Ono što se zove kvadratni korijen. Kako ručno pronaći kvadratni korijen broja

Matematika se rodila kada je osoba postala svjesna sebe i počela se pozicionirati kao autonomna jedinica svijeta. Želja za mjerenjem, usporedbom, izračunavanjem onoga što vas okružuje je ono što je u osnovi jedne od temeljnih znanosti naših dana. Isprva su to bile čestice elementarne matematike, koje su omogućile povezivanje brojeva s njihovim fizičkim izrazima, kasnije su se zaključci počeli iznositi samo teoretski (zbog njihove apstraktnosti), ali nakon nekog vremena, kako je rekao jedan znanstvenik, " matematika je dosegla gornju granicu složenosti kada su svi brojevi." Koncept "kvadratnog korijena" pojavio se u vrijeme kada se mogao lako poduprijeti empirijskim podacima, nadilazeći ravninu izračuna.

Kako je sve počelo

Prvi spomen korijena, koji na ovaj trenutak označen kao √, zabilježen je u spisima babilonskih matematičara, koji su postavili temelje moderne aritmetike. Naravno, malo su nalikovali sadašnjem obliku - znanstvenici tih godina prvi su koristili glomazne tablete. Ali u drugom tisućljeću pr. e. došli su do približne formule izračuna koja je pokazala kako uzeti kvadratni korijen. Fotografija ispod prikazuje kamen na kojem su babilonski znanstvenici uklesali izlazni proces √2, a pokazao se toliko točnim da je neslaganje u odgovoru pronađeno tek na desetom decimalu.

Osim toga, korijen se koristio ako je bilo potrebno pronaći stranicu trokuta, pod uvjetom da su ostale dvije poznate. Pa, kada se rješavaju kvadratne jednadžbe, nema bijega od vađenja korijena.

Uz babilonska djela, predmet članka proučavan je i u kineskom djelu "Matematika u devet knjiga", a stari su Grci došli do zaključka da svaki broj iz kojeg se korijen ne izvlači bez ostatka daje iracionalan rezultat .

Podrijetlo ovog pojma povezano je s arapskim prikazom broja: drevni su znanstvenici vjerovali da kvadrat proizvoljnog broja raste iz korijena, poput biljke. Na latinskom ova riječ zvuči kao radix (može se pratiti uzorak - sve što ima "korijensko" semantičko opterećenje je suglasno, bilo da se radi o rotkvi ili išijasu).

Znanstvenici sljedećih generacija preuzeli su ovu ideju, označivši je kao Rx. Na primjer, u 15. stoljeću, kako bi naznačili da je kvadratni korijen uzet iz proizvoljnog broja a, napisali su R 2 a. Uobičajeno moderan izgled"krpelj" √ pojavio se tek u 17. stoljeću zahvaljujući Reneu Descartesu.

Naši dani

Matematički, kvadratni korijen od y je broj z čiji je kvadrat y. Drugim riječima, z 2 =y je ekvivalentno √y=z. Međutim, ova je definicija relevantna samo za aritmetički korijen, jer podrazumijeva nenegativnu vrijednost izraza. Drugim riječima, √y=z, gdje je z veći ili jednak 0.

Općenito, što vrijedi za određivanje algebarskog korijena, vrijednost izraza može biti pozitivna ili negativna. Dakle, zbog činjenice da je z 2 =y i (-z) 2 =y, imamo: √y=±z ili √y=|z|.

Zbog činjenice da je ljubav prema matematici samo rasla s razvojem znanosti, postoje različite manifestacije naklonosti prema njoj, koje se ne izražavaju u suhoparnim proračunima. Na primjer, uz takve zanimljive događaje kao što je dan Pi, slave se i praznici kvadratnog korijena. Slave se devet puta u stotinu godina, a određuju se prema sljedećem principu: brojevi koji redom označavaju dan i mjesec moraju biti kvadratni korijen godine. Da, u sljedeći put Ovaj praznik obilježit će se 4. travnja 2016. godine.

