Les équations quadratiques résolvent et résolvent. Équations du second degré

Dans la continuité du sujet "Résoudre des équations", le matériel de cet article vous présentera les équations quadratiques.

Considérons tout en détail: l'essence et la notation d'une équation quadratique, définir des termes liés, analyser le schéma de résolution d'équations incomplètes et complètes, se familiariser avec la formule des racines et du discriminant, établir des liens entre les racines et les coefficients, et bien sûr nous donnerons une solution visuelle d'exemples pratiques.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Équation quadratique, ses types

Définition 1

Équation quadratique est l'équation écrite comme une x 2 + b x + c = 0, où X– variable, a , b et c sont des nombres, tandis que un n'est pas nul.

Souvent, les équations quadratiques sont aussi appelées équations du second degré, puisqu'en fait une équation quadratique est une équation algébrique du second degré.

Donnons un exemple pour illustrer la définition donnée : 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. sont des équations quadratiques.

Définition 2

Les nombres a , b et c sont les coefficients de l'équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, tandis que le coefficient un est appelé le premier, ou senior, ou coefficient à x 2, b - le deuxième coefficient, ou coefficient à X, un c appelé membre gratuit.

Par exemple, dans l'équation quadratique 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 le coefficient le plus élevé est 6 , le deuxième coefficient est − 2 , et le terme libre est égal à − 11 . Faisons attention au fait que lorsque les coefficients b et/ou c sont négatifs, alors forme courte enregistrements du formulaire 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, mais non 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Précisons également cet aspect : si les coefficients un et/ou bégal 1 ou − 1 , alors ils peuvent ne pas participer explicitement à l'écriture de l'équation quadratique, ce qui s'explique par les particularités de l'écriture des coefficients numériques indiqués. Par exemple, dans l'équation quadratique y 2 − y + 7 = 0 le coefficient principal est 1 et le deuxième coefficient est − 1 .

Équations quadratiques réduites et non réduites

Selon la valeur du premier coefficient, les équations quadratiques sont divisées en réduites et non réduites.

Définition 3

Équation quadratique réduite est une équation quadratique où le coefficient directeur est 1 . Pour les autres valeurs du coefficient directeur, l'équation quadratique n'est pas réduite.

Voici quelques exemples : les équations quadratiques x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 sont réduites, dans chacune desquelles le coefficient dominant est 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- équation quadratique non réduite, où le premier coefficient est différent de 1 .

Toute équation quadratique non réduite peut être convertie en une équation réduite en divisant ses deux parties par le premier coefficient (transformation équivalente). L'équation transformée aura les mêmes racines que l'équation non réduite donnée ou n'aura pas de racines du tout.

Considération étude de cas nous permettra de démontrer visuellement le passage d'une équation quadratique non réduite à une équation réduite.

Exemple 1

Étant donné l'équation 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Il est nécessaire de convertir l'équation originale dans la forme réduite.

La solution

Selon le schéma ci-dessus, nous divisons les deux parties de l'équation d'origine par le coefficient directeur 6 . Alors on obtient : (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0 : 3, et c'est la même chose que : (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 et plus loin: (6 : 6) x 2 + (18 : 6) x - 7 : 6 = 0 . D'ici: X 2 + 3 X - 1 1 6 = 0 . Ainsi, une équation équivalente à celle donnée est obtenue.

Réponse: X 2 + 3 X - 1 1 6 = 0 .

Équations quadratiques complètes et incomplètes

Passons à la définition d'une équation quadratique. Dans celui-ci, nous avons précisé que un ≠ 0. Une condition similaire est nécessaire pour l'équation une x 2 + b x + c = 0était exactement carré, puisque un = 0 il se transforme essentiellement en une équation linéaire bx + c = 0.

Dans le cas où les coefficients b et c sont égaux à zéro (ce qui est possible, à la fois individuellement et conjointement), l'équation quadratique est dite incomplète.

Définition 4

Équation quadratique incomplète est une équation quadratique un X 2 + b X + c \u003d 0, où au moins un des coefficients b et c(ou les deux) zéro.

Équation quadratique complète est une équation quadratique dans laquelle tous les coefficients numériques ne sont pas égaux à zéro.

Voyons pourquoi les types équations du second degré de tels noms sont donnés.

Pour b = 0, l'équation quadratique prend la forme une x 2 + 0 x + c = 0, qui est identique à une x 2 + c = 0. À c = 0 l'équation quadratique s'écrit une x 2 + b x + 0 = 0, ce qui équivaut une x 2 + b x = 0. À b = 0 et c = 0 l'équation prendra la forme une x 2 = 0. Les équations que nous avons obtenues diffèrent de l'équation quadratique complète en ce que leurs membres gauches ne contiennent ni terme de variable x, ni terme libre, ni les deux à la fois. En fait, ce fait a donné le nom à ce type d'équations - incomplètes.

Par exemple, x 2 + 3 x + 4 = 0 et − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sont des équations quadratiques complètes ; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sont des équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

La définition donnée ci-dessus permet de distinguer les types suivants d'équations quadratiques incomplètes :

• une x 2 = 0, les coefficients correspondent à une telle équation b = 0 et c = 0 ;
• un x 2 + c \u003d 0 pour b \u003d 0;
• une X 2 + b X = 0 pour c = 0 .

Considérons successivement la solution de chaque type d'équation quadratique incomplète.

Solution de l'équation a x 2 \u003d 0

Comme déjà mentionné ci-dessus, une telle équation correspond aux coefficients b et c, égal à zéro. L'équation une x 2 = 0 peut être converti en une équation équivalente x2 = 0, que nous obtenons en divisant les deux côtés de l'équation d'origine par le nombre un, non égal à zéro. Fait évident, qui est la racine de l'équation x2 = 0 est nul car 0 2 = 0 . Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui s'explique par les propriétés du degré : pour tout nombre p , différent de zéro, l'inégalité est vraie p2 > 0, d'où il résulte que lorsque p ≠ 0égalité p2 = 0 ne sera jamais atteint.

Définition 5

Ainsi, pour l'équation quadratique incomplète a x 2 = 0, il existe une seule racine x=0.

Exemple 2

Par exemple, résolvons une équation quadratique incomplète − 3 x 2 = 0. Elle est équivalente à l'équation x2 = 0, sa seule racine est x=0, alors l'équation originale a une seule racine - zéro.

La solution se résume comme suit :

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solution de l'équation a x 2 + c \u003d 0

Vient ensuite la solution des équations quadratiques incomplètes, où b \u003d 0, c ≠ 0, c'est-à-dire des équations de la forme une x 2 + c = 0. Transformons cette équation en transférant le terme d'un côté de l'équation à l'autre, en changeant le signe à l'opposé et en divisant les deux côtés de l'équation par un nombre qui n'est pas égal à zéro :

• supporter cà droite, ce qui donne l'équation une x 2 = - c;
• diviser les deux membres de l'équation par un, on obtient comme résultat x = - c a .

Nos transformations sont équivalentes, respectivement, l'équation résultante est également équivalente à celle d'origine, et ce fait permet de tirer une conclusion sur les racines de l'équation. A partir de quelles valeurs un et c dépend de la valeur de l'expression - c a : il peut avoir un signe moins (par exemple, si un = 1 et c = 2, alors - c a = - 2 1 = - 2) ou un signe plus (par exemple, si un = -2 et c=6, alors - c une = - 6 - 2 = 3); n'est pas égal à zéro car c ≠ 0. Arrêtons-nous plus en détail sur les situations où - c a< 0 и - c a > 0 .

