ऑनलाइन समाधान के साथ असमानता कैलकुलेटर। रैखिक असमानताएं

असमानता एक संख्यात्मक अनुपात है जो एक दूसरे के सापेक्ष संख्याओं के परिमाण को दर्शाता है। व्यावहारिक विज्ञान में मात्राओं की खोज में असमानताओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हमारा कैलकुलेटर आपको रैखिक असमानताओं को हल करने जैसे कठिन विषय से निपटने में मदद करेगा।

असमानता क्या है

वास्तविक जीवन में असमान अनुपात विभिन्न वस्तुओं की निरंतर तुलना के अनुरूप होते हैं: उच्च या निम्न, दूर या निकट, भारी या हल्का। सहज या दृष्टिगत रूप से, हम समझ सकते हैं कि एक वस्तु दूसरी से बड़ी, ऊँची या भारी होती है, लेकिन वास्तव में यह हमेशा संख्याओं की तुलना करने का प्रश्न होता है जो संबंधित मात्राओं की विशेषता होती है। आप किसी भी आधार पर वस्तुओं की तुलना कर सकते हैं, और किसी भी स्थिति में, हम एक संख्यात्मक असमानता बना सकते हैं।

यदि विशिष्ट परिस्थितियों में अज्ञात मात्राएँ समान हैं, तो उनके संख्यात्मक निर्धारण के लिए हम एक समीकरण बनाते हैं। यदि नहीं, तो "बराबर" चिह्न के बजाय, हम इन राशियों के बीच किसी अन्य अनुपात को इंगित कर सकते हैं। दो संख्याएँ या गणितीय वस्तुएँ ">" से बड़ी हो सकती हैं, "से कम"<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

अपने आधुनिक रूप में असमानता के संकेतों का आविष्कार ब्रिटिश गणितज्ञ थॉमस हैरियट ने किया था, जिन्होंने 1631 में असमान अनुपात पर एक पुस्तक प्रकाशित की थी। ">" से बड़ा और "से कम"<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

असमानताओं को हल करना

असमानताएँ, समीकरणों की तरह, विभिन्न प्रकार की होती हैं। रेखीय, वर्गाकार, लघुगणक या घातांकीय असमान अनुपात विभिन्न विधियों द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। हालाँकि, विधि की परवाह किए बिना, किसी भी असमानता को पहले एक मानक रूप में कम किया जाना चाहिए। इसके लिए समान परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है, जो समानता के संशोधनों के समान होते हैं।

असमानताओं की पहचान परिवर्तन

भावों के इस तरह के परिवर्तन समीकरणों के भूत के समान हैं, लेकिन उनकी बारीकियां हैं जो असमानताओं को दूर करने पर विचार करना महत्वपूर्ण हैं।

पहला पहचान परिवर्तन समानता के साथ समान संचालन के समान है। असमान अनुपात के दोनों पक्षों में, आप एक ही संख्या या व्यंजक को अज्ञात x से जोड़ या घटा सकते हैं, जबकि असमानता का चिह्न वही रहता है। सबसे अधिक बार, इस पद्धति का उपयोग सरलीकृत रूप में किया जाता है क्योंकि संख्या के संकेत को विपरीत में बदलने के साथ असमानता के संकेत के माध्यम से अभिव्यक्ति की शर्तों को स्थानांतरित किया जाता है। यह स्वयं शब्द के चिन्ह के परिवर्तन को संदर्भित करता है, अर्थात + R जब किसी असमानता चिन्ह के माध्यम से स्थानांतरित किया जाता है, तो - R में बदल जाएगा और इसके विपरीत।

दूसरे परिवर्तन के दो बिंदु हैं:

एक असमान अनुपात के दोनों पक्षों को एक ही सकारात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने की अनुमति है। असमानता का संकेत स्वयं नहीं बदलेगा।
असमानता के दोनों पक्षों को एक ही ऋणात्मक संख्या से विभाजित या गुणा करने की अनुमति है। असमानता का चिन्ह स्वयं विपरीत में बदल जाएगा।

