Успоредник на всички формули и свойства. Изследователски проект "паралелограм и неговите свойства"

Концепцията за паралелограма

Определение 1

Паралелограме четириъгълник, в който противоположните страни са успоредни една на друга (фиг. 1).

Снимка 1.

Паралелограмът има две основни свойства. Нека ги разгледаме без доказателства.

Свойство 1: Противоположните страни и ъгли на паралелограма са равни, съответно.

Свойство 2: Диагоналите, начертани в успоредник, се разполовяват от пресечната си точка.

Характеристики на паралелограма

Разгледайте три характеристики на паралелограма и ги представете под формата на теореми.

Теорема 1

Ако две страни на четириъгълник са равни една на друга и също успоредни, тогава този четириъгълник ще бъде успоредник.

Доказателство.

Нека ни е даден четириъгълник $ABCD$. В който $AB||CD$ и $AB=CD$ Нека начертаем диагонал $AC$ в него (фиг. 2).

Фигура 2.

Помислете за успоредни прави $AB$ и $CD$ и техните секущи $AC$. Тогава

\[\angle CAB=\angle DCA\]

като напречни ъгли.

Според $I$ критерия за равенство на триъгълниците,

тъй като $AC$ е тяхната обща страна, а $AB=CD$ по предположение. Средства

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Разгледайте правите $AD$ и $CB$ и техните секанс $AC$; чрез последното равенство на кръстосано разположените ъгли получаваме, че $AD||CB$.) Следователно, по дефиницията на $1$, този четириъгълник е паралелограм.

Теоремата е доказана.

Теорема 2

Ако противоположните страни на четириъгълник са равни, тогава той е успоредник.

Доказателство.

Нека ни е даден четириъгълник $ABCD$. В който $AD=BC$ и $AB=CD$. Нека начертаем диагонал $AC$ в него (фиг. 3).

Фигура 3

Тъй като $AD=BC$, $AB=CD$ и $AC$ е обща страна, то чрез теста за равенство на триъгълника $III$,

\[\триъгълник DAC=\триъгълник ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Разгледайте правите $AD$ и $CB$ и техните секанс $AC$, чрез последното равенство на кръстосано разположените ъгли получаваме това $AD||CB$. Следователно, според дефиницията на $1$, този четириъгълник е успоредник.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Разгледайте правите $AB$ и $CD$ и техните секанси $AC$, чрез последното равенство на кръстосано разположените ъгли получаваме това $AB||CD$. Следователно, според дефиниция 1, този четириъгълник е успоредник.

Теоремата е доказана.

Теорема 3

Ако диагоналите, начертани в четириъгълник, са разделени на две равни части чрез пресечната си точка, тогава този четириъгълник е успоредник.

Доказателство.

Нека ни е даден четириъгълник $ABCD$. Нека начертаем диагоналите $AC$ и $BD$ в него. Нека се пресичат в точката $O$ (фиг. 4).

Фигура 4

Тъй като според условието $BO=OD,\ AO=OC$ и ъглите $\angle COB=\angle DOA$ са вертикални, то чрез теста за равенство на триъгълника $I$,

\[\триъгълник BOC=\триъгълник AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Разгледайте правите $BC$ и $AD$ и техните секанси $BD$, чрез последното равенство на кръстосано разположените ъгли получаваме това $BC||AD$. Също така $BC=AD$. Следователно, според теорема $1$, този четириъгълник е успоредник.

1. Определение на паралелограма.

Ако пресечем двойка успоредни прави с друга двойка успоредни прави, получаваме четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки.

В четириъгълниците ABDC и EFNM (фиг. 224) BD || AC и AB || CD;

EF || MN и EM || Ф.Н.

Четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки, се нарича паралелограм.

2. Свойства на паралелограма.

Теорема. Диагоналът на паралелограма го разделя на две равен триъгълник.

Нека има паралелограм ABDC (фиг. 225), в който AB || CD и AC || BD.

Необходимо е да се докаже, че диагоналът го разделя на два равни триъгълника.

Нека начертаем диагонал CB в паралелограма ABDC. Нека докажем, че $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

Страната NE е обща за тези триъгълници; ∠ABC = ∠BCD, като вътрешни кръстосани ъгли с успоредни AB и CD и секуща CB; ∠ACB = ∠CBD, същото като вътрешните кръстосани ъгли с успоредни AC и BD и секуща CB.

Оттук $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

По същия начин може да се докаже, че диагоналът AD разделя паралелограма на два равни триъгълника ACD и ABD.

Последствия:

1 . Противоположните ъгли на паралелограма са равни.