Svojstva kvadratnog korijena na polju R

Gotovo svi matematički izrazi imaju geometrijsku osnovu, ova sudbina nije prošla i √y, što je definirano kao stranica kvadrata s površinom y.

Kako pronaći korijen broja?

Postoji nekoliko algoritama izračuna. Najjednostavniji, ali u isto vrijeme prilično glomazan, uobičajeni je aritmetički izračun, koji je sljedeći:

1) od broja čiji korijen trebamo redom se oduzimaju neparni brojevi - sve dok ostatak na izlazu ne bude manji od oduzetog ili paran nula. Broj poteza će na kraju postati željeni broj. Na primjer, izračun korijen od 25:

Sljedeći neparni broj je 11, a ostatak je: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Za takve slučajeve postoji proširenje serije Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , gdje n uzima vrijednosti od 0 do

+∞, i |y|≤1.

Grafički prikaz funkcije z=√y

Razmotrimo elementarnu funkciju z=√y na polju realnih brojeva R, gdje je y veći ili jednak nuli. Njen grafikon izgleda ovako:

Krivulja raste iz ishodišta i nužno prelazi točku (1; 1).

Svojstva funkcije z=√y na polju realnih brojeva R

1. Područje definicije razmatrane funkcije je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je uključena).

2. Raspon vrijednosti razmatrane funkcije je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je opet uključena).

3. Funkcija uzima minimalnu vrijednost (0) samo u točki (0; 0). Ne postoji maksimalna vrijednost.

4. Funkcija z=√y nije ni parna ni neparna.

5. Funkcija z=√y nije periodična.

6. Postoji samo jedna točka presjeka grafa funkcije z=√y s koordinatnim osi: (0; 0).

7. Točka presjeka grafa funkcije z=√y također je nula ove funkcije.

8. Funkcija z=√y kontinuirano raste.

9. Funkcija z=√y uzima samo pozitivne vrijednosti, stoga njezin graf zauzima prvi koordinatni kut.

Opcije za prikaz funkcije z=√y

U matematici, da bi se olakšalo računanje složenih izraza, ponekad se koristi oblik stepena za upisivanje kvadratnog korijena: √y=y 1/2. Ova je opcija prikladna, na primjer, za podizanje funkcije na stepen: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Ova metoda je također dobar prikaz za diferencijaciju s integracijom, budući da je zahvaljujući njoj kvadratni korijen predstavljen običnom funkcijom stepena.

A u programiranju, zamjena za simbol √ je kombinacija slova sqrt.

Vrijedi napomenuti da je u ovom području kvadratni korijen u velikoj potražnji, jer je dio većine geometrijskih formula potrebnih za izračune. Sam algoritam brojanja je dosta kompliciran i temelji se na rekurziji (funkcija koja sama sebe poziva).

Kvadratni korijen u kompleksnom polju C

Uglavnom, upravo je predmet ovog članka potaknuo otkriće polja kompleksnih brojeva C, budući da je matematičare proganjalo pitanje dobivanja korijena parnog stupnja iz negativnog broja. Tako se pojavila imaginarna jedinica i koju karakterizira vrlo zanimljivo svojstvo: kvadrat joj je -1. Zahvaljujući tome, kvadratne jednadžbe i s negativnim diskriminantom dobile su rješenje. U C-u su za kvadratni korijen relevantna ista svojstva kao i u R-u, jedino što se uklanjaju ograničenja na izraz korijena.

Površina kvadratne parcele iznosi 81 dm². Pronađite njegovu stranu. Pretpostavimo da je duljina stranice kvadrata x decimetrima. Tada je površina parcele x² kvadratnih decimetara. Budući da prema stanju ova površina iznosi 81 dm², onda x² = 81. Duljina stranice kvadrata je pozitivan broj. Pozitivan broj čiji je kvadrat 81 je broj 9. Prilikom rješavanja zadatka bilo je potrebno pronaći broj x čiji je kvadrat 81, tj. riješiti jednadžbu x² = 81. Ova jednadžba ima dva korijena: x 1 = 9 i x 2 \u003d - 9, budući da su 9² \u003d 81 i (- 9)² \u003d 81. Oba broja 9 i - 9 nazivaju se kvadratnim korijenima broja 81.

