Koja od funkcija je uzorna. Eksponencijalna funkcija, njena svojstva i graf - Hipermarket znanja

EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMIČKE FUNKCIJE VIII

§ 179 Osnovna svojstva eksponencijalne funkcije

U ovom ćemo odjeljku proučavati glavna svojstva eksponencijalne funkcije

y = a x (1)

Podsjetimo da pod a u formuli (1) mislimo na bilo koji fiksni pozitivni broj osim 1.

Svojstvo 1. Područje eksponencijalne funkcije je skup svih realnih brojeva.

Doista, za pozitivu a izraz a x definiran za bilo koji realni broj x .

Svojstvo 2. Eksponencijalna funkcija uzima samo pozitivne vrijednosti.

Doista, ako x > 0, dakle, kao što je dokazano u § 176,

a x > 0.

Ako x <. 0, то

a x =

gdje - x već veći od nule. Tako a - x > 0. Ali onda

a x = > 0.

Konačno, kod x = 0

a x = 1.

2. svojstvo eksponencijalne funkcije ima jednostavnu grafičku interpretaciju. Leži u činjenici da se graf ove funkcije (vidi slike 246 i 247) nalazi potpuno iznad x-osi.

Svojstvo 3. Ako je a a >1, zatim kod x > 0 a x > 1, i na x < 0 a x < 1. Ako a < 1, тo, naprotiv, x > 0 a x < 1, i na x < 0 a x > 1.

Ovo svojstvo eksponencijalne funkcije također omogućuje jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Na a > 1 (sl. 246) krivulje y = a x koji se nalazi iznad linije na = 1 at x > 0 i ispod ravne linije na = 1 at x < 0.

Ako a < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x nalazi ispod crte na = 1 at x > 0 i iznad ove prave crte na x < 0.

Dajemo rigorozan dokaz 3. svojstva. Neka bude a > 1 i x je proizvoljan pozitivan broj. Pokažimo to

a x > 1.

Ako broj x racionalno ( x = m / n ), dakle a x = a m / n = n √a m .

Ukoliko a > 1, dakle a m > 1, ali korijen broja većeg od jedan očito je također veći od 1.

Ako je a x iracionalni, tada postoje pozitivni racionalni brojevi X" i X" , koji služe kao decimalne aproksimacije broja x :

X"< х < х" .

Ali onda, prema definiciji stupnja c iracionalni pokazatelj

a x" < a x < a x"" .

Kao što je gore prikazano, broj a x" više od jednog. Dakle, broj a x , više od a x" , također mora biti veći od 1,

Dakle, pokazali smo to a >1 i proizvoljno pozitivno x

a x > 1.

Ako je broj x bio negativan, onda bismo imali

a x =

gdje je broj x bilo bi pozitivno. Tako a - x > 1. Stoga,

a x = < 1.

Dakle, kod a > 1 i proizvoljno negativan x

a x < 1.

Slučaj kada je 0< a < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Svojstvo 4. Ako je x = 0, tada bez obzira na a a x =1.

To proizlazi iz definicije stupnja nula; nulta snaga bilo kojeg broja osim nule jednaka je 1. Grafički se ovo svojstvo izražava činjenicom da za bilo koji a zavoj na = a x (vidi sl. 246 i 247) prelazi os na u točki s ordinatom 1.

Svojstvo 5. Na a >1 eksponencijalna funkcija = a x monotono raste, a za a < 1 - monotono opadajući.

Ovo svojstvo također omogućuje jednostavnu geometrijsku interpretaciju.

Na a > 1 (slika 246) krivulja na = a x s rastom x diže se sve više i više, i a < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Dajemo rigorozan dokaz 5. svojstva.

Neka bude a > 1 i x 2 > x jedan . Pokažimo to

a x 2 > a x 1

Ukoliko x 2 > x 1., dakle x 2 = x 1 + d , gdje d je neki pozitivan broj. Tako

a x 2 - a x 1 = a x 1 + d - a x 1 = a x 1 (a d - 1)

Prema 2. svojstvu eksponencijalne funkcije a x 1 > 0. Budući da d > 0, zatim prema 3. svojstvu eksponencijalne funkcije a d > 1. Oba čimbenika u proizvodu a x 1 (a d - 1) su pozitivni, stoga je ovaj proizvod sam po sebi pozitivan. Sredstva, a x 2 - a x 1 > 0, ili a x 2 > a x 1 , što je trebalo dokazati.

