Exemples de résolution d'équations rationnelles fractionnaires. Leçon vidéo "Équations rationnelles

\(\bullet\) Une équation rationnelle est une équation exprimée par \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] où \(P(x), \ Q(x)\) - polynômes (la somme des « x » à divers degrés, multipliée par divers nombres).
L'expression du côté gauche de l'équation s'appelle l'expression rationnelle.
L'ODZ (plage de valeurs acceptables) d'une équation rationnelle correspond à toutes les valeurs \(x\) pour lesquelles le dénominateur ne s'annule PAS, c'est-à-dire \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Par exemple, les équations \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] sont des équations rationnelles.
Dans la première équation, l'ODZ est tout \(x\) tel que \(x\ne 3\) (ils écrivent \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); dans la deuxième équation, ce sont tous \(x\) , tels que \(x\ne -1; x\ne 1\) (écrire \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); et dans la troisième équation, il n'y a pas de restrictions sur l'ODZ, c'est-à-dire que l'ODZ est tout \(x\) (ils écrivent \(x\in\mathbb(R)\) ). \(\bullet\) Théorèmes :
1) Le produit de deux facteurs est égal à zéro si et seulement si l'un d'eux zéro, tandis que l'autre ne perd pas son sens, l'équation \(f(x)\cdot g(x)=0\) est donc équivalente au système \[\begin(cases) \left[ \begin(rassemblé)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(rassemblé) \right.\\ \ text(équations ODV) \end(cases)\] 2) La fraction est égale à zéro si et seulement si le numérateur est égal à zéro et le dénominateur n'est pas égal à zéro, donc l'équation \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) est équivalent au système d'équations \[\begin(cas) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cas)\]\(\bullet\) Regardons quelques exemples.

1) Résolvez l'équation \(x+1=\dfrac 2x\) . Trouvons ODZ équation donnée est \(x\ne 0\) (car \(x\) est au dénominateur).
Ainsi, l'ODZ peut s'écrire comme suit : .
Transférons tous les termes en une seule partie et réduisons à un dénominateur commun : \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( cas) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(cas)\] La solution de la première équation du système sera \(x=-2, x=1\) . On voit que les deux racines sont non nulles. Par conséquent, la réponse est : \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Résolvez l'équation \(\gauche(\dfrac4x - 2\droite)\cdot (x^2-x)=0\). Trouvons l'ODZ de cette équation. On voit que la seule valeur \(x\) pour laquelle le côté gauche n'a pas de sens est \(x=0\) . Ainsi, l'OD peut s'écrire comme suit : \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Ainsi, cette équation est équivalente au système :

\[\begin(cases) \left[ \begin(rassemblé)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(rassemblé) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(rassemblé)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(aligné) \end(rassemblé) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(rassemblé)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(aligned) \end(rassemblé) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(rassemblé) \begin(aligné) &x=2\\ &x=1 \end(aligné) \end(rassemblé) \right.\] En effet, malgré le fait que \(x=0\) est la racine du deuxième facteur, si vous substituez \(x=0\) dans l'équation d'origine, cela n'aura pas de sens, car l'expression \(\dfrac 40\) n'est pas définie.
La solution de cette équation est donc \(x\in \(1;2\)\) .

3) Résolvez l'équation \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Dans notre équation \(4x^2-1\ne 0\) , d'où \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , soit \(x\ne -\frac12; \frac12\) .
Nous transférons tous les termes sur le côté gauche et réduisons à un dénominateur commun :

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cas) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cas) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cas) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(collected) \begin( aligné) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligné)\end(rassemblé) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Flèche gauche droite \quad x=-3\)

Réponse : \(x\in \(-3\)\) .

Commenter. Si la réponse consiste en un ensemble fini de nombres, alors ils peuvent être écrits à travers un point-virgule entre accolades, comme indiqué dans les exemples précédents.

