Jednoznamenkasti prirodni broj. Cijeli brojevi

Cijeli brojevi

Cijeli brojevi definicija su pozitivni cijeli brojevi. Prirodni brojevi se koriste za brojanje objekata i za mnoge druge svrhe. Evo brojeva:

Ovo je prirodan niz brojeva.
Nula je prirodan broj? Ne, nula nije prirodan broj.
Koliko ima prirodnih brojeva? Postoji beskonačan skup prirodnih brojeva.
Koji je najmanji prirodni broj? Jedan je najmanji prirodni broj.
Koji je najveći prirodni broj? Ne može se odrediti, jer postoji beskonačan skup prirodnih brojeva.

Zbroj prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, zbrajanje prirodnih brojeva a i b:

Umnožak prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, umnožak prirodnih brojeva a i b:

c je uvijek prirodan broj.

Razlika prirodnih brojeva Ne postoji uvijek prirodan broj. Ako je minus veći od oduzetog, onda je razlika prirodnih brojeva prirodan broj, inače nije.

Kvocijent prirodnih brojeva Ne postoji uvijek prirodan broj. Ako za prirodne brojeve a i b

gdje je c prirodan broj, to znači da je a jednako djeljiv s b. U ovom primjeru, a je dividenda, b je djelitelj, c je kvocijent.

Djelitelj prirodnog broja je prirodni broj kojim je prvi broj jednako djeljiv.

Svaki prirodni broj djeljiv je s 1 i sam sa sobom.

Jednostavni prirodni brojevi djeljivi su samo s 1 i sami sa sobom. Ovdje mislimo na potpuno podijeljeno. Primjer, brojevi 2; 3; 5; 7 je djeljivo samo s 1 i samim sobom. To su jednostavni prirodni brojevi.

Jedan se ne smatra prostim brojem.

Brojevi koji su veći od jedan i koji nisu prosti nazivaju se složeni brojevi. Primjeri složenih brojeva:

Jedan se ne smatra složenim brojem.

Skup prirodnih brojeva sastoji se od jedan, prostih brojeva i složenih brojeva.

Skup prirodnih brojeva je označen latinično slovo N.

Svojstva zbrajanja i množenja prirodnih brojeva:

komutativno svojstvo zbrajanja

asocijativno svojstvo zbrajanja

(a + b) + c = a + (b + c);

komutativno svojstvo množenja

asocijativno svojstvo množenja

(ab)c = a(bc);

distributivno svojstvo množenja

A (b + c) = ab + ac;

Cijeli brojevi

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, nula i suprotni prirodni brojevi.

Brojevi suprotni prirodnim brojevima negativni su cijeli brojevi, na primjer:

1; -2; -3; -4;...

Skup cijelih brojeva označava se latiničnim slovom Z.

Racionalni brojevi

Racionalni brojevi su cijeli brojevi i razlomci.

Svaki racionalni broj može se predstaviti kao periodični razlomak. primjeri:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Iz primjera se može vidjeti da je svaki cijeli broj periodični razlomak s periodom nula.

Svaki racionalni broj može se predstaviti kao razlomak m/n, gdje je m cijeli broj broj, n prirodan broj. Predstavimo broj 3,(6) iz prethodnog primjera kao takav razlomak.

Što su prirodni i ne-prirodni brojevi? Kako djetetu, ili možda ne djetetu, objasniti koje su razlike među njima? Idemo to shvatiti. Koliko znamo, u 5. razredu se izučavaju ne-prirodni i prirodni brojevi, a cilj nam je objasniti učenicima da stvarno razumiju i nauče što i kako.

Priča

Prirodni brojevi su jedan od najstarijih pojmova. Davno, kada ljudi još nisu znali brojati i nisu imali pojma o brojevima, kada su trebali nešto izbrojati, na primjer ribu, životinje, izbacivali su na razne predmete točkice ili crtice, kako su arheolozi kasnije saznali. Tada im je bilo jako teško živjeti, ali civilizacija se razvila prvo do rimskog brojevnog sustava, a potom i do decimalnog brojevnog sustava. Sada gotovo svi koriste arapske brojeve.

