Broj prirodnih brojeva. Što je prirodni broj? Povijest, opseg, svojstva

Cijeli brojevi nama vrlo poznato i prirodno. I to nije iznenađujuće, budući da upoznavanje s njima počinje od prvih godina našeg života na intuitivnoj razini.

Informacije u ovom članku stvaraju osnovno razumijevanje prirodnih brojeva, otkrivaju njihovu svrhu, usađuju vještine pisanja i čitanja prirodnih brojeva. Za bolja asimilacija materijala, dati su potrebni primjeri i ilustracije.

Navigacija po stranici.

Prirodni brojevi su opći prikaz.

Sljedeće mišljenje nije lišeno zdrave logike: pojava problema prebrojavanja objekata (prvi, drugi, treći objekt, itd.) i problema označavanja broja objekata (jedan, dva, tri predmeta, itd.) dovela je do toga. do stvaranja alata za njegovo rješenje, ovaj alat je bio cijeli brojevi.

Ovaj prijedlog pokazuje glavna svrha prirodnih brojeva- nose informacije o broju bilo koje stavke ili serijskom broju dane stavke u razmatranom skupu stavki.

Da bi se čovjek koristio prirodnim brojevima, oni moraju na neki način biti dostupni, kako za percepciju tako i za reprodukciju. Ako čujete svaki prirodni broj, tada će on postati uho uočljiv, a ako opišete prirodni broj, onda se može vidjeti. Ovo su najprirodniji načini prenošenja i percipiranja prirodnih brojeva.

Stoga počnimo stjecati vještinu prikazivanja (pisanja) i vještinu izgovaranja (čitanja) prirodnih brojeva, dok učimo njihovo značenje.

Decimalni zapis za prirodni broj.

Prvo trebamo odlučiti na čemu ćemo graditi pri pisanju prirodnih brojeva.

Pamtimo slike sljedećih znakova (prikazujemo ih odvojene zarezima): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Prikazane slike su zapis o tzv brojevima. Dogovorimo se odmah da ne okrećemo, naginjemo ili na drugi način ne iskrivljujemo brojeve prilikom pisanja.

Sada se slažemo da samo naznačene znamenke mogu biti prisutne u zapisu bilo kojeg prirodnog broja i da nikakvi drugi simboli ne mogu biti prisutni. Također se slažemo da znamenke u zapisu prirodnog broja imaju istu visinu, poredane su u retku jedna za drugom (bez uvlaka), a na lijevoj strani nalazi se znamenka koja se razlikuje od znamenke 0 .

Evo nekoliko primjera ispravnog zapisivanja prirodnih brojeva: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (napomena: uvlake između brojeva nisu uvijek iste, o tome će se više raspravljati prilikom pregleda). Iz gornjih primjera može se vidjeti da prirodni broj ne sadrži nužno sve znamenke 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; neke ili sve znamenke uključene u pisanje prirodnog broja mogu se ponoviti.

Unosi 014 , 0005 , 0 , 0209 nisu zapisi prirodnih brojeva, budući da se s lijeve strane nalazi znamenka 0 .

Zapis prirodnog broja, izveden uzimajući u obzir sve zahtjeve opisane u ovom stavku, naziva se decimalni zapis prirodnog broja.

Nadalje nećemo razlikovati prirodne brojeve i njihov zapis. Pojasnimo ovo: dalje u tekstu fraze poput „dat je prirodan broj 582 “, što će značiti da je zadan prirodan broj, čiji zapis ima oblik 582 .

Prirodni brojevi u smislu broja objekata.

Vrijeme je da se pozabavimo kvantitativnim značenjem koje nosi zabilježeni prirodni broj. U članku usporedba prirodnih brojeva razmatra se značenje prirodnih brojeva u smislu numeriranja objekata.

Počnimo s prirodnim brojevima čiji se unosi podudaraju s unosima znamenki, odnosno s brojevima 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 i 9 .

Zamislite da smo otvorili oči i vidjeli neki predmet, na primjer, ovakav. U ovom slučaju možemo napisati ono što vidimo 1 stvar. Prirodni broj 1 čita se kao " jedan"(deklinacija broja "jedan", kao i ostale brojeve, dat ćemo u paragrafu), za broj 1 usvojio drugo ime - " jedinica».

Međutim, izraz "jedinica" ima više vrijednosti; osim prirodnog broja 1 , nazivaju se nečim što se razmatra kao cjelina. Na primjer, bilo koja stavka iz njihovog skupa može se nazvati jedinicom. Na primjer, svaka jabuka od mnogih jabuka je jedna, svako jato ptica od mnogih jata također je jedna, i tako dalje.

Sada otvaramo oči i vidimo: To jest, vidimo jedan objekt i drugi objekt. U ovom slučaju možemo napisati ono što vidimo 2 predmet. Prirodni broj 2 , glasi kao " dva».

Isto tako, - 3 predmet (čitaj " tri» predmet), - 4 (« četiri"") predmeta, - 5 (« pet»), - 6 (« šest»), - 7 (« sedam»), - 8 (« osam»), - 9 (« devet”) stavke.

Dakle, iz razmatrane pozicije, prirodni brojevi 1 , 2 , 3 , …, 9 naznačiti iznos stavke.

Broj čija se oznaka podudara s oznakom znamenke 0 , pod nazivom " nula". Broj nula NIJE prirodan broj, međutim, obično se smatra zajedno s prirodnim brojevima. Zapamtite: nula znači odsutnost nečega. Na primjer, nula stavki nije jedna stavka.

U sljedećim odlomcima članka nastavit ćemo otkrivati ​​značenje prirodnih brojeva u smislu označavanja količine.

jednoznamenkasti prirodni brojevi.

Očito, zapis svakog od prirodnih brojeva 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 sastoji se od jednog znaka – jedne znamenke.

Definicija.

Jednoznamenkasti prirodni brojevi su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od jednog znaka - jedne znamenke.

Nabrojimo sve jednoznamenkaste prirodne brojeve: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Postoji devet jednoznamenkastih prirodnih brojeva.

Dvoznamenkasti i troznamenkasti prirodni brojevi.

Prvo dajemo definiciju dvoznamenkastih prirodnih brojeva.

Definicija.

Dvoznamenkasti prirodni brojevi- to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od dva znaka - dvije znamenke (različite ili iste).

Na primjer, prirodni broj 45 - dvoznamenkasti, brojevi 10 , 77 , 82 također dvoznamenkasti 5 490 , 832 , 90 037 - nije dvoznamenkasta.

Odgonetnimo kakvo značenje nose dvoznamenkasti brojevi, dok ćemo krenuti od kvantitativnog značenja nama već poznatih jednoznamenkastih prirodnih brojeva.

Prvo, predstavimo koncept deset.

Zamislimo takvu situaciju – otvorili smo oči i vidjeli skup koji se sastoji od devet predmeta i još jednog predmeta. U ovom slučaju se govori o 1 deset (jedan desetak) predmeta. Ako se zajedno uzme u obzir jedna desetica i još jedna desetka, onda se govori o 2 desetice (dvije desetice). Ako dvije desetice dodamo još deseticu, imat ćemo tri desetice. Nastavljajući ovaj proces, dobit ćemo četiri desetice, pet desetica, šest desetica, sedam desetica, osam desetica i na kraju devet desetica.

Sada možemo prijeći na bit dvoznamenkastih prirodnih brojeva.

Da biste to učinili, smatrajte dvoznamenkasti broj kao dva jednoznamenkaste- jedan je lijevo u zapisu dvoznamenkastog broja, drugi je desno. Broj s lijeve strane označava broj desetica, a broj s desne strane označava broj jedinica. Štoviše, ako postoji znamenka s desne strane u zapisu dvoznamenkastog broja 0 , onda to znači odsutnost jedinica. To je cijela poanta dvoznamenkastih prirodnih brojeva u smislu označavanja iznosa.

Na primjer, dvoznamenkasti prirodni broj 72 odgovara 7 deseci i 2 jedinice (tj. 72 jabuke je skup od sedam desetaka jabuka i još dvije jabuke), te broj 30 odgovori 3 deseci i 0 nema jedinica, odnosno jedinica koje nisu ujedinjene u desetice.

Odgovorimo na pitanje: "Koliko dvoznamenkastih prirodnih brojeva postoji"? Odgovori im 90 .

Prelazimo na definiciju troznamenkastih prirodnih brojeva.

Definicija.

Prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od 3 znakovi - 3 nazivaju se znamenke (različite ili ponovljene). troznamenkasti.

Primjeri prirodnih troznamenkastih brojeva su 372 , 990 , 717 , 222 . Cijeli brojevi 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nisu troznamenkaste.

Da bismo razumjeli značenje inherentno troznamenkastim prirodnim brojevima, potreban nam je koncept stotine.

