किसी संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य 2. लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें, लेकिन दो या अधिक संख्याओं के लिए

कम से कम सामान्य गुणक कैसे खोजें?

दो संख्याओं में से प्रत्येक के प्रत्येक गुणनखंड को खोजना आवश्यक है, जिसके लिए हम सबसे छोटा सार्व गुणनखंड पाते हैं, और फिर पहली और दूसरी संख्याओं के साथ मेल खाने वाले गुणनखंडों को एक-दूसरे से गुणा करते हैं। उत्पाद का परिणाम वांछित गुणक होगा।

उदाहरण के लिए, हमारे पास संख्याएँ 3 और 5 हैं और हमें LCM (कम से कम सामान्य गुणक) खोजने की आवश्यकता है। हम गुणा किया जाना चाहिएऔर तीन और पांच 1 2 3 से शुरू होने वाली सभी संख्याओं के लिए ...और इसी तरह जब तक हम देखते हैं वही नंबरइधर - उधर।

हम तीनों को गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं: 3, 6, 9, 12, 15

पांच गुणा करें और प्राप्त करें: 5, 10, 15

अभाज्य गुणनखंडन विधि बहुसंख्याओं के अल्पतम उभयनिष्ठ गुणज (LCM) को खोजने के लिए सबसे क्लासिक है। यह विधि निम्नलिखित वीडियो में स्पष्ट और सरल रूप से प्रदर्शित की गई है:

एक आम भाजक और अन्य में जोड़ें, गुणा करें, विभाजित करें, कम करें अंकगणितीय आपरेशनसएक बहुत ही रोमांचक गतिविधि, उदाहरण जो पूरी शीट पर कब्जा कर लेते हैं, विशेष रूप से प्रशंसित होते हैं।

अतः दो संख्याओं के लिए सार्व गुणज ज्ञात कीजिए, जो वह सबसे छोटी संख्या होगी जिससे दो संख्याएँ विभाज्य हों। मैं यह नोट करना चाहता हूं कि आप जो खोज रहे हैं उसे खोजने के लिए भविष्य में सूत्रों का सहारा लेना आवश्यक नहीं है, यदि आप अपने दिमाग में गिन सकते हैं (और इसे प्रशिक्षित किया जा सकता है), तो संख्याएं स्वयं आपके सिर में आ जाती हैं और फिर भिन्न नट की तरह क्लिक करते हैं।

सबसे पहले, हम सीखेंगे कि हम दो संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, और फिर इस आंकड़े को कम कर सकते हैं और बारी-बारी से इन दो संख्याओं से विभाजित कर सकते हैं, इसलिए हम सबसे छोटी गुणज पाएंगे।

उदाहरण के लिए, दो संख्याएँ 15 और 6. हम गुणा करते हैं और 90 प्राप्त करते हैं। यह स्पष्ट रूप से है अधिक संख्या. इसके अलावा, 15 3 से विभाज्य है और 6 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि हम 90 को 3 से भी विभाजित करते हैं। हमें 30 मिलता है। हम 30 को 15 से विभाजित करने का प्रयास करते हैं। और 30 विभाजित 6 है 5. चूंकि 2 सीमा है, यह पता चला है कि संख्या 15 और 6 के लिए सबसे छोटा गुणक 30 होगा।

अधिक संख्या के साथ यह थोड़ा और कठिन होगा। लेकिन यदि आप जानते हैं कि विभाजित या गुणा करने पर कौन सी संख्याएँ शून्य शेष देती हैं, तो, सिद्धांत रूप में, कोई बड़ी कठिनाई नहीं है।

• एनओसी कैसे पता करें

  यहां एक वीडियो है जो आपको कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के दो तरीके दिखाएगा। प्रस्तावित विधियों में से पहले का उपयोग करने का अभ्यास करके, आप बेहतर ढंग से समझ सकते हैं कि कम से कम सामान्य गुणक क्या है।

कम से कम सामान्य गुणक खोजने का एक और तरीका यहां दिया गया है। आइए एक दृष्टांत उदाहरण देखें।

16, 20 और 28: एक साथ तीन संख्याओं का LCM ज्ञात करना आवश्यक है।

• हम प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं:
• हम सभी प्रमुख कारकों की शक्तियों को लिखते हैं:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• हम सबसे बड़ी डिग्रियों वाले सभी अभाज्य भाजक (गुणक) का चयन करते हैं, उन्हें गुणा करते हैं और LCM पाते हैं:

एलसीएम = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560।

एलसीएम (16, 20, 28) = 560।

इस प्रकार, गणना के परिणामस्वरूप, संख्या 560 प्राप्त हुई। यह सबसे छोटा सामान्य गुणक है, अर्थात यह बिना शेष के तीनों संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य है।

लघुत्तम समापवर्त्य वह संख्या है जिसे बिना किसी शेषफल के दी गई अनेक संख्याओं से विभाजित किया जा सकता है। इस तरह के एक आंकड़े की गणना करने के लिए, आपको प्रत्येक संख्या को लेने और इसे सरल कारकों में विघटित करने की आवश्यकता है। मेल खाने वाले नंबर हटा दिए जाते हैं। एक समय में सभी को छोड़ देता है, उन्हें आपस में गुणा करता है और वांछित प्राप्त करता है - कम से कम सामान्य गुणक।

एनओसी, या आम एकाधिक, सबसे छोटा है प्राकृतिक संख्यादो या दो से अधिक संख्याएँ जो बिना किसी शेषफल के दी गई प्रत्येक संख्या से विभाज्य हों।

यहां एक उदाहरण दिया गया है कि कैसे 30 और 42 के कम से कम सामान्य गुणकों को खोजें।

• पहला कदम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना है।

30 के लिए, यह 2 x 3 x 5 है।

42 के लिए, यह 2 x 3 x 7 है। चूंकि 2 और 3 संख्या 30 के विस्तार में हैं, इसलिए हम उन्हें काट देते हैं।

• हम संख्या 30 के विस्तार में शामिल कारकों को लिखते हैं। यह 2 x 3 x 5 है।
• अब आपको उन्हें लापता कारक से गुणा करने की आवश्यकता है, जो हमारे पास 42 को विघटित करते समय होता है, और यह 7 है। हमें 2 x 3 x 5 x 7 मिलता है।
• हम 2 x 3 x 5 x 7 के बराबर पाते हैं और 210 प्राप्त करते हैं।

नतीजतन, हम पाते हैं कि संख्या 30 और 42 का एलसीएम 210 है।

कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, आपको क्रम में कुछ सरल चरणों का पालन करने की आवश्यकता है। दो संख्याओं के उदाहरण का उपयोग करके इस पर विचार करें: 8 और 12

1. हम दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं: 8=2*2*2 और 12=3*2*2
2. हम किसी एक संख्या के लिए समान गुणकों को घटाते हैं। हमारे मामले में, 2 * 2 मैच, हम उन्हें 12 की संख्या के लिए कम करते हैं, फिर 12 का एक कारक होगा: 3.
3. शेष सभी कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 2*2*2*3=24

जाँच करने पर, हम सुनिश्चित करते हैं कि 24 8 और 12 दोनों से विभाज्य है, और यह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य है। यहाँ हम हैं कम से कम सामान्य गुणक खोजें.