असमानताओं के दूसरे समान परिवर्तन में समीकरणों के संशोधन के साथ गंभीर अंतर हैं। सबसे पहले, जब एक ऋणात्मक संख्या से गुणा/विभाजित किया जाता है, तो एक असमान अभिव्यक्ति का चिह्न हमेशा उलट जाता है। दूसरे, किसी संबंध के भागों को विभाजित या गुणा करने की अनुमति केवल एक संख्या द्वारा दी जाती है, न कि किसी अज्ञात अभिव्यक्ति द्वारा। तथ्य यह है कि हम निश्चित रूप से यह नहीं जान सकते हैं कि अज्ञात के पीछे शून्य से बड़ी या कम संख्या छिपी हुई है, इसलिए दूसरा समान परिवर्तन केवल संख्याओं के साथ असमानताओं पर लागू होता है। आइए इन नियमों को उदाहरणों के साथ देखें।

असमान असमानताओं के उदाहरण

बीजगणित सत्रीय कार्यों में असमानताओं के विषय पर विभिन्न प्रकार के सत्रीय कार्य होते हैं। आइए हमें एक अभिव्यक्ति दें:

6x - 3(4x + 1) > 6.

सबसे पहले, कोष्ठक खोलें और सभी अज्ञात को बाईं ओर और सभी संख्याओं को दाईं ओर ले जाएं।

6x -12x > 6 + 3

हमें व्यंजक के दोनों भागों को −6 से विभाजित करने की आवश्यकता है, इसलिए अज्ञात x खोजने पर, असमानता का चिन्ह विपरीत दिशा में बदल जाएगा।

इस असमानता को हल करते समय, हमने दोनों समान परिवर्तनों का उपयोग किया: हमने सभी संख्याओं को चिह्न के दाईं ओर ले जाया और अनुपात के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से विभाजित किया।

हमारा कार्यक्रम संख्यात्मक असमानताओं को हल करने के लिए एक कैलकुलेटर है जिसमें अज्ञात शामिल नहीं हैं। कार्यक्रम में तीन संख्याओं के अनुपात के लिए निम्नलिखित प्रमेय शामिल हैं:

यदि एक< B то A–C< B–C;
यदि ए> बी, तो ए-सी> बी-सी।

A-C पदों को घटाने के बजाय, आप कोई भी अंकगणितीय संक्रिया निर्दिष्ट कर सकते हैं: जोड़, गुणा या भाग। इस प्रकार, कैलकुलेटर स्वचालित रूप से रकम, अंतर, उत्पाद या अंश की असमानताओं को प्रस्तुत करेगा।

निष्कर्ष

वास्तविक जीवन में, असमानताएँ समीकरणों की तरह ही सामान्य हैं। स्वाभाविक रूप से, रोजमर्रा की जिंदगी में, असमानताओं के समाधान के बारे में ज्ञान की आवश्यकता नहीं हो सकती है। हालांकि, अनुप्रयुक्त विज्ञानों में, असमानताओं और उनकी प्रणालियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, वैश्विक अर्थव्यवस्था की समस्याओं के विभिन्न अध्ययनों को रैखिक या वर्ग असमानताओं की प्रणालियों के संकलन और उन्मुक्ति तक सीमित कर दिया गया है, और कुछ असमान संबंध कुछ वस्तुओं के अस्तित्व को साबित करने के एक स्पष्ट तरीके के रूप में काम करते हैं। रैखिक असमानताओं को हल करने के लिए हमारे कार्यक्रमों का उपयोग करें या अपनी गणना की जांच करें।

फॉर्म कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + 0 0, जहां (> चिह्न के बजाय, निश्चित रूप से, कोई अन्य असमानता चिह्न हो सकता है)। ऐसी असमानताओं को हल करने के लिए आवश्यक सिद्धांत के सभी तथ्य हमारे पास हैं, जिन्हें अब हम सत्यापित करेंगे।

उदाहरण 1. असमानता को हल करें:

ए) एक्स 2 - 2x - 3> 0; बी) एक्स 2 - 2x - 3< 0;
ग) x 2 - 2x - 3 > 0; डी) एक्स 2 - 2x - 3< 0.
समाधान,

क) अंजीर में दिखाए गए परवलय y \u003d x 2 - 2x - 3 पर विचार करें। 117.

असमानता को हल करने के लिए x 2 - 2x - 3 > 0 - इसका मतलब उस प्रश्न का उत्तर देना है, जिसके लिए x के मान परवलय के बिंदुओं के निर्देशांक सकारात्मक हैं।

हम देखते हैं कि y > 0, अर्थात् फलन का आलेख x-अक्ष के ऊपर x पर स्थित है।< -1 или при х > 3.

