O čemu ovise svojstva funkcije stepena? Funkcija snage

U ovoj lekciji nastavit ćemo proučavanje funkcija moći s racionalni pokazatelj, razmotriti funkcije s negativnim racionalnim eksponentom.

1. Osnovni pojmovi i definicije

Prisjetite se svojstava i grafova funkcija stepena s negativnim cjelobrojnim eksponentom.

Za paran n, :

Primjer funkcije:

Svi grafovi takvih funkcija prolaze kroz dvije fiksne točke: (1;1), (-1;1). Značajka funkcija ovog tipa je njihov paritet, grafovi su simetrični u odnosu na op-y os.

Riža. 1. Grafikon funkcije

Za neparan n, :

Primjer funkcije:

Svi grafovi takvih funkcija prolaze kroz dvije fiksne točke: (1;1), (-1;-1). Značajka funkcija ovog tipa je njihova neparnost, grafovi su simetrični u odnosu na ishodište.

Riža. 2. Grafikon funkcija

2. Funkcija s negativnim racionalnim eksponentom, grafovi, svojstva

Prisjetimo se glavne definicije.

Stupanj nenegativnog broja a s racionalnim pozitivnim eksponentom naziva se broj.

Stupanj pozitivnog broja a s racionalnim negativnim eksponentom naziva se broj.

Jer vrijedi sljedeća jednakost:

Na primjer: ; - izraz ne postoji po definiciji stupnja s negativnim racionalnim eksponentom; postoji, budući da je eksponent cijeli broj,

Prijeđimo na razmatranje funkcija stepena s racionalnim negativnim eksponentom.

Na primjer:

Da biste nacrtali ovu funkciju, možete napraviti tablicu. Učinit ćemo drugačije: prvo ćemo izgraditi i proučiti graf nazivnika - znamo ga (slika 3).

Riža. 3. Grafikon funkcije

Graf funkcije nazivnika prolazi kroz fiksnu točku (1;1). Prilikom konstruiranja grafa izvorne funkcije ova točka ostaje, kada i korijen teži nuli, funkcija teži beskonačnosti. I obrnuto, kako x teži beskonačnosti, funkcija teži nuli (slika 4).

Riža. 4. Grafikon funkcije

Razmotrimo još jednu funkciju iz obitelji funkcija koja se proučava.

Važno je da po definiciji

Razmotrimo graf funkcije u nazivniku: , znamo graf ove funkcije, ona raste u svojoj domeni definicije i prolazi kroz točku (1; 1) (slika 5).

Riža. 5. Grafikon funkcija

Prilikom konstruiranja grafa izvorne funkcije ostaje točka (1; 1), kada i korijen teži nuli, funkcija teži beskonačnosti. I obrnuto, kako x teži beskonačnosti, funkcija teži nuli (slika 6).

Riža. 6. Grafikon funkcija

Razmatrani primjeri pomažu razumjeti kako ide graf i koja su svojstva proučavane funkcije - funkcije s negativnim racionalnim eksponentom.

Grafovi funkcija ove obitelji prolaze kroz točku (1;1), funkcija opada u cijeloj domeni definicije.

Opseg funkcije:

Funkcija nije ograničena odozgo, već odozdo. Funkcija nema ni maksimum ni najmanju vrijednost.

Funkcija je kontinuirana, uzima sve pozitivne vrijednosti od nule do plus beskonačno.

Funkcija konveksnog prema dolje (slika 15.7)

Na krivulji su uzete točke A i B, kroz njih je povučen segment, cijela krivulja je ispod segmenta, ovaj uvjet je zadovoljen za proizvoljne dvije točke na krivulji, stoga je funkcija konveksna prema dolje. Riža. 7.

Riža. 7. Konveksnost funkcije

3. Rješenje tipičnih problema

Važno je razumjeti da su funkcije ove obitelji odozdo ograničene nulom, ali nemaju najmanju vrijednost.

Primjer 1 - pronađite maksimum i minimum funkcije na intervalu \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafikon (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije $f\left(x\right)=x^(2n)$

Svojstva funkcije stepena s prirodnim neparnim eksponentom

Područje definicije su svi realni brojevi.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ je neparna funkcija.

$f(x)$ je kontinuiran na cijeloj domeni definicije.

Raspon su svi realni brojevi.