मैं संख्याओं 6 और 8 के उदाहरण का उपयोग करके समझाने की कोशिश करूँगा। सबसे छोटा सामान्य गुणक वह संख्या है जिसे इन संख्याओं से विभाजित किया जा सकता है (हमारे मामले में, 6 और 8) और कोई शेष नहीं होगा।

तो, हम पहले 6 को 1, 2, 3, आदि से और 8 को 1, 2, 3, आदि से गुणा करना शुरू करते हैं।

वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे संख्या a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं महत्तम सामान्य भाजकये नंबर। जीसीडी (ए, बी) को निरूपित करें।

दो प्राकृतिक संख्याओं 18 और 60 के उदाहरण का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर विचार करें:

1 आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 पहली संख्या के विस्तार में से वे सभी गुणनखंड हटा दें जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं, हमें प्राप्त होता है 2×3×3 .

3 हम शेष अभाज्य गुणनखंडों को काटकर गुणा करते हैं और संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक प्राप्त करते हैं: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 ध्यान दें कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पहली या दूसरी संख्या से हम गुणनखंडों को काट देते हैं, परिणाम समान होगा:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 और 432

आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

पहली संख्या से हटा दें, जिसके गुणनखंड दूसरी और तीसरी संख्या में नहीं हैं, हमें मिलता है:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

जीसीडी के परिणामस्वरूप ( 324 , 111 , 432 )=3

यूक्लिड के एल्गोरिदम के साथ जीसीडी ढूँढना

का उपयोग करके सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने का दूसरा तरीका यूक्लिड का एल्गोरिथम. यूक्लिड का एल्गोरिथ्म सबसे अधिक है प्रभावी तरीकाखोज जीसीडी, इसका उपयोग करके आपको संख्याओं के शेष भाग को लगातार खोजने और लागू करने की आवश्यकता है आवर्तक सूत्र.

आवर्तक सूत्रजीसीडी के लिए, जीसीडी (ए, बी) = जीसीडी (बी, एक मॉड बी), जहाँ a mod b, a को b से विभाजित करने का शेषफल है।

यूक्लिड का एल्गोरिथम

उदाहरण संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें 7920 और 594

आइए जीसीडी खोजें ( 7920 , 594 ) यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके शेष भाग की गणना करेंगे।

जीसीडी( 7920 , 594 )

जीसीडी( 594 , 7920 आधुनिक 594 ) = जीसीडी ( 594 , 198 )

जीसीडी( 198 , 594 आधुनिक 198 ) = जीसीडी ( 198 , 0 )

जीसीडी( 198 , 0 ) = 198

• 7920 मॉड 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 मॉड 198 = 594 - 3 × 198 = 0

परिणामस्वरूप, हमें GCD ( 7920 , 594 ) = 198

आम एकाधिक

भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर उभयनिष्ठ हर का पता लगाना विभिन्न भाजकजानने और गणना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है आम एकाधिक(एनओसी)।

संख्या "ए" का एक गुणक एक ऐसी संख्या है जो बिना किसी शेष के संख्या "ए" से विभाजित होती है।

संख्याएँ जो 8 के गुणज हैं (अर्थात, इन संख्याओं को बिना शेष के 8 से विभाजित किया जाएगा): ये संख्याएँ हैं 16, 24, 32 ...

9:18, 27, 36, 45 के गुणज…

दी गई संख्या a के अपरिमित रूप से कई गुणज होते हैं, जो एक ही संख्या के भाजक के विपरीत होते हैं। भाजक - एक परिमित संख्या।

दो प्राकृत संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणज वह संख्या होती है जो इन दोनों संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती है।.

आम एकाधिकदो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का (LCM) वह छोटी से छोटी प्राकृत संख्या है जो स्वयं इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है।

एनओसी कैसे पता करें

LCM को दो तरह से पाया और लिखा जा सकता है।

एलसीएम खोजने का पहला तरीका

इस पद्धति का उपयोग आमतौर पर छोटी संख्याओं के लिए किया जाता है।

1. हम प्रत्येक संख्या के लिए गुणकों को एक पंक्ति में तब तक लिखते हैं जब तक कि दोनों संख्याओं के लिए समान गुणज न हो।
2. संख्या "ए" का एक गुणक एक बड़े अक्षर "के" द्वारा दर्शाया गया है।

उदाहरण। एलसीएम 6 और 8 खोजें।

एलसीएम खोजने का दूसरा तरीका

तीन या अधिक संख्याओं के लिए LCM ज्ञात करने के लिए इस विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है।

संख्याओं के प्रसार में समान गुणनखंडों की संख्या भिन्न हो सकती है।

छोटी संख्या (छोटी संख्या) के विस्तार में उन कारकों को रेखांकित करें जो बड़ी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं थे (हमारे उदाहरण में, यह 2 है) और इन कारकों को बड़ी संख्या के विस्तार में जोड़ें।
एलसीएम (24, 60) = 2 2 3 5 2

प्रतिक्रिया में परिणामी कार्य को रिकॉर्ड करें।
उत्तर: एलसीएम (24, 60) = 120

आप निम्न प्रकार से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने को औपचारिक रूप दे सकते हैं। आइए एलसीएम खोजें (12, 16, 24)।

24 = 2 2 2 3

जैसा कि आप संख्याओं के विस्तार से देख सकते हैं, 12 के सभी गुणनखंड 24 (संख्याओं में सबसे बड़ी) के विस्तार में शामिल हैं, इसलिए हम संख्या 16 के विस्तार से LCM में केवल एक 2 जोड़ते हैं।

एलसीएम (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

उत्तर: एलसीएम (12, 16, 24) = 48

एनओसी खोजने के विशेष मामले

यदि संख्याओं में से एक संख्या अन्य से समान रूप से विभाज्य है, तो इन संख्याओं में से सबसे छोटी सामान्य गुणज इस संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (60, 15) = 60
चूँकि सहअभाज्य संख्याओं का कोई उभयनिष्ठ अभाज्य भाजक नहीं होता है, उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

हमारी वेबसाइट पर, आप अपनी गणनाओं की जांच के लिए ऑनलाइन कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए एक विशेष कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

यदि कोई प्राकृत संख्या केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हो, तो वह अभाज्य संख्या कहलाती है।