Tâches à résoudre équations rationnelles, lors de l'examen d'État unifié en mathématiques qu'ils rencontrent chaque année, par conséquent, en vue de réussir le test de certification, les diplômés doivent absolument répéter eux-mêmes la théorie sur ce sujet. Pour pouvoir faire face à de telles tâches, les diplômés qui réussissent à la fois le niveau de base et le niveau de profil de l'examen doivent nécessairement. Ayant maîtrisé la théorie et traité exercices pratiques sur le thème "Équations rationnelles", les étudiants pourront résoudre des problèmes avec n'importe quel nombre d'actions et s'attendre à recevoir des points compétitifs en fonction des résultats de la réussite de l'examen.

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Objectifs de la leçon:

Didacticiel:

formation du concept d'équations rationnelles fractionnaires;
considérer diverses manières de résoudre des équations rationnelles fractionnaires;
considérons un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires, incluant la condition que la fraction soit égale à zéro ;
enseigner la résolution d'équations rationnelles fractionnaires selon l'algorithme ;
vérifier le niveau d'assimilation du sujet en effectuant des travaux de test.

Développement:

développement de la capacité à fonctionner correctement avec les connaissances acquises, à penser logiquement;
développement des compétences intellectuelles et des opérations mentales - analyse, synthèse, comparaison et généralisation;
le développement de l'initiative, la capacité à prendre des décisions, à ne pas s'arrêter là ;
développement Esprit critique;
développement des compétences en recherche.

Nourrir :

éducation intérêt cognitif au sujet;
éducation à l'autonomie dans la résolution de problèmes éducatifs;
l'éducation de la volonté et de la persévérance pour atteindre les résultats finaux.

Type de leçon: leçon - explication du nouveau matériel.

Pendant les cours

1. Moment organisationnel.

Bonjour gars! Les équations sont écrites au tableau, regardez-les attentivement. Saurez-vous résoudre toutes ces équations ? Lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

Équations dans lesquelles les parties gauche et droite sont fractionnaires expressions rationnelles, sont appelées équations rationnelles fractionnaires. Que pensez-vous que nous allons étudier aujourd'hui dans la leçon ? Formulez le sujet de la leçon. Donc, nous ouvrons des cahiers et écrivons le sujet de la leçon « Solution d'équations rationnelles fractionnaires ».

2. Actualisation des connaissances. Enquête frontale, travail oral avec la classe.

Et maintenant, nous allons répéter le principal matériel théorique que nous devons étudier nouveau sujet. Merci de répondre aux questions suivantes:

Qu'est-ce qu'une équation ? ( Égalité avec une variable ou des variables.)
Comment s'appelle l'équation #1 ? ( Linéaire.) Méthode de résolution équations linéaires. (Déplacez tout avec l'inconnu vers le côté gauche de l'équation, tous les nombres vers la droite. Apportez des termes similaires. Trouver le multiplicateur inconnu).
Comment s'appelle l'équation 3 ? ( Carré.) Méthodes de résolution d'équations quadratiques. ( Sélection du carré plein, par des formules, en utilisant le théorème de Vieta et ses conséquences.)
Qu'est-ce qu'une proportion ? ( Égalité de deux relations.) La principale propriété de proportion. ( Si la proportion est vraie, alors le produit de ses termes extrêmes est égal au produit des termes moyens.)
Quelles propriétés sont utilisées pour résoudre des équations ? ( 1. Si dans l'équation nous transférons le terme d'une partie à une autre, en changeant son signe, nous obtenons une équation équivalente à celle donnée. 2. Si les deux parties de l'équation sont multipliées ou divisées par le même nombre non nul, alors une équation sera obtenue qui est équivalente à la donnée.)
Quand une fraction est-elle égale à zéro ? ( Une fraction est nulle lorsque le numérateur est nul et le dénominateur non nul.)

3. Explication du nouveau matériel.

Résolvez l'équation n° 2 dans des cahiers et au tableau.

