Formes géométriques qui ne sont pas des polygones. Types de polygones" dans le cadre de la technologie "Développement de la pensée critique par la lecture et l'écriture

Sujet : "Polygones. Types de polygones"

9e année

SL №20

Enseignant: Kharitonovich T.I. Le but de la leçon : l'étude des types de polygones.

Tâche d'apprentissage : mettre à jour, élargir et généraliser les connaissances des élèves sur les polygones ; se faire une idée de parties constitutives"polygone; mener une étude du nombre d'éléments constitutifs des polygones réguliers (du triangle au n-gone) ;

Tâche de développement : développer la capacité d'analyser, de comparer, de tirer des conclusions, de développer des compétences informatiques, le discours mathématique oral et écrit, la mémoire, ainsi que l'indépendance dans la pensée et activités d'apprentissage capacité à travailler en binôme et en groupe ; développer la recherche et activité cognitive;

Tâche pédagogique : cultiver l'indépendance, l'activité, la responsabilité de la tâche assignée, la persévérance dans la réalisation de l'objectif.

Équipement : tableau blanc interactif (présentation)

Pendant les cours

Présentation du spectacle : "Polygones"

"La nature parle le langage des mathématiques, les lettres de ce langage... les figures mathématiques." G. Gallilei

Au début de la leçon, la classe est divisée en groupes de travail (dans notre cas, division en 3 groupes)

1. Étape d'appel-

a) mettre à jour les connaissances des étudiants sur le sujet ;

b) l'éveil de l'intérêt pour le sujet à l'étude, la motivation de chaque élève pour les activités d'apprentissage.

Accueil : Le jeu « Croyez-vous que… », organisation du travail avec texte.

Formes de travail : frontal, de groupe.

« Croyez-vous que… »

1. ... le mot "polygone" indique que toutes les figures de cette famille ont "beaucoup de coins" ?

2. ... un triangle appartient à une grande famille de polygones, distingués parmi une variété de formes différentes formes géométriques en surface ?

3. …un carré est-il un octogone régulier (quatre côtés + quatre coins) ?

Aujourd'hui, dans la leçon, nous parlerons des polygones. On apprend que cette figure est délimitée par une ligne brisée fermée, qui à son tour peut être simple, fermée. Parlons du fait que les polygones sont plats, réguliers, convexes. L'un des polygones plats est un triangle que vous connaissez depuis longtemps (vous pouvez montrer aux élèves des affiches représentant des polygones, une ligne brisée, leur montrer différentes sortes, vous pouvez également utiliser TSO).

2. Stade de compréhension

Objectif : obtenir une nouvelle information, sa compréhension, sa sélection.

Réception : en zigzag.

Formes de travail : individuel->pair->groupe.

Chaque groupe reçoit un texte sur le sujet de la leçon, et le texte est conçu de manière à inclure à la fois des informations déjà connues des élèves et des informations complètement nouvelles. En même temps que le texte, les étudiants reçoivent des questions dont les réponses doivent être trouvées dans ce texte.

Polygones. Types de polygones.

Qui n'a pas entendu parler du mystérieux triangle des Bermudes, où les navires et les avions disparaissent sans laisser de trace ? Mais le triangle qui nous est familier depuis l'enfance regorge de nombreuses choses intéressantes et mystérieuses.

Outre les types de triangles que nous connaissons déjà, divisés par des côtés (scalènes, isocèles, équilatéraux) et des angles (angles aigus, obtus, rectangles), le triangle appartient à une grande famille de polygones qui se distingue de beaucoup différentes formes géométriques sur le plan.

Le mot "polygone" indique que toutes les figures de cette famille ont "plusieurs coins". Mais cela ne suffit pas à caractériser la figure.

Une ligne brisée A1A2…An est une figure composée de points A1,A2,…An et de segments A1A2, A2A3,… les reliant. Les points sont appelés les sommets de la polyligne et les segments sont appelés les liens de la polyligne. (FIG. 1)

Une ligne brisée est dite simple si elle n'a pas d'auto-intersections (Fig. 2,3).