Skup od deset desetica je 1 sto (sto). Sto i sto je 2 stotine. Dvjesto i još sto je tristo. I tako dalje, imamo četiri stotine, petsto, šest stotina, sedamsto, osamsto i konačno devet stotina.

Pogledajmo sada troznamenkasti prirodni broj kao tri jednoznamenkasta prirodna broja, koji idu jedan za drugim s desna na lijevo u zapisu troznamenkastog prirodnog broja. Broj s desne strane označava broj jedinica, sljedeći broj označava broj desetica, sljedeći broj broj stotina. Brojevi 0 u zapisu troznamenkastog broja znači izostanak desetica i (ili) jedinica.

Dakle, troznamenkasti prirodni broj 812 odgovara 8 stotine 1 prvih deset i 2 jedinice; broj 305 - tristo 0 desetice, odnosno desetice koje nisu spojene u stotine, ne) i 5 jedinice; broj 470 - četiri stotine sedam desetica (nema jedinica koje se ne spajaju u desetice); broj 500 - petsto (desetice koje se ne spajaju u stotine, a jedinice koje se ne spajaju u desetice, ne).

Slično, može se definirati četveroznamenkasti, peteroznamenkasti, šesteroznamenkasti i tako dalje. prirodni brojevi.

Viševrijedni prirodni brojevi.

Dakle, prelazimo na definiciju viševrijednih prirodnih brojeva.

Definicija.

Viševrijedni prirodni brojevi- to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od dva ili tri ili četiri itd. znakovi. Drugim riječima, višeznamenkasti prirodni brojevi su dvoznamenkasti, troznamenkasti, četveroznamenkasti itd. brojevima.

Recimo odmah da je skup koji se sastoji od deset stotina tisuću, tisuću tisuća je milijun, tisuću milijuna je jedna milijarda, tisuću milijardi je jedan trilijun. Tisuću bilijuna, tisuću tisuća bilijuna i tako dalje također se mogu nazvati vlastitim imenima, ali za tim nema posebne potrebe.

Dakle, koje je značenje iza viševrijednih prirodnih brojeva?

Pogledajmo višeznamenkasti prirodni broj kao jednoznamenkaste prirodne brojeve koji slijede jedan za drugim s desna na lijevo. Broj s desne strane označava broj jedinica, sljedeći broj je broj desetica, sljedeći je broj stotina, zatim broj tisuća, sljedeći je broj desetaka tisuća, sljedeći je broj stotina tisuća , sljedeći je broj milijuna, sljedeći je broj desetaka milijuna, sljedeći su stotine milijuna, sljedeći - broj milijardi, zatim - broj desetaka milijardi, zatim - stotine milijardi, pa - bilijuni, zatim - deseci bilijuna, zatim - stotine bilijuna, i tako dalje.

Na primjer, višeznamenkasti prirodni broj 7 580 521 odgovara 1 jedinica, 2 deseci, 5 stotine 0 tisuće 8 deseci tisuća 5 stotine tisuća i 7 milijuna.

Tako smo naučili grupirati jedinice u desetice, desetice u stotine, stotine u tisuće, tisuće u desetke tisuća i tako dalje, i saznali da brojevi u zapisu višeznamenkastog prirodnog broja označavaju odgovarajući broj iznad grupa.

Čitanje prirodnih brojeva, nastava.

Već smo spomenuli kako se čitaju jednoznamenkasti prirodni brojevi. Naučimo napamet sadržaj sljedećih tablica.

A kako se čitaju ostali dvoznamenkasti brojevi?

Objasnimo na primjeru. Čitanje prirodnog broja 74 . Kako smo gore saznali, ovaj broj odgovara 7 deseci i 4 jedinice, tj. 70 i 4 . Okrećemo se upravo napisanim tablicama i broju 74 čitamo kao: “Sedamdeset i četiri” (ne izgovaramo uniju “i”). Ako želite pročitati broj 74 u rečenici: „Ne 74 jabuke" (genitiv), onda će zvučati ovako: "Nema sedamdeset četiri jabuke." Još jedan primjer. Broj 88 - Ovo 80 i 8 , dakle, čitamo: "Osamdeset i osam". A evo primjera rečenice: "Razmišlja o osamdeset osam rubalja."

Prijeđimo na čitanje troznamenkastih prirodnih brojeva.

Da bismo to učinili, morat ćemo naučiti još nekoliko novih riječi.

Ostaje pokazati kako se čitaju preostali troznamenkasti prirodni brojevi. U ovom slučaju koristit ćemo se već stečenim vještinama čitanja jednoznamenkastih i dvoznamenkastih brojeva.

Uzmimo primjer. Pročitajmo broj 107 . Ovaj broj odgovara 1 stotinu i 7 jedinice, tj. 100 i 7 . Okrenuvši se prema tablicama, čitamo: "Sto sedam." Recimo sada broj 217 . Ovaj broj je 200 i 17 , dakle, čitamo: "Dvjesto sedamnaest". Također, 888 - Ovo 800 (osam stotina) i 88 (osamdeset i osam), čitamo: "Osam stotina osamdeset i osam."

Okrećemo se čitanju višeznamenkastih brojeva.

Za čitanje, zapis višeznamenkastog prirodnog broja dijeli se, počevši s desne strane, u skupine od tri znamenke, dok u krajnjoj lijevoj takvoj skupini može biti ili 1 , ili 2 , ili 3 brojevima. Ove grupe se zovu razreda. Razred s desne strane se zove razred jedinice. Poziva se sljedeći razred (s desna na lijevo). klasa tisuća, sljedeći razred je klasa milijuna, Sljedeći - klasa milijardi, onda ide trilijuna klasa. Možete dati nazive sljedećih razreda, ali prirodne brojeve, čiji se zapis sastoji od 16 , 17 , 18 itd. znakovi se obično ne čitaju, jer ih je vrlo teško percipirati uhu.

Pogledajte primjere dijeljenja višeznamenkastih brojeva u klase (radi jasnoće, klase su međusobno odvojene malom uvlakom): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Zabilježene prirodne brojeve stavimo u tablicu prema kojoj ih je lako naučiti čitati.

Za čitanje prirodnog broja pozivamo s lijeva na desno brojeve koji ga čine po razredima i dodajemo naziv razreda. Pritom ne izgovaramo naziv klase jedinica, a također preskačemo one klase koje čine tri znamenke 0 . Ako zapis razreda ima znamenku na lijevoj strani 0 ili dvije znamenke 0 , a zatim zanemarite ove brojeve 0 i pročitaj broj dobiven odbacivanjem ovih znamenki 0 . Na primjer, 002 čitati kao "dva", i 025 - kao "dvadeset pet".

Pročitajmo broj 489 002 prema datim pravilima.

Čitamo s lijeva na desno,

• pročitaj broj 489 , koji predstavlja klasu tisuća, je "četiri stotine osamdeset i devet";
• dodajte naziv razreda, dobivamo "četiri stotine osamdeset devet tisuća";
• dalje u klasi jedinica vidimo 002 , nule su na lijevoj strani, stoga ih ignoriramo 002 čitati kao "dva";
• naziv klase jedinice nije potrebno dodavati;
• kao rezultat imamo 489 002 - četiri stotine osamdeset devet tisuća dvije.

Počnimo čitati broj 10 000 501 .

• S lijeve strane u klasi milijuna vidimo broj 10 , čitamo "deset";
• dodajte naziv razreda, imamo "deset milijuna";
• sljedeće vidimo zapisnik 000 u klasi tisuća, budući da su sve tri znamenke znamenke 0 , tada preskačemo ovaj razred i prelazimo na sljedeći;
• klasa jedinica predstavlja broj 501 , koje čitamo "petsto i jedan";
• Tako, 10 000 501 deset milijuna petsto i jedan.

Učinimo to bez detaljnih objašnjenja: 1 789 090 221 214 - "jedan trilijun sedamsto osamdeset devet milijardi devedeset milijuna dvjesto dvadeset i jedna tisuću dvjesto četrnaest."

Dakle, temelj vještine čitanja višeznamenkastih prirodnih brojeva je sposobnost raščlanjivanja višeznamenkastih brojeva u razrede, poznavanje naziva razreda i sposobnost čitanja troznamenkastih brojeva.

Znamenke prirodnog broja, vrijednost znamenke.

U pisanju prirodnog broja vrijednost svake znamenke ovisi o njezinom položaju. Na primjer, prirodni broj 539 odgovara 5 stotine 3 deseci i 9 jedinica, dakle brojka 5 u unosu broja 539 definira broj stotina, znamenku 3 je broj desetica i znamenka 9 - broj jedinica. Kaže se da je broj 9 stoji unutra jedinice znamenka i broj 9 je vrijednost jedinice znamenke, broj 3 stoji unutra desetke mjesto i broj 3 je vrijednost mjesta desetica, i broj 5 - u stotine mjesta i broj 5 je vrijednost na stotine mjesta.

Tako, pražnjenje- to je, s jedne strane, položaj znamenke u zapisu prirodnog broja, a s druge strane vrijednost te znamenke, određena njezinim položajem.

