Što pokazuje eksponencijalna funkcija. Lekcija "Eksponencijalna funkcija, njena svojstva i graf

Hipermarket znanja >>Matematika >>Matematika 10. razred >>

Eksponencijalna funkcija, njegova svojstva i graf

Razmotrite izraz 2x i pronađite njegove vrijednosti za različite racionalne vrijednosti varijable x, na primjer, za x=2;

Općenito, bez obzira koju racionalnu vrijednost dali varijabli x, uvijek možemo izračunati odgovarajuću brojčanu vrijednost izraza 2x. Dakle, može se govoriti o eksponencijalu funkcije y=2 x definiran na skupu Q racionalni brojevi:

Razmotrimo neka svojstva ove funkcije.

Svojstvo 1. je rastuća funkcija. Dokaz provodimo u dvije faze.
Prvi korak. Dokažimo da ako je r pozitivan racionalni broj, onda je 2 r >1.
Moguća su dva slučaja: 1) r - prirodni broj, r = n; 2) obični nesvodivi frakcija,

Na lijevoj strani posljednje nejednakosti imamo , a na desnoj strani 1. Dakle, posljednja nejednakost se može prepisati kao

Dakle, u svakom slučaju vrijedi nejednakost 2 r > 1, kako se zahtijeva.

Druga faza. Neka su x 1 i x 2 brojevi, a x 1 i x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(razliku x 2 -x 1 označili smo slovom r).

Budući da je r pozitivan racionalni broj, onda je, prema onome što je dokazano u prvoj fazi, 2 r > 1, tj. 2 r -1 >0. Broj 2x" je također pozitivan, što znači da je umnožak 2 x-1 (2 G -1) također pozitivan. Time smo dokazali da je nejednakost 2 Xr -2x "\u003e 0.

Dakle, iz nejednakosti x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Svojstvo 2. ograničeno odozdo i neograničeno odozgo.
Ograničenost funkcije odozdo proizlazi iz nejednakosti 2 x > 0, koja vrijedi za sve vrijednosti x iz domene funkcije. Istodobno, bez obzira koji se pozitivni broj M uzeo, uvijek se može izabrati takav pokazatelj x da će biti ispunjena nejednakost 2 x > M - što karakterizira neograničenost funkcije odozgo. Navedimo neke primjere.

Svojstvo 3. nema ni minimalnu ni maksimalnu vrijednost.

Ono što ova funkcija nema najveća vrijednost, očito, budući da, kao što smo upravo vidjeli, nije omeđen odozgo. Ali odozdo je ograničen, zašto nema najmanju vrijednost?

Pretpostavimo da je 2r najmanja vrijednost funkcije (r je neki racionalni eksponent). Uzmi racionalni broj q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Sve je to dobro, kažete, ali zašto funkciju y-2 x razmatramo samo na skupu racionalnih brojeva, zašto je ne smatramo, kao i druge poznate funkcije, na cijelom brojevnom pravcu ili na nekom kontinuiranom intervalu od brojevnu liniju? Što nas sprječava? Razmislimo o situaciji.

Brojevna linija sadrži ne samo racionalne, već i iracionalne brojeve. Za prethodno proučavane funkcije to nam nije smetalo. Na primjer, jednako smo lako pronašli vrijednosti funkcije y = x 2 i za racionalne i za iracionalne vrijednosti x: bilo je dovoljno kvadrirati zadanu vrijednost x.

Ali s funkcijom y \u003d 2 x, situacija je složenija. Ako je argumentu x data racionalna vrijednost, tada se u principu može izračunati x (vratiti se na početak odlomka, gdje smo upravo to učinili). A ako je argumentu x dana iracionalna vrijednost? Kako, na primjer, izračunati? Ovo još ne znamo.
Matematičari su pronašli izlaz; ovako su razgovarali.

Poznato je da Razmotrimo niz racionalnih brojeva - decimalne aproksimacije broja prema nedostatku:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Jasno je da je 1,732 = 1,7320 i 1,732050 = 1,73205. Kako bismo izbjegli takva ponavljanja, odbacujemo one članove niza koji završavaju brojem 0.

Tada dobivamo rastući niz:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Sukladno tome, slijed se također povećava.