∠A = ∠D, това следва от равенството на триъгълниците CAB и CDB.

По същия начин, ∠C = ∠B.

2. Противоположните страни на паралелограма са равни.

AB \u003d CD и AC \u003d BD, тъй като това са страни на равни триъгълници и лежат срещу равни ъгли.

Теорема 2. Диагоналите на паралелограма се разполовяват в точката на тяхното пресичане.

Нека BC и AD са диагоналите на паралелограма ABDC (фиг. 226). Нека докажем, че AO = OD и CO = OB.

За да направите това, нека сравним някои двойки противоположни триъгълници, например $\Delta$AOB и $\Delta$COD.

В тези триъгълници AB = CD, като противоположни страни на паралелограма;

∠1 = ∠2, като вътрешни ъгли, лежащи напречно на успоредни AB и CD и секуща AD;

∠3 = ∠4 по същата причина, тъй като AB || CD и CB са тяхната секанс.

От това следва, че $\Delta$AOB = $\Delta$COD. И в равни триъгълници противоположните равни ъгли са равни страни. Следователно, AO = OD и CO = OB.

Теорема 3. Сборът от ъглите, съседни на едната страна на паралелограма, е равен на 180°.

Начертайте диагонал AC в успоредник ABCD и получете два триъгълника ABC и ADC.

Триъгълниците са равни, защото ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (кръстосано разположени ъгли при успоредни прави), а страната AC е обща.
Равенството $\Delta$ABC = $\Delta$ADC предполага, че AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Сумата от ъглите, съседни на едната страна, например ъглите A и D, е равна на 180 ° като едностранни с успоредни прави.

Паралелограмът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. Следната фигура показва паралелограм ABCD. Тя има страна AB, успоредна на страна CD, и страна BC, успоредна на страна AD.

Както може би се досещате, паралелограмът е изпъкнал четириъгълник. Помислете за основните свойства на паралелограма.

Свойства на паралелограма

1. В паралелограм противоположни ъглии противоположните страни са равни. Нека докажем това свойство - разгледайте паралелограма, показан на следващата фигура.

Диагоналът BD го разделя на два равни триъгълника: ABD и CBD. Те са равни по страна BD и два ъгъла, съседни на нея, тъй като ъглите, лежащи на секущата на BD, са успоредни прави BC и AD и AB и CD, съответно. Следователно AB = CD и
BC=AD. И от равенството на ъглите 1, 2, 3 и 4 следва, че ъгъл A = ъгъл1 + ъгъл3 = ъгъл2 + ъгъл4 = ъгъл C.

2. Диагоналите на успоредника се разполовяват от пресечната точка. Нека точката O е пресечната точка на диагоналите AC и BD на паралелограма ABCD.

Тогава триъгълникът AOB и триъгълникът COD са равни един на друг, по протежение на страната и два ъгъла, съседни на нея. (AB=CD, тъй като те са противоположни страни на успоредника. И ъгъл1 = ъгъл2 и ъгъл3 = ъгъл4 като кръстосани ъгли в пресечната точка на правите AB и CD от секущите AC и BD, съответно.) От това следва, че AO = OC и OB = OD, което и трябваше да бъде доказано.

Всички основни свойства са илюстрирани на следващите три фигури.

Паралелограмът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. Това определение вече е достатъчно, тъй като останалите свойства на паралелограма следват от него и се доказват под формата на теореми.

Основните свойства на паралелограма са:

паралелограмът е изпъкнал четириъгълник;
успоредник има противоположни страни, равни по двойки;
успоредник има противоположни ъгли, които са равни по двойки;
диагоналите на паралелограма се разполовяват от пресечната точка.

Паралелограм - изпъкнал четириъгълник

Нека първо докажем теоремата, че паралелограмът е изпъкнал четириъгълник. Многоъгълникът е изпъкнал, когато която и да е страна от него е разширена до права линия, всички други страни на многоъгълника ще бъдат от същата страна на тази права линия.

Нека е даден успоредник ABCD, в който AB е противоположната страна за CD, а BC е противоположната страна за AD. Тогава от определението на паралелограма следва, че AB || CD, BC || АД.

Успоредните отсечки нямат общи точки, не се пресичат. Това означава, че CD лежи от едната страна на AB. Тъй като отсечката BC свързва точка B на отсечката AB с точка C на отсечката CD, а отсечката AD свързва други точки AB и CD, отсечките BC и AD също лежат от същата страна на правата AB, където лежи CD. Така и трите страни - CD, BC, AD - лежат от една и съща страна на AB.