Dans le cas où - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p l'égalité p 2 = - c a ne peut pas être vraie.

Tout est différent quand - c a > 0: rappelez-vous la racine carrée, et il deviendra évident que la racine de l'équation x 2 \u003d - c a sera le nombre - c a, puisque - c a 2 \u003d - c a. Il est facile de comprendre que le nombre - - c a - est aussi la racine de l'équation x 2 = - c a : en effet, - - c a 2 = - c a .

L'équation n'aura pas d'autres racines. Nous pouvons le démontrer en utilisant la méthode inverse. Tout d'abord, définissons la notation des racines trouvées ci-dessus comme x1 et −x1. Supposons que l'équation x 2 = - c a a aussi une racine x2, qui est différent des racines x1 et −x1. Nous savons qu'en substituant dans l'équation au lieu de X ses racines, nous transformons l'équation en une juste égalité numérique.

Pour x1 et −x1écrire : x 1 2 = - c a , et pour x2- x 2 2 \u003d - c un. En se basant sur les propriétés des égalités numériques, on soustrait une égalité vraie d'une autre terme à terme, ce qui nous donnera : X 1 2 - X 2 2 = 0. Utilisez les propriétés des opérations sur les nombres pour réécrire la dernière égalité sous la forme (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. On sait que le produit de deux nombres est nul si et seulement si au moins un des nombres est nul. De ce qui a été dit, il résulte que x1 − x2 = 0 et/ou x1 + x2 = 0, ce qui revient au même x2 = x1 et/ou X 2 = − X 1. Une contradiction évidente est apparue, car au début, il était convenu que la racine de l'équation x2 diffère de x1 et −x1. Ainsi, nous avons prouvé que l'équation n'a pas d'autres racines que x = - c a et x = - - c a .

Nous résumons tous les arguments ci-dessus.

Définition 6

Équation quadratique incomplète une x 2 + c = 0 est équivalente à l'équation x 2 = - c a , qui :

• n'aura pas de racines à - c a< 0 ;
• aura deux racines x = - c a et x = - - c a quand - c a > 0 .

Donnons des exemples de résolution d'équations une x 2 + c = 0.

Exemple 3

Étant donné une équation quadratique 9 x 2 + 7 = 0 . Il faut trouver sa solution.

La solution

Nous transférons le terme libre sur le côté droit de l'équation, puis l'équation prendra la forme 9 x 2 \u003d - 7.
Nous divisons les deux côtés de l'équation résultante par 9 , on arrive à x 2 = - 7 9 . Sur le côté droit, nous voyons un nombre avec un signe moins, ce qui signifie : l'équation donnée n'a pas de racines. Alors l'équation quadratique incomplète d'origine 9 x 2 + 7 = 0 n'aura pas de racines.

Réponse: l'équation 9 x 2 + 7 = 0 n'a pas de racines.

Exemple 4

Il faut résoudre l'équation − x2 + 36 = 0.

La solution

Déplaçons 36 vers la droite : − x 2 = − 36.
Divisons les deux parties en − 1 , on a x2 = 36. Sur le côté droit se trouve un nombre positif, à partir duquel nous pouvons conclure que x = 36 ou x = - 36 .
Nous extrayons la racine et écrivons le résultat final : une équation quadratique incomplète − x2 + 36 = 0 a deux racines x=6 ou x = -6.

Réponse: x=6 ou x = -6.

Solution de l'équation a x 2 +b x=0

Analysons le troisième type d'équations quadratiques incomplètes, lorsque c = 0. Trouver une solution à une équation quadratique incomplète une x 2 + b x = 0, nous utilisons la méthode de factorisation. Factorisons le polynôme, qui est du côté gauche de l'équation, en prenant le facteur commun entre parenthèses X. Cette étape permettra de transformer l'équation quadratique incomplète d'origine en son équivalent X (une X + b) = 0. Et cette équation, à son tour, est équivalente à l'ensemble des équations x=0 et une X + b = 0. L'équation une X + b = 0 linéaire, et sa racine : x = − b une.

Définition 7

Ainsi, l'équation quadratique incomplète une x 2 + b x = 0 aura deux racines x=0 et x = − b une.

Consolidons le matériel avec un exemple.

Exemple 5

Il faut trouver la solution de l'équation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

La solution

Sortons X en dehors des parenthèses et obtenez l'équation x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Cette équation est équivalente aux équations x=0 et 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Vous devez maintenant résoudre l'équation linéaire résultante : 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Brièvement, nous écrivons la solution de l'équation comme suit :

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou x = 3 3 7

Réponse: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminant, formule des racines d'une équation quadratique

Pour trouver une solution aux équations quadratiques, il existe une formule racine :

Définition 8

x = - b ± D 2 a, où ré = b 2 − 4 une c est le soi-disant discriminant d'une équation quadratique.

Écrire x \u003d - b ± D 2 a signifie essentiellement que x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Il sera utile de comprendre comment la formule indiquée a été dérivée et comment l'appliquer.

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Supposons que nous soyons confrontés à la tâche de résoudre une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0. Effectuons un certain nombre de transformations équivalentes :

• diviser les deux membres de l'équation par le nombre un, différent de zéro, on obtient l'équation quadratique réduite : x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• sélectionnez le carré complet sur le côté gauche de l'équation résultante :
  X 2 + b une X + c une = X 2 + 2 b 2 une X + b 2 une 2 - b 2 une 2 + c une = = X + b 2 une 2 - b 2 une 2 + c une
  Après cela, l'équation prendra la forme: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• il est maintenant possible de transférer les deux derniers termes vers la droite, en changeant le signe en sens inverse, après quoi nous obtenons : x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• enfin, on transforme l'expression écrite à droite de la dernière égalité :
  b 2 une 2 - c une \u003d b 2 4 une 2 - c une \u003d b 2 4 une 2 - 4 une c 4 une 2 \u003d b 2 - 4 une c 4 une 2.

Ainsi, nous sommes arrivés à l'équation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , qui est équivalente à l'équation originale une x 2 + b x + c = 0.

Nous avons discuté de la solution de telles équations dans les paragraphes précédents (la solution des équations quadratiques incomplètes). L'expérience déjà acquise permet de tirer une conclusion sur les racines de l'équation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 :

• pour b 2 - 4 une c 4 une 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pour b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, l'équation a la forme x + b 2 · a 2 = 0, alors x + b 2 · a = 0.

A partir de là, la seule racine x = - b 2 · a est évidente ;

• pour b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, le bon est : x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ou x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , qui est le identique à x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ou x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , c'est-à-dire l'équation a deux racines.

Il est possible de conclure que la présence ou l'absence des racines de l'équation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (et donc l'équation d'origine) dépend du signe de l'expression b 2 - 4 a c 4 · un 2 écrit sur le côté droit. Et le signe de cette expression est donné par le signe du numérateur, (le dénominateur 4 à 2 sera toujours positif), c'est-à-dire le signe de l'expression b 2 − 4 une c. Cette expression b 2 − 4 une c un nom est donné - le discriminant d'une équation quadratique et la lettre D est définie comme sa désignation. Ici, vous pouvez écrire l'essence du discriminant - par sa valeur et son signe, ils concluent si l'équation quadratique aura de vraies racines et, si oui, combien de racines - une ou deux.

