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द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए एक एल्गोरिथम दिया गया है। आइए द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म की रचना करें

1. विभेदक का पता लगाएं डीसूत्र के अनुसार डी = -4ac.

2.अगर डी<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. यदि D=0, तो समीकरण का एक मूल है:

4. यदि D>0, तो समीकरण के दो मूल हैं:

आइए अब अपने समीकरण को हल करना शुरू करते हैं 3 -10x+3=0,

जहां =3, बी=-10 और सी=3।

विभेदक ढूँढना:

डी = -4*3*3=64

चूँकि D>0, तो इस समीकरण के दो मूल हैं। हम उन्हें ढूंढते हैं:

; .

इस प्रकार, बहुपद के मूल एफ(एक्स)=3 -10+3 संख्या 3 और होगी।

हॉर्नर की योजना

हॉर्नर की योजना(या हॉर्नर का नियम, हॉर्नर की विधि) - एक बहुपद के मूल्य की गणना के लिए एक एल्गोरिथ्म, एक चर के दिए गए मान के लिए बहुपद (एकपद) के योग के रूप में लिखा जाता है . बदले में, वह हमें यह पता लगाने में मदद करती है कि संख्या दिए गए बहुपद का मूल है या नहीं।

सबसे पहले, विचार करें कि बहुपद को कैसे विभाजित किया जाता है च (एक्स) द्विपद में जी (एक्स).

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: एफ (एक्स): जी (एक्स) = एन (एक्स),कहाँ पे च (एक्स) -लाभांश, जी (एक्स) -भाजक एन (एक्स) -निजी।

लेकिन मामले में जब एफ (एक्स)से विभाज्य नहीं है जी (एक्स)अभिव्यक्ति का एक सामान्य संकेतन है

यहाँ, डिग्री r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

एक बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करने पर विचार करें। रहने दो

,

हम पाते हैं

जहाँ r एक संख्या है क्योंकि r की डिग्री (x-c) की डिग्री से कम होनी चाहिए।

आइए गुणा करें एस (एक्स)चालू करो और प्राप्त करो

इस प्रकार, द्विपद द्वारा विभाजित करते समय, प्राप्त सूत्रों से भागफल के गुणांकों को निर्धारित करना संभव है। गुणांकों को निर्धारित करने की इस पद्धति को हॉर्नर योजना कहा जाता है।

...
+ ...
सी ... आर

अब आइए हॉर्नर योजना के अनुप्रयोग के कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण. बहुपद विभाजन करें एफ (एक्स) =पर एक्स+3.

फेसला।शुरुआत में लिखना जरूरी है एक्स+3)जैसा ( एक्स-(-3)), चूंकि बिल्कुल -3 योजना में ही भाग लेंगे। शीर्ष पंक्ति में हम गुणांक लिखेंगे, नीचे की रेखा में - क्रियाओं का परिणाम।


च (एक्स)=(x-2)(1)+16.

हॉर्नर योजना के अनुसार जड़ों का पता लगाना। जड़ के प्रकार

हॉर्नर की योजना के अनुसार, एक बहुपद के पूर्णांक मूल ज्ञात कर सकते हैं च (एक्स) आइए इसे एक उदाहरण के साथ देखें।

उदाहरण. एक बहुपद के सभी पूर्णांक मूल ज्ञात कीजिए च (एक्स)= , हॉर्नर योजना का उपयोग करते हुए।

फेसला।इस बहुपद के गुणांक पूर्णांक हैं। उच्चतम डिग्री से पहले का गुणांक (हमारे मामले में पहले) एक के बराबर है। इसलिए, हम मुक्त पद (हमारे पास 15) के भाजक के बीच बहुपद की पूर्णांक जड़ों की तलाश करेंगे, ये संख्याएं हैं:

आइए नंबर 1 से शुरू करते हैं।

तालिका नंबर एक

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38

परिणामी तालिका से यह देखा जा सकता है कि =1 बहुपद के बहुपद के लिए च (एक्स)= , हमें शेषफल r=192 मिला, न कि 0, जिसका अर्थ है कि इकाई जड़ नहीं है। इसलिए, हम जांच को = -1 पर जारी रखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक नई तालिका नहीं बनाएंगे, लेकिन पुराने में जारी रखेंगे, और उस डेटा को पार कर लेंगे जो अब आवश्यक नहीं है।

तालिका संख्या 2

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22

जैसा कि हम तालिका से देख सकते हैं, अंतिम सेल शून्य निकला, जिसका अर्थ है कि r = 0। इसलिये? संख्या -1 इस बहुपद का मूल है। हमारे बहुपद बहुपद को विभाजित करना च (एक्स)= पर ()=x+1 हमें एक बहुपद मिला है

च (एक्स)=(x+1)(),

गुणांक जिसके लिए हमने तालिका संख्या 2 की तीसरी पंक्ति से लिया।

हम समान अंकन भी बना सकते हैं

(एक्स + 1) ()। उसे टैग करें (1)

अब पूर्णांक जड़ों की खोज जारी रखना आवश्यक है, लेकिन केवल अब हम पहले से ही बहुपद की जड़ों की तलाश करेंगे। हम इन जड़ों को बहुपद, संख्या 45 के मुक्त पद के बीच देखेंगे।

आइए फिर से नंबर -1 की जांच करें।

टेबल तीन

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22

अत: संख्या -1 बहुपद का मूल है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

समानता (2) को ध्यान में रखते हुए, हम समानता (1) को निम्नलिखित रूप में लिख सकते हैं:

अब हम बहुपद के लिए जड़ों की तलाश कर रहे हैं, फिर से मुक्त पद के भाजक के बीच। आइए फिर से नंबर -1 की जांच करें।

तालिका संख्या 4

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21

तालिका के अनुसार, हम देखते हैं कि संख्या -1 बहुपद का मूल है।

दिया गया (3*), हम समानता (2*) को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

अब हम इसके लिए जड़ की तलाश करेंगे। फिर से हम मुक्त पद के भाजक को देखते हैं। आइए फिर से नंबर -1 से जांचना शुरू करें।

तालिका संख्या 5

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19

हमें एक शेषफल मिला जो शून्य के बराबर नहीं है, जिसका अर्थ है कि संख्या -1 बहुपद का मूल नहीं है। आइए अगले नंबर 1 की जांच करें।

तालिका संख्या 6

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21

और हम देखते हैं कि यह फिर से फिट नहीं होता है, शेष r(x) = 24 है। हम एक नई संख्या लेते हैं।

आइए नंबर 3 की जांच करें।

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15

तालिका संख्या 7

r(x)= 0, इसका अर्थ है कि संख्या 3 बहुपद का मूल है, हम इस बहुपद को इस प्रकार लिख सकते हैं:

=(x-3)( )

परिणामी अभिव्यक्ति को देखते हुए, हम समानता (5) को निम्नानुसार लिख सकते हैं:

(एक्स-3)( ) (6)

आइए अब बहुपद की जाँच करें

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+

तालिका संख्या 8

तालिका के आधार पर, हम देखते हैं कि संख्या 3 बहुपद का मूल है . आइए अब निम्नलिखित लिखें:

हम परिणामी अभिव्यक्ति को ध्यान में रखते हुए समानता (5*) लिखते हैं:

(एक्स -3) () = = .

मुक्त पद के भाजक के बीच द्विपद का मूल ज्ञात कीजिए।

आइए 5 नंबर लेते हैं

तालिका संख्या 9

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+
+ -5
-5

r(x)=0, इसलिए 5 द्विपद का मूल है।

इस प्रकार, हम लिख सकते हैं

फेसला यह उदाहरणतालिका संख्या 8 होगी।

जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, संख्याएँ -1; 3; 5 बहुपद के मूल हैं।

अब सीधे चलते हैं जड़ों के प्रकार.

1 तीसरी डिग्री का मूल है, क्योंकि ब्रैकेट (x + 1) तीसरी डिग्री में है;

3- दूसरी डिग्री की जड़, दूसरी डिग्री में ब्रैकेट (x-3);

5 पहली डिग्री का मूल है या, दूसरे शब्दों में, सरल।

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शब्द "द्विघात समीकरण" में मुख्य शब्द "द्विघात" है। इसका मतलब यह है कि समीकरण में वर्ग में एक चर (समान एक्स) होना चाहिए, और साथ ही तीसरी (या अधिक) डिग्री में एक्स नहीं होना चाहिए।

द्विघात समीकरणों के हल में अनेक समीकरणों के हल को घटाया जाता है।

आइए यह निर्धारित करना सीखें कि हमारे पास द्विघात समीकरण है, न कि कुछ अन्य।

उदाहरण 1

हर से छुटकारा पाएं और समीकरण के प्रत्येक पद को गुणा करें

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं और शर्तों को x . की शक्तियों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें

अब हम पक्के तौर पर कह सकते हैं कि दिया गया समीकरणचौकोर है!

उदाहरण 2

बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करें:

यह समीकरण, हालांकि मूल रूप से इसमें था, एक वर्ग नहीं है!

उदाहरण 3

आइए सब कुछ गुणा करें:

डरावना? चौथी और दूसरी डिग्री ... हालांकि, अगर हम एक प्रतिस्थापन करते हैं, तो हम देखेंगे कि हमारे पास एक साधारण द्विघात समीकरण है:

उदाहरण 4

ऐसा लगता है, लेकिन आइए करीब से देखें। आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं:

आप देखिए, यह सिकुड़ गया है - और अब यह एक साधारण रैखिक समीकरण है!

अब आप स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि निम्नलिखित में से कौन-से समीकरण द्विघात हैं और कौन-से नहीं:

उदाहरण:

उत्तर:

  1. वर्ग;
  2. वर्ग;
  3. चौकोर नहीं;
  4. चौकोर नहीं;
  5. चौकोर नहीं;
  6. वर्ग;
  7. चौकोर नहीं;
  8. वर्ग।

गणितज्ञ सशर्त रूप से सभी द्विघात समीकरणों को निम्न प्रकारों में विभाजित करते हैं:

  • पूर्ण द्विघात समीकरण- समीकरण जिनमें गुणांक और, साथ ही मुक्त पद c, शून्य के बराबर नहीं हैं (उदाहरण के लिए)। इसके अलावा, पूर्ण द्विघात समीकरणों में से हैं दिया गयावे समीकरण हैं जिनमें गुणांक (उदाहरण एक से समीकरण न केवल पूर्ण है, बल्कि कम भी है!)
  • अपूर्ण द्विघात समीकरण- वे समीकरण जिनमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

    वे अधूरे हैं क्योंकि उनमें से कुछ तत्व गायब है। लेकिन समीकरण में हमेशा x चुकता होना चाहिए !!! अन्यथा, यह अब द्विघात नहीं होगा, बल्कि कुछ अन्य समीकरण होगा।

वे इस तरह के विभाजन के साथ क्यों आए? ऐसा लगता है कि एक एक्स वर्ग है, और ठीक है। ऐसा विभाजन समाधान के तरीकों के कारण होता है। आइए उनमें से प्रत्येक पर अधिक विस्तार से विचार करें।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

सबसे पहले, आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने पर ध्यान दें - वे बहुत सरल हैं!

अपूर्ण द्विघात समीकरण प्रकार के होते हैं:

  1. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।
  2. , इस समीकरण में मुक्त पद के बराबर है।
  3. , इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

1. मैं। चूंकि हम जानते हैं कि कैसे निकालना है वर्गमूल, तो चलिए इस समीकरण से व्यक्त करते हैं

अभिव्यक्ति या तो नकारात्मक या सकारात्मक हो सकती है। एक वर्ग संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि जब दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी, इसलिए: यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है।

और अगर, तो हमें दो जड़ें मिलती हैं। इन सूत्रों को याद रखने की जरूरत नहीं है। मुख्य बात यह है कि आपको हमेशा यह जानना और याद रखना चाहिए कि यह कम नहीं हो सकता।

आइए कुछ उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5:

प्रश्न हल करें

अब बाएँ और दाएँ भाग से जड़ निकालना बाकी है। आखिरकार, क्या आपको याद है कि जड़ों को कैसे निकालना है?

जवाब:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें !!!

उदाहरण 6:

प्रश्न हल करें

जवाब:

उदाहरण 7:

प्रश्न हल करें

आउच! किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है कि समीकरण

कोई जड़ नहीं!

ऐसे समीकरणों के लिए जिनमें कोई जड़ नहीं है, गणितज्ञ एक विशेष चिह्न के साथ आए - (खाली सेट)। और उत्तर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जवाब:

इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। यहां कोई प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि हमने जड़ नहीं निकाली है।
उदाहरण 8:

प्रश्न हल करें

आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

इस प्रकार,

इस समीकरण की दो जड़ें हैं।

जवाब:

अधूरे द्विघात समीकरणों का सबसे सरल प्रकार (हालाँकि वे सभी सरल हैं, है ना?) जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

यहां हम बिना उदाहरणों के करेंगे।

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

हम आपको याद दिलाते हैं कि पूर्ण द्विघात समीकरण, समीकरण के रूप का एक समीकरण है जहाँ

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना दिए गए समीकरणों की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल (बस थोड़ा सा) है।

याद है, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी।

बाकी विधियां आपको इसे तेजी से करने में मदद करेंगी, लेकिन अगर आपको द्विघात समीकरणों में समस्या है, तो पहले विवेचक का उपयोग करके समाधान में महारत हासिल करें।

1. विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना बहुत सरल है, मुख्य बात क्रियाओं के क्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है।

यदि, तो समीकरण का एक मूल है विशेष ध्यानएक कदम खींचना। विवेचक () हमें समीकरण के मूलों की संख्या बताता है।

  • यदि, तो चरण पर सूत्र को घटाकर कर दिया जाएगा। इस प्रकार, समीकरण का केवल एक मूल होगा।
  • अगर, तो हम कदम पर विवेचक की जड़ नहीं निकाल पाएंगे। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

आइए अपने समीकरणों पर वापस जाएं और कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 9:

प्रश्न हल करें

स्टेप 1छोड़ें।

चरण 2

विभेदक ढूँढना:

तो समीकरण की दो जड़ें हैं।

चरण 3

जवाब:

उदाहरण 10:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोड़ें।

चरण 2

विभेदक ढूँढना:

तो समीकरण की एक जड़ है।

जवाब:

उदाहरण 11:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोड़ें।

चरण 2

विभेदक ढूँढना:

इसका मतलब है कि हम विवेचक से जड़ नहीं निकाल पाएंगे। समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

अब हम जानते हैं कि ऐसे उत्तरों को सही तरीके से कैसे लिखा जाता है।

जवाब:कोई जड़ नहीं

2. वियत प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों का समाधान।

यदि आपको याद हो, तो इस प्रकार के समीकरण होते हैं जिन्हें कम कहा जाता है (जब गुणांक a के बराबर होता है):

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके ऐसे समीकरणों को हल करना बहुत आसान है:

जड़ों का योग दिया गया द्विघात समीकरणबराबर है, और जड़ों का उत्पाद बराबर है।

उदाहरण 12:

प्रश्न हल करें

यह समीकरण विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि .

समीकरण के मूलों का योग है, अर्थात्। हमें पहला समीकरण मिलता है:

और उत्पाद है:

आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

  • और। राशि है;
  • और। राशि है;
  • और। राशि बराबर है।

और सिस्टम का समाधान हैं:

जवाब: ; .

उदाहरण 13:

प्रश्न हल करें

जवाब:

उदाहरण 14:

प्रश्न हल करें

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

जवाब:

द्विघातीय समीकरण। मध्य स्तर

द्विघात समीकरण क्या है?

दूसरे शब्दों में, द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है, जहाँ - अज्ञात, - कुछ संख्याएँ, इसके अलावा।

संख्या को उच्चतम कहा जाता है या पहला गुणांकद्विघात समीकरण, - दूसरा गुणांक, ए - स्वतंत्र सदस्य.

क्यों? क्योंकि अगर, समीकरण तुरंत रैखिक हो जाएगा, क्योंकि गायब हो जाएगा।

इस मामले में, और शून्य के बराबर हो सकता है। इसमें मल समीकरण अपूर्ण कहलाता है। यदि सभी शर्तें जगह में हैं, यानी समीकरण पूरा हो गया है।

विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

आरंभ करने के लिए, हम अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों का विश्लेषण करेंगे - वे सरल हैं।

निम्नलिखित प्रकार के समीकरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

I., इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

द्वितीय. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।

III. , इस समीकरण में मुक्त पद के बराबर है।

अब इनमें से प्रत्येक उपप्रकार के हल पर विचार करें।

जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

एक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, क्योंकि जब दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी। इसलिए:

यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है;

अगर हमारे पास दो जड़ें हैं

इन सूत्रों को याद रखने की जरूरत नहीं है। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि यह कम नहीं हो सकता।

उदाहरण:

समाधान:

जवाब:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!

किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है कि समीकरण

कोई जड़ नहीं।

संक्षेप में यह लिखने के लिए कि समस्या का कोई समाधान नहीं है, हम खाली सेट आइकन का उपयोग करते हैं।

जवाब:

तो, इस समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

जवाब:

आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

उत्पाद शून्य है यदि कारकों में से कम से कम एक है शून्य. इसका मतलब है कि समीकरण का एक हल है जब:

तो, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं: और।

उदाहरण:

प्रश्न हल करें।

फेसला:

हम समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करते हैं और मूल पाते हैं:

जवाब:

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

1. विभेदक

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है, मुख्य बात क्रियाओं के क्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है। याद रखें, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी।

क्या आपने मूल सूत्र में विवेचक की जड़ पर ध्यान दिया? लेकिन विभेदक नकारात्मक हो सकता है। क्या करें? हमें चरण 2 पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है। विवेचक हमें समीकरण के मूलों की संख्या बताता है।

  • यदि, तो समीकरण का एक मूल है:
  • यदि, तो समीकरण का एक ही मूल है, लेकिन वास्तव में, एक मूल:

    ऐसी जड़ों को दोहरी जड़ कहा जाता है।

  • यदि, तो विवेचक की जड़ नहीं निकाली जाती है। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

जड़ों की संख्या अलग-अलग क्यों होती है? आइए हम द्विघात समीकरण के ज्यामितीय अर्थ की ओर मुड़ें। फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है:

एक विशेष मामले में, जो एक द्विघात समीकरण है, . और इसका मतलब है कि द्विघात समीकरण की जड़ें x-अक्ष (अक्ष) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। परवलय अक्ष को बिल्कुल भी पार नहीं कर सकता है, या यह इसे एक (जब परवलय का शीर्ष अक्ष पर स्थित है) या दो बिंदुओं पर काट सकता है।

इसके अलावा, गुणांक परवलय की शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार है। यदि, तो परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि - तो नीचे की ओर।

उदाहरण:

समाधान:

जवाब:

जवाब: ।

जवाब:

इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं हैं।

जवाब: ।

2. विएटा की प्रमेय

विएटा प्रमेय का उपयोग करना बहुत आसान है: आपको केवल संख्याओं की एक जोड़ी चुनने की आवश्यकता है जिसका उत्पाद समीकरण के मुक्त पद के बराबर है, और योग दूसरे गुणांक के बराबर है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया गया है।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि विएटा का प्रमेय केवल पर लागू किया जा सकता है दिए गए द्विघात समीकरण ()।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें।

फेसला:

यह समीकरण विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि . अन्य गुणांक: ; .

समीकरण की जड़ों का योग है:

और उत्पाद है:

आइए संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करें, जिनका गुणनफल बराबर है, और जांचें कि क्या उनका योग बराबर है:

  • और। राशि है;
  • और। राशि है;
  • और। राशि बराबर है।

और सिस्टम का समाधान हैं:

इस प्रकार, और हमारे समीकरण की जड़ें हैं।

जवाब: ; .

उदाहरण #2:

फेसला:

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल में देते हैं, और फिर जाँचते हैं कि उनका योग बराबर है या नहीं:

और: कुल देना।

और: कुल देना। इसे प्राप्त करने के लिए, आपको बस कथित जड़ों के संकेतों को बदलने की जरूरत है: और, आखिरकार, काम।

जवाब:

उदाहरण #3:

फेसला:

समीकरण का मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल एक ऋणात्मक संख्या है। यह तभी संभव है जब एक मूल ऋणात्मक हो और दूसरा धनात्मक हो। तो जड़ों का योग है उनके मॉड्यूल के अंतर.

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल में देते हैं, और जिनका अंतर इसके बराबर है:

और: उनका अंतर है - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त। यह केवल याद रखना है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। चूँकि उनका योग बराबर होना चाहिए, तो मूल, जो निरपेक्ष मान में छोटा है, ऋणात्मक होना चाहिए: . हम जाँच:

जवाब:

उदाहरण #4:

प्रश्न हल करें।

फेसला:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

मुक्त पद ऋणात्मक होता है, और इसलिए मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होता है। और यह तभी संभव है जब समीकरण का एक मूल ऋणात्मक हो और दूसरा धनात्मक हो।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जिनका गुणनफल बराबर होता है, और फिर यह निर्धारित करते हैं कि किन मूलों में ऋणात्मक चिह्न होना चाहिए:

जाहिर है, केवल जड़ें और पहली शर्त के लिए उपयुक्त हैं:

जवाब:

उदाहरण #5:

प्रश्न हल करें।

फेसला:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

जड़ों का योग ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक मूल ऋणात्मक है। लेकिन चूँकि उनका गुणनफल धनात्मक है, इसका अर्थ है कि दोनों मूल ऋणात्मक हैं।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं, जिनका गुणनफल इसके बराबर होता है:

जाहिर है, जड़ें संख्याएं हैं और।

जवाब:

सहमत हूं, यह बहुत सुविधाजनक है - जड़ों का आविष्कार मौखिक रूप से करने के लिए, इस गंदे भेदभाव को गिनने के बजाय। जितनी बार संभव हो Vieta के प्रमेय का उपयोग करने का प्रयास करें।

लेकिन जड़ों को खोजने में सुविधा और तेजी लाने के लिए वियत प्रमेय की आवश्यकता है। आपके लिए इसका उपयोग करना लाभदायक बनाने के लिए, आपको क्रियाओं को स्वचालितता में लाना होगा। और इसके लिए पांच और उदाहरण हल करें। लेकिन धोखा मत दो: आप विवेचक का उपयोग नहीं कर सकते! केवल विएटा का प्रमेय:

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्यों के समाधान:

कार्य 1. ((x)^(2))-8x+12=0

विएटा के प्रमेय के अनुसार:

हमेशा की तरह, हम उत्पाद के साथ चयन शुरू करते हैं:

उपयुक्त नहीं है क्योंकि राशि;

: राशि वह है जो आपको चाहिए।

जवाब: ; .

कार्य 2.

और फिर, हमारा पसंदीदा वीटा प्रमेय: योग को काम करना चाहिए, लेकिन उत्पाद बराबर है।

लेकिन चूंकि ऐसा नहीं होना चाहिए, लेकिन, हम जड़ों के संकेतों को बदलते हैं: और (कुल मिलाकर)।

जवाब: ; .

कार्य 3.

हम्म... कहाँ है?

सभी शर्तों को एक भाग में स्थानांतरित करना आवश्यक है:

जड़ों का योग उत्पाद के बराबर होता है।

हाँ, रुको! समीकरण नहीं दिया गया है। लेकिन विएटा की प्रमेय दिए गए समीकरणों में ही लागू होती है। तो पहले आपको समीकरण लाने की जरूरत है। यदि आप इसे सामने नहीं ला सकते हैं, तो इस विचार को छोड़ दें और इसे दूसरे तरीके से हल करें (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)। मैं आपको याद दिला दूं कि द्विघात समीकरण लाने का अर्थ है अग्रणी गुणांक को इसके बराबर बनाना:

बढ़िया। फिर जड़ों का योग बराबर है, और उत्पाद।

यहां चुनना आसान है: आखिरकार - एक प्रमुख संख्या (टॉटोलॉजी के लिए खेद है)।

जवाब: ; .

कार्य 4.

मुक्त शब्द ऋणात्मक है। इसमें ऐसा क्या खास है? और यह तथ्य कि जड़ें अलग-अलग संकेतों की होंगी। और अब, चयन के दौरान, हम जड़ों के योग की नहीं, बल्कि उनके मॉड्यूल के बीच के अंतर की जांच करते हैं: यह अंतर बराबर है, लेकिन उत्पाद।

तो, जड़ें बराबर हैं और, लेकिन उनमें से एक माइनस के साथ है। विएटा की प्रमेय हमें बताती है कि मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर होता है, अर्थात्। इसका मतलब है कि छोटी जड़ में एक ऋण होगा: और, चूंकि।

जवाब: ; .

कार्य 5.

पहले क्या करने की जरूरत है? यह सही है, समीकरण दीजिए:

दोबारा: हम संख्या के कारकों का चयन करते हैं, और उनका अंतर बराबर होना चाहिए:

जड़ें बराबर हैं और, लेकिन उनमें से एक ऋणात्मक है। कौन सा? उनका योग बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि माइनस के साथ एक बड़ा रूट होगा।

जवाब: ; .

मुझे संक्षेप में बताएं:
  1. Vieta के प्रमेय का प्रयोग केवल दिए गए द्विघात समीकरणों में किया जाता है।
  2. विएटा प्रमेय का उपयोग करके, आप मौखिक रूप से चयन द्वारा जड़ों का पता लगा सकते हैं।
  3. यदि समीकरण नहीं दिया गया है या मुक्त पद के कारकों की कोई उपयुक्त जोड़ी नहीं मिली है, तो कोई पूर्णांक जड़ें नहीं हैं, और आपको इसे दूसरे तरीके से हल करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)।

3. पूर्ण वर्ग चयन विधि

यदि अज्ञात वाले सभी पदों को संक्षिप्त गुणन के सूत्रों से पदों के रूप में दर्शाया जाता है - योग या अंतर का वर्ग - तो चर के परिवर्तन के बाद, समीकरण को प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें: ।

फेसला:

जवाब:

उदाहरण 2:

प्रश्न हल करें: ।

फेसला:

जवाब:

पर सामान्य दृष्टि सेपरिवर्तन इस तरह दिखेगा:

यह संकेत करता है: ।

क्या यह आपको कुछ याद नहीं दिलाता? यह भेदभाव करने वाला है! ठीक इसी तरह से विभेदक सूत्र प्राप्त किया गया था।

द्विघातीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

द्विघात समीकरणरूप का एक समीकरण है, जहां अज्ञात है, द्विघात समीकरण के गुणांक हैं, मुक्त पद है।

पूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं।

घटा हुआ द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक, वह है: .

अधूरा द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

  • यदि गुणांक, समीकरण का रूप है: ,
  • यदि एक मुक्त पद है, तो समीकरण का रूप है: ,
  • अगर और, समीकरण का रूप है:।

1. अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1.1. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहाँ, :

1) अज्ञात को व्यक्त करें: ,

2) अभिव्यक्ति के संकेत की जाँच करें:

  • यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है,
  • यदि, तो समीकरण के दो मूल हैं।

1.2. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहाँ, :

1) आइए कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालें: ,

2) गुणनफल शून्य के बराबर है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है। इसलिए, समीकरण की दो जड़ें हैं:

1.3. फॉर्म का अधूरा द्विघात समीकरण, जहां:

इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है: .

2. फॉर्म के पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम जहां

2.1. विवेचक का उपयोग करके समाधान

1) हम समीकरण को में लाते हैं मानक दृश्य: ,

2) सूत्र का उपयोग करके विभेदक की गणना करें: , जो समीकरण की जड़ों की संख्या को इंगित करता है:

3) समीकरण की जड़ें खोजें:

  • यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
  • यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
  • यदि, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है।

2.2. Vieta के प्रमेय का उपयोग कर समाधान

घटे हुए द्विघात समीकरण (रूप का एक समीकरण, जहाँ) के मूलों का योग बराबर होता है, और मूलों का गुणनफल बराबर होता है, अर्थात्। , ए।

2.3. पूर्ण वर्ग समाधान

यदि रूप के द्विघात समीकरण के मूल हैं, तो इसे इस रूप में लिखा जा सकता है: .

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8 वीं कक्षा में बीजगणित पाठों का द्विघात समीकरण चक्र पाठ्यपुस्तक के अनुसार ए.जी. मोर्दकोविच

शिक्षक MBOU ग्रुशेव्स्काया माध्यमिक विद्यालय किरीवा टी.ए.

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उद्देश्य: एक द्विघात समीकरण की अवधारणाओं का परिचय देना, एक द्विघात समीकरण की जड़; द्विघात समीकरणों के हल दिखाएँ; द्विघात समीकरणों को हल करने की क्षमता बनाने के लिए; द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र का उपयोग करके पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने का एक तरीका दिखाएं।

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थोड़ा सा इतिहास प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण। न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता, यहां तक ​​​​कि पुरातनता में भी भूमि के क्षेत्रों को खोजने से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण था। ज़मीनीसैन्य प्रकृति, साथ ही साथ खगोल विज्ञान और गणित के विकास के साथ। बेबीलोन के लोग हमारे विश्वास से लगभग 2000 साल पहले द्विघात समीकरणों को हल करना जानते थे। आधुनिक बीजगणितीय संकेतन को लागू करते हुए, कोई कह सकता है कि उनके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में अपूर्ण लोगों के अलावा, उदाहरण के लिए, पूर्ण द्विघात समीकरण हैं।

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बेबीलोन के ग्रंथों में उल्लिखित इन समीकरणों को हल करने का नियम आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोन के लोग इस नियम पर कैसे आए। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ व्यंजनों के रूप में निर्धारित समाधानों के साथ केवल समस्याएं देते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि वे कैसे पाए गए। बावजूद ऊँचा स्तरबेबीलोनिया में बीजगणित का विकास, ऋणात्मक संख्या की अवधारणा और द्विघात समीकरणों को हल करने के सामान्य तरीके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में अनुपस्थित हैं।

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परिभाषा 1. द्विघात समीकरण उस रूप का समीकरण होता है जिसमें गुणांक a, b, c कोई हो वास्तविक संख्या, और बहुपद को वर्ग त्रिपद कहा जाता है। a पहला या उच्चतम गुणांक है c दूसरा गुणांक है c एक मुक्त पद है

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परिभाषा 2. एक द्विघात समीकरण को घटा हुआ कहा जाता है यदि इसका प्रमुख गुणांक 1 के बराबर हो; एक द्विघात समीकरण को अपरिष्कृत कहा जाता है यदि अग्रणी गुणांक 1 से भिन्न हो। उदाहरण। 2 - 5 + 3 = 0 - असंक्रमित द्विघात समीकरण - घटा हुआ द्विघात समीकरण

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परिभाषा 3. एक पूर्ण द्विघात समीकरण एक द्विघात समीकरण है जिसमें तीनों पद मौजूद होते हैं। a + in + c \u003d 0 अपूर्ण द्विघात समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें तीनों पद मौजूद नहीं होते हैं; एक समीकरण है जिसके लिए, c में कम से कम एक गुणांक शून्य के बराबर है।

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अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ।

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कार्य संख्या 24.16 को हल करें (ए, बी) समीकरण हल करें: या उत्तर दें। या उत्तर।

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परिभाषा 4 द्विघात समीकरण का मूल चर x का कोई भी मान होता है जिस पर वर्ग त्रिपद लुप्त हो जाता है; चर x के ऐसे मान को वर्ग त्रिपद का मूल भी कहा जाता है। द्विघात समीकरण को हल करने का अर्थ है इसके सभी मूल ज्ञात करना या यह स्थापित करना कि कोई मूल नहीं है।

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द्विघात समीकरण का विभेदक D 0 D=0 समीकरण का कोई मूल नहीं है समीकरण के दो मूल हैं समीकरण में एक मूल है द्विघात समीकरण के मूल के लिए सूत्र

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D>0 द्विघात समीकरण के दो मूल हैं, जो सूत्रों के उदाहरण से ज्ञात होते हैं। समीकरण हल करें। ए \u003d 3, बी \u003d 8, सी \u003d -11, उत्तर: 1; -3

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द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम 1. सूत्र D = 2 का उपयोग करके विभेदक D की गणना करें। यदि D 0 है, तो द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।

प्रोग्रामिंगलाजास्र्स स्कूली बच्चों के लिए।

पाठ संख्या 12।

द्विघात समीकरण का हल।

मैटिसिन इगोर व्लादिमीरोविच

गणित और कंप्यूटर विज्ञान के शिक्षक

MBOU माध्यमिक विद्यालय के साथ। युवती

उद्देश्य: किसी भी इनपुट को देखते हुए, द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक प्रोग्राम लिखना।

लड़की 2013.

द्विघात समीकरण सबसे आम स्कूल पाठ्यक्रम समीकरणों में से एक है। हालांकि इसे हल करना काफी आसान है, कभी-कभी आपको उत्तरों की जांच करने की आवश्यकता होती है। इसके लिए आप उपयोग कर सकते हैं एक साधारण कार्यक्रम. इसे लिखने में देर नहीं लगेगी।

आपको द्विघात समीकरण से ही शुरुआत करनी होगी। बीजगणित पाठ्यक्रम से, हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण हैकुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0, जहांएक्स - चर,ए , बी और c कुछ संख्याएं हैं, औरए .

यह परिभाषा से देखा जा सकता है कि समीकरण में केवल गुणांक बदलते हैंए , बी औरसी . ये वे पैरामीटर हैं जिन्हें हम अपने प्रोग्राम में दर्ज करेंगे, और इसके लिए हम घटकों से तीन इनपुट फ़ील्ड बनाएंगे।

चित्र 14.1 गुणांकों के लिए इनपुट फ़ील्ड।

यह इस परिभाषा से भी निकलता है किए . इस मामले में, समीकरण द्विघात नहीं होगा। और हम सबसे पहले इस स्थिति की जांच करेंगे। आइए ऑपरेटर का उपयोग करके "समाधान" बटन और उसके ईवेंट डेवलपर बनाएंअगर हालत की जाँच करेंए . और अगरए =0 हम कहते हैं कि हमारा समीकरण द्विघात नहीं है।यहाँ बटन के लिए ईवेंट हैंडलर है:प्रक्रिया TForm1.Button1Click (प्रेषक: टॉब्जेक्ट);वर ए, बी, सी: असली; एक शुरू करें: = स्ट्रेटोफ्लोट (संपादित करें 1. टेक्स्ट); b:=strtofloat(edit2.Text); c:=strtofloat(edit3.Text); अगर a=0 तो लेबल4.कैप्शन:="समीकरण वर्ग नहीं है";अंत;

चावल। 14.2 समीकरण के अस्तित्व के लिए परीक्षण।

अब यह वर्णन करना आवश्यक है कि यदि समीकरण द्विघात है तो क्या होगा। यह भी उसी कथन में होगाअगर शब्द के बादवरना और कंपाउंड ऑपरेटर का उपयोग करते समय।

यदि समीकरण द्विघात है, तो हम इसे विभेदक के सूत्र और द्विघात समीकरण के मूल का उपयोग करके तुरंत हल करेंगे।

हम सूत्र द्वारा विवेचक पाते हैं:डी := बी * बी – 4* ए * सी ;

यदि विवेचक शून्य से कम है, तो समीकरण का कोई हल नहीं है। इसका वर्णन इस प्रकार किया जाएगा:

अगर डी तबलेबल 4. कैप्शन :='समीकरण का कोई हल नहीं है'वरना …

और तबवरना सूत्रों का उपयोग करके समीकरण की जड़ों की सीधी खोज होगी:

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

यहाँ पूरा ऑपरेटर कोड हैअगर :

अगर a=0 तो लेबल4.कैप्शन:="समीकरण वर्ग नहीं है" और

शुरू करना

डी: = बी * बी -4 * ए * सी;

अगर डी

शुरू करना

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

लेबल4.कैप्शन:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

अंत;

अंत;

चावल। 14.3 कार्यक्रम द्विघात समीकरण की कार्यशील खिड़की।

द्विघात समीकरण a*x^2 +b*x+c=0 रूप का एक समीकरण है, जहां a,b,c कुछ मनमानी वास्तविक (वास्तविक) संख्याएं हैं, और x एक चर है। और संख्या ए = 0।

संख्याएँ a, b, c गुणांक कहलाती हैं। संख्या a - को प्रमुख गुणांक कहा जाता है, संख्या b x पर गुणांक है, और संख्या c को मुक्त सदस्य कहा जाता है।

द्विघात समीकरणों को हल करना

द्विघात समीकरण को हल करने का अर्थ है इसके सभी मूल ज्ञात करना, या इस तथ्य को स्थापित करना कि द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं है। द्विघात समीकरण का मूल a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 चर x का कोई भी मान है, जैसे कि वर्ग त्रिपद a*x^2 +b*x+c गायब हो जाता है। कभी-कभी x के ऐसे मान को वर्ग त्रिपद का मूल कहते हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करने के कई तरीके हैं। उनमें से एक पर विचार करें - सबसे बहुमुखी। इसका उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है।

द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र

द्विघात समीकरण के मूल का सूत्र है a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), कहा पे D =b^2-4*a*c.

यह सूत्र द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके समीकरण a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 को सामान्य रूप में हल करके प्राप्त किया जाता है।

द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र में, व्यंजक D (b^2-4*a*c) को द्विघात समीकरण a*x^2 +b*x+c=0 का विभेदक कहा जाता है। यह नाम से आया है लैटिन, अनुवाद में "विभेदक"। विभेदक के मूल्य के आधार पर, द्विघात समीकरण में दो या एक मूल होगा, या कोई मूल नहीं होगा।

यदि विवेचक शून्य से बड़ा है,तब द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं। (x=(-b±√D)/(2*a))

यदि विवेचक शून्य है,तब द्विघात समीकरण का एक मूल होता है। (एक्स=(-बी/(2*ए))

यदि विवेचक नकारात्मक है,तब द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं होता है।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सामान्य एल्गोरिथम

पूर्वगामी के आधार पर, हम सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण a*x^2 +b*x+c=0 को हल करने के लिए एक सामान्य एल्गोरिथ्म तैयार करते हैं:

1. सूत्र D =b^2-4*a*c का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात कीजिए।

2. विभेदक के मान के आधार पर, सूत्रों का उपयोग करके मूलों की गणना करें:

डी<0, корней нет.

डी = 0, एक्स = (-बी / (2 * ए)

डी>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

यह एल्गोरिथम सार्वभौमिक है और किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए उपयुक्त है। पूर्ण और अपूर्ण, उद्धृत और उद्धृत नहीं।

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