По същия начин се доказва, че по отношение на другите страни на успоредника другите три страни лежат от една и съща страна.

Противоположните страни и ъгли са равни

Едно от свойствата на паралелограма е, че в паралелограма противоположните страни и противоположните ъгли са равни. Например, ако е даден паралелограм ABCD, той има AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Тази теорема се доказва по следния начин.

Паралелограмът е четириъгълник. Така че има два диагонала. Тъй като паралелограмът е изпъкнал четириъгълник, всеки от тях го разделя на два триъгълника. Разгледайте триъгълниците ABC и ADC в паралелограма ABCD, получен чрез начертаване на диагонала AC.

Тези триъгълници имат една обща страна - AC. Ъгълът BCA е равен на ъгъла CAD, както и вертикалите с успоредни BC и AD. Ъглите BAC и ACD също са равни, както и вертикалните ъгли, когато AB и CD са успоредни. Следователно ∆ABC = ∆ADC върху два ъгъла и страната между тях.

В тези триъгълници страна AB съответства на страна CD, а страна BC съответства на AD. Следователно AB = CD и BC = AD.

Ъгъл B съответства на ъгъл D, т.е. ∠B = ∠D. Ъгъл A на паралелограма е сумата от два ъгъла - ∠BAC и ∠CAD. Ъгълът C равен се състои от ∠BCA и ∠ACD. Тъй като двойките ъгли са равни един на друг, тогава ∠A = ∠C.

По този начин се доказва, че в успоредника противоположните страни и ъгли са равни.

Диагоналите се разрязват наполовина

Тъй като паралелограмът е изпъкнал четириъгълник, той има два два диагонала и те се пресичат. Нека е даден успоредник ABCD, диагоналите му AC и BD се пресичат в точка E. Разгледайте образуваните от тях триъгълници ABE и CDE.

Тези триъгълници имат страни AB и CD, равни като противоположни страни на успоредник. Ъгълът ABE е равен на ъгъла CDE, тъй като те лежат през успоредни прави AB и CD. По същата причина ∠BAE = ∠DCE. Следователно ∆ABE = ∆CDE над два ъгъла и страната между тях.

Можете също да забележите, че ъглите AEB и CED са вертикални и следователно също са равни един на друг.

Тъй като триъгълниците ABE и CDE са равни един на друг, така са и всичките им съответни елементи. Страната AE на първия триъгълник съответства на страната CE на втория, така че AE = CE. По същия начин BE = DE. Всяка двойка равни сегменти съставлява диагонала на паралелограма. Така се доказва, че диагоналите на паралелограма се разполовяват от пресечната точка.

В днешния урок ще повторим основните свойства на паралелограма, а след това ще обърнем внимание на разглеждането на първите две характеристики на успоредника и ще ги докажем. В хода на доказателството нека си припомним приложението на знаците за равенство на триъгълниците, което изучавахме миналата година и повторихме в първия урок. В края ще бъде даден пример за прилагането на изследваните характеристики на паралелограма.

Тема: Четириъгълници

Урок: Признаци на паралелограма

Нека започнем, като си припомним определението за паралелограма.

Определение. Паралелограм- четириъгълник, в който всеки две противоположни страни са успоредни (виж фиг. 1).

Ориз. 1. Паралелограм

Да си припомним основни свойства на паралелограма:

За да можете да използвате всички тези свойства, е необходимо да сте сигурни, че цифрата за която въпросният, е паралелограм. За да направите това, трябва да знаете такива факти като знаците на паралелограма. Днес ще разгледаме първите две от тях.

Теорема. Първата характеристика на паралелограма.Ако в четириъгълника две противоположни страни са равни и успоредни, тогава този четириъгълник е такъв паралелограм. .

Ориз. 2. Първият знак на паралелограма

Доказателство. Нека начертаем диагонал в четириъгълника (виж фиг. 2), тя го раздели на два триъгълника. Нека напишем какво знаем за тези триъгълници:

според първия знак за равенство на триъгълниците.

От равенството на тези триъгълници следва, че въз основа на успоредността на правите в пресечната точка на тяхната секуща. имаме това:

Доказано.

Теорема. Вторият знак на паралелограма.Ако в четириъгълника всеки две противоположни страни са равни, то този четириъгълник е равен паралелограм. .

Ориз. 3. Вторият знак на паралелограма

Доказателство. Нека начертаем диагонал в четириъгълника (виж фиг. 3), той го разделя на два триъгълника. Нека напишем какво знаем за тези триъгълници въз основа на формулировката на теоремата:

според третия критерий за равенство на триъгълниците.