Revenons à l'équation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Réécrivons-le en utilisant la notation discriminante : x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Récapitulons les conclusions :

Définition 9

• à ré< 0 l'équation n'a pas de racines réelles ;
• à J=0 l'équation a une seule racine x = - b 2 · a ;
• à D > 0 l'équation a deux racines: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ou x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Sur la base des propriétés des radicaux, ces racines peuvent être écrites comme suit: x \u003d - b 2 a + D 2 a ou - b 2 a - D 2 a. Et lorsque nous ouvrons les modules et réduisons les fractions à un dénominateur commun, nous obtenons: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Ainsi, le résultat de notre raisonnement a été la dérivation de la formule des racines de l'équation quadratique :

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , discriminant ré calculé par la formule ré = b 2 − 4 une c.

Ces formules permettent, lorsque le discriminant est supérieur à zéro, de déterminer les deux racines réelles. Lorsque le discriminant est nul, l'application des deux formules donnera la même racine que la seule solution à l'équation quadratique. Dans le cas où le discriminant est négatif, en essayant d'utiliser la formule de la racine quadratique, nous serons confrontés à la nécessité d'extraire la racine carrée d'un nombre négatif, ce qui nous mènera au-delà nombres réels. Avec un discriminant négatif, l'équation quadratique n'aura pas de racines réelles, mais une paire de racines conjuguées complexes est possible, déterminée par les mêmes formules de racine que nous avons obtenues.

Algorithme de résolution d'équations quadratiques à l'aide de formules racine

Il est possible de résoudre une équation quadratique en utilisant immédiatement la formule racine, mais cela se fait essentiellement lorsqu'il est nécessaire de trouver des racines complexes.

Dans la plupart des cas, la recherche ne vise généralement pas les racines complexes, mais les racines réelles d'une équation quadratique. Alors il est optimal, avant d'utiliser les formules des racines de l'équation quadratique, de déterminer d'abord le discriminant et de s'assurer qu'il n'est pas négatif (sinon on en conclura que l'équation n'a pas de racines réelles), puis de procéder au calcul de la valeur des racines.

Le raisonnement ci-dessus permet de formuler un algorithme de résolution d'une équation quadratique.

Définition 10

Pour résoudre une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, nécessaire:

• selon la formule ré = b 2 − 4 une c trouver la valeur du discriminant ;
• à D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pour D = 0 trouver la racine unique de l'équation par la formule x = - b 2 · a ;
• pour D > 0, déterminer deux racines réelles de l'équation quadratique par la formule x = - b ± D 2 · a.

Notez que lorsque le discriminant est nul, vous pouvez utiliser la formule x = - b ± D 2 · a , elle donnera le même résultat que la formule x = - b 2 · a .

Prenons des exemples.

Exemples de résolution d'équations quadratiques

Donnons un exemple de solution pour différentes valeurs discriminant.

Exemple 6

Il faut trouver les racines de l'équation x 2 + 2 x - 6 = 0.

La solution

Nous écrivons les coefficients numériques de l'équation quadratique: a \u003d 1, b \u003d 2 et c = − 6. Ensuite, nous agissons selon l'algorithme, c'est-à-dire Commençons à calculer le discriminant, auquel on substitue les coefficients a , b et c dans la formule discriminante : ré = b 2 - 4 une c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28 .

Donc, nous avons D > 0, ce qui signifie que l'équation d'origine aura deux vraies racines.
Pour les trouver, nous utilisons la formule racine x \u003d - b ± D 2 · a et, en remplaçant les valeurs appropriées, nous obtenons: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Nous simplifions l'expression résultante en retirant le facteur du signe de la racine, suivi d'une réduction de la fraction :

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ou x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ou x = - 1 - 7

Réponse: X = - 1 + 7 , X = - 1 - 7 .

Exemple 7

Il faut résoudre une équation quadratique − 4 × 2 + 28 × − 49 = 0.

La solution

Définissons le discriminant : ré = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Avec cette valeur du discriminant, l'équation originale n'aura qu'une seule racine, déterminée par la formule x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Réponse: x = 3, 5.

Exemple 8

Il faut résoudre l'équation 5 ans 2 + 6 ans + 2 = 0

La solution

Les coefficients numériques de cette équation seront : a = 5 , b = 6 et c = 2 . Nous utilisons ces valeurs pour trouver le discriminant : D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Le discriminant calculé est négatif, donc l'équation quadratique d'origine n'a pas de racines réelles.

Dans le cas où la tâche consiste à indiquer des racines complexes, nous appliquons la formule racine en effectuant des opérations avec des nombres complexes :

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 je 10 ou x \u003d - 6 - 2 je 10,

x = - 3 5 + 1 5 je ou x = - 3 5 - 1 5 je .

Réponse: il n'y a pas de vraies racines; les racines complexes sont : - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Dans le programme scolaire, en tant que norme, il n'est pas nécessaire de rechercher des racines complexes. Par conséquent, si le discriminant est défini comme négatif lors de la décision, la réponse est immédiatement enregistrée qu'il n'y a pas de racines réelles.

Formule racine pour les deuxièmes coefficients pairs

La formule racine x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) permet d'obtenir une autre formule, plus compacte, permettant de trouver des solutions aux équations quadratiques à coefficient pair en x (ou à coefficient de la forme 2 a n, par exemple 2 3 ou 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Montrons comment cette formule est dérivée.

Supposons que nous soyons confrontés à la tâche de trouver une solution à l'équation quadratique a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. On agit selon l'algorithme : on détermine le discriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , puis on utilise la formule racine :

x \u003d - 2 n ± ré 2 une, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - une c 2 une, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - une c 2 une, x = - n ± n 2 - une · Californie .

Soit l'expression n 2 − a c soit notée D 1 (parfois elle est notée D "). Alors la formule des racines de l'équation quadratique considérée avec le second coefficient 2 n prendra la forme :

x \u003d - n ± D 1 a, où D 1 \u003d n 2 - a c.

Il est facile de voir que D = 4 · D 1 , ou D 1 = D 4 . En d'autres termes, D 1 est le quart du discriminant. Bien entendu, le signe de D 1 est le même que le signe de D, ce qui signifie que le signe de D 1 peut également servir d'indicateur de la présence ou de l'absence des racines d'une équation quadratique.

Définition 11

Ainsi, pour trouver une solution à une équation quadratique avec un second coefficient de 2 n, il faut :

• trouver D 1 = n 2 − une c ;
• à J 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• pour D 1 = 0, déterminer la racine unique de l'équation par la formule x = - n a ;
• pour D 1 > 0, déterminer deux racines réelles à l'aide de la formule x = - n ± D 1 a.

Exemple 9

Il faut résoudre l'équation quadratique 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

La solution

Le deuxième coefficient de l'équation donnée peut être représenté par 2 · (− 3) . Ensuite, nous réécrivons l'équation quadratique donnée sous la forme 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , où a = 5 , n = − 3 et c = − 32 .

Calculons la quatrième partie du discriminant : D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . La valeur résultante est positive, ce qui signifie que l'équation a deux racines réelles. On les définit par la formule correspondante des racines :

x = - n ± ré 1 une , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 ou x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ou x = - 2

Il serait possible d'effectuer des calculs en utilisant la formule usuelle des racines d'une équation quadratique, mais dans ce cas la solution serait plus lourde.

Réponse: x = 3 1 5 ou x = - 2 .

Simplification de la forme des équations quadratiques

Parfois, il est possible d'optimiser la forme de l'équation d'origine, ce qui simplifiera le processus de calcul des racines.

