Comment résoudre correctement les équations rationnelles. Équations rationnelles

Les équations avec des fractions elles-mêmes ne sont pas difficiles et très intéressantes. Considérez les genres équations fractionnaires et les moyens de les résoudre.

Comment résoudre des équations avec des fractions - x au numérateur

Si une équation fractionnaire est donnée, où l'inconnue est au numérateur, la solution ne nécessite pas de conditions supplémentaires et est résolue sans tracas supplémentaires. Forme générale une telle équation est x/a + b = c, où x est une inconnue, a, b et c sont des nombres ordinaires.

Trouver x : x/5 + 10 = 70.

Pour résoudre l'équation, vous devez vous débarrasser des fractions. Multipliez chaque terme de l'équation par 5 : 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x et 5 est réduit, 10 et 70 sont multipliés par 5 et on obtient : x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Trouvez x : x/5 + x/10 = 90.

Cet exemple est une version un peu plus compliquée du premier. Il y a deux solutions ici.

• Option 1 : Débarrassez-vous des fractions en multipliant tous les termes de l'équation par le plus grand dénominateur, c'est-à-dire par 10 : 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Option 2 : Ajoutez le côté gauche de l'équation. x/5 + x/10 = 90. Le dénominateur commun est 10. Divisez 10 par 5, multipliez par x, nous obtenons 2x. 10 divisé par 10, multiplié par x, on obtient x : 2x+x/10 = 90. Donc 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Il existe souvent des équations fractionnaires dans lesquelles les x sont sur les côtés opposés du signe égal. Dans une telle situation, il est nécessaire de transférer toutes les fractions avec x dans un sens et les nombres dans un autre.

• Trouver x : 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Déplacer 2x/5 vers la droite avec le signe opposé : 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Nous réduisons 5x/5 et obtenons : x = 130.

Comment résoudre une équation avec des fractions - x au dénominateur

Ce type d'équations fractionnaires nécessite l'écriture de conditions supplémentaires. L'indication de ces conditions est obligatoire et fait partie intégrante bonne décision. En ne les attribuant pas, vous courez le risque, car la réponse (même si elle est correcte) peut tout simplement ne pas être comptée.

La forme générale des équations fractionnaires, où x est au dénominateur, est : a/x + b = c, où x est une inconnue, a, b, c sont des nombres ordinaires. Notez que x ne peut pas être n'importe quel nombre. Par exemple, x ne peut pas être égal à zéro, car vous ne pouvez pas diviser par 0. C'est ce qui est condition supplémentaire, que nous devons préciser. C'est ce qu'on appelle la plage de valeurs acceptables, abrégée - ODZ.

Trouver x : 15/x + 18 = 21.

On écrit immédiatement l'ODZ pour x : x ≠ 0. Maintenant que l'ODZ est indiquée, on résout l'équation en utilisant schéma standard se débarrasser des fractions. Nous multiplions tous les termes de l'équation par x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Il existe souvent des équations dans lesquelles le dénominateur contient non seulement x, mais également une autre opération, par exemple une addition ou une soustraction.

Trouver x : 15/(x-3) + 18 = 21.

Nous savons déjà que le dénominateur ne peut pas être égal à zéro, ce qui signifie x-3 ≠ 0. Nous transférons -3 sur le côté droit, tout en changeant le signe "-" en "+" et nous obtenons que x ≠ 3. ODZ est indiqué.

Résolvez l'équation, multipliez tout par x-3 : 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Déplacez les x vers la droite, les nombres vers la gauche : 24 = 3x => x = 8.

Objectifs de la leçon:

Didacticiel:

• formation du concept d'équations rationnelles fractionnaires;
• considérer diverses manières de résoudre des équations rationnelles fractionnaires;
• considérons un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires, incluant la condition que la fraction soit égale à zéro ;
• enseigner la résolution d'équations rationnelles fractionnaires selon l'algorithme ;
• vérifier le niveau d'assimilation du sujet en effectuant des travaux de test.

