Transformacija racionalnih izraza: vrste transformacija, primjeri. racionalno izražavanje

U dalekoj prošlosti, kada računski sustav još nije bio izmišljen, ljudi su sve brojali na prste. S pojavom aritmetike i osnova matematike postalo je puno lakše i praktičnije voditi evidenciju o robi, proizvodima i kućanskim predmetima. Međutim, kako to izgleda suvremeni sustav račun: na koje se vrste dijele postojeći brojevi i što znači "racionalni oblik brojeva"? Idemo to shvatiti.

Koliko vrsta brojeva postoji u matematici?

Sam koncept "broja" označava određenu jedinicu bilo kojeg objekta, koja karakterizira njegove kvantitativne, usporedne ili redne pokazatelje. Da bi se točno izbrojilo određene stvari ili da bi se određene provele matematičke operacije s brojevima (zbrajanje, množenje itd.), prije svega, trebali biste se upoznati s varijantama tih istih brojeva.

Dakle, postojeći brojevi mogu se podijeliti u sljedeće kategorije:

1. Prirodni brojevi su oni brojevi kojima brojimo broj objekata (najmanji prirodni broj je 1, logično je da niz prirodni brojevi je beskonačan, odnosno ne postoji najveći prirodni broj). Skup prirodnih brojeva obično se označava slovom N.
2. Cijeli brojevi. Ovaj set uključuje sve, dok se dodaje i negativne vrijednosti, uključujući broj "nula". Zapis za skup cijelih brojeva zapisuje se kao latinično slovo Z.
3. Racionalni brojevi su oni koje možemo mentalno pretvoriti u razlomak čiji će brojnik pripadati skupu cijelih brojeva, a nazivnik prirodnim brojevima. U nastavku ćemo detaljnije analizirati što znači "racionalni broj" i navesti nekoliko primjera.
4. - skup koji uključuje sve racionalne i Ovaj skup je označen slovom R.
5. Kompleksni brojevi sadrže dio realnog i dio varijable. Koriste se u rješavanju raznih kubnih jednadžbi, koje zauzvrat mogu imati negativan izraz u formulama (i 2 = -1).

Što znači "racionalno": analiziramo na primjerima

Ako su racionalni brojevi oni koje možemo predstaviti u obliku obični razlomak, ispada da su svi pozitivni i negativni cijeli brojevi također uključeni u skup racionalnih. Uostalom, bilo koji cijeli broj, na primjer 3 ili 15, može se predstaviti kao razlomak, gdje će nazivnik biti jedan.

Razlomci: -9/3; 7/5, 6/55 su primjeri racionalni brojevi.

Što znači "racionalno izražavanje"?

Krenuti dalje. Već smo raspravljali o tome što znači racionalni oblik brojeva. Zamislimo sada matematički izraz koji se sastoji od zbroja, razlike, proizvoda ili kvocijenta razni brojevi i varijable. Evo primjera: razlomak u čijem je brojniku zbroj dva ili više cijelih brojeva, a nazivnik sadrži i cijeli broj i neku varijablu. Upravo se taj izraz naziva racionalnim. Na temelju pravila "ne možete dijeliti s nulom", možete pretpostaviti da vrijednost ove varijable ne može biti takva da vrijednost nazivnika postane nula. Stoga, prilikom rješavanja racionalnog izraza, prvo morate odrediti raspon varijable. Na primjer, ako nazivnik sadrži sljedeći izraz: x+5-2, ispada da "x" ne može biti jednako -3. Doista, u ovom slučaju, cijeli se izraz pretvara u nulu, stoga je prilikom rješavanja potrebno isključiti cijeli broj -3 za ovu varijablu.

Kako ispravno riješiti racionalne jednadžbe?

Racionalni izrazi mogu sadržavati dosta veliki broj brojeva pa čak i 2 varijable, pa ponekad njihovo rješavanje postaje teško. Kako bi se olakšalo rješenje takvog izraza, preporuča se racionalno izvesti određene operacije. Dakle, što znači "na racionalan način" i koja pravila treba primijeniti pri odlučivanju?

1. Prvi tip, kada je dovoljno samo pojednostaviti izraz. Da biste to učinili, možete pribjeći operaciji smanjenja brojnika i nazivnika na nesmanjivu vrijednost. Na primjer, ako brojnik sadrži izraz 18x, a nazivnik 9x, tada, smanjivanjem oba pokazatelja za 9x, dobivamo samo cijeli broj jednak 2.
2. Druga metoda je praktična kada imamo monom u brojniku i polinom u nazivniku. Pogledajmo primjer: u brojniku imamo 5x, a u nazivniku - 5x + 20x 2 . U ovom slučaju, najbolje je varijablu u nazivniku izvaditi iz zagrada, dobivamo sljedeći oblik nazivnika: 5x(1+4x). A sada možete koristiti prvo pravilo i pojednostaviti izraz smanjenjem 5x u brojniku i nazivniku. Kao rezultat, dobivamo razlomak oblika 1/1+4x.