Sve o prirodnim brojevima

Prirodni brojevi su prosti brojevi koje koristimo u svakodnevnom životu za brojanje objekata kako bismo odredili količinu i redoslijed. Trenutno koristimo decimalni zapis za pisanje brojeva. Da bismo zapisali bilo koji broj, koristimo deset znamenki - od nula do devet.

Prirodni brojevi su oni brojevi koje koristimo kada brojimo predmete ili označavamo serijski broj nečega. Primjer: 5, 368, 99, 3684.

Brojevni niz naziva se prirodni brojevi, koji su poredani uzlaznim redoslijedom, t.j. od jedne do beskonačnosti. Ova linija počinje sa najmanji broj- 1, i ne postoji najveći prirodni broj, budući da je niz brojeva jednostavno beskonačan.

Općenito, nula se ne smatra prirodnim brojem, jer znači odsutnost nečega, a također nema broja objekata.

Arapski brojevni sustav je suvremeni sustav koje koristimo svaki dan. To je jedna od varijanti indijskog (decimala).

Ovaj brojevni sustav postao je moderan zbog broja 0, koji su izmislili Arapi. Prije toga nije ga bilo u indijskom sustavu.

ne-prirodni brojevi. Što je?

Prirodni brojevi ne uključuju negativne brojeve i necijele brojeve. Dakle, oni su - ne-prirodni brojevi

U nastavku su primjeri.

Neprirodni brojevi su:

Negativni brojevi, na primjer: -1, -5, -36.. i tako dalje.
Racionalni brojevi koji se izražavaju decimalama: 4,5, -67, 44,6.
U obliku jednostavnog razlomka: 1 / 2, 40 2 / 7, itd.

Iracionalni brojevi kao što su e = 2,71828, √2 = 1,41421 i slično.

Nadamo se da smo vam puno pomogli oko neprirodnih i prirodnih brojeva. Sada će vam biti lakše objasniti ovu temu svom djetetu, a on će je naučiti kao i veliki matematičari!

Matematika je nastala iz opće filozofije oko šestog stoljeća pr. e., i od tog trenutka započeo je njezin pobjednički pohod oko svijeta. Svaki stupanj razvoja unosio je nešto novo - elementarni račun se razvijao, pretvarao u diferencijalni i integralni račun, stoljećima se mijenjao, formule su postajale sve zbunjujuće, a došao je trenutak kada je „najviše složena matematika- iz njega su nestali svi brojevi. Ali što je bila osnova?

Početak vremena

Prirodni brojevi pojavili su se u rangu s prvim matematičke operacije. Nekad kralježnica, dvije kralježnice, tri kralježnice... Pojavile su se zahvaljujući indijskim znanstvenicima koji su zaključili prvi položaj

Riječ "pozicioniranost" znači da je mjesto svake znamenke u broju strogo definirano i da odgovara njegovoj kategoriji. Na primjer, brojevi 784 i 487 su isti brojevi, ali brojevi nisu ekvivalentni, jer prvi uključuje 7 stotina, dok drugi samo 4. Inovaciju Indijanaca preuzeli su Arapi, koji su brojke donijeli u oblik koji sada poznajemo.

U davna vremena brojevi su dobivali mistično značenje, Pitagora je vjerovao da je broj u osnovi stvaranja svijeta zajedno s glavnim elementima - vatrom, vodom, zemljom, zrakom. Ako sve promatramo samo s matematičke strane, što je onda prirodni broj? Polje prirodnih brojeva označava se kao N i predstavlja beskonačan niz brojeva koji su cijeli i pozitivni: 1, 2, 3, … + ∞. Nula je isključena. Uglavnom se koristi za brojanje predmeta i označavanje redoslijeda.