Par exemple, l'équation quadratique 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 est clairement plus pratique à résoudre que 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Le plus souvent, la simplification de la forme d'une équation quadratique est effectuée en multipliant ou en divisant ses deux parties par un certain nombre. Par exemple, ci-dessus, nous avons montré une représentation simplifiée de l'équation 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, obtenue en divisant ses deux parties par 100.

Une telle transformation est possible lorsque les coefficients de l'équation quadratique ne sont pas des nombres relativement premiers. Ensuite, généralement, les deux parties de l'équation sont divisées par le plus grand diviseur commun des valeurs absolues de ses coefficients.

À titre d'exemple, nous utilisons l'équation quadratique 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Définissons le pgcd des valeurs absolues de ses coefficients : pgcd (12 , 42 , 48) = pgcd(gcd (12 , 42) , 48) = pgcd (6 , 48) = 6 . Divisons les deux parties de l'équation quadratique originale par 6 et obtenons l'équation quadratique équivalente 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

En multipliant les deux côtés de l'équation quadratique, les coefficients fractionnaires sont généralement éliminés. Dans ce cas, multiplier par le plus petit commun multiple des dénominateurs de ses coefficients. Par exemple, si chaque partie de l'équation quadratique 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 est multipliée par LCM (6, 3, 1) \u003d 6, alors elle sera écrite en plus forme simple x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Enfin, notons que presque toujours se débarrasser du moins au premier coefficient de l'équation quadratique, en changeant les signes de chaque terme de l'équation, ce qui est obtenu en multipliant (ou en divisant) les deux parties par - 1. Par exemple, à partir de l'équation quadratique - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, vous pouvez passer à sa version simplifiée 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Relation entre les racines et les coefficients

La formule déjà connue des racines des équations quadratiques x = - b ± D 2 · a exprime les racines de l'équation en fonction de ses coefficients numériques. Reposant sur cette formule, nous avons la possibilité de spécifier d'autres dépendances entre les racines et les coefficients.

Les plus célèbres et applicables sont les formules du théorème de Vieta :

x 1 + x 2 \u003d - b une et x 2 \u003d c une.

En particulier, pour l'équation quadratique donnée, la somme des racines est le second coefficient de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre. Par exemple, sous la forme de l'équation quadratique 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0, il est possible de déterminer immédiatement que la somme de ses racines est 7 3 et que le produit des racines est 22 3.

Vous pouvez également trouver un certain nombre d'autres relations entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique. Par exemple, la somme des carrés des racines d'une équation quadratique peut être exprimée en termes de coefficients :

X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2 = - b une 2 - 2 c une = b 2 une 2 - 2 c une = b 2 - 2 une c une 2.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée

Nous continuons à étudier le sujet solution d'équations". Nous nous sommes déjà familiarisés avec les équations linéaires et maintenant nous allons nous familiariser avec équations du second degré.

Tout d'abord, nous discuterons de ce qu'est une équation quadratique, comment elle est écrite sous sa forme générale et donnerons des définitions connexes. Après cela, à l'aide d'exemples, nous analyserons en détail comment les équations quadratiques incomplètes sont résolues. Passons ensuite à la résolution d'équations complètes, obtenons la formule des racines, familiarisons-nous avec le discriminant d'une équation quadratique et considérons les solutions d'exemples typiques. Enfin, nous traçons les liens entre les racines et les coefficients.

Navigation dans les pages.

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ? Leurs genres

Vous devez d'abord comprendre clairement ce qu'est une équation quadratique. Par conséquent, il est logique de commencer à parler d'équations quadratiques avec la définition d'une équation quadratique, ainsi que les définitions qui s'y rapportent. Après cela, vous pouvez considérer les principaux types d'équations quadratiques : réduites et non réduites, ainsi que les équations complètes et incomplètes.

Définition et exemples d'équations quadratiques

Définition.

Équation quadratique est une équation de la forme une x 2 +b x+c=0, où x est une variable, a , b et c sont des nombres et a est différent de zéro.

Disons tout de suite que les équations quadratiques sont souvent appelées équations du second degré. C'est parce que l'équation quadratique est équation algébrique second degré.

La définition sonore permet de donner des exemples d'équations quadratiques. Donc 2x2 +6x+1=0, 0,2x2 +2,5x+0,03=0, etc. sont des équations quadratiques.

Définition.

Nombres a , b et c sont appelés coefficients de l'équation quadratique a x 2 + b x + c \u003d 0, et le coefficient a est appelé le premier, ou senior, ou coefficient en x 2, b est le deuxième coefficient, ou coefficient en x, et c est un membre libre.

Par exemple, prenons une équation quadratique de la forme 5 x 2 −2 x−3=0, ici le premier coefficient est 5, le second coefficient est −2, et le terme libre est −3. Notez que lorsque les coefficients b et/ou c sont négatifs, comme dans l'exemple qui vient d'être donné, la forme abrégée de l'équation quadratique de la forme 5 x 2 −2 x−3=0 est utilisée, et non 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Il convient de noter que lorsque les coefficients a et / ou b sont égaux à 1 ou -1, alors ils ne sont généralement pas explicitement présents dans la notation de l'équation quadratique, ce qui est dû aux particularités de la notation de tel . Par exemple, dans l'équation quadratique y 2 −y+3=0, le coefficient directeur est un et le coefficient en y est −1.

Équations quadratiques réduites et non réduites

Selon la valeur du coefficient directeur, on distingue les équations quadratiques réduites et non réduites. Donnons les définitions correspondantes.

Définition.

Une équation quadratique dans laquelle le coefficient directeur est 1 est appelée équation quadratique réduite. Sinon, l'équation quadratique est non réduit.

Selon cette définition, les équations quadratiques x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, etc. - réduit, dans chacun d'eux le premier coefficient égal à un. Et 5 x 2 −x−1=0 , etc. - équations quadratiques non réduites, leurs coefficients directeurs sont différents de 1 .

À partir de n'importe quelle équation quadratique non réduite, en divisant ses deux parties par le coefficient directeur, vous pouvez passer à l'équation réduite. Cette action est une transformation équivalente, c'est-à-dire que l'équation quadratique réduite ainsi obtenue a les mêmes racines que l'équation quadratique non réduite d'origine, ou, comme elle, n'a pas de racines.

Prenons un exemple de la façon dont la transition d'une équation quadratique non réduite à une équation réduite est effectuée.

Exemple.

A partir de l'équation 3 x 2 +12 x−7=0, passer à l'équation quadratique réduite correspondante.

La solution.

Il nous suffit d'effectuer la division des deux parties de l'équation d'origine par le coefficient directeur 3, il est non nul, nous pouvons donc effectuer cette action. On a (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , qui est identique à (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , et ainsi de suite (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , d'où . Nous avons donc obtenu l'équation quadratique réduite, qui est équivalente à celle d'origine.

Réponse:

Équations quadratiques complètes et incomplètes

Il y a une condition a≠0 dans la définition d'une équation quadratique. Cette condition est nécessaire pour que l'équation a x 2 +b x+c=0 soit exactement carrée, puisqu'avec a=0 elle devient en fait une équation linéaire de la forme b x+c=0 .

Quant aux coefficients b et c, ils peuvent être égaux à zéro, à la fois séparément et ensemble. Dans ces cas, l'équation quadratique est dite incomplète.

Définition.

L'équation quadratique a x 2 +b x+c=0 est appelée incomplet, si au moins un des coefficients b , c est égal à zéro.

À son tour

Définition.

Équation quadratique complète est une équation dans laquelle tous les coefficients sont différents de zéro.