Imajte na umu da je jedan od kvadratnih korijena x= 9 je pozitivan broj. Zove se aritmetički kvadratni korijen od 81 i označava se √81, pa je √81 = 9.

Aritmetički kvadratni korijen broja ali je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak ali.

Na primjer, brojevi 6 i - 6 su kvadratni korijeni broja 36. U ovom slučaju, broj 6 je aritmetički kvadratni korijen od 36, budući da je 6 nenegativan broj, a 6² \u003d 36. Broj - 6 nije aritmetički korijen.

Aritmetički kvadratni korijen broja ali označena na sljedeći način: √ ali.

Znak se naziva znak aritmetičkog kvadratnog korijena; ali naziva se korijenski izraz. Izraz √ aličitati ovako: aritmetički kvadratni korijen broja ali. Na primjer, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. U slučajevima kada je jasno da je riječ o aritmetičkom korijenu, ukratko kažu: "kvadratni korijen od ali«.

Čin pronalaženja kvadratnog korijena broja naziva se uzimanje kvadratnog korijena. Ova radnja je obrnuta od kvadriranja.

Bilo koji broj se može kvadrirati, ali ne može svaki broj biti kvadratni korijen. Na primjer, nemoguće je izdvojiti kvadratni korijen broja - 4. Ako je takav korijen postojao, onda, označavajući ga slovom x, dobili bismo pogrešnu jednakost x² \u003d - 4, budući da je s lijeve strane nenegativan broj, a s desne strane negativan broj.

Izraz √ ali ima smisla samo kada a ≥ 0. Definicija kvadratnog korijena može se ukratko napisati kao: √ a ≥ 0, (√ali)² = ali. Jednakost (√ ali)² = ali vrijedi za a ≥ 0. Dakle, kako bismo bili sigurni da je kvadratni korijen nenegativnog broja ali jednaki b, tj. da √ ali =b, morate provjeriti jesu li ispunjena sljedeća dva uvjeta: b ≥ 0, b² = ali.

Kvadratni korijen razlomka

Izračunajmo. Imajte na umu da je √25 = 5, √36 = 6 i provjerite vrijedi li jednakost.

Jer i , tada je jednakost istinita. Tako, .

Teorema: Ako ali≥ 0 i b> 0, odnosno korijen razlomka jednaka korijenu od brojnika podijeljenog s korijenom nazivnika. Potrebno je dokazati da: i .

Budući da √ ali≥0 i √ b> 0, zatim .

Svojstvom dizanja razlomka na stepen i određivanja kvadratnog korijena teorem je dokazan. Pogledajmo nekoliko primjera.

Izračunaj , prema dokazanom teoremu .

Drugi primjer: Dokažite to , ako ali ≤ 0, b < 0. .

Drugi primjer: Izračunaj .

.

Transformacija kvadratnog korijena

Vađenje množitelja ispod znaka korijena. Neka se da izraz. Ako ali≥ 0 i b≥ 0, tada prema teoremu o korijenu proizvoda možemo napisati:

Takva se transformacija naziva faktoriranjem predznaka korijena. Razmotrimo primjer;

Izračunajte na x= 2. Izravna zamjena x= 2 u radikalnom izrazu dovodi do kompliciranih proračuna. Ovi se izračuni mogu pojednostaviti ako prvo uklonimo čimbenike ispod predznaka korijena: . Sada zamjenjujući x = 2, dobivamo:.