Une ligne brisée est dite fermée si ses extrémités coïncident. La longueur d'une ligne brisée est la somme des longueurs de ses liens (Fig. 4)

Une simple ligne brisée fermée est appelée un polygone si ses liens adjacents ne se trouvent pas sur la même ligne droite (Fig. 5).

Remplacez le mot "polygone" au lieu de la partie "plusieurs" par un nombre spécifique, par exemple 3. Vous obtiendrez un triangle. Ou 5. Alors - un pentagone. Notez qu'il y a autant d'angles que de côtés, donc ces figures pourraient bien être qualifiées de multilatérales.

Les sommets de la polyligne sont appelés les sommets du polygone et les liens de la polyligne sont appelés les côtés du polygone.

Le polygone divise le plan en deux régions : interne et externe (Fig. 6).

Un polygone plan ou une région polygonale est une partie finie d'un plan délimitée par un polygone.

Deux sommets d'un polygone qui sont les extrémités d'un même côté sont appelés voisins. Les sommets qui ne sont pas les extrémités d'un côté ne sont pas adjacents.

Un polygone à n sommets et donc à n côtés est appelé un n-gone.

Bien que plus petit nombre côtés d'un polygone - 3. Mais les triangles, reliés les uns aux autres, peuvent former d'autres figures, qui à leur tour sont également des polygones.

Les segments reliant des sommets non voisins d'un polygone sont appelés diagonales.

Un polygone est dit convexe s'il se trouve dans un demi-plan par rapport à toute ligne contenant son côté. Dans ce cas, la ligne elle-même est considérée comme appartenant au DEMI-PLAN

L'angle d'un polygone convexe à un sommet donné est l'angle formé par ses côtés convergeant vers ce sommet.

Démontrons le théorème (sur la somme des angles d'un n-gone convexe) : La somme des angles d'un n-gone convexe est égale à 1800*(n - 2).

Preuve. Dans le cas n=3 le théorème est vrai. Soit А1А2…А n un polygone convexe donné et n>3. Dessinons-y des diagonales (à partir d'un sommet). Le polygone étant convexe, ces diagonales le divisent en n - 2 triangles. La somme des angles du polygone est la même que la somme des angles de tous ces triangles. La somme des angles de chaque triangle est de 1800 et le nombre de ces triangles est n - 2. Par conséquent, la somme des angles d'un angle convexe n - A1A2 ... A n est de 1800 * (n - 2). Le théorème a été prouvé.

L'angle extérieur d'un polygone convexe à un sommet donné est l'angle adjacent à l'angle intérieur du polygone à ce sommet.

Un polygone convexe est dit régulier si tous les côtés sont égaux et tous les angles sont égaux.

Ainsi, le carré peut être appelé différemment - un quadrilatère régulier. Les triangles équilatéraux sont également réguliers. De telles figures intéressent depuis longtemps les maîtres qui ont décoré les bâtiments. Ils ont fait de beaux motifs, par exemple, sur le parquet. Mais tous les polygones réguliers ne pouvaient pas être utilisés pour former du parquet. Le parquet ne peut pas être formé d'octogones réguliers. Le fait est qu'ils ont chaque angle égal à 1350. Et si un point est le sommet de deux de ces octogones, alors ils auront 2700, et il n'y a nulle part où le troisième octogone peut s'adapter: 3600 - 2700 \u003d 900. Mais cela est suffisant pour un carré. Par conséquent, il est possible de plier le parquet à partir d'octogones et de carrés réguliers.

Les étoiles sont correctes. Notre étoile à cinq branches est une étoile pentagonale régulière. Et si vous faites pivoter le carré autour du centre de 450, vous obtenez une étoile octogonale régulière.

Qu'est-ce qu'une ligne brisée ? Expliquez ce que sont les sommets et les liens d'une polyligne.

Quelle ligne brisée est dite simple ?

Quelle ligne brisée est dite fermée ?

Qu'est-ce qu'un polygone ? Comment appelle-t-on les sommets d'un polygone ? Quels sont les côtés d'un polygone ?

Qu'est-ce qu'un polygone plat ? Donnez des exemples de polygones.

Qu'est-ce que le n-gon ?

Expliquez quels sommets du polygone sont adjacents et lesquels ne le sont pas.

Quelle est la diagonale d'un polygone ?

Qu'est-ce qu'un polygone convexe ?