Ces noms ne sont pas donnés par hasard. Cela ressortira clairement de la discussion suivante.

Si le coefficient b est égal à zéro, alors l'équation quadratique prend la forme a x 2 +0 x+c=0 , et elle est équivalente à l'équation a x 2 +c=0 . Si c=0 , c'est-à-dire que l'équation quadratique a la forme a x 2 +b x+0=0 , alors elle peut être réécrite comme a x 2 +b x=0 . Et avec b=0 et c=0 on obtient l'équation quadratique a·x 2 =0. Les équations résultantes diffèrent de l'équation quadratique complète en ce que leurs membres gauches ne contiennent ni un terme avec la variable x, ni un terme libre, ou les deux. D'où leur nom - équations quadratiques incomplètes.

Ainsi les équations x 2 +x+1=0 et −2 x 2 −5 x+0,2=0 sont des exemples d'équations quadratiques complètes, et x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sont des équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Il ressort des informations du paragraphe précédent qu'il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes:

• a x 2 =0 , les coefficients b=0 et c=0 lui correspondent ;
• a x 2 +c=0 quand b=0 ;
• et a x 2 + b x = 0 lorsque c = 0 .

Analysons dans l'ordre comment sont résolues les équations quadratiques incomplètes de chacun de ces types.

un x 2 \u003d 0

Commençons par résoudre des équations quadratiques incomplètes dans lesquelles les coefficients b et c sont égaux à zéro, c'est-à-dire avec des équations de la forme a x 2 =0. L'équation a·x 2 =0 est équivalente à l'équation x 2 =0, qui est obtenue à partir de l'original en divisant ses deux parties par un nombre non nul a. De toute évidence, la racine de l'équation x 2 \u003d 0 est nulle, puisque 0 2 \u003d 0. Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui s'explique, en effet, pour tout nombre p non nul, l'inégalité p 2 >0 a lieu, ce qui implique que pour p≠0, l'égalité p 2 =0 n'est jamais atteinte.

Ainsi, l'équation quadratique incomplète a x 2 \u003d 0 a une seule racine x \u003d 0.

A titre d'exemple, nous donnons la solution d'une équation quadratique incomplète −4·x 2 =0. Elle équivaut à l'équation x 2 \u003d 0, sa seule racine est x \u003d 0, par conséquent, l'équation d'origine a une seule racine zéro.

Une solution courte dans ce cas peut être émise comme suit :
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

une x 2 +c=0

Considérons maintenant comment sont résolues les équations quadratiques incomplètes, dans lesquelles le coefficient b est égal à zéro, et c≠0, c'est-à-dire les équations de la forme a x 2 +c=0. On sait que le transfert d'un terme d'un côté de l'équation à l'autre de signe opposé, ainsi que la division des deux côtés de l'équation par un nombre non nul, donnent une équation équivalente. Par conséquent, les transformations équivalentes suivantes de l'équation quadratique incomplète a x 2 +c=0 peuvent être effectuées :

• déplacer c vers la droite, ce qui donne l'équation a x 2 =−c,
• et divisons ses deux parties par a , nous obtenons .

L'équation résultante nous permet de tirer des conclusions sur ses racines. Selon les valeurs de a et c, la valeur de l'expression peut être négative (par exemple, si a=1 et c=2 , alors ) ou positive, (par exemple, si a=−2 et c=6 , alors ), il n'est pas égal à zéro , car par condition c≠0 . Nous analyserons séparément les cas et .

Si , alors l'équation n'a pas de racine. Cette affirmation découle du fait que le carré de tout nombre est un nombre non négatif. Il s'ensuit que lorsque , alors pour tout nombre p l'égalité ne peut pas être vraie.

Si , alors la situation avec les racines de l'équation est différente. Dans ce cas, si nous rappelons environ, alors la racine de l'équation devient immédiatement évidente, c'est le nombre, puisque. Il est facile de deviner que le nombre est aussi la racine de l'équation , en effet, . Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui peut être montré, par exemple, par contradiction. Faisons-le.

Notons les racines juste exprimées de l'équation par x 1 et −x 1 . Supposons que l'équation ait une autre racine x 2 différente des racines indiquées x 1 et −x 1 . On sait que la substitution dans l'équation au lieu de x de ses racines transforme l'équation en une véritable égalité numérique. Pour x 1 et −x 1 nous avons , et pour x 2 nous avons . Les propriétés des égalités numériques nous permettent d'effectuer une soustraction terme à terme des vraies égalités numériques, donc la soustraction des parties correspondantes des égalités donne x 1 2 − x 2 2 =0. Les propriétés des opérations sur les nombres nous permettent de réécrire l'égalité résultante sous la forme (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . On sait que le produit de deux nombres est égal à zéro si et seulement si au moins l'un d'entre eux est égal à zéro. Il résulte donc de l'égalité obtenue que x 1 -x 2 =0 et/ou x 1 +x 2 =0 , ce qui revient au même, x 2 =x 1 et/ou x 2 = -x 1 . On est donc arrivé à une contradiction, puisqu'au début on a dit que la racine de l'équation x 2 est différente de x 1 et −x 1 . Cela prouve que l'équation n'a pas d'autres racines que et .

Résumons les informations contenues dans ce paragraphe. L'équation quadratique incomplète a x 2 +c=0 est équivalente à l'équation , qui

• n'a pas de racines si ,
• a deux racines et si .

Considérons des exemples de résolution d'équations quadratiques incomplètes de la forme a·x 2 +c=0 .

Commençons par l'équation quadratique 9 x 2 +7=0 . Après avoir transféré le terme libre au côté droit de l'équation, il prendra la forme 9·x 2 =−7. En divisant les deux côtés de l'équation résultante par 9 , nous arrivons à . Puisqu'un nombre négatif est obtenu sur le côté droit, cette équation n'a pas de racines, par conséquent, l'équation quadratique incomplète d'origine 9 x 2 + 7 = 0 n'a pas de racines.

Résolvons une autre équation quadratique incomplète −x 2 +9=0. Nous transférons le neuf sur le côté droit: -x 2 \u003d -9. Maintenant, nous divisons les deux parties par −1, nous obtenons x 2 =9. Le côté droit contient un nombre positif, à partir duquel nous concluons que ou . Après avoir noté la réponse finale : l'équation quadratique incomplète −x 2 +9=0 a deux racines x=3 ou x=−3.

une x 2 +b x=0

Il reste à traiter la solution du dernier type d'équations quadratiques incomplètes pour c=0 . Les équations quadratiques incomplètes de la forme a x 2 +b x=0 permettent de résoudre méthode de factorisation. Évidemment, on peut, situé sur le côté gauche de l'équation, pour lequel il suffit de prendre le facteur commun x entre parenthèses. Cela nous permet de passer de l'équation quadratique incomplète d'origine à une équation équivalente de la forme x·(a·x+b)=0 . Et cette équation est équivalente à l'ensemble des deux équations x=0 et a x+b=0 , dont la dernière est linéaire et a pour racine x=-b/a .

Ainsi, l'équation quadratique incomplète a x 2 +b x=0 a deux racines x=0 et x=−b/a.

Pour consolider le matériel, nous allons analyser la solution d'un exemple précis.

Exemple.

Résous l'équation.

La solution.

Nous prenons x entre parenthèses, cela donne l'équation. Elle est équivalente à deux équations x=0 et . Nous résolvons l'équation linéaire résultante : , et en divisant le nombre fractionnaire par fraction commune, nous trouvons . Par conséquent, les racines de l'équation originale sont x=0 et .