Redovi su dobili imena. Ako pogledate brojeve u zapisu prirodnog broja s desna na lijevo, tada će im odgovarati sljedeće znamenke: jedinice, desetice, stotine, tisuće, deseci tisuća, stotine tisuća, milijuni, deseci milijuna i tako dalje.

Nazive kategorija zgodno je zapamtiti kada su predstavljeni u obliku tablice. Napišimo tablicu koja sadrži nazive od 15 znamenki.

Imajte na umu da je broj znamenki zadanog prirodnog broja jednak broju znakova uključenih u pisanje ovog broja. Dakle, snimljena tablica sadrži nazive znamenki svih prirodnih brojeva, čiji zapis sadrži do 15 znakova. Sljedeće znamenke također imaju svoja imena, ali se vrlo rijetko koriste pa ih nema smisla spominjati.

Pomoću tablice znamenki prikladno je odrediti znamenke zadanog prirodnog broja. Da biste to učinili, trebate upisati ovaj prirodni broj u ovu tablicu tako da u svakoj znamenki postoji jedna znamenka, a krajnja desna znamenka je u znamenki jedinice.

Uzmimo primjer. Napišimo prirodan broj 67 922 003 942 u tablici, a znamenke i vrijednosti ovih znamenki postat će jasno vidljive.

U zapisu ovog broja, znamenka 2 stoji na mjestu jedinica, znamenka 4 - na mjestu desetica, znamenka 9 - na stotine, itd. Obratite pažnju na brojke 0 , koje su u znamenkama od desetina tisuća i stotina tisuća. Brojevi 0 u ovim znamenkama znači odsutnost jedinica ovih znamenki.

Spomenimo i takozvanu najnižu (najnižu) i najvišu (najvišu) kategoriju viševrijednog prirodnog broja. Niži (mlađi) rang bilo koji viševrijedni prirodni broj je znamenka jedinice. Najviša (najviša) znamenka prirodnog broja je znamenka koja odgovara krajnjoj desnoj znamenki u zapisu ovog broja. Na primjer, znamenka s najmanjim značajem prirodnog broja 23004 je znamenka jedinice, a najveća znamenka je znamenka desetaka tisuća. Ako se u zapisu prirodnog broja pomičemo znamenkama s lijeva na desno, onda svaka sljedeća znamenka niži (mlađi) prethodni. Na primjer, znamenka tisuća je manja od znamenke desetaka tisuća, posebno znamenka tisuća je manja od znamenke stotina tisuća, milijuna, desetaka milijuna itd. Ako se u zapisu prirodnog broja pomičemo znamenkama s desna na lijevo, onda svaku sljedeću znamenku viši (stariji) prethodni. Na primjer, znamenka stotine je starija od znamenke desetice, a još više, starija je od znamenke jedinica.

U nekim slučajevima (na primjer, kada se vrši zbrajanje ili oduzimanje), ne koristi se sam prirodni broj, već zbroj bitnih članova tog prirodnog broja.

Ukratko o decimalnom brojevnom sustavu.

Dakle, upoznali smo se s prirodnim brojevima, sa njihovim značenjem i načinom pisanja prirodnih brojeva pomoću deset znamenki.

Općenito se naziva metoda pisanja brojeva pomoću znakova brojevni sustav. Vrijednost znamenke u unosu broja može, ali i ne mora ovisiti o njenom položaju. Zovu se brojevni sustavi u kojima vrijednost znamenke u brojčanom unosu ovisi o njezinom položaju pozicijski.

Dakle, prirodni brojevi koje smo razmatrali i način njihovog pisanja ukazuju na to da koristimo pozicijski brojevni sustav. Treba napomenuti da posebno mjesto u ovom brojevnom sustavu ima broj 10 . Doista, rezultat se vodi u deseticama: deset jedinica se kombinira u deseticu, deset desetica se kombinira u sto, deset stotina u tisuću i tako dalje. Broj 10 pozvao osnovu zadani brojevni sustav, a sam brojevni sustav se zove decimal.

Osim decimalnog brojevnog sustava, postoje i drugi, npr. u informatici se koristi binarni pozicijski brojevni sustav, a seksagezimalni sustav susrećemo kada pričamo o mjerenju vremena.

Bibliografija.

• Matematika. Bilo koji udžbenici za 5 razreda obrazovnih ustanova.

Za brojanje se mogu koristiti prirodni brojevi (jedna jabuka, dvije jabuke itd.)

Cijeli brojevi(od lat. naturalis- prirodni; prirodni brojevi) - brojevi koji nastaju prirodno pri brojanju (na primjer, 1, 2, 3, 4, 5 ...). Niz svih prirodnih brojeva poredanih uzlaznim redoslijedom naziva se prirodno jedno uz drugo.

Postoje dva pristupa definiciji prirodnih brojeva:

• brojanje (numeracija) stavke ( prvi, drugi, Treći, Četvrta, peti"…);
• prirodni brojevi – brojevi koji nastaju kada oznaka količine stavke ( 0 predmeta, 1 stavka, 2 predmeta, 3 stavke, 4 predmeta, 5 stavki"...).

U prvom slučaju, niz prirodnih brojeva počinje od jedan, u drugom - od nule. Za većinu matematičara ne postoji zajedničko mišljenje o preferiranju prvog ili drugog pristupa (odnosno, treba li smatrati nulu prirodnim brojem ili ne). Velika većina ruskih izvora tradicionalno je usvojila prvi pristup. Drugi pristup, na primjer, koristi se u spisima Nicolasa Bourbakija, gdje su prirodni brojevi definirani kao kardinaliteti konačnih skupova.

Negativni i necijeli (racionalni, realni, ...) brojevi ne pripadaju prirodnim brojevima.

Skup svih prirodnih brojeva uobičajeno je označavati simbol N (\displaystyle \mathbb (N) ) (od lat. naturalis- prirodno). Skup prirodnih brojeva je beskonačan, budući da za bilo koji prirodni broj n (\displaystyle n) postoji prirodni broj veći od n (\displaystyle n) .

Prisutnost nule olakšava formulaciju i dokaz mnogih teorema u aritmetici prirodnih brojeva, tako da prvi pristup uvodi koristan pojam prošireni prirodni niz, uključujući nulu. Prošireni red je označen N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) ili Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)) .

Aksiomi koji omogućuju definiranje skupa prirodnih brojeva

Peano aksiomi za prirodne brojeve

Glavni članak: Peanovi aksiomi

Skup N (\displaystyle \mathbb (N)) zvati će se skup prirodnih brojeva ako je neki element fiksan 1 (jedan) koji pripada N (\displaystyle \mathbb (N) ) (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), i funkcija S (\displaystyle S) s domenom N (\displaystyle \mathbb (N) ) i raspon N (\displaystyle \mathbb (N) ) (nazvan funkcija sukcesije; S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) )) tako da ispunjeni su sljedeći uvjeti:

1. jedinica je prirodan broj (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ));
2. broj koji slijedi nakon prirodnog broja je također prirodan (ako je x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) , tada je S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )) ;
3. ne slijedi nijedan prirodni broj (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1))));
4. ako prirodni broj a (\displaystyle a) odmah slijedi i prirodni broj b (\displaystyle b) i prirodni broj c (\displaystyle c) , tada je b = c (\displaystyle b=c) (ako je S (b) = a ( \displaystyle S(b)=a) i S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , tada je b = c (\displaystyle b=c));
5. (aksiom indukcije) ako je bilo koja rečenica (izjava) P (\displaystyle P) dokazana za prirodni broj n = 1 (\displaystyle n=1) ( indukcijska baza) i ako pretpostavka da je točna za drugi prirodni broj n (\displaystyle n) implicira da je točna za prirodni broj nakon n (\displaystyle n) ( hipoteza indukcije), onda je ovaj prijedlog istinit za sve prirodne brojeve (neka je P (n) (\displaystyle P(n)) neki jednomjesni (unarni) predikat čiji je parametar prirodni broj n (\displaystyle n) . Zatim, ako P (1 ) (\displaystyle P(1)) i ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)) ))) , zatim ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Gornji aksiomi odražavaju naše intuitivno razumijevanje prirodnog niza i brojevne linije.

Temeljna je činjenica da ti aksiomi u biti jednoznačno određuju prirodne brojeve (kategoričnost sustava Peanovih aksioma). Naime, može se dokazati (vidi i kratki dokaz) da ako (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) i (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ( (\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))) su dva modela za Peano aksiomski sustav, tada su nužno izomorfni, tj. postoji invertibilno preslikavanje (bijekcija) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) tako da je f (1) = 1 ~ (\displaystyle f( 1) =(\tilda (1))) i f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilda (S))(f(x)) ) za sve x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

Stoga je dovoljno fiksirati kao N (\displaystyle \mathbb (N) ) bilo koji određeni model skupa prirodnih brojeva.