इसलिए, असमानता के समाधान सभी खुले बिंदु हैं किरण(- 00 , - 1), साथ ही खुले बीम के सभी बिंदु (3, +00)।

साइन यू (सेट्स के मिलन का संकेत) का उपयोग करके, उत्तर निम्नानुसार लिखा जा सकता है: (-00, -1) यू (3, +00)। हालाँकि, उत्तर इस तरह भी लिखा जा सकता है:< - 1; х > 3.

बी) असमानता x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: अनुसूची x-अक्ष के नीचे स्थित है यदि -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

ग) असमानता x 2 - 2x - 3 > 0 असमानता x 2 - 2x - 3 > 0 से भिन्न है, जिसमें उत्तर में समीकरण x 2 - 2x - 3 = 0, अर्थात अंक x = - के मूल भी शामिल होने चाहिए। 1

और x \u003d 3. इस प्रकार, इस गैर-सख्त असमानता के समाधान बीम के सभी बिंदु (-00, - 1], साथ ही बीम के सभी बिंदु हैं।

व्यावहारिक गणितज्ञ आमतौर पर यह कहते हैं: हम असमानता कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी> 0 को हल करते हुए, ध्यान से एक द्विघात फलन का परवलय ग्राफ क्यों बनाते हैं?

वाई \u003d कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी (जैसा कि उदाहरण 1 में किया गया था)? यह ग्राफ का एक योजनाबद्ध स्केच बनाने के लिए पर्याप्त है, जिसके लिए आपको केवल खोजने की आवश्यकता है जड़ोंवर्ग त्रिपद (x-अक्ष के साथ परवलय का प्रतिच्छेदन बिंदु) और यह निर्धारित करें कि परवलय की शाखाएँ कहाँ निर्देशित हैं - ऊपर या नीचे। यह योजनाबद्ध स्केच असमानता के समाधान की एक दृश्य व्याख्या देगा।

उदाहरण 2असमानता को हल करें - 2x 2 + 3x + 9< 0.
समाधान।

1) वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ें खोजें - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; एक्स 2 \u003d - 1.5।

2) परवलय, जो फ़ंक्शन y \u003d -2x 2 + Zx + 9 के ग्राफ के रूप में कार्य करता है, x-अक्ष को बिंदु 3 और - 1.5 पर प्रतिच्छेद करता है, और परवलय की शाखाओं को पुराने के बाद से नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है। गुणक- ऋणात्मक संख्या - 2. अंजीर में। 118 एक ग्राफ का एक रेखाचित्र है।

3) अंजीर का उपयोग करना। 118, हम निष्कर्ष निकालते हैं:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
उत्तर: x< -1,5; х > 3.

उदाहरण 3असमानता को हल करें 4x 2 - 4x + 1< 0.
समाधान।

1) समीकरण 4x 2 - 4x + 1 = 0 से हम पाते हैं।

2) वर्ग त्रिपद का एक मूल है; इसका मतलब यह है कि एक वर्ग त्रिपद के ग्राफ के रूप में कार्यरत परवलय x-अक्ष को नहीं काटता है, बल्कि इसे बिंदु पर छूता है। परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं (चित्र 119.)

3) अंजीर में दिखाए गए ज्यामितीय मॉडल का उपयोग करना। 119, हम स्थापित करते हैं कि निर्दिष्ट असमानता केवल बिंदु पर संतुष्ट है, क्योंकि x के अन्य सभी मूल्यों के लिए, ग्राफ के निर्देशांक सकारात्मक हैं।
उत्तर: ।
आपने शायद ध्यान दिया होगा कि वास्तव में, उदाहरण 1, 2, 3 में, एक अच्छी तरह से परिभाषित कलन विधिद्विघात असमानताओं को हल करते हुए, हम इसे औपचारिक रूप देंगे।

द्विघात असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + 0 0 (कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी< 0)

इस एल्गोरिथम का पहला चरण एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ों को खोजना है। लेकिन जड़ें नहीं हो सकतीं, तो क्या करें? तब एल्गोरिथ्म लागू नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि अलग-अलग तर्क करना आवश्यक है। इन तर्कों की कुंजी निम्नलिखित प्रमेयों द्वारा दी गई है।

