Rješenje kvadratnih grafova. Kako izračunati minimum ili maksimum pomoću matematičkih operacija

Svi znaju što je parabola. Ali kako ga pravilno koristiti, kompetentno u rješavanju raznih praktičnih problema, razumjet ćemo u nastavku.

Najprije označimo osnovne pojmove koje algebra i geometrija daju ovom pojmu. Uzmite u obzir sve moguće vrste ovaj grafikon.

Saznajemo sve glavne karakteristike ove funkcije. Shvatimo osnove konstruiranja krivulje (geometrije). Naučimo kako pronaći gornje, druge osnovne vrijednosti grafa ove vrste.

Saznat ćemo: kako je tražena krivulja ispravno konstruirana prema jednadžbi, na što trebate obratiti pozornost. Pogledajmo glavno praktična upotreba ovu jedinstvenu vrijednost u ljudskom životu.

Što je parabola i kako izgleda

Algebra: ovaj izraz se odnosi na graf kvadratna funkcija.

Geometrija: Ovo je krivulja drugog reda koja ima niz specifičnih značajki:

Jednadžba kanonske parabole

Na slici je prikazan pravokutni koordinatni sustav (XOY), ekstrem, smjer crtanja funkcije grana se duž osi apscise.

Kanonska jednadžba je:

y 2 \u003d 2 * p * x,

gdje je koeficijent p žarišni parametar parabole (AF).

U algebri se drugačije piše:

y = a x 2 + b x + c (prepoznatljivi uzorak: y = x 2).

Svojstva i graf kvadratne funkcije

Funkcija ima os simetrije i središte (ekstremum). Domena definicije su sve vrijednosti x-ose.

Raspon vrijednosti funkcije - (-∞, M) ili (M, +∞) ovisi o smjeru grana krivulje. Parametar M ovdje znači vrijednost funkcije na vrhu retka.

Kako odrediti kamo su usmjerene grane parabole

Da biste pronašli smjer ove vrste krivulje iz izraza, morate odrediti znak ispred prvog parametra algebarski izraz. Ako je a ˃ 0, onda su usmjereni prema gore. Inače, dolje.

Kako pronaći vrh parabole koristeći formulu

Pronalaženje ekstrema glavni je korak u rješavanju mnogih praktičnih problema. Naravno, možete otvoriti posebne online kalkulatori ali bolje je da to možete učiniti sami.

Kako to definirati? Postoji posebna formula. Kada b nije jednako 0, moramo tražiti koordinate ove točke.

Formule za pronalaženje vrha:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Primjer.

Postoji funkcija y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Nađimo vrhove ove funkcije.

Za takvu liniju:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Dobivamo koordinate vrha (-2, -41).

Pomak parabole

Klasičan slučaj je kada su u kvadratnoj funkciji y = a x 2 + b x + c, drugi i treći parametar 0, a = 1 - vrh je u točki (0; 0).

Kretanje duž apscisne ili ordinatne osi posljedica je promjene parametara b i c. Pomak linije na ravnini izvršit će se točno brojem jedinica, što je jednako vrijednosti parametra.

Primjer.

Imamo: b = 2, c = 3.

To znači da će se klasični pogled na krivulju pomaknuti za 2 jedinična segmenta duž osi apscise i za 3 duž ordinatne osi.

Kako izgraditi parabolu pomoću kvadratne jednadžbe

Za školarce je važno naučiti kako pravilno nacrtati parabolu prema zadanim parametrima.

Analizom izraza i jednadžbi možete vidjeti sljedeće:

Točka presjeka željene linije s ordinatnim vektorom imat će vrijednost jednaku c.
Sve točke grafa (duž x-osi) bit će simetrične u odnosu na glavni ekstrem funkcije.

Osim toga, sjecišta s OX mogu se pronaći poznavanjem diskriminanta (D) takve funkcije:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Da biste to učinili, morate izraz izjednačiti s nulom.

Prisutnost korijena parabole ovisi o rezultatu:

D ˃ 0, tada je x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, zatim x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D ˂ 0, tada nema točaka presjeka s vektorom OX.

Dobivamo algoritam za konstruiranje parabole:

odrediti smjer grana;
pronaći koordinate vrha;
pronaći sjecište s y-osi;
pronađite sjecište s x-osi.

Primjer 1

S obzirom na funkciju y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Potrebno je izgraditi parabolu. Radimo prema algoritmu:

a \u003d 1, dakle, grane su usmjerene prema gore;
koordinate ekstrema: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
siječe se s y-osi na vrijednosti y = 4;
naći diskriminanta: D = 25 - 16 = 9;
tražeći korijene

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (deset).

Primjer 2

Za funkciju y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, morate izgraditi parabolu. Radimo prema gore navedenom algoritmu:

a \u003d 3, dakle, grane su usmjerene prema gore;
koordinate ekstrema: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
s y-osi će se presijecati na vrijednosti y \u003d -1;
pronađite diskriminant: D = 4 + 12 = 16. Dakle, korijeni:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Od dobivenih točaka možete izgraditi parabolu.

Directrix, ekscentricitet, fokus parabole

Na temelju kanonske jednadžbe, žarište F ima koordinate (p/2, 0).

Prava crta AB je direktrisa (vrsta tetive parabole određene duljine). Njezina je jednadžba x = -p/2.

Ekscentricitet (konstanta) = 1.

Zaključak

Razmotrili smo temu po kojoj studenti uče Srednja škola. Sada znate, gledajući kvadratnu funkciju parabole, kako pronaći njezin vrh, u kojem smjeru će grane biti usmjerene, postoji li pomak duž osi i, ako imate algoritam konstrukcije, možete nacrtati njezin graf.