Expliquez quels coins du polygone sont externes et lesquels sont internes ?

Qu'est-ce qu'un polygone régulier ? Donnez des exemples de polygones réguliers.

Quelle est la somme des angles d'un n-gone convexe ? Prouve le.

Les étudiants travaillent avec le texte, recherchent des réponses aux questions posées, après quoi des groupes d'experts sont formés, dans lesquels un travail est effectué sur les mêmes questions: les étudiants soulignent l'essentiel, rédigent un résumé à l'appui, présentent des informations dans l'un des formes graphiques. A la fin des travaux, les élèves retournent dans leurs groupes de travail.

3. Phase de réflexion -

a) évaluation de leurs connaissances, défi à l'étape suivante de la connaissance ;

b) compréhension et appropriation des informations reçues.

Réception : travail de recherche.

Formes de travail : individuel->pair->groupe.

Les groupes de travail sont experts dans les réponses à chacune des sections des questions proposées.

De retour au groupe de travail, l'expert présente les autres membres du groupe avec les réponses à leurs questions. Dans le groupe, il y a un échange d'informations de tous les membres du groupe de travail. Ainsi, dans chaque groupe de travail, grâce au travail d'experts, une idée générale se forme sur le sujet à l'étude.

Rechercherétudiants- remplir le tableau.

Polygones réguliers Dessin Nombre de côtés Nombre de sommets Somme de tous les angles internes Degré de mesure de l'interne. angle Mesure en degrés de l'angle externe Nombre de diagonales

A) un triangle

B) quadrilatère

B) cinq trous

D) hexagone

E) n-gon

Décision tâches intéressantes sur le sujet de la leçon.

1) Combien de côtés a un polygone régulier, chacun de coins intérieurs qui est égal à 1350 ?

2) Dans un certain polygone, tous les angles intérieurs sont égaux les uns aux autres. La somme des angles intérieurs de ce polygone peut-elle être : 3600, 3800 ?

3) Est-il possible de construire un pentagone avec des angles de 100,103,110,110,116 degrés ?

Résumé de la leçon.

Enregistrement devoirs: STR 66-72 №15,17 ET PROBLÈME : dans un QUADRANGLE, DESSINEZ UNE DIRECTE POUR QU'ELLE LE DIVISE EN TROIS TRIANGLES.

Réflexion sous forme de tests (sur un tableau blanc interactif)

La partie du plan délimitée par une ligne brisée fermée s'appelle un polygone.

Les segments de cette ligne brisée sont appelés des soirées polygone. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) - côtés du polygone ABCDE. La somme de tous les côtés d'un polygone s'appelle son périmètre.

Le polygone s'appelle convexe, s'il est situé d'un côté de l'un de ses côtés, prolongé indéfiniment au-delà de ses deux sommets.

Le polygone MNPKO (Fig. 1) ne sera pas convexe, car il est situé sur plus d'un côté de la droite KP.

Nous ne considérerons que les polygones convexes.

Les angles formés par deux côtés adjacents d'un polygone sont appelés ses interne coins et leurs sommets - sommets du polygone.

Un segment de droite reliant deux sommets non adjacents d'un polygone est appelé une diagonale du polygone.

AC, AD - diagonales du polygone (Fig. 2).

Les coins adjacents aux coins internes du polygone sont appelés les coins externes du polygone (Fig. 3).

Selon le nombre d'angles (côtés), un polygone est appelé triangle, quadrilatère, pentagone, etc.

Deux polygones sont dits égaux s'ils peuvent être superposés.

Polygones inscrits et circonscrits

Si tous les sommets d'un polygone se trouvent sur un cercle, alors le polygone est appelé inscrit dans un cercle, et le cercle décrit près du polygone (fig.).

Si tous les côtés d'un polygone sont tangents à un cercle, alors le polygone est appelé décrit autour du cercle, et le cercle s'appelle inscrit dans un polygone (fig.).

Similitude des polygones

Deux polygones de même nom sont dits semblables si les angles de l'un d'eux sont respectivement égaux aux angles de l'autre, et si les côtés semblables des polygones sont proportionnels.

Les polygones portant le même nom sont appelés le même numéro côtés (coins).