कोई भी प्राकृत संख्या सदैव 1 और स्वयं से विभाज्य होती है।

संख्या 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है। यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, शेष अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।

कई अभाज्य संख्याएँ हैं, और उनमें से पहली संख्या 2 है। हालाँकि, कोई अंतिम अभाज्य संख्या नहीं है। "अध्ययन के लिए" अनुभाग में, आप 997 तक अभाज्य संख्याओं की तालिका डाउनलोड कर सकते हैं।

लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।

• संख्या 12, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;
• 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या समान रूप से विभाज्य होती है (12 के लिए ये 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं) संख्या के भाजक कहलाते हैं।

एक प्राकृत संख्या का भाजक एक ऐसी प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या "a" को बिना किसी शेषफल के विभाजित करती है।

वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, भाज्य संख्या कहलाती है।

ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12। इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है।

दो दी गई संख्याओं "ए" और "बी" का सामान्य भाजक वह संख्या है जिससे दोनों दी गई संख्याएं "ए" और "बी" बिना शेष के विभाजित होती हैं।

महत्तम सामान्य भाजक(gcd) दो दी गई संख्याओं "a" और "b" का है सबसे बड़ी संख्या, जिससे दोनों संख्याएँ "a" और "b" शेषफल के बिना विभाज्य हैं।

संक्षेप में, संख्याओं "ए" और "बी" का सबसे बड़ा सामान्य भाजक इस प्रकार लिखा गया है:

उदाहरण: जीसीडी (12; 36) = 12।

समाधान रिकॉर्ड में संख्याओं के विभाजक एक बड़े अक्षर "D" द्वारा दर्शाए जाते हैं।

संख्या 7 और 9 में केवल एक सामान्य भाजक है - संख्या 1। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है सह अभाज्य संख्या.

कोप्राइम नंबरवे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनका केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। उनका जीसीडी 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कैसे खोजें

दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का gcd ज्ञात करने के लिए आपको चाहिए:

• संख्याओं के भाजक को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;

लंबवत बार का उपयोग करके गणना आसानी से लिखी जाती है। पंक्ति के बाईं ओर, पहले लाभांश को दाईं ओर - भाजक लिखें। आगे बाएं कॉलम में हम निजी के मान लिखते हैं।

आइए एक उदाहरण के साथ तुरंत समझाएं। आइए संख्या 28 और 64 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

दोनों संख्याओं में समान अभाज्य गुणनखंडों को रेखांकित करें।
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
हम समान अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाते हैं और उत्तर लिखते हैं;
जीसीडी (28; 64) = 2 2 = 4

उत्तर: जीसीडी (28; 64) = 4

आप जीसीडी के स्थान को दो तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं: एक कॉलम में (जैसा कि ऊपर किया गया था) या "एक पंक्ति में"।

जीसीडी लिखने का पहला तरीका

जीसीडी 48 और 36 खोजें।

जीसीडी (48; 36) = 2 2 3 = 12

जीसीडी लिखने का दूसरा तरीका

अब GCD सर्च सॉल्यूशन को एक लाइन में लिखते हैं। जीसीडी 10 और 15 खोजें।

हमारी सूचना साइट पर, आप अपनी गणनाओं की जांच करने के लिए एक सहायक कार्यक्रम की सहायता से ऑनलाइन सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी ढूंढ सकते हैं।

कम से कम सामान्य गुणक ढूँढना, विधियाँ, LCM ज्ञात करने के उदाहरण।

नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम - कम से कम सामान्य एकाधिक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध शीर्षक के तहत लेख से सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है। यहां हम बात करेंगे कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना, और विशेष ध्यानआइए उदाहरणों पर एक नज़र डालें। आइए पहले दिखाते हैं कि इन संख्याओं के जीसीडी के रूप में दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके अल्पतम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करें। उसके बाद, हम तीन का एलसीएम खोजने पर ध्यान केंद्रित करेंगे और अधिकसंख्याएँ, और ऋणात्मक संख्याओं के LCM की गणना पर भी ध्यान दें।

पृष्ठ नेविगेशन।

gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित कम से कम सामान्य गुणक खोजने का एक तरीका है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा संबंध आपको ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के कम से कम सामान्य गुणक की गणना करने की अनुमति देता है। संबंधित सूत्र का रूप है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी). उपरोक्त सूत्र के अनुसार LCM ज्ञात करने के उदाहरणों पर विचार करें।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 । आइए GCD के साथ LCM के लिंक का उपयोग करें, जिसे सूत्र LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) द्वारा व्यक्त किया जाता है। यानी पहले हमें 70 और 126 संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करना है, जिसके बाद हम लिखित सूत्र के अनुसार इन संख्याओं का LCM परिकलित कर सकते हैं।

यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके gcd(126, 70) खोजें: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , इसलिए gcd(126, 70)=14 ।

अब हम आवश्यक अल्पतम समापवर्तक प्राप्त करते हैं: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 ।

एलसीएम (68, 34) क्या है?

चूँकि 68, 34 से समान रूप से विभाज्य है, तो gcd(68, 34)=34 । अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 ।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए LCM ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित नियम पर फिट बैठता है: यदि संख्या a, b से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज a है।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने का दूसरा तरीका अभाज्य संख्याओं में गुणनखंडन पर आधारित है। यदि हम इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, जिसके बाद हम इस गुणनफल से उन सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों को हटा देते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में मौजूद हैं, तो परिणामी उत्पाद इन संख्याओं के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।

एलसीएम खोजने के लिए घोषित नियम समानता एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी) से अनुसरण करता है। वास्तव में, संख्याओं a और b का गुणनफल, संख्याओं a और b के प्रसार में शामिल सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है। बदले में, जीसीडी (ए, बी) सभी प्रमुख कारकों के उत्पाद के बराबर है जो एक साथ संख्या ए और बी के विस्तार में मौजूद हैं (जो कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर अनुभाग में वर्णित है) )

आइए एक उदाहरण लेते हैं। बता दें कि 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । इन विस्तारों के सभी गुणनखंडों का गुणनफल लिखिए: 2 3 3 5 5 5 7 । अब हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करते हैं जो संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार में मौजूद हैं (ऐसे कारक 3 और 5 हैं), तो उत्पाद 2 3 5 5 7 का रूप लेगा। इस उत्पाद का मान 75 और 210 के लघुत्तम समापवर्त्य गुणज के बराबर है, अर्थात LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050।

संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के बाद, इन संख्याओं में से सबसे छोटा सामान्य गुणज ज्ञात कीजिए।