Koje se operacije mogu izvesti s racionalnim brojevima?

Skup racionalnih brojeva ima niz svojih posebnosti. Mnogi od njih su vrlo slični karakteristikama koje su prisutne u cijelim i prirodnim brojevima, s obzirom na činjenicu da su potonji uvijek uključeni u racionalni skup. Evo nekoliko svojstava racionalnih brojeva, znajući koja, lako možete riješiti bilo koji racionalni izraz.

1. Svojstvo komutativnosti omogućuje vam da zbrojite dva ili više brojeva, bez obzira na njihov redoslijed. Jednostavno rečeno, zbroj se ne mijenja od promjene mjesta pojmova.
2. Svojstvo distributivnosti omogućuje rješavanje problema korištenjem distributivnog zakona.
3. I na kraju, operacije zbrajanja i oduzimanja.

Čak i školarci znaju što znači "racionalna vrsta brojeva" i kako na temelju takvih izraza rješavati probleme, pa se obrazovana odrasla osoba jednostavno treba prisjetiti barem osnova skupa racionalnih brojeva.

racionalno izražavanje algebarski izraz ne sadrži radikale. Drugim riječima, to je jedna ili više algebarskih veličina (brojeva i slova) povezanih znakovima aritmetičke operacije: zbrajanje, oduzimanje, množenje ... ... Wikipedia

Algebarski izraz koji ne sadrži radikale i uključuje samo operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Na primjer, a2 + b, x/(y z2) … Veliki enciklopedijski rječnik

Algebarski izraz koji ne sadrži radikale i uključuje samo operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Na primjer, a2 + b, x/(y z2). * * * RACIONALNI IZRAZ RACIONALNI IZRAZ, algebarski izraz koji ne sadrži ... ... enciklopedijski rječnik

Algebarski izraz koji ne sadrži radikale, kao što su a2 + b, x/(y z3). Ako se uključi u R. stoljeće. slova se smatraju varijablama, tada R. in. definira racionalnu funkciju (vidi Racionalnu funkciju) ovih varijabli ... Velika sovjetska enciklopedija

Algebarski izraz koji ne sadrži radikale i uključuje samo operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Na primjer, a2 + b, x/(y z2) ... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

IZRAZ- primarni matematički pojam, koji označava zapis slova i brojeva povezanih znakovima aritmetičkih operacija, dok se mogu koristiti zagrade, funkcijski simboli i sl.; obično je B formula milijunski dio toga. Razlikovati u (1) ... ... Velika politehnička enciklopedija

RACIONALNO- (Racionalno; Racionalno) izraz koji se koristi za opisivanje misli, osjećaja i radnji u skladu s umom; stav temeljen na objektivnim vrijednostima stečenim kao rezultat praktičnog iskustva. "Objektivne vrijednosti se uspostavljaju u iskustvu ... ... Rječnik analitičke psihologije

RACIONALNO ZNANJE- subjektivna slika objektivnog svijeta, dobivena uz pomoć mišljenja. Razmišljanje - aktivni proces generalizirani i posredovani odraz stvarnosti, koji osigurava otkrivanje njezinih pravilnih veza na temelju osjetilnih podataka i njihovog izražavanja... Filozofija znanosti i tehnologije: Tematski rječnik

JEDNADŽBA, RACIONALNA- Logički ili matematički izraz koji se temelji na (racionalnim) pretpostavkama o procesima. Takve se jednadžbe razlikuju od empirijskih jednadžbi po tome što se njihovi parametri dobivaju kao rezultat deduktivnih zaključaka iz teorijskih ... ... Rječnik u psihologiji

RACIONALNO, racionalno, racionalno; racionalno, racionalno, racionalno. 1. prid. racionalizmu (knjiga). racionalna filozofija. 2. Sasvim razumno, opravdano, svrsishodno. Dao je racionalan prijedlog. Racionalno...... Objašnjavajući rječnik Ushakova

1) R. algebarska jednadžba f (x) = 0 stupanj p algebarska jednadžba g(y)=0 zadana jednadžba… … Matematička enciklopedija

Cjelobrojni izraz je matematički izraz sastavljen od brojeva i literalnih varijabli koristeći operacije zbrajanja, oduzimanja i množenja. Cijeli brojevi također uključuju izraze koji uključuju dijeljenje nekim brojem koji nije nula.