Les côtés de polygones similaires sont dits similaires s'ils relient les sommets d'angles égaux correspondants (Fig.).

Ainsi, par exemple, pour que le polygone ABCDE soit semblable au polygone A'B'C'D'E', il faut que : E = ∠E' et, en plus, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Rapport de périmètre de polygones similaires

Considérons d'abord la propriété d'une série de rapports égaux. Prenons par exemple les relations : 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Trouvons la somme des membres précédents de ces relations, puis - la somme de leurs membres suivants et trouvons le rapport des sommes reçues, nous obtenons:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Nous obtenons la même chose si nous prenons un certain nombre d'autres relations, par exemple : 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 et ensuite nous trouvons le rapport de ces sommes, on a:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Dans les deux cas, la somme des membres précédents d'une série de relations égales est liée à la somme des membres suivants de la même série, car le membre précédent de l'une de ces relations est lié à son suivant.

Nous avons déduit cette propriété en considérant un certain nombre d'exemples numériques. Elle peut être déduite strictement et sous une forme générale.

Considérons maintenant le rapport des périmètres de polygones similaires.

Soit le polygone ABCDE semblable au polygone A'B'C'D'E' (fig.).

Il résulte de la similitude de ces polygones que

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Sur la base de la propriété d'une série de relations égales que nous avons dérivées, nous pouvons écrire:

La somme des termes précédents des relations que nous avons prises est le périmètre du premier polygone (P), et la somme des termes suivants de ces relations est le périmètre du second polygone (P'), donc P/P' = AB / A'B'.

Ainsi, les périmètres de polygones similaires sont liés comme leurs côtés correspondants.

Rapport des aires de polygones similaires

Soient ABCDE et A'B'C'D'E' des polygones semblables (fig.).

On sait que ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' et ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Outre,

;

Puisque les seconds rapports de ces proportions sont égaux, ce qui découle de la similarité des polygones, alors

En utilisant la propriété d'une série de rapports égaux, on obtient :

Ou alors

où S et S' sont les aires de ces polygones similaires.

Ainsi, les aires de polygones similaires sont liées comme les carrés de côtés similaires.

La formule résultante peut être convertie sous cette forme: S / S '= (AB / A'B ') 2

Aire d'un polygone arbitraire

Soit nécessaire de calculer l'aire d'un quadrilatère arbitraire ABDC (Fig.).

Traçons-y une diagonale, par exemple AD. Nous obtenons deux triangles ABD et ACD dont nous pouvons calculer les aires. Ensuite, nous trouvons la somme des aires de ces triangles. La somme résultante exprimera l'aire du quadrilatère donné.

Si vous avez besoin de calculer l'aire d'un pentagone, nous procédons de la même manière: nous dessinons des diagonales à partir de l'un des sommets. Nous obtenons trois triangles dont nous pouvons calculer les aires. On peut donc trouver l'aire de ce pentagone. Nous faisons de même lors du calcul de la surface de n'importe quel polygone.

Zone de projection polygonale

Rappelons que l'angle entre une droite et un plan est l'angle entre une droite donnée et sa projection sur le plan (Fig.).

Théorème. L'aire de la projection orthogonale du polygone sur le plan est égale à l'aire du polygone projeté multipliée par le cosinus de l'angle formé par le plan du polygone et le plan de projection.

Chaque polygone peut être divisé en triangles dont la somme des aires est égale à l'aire du polygone. Par conséquent, il suffit de prouver le théorème pour un triangle.

Soit ΔABC projeté sur le plan R. Considérez deux cas :

a) un des côtés ΔABS est parallèle au plan R;

b) aucun des côtés ΔABC n'est parallèle R.

Considérer premier cas: soit [AB] || R.

Dessiner à travers le plan (AB) R 1 || R et projeter orthogonalement ΔABC sur R 1 et sur R(riz.); on obtient ΔABC 1 et ΔA'B'C'.

Par la propriété de projection, on a ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, et donc

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Dessinons ⊥ et le segment D 1 C 1 . Alors ⊥ , a $\overbrace(CD_1C_1)$ = φ est l'angle entre le plan ΔABC et le plan R une . Alors

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

et, par conséquent, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Passons à la considération deuxième cas. Dessiner un avion R 1 || R par ce sommet ΔАВС, la distance à partir de laquelle au plan R le plus petit (que ce soit le sommet A).