Développement:

• développement de la capacité à fonctionner correctement avec les connaissances acquises, à penser logiquement;
• développement des compétences intellectuelles et des opérations mentales - analyse, synthèse, comparaison et généralisation;
• le développement de l'initiative, la capacité à prendre des décisions, à ne pas s'arrêter là ;
• développement Esprit critique;
• développement des compétences en recherche.

Nourrir :

• éducation intérêt cognitif au sujet;
• éducation à l'autonomie dans la résolution de problèmes éducatifs;
• l'éducation de la volonté et de la persévérance pour atteindre les résultats finaux.

Type de leçon: leçon - explication du nouveau matériel.

Pendant les cours

1. Moment organisationnel.

Bonjour gars! Les équations sont écrites au tableau, regardez-les attentivement. Saurez-vous résoudre toutes ces équations ? Lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

Les équations dans lesquelles les parties gauche et droite sont des expressions rationnelles fractionnaires sont appelées équations rationnelles fractionnaires. Que pensez-vous que nous allons étudier aujourd'hui dans la leçon ? Formulez le sujet de la leçon. Donc, nous ouvrons des cahiers et écrivons le sujet de la leçon « Solution d'équations rationnelles fractionnaires ».

2. Actualisation des connaissances. Enquête frontale, travail oral avec la classe.

Et maintenant, nous allons répéter le principal matériel théorique que nous devons étudier nouveau sujet. Merci de répondre aux questions suivantes:

1. Qu'est-ce qu'une équation ? ( Égalité avec une variable ou des variables.)
2. Comment s'appelle l'équation #1 ? ( Linéaire.) Méthode de résolution équations linéaires. (Déplacez tout avec l'inconnu vers le côté gauche de l'équation, tous les nombres vers la droite. Apportez des termes similaires. Trouver le multiplicateur inconnu).
3. Comment s'appelle l'équation 3 ? ( Carré.) Méthodes de résolution d'équations quadratiques. ( Sélection du carré plein, par des formules, en utilisant le théorème de Vieta et ses conséquences.)
4. Qu'est-ce qu'une proportion ? ( Égalité de deux relations.) La principale propriété de proportion. ( Si la proportion est vraie, alors le produit de ses termes extrêmes est égal au produit des termes moyens.)
5. Quelles propriétés sont utilisées pour résoudre des équations ? ( 1. Si dans l'équation nous transférons le terme d'une partie à une autre, en changeant son signe, nous obtenons une équation équivalente à celle donnée. 2. Si les deux parties de l'équation sont multipliées ou divisées par le même nombre non nul, alors une équation sera obtenue qui est équivalente à la donnée.)
6. Quand une fraction est-elle égale à zéro ? ( La fraction est nulle lorsque le numérateur zéro, et le dénominateur n'est pas égal à zéro.)

3. Explication du nouveau matériel.

Résolvez l'équation n° 2 dans des cahiers et au tableau.

Répondre: 10.

Qui équation rationnelle fractionnaire pouvez-vous essayer de résoudre en utilisant la propriété de proportion de base ? (N ° 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Résolvez l'équation n° 4 dans des cahiers et au tableau.

Répondre: 1,5.

Quelle équation rationnelle fractionnaire pouvez-vous essayer de résoudre en multipliant les deux membres de l'équation par le dénominateur ? (Numéro 6).

x2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Répondre: 3;4.

Essayez maintenant de résoudre l'équation #7 de l'une des manières.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Répondre: 0;5;-2.			Répondre: 5;-2.

Explique pourquoi c'est arrivé ? Pourquoi y a-t-il trois racines dans un cas et deux dans l'autre ? Quels nombres sont les racines de cette équation rationnelle fractionnaire ?

Jusqu'à présent, les étudiants n'ont pas rencontré le concept de racine étrangère, il leur est vraiment très difficile de comprendre pourquoi cela s'est produit. Si personne dans la classe ne peut donner une explication claire de cette situation, alors l'enseignant pose des questions suggestives.