Dakle, kada se faktor izvadi ispod predznaka korijena, radikalni izraz se predstavlja kao umnožak u kojem su jedan ili više faktora kvadrati nenegativnih brojeva. Zatim se primjenjuje teorem o korijenskom produktu i uzima se korijen svakog faktora. Razmotrimo primjer: Pojednostavimo izraz A = √8 + √18 - 4√2 tako da u prva dva člana izvadimo faktore ispod predznaka korijena, dobivamo:. Ističemo da je jednakost vrijedi samo kada ali≥ 0 i b≥ 0. ako ali < 0, то .

Eksponencijacija podrazumijeva da se određeni broj mora pomnožiti sam sa sobom određeni broj puta. Na primjer, podizanje broja 2 na peti stepen izgledalo bi ovako:

Broj koji treba pomnožiti sam sa sobom naziva se baza stupnja, a broj množenja je njegov eksponent. Povećanje na stepen odgovara dvije suprotne radnje: pronalaženju eksponenta i pronalaženju baze.

vađenje korijena

Pronalaženje baze eksponenta naziva se ekstrakcija korijena. To znači da trebate pronaći broj koji treba povisiti na stepen n da biste dobili zadani.

Na primjer, potrebno je izdvojiti 4. korijen broja 16, t.j. da biste odredili, trebate pomnožiti samo sebe 4 puta da biste na kraju dobili 16. Ovaj broj je 2.

Takav aritmetička operacija piše se posebnim znakom - radikalom: √, iznad kojeg je lijevo označen eksponent.

aritmetički korijen

Ako je eksponent Parni broj, tada korijen mogu biti dva broja s istim modulom, ali s - pozitivnim i negativnim. Dakle, u navedenom primjeru to mogu biti brojevi 2 i -2.

Izraz mora biti nedvosmislen, t.j. imati jedan rezultat. Za to je uveden koncept aritmetičkog korijena, koji može biti samo pozitivan broj. Aritmetički korijen ne može biti manji od nule.

Dakle, u gore razmatranom primjeru, samo će broj 2 biti aritmetički korijen, a drugi odgovor - -2 - isključen je po definiciji.

Korijen

Za neke stupnjeve koji se koriste češće od drugih, postoje posebni nazivi koji su izvorno povezani s geometrijom. Riječ je o o podizanju na drugu i treću potenciju.

Na drugi stepen, duljina stranice kvadrata kada trebate izračunati njegovu površinu. Ako trebate pronaći volumen kocke, duljina njenog ruba se podiže na treći stepen. Stoga se zove kvadrat broja, a treći se zove kocka.

Prema tome, korijen drugog stupnja naziva se kvadrat, a korijen trećeg stupnja naziva se kub. Kvadratni korijen je jedini od korijena koji nema eksponent iznad radikala kada je napisan:

Dakle, aritmetički kvadratni korijen zadanog broja je pozitivan broj koji se mora povisiti na drugi stepen da bi se dobio zadani broj.

Vrijeme je za rastavljanje metode vađenja korijena. Oni se temelje na svojstvima korijena, posebice na jednakosti, što vrijedi za svaki nenegativni broj b.

U nastavku ćemo zauzvrat razmotriti glavne metode vađenja korijena.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem - vađenjem korijena iz prirodnih brojeva pomoću tablice kvadrata, tablice kocki itd.

Ako tablice kvadrata, kocke itd. nije pri ruci, logično je koristiti metodu vađenja korijena, koja uključuje razlaganje korijenskog broja na jednostavne faktore.

Zasebno, vrijedi se zadržati na tome, što je moguće za korijene s neparnim eksponentima.

Konačno, razmotrite metodu koja vam omogućuje da uzastopno pronađete znamenke vrijednosti korijena.

Započnimo.

Korištenje tablice kvadrata, tablice kocki itd.

U većini jednostavnim slučajevima tablice kvadrata, kocke itd. omogućuju vađenje korijena. Kakve su ovo tablice?