Concevons ΔABC sur le plan R 1 et R(riz.); soit ses projections respectivement ΔAB 1 C 1 et ΔA'B'C'.

Soit (BC) ∩ p 1 = D. Alors

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Autres matériaux

Propriétés du polygone

Un polygone est une figure géométrique, généralement définie comme une polyligne fermée sans auto-intersections (un simple polygone (Fig. 1a)), mais parfois les auto-intersections sont autorisées (alors le polygone n'est pas simple).

Les sommets de la polyligne sont appelés les sommets du polygone et les segments sont appelés les côtés du polygone. Les sommets d'un polygone sont appelés voisins s'ils sont les extrémités d'un de ses côtés. Les segments de ligne reliant des sommets non voisins d'un polygone sont appelés diagonales.

Un angle (ou angle interne) d'un polygone convexe à un sommet donné est l'angle formé par ses côtés convergeant vers ce sommet, et l'angle est considéré depuis le côté du polygone. En particulier, l'angle peut dépasser 180° si le polygone n'est pas convexe.

L'angle extérieur d'un polygone convexe à un sommet donné est l'angle adjacent à l'angle intérieur du polygone à ce sommet. En général, l'angle extérieur est la différence entre 180° et l'angle intérieur. De chaque sommet du -gon pour > 3 sortent - 3 diagonales, donc nombre total les diagonales d'un -gon sont égales.

Un polygone à trois sommets s'appelle un triangle, avec quatre - un quadrilatère, avec cinq - un pentagone, et ainsi de suite.

Polygone avec n les pics s'appellent n- carré.

Un polygone plat est une figure composée d'un polygone et de la partie finie de l'aire délimitée par celui-ci.

Un polygone est dit convexe si l'une des conditions suivantes (équivalentes) est remplie :

1. il se trouve d'un côté de toute ligne droite reliant ses sommets voisins. (c'est-à-dire que les extensions des côtés d'un polygone ne coupent pas ses autres côtés);
2. c'est l'intersection (c'est-à-dire la partie commune) de plusieurs demi-plans ;
3. tout segment se terminant en des points appartenant au polygone lui appartient entièrement.

Un polygone convexe est dit régulier si tous les côtés sont égaux et tous les angles sont égaux, par exemple, un triangle équilatéral, un carré et un pentagone.

Un polygone convexe est dit inscrit autour d'un cercle si tous ses côtés sont tangents à un cercle

Un polygone régulier est un polygone dont tous les angles et tous les côtés sont égaux.

Propriétés du polygone :

1 Chaque diagonale d'un -gone convexe, où >3, le décompose en deux polygones convexes.

2 La somme de tous les angles d'un -gone convexe est égale à.

D-in : Prouvons le théorème par la méthode de l'induction mathématique. Pour = 3 c'est évident. Supposons que le théorème est vrai pour un -gon, où <, et le prouver pour -gon.

Soit un polygone donné. Dessinez une diagonale de ce polygone. D'après le théorème 3, le polygone est décomposé en un triangle et un -gone convexe (Fig. 5). Par l'hypothèse d'induction. D'un autre côté, . En additionnant ces égalités et en tenant compte du fait que (- angle de faisceau intérieur ) et (- angle de faisceau intérieur ), nous obtenons Lorsque nous obtenons : .

3 A propos de tout polygone régulier il est possible de décrire un cercle, et de plus, un seul.

D-in : Soit un polygone régulier, et et soient les bissectrices des angles, et (Fig. 150). Puisque donc * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Prouvons que O = OA 2 = O =… = OA P . Triangle O isocèle donc O= O. Selon le deuxième critère d'égalité des triangles, donc, O = O. De même, il est prouvé que O = O etc. Donc le point Oéquidistant de tous les sommets du polygone, donc le cercle avec le centre O rayon O est circonscrit à un polygone.

Montrons maintenant qu'il n'y a qu'un seul cercle circonscrit. Considérons trois sommets d'un polygone, par exemple, MAIS 2 , . Puisqu'un seul cercle passe par ces points, alors autour du polygone … Vous ne pouvez pas décrire plus d'un cercle.