Répondre: 10.

Quelle équation rationnelle fractionnaire pouvez-vous essayer de résoudre en utilisant la propriété de base de la proportion ? (N ° 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Résolvez l'équation n° 4 dans des cahiers et au tableau.

Répondre: 1,5.

Quelle équation rationnelle fractionnaire pouvez-vous essayer de résoudre en multipliant les deux membres de l'équation par le dénominateur ? (Numéro 6).

x2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Répondre: 3;4.

Essayez maintenant de résoudre l'équation #7 de l'une des manières.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Répondre: 0;5;-2.			Répondre: 5;-2.

Explique pourquoi c'est arrivé ? Pourquoi y a-t-il trois racines dans un cas et deux dans l'autre ? Quels nombres sont les racines de cette équation rationnelle fractionnaire ?

Jusqu'à présent, les étudiants n'ont pas rencontré le concept de racine étrangère, il leur est vraiment très difficile de comprendre pourquoi cela s'est produit. Si personne dans la classe ne peut donner une explication claire de cette situation, alors l'enseignant pose des questions suggestives.

En quoi les équations n° 2 et 4 diffèrent-elles des équations n° 5, 6, 7 ? ( Dans les équations n ° 2 et 4 au dénominateur du nombre, n ° 5-7 - expressions avec une variable.)
Quelle est la racine de l'équation ? ( La valeur de la variable à laquelle l'équation devient une vraie égalité.)
Comment savoir si un nombre est la racine d'une équation ? ( Faire un chèque.)

Lors d'un test, certains élèves remarquent qu'ils doivent diviser par zéro. Ils concluent que les nombres 0 et 5 ne sont pas les racines de cette équation. La question se pose : existe-t-il un moyen de résoudre des équations rationnelles fractionnaires qui élimine cette erreur ? Oui, cette méthode est basée sur la condition que la fraction soit égale à zéro.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Si x=5, alors x(x-5)=0, donc 5 est une racine étrangère.

Si x=-2, alors x(x-5)≠0.

Répondre: -2.

Essayons de formuler un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires de cette manière. Les enfants eux-mêmes formulent l'algorithme.

Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :

Déplacez tout vers la gauche.
Amener les fractions à un dénominateur commun.
Composez un système : une fraction est nulle lorsque le numérateur est égal à zéro et que le dénominateur n'est pas égal à zéro.
Résous l'équation.
Vérifiez l'inégalité pour exclure les racines superflues.
Écrivez la réponse.

Discussion : comment formaliser la solution si la propriété de base de la proportion est utilisée et la multiplication des deux côtés de l'équation par un dénominateur commun. (Compléter la solution : exclure de ses racines celles qui ramènent le dénominateur commun à zéro).

4. Compréhension primaire du nouveau matériel.

Travailler en équipe de deux. Les élèves choisissent eux-mêmes comment résoudre l'équation, selon le type d'équation. Tâches du manuel "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007 : n° 600 (b, c, i) ; N° 601(a, e, g). L'enseignant contrôle l'exécution de la tâche, répond aux questions qui se posent et aide les élèves peu performants. Autotest : Les réponses sont écrites au tableau.

b) 2 est une racine étrangère. Réponse : 3.

c) 2 est une racine étrangère. Réponse : 1.5.

a) Réponse : -12,5.

g) Réponse : 1 ; 1.5.

5. Énoncé des devoirs.

Lisez le point 25 du manuel, analysez les exemples 1-3.
Apprenez l'algorithme de résolution des équations rationnelles fractionnaires.
Résolvez dans les cahiers n ° 600 (a, d, e); N° 601 (g, h).
Essayez de résoudre #696(a) (optionnel).

6. Réalisation de la tâche de contrôle sur le sujet étudié.

Le travail se fait sur des feuilles.

Exemple de travail :

A) Parmi les équations, lesquelles sont rationnelles fractionnaires ?