दूसरे शब्दों में, यदि D< 0, а >0, तो असमानता कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी > 0 सभी x के लिए संतुष्ट है; इसके विपरीत, असमानता कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी< 0 не имеет решений.
प्रमाण। अनुसूची कार्यों y \u003d ax 2 + bx + c एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं (क्योंकि a > 0) और जो x अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करती है, क्योंकि वर्ग ट्रिनोमियल की कोई जड़ नहीं होती है। ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 120. हम देखते हैं कि सभी x के लिए ग्राफ x अक्ष के ऊपर स्थित है, जिसका अर्थ है कि सभी x के लिए असमानता ax 2 + bx + c> 0 संतुष्ट है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

दूसरे शब्दों में, यदि D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 का कोई समाधान नहीं है।

प्रमाण। फ़ंक्शन y \u003d ax 2 + bx + c का ग्राफ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं (क्योंकि a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

उदाहरण 4. असमानता को हल करें:

क) 2x 2 - x + 4 > 0; बी) -एक्स 2 + जेडएक्स - 8> 0।

ए) वर्ग ट्रिनोमियल 2x 2 - x + 4 के विभेदक का पता लगाएं। हमारे पास डी \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31 है< 0.
त्रिपद (संख्या 2) का वरिष्ठ गुणांक धनात्मक है।

अत: प्रमेय 1 से सभी x के लिए असमिका 2x 2 - x + 4 > 0 संतुष्ट होती है, अर्थात् दी गई असमिका का हल संपूर्ण (-00, + 00) है।

बी) वर्ग ट्रिनोमियल - x 2 + Zx - 8 के विवेचक का पता लगाएं। हमारे पास D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23 है< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

उत्तर: ए) (-00, + 00); बी) कोई समाधान नहीं हैं।

निम्नलिखित उदाहरण में, हम तर्क के एक अन्य तरीके से परिचित होंगे, जिसका उपयोग द्विघात असमानताओं को हल करने में किया जाता है।

उदाहरण 5असमानता को हल करें 3x 2 - 10x + 3< 0.
समाधान। आइए वर्ग त्रिपद 3x 2 - 10x + 3 का गुणनखंड करें। ट्रिनोमियल की जड़ें संख्या 3 हैं और इसलिए, कुल्हाड़ी 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) का उपयोग करके, हमें Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x -) मिलता है। 3) (एक्स -)
हम संख्या रेखा पर त्रिपद के मूल: 3 और (चित्र 122) को नोट करते हैं।

मान लीजिए x > 3; फिर x-3>0 और x->0, और इसलिए गुणनफल 3(x - 3)(x - ) धनात्मक है। अगला, चलो< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. इसलिए, गुणनफल 3(x-3)(x-) ऋणात्मक है। अंत में, चलो x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) धनात्मक है।

तर्क को सारांशित करते हुए, हम निष्कर्ष पर आते हैं: वर्ग ट्रिनोमियल Zx 2 - 10x + 3 के संकेत चित्र में दिखाए गए अनुसार बदलते हैं। 122. हम इस बात में रुचि रखते हैं कि वर्ग ट्रिनोमियल किस x के लिए ऋणात्मक मान लेता है। अंजीर से। 122 हम निष्कर्ष निकालते हैं: वर्ग त्रिपद 3x 2 - 10x + 3 अंतराल से x के किसी भी मान के लिए ऋणात्मक मान लेता है (, 3)
उत्तर (, 3), या< х < 3.

टिप्पणी। उदाहरण 5 में हमने जिस तर्क विधि को लागू किया है, उसे आमतौर पर अंतराल की विधि (या अंतराल की विधि) कहा जाता है। इसे हल करने के लिए गणित में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है तर्कसंगतअसमानताएं 9वीं कक्षा में हम अंतराल विधि का अधिक विस्तार से अध्ययन करेंगे।

उदाहरण 6. पैरामीटर पी के किन मूल्यों पर द्विघात समीकरण x 2 - 5x + p 2 \u003d 0 है:
ए) दो अलग-अलग जड़ें हैं;

बी) एक जड़ है;

ग) कोई जड़ नहीं है?