Teorijska definicija prirodnih brojeva (Frege-Russell definicija)

Prema teoriji skupova, jedini objekt konstruiranja bilo kojeg matematičkog sustava je skup.

Tako se uvode i prirodni brojevi, temeljeni na konceptu skupa, prema dva pravila:

• S (n) = n ∪ ( n ) (\displaystyle S(n)=n\šalica \lijevo\(n\desno\)) .

Ovako definirani brojevi nazivaju se redni.

Opišimo nekoliko prvih rednih brojeva i njima odgovarajuće prirodne brojeve:

• 0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing) ;
• 1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\displaystyle 1=\lijevo\(0\desno\)=\lijevo\(\varnothing \desno\)) ;
• 2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\displaystyle 2=\left\(0,1\right\)=(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \ desno\)(\veliki \))) ;
• 3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\displaystyle 3=\lijevo\(0,1,2\desno\)=(\Big \() \varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )) .

Nula kao prirodan broj

Ponekad, osobito u stranoj i prijevodnoj literaturi, Peanov prvi i treći aksiom zamjenjuju jedan s nulom. U ovom slučaju, nula se smatra prirodnim brojem. Kada se definira u terminima klasa ekvivalentnih skupova, nula je po definiciji prirodan broj. Bilo bi neprirodno to posebno odbaciti. Osim toga, to bi znatno otežalo daljnju konstrukciju i primjenu teorije, budući da u većini konstrukcija nula, kao i prazan skup, nije nešto izolirano. Još jedna prednost razmatranja nule kao prirodnog broja je da N (\displaystyle \mathbb (N) ) tvori monoid.

U ruskoj literaturi nula je obično isključena iz broja prirodnih brojeva (0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), a skup prirodnih brojeva s nulom označava se kao N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0) ) . Ako je nula uključena u definiciju prirodnih brojeva, tada se skup prirodnih brojeva zapisuje kao N (\displaystyle \mathbb (N) ) , a bez nule - kao N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) ) .

U međunarodnoj matematičkoj literaturi, uzimajući u obzir gore navedeno i kako bi se izbjegle nejasnoće, skup ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) obično se naziva skup pozitivnih cijelih brojeva i označava s Z + (\displaystyle \ mathbb (Z) _(+)) . Skup ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) se često naziva skupom nenegativnih cijelih brojeva i označava se sa Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(\ geqslant 0)) .

Položaj skupa prirodnih brojeva (N (\displaystyle \mathbb (N) )) među skupovima cijelih brojeva (Z (\displaystyle \mathbb (Z) )), racionalni brojevi(Q (\displaystyle \mathbb (Q) )), realni brojevi(R (\displaystyle \mathbb (R) )) i iracionalni brojevi(R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) ))

Vrijednost skupa prirodnih brojeva

Veličinu beskonačnog skupa karakterizira koncept "moći skupa", koji je generalizacija broja elemenata konačnog skupa na beskonačne skupove. Po veličini (tj. kardinalnosti), skup prirodnih brojeva je veći od bilo kojeg konačnog skupa, ali manji od bilo kojeg intervala, na primjer, intervala (0 , 1) (\displaystyle (0,1)) . Skup prirodnih brojeva ima istu kardinalnost kao skup racionalnih brojeva. Skup iste kardinalnosti kao skup prirodnih brojeva naziva se prebrojiv skup. Dakle, skup pojmova bilo kojeg niza je prebrojiv. Istovremeno, postoji niz u kojem se svaki prirodni broj pojavljuje beskonačan broj puta, budući da se skup prirodnih brojeva može predstaviti kao prebrojiva unija disjunktnih prebrojivih skupova (na primjer, N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0) )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\desno))).

Operacije nad prirodnim brojevima

Zatvorene operacije (operacije koje ne daju rezultat iz skupa prirodnih brojeva) nad prirodnim brojevima uključuju sljedeće aritmetičke operacije:

• dodatak: pojam + pojam = zbroj;
• množenje: množitelj × množitelj = proizvod;
• eksponencijalnost: a b (\displaystyle a^(b)) , gdje je a (\displaystyle a) baza eksponenta, b (\displaystyle b) je eksponent. Ako su a (\displaystyle a) i b (\displaystyle b) prirodni brojevi, tada je rezultat također prirodan broj.

Uz to, razmatraju se još dvije operacije (s formalnog stajališta, one nisu operacije nad prirodnim brojevima, jer nisu definirane za svi parovi brojeva (ponekad postoje, ponekad ne)):

• oduzimanje: minuend - subtrahend = razlika. U ovom slučaju, minuend mora biti veći od oduzetog (ili jednak njemu, ako nulu smatramo prirodnim brojem);
• dijeljenje s ostatkom: dividenda / djelitelj = (kvocijent, ostatak). Kvocijent p (\displaystyle p) i ostatak r (\displaystyle r) kada se a (\displaystyle a) podijeli s b (\displaystyle b) definirani su na sljedeći način: a = p ⋅ b + r (\displaystyle a= p\cdot b+ r) , i 0 ⩽ r b (\displaystyle 0\leqslant r može se predstaviti kao a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a), to jest, bilo koji broj se može uzeti u obzir privatno, a ostatak a (\displaystyle a) .

Treba napomenuti da su operacije zbrajanja i množenja temeljne. Konkretno, prsten cijelih brojeva definiran je upravo kroz binarne operacije zbrajanja i množenja.

Osnovna svojstva

• Komutativnost zbrajanja:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

• Komutativnost množenja:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

• Asocijativnost zbrajanja:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)) .

• Asocijativnost množenja:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

• Distributivnost množenja s obzirom na zbrajanje:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a) \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))) .

Algebarska struktura

Zbrajanje skup prirodnih brojeva pretvara u polugrupu s jedinstvom, ulogu jedinice ima 0 . Množenje također pretvara skup prirodnih brojeva u polugrupu s jedinicom, dok je element identiteta 1 . Zatvaranje pod operacijama zbrajanje-oduzimanje i množenje-dijeljenje rezultira skupinama cijelih brojeva Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) i racionalno pozitivnih brojeva Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) redom .

Teorijske definicije skupova

Koristimo definiciju prirodnih brojeva kao klasa ekvivalencije konačnih skupova. Označimo li klasu ekvivalentnosti skupa A, generirano bijekcijama, korištenjem uglastih zagrada: [ A], osnovne aritmetičke operacije definirane su na sljedeći način:

• [ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
• [ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
• [ A ] [ B ] = [ A B ] (\displaystyle ([A])^([B])=) ,

• A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - disjunktna ​​unija skupova;
• A × B (\displaystyle A\times B) - izravni proizvod;
• A B (\displaystyle A^(B)) - skup prikaza iz B u A.

Može se pokazati da su rezultirajuće operacije nad klasama uvedene ispravno, odnosno da ne ovise o izboru elemenata klase i da se podudaraju s induktivnim definicijama.

Što je prirodni broj? Povijest, opseg, svojstva

Matematika je nastala iz opće filozofije oko šestog stoljeća pr. e., i od tog trenutka započeo je njezin pobjednički pohod oko svijeta. Svaki stupanj razvoja unosio je nešto novo - elementarni račun se razvijao, pretvarao u diferencijalni i integralni račun, stoljećima se mijenjao, formule su postajale sve zbunjujuće, a došao je trenutak kada je „najviše složena matematika"Svi brojevi su nestali iz njega." Ali što je bila osnova?

Početak vremena

Prirodni brojevi pojavili su se zajedno s prvim matematičkim operacijama. Nekada kralježnica, dvije kralježnice, tri kralježnice... Pojavile su se zahvaljujući indijskim znanstvenicima koji su razvili prvi pozicijski brojevni sustav.
Riječ "pozicioniranost" znači da je mjesto svake znamenke u broju strogo definirano i da odgovara njegovoj kategoriji. Na primjer, brojevi 784 i 487 su isti brojevi, ali brojevi nisu ekvivalentni, jer prvi uključuje 7 stotina, dok drugi samo 4. Arapi su preuzeli inovaciju Indijanaca, koji su brojeve doveli u oblik koje sada znamo.

U davna vremena brojevi su dobivali mistično značenje, najveći matematičar Pitagora je vjerovao da je broj u osnovi stvaranja svijeta zajedno s glavnim elementima - vatrom, vodom, zemljom, zrakom. Ako sve promatramo samo s matematičke strane, što je onda prirodni broj? Polje prirodnih brojeva označava se kao N i predstavlja beskonačan niz brojeva koji su cijeli i pozitivni: 1, 2, 3, … + ∞. Nula je isključena. Uglavnom se koristi za brojanje predmeta i označavanje redoslijeda.

Što je prirodni broj u matematici? Peanovi aksiomi

Polje N je osnovno polje na koje se oslanja elementarna matematika. S vremenom su se razlikovala polja cjelobrojnih, racionalnih, kompleksnih brojeva.