$f"\lijevo(x\desno)=\lijevo(x^(2n-1)\desno)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkcija se povećava u cijeloj domeni definicije.

$f\left(x\right)0$, za $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\lijevo(x\desno))=(\lijevo(\lijevo(2n-1\desno)\cdot x^(2\lijevo(n-1\desno))\desno))"=2 \lijevo(2n-1\desno)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcija je konkavna za $x\in (-\infty ,0)$ i konveksna za $x\in (0,+\infty)$.

Grafikon (slika 3).

Slika 3. Grafikon funkcije $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funkcija snage s cjelobrojnim eksponentom

Za početak uvodimo pojam stupnja s cjelobrojnim eksponentom.

Definicija 3

Stupanj pravi broj$a$ s cijelim indeksom $n$ određuje se formulom:

Slika 4

Razmotrimo sada funkciju stepena s cjelobrojnim eksponentom, njezinim svojstvima i grafom.

Definicija 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ naziva se funkcija stepena s cjelobrojnim eksponentom.

Ako je stupanj veći od nule, dolazimo do slučaja funkcije stepena s prirodnim eksponentom. Već smo to gore razmotrili. Za $n=0$ dobivamo linearnu funkciju $y=1$. Njegovo razmatranje prepuštamo čitatelju. Ostaje razmotriti svojstva funkcije stepena s negativnim cjelobrojnim eksponentom

Svojstva potencijske funkcije s negativnim cijelim eksponentom

Opseg je $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent paran, onda je funkcija parna; ako je neparan, onda je funkcija neparna.

$f(x)$ je kontinuiran na cijeloj domeni definicije.

Raspon vrijednosti:

Ako je eksponent paran, onda $(0,+\infty)$, ako je neparan, onda $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent neparan, funkcija se smanjuje kao $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Za paran eksponent, funkcija se smanjuje kao $x\in (0,+\infty)$. i raste kao $x\in \lijevo(-\infty ,0\desno)$.

$f(x)\ge 0$ preko cijele domene

Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcije snage. Svojstva. Grafovi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet trgovini "Integral" za 11. razred
Interaktivni priručnik za 9.-11. razred "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za 10-11 razred "Logaritmi"

Funkcije moći, domena definicije.

Dečki, u prošloj lekciji naučili smo raditi s brojevima s racionalnim eksponentom. U ovoj lekciji razmotrit ćemo funkcije potencije i ograničiti se na slučaj kada je eksponent racionalan.
Razmotrit ćemo funkcije oblika: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Razmotrimo prvo funkcije čiji je eksponent $\frac(m)(n)>1$.
Neka nam je dana određena funkcija $y=x^2*5$.
Prema definiciji koju smo dali u prošloj lekciji: ako je $x≥0$, tada je domena naše funkcije zraka $(x)$. Idemo shematski prikazati naš graf funkcije.

Svojstva funkcije $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Nije ni paran ni neparan.
3. Povećava se za $$,
b) $(2,10)$,
c) na zraku $$.
Odluka.
Dečki, sjećate li se kako smo pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu u 10. razredu?
Tako je, koristili smo izvedenicu. Riješimo naš primjer i ponovimo algoritam za pronalaženje najmanje i najveće vrijednosti.
1. Pronađite derivaciju zadane funkcije:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Izvod postoji na cijeloj domeni izvorne funkcije, tada nema kritičnih točaka. Nađimo stacionarne točke:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
64$x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ i $x_2=\sqrt(64)=4$.
Samo jedno rješenje $x_2=4$ pripada danom segmentu.
Napravimo tablicu vrijednosti naše funkcije na krajevima segmenta i na točki ekstrema:
Odgovor: $y_(name)=-862,65$ s $x=9$; $y_(max)=38,4$ za $x=4$.

Primjer. Riješite jednadžbu: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Odluka. Graf funkcije $y=x^(\frac(4)(3))$ raste, a graf funkcije $y=24-x$ opada. Dečki, vi i ja znamo: ako se jedna funkcija povećava, a druga smanjuje, onda se sijeku samo u jednoj točki, odnosno imamo samo jedno rješenje.
Bilješka:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Odnosno, za $h=8$ dobili smo ispravnu jednakost $16=16$, ovo je rješenje naše jednadžbe.
Odgovor: $x=8$.

Primjer.
Nacrtajte funkciju: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Odluka.
Graf naše funkcije dobivamo iz grafa funkcije $y=x^(\frac(3)(4))$, pomičući ga 3 jedinice udesno i 2 jedinice gore.