4 Dans tout polygone régulier, vous pouvez inscrire un cercle et, de plus, un seul.
5 Un cercle inscrit dans un polygone régulier touche les côtés du polygone en leur milieu.
6 Le centre d'un cercle circonscrit à un polygone régulier coïncide avec le centre d'un cercle inscrit dans le même polygone.
7 Symétrie :

Une figure est dite symétrique (symetrical) s'il existe un tel mouvement (non identique) qui transforme cette figure en elle-même.

7.1. Un triangle général n'a pas d'axes ni de centres de symétrie, il n'est pas symétrique. Un triangle isocèle (mais pas équilatéral) a un axe de symétrie : la bissectrice perpendiculaire à la base.
7.2. Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie (bissectrices perpendiculaires aux côtés) et une symétrie de rotation autour du centre avec un angle de rotation de 120°.

7.3 Tout n-gone régulier a n axes de symétrie, qui passent tous par son centre. Il a également une symétrie de rotation autour du centre avec un angle de rotation.

Même n certains axes de symétrie passent par des sommets opposés, d'autres par les milieux de côtés opposés.

Pour impair n chaque axe passe par le sommet et le milieu du côté opposé.

Le centre d'un polygone régulier à nombre pair de côtés est son centre de symétrie. Un polygone régulier avec un nombre impair de côtés n'a pas de centre de symétrie.

8 Similitude :

Avec similitude, et -gon passe dans un -gon, demi-plan - dans un demi-plan, donc convexe n-gon devient convexe n-gon.

Théorème : Si les côtés et les angles des polygones convexes et satisfont les égalités :

où est le coefficient du podium

alors ces polygones sont similaires.

8.1 Le rapport des périmètres de deux polygones similaires est égal au coefficient de similarité.
8.2. Le rapport des aires de deux polygones semblables convexes est égal au carré du coefficient de similarité.

théorème du périmètre du triangle du polygone

Polygones thématiques - 8e année :

Une ligne de segments adjacents qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite est appelée ligne brisée.

Les extrémités des segments sont pics.

Chaque coupe- lien.

Et toutes les sommes des longueurs des segments forment le total longueur ligne brisée. Par exemple, AM + ME + EK + KO = longueur de polyligne

Si les segments sont fermés, alors polygone(voir au dessus) .

Les liens d'un polygone sont appelés des soirées.

La somme des longueurs des côtés - périmètre polygone.

Les sommets du même côté sont voisin.

Un segment de droite reliant des sommets non adjacents est appelé diagonale.

Polygones appelé par nombre de côtés: pentagone, hexagone, etc.

Tout ce qui se trouve à l'intérieur du polygone est partie intérieure de l'avion, et tout à l'extérieur - partie extérieure de l'avion.

Noter! L'image ci-dessous- ce n'est PAS un polygone, car il existe des points communs supplémentaires sur la même ligne droite pour les segments non adjacents.

Polygone convexe se trouve d'un côté de chaque ligne. Pour le déterminer mentalement (ou dessin) nous continuons chaque côté.

Dans un polygone autant d'angles qu'il y a de côtés.

Dans un polygone convexe somme de tous les angles intérieurs est égal à (n-2)*180°. n est le nombre de coins.

Le polygone s'appelle à droite si tous ses côtés et angles sont égaux. Ainsi, le calcul de ses angles internes s'effectue selon la formule (où n est le nombre d'angles) : 180° * (n-2) / n

Ci-dessous se trouvent les polygones, la somme de leurs angles et à quoi un angle est égal.

Les angles extérieurs des polygones convexes sont calculés comme suit :

Matière, âge des élèves : géométrie, 9e année

Le but de la leçon : l'étude des types de polygones.

Tâche d'apprentissage : mettre à jour, élargir et généraliser les connaissances des élèves sur les polygones ; se faire une idée des « composantes » d'un polygone ; mener une étude du nombre d'éléments constitutifs des polygones réguliers (du triangle au n-gone) ;

Tâche de développement : développer la capacité d'analyser, de comparer, de tirer des conclusions, de développer des compétences informatiques, le discours mathématique oral et écrit, la mémoire, ainsi que l'indépendance dans les activités de réflexion et d'apprentissage, la capacité de travailler en binôme et en groupe ; développer des activités de recherche et d'enseignement;

Tâche éducative: cultiver l'indépendance, l'activité, la responsabilité de la tâche assignée, la persévérance dans la réalisation de l'objectif.