समाधान। द्विघात समीकरण की जड़ों की संख्या उसके विवेचक डी के संकेत पर निर्भर करती है। इस मामले में, हम डी \u003d 25 - 4p 2 पाते हैं।

a) एक द्विघात समीकरण के दो अलग-अलग मूल होते हैं, यदि D> 0, तो समस्या कम हो जाती है, असमानता को हल करने के लिए 25 - 4p 2> 0। हम इस असमानता के दोनों भागों को -1 से गुणा करते हैं (असमानता चिन्ह को बदलना याद रखना)। हम एक समान असमानता प्राप्त करते हैं 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

व्यंजक 4(p - 2.5) (p + 2.5) के चिह्न चित्र में दिखाए गए हैं। 123.

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि असमानता 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

बी) द्विघात समीकरणएक जड़ है यदि D 0 है।
जैसा कि हमने ऊपर बताया, डी = 0 पर पी = 2.5 या पी = -2.5।

यह पैरामीटर p के इन मानों के लिए है कि इस द्विघात समीकरण का केवल एक मूल है।

ग) द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं होता यदि D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

हमें 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2.5) (p + 2.5)> 0, कहाँ से (चित्र 123 देखें) p< -2,5; р >2.5. पैरामीटर p के इन मानों के लिए, इस द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं है।

उत्तर: ए) पी (-2.5, 2.5) पर;

बी) पी = 2.5 या पी = -2.5 पर;
सी) आर पर< - 2,5 или р > 2,5.

मोर्दकोविच ए.जी., बीजगणित. ग्रेड 8: प्रोक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान। - तीसरा संस्करण।, अंतिम रूप दिया गया। - एम .: मेनेमोसिन, 2001. - 223 पी .: बीमार।

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यह भी देखें एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को ग्राफिक रूप से हल करना, रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं का कैननिकल रूप

इस तरह की समस्या के लिए बाधाओं की प्रणाली में दो चर में असमानताएं होती हैं:
और उद्देश्य समारोह का रूप है एफ = सी 1 एक्स + सी 2 आप, जिसे अधिकतम किया जाना है।

आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: संख्याओं के कौन से जोड़े ( एक्स; आप) असमानताओं की प्रणाली के समाधान हैं, अर्थात्, क्या वे प्रत्येक असमानता को एक साथ संतुष्ट करते हैं? दूसरे शब्दों में, किसी सिस्टम को आलेखीय रूप से हल करने का क्या अर्थ है?
पहले आपको यह समझने की जरूरत है कि दो अज्ञात के साथ एक रैखिक असमानता का समाधान क्या है।
दो अज्ञात के साथ एक रैखिक असमानता को हल करने का अर्थ है अज्ञात के मूल्यों के सभी जोड़े निर्धारित करना जिसके लिए असमानता संतुष्ट है।
उदाहरण के लिए, असमानता 3 एक्स – 5आप 42 जोड़े को संतुष्ट करें ( एक्स , आप) : (100, 2); (3, -10), आदि। समस्या ऐसे सभी जोड़ों को खोजने की है।
दो असमानताओं पर विचार करें: कुल्हाड़ी + द्वारा≤ सी, कुल्हाड़ी + द्वारा≥ सी. सीधा कुल्हाड़ी + द्वारा = सीविमान को दो अर्ध-तलों में विभाजित करता है ताकि उनमें से एक के बिंदुओं के निर्देशांक असमानता को संतुष्ट करें कुल्हाड़ी + द्वारा >सी, और अन्य असमानता कुल्हाड़ी + +द्वारा <सी.
वास्तव में, निर्देशांक के साथ एक बिंदु लें एक्स = एक्स 0; फिर एक बिंदु एक सीधी रेखा पर पड़ा हुआ है और एक भुज है एक्स 0 , एक कोटि है

निश्चित होने दें ए<0, बी>0, सी>0. एब्सिस्सा के साथ सभी बिंदु एक्स 0 ऊपर पी(जैसे डॉट एम), पास होना वाईएम>आप 0 , और बिंदु के नीचे के सभी बिंदु पी, भुज के साथ एक्स 0, है Y n<आप 0. जहां तक कि एक्स 0 एक मनमाना बिंदु है, तो रेखा के एक तरफ हमेशा ऐसे बिंदु होंगे जिनके लिए कुल्हाड़ी+ द्वारा > सी, एक अर्ध-तल बनाते हुए, और दूसरी ओर, ऐसे बिंदु जिनके लिए कुल्हाड़ी + द्वारा< सी.