Svi članovi ovog niza su pozitivni brojevi manji od 22, tj. ovaj slijed je ograničen. Prema Weierstrassovom teoremu (vidi § 30), ako je niz rastući i ograničen, tada konvergira. Štoviše, iz § 30 znamo da ako niz konvergira, onda samo do jedne granice. Dogovoreno je da se ovo jedno ograničenje smatra vrijednošću brojčanog izraza. I nije važno što je vrlo teško pronaći čak i približnu vrijednost brojčanog izraza 2; važno je da se radi o određenom broju (uostalom, nismo se bojali reći da je to npr. korijen racionalne jednadžbe, korijen trigonometrijske jednadžbe, bez stvarnog razmišljanja o tome koji su točno brojevi:
Dakle, saznali smo koje značenje matematičari stavljaju u simbol 2 ^. Slično, može se odrediti što jest i općenito što je a a, gdje je a iracionalan broj, a a > 1.
Ali što kada je 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Sada možemo govoriti ne samo o potencijama s proizvoljnim racionalnim eksponentima, već i o potencijama s proizvoljnim realnim eksponentima. Dokazano je da stupnjevi s bilo kojim realnim eksponentima imaju sva uobičajena svojstva stupnjeva: kada se množe stupnjevi s istim bazama, eksponenti se zbrajaju, kada se dijele, oduzimaju se, kada se stepen diže na stepen, množe se itd. . Ali najvažnije je da sada možemo govoriti o funkciji y-ax definiranoj na skupu svih realnih brojeva.
Vratimo se na funkciju y \u003d 2 x, izgradimo njezin graf. Da bismo to učinili, sastavit ćemo tablicu vrijednosti funkcija \u200b\u200po \u003d 2 x:

Zabilježimo točke na koordinatnoj ravnini (slika 194), one ocrtavaju određenu liniju, nacrtamo je (sl. 195).

Svojstva funkcije y - 2 x:
1)
2) nije ni paran ni neparan; 248
3) povećava;

5) nema ni najveću ni najmanju vrijednost;
6) kontinuirano;
7)
8) konveksno prema dolje.

U kolegiju se daju strogi dokazi navedenih svojstava funkcije y-2 x viša matematika. Neka od ovih svojstava o kojima smo ranije raspravljali u ovom ili onom stupnju, neka od njih jasno su prikazana konstruiranim grafom (vidi sliku 195). Na primjer, odsutnost parnosti ili neparnosti funkcije geometrijski je povezana s nedostatkom simetrije grafa, odnosno oko y-osi ili oko ishodišta.

Svaka funkcija oblika y=a x, gdje je a >1, ima slična svojstva. Na sl. 196 u jednom koordinatnom sustavu konstruirani su grafovi funkcija y=2 x, y=3 x, y=5 x.

Sada razmotrimo funkciju, napravimo tablicu vrijednosti za nju:

Označimo točke na koordinatnoj ravnini (slika 197), one ocrtavaju određenu liniju, nacrtamo je (sl. 198).

Svojstva funkcije

1)
2) nije ni paran ni neparan;
3) smanjuje se;
4) nije ograničeno odozgo, ograničeno odozdo;
5) nema ni najveće ni najmanje vrijednosti;
6) kontinuirano;
7)
8) konveksno prema dolje.
Bilo koja funkcija oblika y \u003d a x, gdje je O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Napomena: grafički prikazi funkcija oni. y \u003d 2 x, simetrično oko y osi (slika 201). To je posljedica opće tvrdnje (vidi § 13): grafovi funkcija y = f(x) i y = f(-x) simetrični su oko y-osi. Slično, grafovi funkcija y \u003d 3 x i

Rezimirajući rečeno, dat ćemo definiciju eksponencijalne funkcije i istaknuti njezina najvažnija svojstva.

Definicija. Funkcija pogleda naziva se eksponencijalna funkcija.
Glavna svojstva eksponencijalne funkcije y \u003d a x

Graf funkcije y \u003d a x za a> 1 prikazan je na sl. 201, a za 0<а < 1 - на рис. 202.

Krivulja prikazana na sl. 201 ili 202 naziva se eksponent. Zapravo, matematičari samu eksponencijalnu funkciju obično nazivaju y = a x. Dakle, izraz "eksponent" koristi se u dva značenja: i za naziv eksponencijalne funkcije i za naziv grafa eksponencijalne funkcije. Obično je u značenju jasno radi li se o eksponencijalnoj funkciji ili njezinom grafu.

Obratite pažnju na geometrijsku značajku grafa eksponencijalne funkcije y = ax: os x je horizontalna asimptota grafa. Istina, ova se izjava obično pročišćava na sljedeći način.
Os x je horizontalna asimptota grafa funkcije

Drugim riječima

Prva važna napomena. Školarci često brkaju pojmove: funkcija moći, eksponencijalna funkcija. usporedi:

Ovo su primjeri funkcija moći;

su primjeri eksponencijalnih funkcija.

Općenito, y \u003d x r, gdje je r određeni broj, je funkcija stepena (argument x sadržan je u bazi stupnja);
y \u003d a", gdje je a određeni broj (pozitivan i različit od 1), eksponencijalna je funkcija (argument x je sadržan u eksponentu).

Napadajuća "egzotična" funkcija kao što je y = x" ne smatra se ni eksponencijalnom ni potencijskom (ponekad se naziva funkcija eksponencijalne snage).