Tablica kvadrata cijelih brojeva od 0 do 99 (prikazano dolje) sastoji se od dvije zone. Prva zona tablice nalazi se na sivoj pozadini, koristi se odabirom određeni niz a određeni stupac vam omogućuje da napravite broj od 0 do 99 . Na primjer, odaberimo red od 8 desetica i stupac od 3 jedinice, čime smo fiksirali broj 83. Druga zona zauzima ostatak tablice. Svaka njegova ćelija nalazi se na sjecištu određenog retka i određenog stupca, a sadrži kvadrat odgovarajućeg broja od 0 do 99 . Na sjecištu odabranog retka od 8 desetica i stupca 3 od jedan nalazi se ćelija s brojem 6889, što je kvadrat broja 83.

Tablice kocki, tablice četvrtih potencija brojeva od 0 do 99 i tako dalje slične su tablici kvadrata, samo što sadrže kocke, četvrte potencije itd. u drugoj zoni. odgovarajući brojevi.

Tablice kvadrata, kocke, četvrte potencije itd. dopustiti vam da izvučete kvadratni korijen, kockasti korijeni, četvrti korijen itd. odnosno iz brojeva u ovim tablicama. Objasnimo princip njihove primjene u vađenju korijena.

Recimo da iz broja a trebamo izdvojiti korijen n-tog stupnja, dok je broj a sadržan u tablici n-tih stupnjeva. Prema ovoj tablici nalazimo broj b takav da je a=b n . Zatim , dakle, broj b će biti željeni korijen n-tog stupnja.

Kao primjer, pokažimo kako se kubni korijen od 19683 izdvaja pomoću tablice kocke. U tablici kocki nalazimo broj 19 683, iz nje nalazimo da je ovaj broj kocka broja 27, dakle, .

Jasno je da su tablice n-tih stupnjeva vrlo zgodne za vađenje korijena. Međutim, često nisu pri ruci, a njihovo sastavljanje zahtijeva određeno vrijeme. Štoviše, često je potrebno izdvojiti korijene iz brojeva koji nisu sadržani u odgovarajućim tablicama. U tim slučajevima treba pribjeći drugim metodama vađenja korijena.

Dekompozicija korijenskog broja na proste faktore

Dovoljno zgodan način, koji omogućuje vađenje korijena iz prirodnog broja (ako je, naravno, korijen ekstrahiran) je dekompozicija korijenskog broja na proste faktore. Njegovo suština je sljedeća: nakon što ga je prilično lako predstaviti kao stupanj sa željenim pokazateljem, što vam omogućuje da dobijete vrijednost korijena. Objasnimo ovu točku.

Neka je korijen n-tog stupnja izvučen iz prirodnog broja a, a njegova je vrijednost jednaka b. U ovom slučaju vrijedi jednakost a=b n. Broj b kao bilo koji prirodni broj može se predstaviti kao umnožak svih njegovih prostih faktora p 1 , p 2 , …, pm u obliku p 1 p 2 pm , a radikalni broj a u ovom slučaju je predstavljen kao (p 1 p 2 pm) n. Budući da je dekompozicija broja na proste faktore jedinstvena, dekompozicija korijenskog broja a na proste faktore će izgledati kao (p 1 ·p 2 ·…·pm) n , što omogućuje izračunavanje vrijednosti korijena kao .

Imajte na umu da ako se faktorizacija korijenskog broja a ne može predstaviti u obliku (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , tada korijen n-tog stupnja iz takvog broja a nije u potpunosti izdvojen.

Pozabavimo se time prilikom rješavanja primjera.

Primjer.

Uzmi kvadratni korijen od 144 .

Riješenje.

Ako se okrenemo tablici kvadrata danoj u prethodnom odlomku, jasno se vidi da je 144=12 2 , iz čega je jasno da je kvadratni korijen od 144 12 .

Ali u svjetlu ove točke, zanima nas kako se korijen izdvaja razlaganjem korijenskog broja 144 na proste faktore. Pogledajmo ovo rješenje.

Razgradimo se 144 na osnovne faktore:

To jest, 144=2 2 2 2 3 3 . Na temelju dobivene razgradnje mogu se provesti sljedeće transformacije: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. posljedično, .