Rad talijanskog matematičara Giuseppea Peana omogućio je daljnje strukturiranje aritmetike, postigao njezinu formalnost i otvorio put daljnjim zaključcima koji su nadilazili polje N. Što je prirodni broj ranije je razjašnjeno jednostavnim jezikom, u nastavku ćemo razmotriti matematičku definiciju temeljenu na Peanovim aksiomima.

• Jedan se smatra prirodnim brojem.
• Broj koji slijedi nakon prirodnog broja je prirodan broj.
• Nema prirodnog broja prije jedan.
• Ako broj b slijedi i broj c i broj d, tada je c=d.
• Aksiom indukcije, koji pak pokazuje što je prirodni broj: ako je neka tvrdnja koja ovisi o parametru istinita za broj 1, onda pretpostavljamo da djeluje i za broj n iz polja prirodnih brojeva N. Tada tvrdnja vrijedi i za n =1 iz polja prirodnih brojeva N.

Osnovne operacije za područje prirodnih brojeva

Budući da je polje N postalo prvo za matematičke izračune, na njega se odnose i domene definicije i rasponi vrijednosti niza operacija u nastavku. Zatvoreni su i nisu. Glavna razlika je u tome što zatvorene operacije zajamčeno ostavljaju rezultat unutar skupa N, bez obzira o kojim brojevima se radi. Dovoljno je da su prirodni. Ishod preostalih brojčanih interakcija više nije tako jednoznačan i izravno ovisi o vrsti brojeva koji su uključeni u izraz, budući da može biti u suprotnosti s glavnom definicijom. Dakle, zatvorene operacije:

• zbrajanje – x + y = z, gdje su x, y, z uključeni u polje N;
• množenje - x * y = z, gdje su x, y, z uključeni u polje N;
• eksponencijacija - xy, gdje su x, y uključeni u polje N.

Preostale operacije, čiji rezultat možda ne postoji u kontekstu definicije "što je prirodni broj", su sljedeće:

Svojstva brojeva koji pripadaju polju N

Sva daljnja matematička razmišljanja temeljit će se na sljedećim svojstvima, najtrivijalnijim, ali ne manje važnim.

• Komutativno svojstvo zbrajanja je x + y = y + x, pri čemu su brojevi x, y uključeni u polje N. Ili dobro poznato "zbroj se ne mijenja od promjene mjesta članova".
• Komutativno svojstvo množenja je x * y = y * x, pri čemu su brojevi x, y uključeni u polje N.
• Asocijativno svojstvo zbrajanja je (x + y) + z = x + (y + z), pri čemu su x, y, z uključeni u polje N.
• Asocijativno svojstvo množenja je (x * y) * z = x * (y * z), pri čemu su brojevi x, y, z uključeni u polje N.
• svojstvo raspodjele - x (y + z) = x * y + x * z, pri čemu su brojevi x, y, z uključeni u polje N.

Pitagorina tablica

Jedan od prvih koraka u poznavanju cjelokupne strukture osnovne matematike od strane školaraca, nakon što su sami shvatili koji se brojevi nazivaju prirodnim, je Pitagorina tablica. Može se smatrati ne samo sa stajališta znanosti, već i kao vrijedan znanstveni spomenik.

Ova tablica množenja je tijekom vremena doživjela niz promjena: iz nje je uklonjena nula, a brojevi od 1 do 10 označavaju sami sebe, bez uzimanja u obzir redoslijeda (stotine, tisuće...). To je tablica u kojoj su naslovi redaka i stupaca brojevi, a sadržaj ćelija njihova presjeka jednak je njihovom umnošku.

U praksi poučavanja posljednjih desetljeća pojavila se potreba za pamćenjem Pitagorine tablice "po redu", odnosno prvo je išlo učenje napamet. Množenje s 1 je isključeno jer je rezultat bio 1 ili veći. U međuvremenu, u tablici golim okom možete vidjeti uzorak: umnožak brojeva raste za jedan korak, što je jednako naslovu retka. Dakle, drugi faktor nam pokazuje koliko puta trebamo uzeti prvi da bismo dobili željeni proizvod. Ovaj sustav za razliku od onog koji se prakticirao u srednjem vijeku: čak i shvaćajući što je prirodan broj i koliko je trivijalan, ljudi su uspjeli zakomplicirati svoje svakodnevno brojanje koristeći sustav koji se temelji na dvojci.

Podskup kao kolijevka matematike

Na ovaj trenutak polje prirodnih brojeva N smatra se samo jednim od podskupova kompleksnih brojeva, ali to ih ne čini manje vrijednim u znanosti. Prirodni broj je prvo što dijete uči proučavajući sebe i svijet oko sebe. Jedan prst, dva prsta... Zahvaljujući njemu, osoba razvija logično razmišljanje, kao i sposobnost utvrđivanja uzroka i zaključivanja posljedice, utirući put velikim otkrićima.

Diskusija: Prirodni broj

Kontroverze oko nule

Iz nekog razloga, ne mogu zamisliti nulu kao prirodan broj ... Čini se da drevni ljudi uopće nisu znali nulu. Da, i TSB ne smatra nulu prirodnim brojem. Dakle, barem je to sporna točka. Možete li reći nešto neutralnije o nuli? Ili postoje dobri argumenti? --.:Ajvol:. 18:18, 9. rujna 2004. (UTC)

otkotrljao unatrag Posljednja promjena. --Maxal 20:24, 9. rujna 2004. (UTC)

Francuska akademija svojedobno je izdala posebnu uredbu prema kojoj je 0 uključeno u skup prirodnih brojeva. Sada je ovo standard, po mom mišljenju, nije potrebno uvoditi koncept "ruskog prirodnog broja", već se pridržavati ovog standarda. Naravno, treba spomenuti da nekada nije bilo tako (ne samo u Rusiji nego posvuda). Tosha 23:16, 9. rujna 2004. (UTC)

Francuska akademija za nas nije dekret. U matematičkoj literaturi na engleskom jeziku također nema utvrđenog mišljenja o ovom pitanju. Vidi na primjer --Maxal 23:58, 9. rujna 2004. (UTC)

Negdje tamo piše: "Ako pišete članak o kontroverznom pitanju, pokušajte iznijeti sva gledišta, dajući poveznice na različita mišljenja." Otok Bes 23:15, 25. prosinca 2004. (UTC)

Ja to ovdje ne vidim sporno pitanje, ali vidim: 1) nepoštivanje ostalih sudionika značajnim mijenjanjem/brisanjem njihovog teksta (uobičajeno je da se o njima raspravlja prije bitnih izmjena); 2) zamjena strogih definicija (koji ukazuju na kardinalnosti skupova) nejasnim (postoji li velika razlika između "numeracije" i "oznake količine"?). Stoga ponovno radim rollback, međutim, ostavljam posljednju primjedbu. --Maxal 23:38, 25. prosinca 2004. (UTC)

Nepoštovanje je upravo ono kako ja gledam na vaše mitose. Dakle, da ne pričamo o tome. Moje uređivanje ne mijenja suštinučlanka, jasno formulira samo dvije definicije. Prethodna verzija članka definirala je definiciju "bez nule" kao glavnu, a "s nulom" kao svojevrsno disidentstvo. Ovo apsolutno ne udovoljava zahtjevima Wikipedije (vidi gore navedeni citat), kao ni sasvim znanstveni stil izjave u prethodna verzija. Dodao sam formulaciju "kardinalnost skupa" kao objašnjenje za "oznaku količine" i "nabrajanje" za "numeraciju". A ako ne vidite razliku između "numeracije" i "oznake količine", onda, da pitam, zašto onda uređujete matematičke članke? Otok Bes 23:58, 25. prosinca 2004. (UTC)

Što se tiče "ne mijenja bit" - prethodna verzija je naglašavala da je razlika u definicijama samo u upućivanju nule na prirodne brojeve. U vašoj verziji definicije su predstavljene kao radikalno različite. Što se tiče "osnovne" definicije, onda bi tako trebalo biti, jer ovaj članak u ruski Wikipedia, što znači da se u osnovi trebate držati onoga što kažete općeprihvaćeno u ruskim matematičkim školama. Ignoriram napade. --Maxal 00:15, 26. prosinca 2004. (UTC)

Zapravo, ovo je samo razlika od samo nule. Zapravo, upravo je to kardinalna razlika koja proizlazi iz drugačijeg shvaćanja prirode prirodnih brojeva: u jednoj verziji – kao količine; u drugom - kao brojevi. Ovo je apsolutno različiti koncepti koliko god se trudio sakriti da to ne razumiješ.

O činjenici da se u ruskoj Wikipediji traži da se navede rusko gledište kao dominantno. Ovdje pažljivo pogledajte. Pogledajte članak na engleskom o Božiću. Ne kaže da se Božić treba slaviti 25. prosinca, jer ga tako slave u Engleskoj i SAD-u. Tamo su data oba stajališta (a razlikuju se ni više ni manje nego što se razlikuju prirodni brojevi "s nulom" i "bez nule"), a ni riječi o tome koji je od njih navodno ispravniji.