Druga važna napomena. Obično se ne razmatra eksponencijalna funkcija s bazom a = 1 ili s bazom a koja zadovoljava nejednakost a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0i a Činjenica je da ako je a = 1, tada je za bilo koju vrijednost x istinita jednakost Ix = 1. Dakle, eksponencijalna funkcija y \u003d a "za \u003d 1" degenerira se "u konstantnu funkciju y \ u003d 1 - ovo nije zanimljivo. Ako je a = 0, onda 0x = 0 za bilo koju pozitivnu vrijednost x, tj. dobivamo funkciju y = 0 definiranu za x\u003e 0 - to također nije zanimljivo.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Prije nego što prijeđemo na rješavanje primjera, napominjemo da se eksponencijalna funkcija značajno razlikuje od svih funkcija koje ste do sada proučavali. Da biste temeljito proučili novi objekt, morate ga razmotriti iz različitih kutova, u različitim situacijama, tako da će biti mnogo primjera.
Primjer 1

Riješenje, a) Nakon što smo nacrtali grafove funkcija y = 2 x i y = 1 u jednom koordinatnom sustavu, uočavamo (slika 203) da imaju jednu zajedničku točku (0; 1). Dakle, jednadžba 2x = 1 ima jedan korijen x = 0.

Dakle, iz jednadžbe 2x = 2° dobili smo x = 0.

b) Nakon što smo konstruirali grafove funkcija y = 2 x i y = 4 u jednom koordinatnom sustavu, uočavamo (slika 203) da imaju jednu zajedničku točku (2; 4). Dakle, jednadžba 2x = 4 ima jedan korijen x = 2.

Dakle, iz jednadžbe 2 x \u003d 2 2 dobili smo x \u003d 2.

c) i d) Na temelju istih razmatranja zaključujemo da jednadžba 2 x \u003d 8 ima jedan korijen, a da bismo ga pronašli, ne mogu se graditi grafovi odgovarajućih funkcija;

jasno je da je x=3, budući da je 2 3 =8. Slično, nalazimo jedini korijen jednadžbe

Dakle, iz jednadžbe 2x = 2 3 dobili smo x = 3, a iz jednadžbe 2 x = 2 x dobili smo x = -4.
e) Graf funkcije y \u003d 2 x nalazi se iznad grafa funkcije y = 1 za x\u003e 0 - to se dobro čita na Sl. 203. Dakle, rješenje nejednadžbe 2x > 1 jest interval
f) Graf funkcije y \u003d 2 x nalazi se ispod grafa funkcije y = 4 na x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Vjerojatno ste primijetili da je osnova svih zaključaka donesenih prilikom rješavanja primjera 1 svojstvo monotonosti (povećanje) funkcije y = 2 x. Slično razmišljanje omogućuje nam da provjerimo valjanost sljedeća dva teorema.

Riješenje. Možete se ponašati ovako: izgradite graf funkcije y-3 x, zatim ga rastegnite od x-osi s faktorom 3, a zatim podignite rezultirajući graf prema gore za 2 jedinice skale. Ali prikladnije je koristiti činjenicu da je 3- 3* \u003d 3 * + 1, i, stoga, nacrtati funkciju y = 3 x * 1 + 2.

Prijeđimo, kao što smo to više puta radili u takvim slučajevima, na pomoćni koordinatni sustav s ishodištem u točki (-1; 2) - točkaste linije x = - 1 i 1x = 2 na sl. 207. "Priložimo" funkciju y=3* na novi sustav koordinate. Da bismo to učinili, odabiremo kontrolne točke za funkciju , ali ćemo ih izgraditi ne u starom, već u novom koordinatnom sustavu (ove točke označene su na slici 207). Zatim ćemo konstruirati eksponent po točkama - to će biti traženi graf (vidi sliku 207).
Da bismo pronašli najveću i najmanju vrijednost dane funkcije na segmentu [-2, 2], koristimo se činjenicom da se data funkcija povećava, pa stoga uzima svoju najmanju, odnosno najveću vrijednost na lijevoj i desnim krajevima segmenta.
Tako:

Primjer 4 Riješite jednadžbu i nejednadžbe:

Riješenje, a) Konstruirajmo grafove funkcija y=5* i y=6-x u jednom koordinatnom sustavu (slika 208). Oni se sijeku u jednoj točki; sudeći po crtežu, to je točka (1; 5). Provjera pokazuje da zapravo točka (1; 5) zadovoljava i jednadžbu y = 5* i jednadžbu y=6x. Apscisa ove točke služi kao jedini korijen za zadana jednadžba.

Dakle, jednadžba 5 x = 6-x ima jedan korijen x = 1.

b) i c) Eksponent y-5x leži iznad ravne crte y=6-x, ako je x>1, - to se jasno vidi na sl. 208. Dakle, rješenje nejednadžbe 5*>6-x može se zapisati na sljedeći način: x>1. I rješenje nejednadžbe 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Odgovor: a) x = 1; b)x>1; c)x<1.

Primjer 5 Zadana funkcija Dokaži to
Riješenje. Po uvjetu Imamo.

Rješenje većine matematičkih problema nekako je povezano s transformacijom brojčanih, algebarskih ili funkcionalnih izraza. To se posebno odnosi na rješenje. U varijantama USE iz matematike, ova vrsta zadatka uključuje, posebno, zadatak C3. Učenje rješavanja C3 zadataka važno je ne samo za uspješno polaganje ispita, već i iz razloga što će vam ta vještina dobro doći prilikom studiranja matematičkog kolegija u visokom obrazovanju.