चित्र 1

अर्ध-तल में असमानता का चिन्ह संख्याओं पर निर्भर करता है ए, बी , सी.
इसका तात्पर्य दो चरों में रैखिक असमानताओं की प्रणालियों के चित्रमय समाधान के लिए निम्नलिखित विधि से है। सिस्टम को हल करने के लिए, आपको चाहिए:

प्रत्येक असमानता के लिए, दी गई असमानता के अनुरूप समीकरण लिखिए।
ऐसी रेखाएँ बनाएँ जो समीकरणों द्वारा दिए गए फलनों के ग्राफ़ हों।
प्रत्येक सीधी रेखा के लिए, अर्ध-तल निर्धारित करें, जो असमानता द्वारा दिया गया है। ऐसा करने के लिए, एक मनमाना बिंदु लें जो एक सीधी रेखा पर नहीं है, इसके निर्देशांक को असमानता में बदलें। यदि असमानता सत्य है, तो चुना हुआ बिंदु वाला आधा तल मूल असमानता का समाधान है। यदि असमानता असत्य है, तो रेखा के दूसरी ओर अर्ध-तल इस असमानता के समाधान का समुच्चय है।
असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए, सभी आधे विमानों के चौराहे के क्षेत्र को खोजना आवश्यक है जो सिस्टम में प्रत्येक असमानता का समाधान है।

यह क्षेत्र खाली हो सकता है, तो असमानताओं की व्यवस्था का कोई समाधान नहीं है, यह असंगत है। अन्यथा, सिस्टम को संगत कहा जाता है।
समाधान एक परिमित संख्या और अनंत समुच्चय हो सकते हैं। क्षेत्रफल एक बंद बहुभुज हो सकता है या यह असीमित हो सकता है।

आइए तीन प्रासंगिक उदाहरण देखें।

उदाहरण 1. सिस्टम को ग्राफिक रूप से हल करें:
एक्स + वाई- 1 ≤ 0;
–2एक्स- 2आप + 5 ≤ 0.

समीकरणों पर विचार करें x+y–1=0 तथा –2x–2y+5=0 असमानताओं के अनुरूप;
आइए हम इन समीकरणों द्वारा दी गई सीधी रेखाओं की रचना करें।

चित्र 2

आइए हम असमानताओं द्वारा दिए गए अर्ध-तलों को परिभाषित करें। एक मनमाना बिंदु लीजिए, मान लीजिए (0; 0)। विचार करना एक्स+ y- 1 0, हम बिंदु (0; 0) को प्रतिस्थापित करते हैं: 0 + 0 - 1 ≤ 0। इसलिए, अर्ध-तल में जहां बिंदु (0; 0) स्थित है, एक्स + आप – 1 0, अर्थात्। सीधी रेखा के नीचे स्थित आधा तल पहली असमानता का समाधान है। इस बिंदु (0; 0) को दूसरे बिंदु में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: -2 ∙ 0 - 2 0 + 5 ≤ 0, अर्थात। अर्ध-तल में जहां बिंदु (0; 0) स्थित है, -2 एक्स – 2आप+5≥ 0, और हमसे पूछा गया कि -2 . कहाँ एक्स – 2आप+ 5 0, इसलिए, एक और अर्ध-तल में - सीधी रेखा के ऊपर वाले में।
इन दो अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए। रेखाएँ समानांतर हैं, इसलिए समतल कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, जिसका अर्थ है कि इन असमानताओं की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, यह असंगत है।

उदाहरण 2. असमानताओं की प्रणाली के लिए ग्राफिक रूप से समाधान खोजें:

चित्र तीन
1. असमानताओं के संगत समीकरण लिखिए और सीधी रेखाएँ बनाइए।
एक्स + 2आप– 2 = 0

एक्स	2	0
आप	0	1

आप – एक्स – 1 = 0

एक्स	0	2
आप	1	3

आप + 2 = 0;
आप = –2.
2. बिंदु (0; 0) को चुनने के बाद, हम अर्ध-तलों में असमानताओं के संकेत निर्धारित करते हैं:
0 + 2 0 - 2 ≤ 0, अर्थात्। एक्स + 2आप- 2 0 सीधी रेखा के नीचे आधे तल में;
0 - 0 - 1 0, अर्थात्। आप –एक्स- 1 0 सीधी रेखा के नीचे आधे तल में;
0 + 2 =2 0, अर्थात्। आप+ 2 0 रेखा के ऊपर अर्ध-तल में।
3. इन तीन अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन एक ऐसा क्षेत्रफल होगा जो एक त्रिभुज है। संबंधित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के रूप में क्षेत्र के शीर्षों को खोजना कठिन नहीं है

इस प्रकार से, लेकिन(–3; –2), में(0; 1), से(6; –2).