Dakle, kod a > 1 funkcija na = a x monotono raste. Slično, dokazano je da a < 1 функция na = a x monotono opada.

Posljedica. Ako su dva stepena istog pozitivnog broja različitog od 1 jednaka, tada su im eksponenti jednaki.

Drugim riječima, ako

a b = a c (a > 0 i a =/= 1),

b = c .

Doista, ako su brojevi b i s nisu bile jednake, tada zbog monotonosti funkcije na = a x većina njih bi odgovarala a >1 je veće, a pri a < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или a b > a c , ili a b < a c . Oba su u suprotnosti s uvjetima a b = a c . Ostaje to prepoznati b = c .

Svojstvo 6. Ako je a > 1, zatim s neograničenim povećanjem argumenta x (x -> ∞ ) vrijednosti funkcije na = a x također rastu u nedogled (na -> ∞ ). Uz neograničeno smanjenje argumenta x (x -> -∞ ) vrijednosti ove funkcije teže nuli, a ostaju pozitivne (na->0; na > 0).

Uzimajući u obzir gore dokazanu monotonost funkcije na = a x , možemo reći da je u razmatranom slučaju funkcija na = a x monotono raste od 0 do ∞ .

Ako je a 0 <a < 1, zatim s neograničenim povećanjem argumenta x (x -> ∞), vrijednosti funkcije y \u003d a x teže nuli, dok ostaju pozitivne (na->0; na > 0). Uz neograničeno smanjenje argumenta x (x -> -∞ ) vrijednosti ove funkcije rastu neograničeno (na -> ∞ ).

Zbog monotonosti funkcije y = a x možemo reći da je u ovom slučaju funkcija na = a x monotono opada od ∞ do 0.

Šesto svojstvo eksponencijalne funkcije jasno je prikazano na slikama 246 i 247. Nećemo ga striktno dokazivati.

Trebamo samo ustanoviti raspon eksponencijalne funkcije y = a x (a > 0, a =/= 1).

Gore smo dokazali da je funkcija y = a x uzima samo pozitivne vrijednosti i ili se monotono povećava od 0 do ∞ (na a > 1), ili se monotono smanjuje od ∞ do 0 (na 0< a <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x kad mijenjaš neke skokove? Uzima li ikakve pozitivne vrijednosti? Na ovo pitanje se odgovara pozitivno. Ako a > 0 i a =/= 1, onda bez obzira na pozitivan broj na 0 se mora pronaći x 0 , tako da

a x 0 = na 0 .

(Zbog monotonosti funkcije y = a x navedenu vrijednost x 0 bi bio jedini, naravno.)

Dokaz ove činjenice je izvan okvira našeg programa. Njegova geometrijska interpretacija je ona za svaku pozitivnu vrijednost na 0 graf funkcije y = a x mora se križati s linijom na = na 0 i, štoviše, samo u jednoj točki (slika 248).

Iz ovoga možemo izvući sljedeći zaključak, koji formuliramo u obliku svojstva 7.

Svojstvo 7. Područje promjene eksponencijalne funkcije y \u003d a x (a > 0, a =/= 1)je skup svih pozitivnih brojeva.

Vježbe

1368. Pronađite domene sljedećih funkcija:

1369. Koji je od zadanih brojeva veći od 1, a koji manji od 1:

1370. Na temelju kojeg svojstva eksponencijalne funkcije može se tvrditi da

a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1.2

1371. Koji je broj veći:

a) π - √3 ili (1 / π ) - √3; c) (2/3) 1 + √6 ili (2/3) √2 + √5 ;

b) ( π / 4) 1 + √3 ili ( π / 4) 2; d) (√3 ) √2 - √5 ili (√3) √3 - 2 ?

1372. Jesu li nejednakosti ekvivalentne:

1373. Što se može reći o brojevima x i na , ako a x = i y , gdje a je zadani pozitivan broj?