B) Une fraction est nulle lorsque le numérateur est ______________________ et le dénominateur est ______________________.

Q) Le nombre -3 est-il la racine de l'équation #6 ?

D) Résolvez l'équation n° 7.

Critères d'évaluation des tâches :

« 5 » est donné si l'élève a terminé correctement plus de 90 % de la tâche.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
« 2 » est attribué à un étudiant qui a terminé moins de 50 % de la tâche.
La 2e année n'est pas inscrite dans le journal, la 3e est facultative.

7. Réflexion.

Sur les dépliants avec travail indépendant, mettez:

1 - si la leçon était intéressante et compréhensible pour vous ;
2 - intéressant, mais pas clair ;
3 - pas intéressant, mais compréhensible ;
4 - pas intéressant, pas clair.

8. Résumer la leçon.

Donc, aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec les équations rationnelles fractionnaires, avons appris à résoudre ces équations différentes façons, ont testé leurs connaissances à l'aide de formations travail indépendant. Vous apprendrez les résultats d'un travail indépendant dans la prochaine leçon, à la maison, vous aurez l'occasion de consolider les connaissances acquises.

Quelle méthode de résolution d'équations rationnelles fractionnaires est, selon vous, la plus simple, la plus accessible, la plus rationnelle ? Quelle que soit la méthode de résolution des équations rationnelles fractionnaires, que ne faut-il pas oublier ? Quelle est la "ruse" des équations rationnelles fractionnaires ?

Merci à tous, la leçon est terminée.

Décision équations rationnelles fractionnaires

Guide d'aide

Les équations rationnelles sont des équations dans lesquelles les membres gauche et droit sont des expressions rationnelles.

(Rappelez-vous que les expressions rationnelles sont des nombres entiers et expressions fractionnaires sans radicaux, y compris les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication ou de division - par exemple : 6x ; (m-n)2 ; x/3a etc.)

Les équations fractionnaires-rationnelles, en règle générale, sont réduites à la forme:

Où P(X) et Q(X) sont des polynômes.

Pour résoudre de telles équations, multipliez les deux côtés de l'équation par Q(x), ce qui peut conduire à l'apparition de racines étrangères. Par conséquent, lors de la résolution d'équations rationnelles fractionnaires, il est nécessaire de vérifier les racines trouvées.

Une équation rationnelle est dite entière, ou algébrique, si elle n'a pas de division par une expression contenant une variable.

Exemples d'une équation rationnelle entière :

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Si dans une équation rationnelle il y a une division par une expression contenant la variable (x), alors l'équation est appelée rationnelle fractionnaire.

Un exemple d'équation rationnelle fractionnaire :

15
x + - = 5x - 17
X

Les équations rationnelles fractionnaires sont généralement résolues comme suit :

1) trouver un dénominateur commun de fractions et multiplier les deux parties de l'équation par celui-ci ;

2) résoudre l'équation entière résultante ;

3) exclure de ses racines celles qui ramènent le dénominateur commun des fractions à zéro.

Exemples de résolution d'équations rationnelles entières et fractionnaires.

Exemple 1. Résoudre l'équation entière

x-1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Décision:

Trouver le plus petit dénominateur commun. C'est 6. Divisez 6 par le dénominateur et multipliez le résultat par le numérateur de chaque fraction. On obtient une équation équivalente à celle-ci :

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Depuis les côtés gauche et droit même dénominateur, il peut être omis. On a alors une équation plus simple :

3(x - 1) + 4x = 5x.

Nous le résolvons en ouvrant les parenthèses et en réduisant les termes similaires :

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Exemple résolu.

Exemple 2. Résoudre une équation rationnelle fractionnaire

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

Nous trouvons un dénominateur commun. C'est x(x - 5). Alors:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Maintenant, nous nous débarrassons à nouveau du dénominateur, puisqu'il est le même pour toutes les expressions. Nous réduisons les termes semblables, égalons l'équation à zéro et obtenons équation quadratique:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Après avoir résolu l'équation quadratique, nous trouvons ses racines : -2 et 5.

