En termes simples, ce sont des équations dans lesquelles il y en a au moins une avec une variable au dénominateur.

Par example:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exemple ne pas fractionnaire équations rationnelles:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Comment les équations rationnelles fractionnaires sont-elles résolues ?

La principale chose à retenir à propos des équations rationnelles fractionnaires est que vous devez y écrire. Et après avoir trouvé les racines, assurez-vous de vérifier leur admissibilité. Sinon, des racines étrangères peuvent apparaître et toute la solution sera considérée comme incorrecte.

Algorithme de résolution d'une équation rationnelle fractionnaire :

Écrivez et "résolvez" l'ODZ.

Multipliez chaque terme de l'équation par un dénominateur commun et réduisez les fractions résultantes. Les dénominateurs disparaîtront.

Écrivez l'équation sans ouvrir les parenthèses.

Résolvez l'équation résultante.

Vérifiez les racines trouvées avec ODZ.

Notez en réponse les racines qui ont réussi le test de l'étape 7.

Ne mémorisez pas l'algorithme, 3-5 équations résolues - et il se souviendra de lui-même.

Exemple . Résoudre une équation rationnelle fractionnaire \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Décision:

Répondre: \(3\).

Exemple . Trouver les racines de l'équation rationnelle fractionnaire \(=0\)

Décision:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ : \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Nous écrivons et "résolvons" ODZ. Développez \(x^2+7x+10\) dans la formule : \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Heureusement \(x_1\) et \(x_2\) nous avons déjà trouvé.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Évidemment, le dénominateur commun des fractions : \((x+2)(x+5)\). Nous multiplions l'équation entière par elle.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Nous réduisons les fractions
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Ouverture des crochets
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Nous donnons des termes similaires
\(2x^2+9x-5=0\)		Trouver les racines de l'équation
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		L'une des racines ne rentre pas dans l'ODZ, donc en réponse, nous n'écrivons que la deuxième racine.

Répondre: \(\frac(1)(2)\).

Décision équations rationnelles fractionnaires

Guide d'aide

Les équations rationnelles sont des équations dans lesquelles les côtés gauche et droit sont expressions rationnelles.

(Rappelez-vous que les expressions rationnelles sont des nombres entiers et expressions fractionnaires sans radicaux, y compris les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication ou de division - par exemple : 6x ; (m-n)2 ; x/3a etc.)

Les équations fractionnaires-rationnelles, en règle générale, sont réduites à la forme:

Où P(X) et Q(X) sont des polynômes.

Pour résoudre de telles équations, multipliez les deux côtés de l'équation par Q(x), ce qui peut conduire à l'apparition de racines étrangères. Par conséquent, lors de la résolution d'équations rationnelles fractionnaires, il est nécessaire de vérifier les racines trouvées.

Une équation rationnelle est dite entière, ou algébrique, si elle n'a pas de division par une expression contenant une variable.

Exemples d'une équation rationnelle entière :

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Si dans une équation rationnelle il y a une division par une expression contenant la variable (x), alors l'équation est appelée rationnelle fractionnaire.

Un exemple d'équation rationnelle fractionnaire :

15
x + - = 5x - 17
X

Les équations rationnelles fractionnaires sont généralement résolues comme suit :

1) trouver un dénominateur commun de fractions et multiplier les deux parties de l'équation par celui-ci ;

2) résoudre l'équation entière résultante ;

3) exclure de ses racines celles qui ramènent le dénominateur commun des fractions à zéro.

Exemples de résolution d'équations rationnelles entières et fractionnaires.

Exemple 1. Résoudre l'équation entière

x-1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Décision:

Trouver le plus petit dénominateur commun. C'est 6. Divisez 6 par le dénominateur et multipliez le résultat par le numérateur de chaque fraction. On obtient une équation équivalente à celle-ci :

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Depuis les côtés gauche et droit même dénominateur, il peut être omis. On a alors une équation plus simple :

3(x - 1) + 4x = 5x.

Nous le résolvons en ouvrant les parenthèses et en réduisant les termes similaires :

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Exemple résolu.

Exemple 2. Résoudre une équation rationnelle fractionnaire

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

Nous trouvons un dénominateur commun. C'est x(x - 5). Alors:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Maintenant, nous nous débarrassons à nouveau du dénominateur, puisqu'il est le même pour toutes les expressions. Nous réduisons les termes semblables, égalons l'équation à zéro et obtenons équation quadratique:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Après avoir résolu l'équation quadratique, nous trouvons ses racines : -2 et 5.

Vérifions si ces nombres sont les racines de l'équation d'origine.

Pour x = –2, le dénominateur commun x(x – 5) ne s'annule pas. Donc -2 est la racine de l'équation d'origine.

A x = 5, le dénominateur commun disparaît et deux des trois expressions perdent leur sens. Ainsi, le nombre 5 n'est pas la racine de l'équation d'origine.

Réponse : x = -2

Plus d'exemples

Exemple 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.

Réponse : -2,2 ; 6.

Exemple 2

T. Kosyakova,
école N№ 80, Krasnodar

Solution d'équations quadratiques et fractionnaires-rationnelles contenant des paramètres

Leçon 4

Sujet de la leçon :

Le but de la leçon : pour former la capacité de résoudre des équations fractionnaires-rationnelles contenant des paramètres.

Type de leçon : l'introduction de nouveau matériel.

1. (Oral.) Résolvez les équations :

Exemple 1. Résous l'équation

Décision.

Rechercher des valeurs invalides un:

Répondre. Si un si un = – 19 , alors il n'y a pas de racines.

Exemple 2. Résous l'équation

Décision.

Rechercher des valeurs de paramètre non valides un :

10 – un = 5, un = 5;

10 – un = un, un = 5.

Répondre. Si un un = 5 un № 5 , alors x=10– un .

Exemple 3. A quelles valeurs du paramètre b l'équation Il a:

a) deux racines b) la seule racine ?

Décision.

1) Trouver des valeurs de paramètres non valides b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 ou b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 ou b = – 2.

2) Résolvez l'équation x2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

J=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

un)

Exclusion des valeurs de paramètre non valides b , on obtient que l'équation a deux racines, si b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, mais c'est une valeur de paramètre invalide b ; si b 2 –1=0 , c'est à dire. b=1 ou alors.

Réponse : a) si b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , puis deux racines; b) si b=1 ou alors b=-1 , alors la seule racine.

Travail indépendant

Option 1

Résolvez les équations :

Option 2

Résolvez les équations :

Réponses

EN 1. et si un=3 , alors il n'y a pas de racines ; si b) si si un № 2 , alors il n'y a pas de racines.

EN 2. Si un un=2 , alors il n'y a pas de racines ; si un=0 , alors il n'y a pas de racines ; si
b) si un=– 1 , alors l'équation perd son sens ; si alors il n'y a pas de racines;
si

Devoir.

Résolvez les équations :

Réponses : a) Si un № –2 , alors x= un ; si un=–2 , alors il n'y a pas de solutions ; b) si un № –2 , alors x=2; si un=–2 , alors il n'y a pas de solutions ; c) si un=–2 , alors X- tout nombre autre que 3 ; si un № –2 , alors x=2; d) si un=–8 , alors il n'y a pas de racines ; si un=2 , alors il n'y a pas de racines ; si

Leçon 5

Sujet de la leçon :"Solution d'équations fractionnaires-rationnelles contenant des paramètres".

Objectifs de la leçon:

apprendre à résoudre des équations avec une condition non standard ;
assimilation consciente par les étudiants des concepts algébriques et des relations entre eux.

Type de leçon : systématisation et généralisation.

Vérification des devoirs.

Exemple 1. Résous l'équation

a) par rapport à x ; b) par rapport à y.

Décision.

a) Trouver des valeurs invalides y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– valeur de paramètre invalide y.

Si un y№ 0 , alors x=y-2; si y=0, alors l'équation perd son sens.

b) Trouver des valeurs de paramètres invalides X: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– valeur de paramètre invalide X; y(2+x-y)=0, y=0 ou alors y=2+x;

y=0 ne satisfait pas la condition y(y–x)№ 0 .

Réponse : a) si y=0, alors l'équation perd son sens ; si y№ 0 , alors x=y-2; b) si x=0 X№ 0 , alors y=2+x .

Exemple 2. Pour quelles valeurs entières du paramètre a sont les racines de l'équation appartiennent à l'intervalle

ré = (3 un + 2) 2 – 4un(un+ 1) 2 = 9 un 2 + 12un + 4 – 8un 2 – 8un,

ré = ( un + 2) 2 .

Si un un № 0 ou alors un № – 1 , alors

Répondre: 5 .

Exemple 3. Trouver relativement X solutions entières de l'équation

Répondre. Si un y=0, alors l'équation n'a pas de sens ; si y=–1, alors X- tout entier différent de zéro ; si y# 0, y# – 1, alors il n'y a pas de solutions.

Exemple 4 Résous l'équation avec paramètres un et b .

Si un un№ – b , alors

Répondre. Si un un= 0 ou alors b= 0 , alors l'équation perd son sens ; si un№ 0,b№ 0, a=-b , alors X- tout nombre autre que zéro ; si un№ 0,b№ 0, un№ -b alors x=-a, x=-b .

Exemple 5. Prouver que pour toute valeur non nulle du paramètre n, l'équation a une seule racine égale à – n .

Décision.

c'est à dire. x=-n, ce qui devait être prouvé.

Devoir.

1. Trouver les solutions entières de l'équation

2. A quelles valeurs du paramètre c l'équation Il a:
a) deux racines b) la seule racine ?

3. Trouver toutes les racines entières de l'équation si un O N .

4. Résolvez l'équation 3xy - 5x + 5y = 7 : a) relativement y; b) relativement X .

1. L'équation est satisfaite par toute valeur entière égale à x et y autre que zéro.
2. a) Quand
b) à ou
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Si alors il n'y a pas de racines ; si
b) si alors il n'y a pas de racines; si

Test

Option 1

1. Déterminer le type d'équation 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 à) c=-3; b) c=2 ; dans) c=4 .

2. Résolvez les équations : a) x2-bx=0 ; b) cx 2 –6x+1=0; dans)

3. Résolvez l'équation 3x-xy-2y=1 :

a) relativement X ;
b) relativement y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, sachant que le paramètre n ne prend que des valeurs entières.

5. Pour quelles valeurs de b l'équation Il a:

a) deux racines
b) la seule racine ?

Option 2

1. Déterminer le type d'équation 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0à) c=-4 ; b) c=7 ; dans) c=1 .

2. Résolvez les équations : a) y 2 +cy=0 ; b) ny2-8y+2=0 ; dans)

3. Résolvez l'équation 6x-xy+2y=5 :

a) relativement X ;
b) relativement y .

4. Trouvez les racines entières de l'équation nx 2 -22x+2n=0 , sachant que le paramètre n ne prend que des valeurs entières.

5. Pour quelles valeurs du paramètre a l'équation Il a:

a) deux racines
b) la seule racine ?

Réponses

EN 1. 1. a) Équation linéaire ;
b) équation quadratique incomplète ; c) une équation quadratique.
2. a) Si b=0, alors x=0; si b#0, alors x=0, x=b;
b) si cО (9;+Ґ ), alors il n'y a pas de racines ;
c) si un=–4 , alors l'équation perd son sens ; si un№ –4 , alors x=- un .
3. a) Si y=3, alors il n'y a pas de racines ; si);
b) un=–3, un=1.

Des tâches supplémentaires

Résolvez les équations :

Littérature

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. À propos des paramètres depuis le tout début. - Tuteur, n° 2/1991, p. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Les conditions nécessaires dans les tâches avec paramètres. – Kvant, n° 11/1991, p. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Résolution de problème, contenant des paramètres. Partie 2. - M., Perspective, 1990, p. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Cinq cent quatorze tâches avec paramètres. -Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Tâches avec paramètres. - M., Éducation, 1986.

Dans cet article je vais vous montrer algorithmes pour résoudre sept types d'équations rationnelles, qui sont réduits au carré au moyen d'un changement de variables. Dans la plupart des cas, les transformations qui conduisent au remplacement ne sont pas triviales et il est assez difficile de les deviner par vous-même.

Pour chaque type d'équation, j'expliquerai comment y apporter un changement de variable, puis je montrerai une solution détaillée dans le didacticiel vidéo correspondant.

Vous avez la possibilité de continuer à résoudre les équations vous-même, puis de vérifier votre solution avec le didacticiel vidéo.

Alors, commençons.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Notez que le produit de quatre parenthèses est sur le côté gauche de l'équation, et le nombre est sur le côté droit.

1. Regroupons les parenthèses par deux pour que la somme des termes libres soit la même.

2. Multipliez-les.

3. Introduisons un changement de variable.

Dans notre équation, nous regroupons la première tranche avec la troisième, et la seconde avec la quatrième, puisque (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2 :

À ce stade, le changement de variable devient évident :

On obtient l'équation

Répondre:

2 .

Une équation de ce type est similaire à la précédente à une différence près : à droite de l'équation se trouve le produit d'un nombre par. Et il est résolu d'une manière complètement différente:

1. Nous regroupons les parenthèses par deux pour que le produit des termes libres soit le même.

2. Nous multiplions chaque paire de parenthèses.

3. De chaque facteur, nous retirons x de la parenthèse.

4. Divisez les deux membres de l'équation par .

5. On introduit un changement de variable.

Dans cette équation, on regroupe la première tranche avec la quatrième, et la seconde avec la troisième, puisque :

Notez que dans chaque tranche le coefficient at et le terme libre sont les mêmes. Retirons le multiplicateur de chaque parenthèse :

Puisque x=0 n'est pas la racine de l'équation d'origine, nous divisons les deux côtés de l'équation par . On a:

On obtient l'équation :

Répondre:

3 .

Notez que les dénominateurs des deux fractions contiennent trinômes carrés, dont le coefficient directeur et le terme libre sont identiques. Nous retirons, comme dans l'équation du deuxième type, x de la parenthèse. On a:

Divisez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par x :

On peut maintenant introduire un changement de variable :

On obtient l'équation pour la variable t :

4 .

Notez que les coefficients de l'équation sont symétriques par rapport au central. Une telle équation est appelée consigné .

Pour le résoudre

1. Divisez les deux membres de l'équation par (Nous pouvons le faire puisque x=0 n'est pas la racine de l'équation.) Nous obtenons :

2. Regroupez les termes de cette manière :

3. Dans chaque groupe, on sort le facteur commun :

4. Introduisons un remplacement :

5. Exprimons l'expression en fonction de t :

D'ici

On obtient l'équation pour t :

Répondre:

5. Équations homogènes.

Des équations ayant la structure d'une équation homogène peuvent être rencontrées lors de la résolution d'équations exponentielles, logarithmiques et équations trigonométriques, il faut donc le reconnaître.

Les équations homogènes ont la structure suivante :

Dans cette égalité, A, B et C sont des nombres, et les mêmes expressions sont indiquées par un carré et un cercle. Autrement dit, sur le côté gauche de l'équation homogène se trouve la somme des monômes qui ont le même degré (dans ce cas, le degré des monômes est 2), et il n'y a pas de terme libre.

Pour résoudre l'équation homogène, on divise les deux côtés par

Attention! Lorsque vous divisez les côtés droit et gauche de l'équation par une expression contenant une inconnue, vous pouvez perdre les racines. Par conséquent, il est nécessaire de vérifier si les racines de l'expression par laquelle nous divisons les deux parties de l'équation sont les racines de l'équation d'origine.

Allons-y par le premier chemin. On obtient l'équation :

Maintenant, nous introduisons une substitution de variable :

Simplifiez l'expression et obtenez une équation biquadratique pour t :

Répondre: ou alors

7 .

Cette équation a la structure suivante :

Pour le résoudre, vous devez sélectionner le carré complet sur le côté gauche de l'équation.

Pour sélectionner un carré complet, vous devez ajouter ou soustraire le produit double. Ensuite, nous obtenons le carré de la somme ou de la différence. Ceci est essentiel pour une substitution de variable réussie.

Commençons par trouver le produit double. Ce sera la clé pour remplacer la variable. Dans notre équation, le produit double est

Voyons maintenant ce qui nous convient le mieux - le carré de la somme ou de la différence. Considérons, pour commencer, la somme des expressions :

Amende! cette expression est exactement égale à deux fois le produit. Ensuite, pour obtenir le carré de la somme entre parenthèses, il faut additionner et soustraire le produit double :

Les équations avec des fractions elles-mêmes ne sont pas difficiles et très intéressantes. Considérez les genres équations fractionnaires et les moyens de les résoudre.

Comment résoudre des équations avec des fractions - x au numérateur

Si une équation fractionnaire est donnée, où l'inconnue est au numérateur, la solution ne nécessite pas de conditions supplémentaires et est résolue sans tracas supplémentaires. Forme générale une telle équation est x/a + b = c, où x est une inconnue, a, b et c sont des nombres ordinaires.

Trouver x : x/5 + 10 = 70.

Pour résoudre l'équation, vous devez vous débarrasser des fractions. Multipliez chaque terme de l'équation par 5 : 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x et 5 est réduit, 10 et 70 sont multipliés par 5 et on obtient : x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Trouvez x : x/5 + x/10 = 90.

Cet exemple est une version un peu plus compliquée du premier. Il y a deux solutions ici.

• Option 1 : Débarrassez-vous des fractions en multipliant tous les termes de l'équation par le plus grand dénominateur, c'est-à-dire par 10 : 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Option 2 : Ajoutez le côté gauche de l'équation. x/5 + x/10 = 90. Le dénominateur commun est 10. Divisez 10 par 5, multipliez par x, nous obtenons 2x. 10 divisé par 10, multiplié par x, on obtient x : 2x+x/10 = 90. Donc 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Il existe souvent des équations fractionnaires dans lesquelles les x sont sur les côtés opposés du signe égal. Dans une telle situation, il est nécessaire de transférer toutes les fractions avec x dans un sens et les nombres dans un autre.

• Trouver x : 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Déplacer 2x/5 vers la droite avec le signe opposé : 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Nous réduisons 5x/5 et obtenons : x = 130.

Comment résoudre une équation avec des fractions - x au dénominateur

Ce type d'équations fractionnaires nécessite l'écriture de conditions supplémentaires. L'indication de ces conditions est obligatoire et fait partie intégrante bonne décision. En ne les attribuant pas, vous courez le risque, car la réponse (même si elle est correcte) peut tout simplement ne pas être comptée.

La forme générale des équations fractionnaires, où x est au dénominateur, est : a/x + b = c, où x est une inconnue, a, b, c sont des nombres ordinaires. Notez que x ne peut pas être n'importe quel nombre. Par exemple, x ne peut pas être égal à zéro, car vous ne pouvez pas diviser par 0. C'est ce qui est condition supplémentaire, que nous devons préciser. C'est ce qu'on appelle la plage de valeurs acceptables, abrégée - ODZ.

Trouver x : 15/x + 18 = 21.

On écrit immédiatement l'ODZ pour x : x ≠ 0. Maintenant que l'ODZ est indiquée, on résout l'équation en utilisant schéma standard se débarrasser des fractions. Nous multiplions tous les termes de l'équation par x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Il existe souvent des équations dans lesquelles le dénominateur contient non seulement x, mais également une autre opération, par exemple une addition ou une soustraction.

Trouver x : 15/(x-3) + 18 = 21.

Nous savons déjà que le dénominateur ne peut pas être égal à zéro, ce qui signifie x-3 ≠ 0. Nous transférons -3 sur le côté droit, tout en changeant le signe "-" en "+" et nous obtenons que x ≠ 3. ODZ est indiqué.

Résolvez l'équation, multipliez tout par x-3 : 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Déplacez les x vers la droite, les nombres vers la gauche : 24 = 3x => x = 8.