Primjeri cjelobrojnog izraza

U nastavku su neki primjeri cjelobrojnih izraza:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y-((5*y+3)/5) -1;

Frakcijski izrazi

Ako izraz sadrži podjelu varijablom ili drugim izrazom koji sadrži varijablu, tada takav izraz nije cijeli broj. Takav izraz naziva se frakcijski izraz. Dajmo potpunu definiciju frakcijskog izraza.

Frakcijski izraz je matematički izraz koji, osim operacija zbrajanja, oduzimanja i množenja koje se izvode s brojevima i abecednim varijablama, kao i dijeljenja brojem, ne nula, također sadrži podjelu na izraze s literalnim varijablama.

Primjeri frakcijskih izraza:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Frakcijski i cjelobrojni izrazi čine dva velika skupa matematičkih izraza. Ako se ti skupovi kombiniraju, onda dobivamo novi skup koji se naziva racionalnim izrazima. To jest, racionalni izrazi su svi cjelobrojni i razlomci.

Znamo da cjelobrojni izrazi imaju smisla za sve vrijednosti varijabli koje su uključene u njih. To proizlazi iz činjenice da je za pronalaženje vrijednosti cjelobrojnog izraza potrebno izvršiti radnje koje su uvijek moguće: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje brojem koji nije nula.

Frakcijski izrazi, za razliku od cjelobrojnih, možda nemaju smisla. Budući da postoji operacija dijeljenja s varijablom ili izrazom koji sadrži varijable, i taj izraz se može pretvoriti u nulu, ali je dijeljenje nulom nemoguće. Vrijednosti varijabli za koje frakcijski izraz ima smisla, nazovite važeće vrijednosti varijabli.

racionalni razlomak

Jedan od posebnih slučajeva racionalni izrazi bit će razlomak čiji su brojnik i nazivnik polinomi. Za takav razlomak u matematici postoji i naziv - racionalni razlomak.

Racionalni razlomak će imati smisla ako njegov nazivnik nije jednak nuli. Odnosno, vrijedit će sve vrijednosti varijabli za koje se nazivnik razlomka razlikuje od nule.

Ova lekcija će pokriti osnovne informacije o racionalnim izrazima i njihovim transformacijama, kao i primjere transformacije racionalnih izraza. Ova tema sažima teme koje smo do sada proučavali. Racionalne transformacije izraza uključuju zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, stepenovanje algebarski razlomci, redukcija, faktorizacija itd. U sklopu lekcije pogledat ćemo što je to racionalni izraz, a analizirat ćemo i primjere za njihovu transformaciju.

Predmet:Algebarski razlomci. Aritmetičke operacije nad algebarskim razlomcima

Lekcija:Osnovne informacije o racionalnim izrazima i njihovim transformacijama

Definicija

racionalno izražavanje je izraz koji se sastoji od brojeva, varijabli, aritmetičkih operacija i stepenovanja.

Razmotrimo primjer racionalnog izraza:

Posebni slučajevi racionalnih izraza:

1. stupanj: ;

2. monom: ;

3. razlomak: .

Transformacija racionalnog izraza je pojednostavljenje racionalnog izraza. Redoslijed operacija pri pretvaranju racionalnih izraza: prvo su radnje u zagradama, zatim operacije množenja (dijeljenja), a zatim operacije zbrajanja (oduzimanja).

Razmotrimo nekoliko primjera transformacije racionalnih izraza.

Primjer 1

Odluka:

Riješimo ovaj primjer korak po korak. Najprije se izvodi radnja u zagradama.

Odgovor:

Primjer 2

Odluka:

Odgovor:

Primjer 3

Odluka:

Odgovor: .

Bilješka: možda kad vidiš ovaj primjer pojavila se ideja: smanjiti razlomak prije nego što se dovede do zajedničkog nazivnika. Doista, potpuno je točno: prvo je poželjno pojednostaviti izraz što je više moguće, a zatim ga transformirati. Pokušajmo isti primjer riješiti na drugi način.

Kao što vidite, odgovor se pokazao apsolutno sličnim, ali rješenje se pokazalo nešto jednostavnijim.

U ovoj lekciji smo pogledali racionalni izrazi i njihove transformacije, kao i nekoliko konkretnim primjerima podatke o transformaciji.

Bibliografija

1. Bašmakov M.I. Algebra 8. razred. - M.: Prosvjeta, 2004.

2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i dr. Algebra 8. - 5. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.