Après avoir acquis la pratique nécessaire, les solutions de ces équations peuvent être écrites brièvement :

Réponse:

x=0 , .

Discriminant, formule des racines d'une équation quadratique

Pour résoudre des équations quadratiques, il existe une formule racine. Écrivons la formule des racines de l'équation quadratique: , où D=b 2 −4 une c- soi-disant discriminant d'une équation quadratique. La notation signifie essentiellement que .

Il est utile de savoir comment la formule racine a été obtenue et comment elle est appliquée pour trouver les racines des équations quadratiques. Traitons cela.

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Nous devons résoudre l'équation quadratique a·x 2 +b·x+c=0 . Effectuons quelques transformations équivalentes :

• Nous pouvons diviser les deux parties de cette équation par un nombre non nul a, nous obtenons ainsi l'équation quadratique réduite.
• À présent sélectionner un carré complet sur son côté gauche : . Après cela, l'équation prendra la forme .
• A ce stade, il est possible d'effectuer le transfert des deux derniers termes vers la droite avec le signe opposé, on a .
• Et transformons aussi l'expression du côté droit : .

En conséquence, nous arrivons à l'équation , qui est équivalente à l'équation quadratique originale a·x 2 +b·x+c=0 .

Nous avons déjà résolu des équations de forme similaire dans les paragraphes précédents lorsque nous avons analysé . Cela nous permet de tirer les conclusions suivantes concernant les racines de l'équation :

• si , alors l'équation n'a pas de solutions réelles ;
• si , alors l'équation a la forme , donc , d'où sa seule racine est visible ;
• si , alors ou , qui est identique à ou , c'est-à-dire que l'équation a deux racines.

Ainsi, la présence ou l'absence des racines de l'équation, et donc de l'équation quadratique d'origine, dépend du signe de l'expression du côté droit. A son tour, le signe de cette expression est déterminé par le signe du numérateur, puisque le dénominateur 4 a 2 est toujours positif, c'est-à-dire le signe de l'expression b 2 -4 a c . Cette expression b 2 −4 a c est appelée discriminant d'une équation quadratique et marqué de la lettre ré. À partir de là, l'essence du discriminant est claire - par sa valeur et son signe, on conclut si l'équation quadratique a de vraies racines, et si oui, quel est leur nombre - un ou deux.

Revenons à l'équation , réécrivons-la en utilisant la notation du discriminant : . Et nous concluons :

• si D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• si D = 0, alors cette équation a une racine unique ;
• enfin, si D>0, alors l'équation a deux racines ou , qui peuvent être réécrites sous la forme ou , et après expansion et réduction des fractions à un dénominateur commun, on obtient .

Nous avons donc dérivé les formules pour les racines de l'équation quadratique, elles ressemblent à , où le discriminant D est calculé par la formule D=b 2 −4 a c .

Avec leur aide, avec un discriminant positif, vous pouvez calculer les deux racines réelles d'une équation quadratique. Lorsque le discriminant est égal à zéro, les deux formules donnent la même valeur racine correspondant à la seule solution de l'équation quadratique. Et avec un discriminant négatif, en essayant d'utiliser la formule pour les racines d'une équation quadratique, nous sommes confrontés à l'extraction racine carrée d'un nombre négatif, ce qui nous sort de la boîte et programme scolaire. Avec un discriminant négatif, l'équation quadratique n'a pas de racines réelles, mais a une paire Conjugaison compliquée racines, qui peuvent être trouvées en utilisant les mêmes formules de racine que nous avons obtenues.

Algorithme de résolution d'équations quadratiques à l'aide de formules racine

En pratique, lors de la résolution d'une équation quadratique, vous pouvez immédiatement utiliser la formule racine, avec laquelle calculer leurs valeurs. Mais il s'agit davantage de trouver des racines complexes.

Cependant, dans un cours d'algèbre scolaire, il est généralement nous parlons pas sur le complexe, mais sur les racines réelles d'une équation quadratique. Dans ce cas, il est conseillé de trouver d'abord le discriminant avant d'utiliser les formules des racines de l'équation quadratique, de s'assurer qu'il est non négatif (sinon, on peut conclure que l'équation n'a pas de racines réelles), et après cela calculer les valeurs des racines.

Le raisonnement ci-dessus permet d'écrire algorithme pour résoudre une équation quadratique. Pour résoudre l'équation quadratique a x 2 + b x + c \u003d 0, il vous faut :

• à l'aide de la formule discriminante D=b 2 -4 a c calculer sa valeur ;
• conclure que l'équation quadratique n'a pas de racines réelles si le discriminant est négatif ;
• calculer la racine unique de l'équation à l'aide de la formule si D=0 ;
• trouver deux racines réelles d'une équation quadratique en utilisant la formule racine si le discriminant est positif.

Notons seulement ici que si le discriminant est égal à zéro, la formule peut également être utilisée, elle donnera la même valeur que .

Vous pouvez passer à des exemples d'application de l'algorithme pour résoudre des équations quadratiques.

Exemples de résolution d'équations quadratiques

Considérez les solutions de trois équations quadratiques avec un discriminant positif, négatif et nul. Après avoir traité leur solution, par analogie, il sera possible de résoudre toute autre équation quadratique. Commençons.

Exemple.

Trouver les racines de l'équation x 2 +2 x−6=0 .

La solution.

Dans ce cas, nous avons les coefficients suivants de l'équation quadratique : a=1 , b=2 et c=−6 . Selon l'algorithme, vous devez d'abord calculer le discriminant, pour cela nous substituons les a, b et c indiqués dans la formule discriminante, nous avons ré=b 2 −4 une c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Puisque 28>0, c'est-à-dire que le discriminant est supérieur à zéro, l'équation quadratique a deux racines réelles. Trouvons-les par la formule des racines , on obtient , ici on peut simplifier les expressions obtenues en faisant factoriser le signe de la racine suivi d'une réduction de fraction :

Réponse:

Passons au prochain exemple typique.

Exemple.

Résolvez l'équation quadratique −4 x 2 +28 x−49=0 .

La solution.

On commence par trouver le discriminant : D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Par conséquent, cette équation quadratique a une racine unique, que nous trouvons sous la forme , c'est-à-dire

Réponse:

x=3,5 .

Il reste à considérer la solution des équations quadratiques à discriminant négatif.

Exemple.

Résolvez l'équation 5 y 2 +6 y+2=0 .

La solution.

Voici les coefficients de l'équation quadratique : a=5 , b=6 et c=2 . En substituant ces valeurs dans la formule discriminante, nous avons ré=b 2 −4 une c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Le discriminant est négatif, donc cette équation quadratique n'a pas de racines réelles.

S'il est nécessaire d'indiquer des racines complexes, nous utilisons formule connue racines de l'équation quadratique , et effectuer opérations avec des nombres complexes:

Réponse:

il n'y a pas de racines réelles, les racines complexes sont : .

Encore une fois, nous notons que si le discriminant de l'équation quadratique est négatif, l'école écrit généralement immédiatement la réponse, dans laquelle elle indique qu'il n'y a pas de racines réelles et qu'elle ne trouve pas de racines complexes.

Formule racine pour les deuxièmes coefficients pairs

La formule des racines d'une équation quadratique , où D=b 2 −4 a c permet d'obtenir une formule plus compacte qui permet de résoudre des équations quadratiques avec un coefficient pair en x (ou simplement avec un coefficient qui ressemble à 2 n , par exemple, ou 14 ln5=2 7 ln5 ). Sortons-la.

