"solution d'équations rationnelles fractionnaires". Équations rationnelles

Le plus petit dénominateur commun est utilisé pour simplifier équation donnée. Cette méthode est utilisée lorsque vous ne pouvez pas écrire l'équation donnée avec une expression rationnelle de chaque côté de l'équation (et utilisez la méthode de multiplication croisée). Cette méthode est utilisée lorsqu'on vous donne une équation rationnelle avec 3 fractions ou plus (dans le cas de deux fractions, la multiplication croisée est préférable).

Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions (ou le plus petit commun multiple). NOZ est plus petit nombre, qui est divisible par chaque dénominateur.

• Parfois, NOZ est un nombre évident. Par exemple, si l'équation est donnée : x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, alors il est évident que le plus petit commun multiple des nombres 3, 2 et 6 sera 6.
• Si le NOD n'est pas évident, notez les multiples du plus grand dénominateur et trouvez parmi eux celui qui est également un multiple des autres dénominateurs. Vous pouvez souvent trouver le NOD en multipliant simplement deux dénominateurs ensemble. Par exemple, si l'équation x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 est donnée, alors NOZ = 8*9 = 72.
• Si un ou plusieurs dénominateurs contiennent une variable, le processus est un peu plus compliqué (mais pas impossible). Dans ce cas, le NOZ est une expression (contenant une variable) qui est divisible par chaque dénominateur. Par exemple, dans l'équation 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), car cette expression est divisible par chaque dénominateur : 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x ; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un nombre égal au résultat de la division du NOZ par le dénominateur correspondant de chaque fraction. Puisque vous multipliez à la fois le numérateur et le dénominateur par le même nombre, vous multipliez effectivement une fraction par 1 (par exemple, 2/2 = 1 ou 3/3 = 1).

• Donc, dans notre exemple, multipliez x/3 par 2/2 pour obtenir 2x/6, et multipliez 1/2 par 3/3 pour obtenir 3/6 (3x + 1/6 n'a pas besoin d'être multiplié car le dénominateur est 6).
• Procédez de même lorsque la variable est au dénominateur. Dans notre deuxième exemple NOZ = 3x(x-1), donc 5/(x-1) fois (3x)/(3x) est 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x fois 3(x-1)/3(x-1) pour obtenir 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) multipliez par (x-1)/(x-1) et vous obtenez 2(x-1)/3x(x-1).

Trouvez x. Maintenant que vous avez réduit les fractions à un dénominateur commun, vous pouvez vous débarrasser du dénominateur. Pour ce faire, multipliez chaque côté de l'équation par un dénominateur commun. Ensuite, résolvez l'équation résultante, c'est-à-dire trouvez "x". Pour ce faire, isolez la variable d'un côté de l'équation.

• Dans notre exemple : 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Vous pouvez ajouter 2 fractions avec même dénominateur, donc écrivez l'équation comme suit : (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multipliez les deux côtés de l'équation par 6 et débarrassez-vous des dénominateurs : 2x+3 = 3x +1. Résolvez et obtenez x = 2.
• Dans notre deuxième exemple (avec une variable au dénominateur), l'équation ressemble (après réduction à un dénominateur commun) : 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). En multipliant les deux côtés de l'équation par NOZ, vous vous débarrassez du dénominateur et obtenez : 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ou 15x = 3x - 3 + 2x -2, ou 15x = x - 5 Résolvez et obtenez : x = -5/14.

En termes simples, ce sont des équations dans lesquelles il y en a au moins une avec une variable au dénominateur.

Par example:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exemple ne pas fractionnaire équations rationnelles:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Comment les équations rationnelles fractionnaires sont-elles résolues ?

La principale chose à retenir à propos des équations rationnelles fractionnaires est que vous devez y écrire. Et après avoir trouvé les racines, assurez-vous de vérifier leur admissibilité. Sinon, des racines étrangères peuvent apparaître et toute la solution sera considérée comme incorrecte.

Algorithme de résolution d'une équation rationnelle fractionnaire :

Écrivez et "résolvez" l'ODZ.

Multipliez chaque terme de l'équation par un dénominateur commun et réduisez les fractions résultantes. Les dénominateurs disparaîtront.

Écrivez l'équation sans ouvrir les parenthèses.

Résolvez l'équation résultante.

Vérifiez les racines trouvées avec ODZ.

Notez en réponse les racines qui ont réussi le test de l'étape 7.

Ne mémorisez pas l'algorithme, 3-5 équations résolues - et il se souviendra de lui-même.

Exemple . Résoudre une équation rationnelle fractionnaire \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Décision:

Répondre: \(3\).

Exemple . Trouver les racines de l'équation rationnelle fractionnaire \(=0\)

Décision:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ : \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Nous écrivons et "résolvons" ODZ. Développez \(x^2+7x+10\) dans la formule : \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Heureusement \(x_1\) et \(x_2\) nous avons déjà trouvé.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Évidemment, le dénominateur commun des fractions : \((x+2)(x+5)\). Nous multiplions l'équation entière par elle.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Nous réduisons les fractions
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Ouverture des crochets
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Nous donnons des termes similaires
\(2x^2+9x-5=0\)		Trouver les racines de l'équation
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		L'une des racines ne rentre pas dans l'ODZ, donc en réponse, nous n'écrivons que la deuxième racine.

Répondre: \(\frac(1)(2)\).