Iz tečaja algebre školski kurikulum Prijeđimo na pojedinosti. U ovom ćemo članku detaljno proučiti posebna vrsta racionalni izrazi - racionalni razlomci, a također analizirati koja je karakteristika identična transformacije racionalnih razlomaka odvijati.

Odmah napominjemo da se racionalni razlomci u smislu u kojem ih definiramo u nastavku nazivaju algebarskim razlomcima u nekim udžbenicima algebre. Odnosno, u ovom članku ćemo razumjeti istu stvar pod racionalnim i algebarskim razlomcima.

Kao i obično, počinjemo s definicijom i primjerima. Zatim, razgovarajmo o dovođenju racionalnog razlomka na novi nazivnik i o promjeni predznaka članova razlomka. Nakon toga ćemo analizirati kako se vrši redukcija razlomaka. Konačno, zadržimo se na prikazu racionalnog razlomka kao zbroja nekoliko razlomaka. Sve informacije ćemo dostaviti primjerima s detaljni opisi rješenja.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri racionalnih razlomaka

Racionalni razlomci se izučavaju na satovima algebre u 8. razredu. Koristit ćemo se definicijom racionalnog razlomka, koja je data u udžbeniku algebre za 8. razredi Yu. N. Makarycheva i drugih.

Ova definicija ne specificira moraju li polinomi u brojniku i nazivniku racionalnog razlomka biti polinomi standardni pogled ili ne. Stoga ćemo pretpostaviti da racionalni razlomci mogu sadržavati i standardne i nestandardne polinome.

Evo nekoliko primjeri racionalnih razlomaka. Dakle, x/8 i - racionalni razlomci. I razlomci i ne odgovaraju zvučnoj definiciji racionalnog razlomka, budući da u prvom od njih brojnik nije polinom, a u drugom i brojnik i nazivnik sadrže izraze koji nisu polinomi.

Pretvaranje brojnika i nazivnika racionalnog razlomka

Brojnik i nazivnik bilo kojeg razlomka su samodostatni matematički izrazi, u slučaju racionalnih razlomaka to su polinomi, u određenom slučaju monomi i brojevi. Dakle, s brojnikom i nazivnikom racionalnog razlomka, kao i sa svakim izrazom, mogu se provesti identične transformacije. Drugim riječima, izraz u brojniku racionalnog razlomka može se zamijeniti izrazom koji mu je identično jednak, baš kao i nazivnik.

U brojniku i nazivniku racionalnog razlomka mogu se izvesti identične transformacije. Na primjer, u brojniku možete grupirati i reducirati slične članove, a u nazivniku se umnožak nekoliko brojeva može zamijeniti njegovom vrijednošću. A budući da su brojnik i nazivnik racionalnog razlomka polinomi, s njima je moguće izvesti transformacije karakteristične za polinome, na primjer, svođenje na standardni oblik ili reprezentaciju kao proizvod.

Radi jasnoće razmotrite rješenja nekoliko primjera.

Primjer.

Pretvoriti racionalni razlomak tako da je brojnik polinom standardnog oblika, a nazivnik umnožak polinoma.

Odluka.

Svođenje racionalnih razlomaka na novi nazivnik uglavnom se koristi kod zbrajanja i oduzimanja racionalnih razlomaka.

Mijenjanje znakova ispred razlomka, kao i u njegovom brojniku i nazivniku

Osnovno svojstvo razlomka može se koristiti za promjenu predznaka članova razlomka. Doista, množenje brojnika i nazivnika racionalnog razlomka s -1 jednako je promjeni njihovih predznaka, a rezultat je razlomak koji je identično jednak zadanom. Takva se transformacija mora često koristiti pri radu s racionalnim razlomcima.

Dakle, ako istovremeno promijenite predznake brojnika i nazivnika razlomka, dobit ćete razlomak jednak izvornom. Ova izjava odgovara jednakosti.

Uzmimo primjer. Racionalni razlomak može se zamijeniti identično jednakim razlomkom s obrnutim predznacima brojnika i nazivnika oblika.

S razlomcima možete učiniti još jedan transformacija identiteta, pri čemu se predznak mijenja ili u brojniku ili u nazivniku. Idemo preko odgovarajućeg pravila. Zamijenite li znak razlomka zajedno sa predznakom brojnika ili nazivnika, dobit ćete razlomak koji je identično jednak izvorniku. Napisana izjava odgovara jednakosti i .