• En quoi les équations n° 2 et 4 diffèrent-elles des équations n° 5, 6, 7 ? ( Dans les équations n ° 2 et 4 au dénominateur du nombre, n ° 5-7 - expressions avec une variable.)
• Quelle est la racine de l'équation ? ( La valeur de la variable à laquelle l'équation devient une vraie égalité.)
• Comment savoir si un nombre est la racine d'une équation ? ( Faire un chèque.)

Lors d'un test, certains élèves remarquent qu'ils doivent diviser par zéro. Ils concluent que les nombres 0 et 5 ne sont pas des racines. équation donnée. La question se pose : existe-t-il un moyen de résoudre des équations rationnelles fractionnaires qui élimine cette erreur ? Oui, cette méthode est basée sur la condition que la fraction soit égale à zéro.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Si x=5, alors x(x-5)=0, donc 5 est une racine étrangère.

Si x=-2, alors x(x-5)≠0.

Répondre: -2.

Essayons de formuler un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires de cette manière. Les enfants eux-mêmes formulent l'algorithme.

Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :

1. Déplacez tout vers la gauche.
2. Amener les fractions à un dénominateur commun.
3. Composez un système : une fraction est nulle lorsque le numérateur est égal à zéro et que le dénominateur n'est pas égal à zéro.
4. Résous l'équation.
5. Vérifiez l'inégalité pour exclure les racines superflues.
6. Écrivez la réponse.

Discussion : comment formaliser la solution si la propriété de base de la proportion est utilisée et la multiplication des deux côtés de l'équation par un dénominateur commun. (Compléter la solution : exclure de ses racines celles qui ramènent le dénominateur commun à zéro).

4. Compréhension primaire du nouveau matériel.

Travailler en équipe de deux. Les élèves choisissent eux-mêmes comment résoudre l'équation, selon le type d'équation. Tâches du manuel "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007 : n° 600 (b, c, i) ; N° 601(a, e, g). L'enseignant contrôle l'exécution de la tâche, répond aux questions qui se posent et aide les élèves peu performants. Autotest : Les réponses sont écrites au tableau.

b) 2 est une racine étrangère. Réponse : 3.

c) 2 est une racine étrangère. Réponse : 1.5.

a) Réponse : -12,5.

g) Réponse : 1 ; 1.5.

5. Énoncé des devoirs.

1. Lisez le point 25 du manuel, analysez les exemples 1-3.
2. Apprenez l'algorithme de résolution des équations rationnelles fractionnaires.
3. Résolvez dans les cahiers n ° 600 (a, d, e); N° 601 (g, h).
4. Essayez de résoudre #696(a) (optionnel).

6. Réalisation de la tâche de contrôle sur le sujet étudié.

Le travail se fait sur des feuilles.

Exemple de travail :

A) Parmi les équations, lesquelles sont rationnelles fractionnaires ?

B) Une fraction est nulle lorsque le numérateur est ______________________ et le dénominateur est ______________________.

Q) Le nombre -3 est-il la racine de l'équation #6 ?

D) Résolvez l'équation n° 7.

Critères d'évaluation des tâches :

• « 5 » est donné si l'élève a terminé correctement plus de 90 % de la tâche.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• « 2 » est attribué à un étudiant qui a terminé moins de 50 % de la tâche.
• La 2e année n'est pas inscrite dans le journal, la 3e est facultative.

7. Réflexion.

Sur les dépliants avec travail indépendant, mettez:

• 1 - si la leçon était intéressante et compréhensible pour vous ;
• 2 - intéressant, mais pas clair ;
• 3 - pas intéressant, mais compréhensible ;
• 4 - pas intéressant, pas clair.

8. Résumer la leçon.

Donc, aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec les équations rationnelles fractionnaires, avons appris à résoudre ces équations différentes façons, ont testé leurs connaissances à l'aide de formations travail indépendant. Vous apprendrez les résultats d'un travail indépendant dans la prochaine leçon, à la maison, vous aurez l'occasion de consolider les connaissances acquises.

Quelle méthode de résolution d'équations rationnelles fractionnaires est, selon vous, la plus simple, la plus accessible, la plus rationnelle ? Quelle que soit la méthode de résolution des équations rationnelles fractionnaires, que ne faut-il pas oublier ? Quelle est la "ruse" des équations rationnelles fractionnaires ?