Objectifs de la leçon:

Didacticiel:

• formation du concept d'équations rationnelles fractionnaires;
• considérer diverses manières de résoudre des équations rationnelles fractionnaires;
• considérons un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires, incluant la condition que la fraction soit égale à zéro ;
• enseigner la résolution d'équations rationnelles fractionnaires selon l'algorithme ;
• vérifier le niveau d'assimilation du sujet en effectuant des travaux de test.

Développement:

• développement de la capacité à fonctionner correctement avec les connaissances acquises, à penser logiquement;
• développement des compétences intellectuelles et des opérations mentales - analyse, synthèse, comparaison et généralisation;
• le développement de l'initiative, la capacité à prendre des décisions, à ne pas s'arrêter là ;
• développement Esprit critique;
• développement des compétences en recherche.

Nourrir :

• éducation intérêt cognitif au sujet;
• éducation à l'autonomie dans la résolution de problèmes éducatifs;
• l'éducation de la volonté et de la persévérance pour atteindre les résultats finaux.

Type de leçon: leçon - explication du nouveau matériel.

Pendant les cours

1. Moment organisationnel.

Bonjour gars! Les équations sont écrites au tableau, regardez-les attentivement. Saurez-vous résoudre toutes ces équations ? Lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

Les équations dans lesquelles les côtés gauche et droit sont des expressions rationnelles fractionnaires sont appelées équations rationnelles fractionnaires. Que pensez-vous que nous allons étudier aujourd'hui dans la leçon ? Formulez le sujet de la leçon. Donc, nous ouvrons des cahiers et écrivons le sujet de la leçon « Solution d'équations rationnelles fractionnaires ».

2. Actualisation des connaissances. Enquête frontale, travail oral avec la classe.

Et maintenant, nous allons répéter le principal matériel théorique que nous devons étudier nouveau sujet. Merci de répondre aux questions suivantes:

1. Qu'est-ce qu'une équation ? ( Égalité avec une variable ou des variables.)
2. Comment s'appelle l'équation #1 ? ( Linéaire.) Méthode de résolution d'équations linéaires. ( Déplacez tout avec l'inconnu vers le côté gauche de l'équation, tous les nombres vers la droite. Apportez des termes similaires. Trouver le multiplicateur inconnu).
3. Comment s'appelle l'équation 3 ? ( Carré.) Méthodes de résolution d'équations quadratiques. ( Sélection du carré plein, par des formules, en utilisant le théorème de Vieta et ses conséquences.)
4. Qu'est-ce qu'une proportion ? ( Égalité de deux relations.) La principale propriété de proportion. ( Si la proportion est vraie, alors le produit de ses termes extrêmes est égal au produit des termes moyens.)
5. Quelles propriétés sont utilisées pour résoudre des équations ? ( 1. Si dans l'équation nous transférons le terme d'une partie à une autre, en changeant son signe, nous obtenons une équation équivalente à celle donnée. 2. Si les deux parties de l'équation sont multipliées ou divisées par le même nombre non nul, alors une équation sera obtenue qui est équivalente à la donnée.)
6. Quand une fraction est-elle égale à zéro ? ( La fraction est nulle lorsque le numérateur zéro, et le dénominateur n'est pas égal à zéro.)

3. Explication du nouveau matériel.

Résolvez l'équation n° 2 dans des cahiers et au tableau.

Répondre: 10.

Quelle équation rationnelle fractionnaire pouvez-vous essayer de résoudre en utilisant la propriété de base de la proportion ? (N ° 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Résolvez l'équation n° 4 dans des cahiers et au tableau.

Répondre: 1,5.

Quelle équation rationnelle fractionnaire pouvez-vous essayer de résoudre en multipliant les deux membres de l'équation par le dénominateur ? (Numéro 6).

x2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Répondre: 3;4.

Essayez maintenant de résoudre l'équation #7 de l'une des manières.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Répondre: 0;5;-2.			Répondre: 5;-2.

Explique pourquoi c'est arrivé ? Pourquoi y a-t-il trois racines dans un cas et deux dans l'autre ? Quels nombres sont les racines de cette équation rationnelle fractionnaire ?

Jusqu'à présent, les étudiants n'ont pas rencontré le concept de racine étrangère, il leur est vraiment très difficile de comprendre pourquoi cela s'est produit. Si personne dans la classe ne peut donner une explication claire de cette situation, alors l'enseignant pose des questions suggestives.

• En quoi les équations n° 2 et 4 diffèrent-elles des équations n° 5, 6, 7 ? ( Dans les équations n ° 2 et 4 au dénominateur du nombre, n ° 5-7 - expressions avec une variable.)
• Quelle est la racine de l'équation ? ( La valeur de la variable à laquelle l'équation devient une vraie égalité.)
• Comment savoir si un nombre est la racine d'une équation ? ( Faire un chèque.)

Lors d'un test, certains élèves remarquent qu'ils doivent diviser par zéro. Ils concluent que les nombres 0 et 5 ne sont pas les racines de cette équation. La question se pose : existe-t-il un moyen de résoudre des équations rationnelles fractionnaires qui élimine cette erreur ? Oui, cette méthode est basée sur la condition que la fraction soit égale à zéro.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Si x=5, alors x(x-5)=0, donc 5 est une racine étrangère.

Si x=-2, alors x(x-5)≠0.

Répondre: -2.

Essayons de formuler un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires de cette manière. Les enfants eux-mêmes formulent l'algorithme.

Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :

1. Déplacez tout vers la gauche.
2. Amener les fractions à un dénominateur commun.
3. Composez un système : une fraction est nulle lorsque le numérateur est égal à zéro et que le dénominateur n'est pas égal à zéro.
4. Résous l'équation.
5. Vérifiez l'inégalité pour exclure les racines superflues.
6. Écrivez la réponse.

Discussion : comment formaliser la solution si la propriété de base de la proportion est utilisée et la multiplication des deux côtés de l'équation par un dénominateur commun. (Compléter la solution : exclure de ses racines celles qui ramènent le dénominateur commun à zéro).

4. Compréhension primaire du nouveau matériel.

Travailler en équipe de deux. Les élèves choisissent eux-mêmes comment résoudre l'équation, selon le type d'équation. Tâches du manuel "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007 : n° 600 (b, c, i) ; N° 601(a, e, g). L'enseignant contrôle l'exécution de la tâche, répond aux questions qui se posent et aide les élèves peu performants. Autotest : Les réponses sont écrites au tableau.

b) 2 est une racine étrangère. Réponse : 3.

c) 2 est une racine étrangère. Réponse : 1.5.

a) Réponse : -12,5.

g) Réponse : 1 ; 1.5.

5. Énoncé des devoirs.

1. Lisez le point 25 du manuel, analysez les exemples 1-3.
2. Apprenez l'algorithme de résolution des équations rationnelles fractionnaires.
3. Résolvez dans les cahiers n ° 600 (a, d, e); N° 601 (g, h).
4. Essayez de résoudre #696(a) (optionnel).

6. Réalisation de la tâche de contrôle sur le sujet étudié.

Le travail se fait sur des feuilles.

Exemple de travail :

A) Parmi les équations, lesquelles sont rationnelles fractionnaires ?

B) Une fraction est nulle lorsque le numérateur est ______________________ et le dénominateur est ______________________.

Q) Le nombre -3 est-il la racine de l'équation #6 ?

D) Résolvez l'équation n° 7.

Critères d'évaluation des tâches :

• « 5 » est donné si l'élève a terminé correctement plus de 90 % de la tâche.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• « 2 » est attribué à un étudiant qui a terminé moins de 50 % de la tâche.
• La 2e année n'est pas inscrite dans le journal, la 3e est facultative.

7. Réflexion.

Sur les dépliants avec travail indépendant, mettez:

• 1 - si la leçon était intéressante et compréhensible pour vous ;
• 2 - intéressant, mais pas clair ;
• 3 - pas intéressant, mais compréhensible ;
• 4 - pas intéressant, pas clair.

8. Résumer la leçon.

Donc, aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec les équations rationnelles fractionnaires, avons appris à résoudre ces équations différentes façons, ont testé leurs connaissances à l'aide de formations travail indépendant. Vous apprendrez les résultats d'un travail indépendant dans la prochaine leçon, à la maison, vous aurez l'occasion de consolider les connaissances acquises.

Quelle méthode de résolution d'équations rationnelles fractionnaires est, selon vous, la plus simple, la plus accessible, la plus rationnelle ? Quelle que soit la méthode de résolution des équations rationnelles fractionnaires, que ne faut-il pas oublier ? Quelle est la "ruse" des équations rationnelles fractionnaires ?

Merci à tous, la leçon est terminée.

Faisons connaissance avec les équations rationnelles et fractionnaires, donnons leur définition, donnons des exemples et analysons également les types de problèmes les plus courants.

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Équation rationnelle : définition et exemples

La connaissance des expressions rationnelles commence en 8e année de l'école. À l'heure actuelle, dans les cours d'algèbre, les élèves commencent de plus en plus à rencontrer des tâches avec des équations qui contiennent expressions rationnelles dans vos notes. Rafraîchissons-nous la mémoire de ce que c'est.

Définition 1

équation rationnelle est une équation dans laquelle les deux membres contiennent des expressions rationnelles.

Dans divers manuels, vous pouvez trouver une autre formulation.

Définition 2

équation rationnelle- c'est une équation dont l'enregistrement du côté gauche contient une expression rationnelle et celui de droite contient zéro.

Les définitions que nous avons données pour les équations rationnelles sont équivalentes, puisqu'elles signifient la même chose. L'exactitude de nos mots est confirmée par le fait que pour toute expression rationnelle P et Qéquations P=Q et P - Q = 0 seront des expressions équivalentes.

Passons maintenant aux exemples.

Exemple 1

Équations rationnelles :

X = 1 , 2 X - 12 X 2 y z 3 = 0 , X X 2 + 3 X - 1 = 2 + 2 7 X - une (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 X - 1 = 3 .

Les équations rationnelles, tout comme les équations d'autres types, peuvent contenir n'importe quel nombre de variables de 1 à plusieurs. Pour commencer, nous considérerons exemples simples, dans lequel les équations ne contiendront qu'une seule variable. Et puis on commence à se compliquer progressivement la tâche.

Les équations rationnelles sont divisées en deux grands groupes : entier et fractionnaire. Voyons quelles équations s'appliqueront à chacun des groupes.

Définition 3

Une équation rationnelle sera un nombre entier si l'enregistrement de ses parties gauche et droite contient des expressions rationnelles entières.

Définition 4

Une équation rationnelle sera fractionnaire si l'une ou les deux de ses parties contiennent une fraction.