1374. 1) Je li moguće među svim vrijednostima funkcije na = 2x istaknuti:

2) Je li moguće među svim vrijednostima funkcije na = 2 | x| istaknuti:

a) najviša vrijednost; b) najmanja vrijednost?

Eksponencijalna funkcija je generalizacija umnoška n brojeva jednakih a:
y (n) = a n = a a a a,
na skup realnih brojeva x :
y (x) = x.
Ovdje je a fiksno pravi broj, koji se zove baza eksponencijalne funkcije.
Također se naziva eksponencijalna funkcija s bazom a eksponent bazi a.

Generalizacija se provodi na sljedeći način.
Za prirodni x = 1, 2, 3,... , eksponencijalna funkcija je proizvod x faktora:
.
Štoviše, ima svojstva (1,5-8) (), koja proizlaze iz pravila za množenje brojeva. Na nuli i negativne vrijednosti cijelih brojeva , eksponencijalna funkcija određena je formulama (1.9-10). Za frakcijske vrijednosti x = m/n racionalni brojevi, , određuje se formulom (1.11). Za real, eksponencijalna funkcija je definirana kao granica slijeda:
,
gdje je proizvoljan niz racionalnih brojeva koji konvergiraju na x : .
Ovom definicijom eksponencijalna funkcija je definirana za sve i zadovoljava svojstva (1.5-8), kao i za prirodni x .

Stroga matematička formulacija definicije eksponencijalne funkcije i dokaz njezinih svojstava data je na stranici "Definicija i dokaz svojstava eksponencijalne funkcije".

Svojstva eksponencijalne funkcije

Eksponencijalna funkcija y = a x ima sljedeća svojstva na skupu realnih brojeva ():
(1.1) je definiran i kontinuiran, za , za sve ;
(1.2) kada je ≠ 1 ima mnogo značenja;
(1.3) strogo raste na , strogo se smanjuje na ,
je konstantna na ;
(1.4) na ;
na ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Druge korisne formule
.
Formula za pretvaranje u eksponencijalnu funkciju s različitom bazom snage:

Za b = e dobivamo izraz eksponencijalne funkcije u terminima eksponenta:

Privatne vrijednosti

, , , , .

Na slici su prikazani grafovi eksponencijalne funkcije
y (x) = x
za četiri vrijednosti baze stupnjeva:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 i a = 1/8 . Vidi se da za > 1 eksponencijalna funkcija monotono raste. Što je baza stupnja a veća, to je rast jači. Na 0 < a < 1 eksponencijalna funkcija je monotono opadajuća. Kako manje pokazatelj stupanj a, jači je pad.

Uzlazno, silazno

Eksponencijalna funkcija at je strogo monotona, pa nema ekstrema. Njegova glavna svojstva prikazana su u tablici.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domena	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Raspon vrijednosti	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotonija	monotono raste	monotono opada
Nule, y= 0	Ne	Ne
Točke presjeka s y-osi, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost eksponencijalne funkcije s bazom stupnja a je logaritam bazi a.

Ako tada
.
Ako tada
.

Diferencijacija eksponencijalne funkcije

Za diferenciranje eksponencijalne funkcije potrebno je njezinu bazu svesti na broj e, primijeniti tablicu derivacija i pravilo za diferenciranje složene funkcije.

Da biste to učinili, morate koristiti svojstvo logaritama
i formula iz tablice derivacija:
.

Neka je dana eksponencijalna funkcija:
.
Donosimo ga u bazu e:

Primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije. Da bismo to učinili, uvodimo varijablu

Zatim

Iz tablice derivacija imamo (zamijeni varijablu x sa z):
.
Budući da je konstanta, derivacija z u odnosu na x je
.
Prema pravilu diferencijacije složene funkcije:
.

Derivat eksponencijalne funkcije

.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Primjer diferenciranja eksponencijalne funkcije

Pronađite derivaciju funkcije
y= 35 x

Odluka

Osnovicu eksponencijalne funkcije izražavamo brojem e.
3 = e log 3
Zatim
.
Uvodimo varijablu
.
Zatim

Iz tablice izvedenica nalazimo:
.
Ukoliko 5 u 3 je konstanta, tada je derivacija z u odnosu na x:
.
Prema pravilu diferencijacije složene funkcije imamo:
.