Izvodeći zadatke C3, morate riješiti različite vrste jednadžbi i nejednadžbi. Među njima su racionalni, iracionalni, eksponencijalni, logaritamski, trigonometrijski, koji sadrže module (apsolutne vrijednosti), kao i kombinirani. Ovaj članak govori o glavnim vrstama eksponencijalnih jednadžbi i nejednadžbi, kao io različitim metodama za njihovo rješavanje. O rješavanju drugih vrsta jednadžbi i nejednakosti pročitajte u naslovu "" u člancima posvećenim metodama rješavanja C3 zadataka iz USE varijanti u matematici.

Prije nego što pređemo na analizu specifičnih eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe, kao nastavnik matematike, predlažem vam da nadogradite nešto od teoretskog materijala koji će nam trebati.

Eksponencijalna funkcija

Što je eksponencijalna funkcija?

Funkcija pregleda y = a x, gdje a> 0 i a≠ 1, pozvan eksponencijalna funkcija.

Glavni svojstva eksponencijalne funkcije y = a x:

Graf eksponencijalne funkcije

Graf eksponencijalne funkcije je izlagač:

Grafovi eksponencijalnih funkcija (eksponenti)

Rješenje eksponencijalnih jednadžbi

indikativno nazivaju se jednadžbe u kojima se nepoznata varijabla nalazi samo u eksponentima bilo koje potencije.

Za rješenja eksponencijalne jednadžbe morate znati i znati koristiti sljedeći jednostavan teorem:

Teorem 1. eksponencijalna jednadžba a f(x) = a g(x) (gdje a > 0, a≠ 1) je ekvivalentna jednadžbi f(x) = g(x).

Osim toga, korisno je zapamtiti osnovne formule i radnje sa stupnjevima:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Primjer 1 Riješite jednadžbu:

Riješenje: koristite gornje formule i zamjenu:

Jednadžba tada postaje:

Primljen diskriminant kvadratna jednadžba pozitivan:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

To znači da ova jednadžba ima dva korijena. Nalazimo ih:

Vraćajući se na zamjenu, dobivamo:

Druga jednadžba nema korijen, budući da je eksponencijalna funkcija strogo pozitivna u cijeloj domeni definicije. Riješimo drugu:

Uzimajući u obzir ono što je rečeno u teoremu 1, prelazimo na ekvivalentnu jednadžbu: x= 3. Ovo će biti odgovor na zadatak.

Odgovor: x = 3.

Primjer 2 Riješite jednadžbu:

Riješenje: jednadžba nema ograničenja na područje dopuštenih vrijednosti, budući da radikalni izraz ima smisla za bilo koju vrijednost x(eksponencijalna funkcija y = 9 4 -x pozitivan i nije jednak nuli).

Jednadžbinu rješavamo ekvivalentnim transformacijama koristeći pravila množenja i dijeljenja potencija:

Posljednji prijelaz izveden je u skladu s teoremom 1.

Odgovor:x= 6.

Primjer 3 Riješite jednadžbu:

Riješenje: obje strane izvorne jednadžbe mogu se podijeliti s 0,2 x. Ovaj prijelaz bit će ekvivalentan, budući da je ovaj izraz veći od nule za bilo koju vrijednost x(eksponencijalna funkcija je strogo pozitivna na svojoj domeni). Tada jednadžba poprima oblik:

Odgovor: x = 0.

Primjer 4 Riješite jednadžbu:

Riješenje: pojednostavljujemo jednadžbu na elementarnu ekvivalentnim transformacijama koristeći pravila dijeljenja i množenja potencija navedenih na početku članka:

Dijeljenje obje strane jednadžbe s 4 x, kao u prethodnom primjeru, je ekvivalentna transformacija, budući da ovaj izraz nije jednak nuli za bilo koju vrijednost x.

Odgovor: x = 0.

Primjer 5 Riješite jednadžbu:

Riješenje: funkcija y = 3x, koji stoji na lijevoj strani jednadžbe, raste. Funkcija y = —x-2/3, koji stoji na desnoj strani jednadžbe, opada. To znači da ako se grafovi ovih funkcija sijeku, onda najviše u jednoj točki. U ovom slučaju, lako je pogoditi da se grafovi sijeku u točki x= -1. Neće biti drugih korijena.

Odgovor: x = -1.

Primjer 6 Riješite jednadžbu:

Riješenje: pojednostavljujemo jednadžbu ekvivalentnim transformacijama, imajući posvuda na umu da je eksponencijalna funkcija strogo veća od nule za bilo koju vrijednost x i korištenjem pravila za izračun proizvoda i djelomičnih snaga koja su navedena na početku članka:

Odgovor: x = 2.

Rješavanje eksponencijalnih nejednakosti

indikativno nazivaju nejednakosti u kojima je nepoznata varijabla sadržana samo u eksponentima nekih potencija.