Les équations fractionnellement rationnelles contiennent nécessairement une division par une variable, ou la variable est présente dans le dénominateur. Il n'y a pas une telle division dans l'écriture d'équations entières.

Exemple 2

3 x + 2 = 0 et (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0 , 5 sont des équations rationnelles entières. Ici, les deux parties de l'équation sont représentées par des expressions entières.

1 x - 1 = x 3 et x : (5 x 3 + y 2) = 3 : (x − 1) : 5 sont des équations fractionnairement rationnelles.

Des équations rationnelles entières comprennent des équations linéaires et quadratiques.

Résoudre des équations entières

La solution de telles équations se réduit généralement à leur transformation en équations algébriques équivalentes. Ceci peut être réalisé en effectuant des transformations équivalentes des équations conformément à l'algorithme suivant :

• nous obtenons d'abord zéro du côté droit de l'équation, pour cela il faut transférer l'expression qui se trouve du côté droit de l'équation vers son côté gauche et changer le signe;
• puis nous transformons l'expression du côté gauche de l'équation en un polynôme vue générale.

Il faut obtenir une équation algébrique. Cette équation sera équivalente par rapport à l'équation d'origine. Les cas faciles nous permettent de résoudre le problème en réduisant toute l'équation à une équation linéaire ou quadratique. Dans le cas général, on résout une équation algébrique de degré n.

Exemple 3

Il faut trouver les racines de toute l'équation 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Décision

Transformons l'expression originale afin d'obtenir une équation algébrique qui lui est équivalente. Pour ce faire, nous allons transférer l'expression contenue dans le côté droit de l'équation vers le côté gauche et changer le signe à l'opposé. En conséquence, nous obtenons : 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Nous allons maintenant transformer l'expression qui se trouve sur le côté gauche en un polynôme de la forme standard et effectuer actions nécessaires avec ce polynôme :

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Nous avons réussi à réduire la solution de l'équation originale à la solution d'une équation quadratique de la forme X 2 - 5 X - 6 = 0. Le discriminant de cette équation est positif : ré = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Cela signifie qu'il y aura deux vraies racines. Trouvons-les à l'aide de la formule des racines de l'équation quadratique :

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 ou x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 ou x 2 = - 1

Vérifions l'exactitude des racines de l'équation que nous avons trouvées au cours de la solution. Pour ce nombre, que nous avons reçu, nous substituons dans l'équation d'origine : 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 et 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Dans le premier cas 63 = 63 , dans la seconde 0 = 0 . Racines x=6 et x = − 1 sont bien les racines de l'équation donnée dans l'exemple de condition.

Répondre: 6 , − 1 .

Regardons ce que signifie "la puissance de l'équation entière". Nous rencontrerons souvent ce terme dans les cas où nous devons représenter une équation entière sous la forme d'une équation algébrique. Définissons le concept.

Définition 5

Degré d'une équation entière est le degré d'une équation algébrique équivalente à l'équation entière d'origine.

Si vous regardez les équations de l'exemple ci-dessus, vous pouvez établir : le degré de toute cette équation est le second.

Si notre cours se limitait à résoudre des équations du second degré, alors l'examen du sujet pourrait être complété ici. Mais tout n'est pas si simple. Résoudre des équations du troisième degré est semé d'embûches. Et pour les équations au dessus du quatrième degré, ça n'existe pas du tout formules générales racines. À cet égard, la solution d'équations entières des troisième, quatrième et autres degrés nous oblige à utiliser un certain nombre d'autres techniques et méthodes.

L'approche la plus couramment utilisée pour résoudre des équations rationnelles entières est basée sur la méthode de factorisation. L'algorithme des actions dans ce cas est le suivant:

• nous transférons l'expression du côté droit vers le côté gauche afin que zéro reste sur le côté droit de l'enregistrement ;
• nous représentons l'expression du côté gauche comme un produit de facteurs, puis nous passons à un ensemble de plusieurs équations plus simples.

Exemple 4

Trouvez la solution de l'équation (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Décision

Nous transférons l'expression du côté droit de l'enregistrement vers le côté gauche avec le signe opposé : (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. Convertir le côté gauche en un polynôme de la forme standard n'est pas pratique car cela nous donnera une équation algébrique du quatrième degré : X 4 - 12 X 3 + 32 X 2 - 16 X - 13 = 0. La facilité de transformation ne justifie pas toutes les difficultés de résolution d'une telle équation.

Il est beaucoup plus facile d'aller dans l'autre sens : on enlève le facteur commun x 2 - 10 x + 13 . On arrive ainsi à une équation de la forme (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Maintenant, nous remplaçons l'équation résultante par un ensemble de deux équations quadratiques X 2 - 10 X + 13 = 0 et X 2 - 2 X - 1 = 0 et trouver leurs racines à travers le discriminant : 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Répondre: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

De même, on peut utiliser la méthode d'introduction d'une nouvelle variable. Cette méthode nous permet de passer à des équations équivalentes avec des puissances inférieures à celles de l'équation entière d'origine.

Exemple 5

L'équation a-t-elle des racines ? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Décision

Si nous essayons maintenant de réduire toute une équation rationnelle à une équation algébrique, nous obtiendrons une équation de degré 4, qui n'a pas de racines rationnelles. Par conséquent, il nous sera plus facile d'aller dans l'autre sens : introduire une nouvelle variable y, qui remplacera l'expression dans l'équation x2 + 3x.

