Формули за намиране на площта на паралелограм abcd. Площ на паралелограма

Задача 4.

Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 образува ъгъл от 60° с основата, а вторият диагонал образува ъгъл от 45° със същата основа. Намерете втория диагонал.

Решение.

1. AO = 2√6.

2. Приложете теоремата на синусите към триъгълника AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Отговор: 12.

Задача 5.

За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сбора от дължините на диагоналите.

Решение.

Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е φ.

1. Нека преброим две различни
начини на неговата площ.

S ABCD \u003d AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Получаваме равенството 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Използвайки съотношението между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Нека направим система:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Умножете второто уравнение на системата по 2 и го добавете към първото.

Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24.

Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на паралелограма, то d 1 + d 2 = 24.

Отговор: 24.

Задача 6.

Страните на паралелограма са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45 o. Намерете площта на паралелограма.

Решение.

1. От триъгълника AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. По същия начин записваме отношението за триъгълника AOD.

Ние отчитаме това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Имаме система
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Изваждайки първото от второто уравнение, получаваме 2d 1 d 2 √2 = 80 или

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC BD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Забележка:В тази и в предишната задача няма нужда да решаваме системата изцяло, като се предвижда, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта.

Отговор: 10.

Задача 7.

Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-малкия диагонал.

Решение.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Нека направим заместване във формулата.

Получаваме 96 = 8 15 sin VAD. Следователно sin VAD = 4/5.

2. Намерете cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Според условието на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът BD ще бъде по-малък, ако ъгълът BAD е остър. Тогава cos BAD = 3 / 5.

3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Отговор: 145.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решите геометричен проблем?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Както в евклидовата геометрия, точката и правата са основните елементи на теорията на равнините, така и успоредникът е една от ключовите фигури на изпъкналите четириъгълници. От него, като нишки от топка, изтичат понятията "правоъгълник", "квадрат", "ромб" и други геометрични величини.

Във връзка с

Определение на паралелограма

изпъкнал четириъгълник,състоящ се от сегменти, всяка двойка от които е успоредна, е известна в геометрията като паралелограм.

Как изглежда класическият паралелограм е четириъгълник ABCD. Страните се наричат ​​основи (AB, BC, CD и AD), перпендикулярът, изтеглен от всеки връх към противоположната страна на този връх, се нарича височина (BE и BF), линиите AC и BD са диагоналите.

Внимание!Квадрат, ромб и правоъгълник са специални случаи на паралелограма.

Страни и ъгли: характеристики на съотношението

Основни свойства като цяло, предопределена от самото обозначение, те се доказват от теоремата. Тези характеристики са както следва:

1. Страните, които са срещуположни, са идентични по двойки.
2. Ъглите, които са противоположни един на друг, са равни по двойки.

Доказателство: разгледайте ∆ABC и ∆ADC, които се получават чрез разделяне на четириъгълник ABCD на права AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, тъй като AC е общ за тях (вертикални ъгли за BC||AD и AB||CD, съответно). От това следва: ∆ABC = ∆ADC (вторият критерий за равенство на триъгълниците).

Сегментите AB и BC в ∆ABC отговарят по двойки на линиите CD и AD в ∆ADC, което означава, че са идентични: AB = CD, BC = AD. Така ∠B съответства на ∠D и те са равни. Тъй като ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, които също са идентични по двойки, то ∠A = ∠C. Имотът е доказан.

Характеристики на диагоналите на фигурата

Основна характеристикатези успоредни линии: пресечната точка ги разполовява.

Доказателство: нека m. E е пресечната точка на диагоналите AC и BD на фигурата ABCD. Те образуват два съизмерими триъгълника - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, тъй като са противоположни. Според линиите и секущите ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

Според втория знак за равенство ∆ABE = ∆CDE. Това означава, че елементите ∆ABE и ∆CDE са: AE = CE, BE = DE и освен това те са съизмерими части от AC и BD. Имотът е доказан.

Характеристики на съседни ъгли

При съседни страни сумата от ъглите е 180°, тъй като те лежат от една и съща страна на успоредните прави и секасата. За четириъгълник ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства на бисектриса:

1. , пуснати на една страна, са перпендикулярни;
2. противоположните върхове имат успоредни ъглополовящи;
3. триъгълникът, получен чрез начертаване на ъглополовящата, ще бъде равнобедрен.

Определяне на характерните особености на паралелограма по теоремата

Характеристиките на тази фигура следват от нейната основна теорема, която гласи, както следва: четириъгълник се счита за успоредникв случай, че диагоналите му се пресичат и тази точка ги разделя на равни сегменти.

Доказателство: Нека правите AC и BD на четириъгълник ABCD се пресичат в t. E. Тъй като ∠AED = ∠BEC и AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по първия знак за равенство на триъгълниците). Тоест ∠EAD = ∠ECB. Те също са вътрешните пресичащи ъгли на секущата AC за линиите AD и BC. Така по дефиниция на паралелизма - AD || пр.н.е. Подобно свойство на правите BC и CD също се получава. Теоремата е доказана.