Vérifions si ces nombres sont les racines de l'équation d'origine.

Pour x = –2, le dénominateur commun x(x – 5) ne s'annule pas. Donc -2 est la racine de l'équation d'origine.

A x = 5, le dénominateur commun disparaît et deux des trois expressions perdent leur sens. Ainsi, le nombre 5 n'est pas la racine de l'équation d'origine.

Réponse : x = -2

Plus d'exemples

Exemple 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.

Réponse : -2,2 ; 6.

Exemple 2

Résoudre des équations avec des fractions regardons des exemples. Les exemples sont simples et illustratifs. Avec leur aide, vous pouvez comprendre de la manière la plus compréhensible.
Par exemple, vous devez résoudre une équation simple x/b + c = d.

Une équation de ce type est dite linéaire, car le dénominateur ne contient que des nombres.

La solution est effectuée en multipliant les deux côtés de l'équation par b, puis l'équation prend la forme x = b*(d - c), c'est-à-dire le dénominateur de la fraction du côté gauche est réduit.

Par exemple, comment résoudre équation fractionnaire:
x/5+4=9
Nous multiplions les deux parties par 5. Nous obtenons :
x+20=45
x=45-20=25

Autre exemple où l'inconnu est au dénominateur :

Les équations de ce type sont appelées rationnelles fractionnaires ou simplement fractionnaires.

Nous résoudrions une équation fractionnaire en nous débarrassant des fractions, après quoi cette équation, le plus souvent, se transforme en une équation linéaire ou quadratique, qui est résolue de la manière habituelle. Vous ne devez prendre en compte que les points suivants :

la valeur d'une variable qui fait passer le dénominateur à 0 ne peut pas être une racine ;
vous ne pouvez pas diviser ou multiplier l'équation par l'expression =0.

C'est là qu'un concept tel que la région des valeurs admissibles (ODZ) entre en vigueur - ce sont les valeurs des racines de l'équation pour lesquelles l'équation a un sens.

Ainsi, en résolvant l'équation, il est nécessaire de trouver les racines, puis de vérifier leur conformité avec l'ODZ. Les racines qui ne correspondent pas à notre DHS sont exclues de la réponse.

Par exemple, vous devez résoudre une équation fractionnaire :

Sur la base de la règle ci-dessus, x ne peut pas être = 0, c'est-à-dire ODZ dans ce cas : x - toute valeur autre que zéro.

On se débarrasse du dénominateur en multipliant tous les termes de l'équation par x

Et résoudre l'équation habituelle

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Réponse : x = 1/3

Résolvons l'équation plus compliquée :

ODZ est également présent ici : x -2.

En résolvant cette équation, nous n'allons pas tout transférer dans une direction et ramener les fractions à un dénominateur commun. Nous multiplions immédiatement les deux côtés de l'équation par une expression qui réduira tous les dénominateurs à la fois.

Pour réduire les dénominateurs, vous devez multiplier le côté gauche par x + 2 et le côté droit par 2. Ainsi, les deux côtés de l'équation doivent être multipliés par 2 (x + 2):

Il s'agit de la multiplication de fractions la plus courante, dont nous avons déjà discuté ci-dessus.

Nous écrivons la même équation, mais d'une manière légèrement différente.

Le côté gauche est réduit de (x + 2) et le côté droit de 2. Après la réduction, nous obtenons l'équation linéaire habituelle :

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, ce qui correspond à notre ODZ

Réponse : x = 2.

Résoudre des équations avec des fractions pas aussi difficile que cela puisse paraître. Dans cet article, nous avons montré cela avec des exemples. Si vous rencontrez des difficultés avec comment résoudre des équations avec des fractions, puis désabonnez-vous dans les commentaires.

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