Maintenant, nous allons travailler avec l'équation entière (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Nous transférons le côté droit de l'équation au côté gauche avec le signe opposé et effectuons les transformations nécessaires. On a: y 2 + 4 y + 3 = 0. Trouvons les racines de l'équation quadratique : y = − 1 et y = − 3.

Faisons maintenant la substitution inverse. On obtient deux équations X 2 + 3 X = - 1 et X 2 + 3 X = - 3 . Réécrivons-les sous la forme x 2 + 3 x + 1 = 0 et X 2 + 3 X + 3 = 0. On utilise la formule des racines de l'équation quadratique pour trouver les racines de la première équation obtenue : - 3 ± 5 2 . Le discriminant de la deuxième équation est négatif. Cela signifie que la deuxième équation n'a pas de racines réelles.

Répondre:- 3 ± 5 2

Les équations entières de degrés élevés se rencontrent assez souvent dans les problèmes. Il n'y a pas lieu d'avoir peur d'eux. Vous devez être prêt à appliquer une méthode non standard pour les résoudre, y compris un certain nombre de transformations artificielles.

Solution d'équations fractionnaires rationnelles

Nous commençons notre examen de ce sous-thème avec un algorithme pour résoudre des équations fractionnaires rationnelles de la forme p (x) q (x) = 0 , où p(x) et q(x) sont des expressions rationnelles entières. La solution d'autres équations fractionnellement rationnelles peut toujours être réduite à la solution d'équations de la forme indiquée.

La méthode la plus couramment utilisée pour résoudre les équations p (x) q (x) = 0 est basée sur l'énoncé suivant : fraction numérique tu v, où v est un nombre différent de zéro, égal à zéro uniquement dans les cas où le numérateur de la fraction est égal à zéro. En suivant la logique de l'énoncé ci-dessus, nous pouvons affirmer que la solution de l'équation p (x) q (x) = 0 peut être réduite à la satisfaction de deux conditions : p(x)=0 et q(x) ≠ 0. Sur ce, un algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires de la forme p (x) q (x) = 0 est construit :

• on trouve la solution de toute l'équation rationnelle p(x)=0;
• on vérifie si la condition est satisfaite pour les racines trouvées lors de la résolution q(x) ≠ 0.

Si cette condition est remplie, alors la racine trouvée. Sinon, alors la racine n'est pas une solution au problème.

Exemple 6

Trouvez les racines de l'équation 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Décision

Nous avons affaire à une équation rationnelle fractionnaire de la forme p (x) q (x) = 0 , dans laquelle p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Commençons à résoudre l'équation linéaire 3 x - 2 = 0. La racine de cette équation sera x = 2 3.

Vérifions la racine trouvée, si elle satisfait la condition 5 x 2 - 2 ≠ 0. Pour ce faire, remplacez une valeur numérique dans l'expression. On obtient : 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

La condition est remplie. Cela signifie que x = 2 3 est la racine de l'équation d'origine.

Répondre: 2 3 .

Il existe une autre option pour résoudre les équations rationnelles fractionnaires p (x) q (x) = 0 . Rappelons que cette équation est équivalente à l'équation entière p(x)=0 sur la plage des valeurs admissibles de la variable x de l'équation d'origine. Cela nous permet d'utiliser l'algorithme suivant pour résoudre les équations p(x) q(x) = 0 :

• résous l'équation p(x)=0;
• trouver la plage de valeurs acceptables pour la variable x ;
• nous prenons les racines qui se trouvent dans la région des valeurs admissibles de la variable x comme les racines souhaitées de l'équation rationnelle fractionnaire d'origine.

Exemple 7

Résolvez l'équation x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Décision

Pour commencer, décidons équation quadratique x 2 - 2 x - 11 = 0. Pour calculer ses racines, nous utilisons la formule racine pour un deuxième coefficient pair. On a ré 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, et x = 1 ± 2 3 .

Nous pouvons maintenant trouver l'ODV de x pour l'équation d'origine. Ce sont tous des nombres pour lesquels x 2 + 3 x ≠ 0. C'est la même chose que x (x + 3) ≠ 0, d'où x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Vérifions maintenant si les racines x = 1 ± 2 3 obtenues à la première étape de la solution se situent dans la plage des valeurs acceptables de la variable x . On voit ce qui rentre. Cela signifie que l'équation rationnelle fractionnaire originale a deux racines x = 1 ± 2 3 .

Répondre: x = 1 ± 2 3

La deuxième méthode de solution décrite plus facile que le premier dans les cas où il est facile de trouver l'aire des valeurs admissibles de la variable x, et les racines de l'équation p(x)=0 irrationnel. Par exemple, 7 ± 4 26 9 . Les racines peuvent être rationnelles, mais avec un grand numérateur ou dénominateur. Par example, 127 1101 et − 31 59 . Cela permet de gagner du temps pour vérifier l'état. q(x) ≠ 0: il est beaucoup plus facile d'exclure les racines qui ne correspondent pas, selon l'ODZ.

Lorsque les racines de l'équation p(x)=0 sont des nombres entiers, il est plus opportun d'utiliser le premier des algorithmes décrits pour résoudre des équations de la forme p (x) q (x) = 0 . Trouver plus rapidement les racines d'une équation entière p(x)=0, puis vérifiez si la condition est remplie pour eux q(x) ≠ 0, et ne pas trouver l'ODZ, puis résoudre l'équation p(x)=0 sur cet ODZ. Cela est dû au fait que dans de tels cas, il est généralement plus facile de vérifier que de trouver l'ODZ.