Nije teško dokazati te jednakosti. Dokaz se temelji na svojstvima množenja brojeva. Dokažimo prvi od njih: . Uz pomoć sličnih transformacija također se dokazuje jednakost.

Na primjer, razlomak se može zamijeniti izrazom ili .

Da zaključimo ovaj pododjeljak, predstavljamo još dvije korisne jednakosti i . To jest, ako promijenite predznak samo brojnika ili samo nazivnika, tada će razlomak promijeniti svoj predznak. Na primjer, i .

Razmatrane transformacije, koje omogućuju promjenu predznaka članova razlomka, često se koriste pri transformaciji frakcijski racionalnih izraza.

Redukcija racionalnih razlomaka

Sljedeća transformacija racionalnih razlomaka, nazvana redukcija racionalnih razlomaka, temelji se na istom osnovnom svojstvu razlomka. Ova transformacija odgovara jednakosti , gdje su a , b i c neki polinomi, a b i c nisu nula.

Iz gornje jednakosti postaje jasno da redukcija racionalnog razlomka podrazumijeva oslobađanje od zajedničkog faktora u brojniku i nazivniku.

Primjer.

Smanjite racionalni razlomak.

Odluka.

Zajednički faktor 2 je odmah vidljiv, smanjimo ga (prilikom pisanja zgodno je precrtati zajedničke faktore po kojima se vrši redukcija). Imamo . Budući da je x 2 \u003d x x i y 7 \u003d y 3 y 4 (vidi ako je potrebno), jasno je da je x zajednički faktor brojnika i nazivnika rezultirajućeg razlomka, poput y 3 . Smanjimo ovim čimbenicima: . Time je redukcija završena.

Iznad smo izvršili redukciju racionalnog razlomka sekvencijalno. I bilo je moguće izvršiti redukciju u jednom koraku, odmah smanjujući razlomak za 2·x·y 3 . U ovom slučaju rješenje bi izgledalo ovako: .

Odgovor:

.

Kod redukcije racionalnih razlomaka glavni je problem što zajednički faktor brojnika i nazivnika nije uvijek vidljiv. Štoviše, ne postoji uvijek. Da biste pronašli zajednički faktor ili se uvjerili da on ne postoji, trebate faktorizirati brojnik i nazivnik racionalnog razlomka. Ako nema zajedničkog faktora, tada se izvorni racionalni razlomak ne treba smanjivati, inače se redukcija provodi.

U procesu smanjenja racionalnih razlomaka može nastati razne nijanse. Glavne suptilnosti s primjerima i detaljima razmatraju se u članku redukcija algebarskih razlomaka.

Zaključujući razgovor o redukciji racionalnih razlomaka, napominjemo da je ova transformacija identična, a glavna poteškoća u njenoj provedbi leži u faktorizaciji polinoma u brojniku i nazivniku.

Predstavljanje racionalnog razlomka kao zbroja razlomaka

Sasvim specifična, ali u nekim slučajevima vrlo korisna je transformacija racionalnog razlomka, koja se sastoji u njegovom predstavljanju kao zbroj nekoliko razlomaka, odnosno zbroj cjelobrojnog izraza i razlomka.

Racionalni razlomak, u čijem brojniku se nalazi polinom, koji je zbroj nekoliko monoma, uvijek se može zapisati kao zbroj razlomaka s isti nazivnici, čiji brojnici sadrže odgovarajuće monome. Na primjer, . Ovaj prikaz se objašnjava pravilom zbrajanja i oduzimanja algebarskih razlomaka s istim nazivnicima.

Općenito, svaki racionalni razlomak može se predstaviti kao zbroj razlomaka na mnogo različitih načina. Na primjer, razlomak a/b može se predstaviti kao zbroj dvaju razlomaka – proizvoljnog razlomka c/d i razlomka jednakog razlici razlomaka a/b i c/d. Ova izjava je istinita, budući da je jednakost . Na primjer, racionalni razlomak se može predstaviti kao zbroj razlomaka različiti putevi: Izvorni razlomak predstavljamo kao zbroj cjelobrojnog izraza i razlomka. Nakon što brojnik podijelimo nazivnikom sa stupcem, dobivamo jednakost . Vrijednost izraza n 3 +4 za bilo koji cijeli broj n je cijeli broj. A vrijednost razlomka je cijeli broj ako i samo ako je njegov nazivnik 1, −1, 3 ili −3. Ove vrijednosti odgovaraju vrijednostima n=3, n=1, n=5 i n=−1.

Odgovor:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 sati 1. dio. Udžbenik za učenike obrazovne ustanove/ A. G. Mordkovich. - 13. izd., vlč. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.