Disons que nous devons résoudre une équation quadratique de la forme a x 2 +2 n x + c=0 . Trouvons ses racines en utilisant la formule que nous connaissons. Pour cela, on calcule le discriminant ré=(2 n) 2 −4 une c=4 n 2 −4 une c=4 (n 2 −a c), puis nous utilisons la formule racine :

Notons l'expression n 2 −a c comme D 1 (elle est parfois notée D "). Alors la formule des racines de l'équation quadratique considérée avec le second coefficient 2 n prend la forme , où D 1 =n 2 -a c .

Il est facile de voir que D=4·D 1 , soit D 1 =D/4 . En d'autres termes, D 1 est la quatrième partie du discriminant. Il est clair que le signe de D 1 est le même que le signe de D . C'est-à-dire que le signe D1 est également un indicateur de la présence ou de l'absence des racines de l'équation quadratique.

Donc, pour résoudre une équation quadratique avec le second coefficient 2 n, il faut

• Calculer D 1 =n 2 −a·c ;
• Si J 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Si D 1 =0, alors calculez la racine unique de l'équation à l'aide de la formule ;
• Si D 1 >0, alors trouvez deux racines réelles en utilisant la formule.

Considérez la solution de l'exemple en utilisant la formule racine obtenue dans ce paragraphe.

Exemple.

Résolvez l'équation quadratique 5 x 2 −6 x−32=0 .

La solution.

Le deuxième coefficient de cette équation peut être représenté par 2·(−3) . Autrement dit, vous pouvez réécrire l'équation quadratique d'origine sous la forme 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , ici a=5 , n=−3 et c=−32 , et calculer la quatrième partie de la discriminant: ré 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Comme sa valeur est positive, l'équation a deux racines réelles. Nous les trouvons en utilisant la formule racine correspondante :

Notez qu'il était possible d'utiliser la formule habituelle pour les racines d'une équation quadratique, mais dans ce cas, il faudrait faire plus de travail de calcul.

Réponse:

Simplification de la forme des équations quadratiques

Parfois, avant de se lancer dans le calcul des racines d'une équation quadratique à l'aide de formules, cela ne fait pas de mal de se poser la question : « Est-il possible de simplifier la forme de cette équation » ? Convenez qu'en termes de calculs, il sera plus facile de résoudre l'équation quadratique 11 x 2 −4 x −6=0 que 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Habituellement, une simplification de la forme d'une équation quadratique est obtenue en multipliant ou en divisant les deux côtés de celle-ci par un certain nombre. Par exemple, dans le paragraphe précédent, nous avons réussi à réaliser une simplification de l'équation 1100 x 2 −400 x −600=0 en divisant les deux côtés par 100 .

Une transformation similaire est effectuée avec des équations quadratiques dont les coefficients ne sont pas . Dans ce cas, les deux parties de l'équation sont généralement divisées par les valeurs absolues de ses coefficients. Par exemple, prenons l'équation quadratique 12 x 2 −42 x+48=0. valeurs absolues de ses coefficients : pgcd(12, 42, 48)= pgcd(gcd(12, 42), 48)= pgcd(6, 48)=6 . En divisant les deux parties de l'équation quadratique originale par 6 , nous arrivons à l'équation quadratique équivalente 2 x 2 −7 x+8=0 .

Et la multiplication des deux parties de l'équation quadratique est généralement effectuée pour se débarrasser des coefficients fractionnaires. Dans ce cas, la multiplication est effectuée sur les dénominateurs de ses coefficients. Par exemple, si les deux parties d'une équation quadratique sont multipliées par LCM(6, 3, 1)=6 , alors elle prendra une forme plus simple x 2 +4 x−18=0 .

En conclusion de ce paragraphe, notons que l'on se débarrasse presque toujours du moins au niveau du coefficient directeur de l'équation quadratique en changeant les signes de tous les termes, ce qui correspond à multiplier (ou diviser) les deux parties par −1. Par exemple, généralement à partir de l'équation quadratique −2·x 2 −3·x+7=0 aller à la solution 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relation entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique

La formule des racines d'une équation quadratique exprime les racines d'une équation en fonction de ses coefficients. Sur la base de la formule des racines, vous pouvez obtenir d'autres relations entre les racines et les coefficients.

Les formules les plus connues et applicables du théorème de Vieta de la forme et . En particulier, pour l'équation quadratique donnée, la somme des racines est égale au second coefficient de signe opposé, et le produit des racines est le terme libre. Par exemple, par la forme de l'équation quadratique 3 x 2 −7 x+22=0, on peut immédiatement dire que la somme de ses racines est 7/3, et le produit des racines est 22/3.

En utilisant les formules déjà écrites, vous pouvez obtenir un certain nombre d'autres relations entre les racines et les coefficients de l'équation quadratique. Par exemple, vous pouvez exprimer la somme des carrés des racines d'une équation quadratique en fonction de ses coefficients : .

Bibliographie.

• Algèbre: cahier de texte pour 8 cellules. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; éd. S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : malade. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. A 14h Partie 1. Cahier de l'élève les établissements d'enseignement/ A. G. Mordkovitch. - 11e éd., effacé. - M. : Mnemozina, 2009. - 215 p. : ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

», c'est-à-dire des équations du premier degré. Dans cette leçon, nous explorerons qu'est-ce qu'une équation quadratique et comment le résoudre.

Qu'est-ce qu'une équation quadratique

Important!

Le degré d'une équation est déterminé par le degré le plus élevé auquel se situe l'inconnue.

Si le degré maximum auquel l'inconnue est "2", alors vous avez une équation quadratique.

Exemples d'équations quadratiques

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Important! La forme générale de l'équation quadratique ressemble à ceci :

UNE x 2 + b x + c = 0

"a", "b" et "c" - nombres donnés.

• "a" - le premier coefficient ou coefficient supérieur ;
• "b" - le deuxième coefficient ;
• "c" est un membre gratuit.

Pour trouver "a", "b" et "c", vous devez comparer votre équation avec la forme générale de l'équation quadratique "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Entraînons-nous à déterminer les coefficients "a", "b" et "c" dans les équations quadratiques.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

L'équation	Chances
un=5 b = −14 c = 17
un = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• un = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• un = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• un = 1
• b = 0
• c = −8

Comment résoudre des équations quadratiques

Contrairement aux équations linéaires, une équation spéciale est utilisée pour résoudre des équations quadratiques. formule pour trouver des racines.

Rappelles toi!

Pour résoudre une équation quadratique, il vous faut :

• amener l'équation quadratique à vue générale"ax 2 + bx + c = 0". C'est-à-dire que seul "0" doit rester sur le côté droit ;
• utilisez la formule pour les racines:

Prenons un exemple pour comprendre comment appliquer la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique. Résolvons l'équation quadratique.

X 2 - 3x - 4 = 0

L'équation "x 2 - 3x - 4 = 0" a déjà été réduite à la forme générale "ax 2 + bx + c = 0" et ne nécessite pas de simplifications supplémentaires. Pour le résoudre, il suffit d'appliquer formule pour trouver les racines d'une équation quadratique.

Définissons les coefficients "a", "b" et "c" pour cette équation.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Avec son aide, toute équation quadratique est résolue.

Dans la formule "x 1; 2 \u003d", l'expression racine est souvent remplacée
"b 2 − 4ac" à la lettre "D" et dit discriminant. Le concept de discriminant est abordé plus en détail dans la leçon "Qu'est-ce qu'un discriminant".