Exemple 8

Trouver les racines de l'équation (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Décision

On commence par considérer toute l'équation (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 et retrouver ses racines. Pour ce faire, nous appliquons la méthode de résolution d'équations par factorisation. Il s'avère que l'équation d'origine est équivalente à un ensemble de quatre équations 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, dont trois sont linéaires et l'un est carré. On trouve les racines : à partir de la première équation x = 1 2, dès la seconde x=6, du troisième - x \u003d 7, x \u003d - 2, du quatrième - x = − 1.

Vérifions les racines obtenues. Il nous est difficile de déterminer l'ODZ dans ce cas, car pour cela nous devrons résoudre une équation algébrique du cinquième degré. Il sera plus facile de vérifier la condition selon laquelle le dénominateur de la fraction, qui est du côté gauche de l'équation, ne doit pas s'annuler.

À son tour, substituez les racines à la place de la variable x dans l'expression x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 et calculer sa valeur :

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0 ;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

La vérification effectuée permet d'établir que les racines de l'équation rationnelle fractionnaire originale sont 1 2 , 6 et − 2 .

Répondre: 1 2 , 6 , - 2

Exemple 9

Trouvez les racines de l'équation rationnelle fractionnaire 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Décision

Commençons par l'équation (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Retrouvons ses racines. Il nous est plus facile de représenter cette équation comme une combinaison d'équations quadratiques et linéaires 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 et X - 2 = 0.

Nous utilisons la formule des racines d'une équation quadratique pour trouver les racines. On obtient deux racines x = 7 ± 69 10 de la première équation, et de la seconde x=2.

Substituer la valeur des racines dans l'équation d'origine pour vérifier les conditions sera assez difficile pour nous. Il sera plus facile de déterminer la LPV de la variable x . Dans ce cas, le DPV de la variable x est tous les nombres, sauf ceux pour lesquels la condition est satisfaite x 2 + 5 x - 14 = 0. On obtient : x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Vérifions maintenant si les racines que nous avons trouvées appartiennent à la plage de valeurs acceptables pour la variable x.

Les racines x = 7 ± 69 10 - appartiennent, par conséquent, ce sont les racines de l'équation d'origine, et x=2- n'appartient pas, c'est donc une racine étrangère.

Répondre: x = 7 ± 69 10 .

Examinons séparément les cas où le numérateur d'une équation rationnelle fractionnaire de la forme p (x) q (x) = 0 contient un nombre. Dans de tels cas, si le numérateur contient un nombre autre que zéro, l'équation n'aura pas de racines. Si ce nombre est égal à zéro, alors la racine de l'équation sera n'importe quel nombre de l'ODZ.

Exemple 10

Résolvez l'équation rationnelle fractionnaire - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Décision

Cette équation n'aura pas de racines, car le numérateur de la fraction du côté gauche de l'équation contient un nombre non nul. Cela signifie que pour toutes les valeurs de x, la valeur de la fraction donnée dans la condition du problème ne sera pas égale à zéro.

Répondre: pas de racines.

Exemple 11

Résolvez l'équation 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Décision

Puisque le numérateur de la fraction est zéro, la solution de l'équation sera n'importe quelle valeur x de la variable ODZ x.

Définissons maintenant l'ODZ. Il inclura toutes les valeurs x pour lesquelles x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Solutions d'équation x 4 + 5 x 3 = 0 sont 0 et − 5 , puisque cette équation est équivalente à l'équation x3 (x + 5) = 0, et elle, à son tour, est équivalente à l'ensemble de deux équations x 3 = 0 et x + 5 = 0 où ces racines sont visibles. Nous arrivons à la conclusion que la plage souhaitée de valeurs acceptables est n'importe quel x , sauf x=0 et x = -5.

Il s'avère que l'équation rationnelle fractionnaire 0 x 4 + 5 x 3 = 0 a un nombre infini de solutions, qui sont tous les nombres sauf zéro et - 5.

Répondre: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Parlons maintenant des équations rationnelles fractionnaires de forme arbitraire et des méthodes pour les résoudre. Ils peuvent être écrits comme r(x) = s(x), où r(x) et s(x) sont des expressions rationnelles, et au moins l'une d'entre elles est fractionnaire. La solution de telles équations est réduite à la solution d'équations de la forme p (x) q (x) = 0 .

Nous savons déjà que nous pouvons obtenir une équation équivalente en transférant l'expression du côté droit de l'équation vers le côté gauche avec le signe opposé. Cela signifie que l'équation r(x) = s(x) est équivalente à l'équation r (x) − s (x) = 0. Nous avons également déjà discuté de la façon de convertir une expression rationnelle en une fraction rationnelle. Grâce à cela, nous pouvons facilement transformer l'équation r (x) − s (x) = 0 en sa fraction rationnelle identique de la forme p (x) q (x) .

Nous passons donc de l'équation rationnelle fractionnaire d'origine r(x) = s(x)à une équation de la forme p (x) q (x) = 0 , que nous avons déjà appris à résoudre.

Il convient de noter que lors des transitions de r (x) − s (x) = 0à p (x) q (x) = 0 puis à p(x)=0 nous ne pouvons pas prendre en compte l'expansion de la plage de valeurs valides de la variable x .