Pendant les cours : une citation est écrite sur le tableau noir

"La nature parle le langage des mathématiques, les lettres de ce langage... les figures mathématiques." G. Gallilei

Au début de la leçon, la classe est divisée en groupes de travail (dans notre cas, la division en groupes de 4 personnes chacun - le nombre de membres du groupe est égal au nombre de groupes de questions).

1. Étape d'appel-

Objectifs:

a) mettre à jour les connaissances des étudiants sur le sujet ;

b) l'éveil de l'intérêt pour le sujet à l'étude, la motivation de chaque élève pour les activités d'apprentissage.

Accueil : Le jeu « Croyez-vous que… », organisation du travail avec texte.

Formes de travail : frontal, de groupe.

« Croyez-vous que… »

1. ... le mot "polygone" indique que toutes les figures de cette famille ont "beaucoup de coins" ?

2. … un triangle appartient-il à une grande famille de polygones qui se détachent parmi de nombreuses formes géométriques différentes sur un plan ?

3. …un carré est-il un octogone régulier (quatre côtés + quatre coins) ?

Aujourd'hui, dans la leçon, nous parlerons des polygones. On apprend que cette figure est délimitée par une ligne brisée fermée, qui à son tour peut être simple, fermée. Parlons du fait que les polygones sont plats, réguliers, convexes. L'un des polygones plats est un triangle que vous connaissez depuis longtemps (vous pouvez montrer aux élèves des affiches représentant des polygones, une ligne brisée, montrer leurs différents types, vous pouvez également utiliser TCO).

2. Stade de compréhension

Objectif : obtenir une nouvelle information, sa compréhension, sa sélection.

Réception : en zigzag.

Formes de travail : individuel->pair->groupe.

Polygones. Types de polygones.

Le mot "polygone" indique que toutes les figures de cette famille ont "plusieurs coins". Mais cela ne suffit pas à caractériser la figure.

Une ligne brisée A 1 A 2 ... A n est une figure composée de points A 1, A 2, ... A n et de segments A 1 A 2, A 2 A 3, ... les reliant. Les points sont appelés les sommets de la polyligne et les segments sont appelés les liens de la polyligne. (Fig. 1)

Une ligne brisée est dite simple si elle n'a pas d'auto-intersections (Fig. 2,3).

Une ligne brisée est dite fermée si ses extrémités coïncident. La longueur d'une ligne brisée est la somme des longueurs de ses liens (Fig. 4).

Une simple ligne brisée fermée est appelée un polygone si ses liens adjacents ne se trouvent pas sur la même ligne droite (Fig. 5).

Les sommets de la polyligne sont appelés les sommets du polygone et les liens de la polyligne sont appelés les côtés du polygone.

Le polygone divise le plan en deux régions : interne et externe (Fig. 6).

Un polygone plan ou une région polygonale est une partie finie d'un plan délimitée par un polygone.

Deux sommets d'un polygone qui sont les extrémités d'un même côté sont appelés voisins. Les sommets qui ne sont pas les extrémités d'un côté ne sont pas adjacents.

Un polygone à n sommets et donc à n côtés est appelé un n-gone.

Bien que le plus petit nombre de côtés d'un polygone soit 3. Mais les triangles, reliés les uns aux autres, peuvent former d'autres formes, qui à leur tour sont également des polygones.

Les segments reliant des sommets non voisins d'un polygone sont appelés diagonales.

Un polygone est dit convexe s'il se trouve dans un demi-plan par rapport à toute ligne contenant son côté. Dans ce cas, la droite elle-même est considérée comme appartenant au demi-plan.

L'angle d'un polygone convexe à un sommet donné est l'angle formé par ses côtés convergeant vers ce sommet.

Démontrons le théorème (sur la somme des angles d'un n-gone convexe) : La somme des angles d'un n-gone convexe est égale à 180 0 *(n - 2).