U mojoj verziji članka oba su gledišta označena kao neovisna i jednako valjana. Ruski standard je naznačen riječima koje ste spomenuli gore.

Možda, s filozofske točke gledišta, koncepti prirodnih brojeva doista jesu apsolutno drugačije, ali članak nudi u osnovi matematičke definicije, gdje je razlika 0 ∈ N (\displaystyle 0\in \mathbb (N) ) ili 0 ∉ N (\displaystyle 0\not \in \mathbb (N) ) . Dominantno gledište ili ne je delikatna stvar. Cijenim frazu promatrano u većini zapadnog svijeta 25. prosinca iz engleskog članka o Božiću kao koji izražava dominantno stajalište, bez drugih datuma navedenih u prvom odlomku. Inače, u prethodnoj verziji članka o prirodnim brojevima također nije bilo izravnih naznaka kako potrebno za određivanje prirodnih brojeva, samo je definicija bez nule predstavljena kao češća (u Rusiji). U svakom slučaju, dobro je da je pronađen kompromis. --Maxal 00:53, 26. prosinca 2004. (UTC)

Pomalo neugodno iznenađuje izraz "U ruskoj književnosti nula je obično isključena iz broja prirodnih brojeva", gospodo, nula se u cijelom svijetu ne smatra prirodnim brojem, osim ako nije drugačije navedeno. Isti Francuzi, koliko sam ih čitao, posebno propisuju uključivanje nule. Naravno, češće se koristi N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)), ali ako, na primjer, volim žene, neću mijenjati muškarce u žene. Druid. 23.02.2014

Nepopularnost prirodnih brojeva

Čini mi se da su prirodni brojevi nepopularna tema u matematičkim člancima (možda ne samo zbog nedostatka jedne definicije). Prema svom iskustvu, često se susrećem s pojmovima u matematičkim člancima cjelobrojni nenegativni brojevi i cijelim pozitivnim brojevima(koji se tumače jednoznačno) nego cijeli brojevi. Mole se zainteresirane strane da izraze svoje (ne)slaganje s ovim zapažanjem. Ako ovo zapažanje nađe potporu, onda ga ima smisla navesti u članku. --Maxal 01:12, 26. prosinca 2004. (UTC)

Bez sumnje ste u pravu u sažetom dijelu svoje izjave. Sve je to zbog razlika u definiciji. I sam u nekim slučajevima radije označavam "pozitivne cijele brojeve" ili "ne-negativne cijele brojeve" umjesto "prirodnih" kako bih izbjegao odstupanja u pogledu uključivanja nule. I općenito se slažem s izrekom. Otok Bes 01:19, 26. prosinca 2004. (UTC) U člancima - da, možda i jest. Međutim, u obimnijim tekstovima, kao i tamo gdje se koncept često koristi, obično se još uvijek koriste cijeli brojevi, preliminarno, međutim, objašnjavajući "o kojim" prirodnim brojevima govorimo - sa ili bez nule. LoKi 19:31 30. srpnja 2005. (UTC)

Brojevi

Vrijedi li navesti nazive brojeva (jedan, dva, tri, itd.) u zadnjem dijelu ovog članka? Ne bi li bilo logičnije ovo staviti u članak Broj? Ipak, ovaj bi članak, po mom mišljenju, trebao biti više matematičke prirode. Kako misliš? --LoKi 19:32, 30. srpnja 2005. (UTC)

Općenito, čudno je kako je moguće iz *praznih* skupova dobiti običan prirodan broj? Općenito, koliko se praznina i praznina ne spajaju, osim praznine, ništa neće raditi! Nije li to uopće alternativna definicija? Objavljeno u 21:46, 17. srpnja 2009. (Moskva)

Kategoričnost sustava Peanovih aksioma

Dodao sam primjedbu o kategoričnosti sustava Peanovih aksioma, koja je, po mom mišljenju, temeljna. Molimo ispravno formatirajte vezu na knjigu[[Korisnik:A_Devyatkov 06:58, 11. lipnja 2010. (UTC)]]

Peanovi aksiomi

U gotovo cijeloj stranoj literaturi i na Wikipediji Peanovi aksiomi počinju s "0 je prirodan broj". Doista, u izvornom izvoru piše "1 je prirodan broj". Međutim, 1897. Peano je napravio promjenu i promijenio 1 u 0. To je zapisano u "Formulaire de mathematiques", svezak II - br. 2. stranica 81. Ovo je poveznica na elektroničku verziju na desnoj stranici:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (fr).

Objašnjenja ovih promjena data su u "Rivista di matematica", svezak 6-7, 1899, stranica 76. Također link na elektroničku verziju na desnoj stranici:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (talijanski).

0=0

Što su "aksiomi digitalnog gramofona"?

Želio bih vratiti članak na najnoviju patroliranu verziju. Prvo je netko preimenovao Peanove aksiome u Pianove aksiome, zbog čega je veza prestala raditi. Drugo, izvjesni Curd je u članak dodao vrlo veliku informaciju koja je, po meni, potpuno neprikladna u ovom članku. Napisano neenciklopedijski, osim toga, daju se rezultati samog Tvorogova i poveznica na njegovu vlastitu knjigu. Inzistiram da se odjeljak o "aksiomima digitalnog gramofona" ukloni iz ovog članka. P.s. Zašto je uklonjen dio o broju nula? mesyarik 14:58, 12. ožujka 2014. (UTC)

Tema se ne objavljuje, potrebna je jasna definicija prirodnih brojeva

Nemojte pisati herezu kao " Prirodni brojevi (prirodni brojevi) - brojevi koji nastaju prirodno pri brojanju.„Na prirodan način, ništa se ne javlja u mozgu. Bit će točno ono što tamo stavite.

A za petogodišnjaka, kako objasniti koji je broj prirodan broj? Uostalom, postoje ljudi koje treba objasniti kao petogodišnjaka. Po čemu se prirodni broj razlikuje od normalnog broja? Potrebni primjeri! 1, 2, 3 je prirodno, a 12 prirodno, a -12? i tri četvrtine, ili npr. 4,25 natural? 95.181.136.132 15:09 6. studenog 2014. (UTC)

• Prirodni brojevi su temeljni pojam, početna apstrakcija. Ne mogu se definirati. Možete proizvoljno ići duboko u filozofiju, ali na kraju ili morate priznati (uzeti na vjeru?) neki kruti metafizički stav, ili priznati da ne postoji apsolutna definicija, prirodni brojevi su dio umjetnog formalnog sustava, model koji je izmislila osoba (ili Bog). Evo jedne zanimljive rasprave na tu temu. Kako vam se sviđa, na primjer, ova opcija: "Prirodni niz je svaki konkretan Peano sustav, odnosno model Peanoove aksiomatske teorije." Osjećati se bolje? RomanSuzi 17:52, 6. studenog 2014. (UTC)
  • Čini se da svojim modelima i aksiomatskim teorijama sve samo komplicirate. Ova će se definicija razumjeti u najboljem slučaju dvoje od tisuću ljudi. Stoga mislim da u prvom paragrafu nedostaje rečenica " Jednostavnim riječima: prirodni brojevi su pozitivni cijeli brojevi koji počinju od jednog uključenog." Takva definicija većini zvuči normalno. I ne daje razloga sumnjati u definiciju prirodnog broja. Uostalom, nakon što sam pročitao članak, stvarno nisam razumio sve do kraj što su prirodni brojevi i broj 807423 je prirodan ili prirodni brojevi su oni od kojih se ovaj broj sastoji, tj. 8 0 7 4 2 3. Često komplikacije samo sve pokvare. Infa o prirodnim brojevima treba biti na ovoj stranici, a ne na brojnim poveznicama na ostale stranice.95.181.136.132 10:03, 7. studenog 2014. (UTC)
    • Ovdje je potrebno razlikovati dva zadatka: (1) čitatelju koji je daleko od matematike jasno (iako ne strogo) objasniti što je prirodni broj, tako da manje-više ispravno razumije; (2) dati tako rigoroznu definiciju prirodnog broja iz koje proizlaze njegova osnovna svojstva. U pravu ste za prvu opciju u preambuli, ali je upravo ona navedena u članku: prirodni broj je matematička formalizacija brojanja: jedan, dva, tri itd. Vaš primjer (807423) može svakako ispasti pri brojanju, što znači da je i ovo prirodan broj. Nije mi jasno zašto miješate broj i način na koji se piše u brojevima, ovo je posebna tema, nije direktno vezana za definiciju broja. Vaše objašnjenje: prirodni brojevi su cijeli pozitivni brojevi počevši od jednog uključivo» nije dobro, jer ne možete definirati manje od opći koncept(prirodni broj) kroz općenitiji (broj) koji još nije definiran. Teško mi je zamisliti čitatelja koji zna što je pozitivan cijeli broj, ali nema pojma što je prirodni broj. LGB 12:06 7. studenog 2014. (UTC)
      • Prirodni brojevi se ne mogu definirati u smislu cijelih brojeva. RomanSuzi 17:01, 7. studenog 2014. (UTC)

• “Naravno, ništa se ne događa u mozgu.” Nedavne studije pokazuju (sada ne mogu pronaći poveznice) da je ljudski mozak spreman koristiti jezik. Tako, na prirodan način, već imamo u genima spremnost za ovladavanje jezikom. Pa, za prirodne brojeve ovo je ono što vam treba. Koncept "1" može se prikazati rukom, a zatim - indukcijom, dodajte štapiće, dobivajući 2, 3 i tako dalje. Ili: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Ali možda imate konkretne prijedloge za poboljšanje članka, temeljene na autoritativnim izvorima? RomanSuzi 17:57, 6. studenog 2014. (UTC)

Što je prirodni broj u matematici?