Za rješenja eksponencijalne nejednakosti potrebno je poznavanje sljedećeg teorema:

Teorem 2. Ako a> 1, onda nejednakost a f(x) > a g(x) je ekvivalentna nejednakosti istog značenja: f(x) > g(x). Ako je 0< a < 1, то eksponencijalna nejednakost a f(x) > a g(x) je ekvivalentna nejednakosti suprotnog značenja: f(x) < g(x).

Primjer 7 Riješite nejednakost:

Riješenje: predstavljaju izvornu nejednakost u obliku:

Podijelite obje strane ove nejednakosti sa 3 2 x, i (zbog pozitivnosti funkcije y= 3 2x) predznak nejednakosti se neće promijeniti:

Upotrijebimo zamjenu:

Tada nejednakost poprima oblik:

Dakle, rješenje nejednakosti je interval:

prelazeći na obrnutu zamjenu, dobivamo:

Lijeva nejednakost, zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije, ispunjava se automatski. Iskorištavati poznato svojstvo logaritma, prelazimo na ekvivalentnu nejednakost:

Budući da je baza stupnja broj veći od jedan, ekvivalent (prema teoremu 2) bit će prijelaz na sljedeću nejednakost:

Tako da konačno dobivamo odgovor:

Primjer 8 Riješite nejednakost:

Riješenje: koristeći svojstva množenja i dijeljenja potencija, prepisujemo nejednakost u obliku:

Hajde da predstavimo novu varijablu:

Ovom zamjenom nejednakost ima oblik:

Pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka sa 7, dobićemo sljedeću ekvivalentnu nejednakost:

Dakle, nejednakost je zadovoljena sljedeće vrijednosti varijabla t:

Zatim, vraćajući se na zamjenu, dobivamo:

Budući da je baza stupnja ovdje veća od jedan, ekvivalentno je (prema teoremu 2) prijeći na nejednakost:

Napokon dobivamo odgovor:

Primjer 9 Riješite nejednakost:

Riješenje:

Obje strane nejednakosti dijelimo izrazom:

Uvijek je veći od nule (jer je eksponencijalna funkcija pozitivna), pa predznak nejednakosti nije potrebno mijenjati. dobivamo:

t , koji su u intervalu:

Prijelazeći na obrnutu zamjenu, nalazimo da se izvorna nejednakost dijeli u dva slučaja:

Prva nejednadžba nema rješenja zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije. Riješimo drugu:

Primjer 10 Riješite nejednakost:

Riješenje:

Grane parabole y = 2x+2-x 2 usmjereni su prema dolje, stoga je odozgo omeđen vrijednošću koju doseže na svom vrhu:

Grane parabole y = x 2 -2x+2, koji se nalazi u indikatoru, usmjereni su prema gore, što znači da je ograničen odozdo vrijednošću koju doseže na svom vrhu:

Istodobno, ispada da je funkcija ograničena odozdo y = 3 x 2 -2x+2 na desnoj strani jednadžbe. Svoju najmanju vrijednost postiže u istoj točki kao i parabola u indeksu, a ta je vrijednost jednaka 3 1 = 3. Dakle, izvorna nejednakost može biti istinita samo ako funkcija slijeva i funkcija s desne strane uzimaju vrijednost , jednaka 3 (presjek raspona ovih funkcija je samo ovaj broj). Ovaj uvjet je zadovoljen u jednoj točki x = 1.

Odgovor: x= 1.

Naučiti kako riješiti eksponencijalne jednadžbe i nejednakosti, morate se stalno uvježbavati u njihovom rješenju. U ovoj teškoj stvari, razno nastavna sredstva, problemske knjige iz osnovne matematike, zbirke natjecateljskih zadataka, nastava matematike u školi, kao i pojedinačne sesije sa profesionalnim mentorom. Iskreno vam želim uspjeh u pripremama i briljantne rezultate na ispitu.

Sergej Valerijevič

P.S. Dragi gosti! Molimo vas da u komentarima ne pišete zahtjeve za rješavanje vaših jednadžbi. Nažalost, za ovo uopće nemam vremena. Takve će poruke biti izbrisane. Molimo pročitajte članak. Možda ćete u njemu pronaći odgovore na pitanja koja vam nisu dopustila da sami riješite svoj zadatak.

Eksponencijalna funkcija

Funkcija oblika y = a x , gdje je a veći od nule, a a nije jednako jedan naziva se eksponencijalna funkcija. Glavna svojstva eksponencijalne funkcije:

1. Područje eksponencijalne funkcije bit će skup realnih brojeva.

2. Raspon eksponencijalne funkcije bit će skup svih pozitivnih realnih brojeva. Ponekad se ovaj skup označava kao R+ radi kratkoće.

3. Ako je u eksponencijalnoj funkciji baza a veća od jedan, tada će funkcija rasti u cijeloj domeni definicije. Ako eksponencijalna funkcija za bazu a zadovoljava sljedeći uvjet 0

4. Vrijedit će sva osnovna svojstva stupnjeva. Glavna svojstva stupnjeva predstavljena su sljedećim jednakostima:

a x *a y = a (x+y) ;

(a x )/(a y ) = a (x-y) ;

(a*b) x = (a x )*(a y );

(a/b) x = a x /b x ;

(a x ) y = a (x*y) .