आइए संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

हमें 441=3 3 7 7 और 700=2 2 5 5 7 मिलता है।

अब आइए इन संख्याओं के प्रसार में शामिल सभी कारकों का गुणनफल बनाएं: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 । आइए हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक कारक है - यह संख्या 7 है): 2 2 3 3 5 5 7 7 । तो एलसीएम(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 ।

एलसीएम (441, 700) = 44 100।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके एलसीएम को खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि हम संख्या b के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को संख्या a के विस्तार के गुणनखंडों में जोड़ दें, तो परिणामी गुणनफल का मान संख्याओं a और b के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, आइए सभी समान संख्याएं 75 और 210 लें, उनके विस्तार अभाज्य गुणनखंडों में इस प्रकार हैं: 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में, हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 3 5 5 7 मिलता है, जिसका मान LCM(75) है , 210)।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

हम पहले संख्या 84 और 648 के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं। वे 84=2 2 3 7 और 648=2 2 2 2 3 3 3 3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 मिलता है, जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 की संख्याओं का वांछित न्यूनतम सामान्य गुणज 4,536 है।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करके ज्ञात किया जा सकता है। संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने का एक तरीका देता है।

मान लीजिए धनात्मक पूर्णांक a 1, a 2 , …, a k दिया जाता है, इन संख्याओं का न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज m k अनुक्रमिक गणना में पाया जाता है m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) ।

चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण पर इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और 250 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए ।

पहले हम m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) पाते हैं। ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके, हम निर्धारित करते हैं gcd(140, 9) , हमारे पास 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 है, इसलिए, gcd( 140, 9)=1 , जहां से LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 । यानी एम 2 = 1 260।

अब हम m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) पाते हैं। आइए इसकी गणना gcd(1 260, 54) के माध्यम से करते हैं, जो यूक्लिड एल्गोरिथम द्वारा भी निर्धारित किया जाता है: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 । फिर gcd(1 260, 54)=18 , जहां से LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 । यानी एम 3 \u003d 3 780।

एम 4 = एलसीएम (एम 3, ए 4) = एलसीएम (3 780, 250) खोजना बाकी है। ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके GCD(3 780, 250) पाते हैं: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 । इसलिए, gcd(3 780, 250)=10 , इसलिए LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 । यानी एम 4 \u003d 94 500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।

एलसीएम (140, 9, 54, 250)=94500।

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक आसानी से मिल जाता है। साथ ही, इसका पालन करना चाहिए अगला नियम. कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक गुणनफल के बराबर होता है, जो इस प्रकार बनता है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी गुणनखंडों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंड तीसरे नंबर को प्राप्त कारकों में जोड़ा जाता है, और इसी तरह।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

पाँच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए ।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 एक अभाज्य संख्या है, यह अभाज्य गुणनखंडों में इसके अपघटन के साथ मेल खाता है) और 143=11 13.

इन संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2 , 2 , 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में आपको दूसरी संख्या 6 के अपघटन से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के विस्तार में लुप्त गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि पहली संख्या 84 के विस्तार में 2 और 3 दोनों पहले से मौजूद हैं। आगे गुणनखंड 2 , 2 , 3 और 7 के अलावा हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं , हमें गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 का एक समुच्चय प्राप्त होता है । अगले चरण में इस सेट में गुणनखंड जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसमें पहले से ही 7 समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2 2 2 2 3 7 11 13 मिलता है, जो कि 48 048 के बराबर है।

इसलिए, एलसीएम(84, 6, 48, 7, 143)=48048।

एलसीएम(84, 6, 48, 7,143)=48048।

ऋणात्मक संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक ज्ञात करना

कभी-कभी ऐसे कार्य होते हैं जिनमें आपको कम से कम सामान्य संख्याएँ खोजने की आवश्यकता होती है, जिनमें से एक, कई या सभी संख्याएँ ऋणात्मक होती हैं। इन मामलों में, सभी ऋणात्मक संख्याओं को उनके विपरीत संख्याओं से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जिसके बाद सकारात्मक संख्याओं का एलसीएम पाया जाना चाहिए। ऋणात्मक संख्याओं का LCM ज्ञात करने का यह तरीका है। उदाहरण के लिए, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) और LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888)।

हम ऐसा इसलिए कर सकते हैं क्योंकि a के गुणजों का समुच्चय −a के गुणजों के समुच्चय के समान है (a और −a विपरीत संख्याएं हैं)। वास्तव में, मान लीजिए कि b a का कुछ गुणज है, फिर b, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की अवधारणा ऐसे पूर्णांक q के अस्तित्व पर जोर देती है कि b=a q। लेकिन समानता b=(−a)·(−q) भी सत्य होगी, जो, विभाज्यता की समान अवधारणा के आधार पर, का अर्थ है कि b −a से विभाज्य है, अर्थात b −a का गुणज है। विलोम कथन भी सत्य है: यदि b −a का कुछ गुणज है, तो b भी a का गुणज है।

ऋणात्मक संख्याओं −145 और −45 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

आइए ऋणात्मक संख्याओं −145 और −45 को उनकी विपरीत संख्याओं 145 और 45 से बदलें। हमारे पास LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) है। gcd(145, 45)=5 (उदाहरण के लिए, यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके) निर्धारित करने के बाद, हम LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 की गणना करते हैं। इस प्रकार, ऋणात्मक पूर्णांकों −145 और −45 का लघुत्तम समापवर्तक 1,305 है।

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हम डिवीजन का अध्ययन जारी रखते हैं। इस पाठ में, हम अवधारणाओं को देखेंगे जैसे कि जीसीडीऔर अनापत्ति प्रमाण पत्र.

जीसीडीसबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

अनापत्ति प्रमाण पत्रकम से कम सामान्य गुणक है।

विषय थोड़ा उबाऊ है, लेकिन इसे समझना जरूरी है। इस विषय को समझे बिना आप भिन्नों के साथ प्रभावी ढंग से काम नहीं कर पाएंगे, जो गणित में एक वास्तविक बाधा हैं।

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एऔर बी एऔर बीशेष के बिना विभाजित।

इस परिभाषा को अच्छी तरह से समझने के लिए, हम चर के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं एऔर बीकोई दो संख्याएँ, उदाहरण के लिए, चर के स्थान पर एसंख्या 12 को प्रतिस्थापित करें, और चर के बजाय बीसंख्या 9. अब आइए इस परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 12 और 9 सबसे बड़ी संख्या है जिसके द्वारा 12 और 9 शेष के बिना विभाजित।

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि हम संख्या 12 और 9 के एक सामान्य भाजक के बारे में बात कर रहे हैं, और यह भाजक सभी मौजूदा भाजक में सबसे बड़ा है। यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) पाया जाना चाहिए।

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने के लिए तीन विधियों का उपयोग किया जाता है। पहली विधि काफी समय लेने वाली है, लेकिन यह आपको विषय के सार को अच्छी तरह से समझने और उसके पूरे अर्थ को महसूस करने की अनुमति देती है।

दूसरी और तीसरी विधियां काफी सरल हैं और जीसीडी को जल्दी से ढूंढना संभव बनाती हैं। हम तीनों विधियों पर विचार करेंगे। और व्यवहार में क्या लागू करना है - आप चुनते हैं।

पहला तरीका यह है कि दो संख्याओं के सभी संभावित भाजक ज्ञात करें और उनमें से सबसे बड़ा चुनें। आइए निम्नलिखित उदाहरण में इस विधि पर विचार करें: संख्याओं 12 और 9 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए.