Il est tout à fait réaliste que l'équation originale r(x) = s(x) et équation p(x)=0 du fait des transformations, ils cesseront d'être équivalents. Alors la solution de l'équation p(x)=0 peut nous donner des racines qui seront étrangères à r(x) = s(x). À cet égard, dans chaque cas, il est nécessaire d'effectuer une vérification par l'une des méthodes décrites ci-dessus.

Pour vous faciliter l'étude du sujet, nous avons généralisé toutes les informations dans un algorithme permettant de résoudre une équation rationnelle fractionnaire de la forme r(x) = s(x):

• nous transférons l'expression du côté droit avec le signe opposé et obtenons zéro à droite;
• nous transformons l'expression originale en une fraction rationnelle p (x) q (x) , en effectuant séquentiellement des opérations avec des fractions et des polynômes ;
• résous l'équation p(x)=0;
• nous révélons les racines étrangères en vérifiant leur appartenance à l'ODZ ou en substituant dans l'équation d'origine.

Visuellement, la chaîne d'actions ressemblera à ceci :

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → abandon r o n d e r o o n s

Exemple 12

Résolvez l'équation rationnelle fractionnaire x x + 1 = 1 x + 1 .

Décision

Passons à l'équation x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Transformons l'expression rationnelle fractionnaire du côté gauche de l'équation sous la forme p (x) q (x) .

Pour cela, nous devons apporter fractions rationnellesà un dénominateur commun et simplifier l'expression :

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Afin de trouver les racines de l'équation - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, nous devons résoudre l'équation − 2 × − 1 = 0. On obtient une racine x = - 1 2.

Il nous reste à effectuer la vérification par l'une des méthodes. Considérons-les tous les deux.

Remplacez la valeur résultante dans l'équation d'origine. Nous obtenons - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Nous sommes arrivés à la bonne égalité numérique − 1 = − 1 . Cela signifie que x = − 1 2 est la racine de l'équation d'origine.

Nous allons maintenant vérifier via l'ODZ. Déterminons la zone des valeurs acceptables pour la variable x . Ce sera l'ensemble des nombres, à l'exception de − 1 et 0 (pour x = − 1 et x = 0, les dénominateurs des fractions s'annulent). La racine que nous avons x = − 1 2 appartient à l'ODZ. Cela signifie qu'il s'agit de la racine de l'équation d'origine.

Répondre: − 1 2 .

Exemple 13

Trouvez les racines de l'équation x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Décision

Nous avons affaire à une équation rationnelle fractionnaire. Par conséquent, nous agirons selon l'algorithme.

Déplaçons l'expression de droite à gauche avec le signe opposé : x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Effectuons les transformations nécessaires : x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

On arrive à l'équation x=0. La racine de cette équation est zéro.

Vérifions si cette racine est étrangère à l'équation d'origine. Remplacez la valeur dans l'équation d'origine : 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Comme vous pouvez le voir, l'équation résultante n'a pas de sens. Cela signifie que 0 est une racine étrangère et que l'équation rationnelle fractionnaire d'origine n'a pas de racine.

Répondre: pas de racines.

Si nous n'avons pas inclus d'autres transformations équivalentes dans l'algorithme, cela ne signifie nullement qu'elles ne peuvent pas être utilisées. L'algorithme est universel, mais il est conçu pour aider, pas pour limiter.

Exemple 14

Résolvez l'équation 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Décision

Le moyen le plus simple consiste à résoudre l'équation rationnelle fractionnaire donnée selon l'algorithme. Mais il y a un autre chemin. Considérons-le.

Soustrayez des parties droite et gauche 7, nous obtenons: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

De cela, nous pouvons conclure que l'expression dans le dénominateur du côté gauche doit être égale au nombre inverse du nombre du côté droit, c'est-à-dire 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Soustraire des deux parties 3 : 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Par analogie 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, d'où 1 5 - x 2 \u003d 1 3, et encore 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Vérifions afin d'établir si les racines trouvées sont les racines de l'équation d'origine.

Répondre: x = ± 2

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Nous avons introduit l'équation ci-dessus au § 7. Tout d'abord, nous rappelons ce qu'est une expression rationnelle. C'est - expression algébrique, composé de nombres et de la variable x utilisant les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division et d'exponentiation avec un exposant naturel.

Si r(x) est une expression rationnelle, alors l'équation r(x) = 0 est appelée une équation rationnelle.

Cependant, en pratique, il est plus pratique d'utiliser un peu plus interprétation large terme « équation rationnelle » : il s'agit d'une équation de la forme h(x) = q(x), où h(x) et q(x) sont des expressions rationnelles.

Jusqu'à présent, nous ne pouvions résoudre aucune équation rationnelle, mais une seule qui, à la suite de diverses transformations et raisonnements, se réduisait à équation linéaire. Maintenant nos possibilités sont bien plus grandes : nous serons capables de résoudre une équation rationnelle, qui se réduit non seulement à des
mu, mais aussi à l'équation quadratique.

Rappelez-vous comment nous avons résolu les équations rationnelles plus tôt et essayez de formuler un algorithme de solution.

Exemple 1 résous l'équation

Décision. On réécrit l'équation sous la forme

Dans ce cas, comme d'habitude, nous utilisons le fait que les égalités A \u003d B et A - B \u003d 0 expriment la même relation entre A et B. Cela nous a permis de transférer le terme vers le côté gauche de l'équation avec le signe opposé.