Preuve. Dans le cas n=3 le théorème est vrai. Soit А 1 А 2 …А n un polygone convexe donné et n>3. Dessinons-y des diagonales (à partir d'un sommet). Le polygone étant convexe, ces diagonales le divisent en n - 2 triangles. La somme des angles du polygone est la même que la somme des angles de tous ces triangles. La somme des angles de chaque triangle est 180 0 et le nombre de ces triangles est n - 2. Par conséquent, la somme des angles d'un angle n convexe A 1 A 2 ... A n est 180 0 * ( n-2). Le théorème a été prouvé.

L'angle extérieur d'un polygone convexe à un sommet donné est l'angle adjacent à l'angle intérieur du polygone à ce sommet.

Un polygone convexe est dit régulier si tous les côtés sont égaux et tous les angles sont égaux.

Ainsi, le carré peut être appelé différemment - un quadrilatère régulier. Les triangles équilatéraux sont également réguliers. De telles figures intéressent depuis longtemps les maîtres qui ont décoré les bâtiments. Ils ont fait de beaux motifs, par exemple, sur le parquet. Mais tous les polygones réguliers ne pouvaient pas être utilisés pour former du parquet. Le parquet ne peut pas être formé d'octogones réguliers. Le fait est qu'ils ont chaque angle égal à 135 0. Et si un point est le sommet de deux de ces octogones, alors ils auront 270 0, et il n'y a nulle part où le troisième octogone peut s'adapter: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Mais assez pour un carré. Par conséquent, il est possible de plier le parquet à partir d'octogones et de carrés réguliers.

Les étoiles sont correctes. Notre étoile à cinq branches est une étoile pentagonale régulière. Et si vous faites pivoter le carré autour du centre de 45 0, vous obtenez une étoile octogonale régulière.

1 groupe

Qu'est-ce qu'une ligne brisée ? Expliquez ce que sont les sommets et les liens d'une polyligne.

Quelle ligne brisée est dite simple ?

Quelle ligne brisée est dite fermée ?

Qu'est-ce qu'un polygone ? Comment appelle-t-on les sommets d'un polygone ? Quels sont les côtés d'un polygone ?

2 groupe

Qu'est-ce qu'un polygone plat ? Donnez des exemples de polygones.

Qu'est-ce que le n-gon ?

Expliquez quels sommets du polygone sont adjacents et lesquels ne le sont pas.

Quelle est la diagonale d'un polygone ?

3 groupe

Qu'est-ce qu'un polygone convexe ?

Expliquez quels coins du polygone sont externes et lesquels sont internes ?

Qu'est-ce qu'un polygone régulier ? Donnez des exemples de polygones réguliers.

4 groupe

Quelle est la somme des angles d'un n-gone convexe ? Prouve le.

3. Phase de réflexion -

a) évaluation de leurs connaissances, défi à l'étape suivante de la connaissance ;

b) compréhension et appropriation des informations reçues.

Réception : travail de recherche.

Formes de travail : individuel->pair->groupe.

Les groupes de travail sont experts dans les réponses à chacune des sections des questions proposées.

De retour au groupe de travail, l'expert présente les autres membres du groupe avec les réponses à leurs questions. Dans le groupe, il y a un échange d'informations de tous les membres du groupe de travail. Ainsi, dans chaque groupe de travail, grâce au travail des experts, une idée générale se forme sur le sujet à l'étude.

Travail de recherche des étudiants - remplissage du tableau.

Polygones réguliers	Dessin	Nombre de côtés	Nombre de pics	Somme de tous les angles internes	Degré mesure int. coin	Mesure en degrés de l'angle externe	Nombre de diagonales
A) un triangle
B) quadrilatère
B) cinq murs
D) hexagone
E) n-gon

Résoudre des problèmes intéressants sur le sujet de la leçon.

Dans le quadrilatère, tracez une ligne de manière à ce qu'elle le divise en trois triangles.
Combien de côtés a un polygone régulier dont chacun des angles intérieurs est égal à 135 0 ?
Dans un certain polygone, tous les angles intérieurs sont égaux les uns aux autres. La somme des angles intérieurs de ce polygone peut-elle être : 360 0 , 380 0 ?

Résumé de la leçon. Enregistrement des devoirs.