सबसे पहले, हम संख्या 12 के सभी संभावित भाजक पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 12 को 1 से 12 तक की सीमा में सभी भाजक में विभाजित करते हैं। यदि भाजक हमें 12 को बिना शेष के विभाजित करने की अनुमति देता है, तो हम इसे नीले रंग में हाइलाइट करेंगे और कोष्ठक में उचित व्याख्या कीजिए।

12: 1 = 12
(12) बिना शेषफल के 1 से भाग देने पर, 1, 12 का भाजक होता है।

12: 2 = 6
(12 को 2 से विभाजित करने पर शेषफल नहीं मिलता है, अतः 2, 12 का भाजक है)

12: 3 = 4
(12 को 3 से विभाजित करने पर शेषफल नहीं मिलता है, इसलिए 3, 12 का भाजक है)

12: 4 = 3
(12) बिना शेषफल के 4 से विभाजित, इसलिए 4, 12 का भाजक है।

12:5 = 2 (2 बाएँ)
(12 बिना शेष बचे 5 से विभाजित नहीं है, इसलिए 5, 12 का भाजक नहीं है)

12: 6 = 2
(12) बिना शेषफल के 6 से भाग दिया जाता है, इसलिए 6, 12 का भाजक है।

12:7 = 1 (5 बाएँ)
(12, बिना शेष बचे 7 से विभाजित नहीं है, इसलिए 7, 12 का भाजक नहीं है)

12: 8 = 1 (4 बाएँ)
(12 को बिना शेषफल के 8 से विभाजित नहीं किया जाता है, इसलिए 8, 12 का भाजक नहीं है)

12:9 = 1 (3 बाएँ)
(12 को 9 से विभाजित नहीं किया जाता है, शेषफल के बिना, इसलिए 9, 12 का भाजक नहीं है)

12: 10 = 1 (2 बाएँ)
(12 को 10 से विभाजित नहीं किया जाता है, शेषफल के बिना, इसलिए 10, 12 का भाजक नहीं है)

12:11 = 1 (1 बाएँ)
(12 बिना शेष के 11 से विभाजित नहीं है, इसलिए 11, 12 का भाजक नहीं है)

12: 12 = 1
(12 को 12 से बिना किसी शेष भाग के विभाजित किया जाता है, इसलिए 12, 12 का भाजक है)

अब संख्या 9 के भाजक ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, 1 से 9 तक के सभी भाजक की जाँच करें।

9: 1 = 9
(9 को 1 से बिना किसी शेष भाग के विभाजित किया जाता है, इसलिए 1 9 का भाजक है)

9: 2 = 4 (1 बाएँ)
(9 बिना शेष के 2 से विभाजित नहीं है, इसलिए 2 9 का भाजक नहीं है)

9: 3 = 3
(9 को 3 से विभाजित किया जाता है और शेषफल नहीं मिलता है, इसलिए 3, 9 का भाजक है)

9: 4 = 2 (1 बाएँ)
(9 को शेषफल के बिना 4 से विभाजित नहीं किया जाता है, इसलिए 4, 9 का भाजक नहीं है)

9:5 = 1 (4 बाएँ)
(9 बिना शेष के 5 से विभाजित नहीं है, इसलिए 5, 9 का भाजक नहीं है)

9: 6 = 1 (3 बाएँ)
(9 शेषफल के बिना 6 से विभाजित नहीं होता है, इसलिए 6 9 का भाजक नहीं है)

9:7 = 1 (2 बाएँ)
(9 को बिना शेष के 7 से विभाजित नहीं किया जाता है, इसलिए 7, 9 का भाजक नहीं है)

9:8 = 1 (1 बाएँ)
(9 बिना शेष के 8 से विभाजित नहीं है, इसलिए 8, 9 का भाजक नहीं है)

9: 9 = 1
(9 को 9 से बिना शेषफल के विभाजित किया जाता है, इसलिए 9, 9 का भाजक है)

अब दोनों संख्याओं के भाजक लिखिए। नीले रंग में हाइलाइट की गई संख्याएँ भाजक हैं। आइए उन्हें लिखते हैं:

भाजक लिखने के बाद, आप तुरंत यह निर्धारित कर सकते हैं कि कौन सा सबसे बड़ा और सबसे आम है।

परिभाषा के अनुसार, 12 और 9 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक वह संख्या है जिससे 12 और 9 समान रूप से विभाज्य हैं। संख्या 12 और 9 का सबसे बड़ा और सामान्य भाजक संख्या 3 . है

संख्या 12 और संख्या 9 दोनों बिना शेष के 3 से विभाज्य हैं:

तो जीसीडी (12 और 9) = 3

जीसीडी खोजने का दूसरा तरीका

अब सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने के दूसरे तरीके पर विचार करें। सार यह विधिदोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करना और उभयनिष्ठ गुणनखंडों को गुणा करना है।

उदाहरण 1. संख्या 24 और 18 . की GCD ज्ञात कीजिए

सबसे पहले, आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

अब हम उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों को गुणा करते हैं। भ्रमित न होने के लिए, सामान्य कारकों को रेखांकित किया जा सकता है।

हम संख्या 24 के अपघटन को देखते हैं। इसका पहला गुणनखंड 2 है। हम संख्या 18 के अपघटन में उसी कारक की तलाश कर रहे हैं और देखते हैं कि यह भी है। हम दोनों दो को रेखांकित करते हैं:

हम फिर से संख्या 24 के अपघटन को देखते हैं। इसका दूसरा गुणनखंड भी 2 है। हम संख्या 18 के अपघटन में उसी कारक की तलाश कर रहे हैं और देखते हैं कि यह दूसरी बार नहीं है। तब हम कुछ भी हाइलाइट नहीं करते हैं।

संख्या 24 के विस्तार में अगले दो भी संख्या 18 के विस्तार में गायब हैं।

हम संख्या 24 के अपघटन में अंतिम कारक की ओर जाते हैं। यह कारक 3 है। हम संख्या 18 के अपघटन में उसी कारक की तलाश कर रहे हैं और हम देखते हैं कि यह भी है। हम दोनों तीनों पर जोर देते हैं:

तो, संख्या 24 और 18 के सामान्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। GCD प्राप्त करने के लिए, इन कारकों को गुणा किया जाना चाहिए:

तो जीसीडी (24 और 18) = 6

जीसीडी खोजने का तीसरा तरीका

अब सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने के तीसरे तरीके पर विचार करें। इस पद्धति का सार इस तथ्य में निहित है कि सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को अभाज्य कारकों में विघटित कर दिया जाता है। फिर, पहली संख्या के अपघटन से, दूसरी संख्या के अपघटन में शामिल नहीं किए गए कारकों को हटा दिया जाता है। पहले विस्तार में शेष संख्याओं को गुणा किया जाता है और GCD प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, आइए 28 और 16 की संख्या के लिए जीसीडी इस तरह से खोजें। सबसे पहले, हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:

हमें दो विस्तार मिले: और

अब, पहली संख्या के विस्तार से, हम उन कारकों को हटाते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में सात शामिल नहीं है। हम इसे पहले विस्तार से हटा देंगे:

अब हम शेष कारकों को गुणा करते हैं और GCD प्राप्त करते हैं:

संख्या 4 संख्या 28 और 16 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दोनों संख्याएँ शेष के बिना 4 से विभाज्य हैं:

उदाहरण 2संख्या 100 और 40 . की GCD ज्ञात कीजिए

संख्या 100 . का गुणनखंड करना

संख्या 40 . का गुणनखंड करना

हमें दो विस्तार मिले:

अब, पहली संख्या के विस्तार से, हम उन कारकों को हटाते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में एक पाँच शामिल नहीं है (केवल एक पाँच है)। हम इसे पहले अपघटन से हटाते हैं

शेष संख्याओं को गुणा करें:

हमें उत्तर 20 मिला। तो संख्या 20, संख्या 100 और 40 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दो संख्याएँ शेष के बिना 20 से विभाज्य हैं:

जीसीडी (100 और 40) = 20।

उदाहरण 3 72 और 128 . की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए

संख्या 72 . का गुणनखंड करना

संख्या 128 . का गुणनखंड करना

2×2×2×2×2×2×2

अब, पहली संख्या के विस्तार से, हम उन कारकों को हटाते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में दो त्रिक शामिल नहीं हैं (बिल्कुल भी नहीं हैं)। हम उन्हें पहले विस्तार से हटाते हैं:

हमें उत्तर 8 मिला। तो संख्या 8, 72 और 128 की संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दो संख्याएँ बिना शेष के 8 से विभाज्य हैं:

जीसीडी (72 और 128) = 8

एकाधिक संख्याओं के लिए GCD ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है, न कि केवल दो के लिए। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल मिलता है।

उदाहरण के लिए, आइए 18, 24 और 36 . की संख्याओं के लिए GCD ज्ञात करें

संख्या 18 . का गुणनखंड करना

संख्या 24 . का गुणनखंड करना

संख्या 36 . का गुणनखंड

हमें तीन विस्तार मिले:

अब हम इन संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को चुनते हैं और रेखांकित करते हैं। सामान्य कारकों को तीनों संख्याओं में शामिल किया जाना चाहिए:

हम देखते हैं कि 18, 24 और 36 की संख्याओं के लिए सामान्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। इन कारकों को गुणा करने पर, हमें वह GCD प्राप्त होता है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं:

हमें 6 का उत्तर मिला है। तो संख्या 6, 18, 24 और 36 की संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये तीन संख्याएँ शेष के बिना 6 से विभाज्य हैं:

जीसीडी (18, 24 और 36) = 6

उदाहरण 2संख्या 12, 24, 36 और 42 . के लिए gcd ज्ञात कीजिए

आइए प्रत्येक संख्या का गुणनखंड करें। तब हम इन संख्याओं के सार्व गुणनखंडों का गुणनफल पाते हैं।

संख्या 12 का गुणन

संख्या 42 . का गुणनखंड

हमें चार विस्तार मिले:

अब हम इन संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को चुनते हैं और रेखांकित करते हैं। सामान्य कारकों को सभी चार संख्याओं में शामिल किया जाना चाहिए:

हम देखते हैं कि संख्या 12, 24, 36 और 42 के सामान्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। इन कारकों को गुणा करने पर, हमें वह GCD प्राप्त होता है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं:

हमें 6 का उत्तर मिला है। अतः संख्या 6, संख्याओं 12, 24, 36 और 42 का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक है। ये संख्याएँ शेषफल के बिना 6 से विभाज्य हैं:

जीसीडी(12, 24, 36 और 42) = 6

पिछले पाठ से हम जानते हैं कि यदि किसी संख्या को शेषफल के बिना दूसरी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो वह इस संख्या का गुणज कहलाती है।

यह पता चला है कि एक बहु कई संख्याओं के लिए सामान्य हो सकता है। और अब हम दो संख्याओं के गुणज में रुचि लेंगे, जबकि यह यथासंभव छोटा होना चाहिए।

परिभाषा। संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक (LCM) एऔर बी- एऔर बी एऔर संख्या बी.

परिभाषा में दो चर शामिल हैं एऔर बी. आइए इन चरों के लिए किन्हीं दो संख्याओं को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए, एक चर के बजाय एसंख्या 9 को प्रतिस्थापित करें, और चर के बजाय बीआइए संख्या 12 को प्रतिस्थापित करें। अब आइए परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक (LCM) 9 और 12 - यह सबसे छोटी संख्या, जो एक बहु है 9 और 12 . दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसी छोटी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के विभाज्य है 9 और नंबर पर 12 .

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि LCM वह सबसे छोटी संख्या है जो बिना शेषफल के 9 और 12 से विभाज्य है। यह LCM ज्ञात करना आवश्यक है।

कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के दो तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणकों को लिख सकते हैं, और फिर इन गुणकों में से ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो संख्याओं और छोटी दोनों के लिए समान हो। आइए इस विधि को लागू करें।

सबसे पहले, आइए संख्या 9 के लिए पहला गुणज खोजें। 9 के गुणजों को खोजने के लिए, आपको इस नौ को 1 से 9 तक की संख्याओं से बारी-बारी से गुणा करना होगा। आपको जो उत्तर मिलेंगे, वे संख्या 9 के गुणज होंगे। तो , चलो शुरू करते हैं। गुणकों को लाल रंग में हाइलाइट किया जाएगा:

अब हम संख्या 12 के गुणज पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 12 को सभी संख्याओं 1 से 12 को बारी-बारी से गुणा करते हैं।

निम्नलिखित समस्या के समाधान पर विचार करें। लड़के का कदम 75 सेमी है, और लड़की का कदम 60 सेमी है। यह न्यूनतम दूरी ज्ञात करना आवश्यक है जिस पर दोनों एक पूर्णांक संख्या में कदम उठाएंगे।

