Teorija funkcija jedne varijable. Matematička analiza

Neka varijabla x n uzima beskonačan niz vrijednosti

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

a poznat je zakon promjene varijable x n, tj. za svaki prirodan broj n možete odrediti odgovarajuću vrijednost x n. Stoga se pretpostavlja da je varijabla x n je funkcija od n:

x n = f(n)

Definirajmo jedan od najvažnijih pojmova matematičke analize - granicu niza ili, što je isto, granicu varijable x n slijed trčanja x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Definicija. konstantan broj a pozvao granica slijeda x 1 , x 2 , ..., x n , ... . ili granica varijable x n, ako za proizvoljno mali pozitivan broj e postoji takav prirodan broj N(tj. broj N) da su sve vrijednosti varijable x n, počevši od x N, razlikovati se od a manje u apsolutnoj vrijednosti od e. Ova definicija je ukratko napisana kako slijedi:

| x n -a |< (2)

za sve n  N, ili, što je isto,

Definicija Cauchyjeve granice. Broj A naziva se granica funkcije f (x) u točki a ako je ta funkcija definirana u nekom susjedstvu točke a, osim možda same točke a, a za svako ε > 0 postoji δ > 0 takav da za sve x zadovoljava uvjet |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definicija Heineove granice. Broj A naziva se granica funkcije f (x) u točki a ako je ta funkcija definirana u nekom susjedstvu točke a, osim možda za samu točku a i za bilo koji niz takav da konvergirajući na broj a, odgovarajući niz vrijednosti funkcije konvergira na broj A.

Ako funkcija f(x) ima granicu u točki a, tada je ta granica jedinstvena.

Broj A 1 naziva se lijeva granica funkcije f (x) u točki a ako za svako ε > 0 postoji δ >

Broj A 2 naziva se desna granica funkcije f (x) u točki a ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da je nejednakost

Granica s lijeve strane označava se kao granica s desne strane - Ove granice karakteriziraju ponašanje funkcije lijevo i desno od točke a. Često se nazivaju jednosmjernim granicama. U zapisu jednostranih granica kao x → 0, prva nula se obično izostavlja: i . Dakle, za funkciju

Ako za svako ε > 0 postoji δ-okolina točke a takva da za sve x zadovoljava uvjet |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, onda kažemo da funkcija f (x) ima beskonačnu granicu u točki a:

Dakle, funkcija ima beskonačnu granicu u točki x = 0. Često se razlikuju granice jednake +∞ i –∞. Tako,

Ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 takav da je za bilo koji x > δ nejednakost |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorem postojanja za najmanju gornju granicu

Definicija: AR mR, m - gornje (donje) lice A, ako je aA am (am).

Definicija: Skup A je omeđen odozgo (odozdo), ako postoji m takvo da je aA, tada je am (am) zadovoljeno.

Definicija: SupA=m, ako je 1) m - gornja granica A

2) m’: m’ m' nije gornje lice A

InfA = n ako je 1) n donji dio A

2) n’: n’>n => n’ nije infimum od A

Definicija: SupA=m je broj takav da je: 1)  aA am

2) >0 a  A, tako da je  a-

InfA = n naziva se broj takav da je:

2) >0 a  A, tako da je a E a+

Teorema: Svaki neprazan skup AR omeđen odozgo ima najbolju gornju granicu, i to jedinstvenu.

Dokaz:

Konstruiramo broj m na realnoj liniji i dokazujemo da je ovo najmanja gornja granica A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - gornja strana A

Segment [[m],[m]+1] - podijeliti na 10 dijelova

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m do =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - gornja strana A

Dokažimo da je m=[m],m 1 ...m K najmanja gornja granica i da je jedinstvena:

za: .

Riža. 11. Grafikon funkcije y luk sin x.

Uvedimo sada pojam složene funkcije ( prikazati kompozicije). Neka su data tri skupa D, E, M i neka f: D→E, g: E→M. Očito je moguće konstruirati novo preslikavanje h: D→M, nazvano kompozicijom preslikavanja f i g ili složenom funkcijom (slika 12).

Složena funkcija označava se na sljedeći način: z =h(x)=g(f(x)) ili h = f o g.

Riža. 12. Ilustracija za pojam složene funkcije.

Poziva se funkcija f (x). unutarnja funkcija, a funkcija g ( y ) - vanjska funkcija.

1. Unutarnja funkcija f (x) = x², vanjska g (y) sin y. Kompleksna funkcija z= g(f(x))=sin(x²)

2. Sada obrnuto. Unutarnja funkcija f (x)= sinx, vanjska g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)