Merci à tous, la leçon est terminée.

Nous avons déjà appris à résoudre des équations quadratiques. Étendons maintenant les méthodes étudiées aux équations rationnelles.

Quoi expression rationnelle? Nous avons déjà rencontré ce concept. Expressions rationnelles appelées expressions composées de nombres, de variables, de leurs degrés et signes d'opérations mathématiques.

Par conséquent, les équations rationnelles sont des équations de la forme : , où - expressions rationnelles.

Auparavant, nous ne considérions que les équations rationnelles qui se réduisent à des équations linéaires. Considérons maintenant ces équations rationnelles qui peuvent être réduites à des équations quadratiques.

Exemple 1

Résous l'équation: .

Décision:

Une fraction vaut 0 si et seulement si son numérateur est 0 et son dénominateur différent de 0.

On obtient le système suivant :

La première équation du système est équation quadratique. Avant de le résoudre, on divise tous ses coefficients par 3. On obtient :

On obtient deux racines : ; .

Comme 2 n'est jamais égal à 0, deux conditions doivent être remplies : . Puisqu'aucune des racines de l'équation obtenue ci-dessus ne correspond aux valeurs invalides de la variable qui ont été obtenues lors de la résolution de la deuxième inégalité, elles sont toutes deux des solutions à cette équation.

Répondre:.

Alors, formulons un algorithme pour résoudre des équations rationnelles :

1. Déplacez tous les termes vers la gauche pour obtenir 0 du côté droit.

2. Transformez et simplifiez le côté gauche, amenez toutes les fractions à un dénominateur commun.

3. Égalez la fraction résultante à 0, selon l'algorithme suivant : .

4. Notez les racines qui sont obtenues dans la première équation et satisfont la deuxième inégalité en réponse.

Prenons un autre exemple.

Exemple 2

Résous l'équation: .

Décision

Au tout début, nous transférons tous les termes à côté gauche de sorte que 0 reste à droite. On obtient :

Maintenant, amenons le côté gauche de l'équation à un dénominateur commun :

Cette équation est équivalente au système :

La première équation du système est une équation quadratique.

Les coefficients de cette équation : . On calcule le discriminant :

On obtient deux racines : ; .

Résolvons maintenant la seconde inégalité : le produit des facteurs n'est pas égal à 0 si et seulement si aucun des facteurs n'est égal à 0.

Deux conditions doivent être remplies : . On obtient que des deux racines de la première équation, une seule convient - 3.

Répondre:.

Dans cette leçon, nous avons rappelé ce qu'est une expression rationnelle et avons également appris à résoudre des équations rationnelles, qui sont réduites à des équations quadratiques.

Dans la prochaine leçon, nous considérerons les équations rationnelles comme des modèles de situations réelles, ainsi que des problèmes de mouvement.

Bibliographie

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2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Devoirs

Jusqu'à présent, nous n'avons résolu que des équations entières par rapport à l'inconnue, c'est-à-dire des équations dans lesquelles les dénominateurs (le cas échéant) ne contenaient pas l'inconnue.

Souvent, vous devez résoudre des équations qui contiennent l'inconnue au dénominateur : de telles équations sont dites fractionnaires.

Pour résoudre cette équation, nous multiplions ses deux côtés par c'est-à-dire par un polynôme contenant l'inconnue. La nouvelle équation sera-t-elle équivalente à celle donnée ? Pour répondre à la question, résolvons cette équation.

En multipliant les deux côtés par , on obtient :

En résolvant cette équation du premier degré, on trouve :

Ainsi, l'équation (2) a une seule racine

En le substituant dans l'équation (1), on obtient :

Par conséquent, est également la racine de l'équation (1).

L'équation (1) n'a pas d'autres racines. Dans notre exemple, cela se voit, par exemple, du fait que dans l'équation (1)

Comment le diviseur inconnu doit être égal au dividende 1 divisé par le quotient 2, c'est-à-dire

Ainsi, les équations (1) et (2) ont une seule racine, elles sont donc équivalentes.