Effectuons des transformations du côté gauche de l'équation. Nous avons

Rappel des conditions d'égalité fractions zéro : si, et seulement si, deux relations sont satisfaites simultanément :

1) le numérateur de la fraction est zéro (a = 0) ; 2) le dénominateur de la fraction est différent de zéro).
En égalant à zéro le numérateur de la fraction du côté gauche de l'équation (1), nous obtenons

Il reste à vérifier la réalisation de la deuxième condition mentionnée ci-dessus. Le rapport signifie pour l'équation (1) que . Les valeurs x 1 = 2 et x 2 = 0,6 satisfont les relations indiquées et servent donc de racines de l'équation (1), et en même temps de racines de l'équation donnée.

1) Transformons l'équation sous la forme

2) Effectuons les transformations du membre gauche de cette équation :

(modifié simultanément les signes du numérateur et
fractions).
Ainsi, équation donnée prend la forme

3) Résolvez l'équation x 2 - 6x + 8 = 0. Trouvez

4) Pour les valeurs trouvées, vérifier la condition . Le chiffre 4 satisfait à cette condition, mais pas le chiffre 2. Donc 4 est la racine de l'équation donnée, et 2 est une racine étrangère.
Réponse : 4.

2. Solution d'équations rationnelles en introduisant une nouvelle variable

La méthode d'introduction d'une nouvelle variable vous est familière, nous l'avons utilisée plus d'une fois. Montrons par des exemples comment il est utilisé dans la résolution d'équations rationnelles.

Exemple 3 Résolvez l'équation x 4 + x 2 - 20 = 0.

Décision. Nous introduisons une nouvelle variable y \u003d x 2. Puisque x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, alors l'équation donnée peut être réécrite sous la forme

y 2 + y - 20 = 0.

Il s'agit d'une équation quadratique dont nous trouverons les racines à l'aide de l'équation connue formules; on obtient y 1 = 4, y 2 = - 5.
Mais y \u003d x 2, ce qui signifie que le problème a été réduit à résoudre deux équations :
x2=4 ; x 2 \u003d -5.

À partir de la première équation, nous trouvons que la deuxième équation n'a pas de racine.
Répondre: .
Une équation de la forme ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 est appelée équation biquadratique ("bi" - deux, c'est-à-dire, pour ainsi dire, une équation "deux fois carré"). L'équation qui vient d'être résolue était exactement biquadratique. Toute équation biquadratique est résolue de la même manière que l'équation de l'exemple 3 : une nouvelle variable y \u003d x 2 est introduite, l'équation quadratique résultante est résolue par rapport à la variable y, puis renvoyée à la variable x.

Exemple 4 résous l'équation

Décision. Notez que la même expression x 2 + 3x apparaît deux fois ici. Par conséquent, il est logique d'introduire une nouvelle variable y = x 2 + Zx. Cela nous permettra de réécrire l'équation sous une forme plus simple et plus agréable (ce qui, en fait, est le but d'introduire une nouvelle variable- et l'enregistrement est plus facile
, et la structure de l'équation devient plus claire) :

Et maintenant, nous allons utiliser l'algorithme pour résoudre une équation rationnelle.

1) Déplaçons tous les termes de l'équation en une seule partie :

= 0
2) Transformons le côté gauche de l'équation

Nous avons donc transformé l'équation donnée sous la forme

3) À partir de l'équation - 7y 2 + 29y -4 = 0, nous trouvons (nous avons déjà résolu pas mal d'équations quadratiques, donc cela ne vaut probablement pas la peine de toujours donner des calculs détaillés dans le manuel).

4) Vérifions les racines trouvées en utilisant la condition 5 (y - 3) (y + 1). Les deux racines satisfont à cette condition.
Ainsi, l'équation quadratique pour la nouvelle variable y est résolue :
Puisque y \u003d x 2 + Zx, et y, comme nous l'avons établi, prend deux valeurs : 4 et, - nous devons encore résoudre deux équations : x 2 + Zx \u003d 4 ; x 2 + Zx \u003d. Les racines de la première équation sont les nombres 1 et - 4, les racines de la deuxième équation sont les nombres

Dans les exemples considérés, la méthode d'introduction d'une nouvelle variable était, comme aiment à le dire les mathématiciens, adéquate à la situation, c'est-à-dire qu'elle lui correspondait bien. Pourquoi? Oui, car la même expression s'est clairement retrouvée plusieurs fois dans l'équation et il était raisonnable de désigner cette expression par une nouvelle lettre. Mais ce n'est pas toujours le cas, parfois une nouvelle variable "n'apparaît" que dans le processus de transformations. C'est exactement ce qui se passera dans l'exemple suivant.

Exemple 5 résous l'équation
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Décision. Nous avons
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Ainsi, l'équation donnée peut être réécrite comme

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Maintenant une nouvelle variable est "apparue": y = x 2 - Zx.

Avec son aide, l'équation peut être réécrite sous la forme y (y + 2) \u003d 24 puis y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Les racines de cette équation sont les nombres 4 et -6.

En revenant à la variable d'origine x, nous obtenons deux équations x 2 - Zx \u003d 4 et x 2 - Zx \u003d - 6. De la première équation, nous trouvons x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; la deuxième équation n'a pas de racines.

Réponse : 4, - 1.

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