Što je u matematici? Peanovi aksiomi

Polje N je osnovno polje na koje se oslanja elementarna matematika. Tijekom vremena, polja cijelih brojeva, racionalna,

Rad talijanskog matematičara Giuseppea Peana omogućio je daljnje strukturiranje aritmetike, postigao njezinu formalnost i otvorio put daljnjim zaključcima koji su nadilazili polje N.

Što je prirodan broj, saznalo se ranije prostim jezikom, matematička definicija utemeljena na Peanovim aksiomima bit će razmatrana u nastavku.

Jedan se smatra prirodnim brojem.
Broj koji slijedi nakon prirodnog broja je prirodan broj.
Nema prirodnog broja prije jedan.
Ako broj b slijedi i broj c i broj d, tada je c=d.
Aksiom indukcije, koji pak pokazuje što je prirodni broj: ako je neka tvrdnja koja ovisi o parametru istinita za broj 1, onda pretpostavljamo da djeluje i za broj n iz polja prirodnih brojeva N. Tada tvrdnja vrijedi i za n =1 iz polja prirodnih brojeva N.

Osnovne operacije za područje prirodnih brojeva

Budući da je polje N postalo prvo za matematičke izračune, na njega se odnose i domene definicije i rasponi vrijednosti niza operacija u nastavku. Zatvoreni su i nisu. Glavna razlika je u tome što zatvorene operacije zajamčeno ostavljaju rezultat unutar skupa N, bez obzira o kojim brojevima se radi. Dovoljno je da su prirodni. Ishod preostalih brojčanih interakcija više nije tako jednoznačan i izravno ovisi o vrsti brojeva koji su uključeni u izraz, budući da može biti u suprotnosti s glavnom definicijom. Dakle, zatvorene operacije:

zbrajanje - x + y = z, gdje su x, y, z uključeni u polje N;
množenje - x * y = z, gdje su x, y, z uključeni u polje N;
eksponencijacija - x y , gdje su x, y uključeni u polje N.

Preostale operacije, čiji rezultat možda ne postoji u kontekstu definicije "što je prirodni broj", su sljedeće:

Svojstva brojeva koji pripadaju polju N

Sva daljnja matematička razmišljanja temeljit će se na sljedećim svojstvima, najtrivijalnijim, ali ne manje važnim.

Komutativno svojstvo zbrajanja je x + y = y + x, pri čemu su brojevi x, y uključeni u polje N. Ili dobro poznato "zbroj se ne mijenja od promjene mjesta članova".
Komutativno svojstvo množenja je x * y = y * x, pri čemu su brojevi x, y uključeni u polje N.
Asocijativno svojstvo zbrajanja je (x + y) + z = x + (y + z), pri čemu su x, y, z uključeni u polje N.
Asocijativno svojstvo množenja je (x * y) * z = x * (y * z), pri čemu su brojevi x, y, z uključeni u polje N.
svojstvo raspodjele - x (y + z) = x * y + x * z, pri čemu su brojevi x, y, z uključeni u polje N.

Pitagorina tablica

Jedan od prvih koraka u poznavanju cjelokupne strukture osnovne matematike od strane školaraca, nakon što su sami shvatili koji se brojevi nazivaju prirodnim, je Pitagorina tablica. Može se smatrati ne samo sa stajališta znanosti, već i kao vrijedan znanstveni spomenik.

Ova tablica množenja doživjela je niz promjena tijekom vremena: iz nje je uklonjena nula, a brojevi od 1 do 10 označavaju sami sebe, bez uzimanja u obzir redoslijeda (stotine, tisuće...). To je tablica u kojoj su naslovi redaka i stupaca brojevi, a sadržaj ćelija njihova presjeka jednak je njihovom umnošku.

U praksi poučavanja posljednjih desetljeća pojavila se potreba za pamćenjem Pitagorine tablice "po redu", odnosno prvo je išlo učenje napamet. Množenje s 1 je isključeno jer je rezultat bio 1 ili veći. U međuvremenu, u tablici golim okom možete vidjeti uzorak: umnožak brojeva raste za jedan korak, što je jednako naslovu retka. Dakle, drugi faktor nam pokazuje koliko puta trebamo uzeti prvi da bismo dobili željeni proizvod. Ovaj sustav za razliku od onog koji se prakticirao u srednjem vijeku: čak i shvaćajući što je prirodni broj i koliko je trivijalan, ljudi su uspjeli zakomplicirati svoje svakodnevno brojanje koristeći se sustavom koji se temelji na stepenu dvojke.