Ove će jednakosti vrijediti za sve realne vrijednosti x i y.

5. Graf eksponencijalne funkcije uvijek prolazi točkom s koordinatama (0;1)

6. Ovisno o tome povećava li se ili smanjuje eksponencijalna funkcija, njen graf će imati jednu od dvije vrste.

Sljedeća slika prikazuje graf rastuće eksponencijalne funkcije: a>0.

Sljedeća slika je graf opadajuće eksponencijalne funkcije: 0

I graf rastuće eksponencijalne funkcije i graf opadajuće eksponencijalne funkcije, prema svojstvu opisanom u petom odlomku, prolaze kroz točku (0; 1).

7. Eksponencijalna funkcija nema točaka ekstrema, odnosno, nema točaka minimuma i maksimuma funkcije. Ako razmotrimo funkciju na bilo kojem određenom segmentu, tada će funkcija uzeti minimalnu i maksimalnu vrijednost ​​​na krajevima ovog intervala.

8. Funkcija nije parna ili neparna. Eksponencijalna funkcija je funkcija opći pogled. To se može vidjeti i iz grafikona, niti jedan od njih nije simetričan ni oko osi Oy ni oko ishodišta.

Logaritam

Logaritmi su oduvijek smatrani teškom temom u školskom kolegiju matematike. Postoji mnogo različitih definicija logaritma, ali iz nekog razloga većina udžbenika koristi najsloženiju i najnesretniju od njih.

Logaritam ćemo definirati jednostavno i jasno. Za to napravimo tablicu:

Dakle, imamo moći dvojke. Ako uzmete broj iz donjeg retka, tada možete lako pronaći potenciju na koju morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrti stepen. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šesti stepen. To se vidi iz tablice.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

Definicija

Logaritam baza a iz argumenta x je snaga do koje se broj mora povisiti a da dobijem broj x.

Oznaka

log a x = b
gdje je a baza, x je argument, b Što je točno logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Može i logirati 2 64 = 6, jer je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja na zadanu bazu naziva selogaritam . Pa dodajmo novi red u našu tablicu:

Nažalost, ne razmatraju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati neograničeno i nikada se ne ponavljaju. Ako se ispostavi da je logaritam iracionalan, bolje je ostaviti ga ovako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (bazom i argumentom). U početku mnogi ljudi brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Izbjeći nesretni nesporazumi samo pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtite: logaritam je potencija , na koji trebate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na snagu - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Ovo divno pravilo govorim svojim učenicima već na prvom satu - i nema zabune.

Shvatili smo definiciju - ostaje naučiti kako brojati logaritme, t.j. riješite se znaka "dnevnik". Za početak napominjemo da Iz definicije proizlaze dvije stvari. važne činjenice:

Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja racionalni pokazatelj, na što se svodi definicija logaritma.

Baza mora biti različita od jedinice, budući da je jedinica za bilo koju snagu još uvijek jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje “na koju snagu se treba dignuti da bi se dobila dva”. Ne postoji takva diploma!

Takva ograničenja pozvao valjani raspon(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Primijeti da nema ograničenja u broju b (vrijednost logaritma) se ne preklapa. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1.

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema već su uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada logaritamske jednadžbe i nejednakosti dođu u igru, zahtjevi DHS-a postat će obvezni. Doista, u osnovi i argumentu mogu biti vrlo jake konstrukcije koje nužno ne odgovaraju gornjim ograničenjima.

Sada uzeti u obzir opće shema za izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

Pošaljite zakladu a i argument x kao stepen s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimalnih razlomaka;

Odlučite se za varijablu b jednadžba: x = a b ;

Primljeni broj b će biti odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan je vrlo relevantan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Slično s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će višestruko manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira konkretnim primjerima:

Izračunaj logaritam: log 5 25

Predstavimo bazu i argument kao stepen petice: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Dobio odgovor: 2.

Izračunaj logaritam:

Predstavimo bazu i argument kao potenciju tri: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

Napravimo i riješimo jednadžbu:

Dobio odgovor: -4.

−4

Izračunaj logaritam: log 4 64

Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Dobio odgovor: 3.

Izračunaj logaritam: log 16 1

Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Dobio odgovor: 0.

Izračunaj logaritam: log 7 14

Osnovu i argument predstavimo kao stepen od sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen od sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;

Iz prethodnog stavka proizlazi da se logaritam ne razmatra;

Odgovor je bez promjene: dnevnik 7 14.

dnevnik 7 14

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako se uvjeriti da broj nije točan stepen drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga razložite na osnovne faktore. Ako postoje barem dva različita faktora u ekspanziji, broj nije točna snaga.

Saznaj jesu li točne potencije broja: 8; 48; 81; 35; četrnaest.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije točan stepen jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 5 - opet nije točan stupanj;
14 \u003d 7 2 - opet nije točan stupanj;

8, 81 - točan stupanj; 48, 35, 14 - br.