फेसला।लोग जिस पूरे रास्ते से गुजरेंगे, वह बिना किसी शेषफल के 60 और 70 से विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि उनमें से प्रत्येक को पूर्णांक संख्या में कदम उठाने होंगे। दूसरे शब्दों में, उत्तर 75 और 60 दोनों का गुणज होना चाहिए।

सबसे पहले, हम संख्या 75 के लिए सभी गुणजों को लिखेंगे। हमें प्राप्त होता है:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

अब आइए उन संख्याओं को लिखें जो 60 का गुणज हों। हमें प्राप्त होता है:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

अब हम उन संख्याओं को ज्ञात करते हैं जो दोनों पंक्तियों में हैं।

• संख्याओं का सामान्य गुणज संख्याएँ, 300, 600 आदि होंगी।

उनमें से सबसे छोटी संख्या 300 है। इस मामले में, इसे 75 और 60 की संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक कहा जाएगा।

समस्या की स्थिति में लौटते हुए, सबसे छोटी दूरी जिस पर लोग पूर्णांक संख्या में कदम उठाते हैं वह 300 सेमी होगा।लड़का 4 चरणों में इस तरह से जाएगा, और लड़की को 5 कदम उठाने की आवश्यकता होगी।

कम से कम सामान्य गुणक ढूँढना

• दो प्राकृत संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्त्य वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करने के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में लिखना आवश्यक नहीं है।

आप निम्न विधि का उपयोग कर सकते हैं।

कम से कम सामान्य गुणक कैसे खोजें

सबसे पहले, आपको इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना होगा।

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

अब हम उन सभी गुणनखंडों को लिखते हैं जो पहली संख्या (2,2,3,5) के विस्तार में हैं और दूसरी संख्या (5) के विस्तार से सभी लुप्त गुणनखंडों को इसमें जोड़ते हैं।

नतीजतन, हमें अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला मिलती है: 2,2,3,5,5। इन संख्याओं का गुणनफल इन संख्याओं के लिए अल्पतम समापवर्तक होगा। 2*2*3*5*5 = 300.

अल्पतम समापवर्त्य ज्ञात करने की सामान्य योजना

• 1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें।
• 2. उन अभाज्य कारकों को लिखिए जो उनमें से किसी एक का भाग हैं।
• 3. इन कारकों में उन सभी को जोड़ें जो बाकी के अपघटन में हैं, लेकिन चयनित में नहीं हैं।
• 4. लिखे गए सभी कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यह विधि सार्वभौमिक है। इसका उपयोग प्राकृतिक संख्याओं की किसी भी संख्या के सबसे छोटे सामान्य गुणकों को खोजने के लिए किया जा सकता है।

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको दो या किसी अन्य संख्या का सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एनओसी खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एनओसी खोजें

जीसीडी और एनओसी मिला: 6433

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट क्षेत्र में नंबर दर्ज करें
• गलत वर्ण दर्ज करने की स्थिति में, इनपुट फ़ील्ड को लाल रंग में हाइलाइट किया जाएगा
• बटन दबाएं "जीसीडी और एनओसी खोजें"

नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को रिक्त स्थान, बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का gcd और lcm ज्ञात करना कठिन नहीं होगा

एनओडी और एनओके क्या है?

महत्तम सामान्य भाजकअनेक संख्याओं का वह सबसे बड़ा प्राकृत पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़ा सामान्य भाजक संक्षिप्त रूप में है जीसीडी.
आम एकाधिककई संख्याएँ वह छोटी से छोटी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के मूल संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य का संक्षिप्त रूप इस प्रकार है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

कैसे जांचें कि कोई संख्या शेष के बिना किसी अन्य संख्या से विभाज्य है या नहीं?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या शेष के बिना दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें मिलाकर, उनमें से कुछ और उनके संयोजनों द्वारा विभाज्यता की जांच की जा सकती है।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या की 2 . से विभाज्यता का चिह्न
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखने के लिए पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 2 से विभाज्य है।
फेसला:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या की 3 से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा निकला हो, आप उसी प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं। दोबारा।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 3 से विभाज्य है।
फेसला:हम अंकों का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या की 5 . से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 5 से विभाज्य है।
फेसला:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पांच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या की 9 . से विभाज्यता का चिह्न
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 9 से विभाज्य है।
फेसला:हम अंकों के योग की गणना करते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का GCD कैसे ज्ञात करें

ज़्यादातर सरल तरीके सेदो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करना उन संख्याओं के सभी संभावित भाजक को खोजना और उनमें से सबसे बड़ा चुनना है।

GCD(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंड करते हैं: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. हम उभयनिष्ठ गुणनखंड पाते हैं, अर्थात् वे जिनमें दोनों संख्याएँ हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 \u003d 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणज लिख सकते हैं, और फिर उनमें से ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं के लिए समान हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की GCD ज्ञात करना है। आइए बस इस पर विचार करें।

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के गुणनफल की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले मिली जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) पहले से ही 4 . के रूप में जाना जाता है
3. एलसीएम(28, 36) = 1008/4 = 252।

एकाधिक संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है, न कि केवल दो के लिए। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल मिलता है। साथ ही, कई संख्याओं की GCD ज्ञात करने के लिए, आप निम्न संबंध का उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी (ए, बी, सी) = जीसीडी (जीसीडी (ए, बी), सी).

इसी तरह का संबंध संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों पर भी लागू होता है: एलसीएम (ए, बी, सी) = एलसीएम (एलसीएम (ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए GCD और LCM ज्ञात कीजिए।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 ।
2. आइए सामान्य गुणनखंड खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद जीसीडी देगा: 1 2 2 = 4
4. अब आइए एलसीएम खोजें: इसके लिए हम सबसे पहले एलसीएम(12, 32): 12 32/4 = 96 पाते हैं।
5. तीनों संख्याओं का एलसीएम खोजने के लिए, आपको जीसीडी (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, जीसीडी = 1 2 2 3 = 12 खोजने की जरूरत है।
6. एलसीएम(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288।

नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम शीर्षक के तहत लेख से सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है - कम से कम सामान्य गुणक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध। यहां हम बात करेंगे कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना, और उदाहरणों को हल करने पर विशेष ध्यान दें। आइए पहले दिखाते हैं कि इन संख्याओं के जीसीडी के रूप में दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके अल्पतम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करें। उसके बाद, हम तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने पर ध्यान केंद्रित करेंगे, और ऋणात्मक संख्याओं के एलसीएम की गणना पर भी ध्यान देंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित कम से कम सामान्य गुणक खोजने का एक तरीका है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा संबंध आपको ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के कम से कम सामान्य गुणक की गणना करने की अनुमति देता है। संबंधित सूत्र का रूप है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी) . उपरोक्त सूत्र के अनुसार LCM ज्ञात करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

फेसला।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 । आइए हम सूत्र द्वारा व्यक्त एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध का उपयोग करें एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी). यानी पहले हमें 70 और 126 संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करना है, जिसके बाद हम लिखित सूत्र के अनुसार इन संख्याओं का LCM परिकलित कर सकते हैं।

यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके gcd(126, 70) खोजें: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , इसलिए gcd(126, 70)=14 ।

अब हम आवश्यक कम से कम सामान्य गुणक पाते हैं: एलसीएम(126, 70)=126 70: जीसीएम(126, 70)= 126 70:14=630।

जवाब:

एलसीएम(126, 70)=630।

उदाहरण।

एलसीएम (68, 34) क्या है?

फेसला।

जैसा 68, 34 से समान रूप से विभाज्य है, फिर gcd(68, 34)=34 । अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: एलसीएम(68, 34)=68 34: एलसीएम(68, 34)= 68 34:34=68 ।

जवाब:

एलसीएम (68, 34) = 68।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए LCM ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित नियम पर फिट बैठता है: यदि संख्या a, b से विभाज्य है, तो इन संख्याओं में से सबसे छोटी सामान्य गुणज a है।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने का दूसरा तरीका अभाज्य संख्याओं में गुणनखंडन पर आधारित है। यदि हम इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, जिसके बाद हम इस गुणनफल से उन सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों को हटा देते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में मौजूद हैं, तो परिणामी उत्पाद इन संख्याओं के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।

एलसीएम खोजने के लिए घोषित नियम समानता से निम्नानुसार है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी). वास्तव में, संख्याओं a और b का गुणनफल, संख्याओं a और b के प्रसार में शामिल सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है। बदले में, जीसीडी (ए, बी) सभी प्रमुख कारकों के उत्पाद के बराबर है जो एक साथ संख्या ए और बी के विस्तार में मौजूद हैं (जो कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर अनुभाग में वर्णित है) )

आइए एक उदाहरण लेते हैं। बता दें कि 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । इन विस्तारों के सभी गुणनखंडों का गुणनफल लिखिए: 2 3 3 5 5 5 7 । अब हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करते हैं जो संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार में मौजूद हैं (ऐसे कारक 3 और 5 हैं), तो उत्पाद 2 3 5 5 7 का रूप लेगा। इस गुणनफल का मान 75 और 210 की संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर है, अर्थात, एलसीएम(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

उदाहरण।

संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के बाद, इन संख्याओं में से सबसे छोटा सामान्य गुणज ज्ञात कीजिए।

फेसला।

आइए संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

हमें 441=3 3 7 7 और 700=2 2 5 5 7 मिलता है।

अब आइए इन संख्याओं के प्रसार में शामिल सभी कारकों का गुणनफल बनाएं: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 । आइए हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक कारक है - यह संख्या 7 है): 2 2 3 3 5 5 7 7 । इस प्रकार, एलसीएम(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

जवाब:

एलसीएम (441, 700) = 44 100।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके एलसीएम को खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि हम संख्या बी के विस्तार से लापता कारकों को संख्या ए के अपघटन से कारकों में जोड़ते हैं, तो परिणामी उत्पाद का मूल्य संख्याओं ए और बी के कम से कम सामान्य गुणक के बराबर होगा.

उदाहरण के लिए, आइए सभी समान संख्याएं 75 और 210 लें, उनके विस्तार अभाज्य गुणनखंडों में इस प्रकार हैं: 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में, हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 3 5 5 7 मिलता है, जिसका मान LCM(75) है , 210)।

उदाहरण।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

फेसला।

हम पहले संख्या 84 और 648 के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं। वे 84=2 2 3 7 और 648=2 2 2 2 3 3 3 3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 मिलता है, जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 की संख्याओं का वांछित न्यूनतम सामान्य गुणज 4,536 है।

जवाब:

एलसीएम(84, 648)=4 536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करके ज्ञात किया जा सकता है। संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने का एक तरीका देता है।

प्रमेय।

मान लीजिए धनात्मक पूर्णांक a 1, a 2 , …, a k दिया जाता है, इन संख्याओं का न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज m k अनुक्रमिक गणना में पाया जाता है m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) ।

चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण पर इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और 250 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए ।

फेसला।

इस उदाहरण में a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 ।

पहले हम पाते हैं एम 2 \u003d एलसीएम (ए 1, ए 2) \u003d एलसीएम (140, 9). ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके, हम निर्धारित करते हैं gcd(140, 9) , हमारे पास 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 है, इसलिए, gcd( 140, 9)=1 , कहाँ से एलसीएम(140, 9)=140 9: एलसीएम(140, 9)= 140 9:1=1 260 । यानी एम 2 = 1 260।

अब हम पाते हैं एम 3 \u003d एलसीएम (एम 2, ए 3) \u003d एलसीएम (1 260, 54). आइए इसकी गणना gcd(1 260, 54) के माध्यम से करते हैं, जो यूक्लिड एल्गोरिथम द्वारा भी निर्धारित किया जाता है: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 । फिर gcd(1 260, 54)=18 , जहां से LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 । यानी एम 3 \u003d 3 780।

खोजने के लिए छोड़ दिया एम 4 \u003d एलसीएम (एम 3, ए 4) \u003d एलसीएम (3 780, 250). ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके GCD(3 780, 250) पाते हैं: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 । इसलिए, gcd(3 780, 250)=10 , जहां से gcd(3 780, 250)= 3 780 250:जीसीडी(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500। यानी एम 4 \u003d 94 500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।

जवाब:

एलसीएम (140, 9, 54, 250)=94,500.

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक आसानी से मिल जाता है। इस मामले में, निम्नलिखित नियम का पालन किया जाना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक गुणनफल के बराबर होता है, जो इस प्रकार बनता है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी गुणनखंडों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंड तीसरे नंबर को प्राप्त कारकों में जोड़ा जाता है, और इसी तरह।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

पाँच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए ।

फेसला।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं के विस्तार को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 अभाज्य गुणनखंड) और 143=11 13 ।

इन संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के विस्तार में लुप्त गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि पहली संख्या 84 के विस्तार में 2 और 3 दोनों पहले से मौजूद हैं। आगे गुणनखंड 2 , 2 , 3 और 7 के अलावा हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं , हमें गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 का एक समुच्चय प्राप्त होता है । अगले चरण में इस सेट में गुणनखंड जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसमें पहले से ही 7 समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2 2 2 2 3 7 11 13 मिलता है, जो कि 48 048 के बराबर है।