Vladimir Z

Prirodni brojevi se koriste za nabrajanje objekata i brojanje njihovog broja. Za numeriranje se koriste pozitivni cijeli brojevi, počevši od 1.

A za brojanje broja, ovdje je također uključena 0, što ukazuje na odsutnost objekata.

Sadržava li pojam prirodnih brojeva broj 0 ovisi o aksiomatici. Ako predstavljanje bilo koje matematičke teorije zahtijeva prisutnost 0 u skupu prirodnih brojeva, onda je to propisano i smatra se neospornom istinom (aksiomom) unutar ove teorije. Definicija broja 0, i pozitivna i negativna, vrlo je blizu tome. Ako za definiciju prirodnih brojeva uzmemo skup svih NEGATIVNIH cijelih brojeva, onda se postavlja pitanje koji je broj 0 - pozitivan ili negativan?

NA praktična aplikacija, u pravilu se koristi prva definicija koja ne uključuje broj 0.

Olovka

Prirodni brojevi su cijeli pozitivni brojevi. Prirodni brojevi se koriste za brojanje (broj) objekata ili za označavanje broja objekata ili za označavanje serijskog broja objekta na popisu. Neki autori umjetno uključuju nulu u koncept "prirodnih brojeva". Drugi koriste formulaciju "prirodni brojevi i nula". Ovo je neprincipijelno. Skup prirodnih brojeva je beskonačan, jer s bilo kojim proizvoljno velikim prirodnim brojem možete izvesti operaciju zbrajanja s drugim prirodnim brojem i dobiti još veći broj.

Negativni i necijeli brojevi nisu uključeni u skup prirodnih brojeva.

Sayans

Prirodni brojevi su brojevi koji se koriste za brojanje. Mogu biti samo pozitivni i cjeloviti. Što to znači u primjeru? Budući da se ovi brojevi koriste za brojanje, pokušajmo nešto izračunati. Što se može izbrojati? Na primjer, ljudi. Možemo izbrojati ljude ovako: 1 osoba, 2 osobe, 3 osobe itd. Brojevi 1, 2, 3 i drugi koji se koriste za brojanje bit će prirodni. Nikada ne kažemo -1 (minus jedan) osoba ili 1,5 (jedna i pol) osoba (oprostite na igri riječi :), tako da -1 i 1,5 (kao i svi negativni i razlomci) nisu prirodni brojevi.

Lorelei

Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste prilikom brojanja predmeta.

Najmanji prirodni broj je jedan. Često se postavlja pitanje je li nula prirodan broj. Ne, to nije u većini ruskih izvora, ali u drugim zemljama broj nula je prepoznat kao prirodan ...

Moreljuba

Prirodni brojevi u matematici su brojevi koji se koriste za sekvencijalno brojanje nečega ili nekoga. Jedan se smatra najmanjim prirodnim brojem. Nula u većini slučajeva ne spada u kategoriju prirodnih brojeva. Ovdje također nisu uključeni negativni brojevi.

Pozdrav Slaveni.

Prirodni brojevi, oni su također prirodni, su oni brojevi koji nastaju na uobičajen način kada se broje, a koji su veći od nule. Niz svakog prirodnog broja poredanog uzlaznim redoslijedom nazvat ćemo prirodni niz.

Elena Nikityuk

Pojam prirodni broj koristi se u matematici. Pozitivan cijeli broj naziva se prirodni broj. Najmanjim prirodnim brojem smatra se "0". Da bi bilo što izračunali, koriste te iste - prirodne brojeve, na primjer 1,2,3 ... i tako dalje.

Prirodni brojevi su brojevi s kojima brojimo, odnosno isla jedan, dva, tri, četiri, pet i ostali su prirodni brojevi.

To su nužno pozitivni brojevi veći od nule.

Razlomci također ne pripadaju skupu prirodnih brojeva.

-Orhideja-

Prirodni brojevi su potrebni da bi se nešto prebrojilo. Oni su niz samo pozitivnih brojeva, počevši od jednog. Važno je znati da su ti brojevi isključivo cijeli brojevi. Sve se može izbrojati prirodnim brojevima.

Marlena

Prirodni broj je cijeli broj, koji obično koristimo kada brojimo bilo koji objekt. Nula kao takva nije uključena u područje prirodnih brojeva, budući da je obično ne koristimo u izračunima.

Inara-pd

Prirodni brojevi su brojevi koje koristimo za brojanje – jedan, dva, tri itd.

Prirodni brojevi nastali su iz praktičnih potreba čovjeka.

Prirodni brojevi se zapisuju s deset znamenki.

Nula nije prirodan broj.

Što je prirodni broj?

Naumenko

Brojevi se nazivaju prirodni brojevi. služi za numeriranje i brojanje prirodnih (cvijet, drvo, životinja, ptica itd.) objekata.

Zovu se cijeli brojevi brojevi PRIRODNI, SUPROTNI I NULA,

Objasniti. ono što je prirodno kroz cijele brojeve je pogrešno!! !

Brojevi su parni - djeljivi s 2, a neparni - nisu djeljivi s 2.

Brojevi se nazivaju prosti brojevi. ima samo 2 djelitelja - jedan i sebe ...
Prva od vaših jednadžbi nema rješenja. za drugi x=6 6 prirodan broj.

Prirodni brojevi (prirodni brojevi) - brojevi koji prirodno nastaju tijekom brojanja (kako u smislu nabrajanja tako i u smislu računa).

Skup svih prirodnih brojeva obično se označava s \mathbb(N). Skup prirodnih brojeva je beskonačan, jer za svaki prirodni broj postoji veći prirodni broj.

Anna Semenchenko

brojevi koji prirodno nastaju tijekom brojanja (kako u smislu nabrajanja tako i u smislu računa).
Postoje dva pristupa definiciji prirodnih brojeva - brojevi koji se koriste u:
nabrajanje (numeracija) stavki (prvi, drugi, treći, ...);
oznaka broja artikala (bez predmeta, jedan artikl, dva artikla, ...). Usvojeno u Bourbakijevim djelima, gdje su prirodni brojevi definirani kao potencije konačnih skupova.
Negativni i necijeli (racionalni, realni, ...) brojevi nisu prirodni.
Skup svih prirodnih brojeva obično se označava znakom. Skup prirodnih brojeva je beskonačan, jer za svaki prirodni broj postoji veći prirodni broj.

Cijeli brojevi

Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste za brojanje razne predmete ili kako bi se označio serijski broj bilo kojeg objekta među sličnim ili homogenim.

Prirodni brojevi se mogu napisati pomoću prvih deset znamenki:

Za pisanje jednostavnih prirodnih brojeva uobičajeno je koristiti pozicijski decimalni račun, gdje je vrijednost bilo koje znamenke određena njezinim mjestom u zapisu.

Prirodni brojevi su najjednostavniji brojevi koje često koristimo Svakidašnjica. Uz pomoć tih brojeva radimo izračune, brojimo predmete, određujemo njihovu količinu, red i broj.

S prirodnim brojevima počinjemo se upoznavati od ranog djetinjstva, pa su svima poznati i prirodni.

Opća ideja prirodnih brojeva

Prirodni brojevi su dizajnirani da nose informacije o broju objekata, njihovom serijskom broju i skupu objekata.

Osoba koristi prirodne brojeve, budući da su mu dostupni i na razini percepcije i na razini reprodukcije. Kada izgovaramo bilo koji prirodni broj, lako ga možemo uhvatiti sluhom, a nakon što smo prikazali prirodni broj, vidimo ga.

Svi prirodni brojevi poredani su uzlaznim redoslijedom i tvore niz brojeva počevši s najmanjim prirodnim brojem, a to je jedan.

Ako smo se odlučili za najmanji prirodni broj, onda će biti teže s najvećim, jer takav broj ne postoji jer je niz prirodnih brojeva beskonačan.

Kada prirodnom broju dodamo jedan, na kraju dobijemo broj koji slijedi iza zadanog broja.