Podskup kao kolijevka matematike

Na ovaj trenutak polje prirodnih brojeva N smatra se samo jednim od podskupova kompleksnih brojeva, ali to ih ne čini manje vrijednim u znanosti. Prirodni broj je prvo što dijete uči proučavajući sebe i svijet oko sebe. Jedan prst, dva prsta ... Zahvaljujući njemu, osoba se formira logično mišljenje, kao i sposobnost utvrđivanja uzroka i zaključivanja posljedice, utirući put velikim otkrićima.

Najjednostavniji broj je prirodni broj. Koriste se u Svakidašnjica za brojanje predmeta, tj. izračunati njihov broj i redoslijed.

Što je prirodan broj: prirodni brojevi imenovati brojeve za koje se koriste brojeći stavke ili za označavanje serijskog broja bilo kojeg artikla od svih homogenih stavke.

Cijeli brojevisu brojevi koji počinju od jedan. Nastaju prirodno prilikom brojanja.Na primjer, 1,2,3,4,5... -prvi prirodni brojevi.

najmanji prirodni broj- jedan. Ne postoji najveći prirodni broj. Prilikom brojanja broja nula se ne koristi, pa je nula prirodan broj.

prirodni niz brojeva je niz svih prirodnih brojeva. Napiši prirodne brojeve:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

U prirodnim brojevima svaki je broj jedan više od prethodnog.

Koliko je brojeva u prirodnom nizu? Prirodni niz je beskonačan, ne postoji najveći prirodni broj.

Decimala jer 10 jedinica bilo koje kategorije tvore 1 jedinicu najvišeg reda. pozicioni tako kako vrijednost znamenke ovisi o njenom mjestu u broju, t.j. iz kategorije u kojoj je zabilježeno.

Klase prirodnih brojeva.

Bilo koji prirodni broj može se napisati pomoću 10 arapskih brojeva:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Za čitanje prirodnih brojeva, oni su podijeljeni, počevši s desne strane, u skupine od po 3 znamenke. 3 prvo brojevi s desne strane su klasa jedinica, sljedeća 3 su klasa tisuća, zatim klase milijuna, milijardi iitd. Svaka od znamenki klase naziva se svojimpražnjenje.

Usporedba prirodnih brojeva.

Od 2 prirodna broja manji je broj koji se poziva ranije u zbroju. na primjer, broj 7 manji 11 (napisano ovako:7 < 11 ). Kad jedan broj više od sekunde, napisano je ovako:386 > 99 .

Tablica znamenki i klasa brojeva.


Jedinica 1. razreda	1. znamenka jedinice 2. mjesto deset 3. rang stotine
2. klase tisuća	1. znamenkaste jedinice tisuća 2. znamenka deseci tisuća 3. rang stotine tisuća
3. razred milijuna	1. znamenka jedinica milijun 2. znamenka deseci milijuna 3. znamenka stotine milijuna
4. razred milijarde	1. znamenka jedinica milijardi 2. znamenka deseci milijardi 3. znamenka stotine milijardi

Odnose se brojevi od 5. razreda naviše velike brojke. Jedinice 5. klase - trilijuni, 6 razred - kvadrilijuni, 7. razred - kvintilijuni, 8. razred - sekstiljoni, 9. razred - eptilionima.

Osnovna svojstva prirodnih brojeva.

Komutativnost zbrajanja . a + b = b + a
Komutativnost množenja. ab=ba
Asocijativnost zbrajanja. (a + b) + c = a + (b + c)
Asocijativnost množenja.
Distributivnost množenja s obzirom na zbrajanje:

Radnje na prirodne brojeve.