2. Nous résolvons maintenant l'équation suivante :

Le dénominateur commun le plus simple : ; multiplier par lui tous les termes de l'équation :

Après réduction on obtient :

Développons les parenthèses :

Apportant des termes semblables, nous avons :

En résolvant cette équation, on trouve :

En remplaçant dans l'équation (1), on obtient :

Sur le côté gauche, nous avons reçu des expressions qui n'ont pas de sens.

Par conséquent, la racine de l'équation (1) ne l'est pas. Cela implique que les équations (1) et ne sont pas équivalentes.

Dans ce cas, on dit que l'équation (1) a acquis une racine étrangère.

Comparons la solution de l'équation (1) avec la solution des équations que nous avons considérées précédemment (voir § 51). Pour résoudre cette équation, nous avons dû effectuer deux opérations de ce type qui n'avaient jamais été vues auparavant : premièrement, nous avons multiplié les deux membres de l'équation par une expression contenant l'inconnue (dénominateur commun), et, deuxièmement, nous avons réduit les fractions algébriques par des facteurs contenant l'inconnu.

En comparant l'équation (1) à l'équation (2), nous voyons que toutes les valeurs x valides pour l'équation (2) ne sont pas valides pour l'équation (1).

Ce sont les nombres 1 et 3 qui ne sont pas des valeurs admissibles de l'inconnue pour l'équation (1), et à la suite de la transformation, ils sont devenus admissibles pour l'équation (2). L'un de ces nombres s'est avéré être une solution à l'équation (2), mais, bien sûr, il ne peut pas être une solution à l'équation (1). L'équation (1) n'a pas de solution.

Cet exemple montre que lorsque les deux membres de l'équation sont multipliés par un facteur contenant l'inconnue et lorsque le fractions algébriques une équation peut être obtenue qui n'est pas équivalente à celle donnée, à savoir : des racines étrangères peuvent apparaître.

Nous tirons donc la conclusion suivante. Lors de la résolution d'une équation contenant une inconnue au dénominateur, les racines résultantes doivent être vérifiées par substitution dans l'équation d'origine. Les racines étrangères doivent être éliminées.

En termes simples, ce sont des équations dans lesquelles il y en a au moins une avec une variable au dénominateur.

Par example:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exemple ne paséquations rationnelles fractionnaires :

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Comment les équations rationnelles fractionnaires sont-elles résolues ?

La principale chose à retenir à propos des équations rationnelles fractionnaires est que vous devez y écrire. Et après avoir trouvé les racines, assurez-vous de vérifier leur admissibilité. Sinon, des racines étrangères peuvent apparaître et toute la solution sera considérée comme incorrecte.

Algorithme de résolution d'une équation rationnelle fractionnaire :

Écrivez et "résolvez" l'ODZ.

Multipliez chaque terme de l'équation par un dénominateur commun et réduisez les fractions résultantes. Les dénominateurs disparaîtront.

Écrivez l'équation sans ouvrir les parenthèses.

Résolvez l'équation résultante.

Vérifiez les racines trouvées avec ODZ.

Notez en réponse les racines qui ont réussi le test de l'étape 7.

Ne mémorisez pas l'algorithme, 3-5 équations résolues - et il se souviendra de lui-même.

Exemple . Résoudre une équation rationnelle fractionnaire \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Décision:

Répondre: \(3\).

Exemple . Trouver les racines de l'équation rationnelle fractionnaire \(=0\)

Décision:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ : \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Nous écrivons et "résolvons" ODZ. Développez \(x^2+7x+10\) dans la formule : \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Heureusement \(x_1\) et \(x_2\) nous avons déjà trouvé.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Évidemment, le dénominateur commun des fractions : \((x+2)(x+5)\). Nous multiplions l'équation entière par elle.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Nous réduisons les fractions
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Ouverture des crochets
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Nous donnons des termes similaires
\(2x^2+9x-5=0\)		Trouver les racines de l'équation
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		L'une des racines ne rentre pas dans l'ODZ, donc en réponse, nous n'écrivons que la deuxième racine.

Répondre: \(\frac(1)(2)\).