Odgovor

Sastavni

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksnog broja z:
f (z) = az
gdje je z = x + iy; i 2 = - 1 .
Kompleksnu konstantu a izražavamo u terminima modula r i argumenta φ:
a = r e i φ
Zatim


.
Argument φ nije jednoznačno definiran. NA opći pogled
φ = φ 0 + 2 pn,
gdje je n cijeli broj. Stoga je funkcija f (z) također je dvosmislen. Često se smatra njegovom glavnom važnosti
.

Proširenje u serijama

.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokih učilišta, Lan, 2009.

Rješenje većine matematičkih problema nekako je povezano s transformacijom brojčanih, algebarskih ili funkcionalnih izraza. To se posebno odnosi na rješenje. U varijantama USE iz matematike, ova vrsta zadatka uključuje, posebno, zadatak C3. Učenje rješavanja C3 zadataka nije važno samo za svrhu uspješna isporuka Jedinstveni državni ispit, ali i iz razloga što je ova vještina korisna pri studiranju matematičkog kolegija u visokom obrazovanju.

Izvođenje zadataka C3, morate odlučiti različite vrste jednadžbe i nejednakosti. Među njima su racionalni, iracionalni, eksponencijalni, logaritamski, trigonometrijski, koji sadrže module (apsolutne vrijednosti), kao i kombinirani. Ovaj članak govori o glavnim vrstama eksponencijalnih jednadžbi i nejednakosti, kao io razne metode njihove odluke. O rješavanju drugih vrsta jednadžbi i nejednakosti pročitajte u naslovu "" u člancima posvećenim metodama rješavanja C3 problema iz KORISTI opcije matematika.

Prije nego što pređemo na analizu specifičnih eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe, kao učitelj matematike, predlažem vam da nadogradite neke teorijsko gradivo koje će nam trebati.

Eksponencijalna funkcija

Što je eksponencijalna funkcija?

Funkcija pregleda y = a x, gdje a> 0 i a≠ 1, pozvan eksponencijalna funkcija.

Glavni svojstva eksponencijalne funkcije y = a x:

Graf eksponencijalne funkcije

Graf eksponencijalne funkcije je izlagač:

Grafovi eksponencijalnih funkcija (eksponenti)

Rješenje eksponencijalnih jednadžbi

indikativno nazivaju jednadžbe u kojima se nepoznata varijabla nalazi samo u eksponentima nekih potencija.

Za rješenja eksponencijalne jednadžbe morate znati i znati koristiti sljedeći jednostavan teorem:

Teorem 1. eksponencijalna jednadžba a f(x) = a g(x) (gdje a > 0, a≠ 1) je ekvivalentna jednadžbi f(x) = g(x).

Osim toga, korisno je zapamtiti osnovne formule i radnje sa stupnjevima:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Primjer 1 Riješite jednadžbu:

Odluka: koristite gornje formule i zamjenu:

Jednadžba tada postaje:

Primljen diskriminant kvadratna jednadžba pozitivan:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

To znači da ova jednadžba ima dva korijena. Nalazimo ih:

Vraćajući se na zamjenu, dobivamo:

Druga jednadžba nema korijen, budući da je eksponencijalna funkcija strogo pozitivna u cijeloj domeni definicije. Riješimo drugu:

Uzimajući u obzir ono što je rečeno u teoremu 1, prelazimo na ekvivalentnu jednadžbu: x= 3. Ovo će biti odgovor na zadatak.

Odgovor: x = 3.

Primjer 2 Riješite jednadžbu:

Odluka: jednadžba nema ograničenja na područje dopuštenih vrijednosti, budući da radikalni izraz ima smisla za bilo koju vrijednost x(eksponencijalna funkcija y = 9 4 -x pozitivan i nije jednak nuli).

Jednadžbinu rješavamo ekvivalentnim transformacijama koristeći pravila množenja i dijeljenja potencija:

Posljednji prijelaz izveden je u skladu s teoremom 1.

Odgovor:x= 6.