Koristeći svojstva stupnja i svojstva korijena, rješenje bi se moglo formulirati malo drugačije: .

Odgovor:

Za konsolidaciju gradiva razmotrite rješenja još dva primjera.

Primjer.

Izračunajte vrijednost korijena.

Riješenje.

Prost faktorizacija korijenskog broja 243 je 243=3 5 . Na ovaj način, .

Odgovor:

Primjer.

Je li vrijednost korijena cijeli broj?

Riješenje.

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, razložimo korijenski broj na proste faktore i vidimo može li se predstaviti kao kocka cijelog broja.

Imamo 285 768=2 3 3 6 7 2 . Rezultirajuća dekompozicija nije predstavljena kao kocka cijelog broja, budući da stupanj prostog faktora 7 nije višekratnik tri. Stoga se kubni korijen od 285,768 ne uzima u potpunosti.

Odgovor:

Ne.

Vađenje korijena iz razlomaka

Vrijeme je da shvatimo kako se izvlači korijen razlomak broj. Neka se razlomak korijenskog broja zapiše kao p/q . Prema svojstvu korijena kvocijenta vrijedi sljedeća jednakost. Iz ove jednakosti slijedi pravilo korijena razlomka: Korijen razlomka jednak je kvocijentu dijeljenja korijena brojnika s korijenom nazivnika.

Pogledajmo primjer vađenja korijena iz razlomka.

Primjer.

Koliki je kvadratni korijen obični razlomak 25/169 .

Riješenje.

Prema tablici kvadrata nalazimo da je kvadratni korijen brojnika izvornog razlomka 5, a kvadratni korijen nazivnika 13. Zatim . Time je završeno vađenje korijena iz obične frakcije 25/169.

Odgovor:

Korijen decimalnog razlomka ili mješovitog broja izdvaja se nakon zamjene korijenskih brojeva običnim razlomcima.

Primjer.

Uzmite kubni korijen decimalnog broja 474.552.

Riješenje.

Predstavimo izvornu decimalu kao obični razlomak: 474,552=474552/1000 . Zatim . Ostaje izdvojiti kubne korijene koji se nalaze u brojniku i nazivniku rezultirajućeg razlomka. Jer 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000=10 3 , tada I . Ostaje samo dovršiti izračune .

Odgovor:

.

Izdvajanje korijena negativnog broja

Zasebno, vrijedi se zadržati na vađenju korijena iz negativnih brojeva. Prilikom proučavanja korijena rekli smo da kada je eksponent korijena neparan broj, tada negativan broj može biti pod znakom korijena. Takvim zapisima dali smo sljedeće značenje: za negativan broj −a i neparni eksponent korijena 2 n−1, imamo . Ova jednakost daje pravilo za vađenje neparnih korijena iz negativnih brojeva: da biste izdvojili korijen negativnog broja, potrebno je izvući korijen suprotnog pozitivnog broja, a ispred rezultata staviti znak minus.

Razmotrimo primjer rješenja.

Primjer.

Pronađite vrijednost korijena.

Riješenje.

Transformirajmo izvorni izraz tako da se ispod predznaka korijena pojavi pozitivan broj: . Sada zamjenjujemo mješoviti broj običnim razlomkom: . Primjenjujemo pravilo vađenja korijena iz običnog razlomka: . Ostaje izračunati korijene u brojniku i nazivniku rezultirajućeg razlomka: .

Evo sažetka rješenja: .

Odgovor:

.

Pobitno traženje korijenske vrijednosti

U općem slučaju, ispod korijena se nalazi broj koji se, korištenjem tehnika o kojima smo raspravljali, ne može predstaviti kao n-ti stepen bilo kojeg broja. Ali u isto vrijeme postoji potreba da se zna vrijednost danog korijena, barem do određenog predznaka. U ovom slučaju, za izdvajanje korijena, možete koristiti algoritam koji vam omogućuje dosljedno dobivanje dovoljnog broja vrijednosti znamenki željenog broja.