Također imajte na umu da su sami prosti brojevi uvijek točni potenci sami za sebe.

Decimalni logaritam

Neki su logaritmi toliko česti da imaju poseban naziv i oznaku.

Definicija

Decimalni logaritam iz argumenta x je logaritam bazi 10, tj. snaga na koju trebate podići broj 10 da biste dobili broj x.

Oznaka

LG x

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; LG 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput “Pronađi lg 0,01”, znajte da ovo nije tipkarska pogreška. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju notaciju. U izvjesnom smislu, to je čak i važnije od decimalnog. Riječ je o o prirodnom logaritmu.

Definicija

prirodni logaritam iz argumenta x je osnovni logaritam e , tj. snaga do koje se broj mora podići e da dobijem broj x.

Oznaka

u x

Mnogi će se pitati: koji je broj e? Ovo je iracionalan broj točna vrijednost nemoguće pronaći i zabilježiti. Evo samo prvih brojeva:
e = 2,718281828459...

Nećemo se upuštati u to što je to brojka i zašto je potrebna. Samo zapamtite da e - baza prirodni logaritam:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; log e 2 = 2; U 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se zbrajati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. No, budući da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovnim svojstvima.

Ta pravila se moraju znati – bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: log a x i log a y . Zatim se mogu zbrajati i oduzimati i:

zapisnik a x +log a y = log a ( x · y );

zapisnik a x −log a y = log a ( x : y ).

Tako, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, ​​a razlika je logaritam kvocijenta. Bilješka: ključni trenutak ovdje su iste baze. Ako su baze različite, ova pravila ne funkcioniraju!

Ove formule pomoći će vam izračunati logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju " "). Pogledajte primjere - i pogledajte:

Pronađite vrijednost izraza: log 6 4 + log 6 9.

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Pronađite vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Pronađite vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Na temelju ove činjenice, mnogi ispitni radovi. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - praktički bez promjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada ćemo malo zakomplicirati zadatak. Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Zatim eksponent ovog stupnja može se izvaditi iz predznaka logaritma u sljedeća pravila:

Lako je to vidjeti posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0 u sam logaritam možete unijeti brojeve ispred predznaka logaritma. To je ono što se najčešće traži.

Pronađite vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Cijelim putem Posljednji trenutak radimo samo s nazivnikom. Osnovu i argument logaritma koji tamo stoji predstavili su u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri kata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojnik i nazivnik imaju isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti na brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima za zbrajanje i oduzimanje logaritma, posebno sam naglasio da rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teorema:

Teorema

Neka logaritam logira a x . Zatim za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1, jednakost je istinita:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali je u ovom slučaju cijeli izraz „obrnut“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule rijetko se nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je ocijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim preseljenjem u novi temelj. Razmotrimo nekoliko ovih:

Pronađite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim odgonetnuli logaritme.

Pronađite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su točni potenci. Zapišimo to i riješimo se pokazatelja:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na zadanu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent argumenta. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:osnovni logaritamski identitet.

Doista, što će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stupanj da broj b u ovom stupnju daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Još jednom pažljivo pročitajte ovaj odlomak – mnogi ljudi na njemu “vise”.

Kao i nove formule za pretvorbu baze, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak

Pronađite vrijednost izraza:

Riješenje

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa ista baza, dobivamo:

200

Ako netko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak s ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.

log a a = 1 je logaritamska jedinica. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam na bilo koju bazu a od samog ovog temelja jednako jednom.

log a 1 = 0 je logaritamska nula. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan - logaritam je nula! jer a 0 = 1 izravna je posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi!

Pronađite vrijednost izraza za različite racionalne vrijednosti varijable x=2; 0; -3; -

Napomena, bez obzira koji broj zamijenimo umjesto varijable x, uvijek možete pronaći vrijednost ovog izraza. Dakle, razmatramo eksponencijalnu funkciju (y jednako tri na x potenciju), definiranu na skupu racionalnih brojeva: .

Napravimo graf ove funkcije tako što ćemo napraviti tablicu njezinih vrijednosti.

Nacrtajmo glatku liniju koja prolazi kroz ove točke (slika 1)

Koristeći graf ove funkcije, razmotrite njena svojstva:

3. Povećava se na cijelom području definicije.

1. rasponu od nule do plus beskonačnosti.

8. Funkcija je konveksna prema dolje.

Ako se u jednom koordinatnom sustavu grade grafovi funkcija; y=(y je jednako dva na x potenciju, y je jednako pet na x potenciju, y je jednako sedam na x potenciju), možete vidjeti da imaju ista svojstva kao y=(y je jednako tri na x potenciju) ( Slika .2), to jest, sve funkcije oblika y = (y je jednako a na stepen x, s većim od jedan) imat će takva svojstva

Nacrtajmo funkciju:

1. Sastavljanje tablice njegovih vrijednosti.

Dobivene točke označavamo na koordinatnoj ravnini.

Nacrtajmo glatku liniju koja prolazi kroz ove točke (slika 3).