4. Dijeljenje prirodnih brojeva je operacija inverzna množenju.

Ako je a b ∙ c \u003d a, onda

Formule dijeljenja:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(a∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(a∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Brojčani izrazi i brojevne jednakosti.

Zapis u kojem su brojevi povezani znakovima radnje je numerički izraz.

Na primjer, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Unosi gdje znak jednakosti spaja 2 numerička izraza je brojčane jednakosti. Jednakost ima lijevu i desnu stranu.

Redoslijed kojim se izvode aritmetičke operacije.

Zbrajanje i oduzimanje brojeva su operacije prvog stupnja, dok su množenje i dijeljenje operacije drugog stupnja.

Kada se brojčani izraz sastoji od radnji samo jednog stupnja, tada se one izvode uzastopno s lijeva na desno.

Kada se izrazi sastoje od radnji samo prvog i drugog stupnja, tada se radnje prvo izvode drugi stupanj, a zatim - radnje prvog stupnja.

Kada u izrazu postoje zagrade, najprije se izvode radnje u zagradama.

Na primjer, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Cijeli brojevi- brojevi koji se koriste za brojanje objekata . Bilo koji prirodni broj može se napisati pomoću desetice znamenke: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Takav zapis brojeva naziva se decimal.

Niz svih prirodnih brojeva naziva se prirodno jedno uz drugo .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Najviše mali prirodni broj je jedan (1). U prirodnom nizu svaki sljedeći broj je za 1 veći od prethodnog. prirodne serije beskrajna ne postoji najveći broj.

Značenje znamenke ovisi o njenom mjestu u zapisu broja. Na primjer, broj 4 znači: 4 jedinice ako stoji posljednje mjesto u unosu broja (na mjestu jedinica); 4 deset, ako je na posljednjem mjestu (na mjestu desetica); 4 stotine, ako je na trećem mjestu s kraja (u stotine mjesta).

Brojka 0 znači nedostatak jedinica ove kategorije u decimalnom zapisu broja. Služi i za označavanje broja " nula". Ovaj broj znači "nijedno". Rezultat 0:3 nogometna utakmica kaže da prva momčad protivniku nije zabila niti jedan pogodak.

Nula ne uključuju na prirodne brojeve. I doista, brojanje predmeta nikada ne počinje od nule.

Ako prirodni broj ima samo jednu znamenku – jedna znamenka, onda se zove nedvosmisleno. Oni. nedvosmislenoprirodni broj- prirodni broj čiji se zapis sastoji od jednog znaka – jedna znamenka. Na primjer, brojevi 1, 6, 8 su jednoznamenkasti.

dvoznamenkastaprirodni broj- prirodni broj, čiji se zapis sastoji od dva znaka - dvije znamenke.

Na primjer, brojevi 12, 47, 24, 99 su dvoznamenkasti.

Također, prema broju znakova u određenom broju, nazivi se daju drugim brojevima:

brojevi 326, 532, 893 - troznamenkasti;

brojevi 1126, 4268, 9999 - četveroznamenkasti itd.

Dvije znamenke, tri znamenke, četiri znamenke, pet znamenki, itd. pozivaju se brojevi višeznamenkasti brojevi .

Za čitanje višeznamenkastih brojeva dijele se, počevši s desne strane, u skupine od po tri znamenke (krajnja lijeva skupina može se sastojati od jedne ili dvije znamenke). Ove grupe se zovu razreda.

milijuna je tisuću tisuća (1000 tisuća), napisano je 1 milijun ili 1.000.000.

milijardu iznosi 1000 milijuna kuna. Bilježi ga 1 milijarda ili 1.000.000.000.

Prve tri znamenke s desne strane čine klasu jedinica, sljedeće tri - klasu tisuća, zatim slijede klase milijuna, milijardi itd. (Sl. 1).

Riža. 1. Klasa milijuna, klasa tisuća i klasa jedinica (s lijeva na desno)

Broj 15389000286 napisan je u mreži bitova (slika 2).