Primjer 3 Riješite jednadžbu:

Odluka: obje strane izvorne jednadžbe mogu se podijeliti s 0,2 x. Ovaj prijelaz bit će ekvivalentan, budući da je ovaj izraz veći od nule za bilo koju vrijednost x(eksponencijalna funkcija je strogo pozitivna na svojoj domeni). Tada jednadžba poprima oblik:

Odgovor: x = 0.

Primjer 4 Riješite jednadžbu:

Odluka: pojednostavljujemo jednadžbu na elementarnu ekvivalentnim transformacijama koristeći pravila dijeljenja i množenja potencija navedenih na početku članka:

Dijeljenje obje strane jednadžbe s 4 x, kao u prethodnom primjeru, je ekvivalentna transformacija, budući da ovaj izraz nije jednak nuli za bilo koju vrijednost x.

Odgovor: x = 0.

Primjer 5 Riješite jednadžbu:

Odluka: funkcija y = 3x, koji stoji na lijevoj strani jednadžbe, raste. Funkcija y = —x-2/3, koji stoji na desnoj strani jednadžbe, opada. To znači da ako se grafovi ovih funkcija sijeku, onda najviše u jednoj točki. U ovom slučaju, lako je pogoditi da se grafovi sijeku u točki x= -1. Neće biti drugih korijena.

Odgovor: x = -1.

Primjer 6 Riješite jednadžbu:

Odluka: pojednostavljujemo jednadžbu ekvivalentnim transformacijama, imajući posvuda na umu da je eksponencijalna funkcija strogo veća od nule za bilo koju vrijednost x i korištenjem pravila za izračun proizvoda i djelomičnih snaga koja su navedena na početku članka:

Odgovor: x = 2.

Rješavanje eksponencijalnih nejednakosti

indikativno nazivaju nejednakosti u kojima je nepoznata varijabla sadržana samo u eksponentima nekih potencija.

Za rješenja eksponencijalne nejednakosti potrebno je poznavanje sljedećeg teorema:

Teorem 2. Ako je a a> 1, onda nejednakost a f(x) > a g(x) je ekvivalentna nejednakosti istog značenja: f(x) > g(x). Ako je 0< a < 1, то eksponencijalna nejednakost a f(x) > a g(x) je ekvivalentna nejednakosti suprotnog značenja: f(x) < g(x).

Primjer 7 Riješite nejednakost:

Odluka: predstavljaju izvornu nejednakost u obliku:

Podijelite obje strane ove nejednakosti sa 3 2 x, i (zbog pozitivnosti funkcije y= 3 2x) predznak nejednakosti se neće promijeniti:

Upotrijebimo zamjenu:

Tada nejednakost poprima oblik:

Dakle, rješenje nejednakosti je interval:

prelazeći na obrnutu zamjenu, dobivamo:

Lijeva nejednakost, zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije, ispunjava se automatski. Iskorištavati poznato svojstvo logaritma, prelazimo na ekvivalentnu nejednakost:

Budući da je baza stupnja broj veći od jedan, ekvivalent (prema teoremu 2) bit će prijelaz na sljedeću nejednakost:

Tako da konačno dobivamo odgovor:

Primjer 8 Riješite nejednakost:

Odluka: koristeći svojstva množenja i dijeljenja potencija, prepisujemo nejednakost u obliku:

Hajde da predstavimo novu varijablu:

Ovom zamjenom nejednakost ima oblik:

Pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka sa 7, dobićemo sljedeću ekvivalentnu nejednakost:

Dakle, nejednakost je zadovoljena sljedeće vrijednosti varijabla t:

Zatim, vraćajući se na zamjenu, dobivamo:

Budući da je baza stupnja ovdje veća od jedan, ekvivalentno je (prema teoremu 2) prijeći na nejednakost:

Napokon dobivamo odgovor:

Primjer 9 Riješite nejednakost:

Odluka:

Obje strane nejednakosti dijelimo izrazom:

Uvijek je veći od nule (jer je eksponencijalna funkcija pozitivna), pa predznak nejednakosti nije potrebno mijenjati. dobivamo:

t , koji su u intervalu:

Prijelazeći na obrnutu zamjenu, nalazimo da se izvorna nejednakost dijeli u dva slučaja:

Prva nejednadžba nema rješenja zbog pozitivnosti eksponencijalne funkcije. Riješimo drugu:

Primjer 10 Riješite nejednakost:

Odluka:

Grane parabole y = 2x+2-x 2 usmjereni su prema dolje, stoga je odozgo omeđen vrijednošću koju doseže na svom vrhu:

Grane parabole y = x 2 -2x+2, koji se nalazi u indikatoru, usmjereni su prema gore, što znači da je ograničen odozdo vrijednošću koju doseže na svom vrhu:

Istodobno, ispada da je funkcija ograničena odozdo y = 3 x 2 -2x+2 na desnoj strani jednadžbe. Ona stigne do nje najmanju vrijednost u istoj točki kao i parabola u eksponentu, a ta vrijednost je 3 1 = 3. Dakle, izvorna nejednakost može biti istinita samo ako funkcija s lijeve strane i funkcija s desne strane u jednoj točki dobiju vrijednost 3 (po sjecište raspona ovih funkcija je samo ovaj broj). Ovaj uvjet je zadovoljen u jednoj točki x = 1.

Odgovor: x= 1.

Naučiti kako riješiti eksponencijalne jednadžbe i nejednakosti, morate se stalno uvježbavati u njihovom rješenju. U ovoj teškoj stvari, razno nastavna sredstva, problemske knjige iz osnovne matematike, zbirke natjecateljskih zadataka, nastava matematike u školi, kao i pojedinačne sesije sa profesionalnim mentorom. Iskreno vam želim uspjeh u pripremama i briljantne rezultate na ispitu.

Sergej Valerijevič

P.S. Dragi gosti! Molimo vas da u komentarima ne pišete zahtjeve za rješavanje vaših jednadžbi. Nažalost, za ovo uopće nemam vremena. Takve će poruke biti izbrisane. Molimo pročitajte članak. Možda ćete u njemu pronaći odgovore na pitanja koja vam nisu dopustila da sami riješite svoj zadatak.

Pronađite vrijednost izraza za različite racionalne vrijednosti varijable x=2; 0; -3; -

Napomena, bez obzira koji broj zamijenimo umjesto varijable x, uvijek možete pronaći vrijednost ovog izraza. Dakle, razmatramo eksponencijalnu funkciju (y jednako tri na x potenciju), definiranu na skupu racionalnih brojeva: .

Napravimo graf ove funkcije tako što ćemo napraviti tablicu njezinih vrijednosti.

Nacrtajmo glatku liniju koja prolazi kroz ove točke (slika 1)

Koristeći graf ove funkcije, razmotrite njena svojstva:

3. Povećava se na cijelom području definicije.

1. rasponu od nule do plus beskonačnosti.

8. Funkcija je konveksna prema dolje.

Ako se u jednom koordinatnom sustavu grade grafovi funkcija; y=(y je jednako dva na x potenciju, y je jednako pet na x potenciju, y je jednako sedam na x potenciju), možete vidjeti da imaju ista svojstva kao y=(y je jednako tri na x potenciju) ( Slika .2), to jest, sve funkcije oblika y = (y je jednako a na stepen x, s većim od jedan) imat će takva svojstva

Nacrtajmo funkciju:

1. Sastavljanje tablice njegovih vrijednosti.

Dobivene točke označavamo na koordinatnoj ravnini.

Nacrtajmo glatku liniju koja prolazi kroz ove točke (slika 3).

Koristeći graf ove funkcije, ukazujemo na njena svojstva:

1. Područje definicije je skup svih realnih brojeva.

2. Nije ni paran ni neparan.

3. Opada u cijeloj domeni definicije.

4. Nema ni najveću ni najmanju vrijednost.

5. Ograničeno odozdo, ali ne i odozgo.

6. Kontinuirano u cijeloj domeni definicije.

7. raspon vrijednosti od nule do plus beskonačnosti.

