
5) Nincs maximális érték. A legkisebb érték mínusz egy.
6) A függvény a teljes valós vonalon folytonos.
7) E(y)= (-1;+∞).

Önálló megoldási feladatok

1. Oldja meg a $\sqrt(x)=2-x$ egyenletet.
2. Ábrázolja a $y=\sqrt((x+1))+1$ függvényt.
3. Készítse el a függvény grafikonját, és olvassa el. $\begin(esetek)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(esetek)$.

Megadjuk a hatványfüggvény főbb tulajdonságait, beleértve a képleteket és a gyökök tulajdonságait. Bemutatjuk a hatványfüggvény derivált, integrál, hatványsor-bővítését és komplex számokkal történő ábrázolását.

Meghatározás

Meghatározás
Teljesítmény funkció kitevővel p az f függvény (x) = xp, amelynek értéke az x pontban egyenlő az értékkel exponenciális függvény x alappal a p.
Ezen kívül f (0) = 0 p = 0 p > esetén 0 .

A kitevő természetes értékei esetén a hatványfüggvény n szám szorzata x-szel egyenlő:
.
Meg van határozva minden valódi számára.

Az exponens pozitív racionális értékei esetén a hatványfüggvény az x szám m fokos n gyökének szorzata:
.
Páratlan m esetén minden valós x-re definiálva. Páros m esetén a hatványfüggvény nem negatívra van definiálva.

Negatív esetén a hatványfüggvényt a következő képlet határozza meg:
.
Ezért a pontban nincs meghatározva.

A p kitevő irracionális értékei esetén az exponenciális függvényt a következő képlet határozza meg:
,
ahol a tetszőleges pozitív szám, nem egyenlő eggyel: .
A számára a következőre van definiálva.
A teljesítmény függvény a következőhöz van definiálva.

Folytonosság. Egy hatványfüggvény folytonos a definíciós tartományában.

A hatványfüggvény tulajdonságai és képletei x ≥ 0 esetén

Itt figyelembe vesszük a nem hatványfüggvény tulajdonságait negatív értékeket argumentum x . Amint fentebb említettük, a p kitevő egyes értékeire az exponenciális függvény az x negatív értékeire is definiálva van. Ebben az esetben tulajdonságait a -on lévő tulajdonságokból kaphatjuk meg, páros vagy páratlan paritás használatával. Ezeket az eseteket részletesen tárgyalja és szemlélteti a "".

Az y = x p hatványfüggvény p kitevőjével a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
(1.1) meghatározott és folyamatos a forgatáson
nál nél ,
nál nél ;
(1.2) sok jelentése van
nál nél ,
nál nél ;
(1.3) szigorúan növekszik,
szigorúan csökken a ;
(1.4) nál nél ;
nál nél ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

A tulajdonságok igazolása a " oldalon található Teljesítményfüggvény (a folytonosság és a tulajdonságok igazolása) »

Gyökerek - meghatározás, képletek, tulajdonságok

Meghatározás
x gyöke n hatványához az a szám, amelyet n hatványra emelve x:
.
Itt n = 2, 3, 4, ... - természetes szám, nagyobb, mint egy.

Azt is mondhatjuk, hogy az n fokú x szám gyöke az egyenlet gyöke (vagyis a megoldása)
.
Vegye figyelembe, hogy a függvény a függvény inverze.

x négyzetgyöke a 2. fokú gyöke: .

köbgyök x számtól a 3. fokú gyöke: .

Páros fokozat

Páros hatványokra n = 2 m, a gyök x ≥ esetén van definiálva 0 . Egy gyakran használt képlet pozitív és negatív x-re is érvényes:
.
Négyzetgyökhöz:
.

Itt fontos a műveletek végrehajtásának sorrendje - azaz először négyzetre emelés történik, ami nemnegatív számot eredményez, majd ebből kinyerhető a gyökér (nem negatív számból kinyerhető Négyzetgyök). Ha megváltoztatnánk a sorrendet: , akkor negatív x esetén a gyök definiálatlan lenne, és ezzel együtt a teljes kifejezés definiálatlan lenne.

páratlan fokozat

Páratlan hatványok esetén a gyökér minden x-re definiálva van:
;
.