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें, जिसमें सिस्टम के समाधान का परिणामी डोमेन सीमित नहीं है।

असमानताओं को ऑनलाइन हल करना

असमानताओं को हल करने से पहले, यह अच्छी तरह से समझना आवश्यक है कि समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि असमानता सख्त () या गैर-सख्त (≤, ) है, पहला कदम असमानता चिह्न को समानता (=) के साथ बदलकर समीकरण को हल करना है।

बताएं कि असमानता को हल करने का क्या मतलब है?

समीकरणों का अध्ययन करने के बाद, छात्र के सिर में निम्नलिखित चित्र होता है: आपको चर के ऐसे मान खोजने होंगे जिनके लिए समीकरण के दोनों भाग समान मान लेते हैं। दूसरे शब्दों में, उन सभी बिंदुओं को खोजें जहाँ समानता है। सब कुछ सही है!

असमानताओं के बारे में बात करते समय, उनका मतलब उन अंतरालों (खंडों) को ढूंढना है जिन पर असमानता है। यदि असमानता में दो चर हैं, तो समाधान अब अंतराल नहीं होगा, बल्कि समतल पर कुछ क्षेत्र होंगे। अंदाजा लगाइए कि तीन चरों में असमानता का समाधान क्या होगा?

असमानताओं को कैसे दूर करें?

अंतराल की विधि (उर्फ अंतराल की विधि) को असमानताओं को हल करने का एक सार्वभौमिक तरीका माना जाता है, जिसमें उन सभी अंतरालों को निर्धारित करना शामिल है जिनके भीतर दी गई असमानता को पूरा किया जाएगा।

असमानता के प्रकार में जाने के बिना, इस मामले में यह सार नहीं है, इसके लिए संबंधित समीकरण को हल करना और इसकी जड़ों को निर्धारित करना आवश्यक है, इसके बाद संख्यात्मक अक्ष पर इन समाधानों का पदनाम।

असमानता का हल लिखने का सही तरीका क्या है?

जब आपने असमानता को हल करने के लिए अंतराल निर्धारित कर लिया है, तो आपको समाधान को सही ढंग से लिखना होगा। एक महत्वपूर्ण बारीकियां है - क्या समाधान में शामिल अंतराल की सीमाएं हैं?

यहाँ सब कुछ सरल है। यदि समीकरण का हल ODZ को संतुष्ट करता है और असमानता सख्त नहीं है, तो असमानता के समाधान में अंतराल की सीमा शामिल है। अन्यथा, नहीं।

प्रत्येक अंतराल को ध्यान में रखते हुए, असमानता का समाधान स्वयं अंतराल, या आधा-अंतराल (जब इसकी सीमाओं में से एक असमानता को संतुष्ट करता है), या एक खंड - इसकी सीमाओं के साथ एक अंतराल हो सकता है।

महत्वपूर्ण बिंदु

यह मत सोचो कि केवल अंतराल, आधे अंतराल और खंड ही असमानता का समाधान हो सकते हैं। नहीं, समाधान में व्यक्तिगत बिंदुओं को भी शामिल किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, असमानता |x|≤0 का केवल एक ही हल है - बिंदु 0।

और असमानता |x|

असमानता कैलकुलेटर किसके लिए है?

असमानता कैलकुलेटर सही अंतिम उत्तर देता है। इस मामले में, ज्यादातर मामलों में, संख्यात्मक अक्ष या विमान का एक उदाहरण दिया जाता है। आप देख सकते हैं कि समाधान में अंतराल की सीमाएं शामिल हैं या नहीं - अंक भरे हुए या छेद किए गए प्रदर्शित होते हैं।

ऑनलाइन असमानता कैलकुलेटर के लिए धन्यवाद, आप जांच सकते हैं कि क्या आपने समीकरण की जड़ों को सही ढंग से पाया है, उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित किया है और अंतराल (और सीमाओं) पर असमानता की स्थिति की जांच की है?