Na prvom koraku ovaj algoritam morate saznati koji je najznačajniji dio vrijednosti korijena. Da biste to učinili, brojevi 0, 10, 100, ... sukcesivno se podižu na stepen n dok se ne dobije broj koji premašuje korijenski broj. Tada će broj koji smo podigli na stepen n u prethodnom koraku označavati odgovarajući visoki red.

Na primjer, razmotrite ovaj korak algoritma kada vadite kvadratni korijen od pet. Uzimamo brojeve 0, 10, 100, ... i kvadriramo ih dok ne dobijemo broj veći od 5 . Imamo 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , što znači da će najznačajnija znamenka biti znamenka jedinica. Vrijednost ovog bita, kao i nižih, naći ćemo u sljedećim koracima algoritma za ekstrakciju korijena.

Svi sljedeći koraci algoritma usmjereni su na uzastopno preciziranje vrijednosti korijena zbog činjenice da se pronađu vrijednosti sljedećih znamenki željene vrijednosti korijena, počevši od najviše i krećući se prema najnižoj . Na primjer, vrijednost korijena u prvom koraku je 2 , u drugom - 2,2 , u trećem - 2,23 , i tako dalje 2,236067977 ... . Opišimo kako se pronalaze vrijednosti bitova.

Pronalaženje znamenki vrši se njihovim nabrajanjem moguće vrijednosti 0, 1, 2, ..., 9 . U ovom slučaju, n-te potencije odgovarajućih brojeva izračunavaju se paralelno i uspoređuju se s korijenskim brojem. Ako u nekoj fazi vrijednost stupnja premašuje radikalni broj, tada se smatra pronađenom vrijednost znamenke koja odgovara prethodnoj vrijednosti i vrši se prijelaz na sljedeći korak algoritma ekstrakcije korijena, ako se to ne dogodi, tada je vrijednost ove znamenke 9 .

Objasnimo sve ove točke koristeći isti primjer vađenja kvadratnog korijena od pet.

Najprije pronađite vrijednost znamenke jedinice. Iterirati ćemo vrijednosti 0, 1, 2, …, 9, računajući redom 0 2 , 1 2 , …, 9 2 dok ne dobijemo vrijednost veću od radikalnog broja 5 . Svi ovi izračuni prikladno su prikazani u obliku tablice:

Dakle, vrijednost znamenke jedinice je 2 (jer je 2 2<5 , а 2 3 >pet). Prijeđimo na traženje vrijednosti desetog mjesta. U ovom slučaju ćemo kvadrirati brojeve 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, uspoređujući dobivene vrijednosti s korijenskim brojem 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , tada je vrijednost desetog mjesta 2 . Možete nastaviti s traženjem vrijednosti stotinke:

Tako pronađeno sljedeća vrijednost korijen od pet, jednak je 2,23. I tako možete nastaviti dalje tražiti vrijednosti: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Za konsolidaciju gradiva analizirat ćemo ekstrakciju korijena s točnošću od stotinke koristeći razmatrani algoritam.

Prvo definiramo staru znamenku. Da bismo to učinili, kockamo brojeve 0, 10, 100 itd. dok ne dobijemo broj veći od 2.151.186 . Imamo 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , pa je najznačajnija znamenka znamenka desetice.

Definirajmo njegovu vrijednost.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2.151.186, tada je vrijednost znamenke desetice 1. Prijeđimo na jedinice.

Dakle, vrijednost mjesta jedinica je 2 . Prijeđimo na deset.

Budući da je čak 12,9 3 manje od radikalnog broja 2 151,186 , vrijednost desetog mjesta je 9 . Ostaje izvršiti zadnji korak algoritma, on će nam dati vrijednost korijena s potrebnom točnošću.

U ovoj fazi, vrijednost korijena nalazi se do stotinke: .

U zaključku ovog članka, želio bih reći da postoji mnogo drugih načina za vađenje korijena. Ali za većinu zadataka dovoljni su oni koje smo gore proučili.

Bibliografija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10.-11. razred općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola).