Quels nombres sont irrationnels. Nombres rationnels et irrationnels

Définition d'un nombre irrationnel

Les nombres irrationnels sont les nombres qui, en notation décimale, sont des fractions décimales non périodiques infinies.

Par exemple, les nombres obtenus en prenant la racine carrée de nombres naturels, sont irrationnels et ne sont pas des carrés de nombres naturels. Mais tous les nombres irrationnels ne sont pas obtenus en extrayant racines carrées, car le nombre "pi" obtenu par division est également irrationnel, et il est peu probable que vous l'obteniez en essayant d'extraire la racine carrée d'un nombre naturel.

Propriétés des nombres irrationnels

Contrairement aux nombres écrits en fractions décimales infinies, seuls les nombres irrationnels sont écrits en fractions décimales infinies non périodiques.
La somme de deux nombres irrationnels non négatifs peut éventuellement être un nombre rationnel.
Nombres irrationnels définissent des sections de Dedekind dans l'ensemble des nombres rationnels, dans la classe inférieure qui n'ont pas la un grand nombre, et il n'y a pas de plus petit dans le supérieur.
Tout nombre transcendantal réel est irrationnel.
Tous les nombres irrationnels sont soit algébriques, soit transcendantaux.
L'ensemble des nombres irrationnels sur la ligne sont densément emballés, et entre deux de ses nombres il y a nécessairement un ir nombre rationnel.
L'ensemble des nombres irrationnels est infini, indénombrable et est un ensemble de la 2ème catégorie.
Lorsque vous effectuez une opération arithmétique sur des nombres rationnels, à l'exception de la division par 0, son résultat sera un nombre rationnel.
Lorsque vous ajoutez un nombre rationnel à un nombre irrationnel, le résultat est toujours un nombre irrationnel.
Lors de l'ajout de nombres irrationnels, nous pouvons obtenir un nombre rationnel en conséquence.
L'ensemble des nombres irrationnels n'est pas pair.

Les chiffres ne sont pas irrationnels

Parfois, il est assez difficile de répondre à la question de savoir si un nombre est irrationnel, en particulier dans les cas où le nombre se présente sous la forme d'une fraction décimale ou sous la forme d'une expression numérique, racine ou logarithme.

Par conséquent, il ne sera pas superflu de savoir quels nombres ne sont pas irrationnels. Si nous suivons la définition des nombres irrationnels, nous savons déjà que les nombres rationnels ne peuvent pas être irrationnels.

Les nombres irrationnels ne sont pas :

Premièrement, tous les nombres naturels ;
Deuxièmement, les entiers ;
Troisièmement, les fractions ordinaires ;
Quatrièmement, différents nombres mixtes ;
Cinquièmement, ce sont des fractions décimales périodiques infinies.

En plus de tout ce qui précède, toute combinaison de nombres rationnels effectuée par les signes d'opérations arithmétiques, telles que +, -, , :, ne peut pas être un nombre irrationnel, car dans ce cas, le résultat de deux nombres rationnels sera également être un nombre rationnel.

Voyons maintenant lesquels des nombres sont irrationnels :

Connaissez-vous l'existence d'un fan club où les fans de ce mystérieux phénomène mathématique recherchent de plus en plus d'informations sur Pi, essayant de percer son mystère. Toute personne connaissant par cœur un certain nombre de nombres Pi après la virgule peut devenir membre de ce club ;

Saviez-vous qu'en Allemagne, sous la protection de l'UNESCO, se trouve le palais Castadel Monte, grâce aux proportions desquelles vous pouvez calculer Pi. Un palais entier a été dédié à ce nombre par le roi Frédéric II.

Il s'avère qu'ils ont essayé d'utiliser le nombre Pi dans la construction de la Tour de Babel. Mais à notre grand regret, cela a conduit à l'échec du projet, car à cette époque le calcul exact de la valeur de Pi n'était pas suffisamment étudié.

La chanteuse Kate Bush dans son nouveau disque a enregistré une chanson intitulée "Pi", dans laquelle cent vingt-quatre numéros de la célèbre série de numéros 3, 141 sonnaient ... ..

L'ensemble de tous les nombres naturels est désigné par la lettre N. Les nombres naturels sont les nombres que nous utilisons pour compter les objets : 1,2,3,4, ... Dans certaines sources, le nombre 0 fait également référence aux nombres naturels.

L'ensemble de tous les nombres entiers est désigné par la lettre Z. Les nombres entiers sont tous des nombres naturels, zéro et nombres négatifs :

1,-2,-3, -4, …

Maintenant, nous ajoutons à l'ensemble de tous les entiers l'ensemble de tous fractions ordinaires: 2/3, 18/17, -4/5 et ainsi de suite. On obtient alors l'ensemble de tous les nombres rationnels.

Ensemble de nombres rationnels

L'ensemble de tous les nombres rationnels est désigné par la lettre Q. L'ensemble de tous les nombres rationnels (Q) est l'ensemble composé des nombres de la forme m/n, -m/n et du nombre 0. Dans comme n,m peut être n'importe quel nombre naturel. Il convient de noter que tous les nombres rationnels peuvent être représentés sous la forme d'une fraction décimale PÉRIODIQUE finie ou infinie. L'inverse est également vrai, que toute fraction décimale périodique finie ou infinie peut être écrite comme un nombre rationnel.

Mais qu'en est-il, par exemple, du nombre 2.0100100010… ? C'est une décimale infiniment NON PÉRIODIQUE. Et cela ne s'applique pas aux nombres rationnels.

Dans le cours scolaire d'algèbre, seuls les nombres réels (ou réels) sont étudiés. Beaucoup de tous nombres réels désigné par la lettre R. L'ensemble R est constitué de tous les nombres rationnels et de tous les nombres irrationnels.

Le concept de nombres irrationnels

Les nombres irrationnels sont tous des fractions décimales non périodiques infinies. Les nombres irrationnels n'ont pas de notation spéciale.

Par exemple, tous les nombres obtenus en extrayant la racine carrée de nombres naturels qui ne sont pas des carrés de nombres naturels seront irrationnels. (√2, √3, √5, √6, etc.).

Mais ne pensez pas que les nombres irrationnels ne s'obtiennent qu'en extrayant des racines carrées. Par exemple, le nombre "pi" est également irrationnel, et il s'obtient par division. Et peu importe à quel point vous essayez, vous ne pouvez pas l'obtenir en prenant la racine carrée d'un nombre naturel.

Avec un segment de longueur unitaire, les anciens mathématiciens le savaient déjà : ils connaissaient par exemple l'incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré, ce qui équivaut à l'irrationalité du nombre.

Les irrationnels sont :

Exemples de preuve d'irrationalité

Racine de 2

Supposons le contraire : il est rationnel, c'est-à-dire qu'il est représenté comme une fraction irréductible, où et sont des entiers. Mettons au carré l'égalité supposée :

D'où il suit que pair, donc, pair et . Laissez où le tout. Puis

Donc, pair, donc, pair et . Nous avons obtenu cela et sommes pairs, ce qui contredit l'irréductibilité de la fraction . Par conséquent, l'hypothèse initiale était erronée et est un nombre irrationnel.

Logarithme binaire du nombre 3

Supposons le contraire : il est rationnel, c'est-à-dire qu'il est représenté par une fraction, où et sont des entiers. Puisque , et peuvent être pris positifs. Puis

Mais c'est clair, c'est bizarre. On obtient une contradiction.

e

Récit

Le concept de nombres irrationnels a été implicitement adopté par les mathématiciens indiens au 7ème siècle avant JC, lorsque Manawa (vers 750 avant JC - vers 690 avant JC) a découvert que les racines carrées de certains nombres naturels, tels que 2 et 61, ne peuvent pas être exprimées explicitement.

La première preuve de l'existence de nombres irrationnels est généralement attribuée à Hippase de Métaponte (vers 500 avant JC), un pythagoricien qui a trouvé cette preuve en étudiant les longueurs des côtés d'un pentagramme. Au temps des Pythagoriciens, on croyait qu'il existe une seule unité de longueur, suffisamment petite et indivisible, qui est un nombre entier de fois inclus dans n'importe quel segment. Cependant, Hippasus a fait valoir qu'il n'y a pas d'unité de longueur unique, car l'hypothèse de son existence conduit à une contradiction. Il a montré que si l'hypoténuse d'un isocèle triangle rectangle contient un nombre entier de segments unitaires, alors ce nombre doit être à la fois pair et impair. La preuve ressemblait à ceci :

Le rapport de la longueur de l'hypoténuse à la longueur de la jambe d'un triangle rectangle isocèle peut être exprimé par un:b, où un et b choisi le plus petit possible.
D'après le théorème de Pythagore : un² = 2 b².
Comme un² pair, un doit être pair (puisque le carré d'un nombre impair serait impair).
Dans la mesure où un:b irréductible bça doit être bizarre.
Comme un même, dénoter un = 2y.
Puis un² = 4 y² = 2 b².
b² = 2 y², donc b est pair, alors b même.
Cependant, il a été prouvé que bétrange. Contradiction.

Les mathématiciens grecs appelaient ce rapport des quantités incommensurables alogos(inexprimable), mais selon les légendes, Hippase n'a pas été respecté. Il y a une légende selon laquelle Hippase a fait la découverte lors d'un voyage en mer et a été jeté par-dessus bord par d'autres pythagoriciens "pour avoir créé un élément de l'univers, ce qui nie la doctrine selon laquelle toutes les entités de l'univers peuvent être réduites à des nombres entiers et leurs rapports. " La découverte d'Hippa placée devant les mathématiques pythagoriciennes Problème sérieux, détruisant l'hypothèse sous-jacente à toute la théorie selon laquelle les nombres et les objets géométriques sont un et inséparables.

voir également

Remarques

Systèmes numériques
Compte ensembles	Nombres naturels () Entiers ()

Un nombre rationnel est un nombre qui peut être représenté par une fraction, où . Q est l'ensemble de tous les nombres rationnels.

Les nombres rationnels sont divisés en : positif, négatif et zéro.

Chaque nombre rationnel peut être associé à un seul point sur la ligne de coordonnées. La relation "à gauche" pour les points correspond à la relation "inférieur à" pour les coordonnées de ces points. On peut voir que chaque nombre négatif est inférieur à zéro et chaque nombre positif ; de deux nombres négatifs, celui dont le module est le plus grand est le plus petit. Donc, -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Tout nombre rationnel peut être représenté par une fraction périodique décimale. Par example, .

Les algorithmes pour les opérations sur les nombres rationnels découlent des règles de signes pour les opérations correspondantes sur les fractions nulles et positives. Q effectue une division autre que la division par zéro.

Quelconque équation linéaire, c'est à dire. équation de la forme ax+b=0, où , est résoluble sur l'ensemble Q, mais pas n'importe lequel équation quadratique type , est résoluble en nombres rationnels. Tous les points d'une ligne de coordonnées n'ont pas un point rationnel. Même à la fin du VIe siècle av. n.m. e à l'école de Pythagore, il a été prouvé que la diagonale d'un carré n'est pas proportionnelle à sa hauteur, ce qui équivaut à l'affirmation: "L'équation n'a pas de racines rationnelles". Tout ce qui précède a conduit à la nécessité d'étendre l'ensemble Q, le concept de nombre irrationnel a été introduit. Dénoter l'ensemble des nombres irrationnels par la lettre J .

Sur une ligne de coordonnées, tous les points qui n'ont pas de coordonnées rationnelles ont des coordonnées irrationnelles. , où r sont des ensembles de nombres réels. de manière universelle les affectations de nombres réels sont décimales. Les décimales périodiques définissent les nombres rationnels et les décimales non périodiques définissent les nombres irrationnels. Ainsi, 2,03 (52) est un nombre rationnel, 2,03003000300003 ... (la période de chaque chiffre suivant "3" s'écrit un zéro de plus) est un nombre irrationnel.

Les ensembles Q et R ont les propriétés de positivité : entre deux nombres rationnels quelconques il y a un nombre rationnel, par exemple, ecoi a

Pour chaque nombre irrationnel α on peut spécifier une approximation rationnelle à la fois avec un déficit et avec un excès avec n'importe quelle précision : a< α

L'opération d'extraction d'une racine de certains nombres rationnels conduit à des nombres irrationnels. Extraire la racine d'un degré naturel est une opération algébrique, c'est-à-dire son introduction est liée à la solution d'une équation algébrique de la forme . Si n est impair, c'est-à-dire n=2k+1, où , alors l'équation a une seule racine. Si n est pair, n=2k, où , alors pour a=0 l'équation a une seule racine x=0, pour a<0 корней нет, при a>0 a deux racines opposées. Extraire une racine est l'opération inverse d'élever à une puissance naturelle.

La racine arithmétique (par souci de brièveté, la racine) du nième degré d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif b, qui est la racine de l'équation. La racine du nième degré à partir du nombre a est désignée par le symbole . Pour n=2, le degré de la racine 2 n'est pas indiqué : .

Par exemple, , parce que 2 2 =4 et 2>0 ; , car 3 3 =27 et 3>0 ; n'existe pas parce que -4<0.

Pour n=2k et a>0, les racines de l'équation (1) s'écrivent et . Par exemple, les racines de l'équation x 2 \u003d 4 sont 2 et -2.

Pour n impair, l'équation (1) a une seule racine pour tout . Si a≥0, alors - la racine de cette équation. Si un<0, то –а>0 et - la racine de l'équation. Ainsi, l'équation x 3 \u003d 27 a une racine.

Que sont les nombres irrationnels ? Pourquoi s'appellent-ils ainsi ? Où sont-ils utilisés et à quoi servent-ils ? Rares sont ceux qui peuvent répondre à ces questions sans hésitation. Mais en fait, les réponses sont assez simples, bien que tout le monde n'en ait pas besoin et dans de très rares situations.

Essence et appellation

Les nombres irrationnels sont infinis non périodiques La nécessité d'introduire ce concept est due au fait que pour résoudre de nouveaux problèmes émergents, les concepts de nombres réels ou réels, entiers, naturels et rationnels n'étaient plus suffisants. Par exemple, pour calculer ce qu'est le carré de 2, vous devez utiliser des décimales infinies non récurrentes. De plus, bon nombre des équations les plus simples n'ont pas non plus de solution sans introduire le concept de nombre irrationnel.

Cet ensemble est noté I. Et, comme cela est déjà clair, ces valeurs ne peuvent pas être représentées comme une simple fraction, au numérateur de laquelle il y aura un entier, et au dénominateur -

Pour la première fois, d'une manière ou d'une autre, les mathématiciens indiens ont rencontré ce phénomène au 7ème siècle, quand on a découvert que les racines carrées de certaines quantités ne peuvent pas être indiquées explicitement. Et la première preuve de l'existence de tels nombres est attribuée au pythagoricien Hippase, qui l'a fait en étudiant un triangle rectangle isocèle. Une contribution sérieuse à l'étude de cet ensemble a été apportée par d'autres scientifiques qui ont vécu avant notre ère. L'introduction du concept de nombres irrationnels a entraîné une révision du système mathématique existant, c'est pourquoi ils sont si importants.

origine du nom

Si ratio en latin est "fraction", "ratio", alors le préfixe "ir"
donne au mot le sens opposé. Ainsi, le nom de l'ensemble de ces nombres indique qu'ils ne peuvent pas être corrélés avec un nombre entier ou fractionnaire, ils ont une place à part. Cela découle de leur nature.

Place au classement général

Les nombres irrationnels, avec les nombres rationnels, appartiennent au groupe des nombres réels ou réels, qui à leur tour sont complexes. Il n'y a pas de sous-ensembles, cependant, il existe des variétés algébriques et transcendantales, qui seront discutées ci-dessous.

Propriétés

Les nombres irrationnels faisant partie de l'ensemble des nombres réels, toutes leurs propriétés étudiées en arithmétique (on les appelle aussi lois algébriques de base) s'appliquent à eux.

a + b = b + a (commutativité);

(a + b) + c = a + (b + c) (associativité);

a + (-a) = 0 (l'existence du nombre opposé);

ab = ba (loi de déplacement) ;

(ab)c = a(bc) (distributivité);

a(b+c) = ab + ac (loi distributive) ;

a x 1/a = 1 (l'existence d'un nombre inverse);

La comparaison est également effectuée conformément aux lois et principes généraux :

Si a > b et b > c, alors a > c (transitivité de la relation) et. etc.

Bien sûr, tous les nombres irrationnels peuvent être transformés en utilisant la base opérations arithmétiques. Il n'y a pas de règles spéciales pour cela.

De plus, l'action de l'axiome d'Archimède s'étend aux nombres irrationnels. Il dit que pour deux quantités quelconques a et b, l'affirmation est vraie qu'en prenant a comme terme suffisamment de fois, il est possible de dépasser b.

Usage

Malgré le fait qu'en vie ordinaire pas si souvent que vous devez les gérer, les nombres irrationnels ne sont pas dénombrables. Il y en a beaucoup, mais ils sont presque invisibles. Nous sommes entourés de nombres irrationnels partout. Des exemples familiers à tous sont pi, qui est 3,1415926... ou e, qui est essentiellement la base un algorithme naturel, 2.718281828... En algèbre, trigonométrie et géométrie, il faut les utiliser tout le temps. Soit dit en passant, la célèbre signification de la "section dorée", c'est-à-dire le rapport à la fois de la plus grande partie à la plus petite, et vice versa, également

appartient à cet ensemble. "Argent" moins connu - aussi.

Sur la ligne numérique, ils sont situés de manière très dense, de sorte qu'entre deux quantités quelconques liées à l'ensemble des rationnels, un irrationnel est sûr de se produire.

Il existe encore de nombreux problèmes non résolus associés à cet ensemble. Il existe des critères tels que la mesure de l'irrationalité et la normalité d'un nombre. Les mathématiciens continuent d'examiner les exemples les plus significatifs de leur appartenance à un groupe ou à un autre. Par exemple, on considère que e est un nombre normal, c'est-à-dire que la probabilité que différents chiffres apparaissent dans son entrée est la même. Quant à pi, des recherches sont toujours en cours à son sujet. Une mesure de l'irrationalité est une valeur qui montre à quel point un nombre particulier peut être approximé par des nombres rationnels.

Algébrique et transcendantal

Comme déjà mentionné, les nombres irrationnels sont conditionnellement divisés en algébrique et transcendantal. Conditionnellement, puisque, à proprement parler, cette classification sert à diviser l'ensemble C.

Sous cette désignation, les nombres complexes sont cachés, qui incluent des nombres réels ou réels.

Ainsi, une valeur algébrique est une valeur qui est la racine d'un polynôme qui n'est pas identiquement égal à zéro. Par exemple, la racine carrée de 2 serait dans cette catégorie car c'est la solution de l'équation x 2 - 2 = 0.

Tous les autres nombres réels qui ne satisfont pas à cette condition sont dits transcendantaux. Cette variété comprend également les exemples les plus célèbres et déjà mentionnés - le nombre pi et la base du logarithme naturel e.

Fait intéressant, ni l'un ni le second n'ont été initialement déduits par les mathématiciens à ce titre, leur irrationalité et leur transcendance ont été prouvées de nombreuses années après leur découverte. Pour pi, la démonstration a été donnée en 1882 et simplifiée en 1894, ce qui a mis fin à la controverse de 2 500 ans sur le problème de la quadrature du cercle. Il n'est pas encore entièrement compris, les mathématiciens modernes ont donc quelque chose sur quoi travailler. Soit dit en passant, le premier calcul suffisamment précis de cette valeur a été effectué par Archimède. Avant lui, tous les calculs étaient trop approximatifs.

Pour e (le nombre d'Euler ou de Napier), une preuve de sa transcendance a été trouvée en 1873. Il est utilisé pour résoudre des équations logarithmiques.

D'autres exemples incluent les valeurs de sinus, de cosinus et de tangente pour toutes les valeurs algébriques non nulles.