यदि आपका उत्तर कैलकुलेटर के उत्तर से भिन्न है, तो आपको निश्चित रूप से अपने समाधान की दोबारा जांच करनी होगी और गलती की पहचान करनी होगी।

असमानता, या के साथ एक व्यंजक है। उदाहरण के लिए, 3x - 5 असमानता को हल करने का अर्थ है उन चरों के सभी मूल्यों को खोजना जिनके लिए यह असमानता सत्य है। इनमें से प्रत्येक संख्या असमानता का समाधान है, और ऐसे सभी समाधानों का समुच्चय इसका है कई समाधान. वे असमानताएँ जिनके हल समान होते हैं, कहलाती हैं समान असमानता.

रैखिक असमानताएं

असमानताओं को हल करने के सिद्धांत समीकरणों को हल करने के सिद्धांतों के समान हैं।

असमानताओं को हल करने के सिद्धांत
किसी भी वास्तविक संख्या a, b, और c के लिए:
असमानताओं को जोड़ने का सिद्धांत: यदि एक असमानताओं के लिए गुणन सिद्धांत: यदि a 0 सत्य है, तो ac यदि bc भी सत्य है।
इसी प्रकार के कथन a b के लिए भी लागू होते हैं।

जब असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता के चिह्न को उलटने की आवश्यकता होती है।
प्रथम-स्तर की असमानताएँ, जैसा कि उदाहरण 1 (नीचे) में है, कहलाती हैं रैखिक असमानताएं.

उदाहरण 1निम्नलिखित असमानताओं में से प्रत्येक को हल करें। फिर समाधान का एक सेट बनाएं।
ए) 3x - 5 बी) 13 - 7x ≥ 10x - 4
समाधान
11/5 से छोटी कोई भी संख्या एक हल है।
समाधान का सेट है (x|x
एक चेक बनाने के लिए, हम y 1 = 3x - 5 और y 2 = 6 - 2x को प्लॉट कर सकते हैं। तब यहाँ से यह देखा जा सकता है कि x . के लिए
समाधान सेट (x|x ≤ 1), या (-∞, 1] है। समाधान सेट का ग्राफ नीचे दिखाया गया है।

दोहरी असमानता

जब दो असमानताओं को एक शब्द द्वारा जोड़ा जाता है और, या, तो यह बनता है दोहरी असमानता. दोहरी असमानता जैसे
-3 और 2x + 5 7
बुलाया जुड़े हुएक्योंकि यह उपयोग करता है और. रिकॉर्ड -3 असमानताओं के जोड़ और गुणा के सिद्धांतों का उपयोग करके दोहरी असमानताओं को हल किया जा सकता है।

उदाहरण 2हल -3 समाधानहमारे पास है

समाधान का सेट (x|x ≤ -1 याएक्स > 3)। हम स्पेसिंग नोटेशन और के प्रतीक का उपयोग करके भी हल लिख सकते हैं संघोंया दोनों सेटों का समावेश: (-∞ -1] (3, ) समाधान के सेट का ग्राफ नीचे दिखाया गया है।

परीक्षण करने के लिए, y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, और y 3 = 1 खींचिए। ध्यान दीजिए कि (x|x -1) के लिए याएक्स > 3), वाई 1 ≤ वाई 2 यावाई 1> वाई 3।

निरपेक्ष मान वाली असमानताएँ (मापांक)

असमानताओं में कभी-कभी मॉड्यूल होते हैं। उन्हें हल करने के लिए निम्नलिखित गुणों का उपयोग किया जाता है।
a > 0 और बीजीय व्यंजक x के लिए:
|x| |x| > a, x या x > a के बराबर है।
|x| . के लिए समान कथन ए और |x| ए.

उदाहरण के लिए,
|x| |वाई| ≥ 1 y -1 . के बराबर है यावाई 1;
और |2x + 3| 4 -4 2x + 3 ≤ 4 के बराबर है।

उदाहरण 4निम्नलिखित असमानताओं में से प्रत्येक को हल करें। समाधान के सेट को प्लॉट करें।
क) |3x + 2| बी) |5 - 2x| 1

समाधान
क) |3x + 2|

समाधान सेट है (x|-7/3 .)