A gyökök tulajdonságai és képletei

Az x gyöke egy hatványfüggvény:
.
x ≥ esetén 0 a következő képletek érvényesek:
;
;
, ;
.

Ezek a képletek a változók negatív értékeire is alkalmazhatók. Csak azt kell biztosítani, hogy a páros erők radikális kifejezése ne legyen negatív.

Magánértékek

A 0 gyöke 0: .
1 gyöke 1: .
0 négyzetgyöke 0: .
1 négyzetgyöke 1: .

Példa. Gyökér a gyökerekből

Tekintsük a gyökök négyzetgyökének példáját:
.
Konvertálja a belső négyzetgyököt a fenti képletekkel:
.
Most alakítsuk át az eredeti gyökeret:
.
Így,
.

y = x p a p kitevő különböző értékeihez.

Itt vannak a függvény grafikonjai az x argumentum nem negatív értékeire. Az x negatív értékeire definiált hatványfüggvény grafikonjai a következő oldalon találhatók Hatványfüggvény, tulajdonságai és grafikonjai »

Inverz függvény

A p kitevőjű hatványfüggvény inverze egy 1/p kitevőjű hatványfüggvény.

Ha akkor .

Hatványfüggvény derivált

Az n-edik rend származéka:
;

Képletek származtatása > > >

Teljesítményfüggvény integrálja

P≠- 1 ;
.

Teljesítménysorozat bővítése

Nál nél - 1 < x < 1 a következő bomlás megy végbe:

Kifejezések komplex számokkal

Tekintsük egy z komplex változó függvényét:
f (z) = z t.
A z összetett változót az r modulussal és a φ (r = |z| ) argumentummal fejezzük ki:
z = r e i φ.
A t komplex számot valós és képzeletbeli részként ábrázoljuk:
t = p + i q .
Nekünk van:

Ezenkívül figyelembe vesszük, hogy a φ argumentum nincs egyértelműen definiálva:
,

Tekintsük azt az esetet, amikor q = 0 , vagyis a kitevő valós szám, t = p . Azután
.

Ha p egész szám, akkor kp is egész szám. Ezután a trigonometrikus függvények periodicitása miatt:
.
Azaz exponenciális függvény egész kitevővel egy adott z-hez csak egy értéke van, ezért egyértékű.

Ha p irracionális, akkor kp szorzatai nem adnak egész számot egyetlen k-ra sem. Mivel k egy végtelen értéksoron fut keresztül k = 0, 1, 2, 3, ..., akkor a z p függvénynek végtelen sok értéke van. Amikor a z argumentum növekszik 2 pi(egy fordulat), áttérünk a függvény új ágára.

Ha p racionális, akkor a következőképpen ábrázolható:
, ahol m,n olyan egész számok, amelyekben nincs közös osztó. Azután
.
Első n érték, ha k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, adja n különböző jelentések kp :
.
A következő értékek azonban olyan értékeket adnak, amelyek egy egész számmal különböznek az előzőektől. Például, ha k = k 0+n nekünk van:
.
Trigonometrikus függvények, amelynek argumentumai többszörösével különböznek 2 pi, egyenlő értékűek. Ezért k további növelésével ugyanazokat a z p értékeket kapjuk, mint k = k esetén 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Így az exponenciális függvény -val racionális mutató fokozat többértékű, és n értéke van (ág). Amikor a z argumentum növekszik 2 pi(egy fordulat), áttérünk a függvény új ágára. N ilyen fordulat után visszatérünk az első ághoz, ahonnan a visszaszámlálás elkezdődött.

Különösen az n fok gyökének van n értéke. Példaként vegyük egy z = x valós pozitív szám n-edik gyökét. Ebben az esetben φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Tehát a négyzetgyökre n = 2 ,
.
Még k-ra is, (- 1 ) k = 1. páratlan k esetén (- 1 ) k = - 1.
Vagyis a négyzetgyöknek két jelentése van: + és -.

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.