Koristeći graf ove funkcije, ukazujemo na njena svojstva:

1. Područje definicije je skup svih realnih brojeva.

2. Nije ni paran ni neparan.

3. Opada u cijeloj domeni definicije.

4. Nema ni najveću ni najmanju vrijednost.

5. Ograničeno odozdo, ali ne i odozgo.

6. Kontinuirano u cijeloj domeni definicije.

7. raspon vrijednosti od nule do plus beskonačnosti.

8. Funkcija je konveksna prema dolje.

Slično, ako se u jednom koordinatnom sustavu grade grafovi funkcija; y=(y je jednaka jednoj sekundi x potenciji, y je jednako jednoj petini x potenciji, y je jednako jednoj sedmici x potenciji), možete vidjeti da imaju ista svojstva kao y=(y je jednaka jednoj trećini snaga x). x) (slika 4), to jest, sve funkcije oblika y \u003d (y je jednaka jedinici podijeljenoj s a na stepen x, s većim od nule, ali manjim od jedan) imaju takva svojstva

Konstruirajmo grafove funkcija u jednom koordinatnom sustavu

to znači da će grafovi funkcija y \u003d y \u003d (y je jednak a na potenciju x, a y je jednak jedinici podijeljen s a na potenciju x) također biti simetrični za istu vrijednost a .

Sažimamo ono što je rečeno dajući definiciju eksponencijalne funkcije i naznačavajući njena glavna svojstva:

Definicija: Funkcija oblika y \u003d, gdje je (y jednak a na stepen x, gdje je a pozitivan i različit od jedan), naziva se eksponencijalna funkcija.

Potrebno je zapamtiti razlike između eksponencijalne funkcije y= i funkcije stepena y=, a=2,3,4,…. i slušno i vizualno. Eksponencijalna funkcija x je diploma, i funkcija snage x je osnova.

Primjer 1: Riješite jednadžbu (tri na stepen x jednako je devet)

(y je jednako tri na stepen od x i y je jednako devet) sl.7

Imajte na umu da imaju jednu zajedničku točku M (2; 9) (em s koordinatama dva; devet), što znači da će apscisa točke biti korijen ove jednadžbe. To jest, jednadžba ima jedan korijen x = 2.

Primjer 2: Riješite jednadžbu

U jednom koordinatnom sustavu ćemo konstruirati dva grafa funkcije y = (y je jednak pet na stepen x, a y je jednak jednoj dvadeset petoj) Sl.8. Grafovi se sijeku u jednoj točki T (-2; (te s koordinatama minus dva; jedan dvadeset i peti). Dakle, korijen jednadžbe je x \u003d -2 (broj minus dva).

Primjer 3: Riješite nejednakost

U jednom koordinatnom sustavu konstruiramo dva grafikona funkcije y \u003d

(y je jednako tri na stepen od x, a y je jednako dvadeset sedam).

Sl.9 Graf funkcije nalazi se iznad grafa funkcije y=kada

x Prema tome, rješenje nejednadžbe je interval (od minus beskonačnosti do tri)

Primjer 4: Riješite nejednakost

U jednom koordinatnom sustavu ćemo konstruirati dva grafikona funkcije y \u003d (y je jednak jednoj četvrtini na stepen x, a y je jednak šesnaest). (slika 10). Grafovi se sijeku u jednoj točki K (-2;16). To znači da je rješenje nejednadžbe interval (-2; (od minus dva do plus beskonačno), jer se graf funkcije y \u003d nalazi ispod grafa funkcije na x

Naše razmišljanje nam omogućuje da provjerimo valjanost sljedećih teorema:

Terem 1: Ako je istinito ako i samo ako je m=n.

Teorem 2: Ako je istinit ako i samo ako, onda je nejednakost istinita ako i samo ako (slika *)

Teorem 4: Ako je istinit ako i samo ako (Sl.**), nejednakost je istinita ako i samo ako Teorem 3: Ako je istinit ako i samo ako je m=n.

Primjer 5: Nacrtajte funkciju y=

Funkciju modificiramo primjenom svojstva stupnja y=

Hajdemo graditi dodatni sustav koordinate i u novom koordinatnom sustavu ćemo konstruirati graf funkcije y \u003d (y je jednak dva na stepen x) Sl.11.

Primjer 6: Riješite jednadžbu

U jednom koordinatnom sustavu konstruiramo dva grafikona funkcije y \u003d

(Y je jednako sedam na stepen x i Y je jednako osam minus x) Sl.12.

Grafovi se sijeku u jednoj točki E (1; (e s koordinatama jedan; sedam). Dakle, korijen jednadžbe je x = 1 (x jednako jedan).

Primjer 7: Riješite nejednakost

U jednom koordinatnom sustavu konstruiramo dva grafikona funkcije y \u003d

(Y je jednako jednoj četvrtini na stepen x, a Y je jednako x plus pet). Graf funkcije y \u003d nalazi se ispod grafa funkcije y = x + 5 at, rješenje nejednadžbe je interval x (od minus jedan do plus beskonačno).