Primjer. Napišite jednadžbu tangente na pravu $y=x^(-\frac(4)(5))$ u točki $x=1$.
Odluka. Jednadžba tangente određena je formulom koja nam je poznata:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
U našem slučaju $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Nađimo izvedenicu:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Izračunajmo:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Pronađite jednadžbu tangente:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Odgovor: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije: $y=x^\frac(4)(3)$ na segmentu:
a) $$.
b) $(4,50)$.
c) na zraku $$.
3. Riješite jednadžbu: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Grafikujte funkciju: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Napišite jednadžbu tangente na pravu $y=x^(-\frac(3)(7))$ u točki $x=1$.

Prisjetite se svojstava i grafova funkcija stepena s negativnim cjelobrojnim eksponentom.

Za paran n, :

Primjer funkcije:

Svi grafovi takvih funkcija prolaze kroz dvije fiksne točke: (1;1), (-1;1). Značajka funkcija ovog tipa je njihov paritet, grafovi su simetrični u odnosu na op-y os.

Riža. 1. Grafikon funkcije

Za neparan n, :

Primjer funkcije:

Svi grafovi takvih funkcija prolaze kroz dvije fiksne točke: (1;1), (-1;-1). Značajka funkcija ovog tipa je njihova neparnost, grafovi su simetrični u odnosu na ishodište.

Riža. 2. Grafikon funkcija

Prisjetimo se glavne definicije.

Stupanj nenegativnog broja a s racionalnim pozitivnim eksponentom naziva se broj.

Stupanj pozitivnog broja a s racionalnim negativnim eksponentom naziva se broj.

Jer vrijedi sljedeća jednakost:

Na primjer: ; - izraz ne postoji po definiciji stupnja s negativnim racionalnim eksponentom; postoji, budući da je eksponent cijeli broj,

Prijeđimo na razmatranje funkcija stepena s racionalnim negativnim eksponentom.

Na primjer:

Da biste nacrtali ovu funkciju, možete napraviti tablicu. Učinit ćemo drugačije: prvo ćemo izgraditi i proučiti graf nazivnika - znamo ga (slika 3).

Riža. 3. Grafikon funkcije

Graf funkcije nazivnika prolazi kroz fiksnu točku (1;1). Prilikom konstruiranja grafa izvorne funkcije ova točka ostaje, kada i korijen teži nuli, funkcija teži beskonačnosti. I obrnuto, kako x teži beskonačnosti, funkcija teži nuli (slika 4).

Riža. 4. Grafikon funkcije

Razmotrimo još jednu funkciju iz obitelji funkcija koja se proučava.

Važno je da po definiciji

Razmotrimo graf funkcije u nazivniku: , znamo graf ove funkcije, ona raste u svojoj domeni definicije i prolazi kroz točku (1; 1) (slika 5).

Riža. 5. Grafikon funkcija

Prilikom konstruiranja grafa izvorne funkcije ostaje točka (1; 1), kada i korijen teži nuli, funkcija teži beskonačnosti. I obrnuto, kako x teži beskonačnosti, funkcija teži nuli (slika 6).

Riža. 6. Grafikon funkcija

Razmatrani primjeri pomažu razumjeti kako ide graf i koja su svojstva proučavane funkcije - funkcije s negativnim racionalnim eksponentom.

Grafovi funkcija ove obitelji prolaze kroz točku (1;1), funkcija opada u cijeloj domeni definicije.

Opseg funkcije:

Funkcija nije ograničena odozgo, već odozdo. Funkcija nema ni maksimalnu ni minimalnu vrijednost.

Funkcija je kontinuirana, uzima sve pozitivne vrijednosti od nule do plus beskonačno.

Funkcija konveksnog prema dolje (slika 15.7)

Na krivulji su uzete točke A i B, kroz njih je povučen segment, cijela krivulja je ispod segmenta, ovaj uvjet je zadovoljen za proizvoljne dvije točke na krivulji, stoga je funkcija konveksna prema dolje. Riža. 7.

Riža. 7. Konveksnost funkcije

Važno je razumjeti da su funkcije ove obitelji odozdo ograničene nulom, ali nemaju najmanju vrijednost.

Primjer 1 - pronaći maksimum i minimum funkcije na intervalu)