Broj kao što je 0 nije prirodan broj, već služi samo za označavanje broja "nula" i znači "ništa". 0 znači nepostojanje broja jedinica ovog niza u decimalnom zapisu.

Svi prirodni brojevi označeni su velikim slovima. latinično slovo N.

Povijesna referenca za označavanje prirodnih brojeva

U davna vremena ljudi još nisu znali što je broj i kako brojati broj predmeta. Ali već tada se javila potreba za brojanjem, a čovjek se dosjetio kako prebrojiti ulovljenu ribu, ubrane bobice i tako dalje.

malo kasnije, drevni čovjek došao do zaključka da je lakše zapisati iznos koji mu je potreban. Za ove svrhe primitivni ljudi počeli su koristiti kamenčiće, a potom i štapiće, koji su sačuvani rimskim brojevima.

Sljedeći trenutak u razvoju računskog sustava bilo je korištenje slova abecede u zapisu nekih brojeva.

Prvi sustavi računanja uključuju decimalni indijski sustav i seksagezimalni babilonski.

Suvremeni računski sustav, iako se zove arapski, zapravo je jedna od varijanti indijskog. Istina, u njegovom sustavu računanja nema broja nula, ali su ga Arapi dodali i sustav je dobio svoj sadašnji oblik.

Decimalni sustav

Već smo upoznali prirodne brojeve i naučili ih pisati pomoću deset znamenki. Također već znate da se pisanje brojeva pomoću znakova naziva brojevnim sustavom.

Vrijednost znamenke u unosu broja ovisi o njegovoj poziciji i naziva se pozicionom. Odnosno, kada pišemo prirodne brojeve, koristimo se pozicijskim računom.

Ovaj se sustav temelji na dubini bita i decimalnom broju. U decimalnom sustavu osnova za njegovu konstrukciju bit će brojevi od 0 do 9.

Posebno mjesto u takvom sustavu ima broj 10, budući da se, u osnovi, račun vodi u deseticama.

Tablica klasa i kategorija:

Tako se, na primjer, 10 jedinica kombinira u desetke, pa u stotine, tisuće i slično. Stoga je broj 10 baza računskog sustava i naziva se decimalni računski sustav.

Cijeli brojevi- brojevi koji se koriste za brojanje objekata . Bilo koji prirodni broj može se napisati pomoću desetice znamenke: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Takav zapis brojeva naziva se decimal.

Niz svih prirodnih brojeva naziva se prirodno jedno uz drugo .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Najviše mali prirodni broj je jedan (1). U prirodnom nizu svaki sljedeći broj je za 1 veći od prethodnog. prirodne serije beskrajna ne postoji najveći broj.

Značenje znamenke ovisi o njenom mjestu u zapisu broja. Na primjer, broj 4 znači: 4 jedinice ako stoji posljednje mjesto u unosu broja (na mjestu jedinica); 4 deset, ako je na posljednjem mjestu (na mjestu desetica); 4 stotine, ako je na trećem mjestu s kraja (u stotine mjesta).

Brojka 0 znači nedostatak jedinica ove kategorije u decimalnom zapisu broja. Služi i za označavanje broja " nula". Ovaj broj znači "nijedno". Rezultat 0:3 nogometna utakmica kaže da prva momčad protivniku nije zabila niti jedan pogodak.

Nula ne uključuju na prirodne brojeve. I doista, brojanje predmeta nikada ne počinje od nule.

Ako prirodni broj ima samo jednu znamenku – jedna znamenka, onda se zove nedvosmisleno. Oni. nedvosmislenoprirodni broj- prirodni broj čiji se zapis sastoji od jednog znaka – jedna znamenka. Na primjer, brojevi 1, 6, 8 su jednoznamenkasti.

dvoznamenkastaprirodni broj- prirodni broj, čiji se zapis sastoji od dva znaka - dvije znamenke.

Na primjer, brojevi 12, 47, 24, 99 su dvoznamenkasti.

Također, prema broju znakova u određenom broju, nazivi se daju drugim brojevima:

brojevi 326, 532, 893 - troznamenkasti;

brojevi 1126, 4268, 9999 - četveroznamenkasti itd.

Dvije znamenke, tri znamenke, četiri znamenke, pet znamenki, itd. pozivaju se brojevi višeznamenkasti brojevi .

Za čitanje višeznamenkastih brojeva dijele se, počevši s desne strane, u skupine od po tri znamenke (krajnja lijeva skupina može se sastojati od jedne ili dvije znamenke). Ove grupe se zovu razreda.

milijuna je tisuću tisuća (1000 tisuća), napisano je 1 milijun ili 1.000.000.

milijardu iznosi 1000 milijuna kuna. Bilježi ga 1 milijarda ili 1.000.000.000.

Prve tri znamenke s desne strane čine klasu jedinica, sljedeće tri - klasu tisuća, zatim slijede klase milijuna, milijardi itd. (Sl. 1).

Riža. 1. Klasa milijuna, klasa tisuća i klasa jedinica (s lijeva na desno)

Broj 15389000286 napisan je u mreži bitova (slika 2).

Riža. 2. Mreža znamenki: broj 15 milijardi 389 milijuna 286

Ovaj broj ima 286 jedinica u klasi jedan, nula u klasi tisuća, 389 jedinica u klasi milijuna i 15 jedinica u klasi milijardi.

U petom stoljeću pr starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

Recimo, Ahilej trči deset puta brže od kornjače i tisuću koraka je iza nje. Tijekom vremena tijekom kojeg Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve sljedeće generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju u današnje vrijeme, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali nitko ne razumije u čemu je obmana.

S gledišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s vrijednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat primjene varijabilne jedinice mjerenje ili još nije razvijeno, ili nije primijenjeno na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. S fizičke točke gledišta, to izgleda kao usporavanje vremena sve dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči stalnom brzinom. Svaki sljedeći segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču“.

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? ostani unutra stalne jedinice mjerenja vremena i ne prelaze na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči tisuću koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup primjereno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije kompletno rješenje Problemi. Einsteinova izjava o nepremostivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek trebamo proučiti, preispitati i riješiti. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strijela je nepomična, budući da u svakom trenutku miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, uvijek miruje.

U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje na različitim točkama prostora, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim trenucima, ali se njima ne može odrediti udaljenost. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih točaka u svemiru u isto vrijeme, ali ne možete odrediti činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za izračune, pomoći će vam trigonometrija) . Na što se želim usredotočiti Posebna pažnja, jest da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane u Wikipediji. Mi gledamo.

Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu logiku apsurda. Ovo je razina govornih papiga i dresiranih majmuna, u kojoj um nema riječi "potpuno". Matematičari djeluju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most tijekom ispitivanja mosta bili u čamcu ispod mosta. Ako se most srušio, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Koliko god se matematičari krili iza fraze “pamet, ja sam u kući”, odnosno “matematika proučava apstraktne pojmove”, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Matematiku smo jako dobro učili i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plaće. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i složimo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim sa svake hrpe uzimamo po jedan račun i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Pojašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu s identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će zastupnička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Nadalje, počet će uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa mi računamo plaću u kovanicama – na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar mahnito prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki novčić je jedinstven...

A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanosti ovdje nema ni blizu.

Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobivamo puno, jer su imena različita. Kao što možete vidjeti, isti skup elemenata je i skup i višeskup u isto vrijeme. Kako ispravno? I tu matematičar-šaman-šuller vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multisetu. U svakom slučaju, uvjerit će nas da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani djeluju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamisliv kao niti jedna cjelina" ili "nezamisliv kao jedinstvena cjelina".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i koristiti ga, ali oni su šamani za to, da podučavaju svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbroj znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.

Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadani broj. I tako, recimo da imamo broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo redom sve korake.

1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu primljenu sliku izrezali smo na nekoliko slika koje sadrže zasebne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. E sad to je matematika.

Zbroj znamenki broja 12345 je 15. To su "tečajevi krojenja i šivanja" šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

S gledišta matematike nije bitno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima računajući, zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks desno od broja. S veliki broj 12345 Ne želim zavaravati glavu, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to učinili. Pogledajmo rezultat.

Kao što možete vidjeti, u različitim brojevnim sustavima, zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je isto kao da biste dobili potpuno drugačije rezultate pri određivanju površine pravokutnika u metrima i centimetrima.

Nula u svim brojevnim sustavima izgleda isto i nema zbroj znamenki. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Što, za matematičare, ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dopustiti, ali za znanstvenike ne. Stvarnost nije samo u brojevima.

Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo uspoređivati ​​brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različiti rezultati nakon što ih usporedim, onda to nema veze s matematikom.

Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj jedinici mjere i o tome tko izvodi ovu radnju.

Potpis na vratima Otvara vrata i govori:

Jao! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?

Žensko... Aureola na vrhu i strelica dolje je muško.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sustavu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sustavu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.