Prenons un autre exemple d'équation quadratique.

x 2 + 9 + x = 7x

Sous cette forme, il est assez difficile de déterminer les coefficients "a", "b" et "c". Apportons d'abord l'équation à la forme générale "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
X 2 + 9 + X − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Vous pouvez maintenant utiliser la formule pour les racines.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Réponse : x = 3

Il y a des moments où il n'y a pas de racines dans les équations quadratiques. Cette situation se produit lorsqu'un nombre négatif apparaît dans la formule sous la racine.

Juste. Par formules et clair règles simples. Au premier stade

nécessaire équation donnée mener à vue générale, c'est à dire. à la vue :

Si l'équation vous est déjà donnée sous cette forme, vous n'avez pas besoin de faire la première étape. La chose la plus importante est juste

déterminer tous les coefficients un, b et c.

Formule pour trouver les racines d'une équation quadratique.

L'expression sous le signe racine s'appelle discriminant . Comme vous pouvez le voir, pour trouver x, nous

utilisation seulement a, b et c. Ceux. chances de équation quadratique. Insérez juste soigneusement

valeurs un, b et c dans cette formule et compter. Remplacer par leur panneaux!

Par exemple, dans l'équation :

un =1; b = 3; c = -4.

Remplacez les valeurs et écrivez :

Exemple presque résolu :

C'est la réponse.

Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les signes de valeurs un B et Avec. Plutôt, avec substitution

valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ici, la formule détaillée enregistre

avec des numéros spécifiques. S'il y a des problèmes avec les calculs, faites-le!

Supposons que nous devions résoudre l'exemple suivant :

Ici un = -6; b = -5; c = -1

Nous peignons tout en détail, avec soin, sans rien manquer avec tous les signes et supports :

Souvent, les équations quadratiques semblent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :

Prenez maintenant note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d'erreurs.

Première réception. Ne soyez pas paresseux avant résoudre une équation quadratique amenez-le à la forme standard.

Qu'est-ce que ça veut dire?

Supposons qu'après toutes les transformations, vous obteniez l'équation suivante :

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule des racines ! Vous mélangerez presque certainement les chances a, b et c.

Construisez l'exemple correctement. D'abord x au carré, puis sans carré, puis un membre libre. Comme ça:

Débarrassez-vous du moins. Comment? Nous devons multiplier l'équation entière par -1. On a:

Et maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et compléter l'exemple.

Décidez vous-même. Vous devriez vous retrouver avec les racines 2 et -1.

Deuxième réception. Vérifiez vos racines ! Par Théorème de Vieta.

Pour résoudre les équations quadratiques données, c'est-à-dire si le coefficient

x2+bx+c=0,

alorsx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Pour une équation quadratique complète dans laquelle a≠1:

x2 +bx+c=0,

diviser toute l'équation par un:

→ →

où x1 et X 2 - racines de l'équation.

Troisième réception. Si votre équation a des coefficients fractionnaires, débarrassez-vous des fractions ! Multiplier

équation pour un dénominateur commun.

Conclusion. Conseils pratiques:

1. Avant de résoudre, nous apportons l'équation quadratique à la forme standard, la construisons droit.

2. S'il y a un coefficient négatif devant le x dans le carré, on l'élimine en multipliant tout

équations pour -1.

3. Si les coefficients sont fractionnaires, nous éliminons les fractions en multipliant l'équation entière par le

facteur.

4. Si x au carré est pur, son coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée par

Suite d'une manière simple. Pour ce faire, retirez z des parenthèses. Vous obtenez : z(az + b) = 0. Les facteurs peuvent s'écrire : z=0 et az + b = 0, puisque les deux peuvent donner zéro. Dans la notation az + b = 0, on déplace le second vers la droite avec un signe différent. De là, nous obtenons z1 = 0 et z2 = -b/a. Ce sont les racines de l'original.

S'il y a équation incomplète de la forme az² + c = 0, dans ce cas il y a transfert simple terme libre au côté droit de l'équation. Changez également son signe. Vous obtenez l'enregistrement az² \u003d -s. Exprimez z² = -c/a. Prenez la racine et écrivez deux solutions - positive et Sens négatif racine carrée.

Remarque

S'il y a des coefficients fractionnaires dans l'équation, multipliez l'équation entière par le facteur approprié afin de vous débarrasser des fractions.

La connaissance de la résolution des équations quadratiques est nécessaire pour les écoliers et les étudiants, parfois cela peut aider un adulte à vie ordinaire. Il existe plusieurs méthodes de décision spécifiques.

Résolution d'équations quadratiques

Une équation quadratique de la forme a*x^2+b*x+c=0. Le coefficient x est la variable souhaitée, a, b, c - coefficients numériques. N'oubliez pas que le signe "+" peut se transformer en signe "-".

Pour résoudre cette équation, vous devez utiliser le théorème de Vieta ou trouver le discriminant. Le moyen le plus courant consiste à trouver le discriminant, car pour certaines valeurs de a, b, c, il n'est pas possible d'utiliser le théorème de Vieta.

Pour trouver le discriminant (D), il faut écrire la formule D=b^2 - 4*a*c. La valeur de D peut être supérieure, inférieure ou égale à zéro. Si D est supérieur ou inférieur à zéro, alors il y aura deux racines, si D = 0, alors il ne reste qu'une seule racine, plus précisément, on peut dire que D a dans ce cas deux racines équivalentes. Remplacez les coefficients connus a, b, c dans la formule et calculez la valeur.

Après avoir trouvé le discriminant, pour trouver x, utilisez les formules : x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a ; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a où sqrt est la fonction pour prendre la racine carrée du nombre donné. Après avoir calculé ces expressions, vous trouverez les deux racines de votre équation, après quoi l'équation est considérée comme résolue.

Si D est inférieur à zéro, alors il a toujours des racines. A l'école, cette section n'est pratiquement pas étudiée. Les étudiants universitaires doivent être conscients qu'un nombre négatif apparaît sous la racine. Nous nous en débarrassons en séparant la partie imaginaire, c'est-à-dire que -1 sous la racine est toujours égal à l'élément imaginaire "i", qui est multiplié par la racine avec le même nombre positif. Par exemple, si D=sqrt(-20), après la transformation, D=sqrt(20)*i est obtenu. Après cette transformation, la solution de l'équation est réduite à la même découverte des racines, comme décrit ci-dessus.

Le théorème de Vieta consiste en la sélection des valeurs x(1) et x(2). Deux équations identiques sont utilisées : x(1) + x(2)= -b ; x(1)*x(2)=s. Et très point important est le signe avant le coefficient b, rappelez-vous que ce signe est l'opposé de celui de l'équation. À première vue, il semble que le calcul de x(1) et x(2) soit très simple, mais lors de la résolution, vous rencontrerez le fait que les nombres devront être sélectionnés exactement.

Éléments pour résoudre des équations quadratiques

Selon les règles mathématiques, certaines peuvent être factorisées: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, si vous avez réussi à transformer cette équation quadratique de cette manière à l'aide de formules mathématiques, alors n'hésitez pas à écrivez la réponse. x(1) et x(2) seront égaux aux coefficients adjacents entre parenthèses, mais de signe opposé.

N'oubliez pas non plus les équations quadratiques incomplètes. Il se peut que vous manquiez certains des termes, si c'est le cas, alors tous ses coefficients sont simplement égaux à zéro. Si x^2 ou x n'est précédé de rien, alors les coefficients a et b sont égaux à 1.