8. Funkcija je konveksna prema dolje.

Slično, ako se u jednom koordinatnom sustavu grade grafovi funkcija; y=(y jednaka jednoj sekundi x potenciji, y jednako jednoj petini x potenciji, y jednako jednoj sedmini x potenciji), možete vidjeti da imaju ista svojstva kao y=(y je jednaka jednoj trećini snaga x). x) (slika 4), to jest, sve funkcije oblika y \u003d (y je jednaka jedinici podijeljenoj s a na stepen x, s većim od nule, ali manjim od jedan) imaju takva svojstva

Konstruirajmo grafove funkcija u jednom koordinatnom sustavu

to znači da će i grafovi funkcija y=y= biti simetrični (y je jednak a potenciji x i y jednako jednom podijeljeno s a na stepen x) za istu vrijednost a.

Sažimamo ono što je rečeno dajući definiciju eksponencijalne funkcije i naznačavajući njena glavna svojstva:

Definicija: Funkcija oblika y \u003d, gdje je (y jednak a na stepen x, gdje je a pozitivan i različit od jedan), naziva se eksponencijalna funkcija.

Potrebno je zapamtiti razlike između eksponencijalne funkcije y= i funkcije stepena y=, a=2,3,4,…. i slušno i vizualno. Eksponencijalna funkcija x je diploma, i funkcija snage x je osnova.

Primjer 1: Riješite jednadžbu (tri na stepen x jednako je devet)

(y je jednako tri na stepen od x i y je jednako devet) sl.7

Imajte na umu da imaju jednu zajedničku točku M (2; 9) (em s koordinatama dva; devet), što znači da će apscisa točke biti korijen zadana jednadžba. To jest, jednadžba ima jedan korijen x = 2.

Primjer 2: Riješite jednadžbu

U jednom koordinatnom sustavu ćemo konstruirati dva grafa funkcije y = (y je jednak pet na stepen x, a y je jednak jednoj dvadeset petoj) Sl.8. Grafovi se sijeku u jednoj točki T (-2; (te s koordinatama minus dva; jedan dvadeset i peti). Dakle, korijen jednadžbe je x \u003d -2 (broj minus dva).

Primjer 3: Riješite nejednakost

U jednom koordinatnom sustavu konstruiramo dva grafikona funkcije y \u003d

(y je jednako tri na stepen od x, a y je jednako dvadeset sedam).

Sl.9 Graf funkcije nalazi se iznad grafa funkcije y=kada

x Prema tome, rješenje nejednadžbe je interval (od minus beskonačnosti do tri)

Primjer 4: Riješite nejednakost

U jednom koordinatnom sustavu ćemo konstruirati dva grafikona funkcije y \u003d (y je jednak jednoj četvrtini na stepen x, a y je jednak šesnaest). (slika 10). Grafovi se sijeku u jednoj točki K (-2;16). To znači da je rješenje nejednadžbe interval (-2; (od minus dva do plus beskonačno), jer se graf funkcije y \u003d nalazi ispod grafa funkcije na x

Naše razmišljanje nam omogućuje da provjerimo valjanost sljedećih teorema:

Terem 1: Ako je istinito ako i samo ako je m=n.

Teorem 2: Ako je istinit ako i samo ako, onda je nejednakost istinita ako i samo ako (slika *)

Teorem 4: Ako je istinit ako i samo ako (Sl.**), nejednakost je istinita ako i samo ako Teorem 3: Ako je istinit ako i samo ako je m=n.

Primjer 5: Nacrtajte funkciju y=

Funkciju modificiramo primjenom svojstva stupnja y=

Hajdemo graditi dodatni sustav koordinate i u novi sustav koordinate, nacrtat ćemo funkciju y \u003d (y je jednak dva na stepen x) Sl.11.

Primjer 6: Riješite jednadžbu

U jednom koordinatnom sustavu konstruiramo dva grafikona funkcije y \u003d

(Y je jednako sedam na stepen x i Y je jednako osam minus x) Sl.12.

Grafovi se sijeku u jednoj točki E (1; (e s koordinatama jedan; sedam). Dakle, korijen jednadžbe je x = 1 (x jednako jedan).

Primjer 7: Riješite nejednakost

U jednom koordinatnom sustavu konstruiramo dva grafikona funkcije y \u003d

(Y je jednako jednoj četvrtini na stepen x, a Y je jednako x plus pet). Graf funkcije y \u003d nalazi se ispod grafa funkcije y = x + 5 at, rješenje nejednadžbe je interval x (od minus jedan do plus beskonačno).