Изчисляване на площта на фигура

Площта на тази фигура намират по няколко начинаедин от най-простите: умножаване на височината и основата, към която е изтеглена.

Доказателство: Начертайте перпендикуляри BE и CF от върхове B и C. ∆ABE и ∆DCF са равни, тъй като AB = CD и BE = CF. ABCD е равно на правоъгълника EBCF, тъй като те също се състоят от пропорционални фигури: S ABE и S EBCD, както и S DCF и S EBCD. От това следва, че площта на тази геометрична фигура е същата като тази на правоъгълник:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

За да определим общата формула за площта на паралелограма, обозначаваме височината като hb, и отстрани б. съответно:

Други начини за намиране на район

Изчисления на площта през страните на успоредника и ъгъла, който те образуват, е вторият известен метод.

,

Спр-ма - площ;

a и b са неговите страни

α - ъгъл между отсечки a и b.

Този метод на практика се основава на първия, но в случай, че е неизвестен. винаги отрязва правоъгълен триъгълник, чиито параметри се намират чрез тригонометрични идентичности, т.е. Преобразувайки съотношението, получаваме . В уравнението на първия метод заменяме височината с това произведение и получаваме доказателство за валидността на тази формула.

Чрез диагоналите на успоредник и ъгъл,които създават, когато се пресичат, можете да намерите и областта.

Доказателство: AC и BD, пресичащи се, образуват четири триъгълника: ABE, BEC, CDE и AED. Тяхната сума е равна на площта на този четириъгълник.

Площта на всеки от тези ∆ може да се намери от израза , където a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Тъй като , тогава в изчисленията се използва една стойност на синуса. т.е. Тъй като AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формулата за площ се намалява до:

.

Приложение във векторната алгебра

Характеристиките на съставните части на този четириъгълник са намерили приложение във векторната алгебра, а именно: събирането на два вектора. Правилото на паралелограма гласи това ако са дадени векториинеса колинеарни, тогава тяхната сума ще бъде равна на диагонала на тази фигура, чиито основи съответстват на тези вектори.

Доказателство: от произволно избрано начало – т.е. - ние изграждаме вектори и . След това изграждаме паралелограм OASV, където отсечките OA и OB са страни. По този начин ОС лежи върху вектора или сумата.

Формули за изчисляване на параметрите на паралелограма

Идентичността се дава при следните условия:

1. a и b, α - страните и ъгълът между тях;
2. d 1 и d 2 , γ - диагонали и в точката на тяхното пресичане;
3. h a и h b - височини, спуснати до страни a и b;

Параметър	Формула
Намиране на страни
по диагоналите и косинуса на ъгъла между тях
диагонално и странично
през височина и противоположен връх
Намиране на дължината на диагоналите
отстрани и размера на горната част между тях

Геометрична област- числова характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворен контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.

Формули за площ на триъгълник

1. Формула за площ на триъгълник за страна и височина
   Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на една страна на триъгълник и дължината на надморската височина, изтеглена от тази страна
   
2. Формулата за площта на триъгълник с дадени три страни и радиус на описаната окръжност
   
3. Формулата за площта на триъгълник с дадени три страни и радиус на вписана окръжност
   Площ на триъгълнике равно на произведението на полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност.
   
където S е площта на триъгълника,
- дължините на страните на триъгълника,
- височината на триъгълника,
- ъгълът между страните и,
- радиус на вписаната окръжност,
R - радиус на описаната окръжност,

Формули за квадратна площ

1. Формулата за площта на квадрат, като се има предвид дължината на страната
   квадратна площе равно на квадрата на дължината на неговата страна.
2. Формулата за площта на квадрат, като се има предвид дължината на диагонала
   квадратна площравно на половината от квадрата на дължината на диагонала му.
   

   S=	1	2
   	2

където S е площта на квадрата,
е дължината на страната на квадрата,
е дължината на диагонала на квадрата.

Формула за площ на правоъгълник

Площ на правоъгълнике равно на произведението на дължините на двете му съседни страни

където S е площта на правоъгълника,
са дължините на страните на правоъгълника.

Формули за площта на паралелограма

1. Формула за площ на паралелограма за дължина и височина на страната
   Площ на паралелограма
2. Формулата за площта на паралелограма, дадени на две страни и ъгъла между тях
   Площ на паралелограмае равно на произведението на дължините на страните му, умножено по синуса на ъгъла между тях.
   

   a b sinα

където S е площта на паралелограма,
са дължините на страните на паралелограма,
е височината на паралелограма,
е ъгълът между страните на паралелограма.

Формули за площта на ромб

1. Формула за площ на ромб, дадена дължина и височина на страната
   Област на ромбе равно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната на тази страна.
2. Формулата за площта на ромб, като се има предвид дължината на страната и ъгъла
   Област на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба.
3. Формулата за площта на ромб от дължините на диагоналите му
   Област на ромбе равно на половината от произведението на дължините на диагоналите му.
където S е площта на ромба,
- дължина на страната на ромба,
- дължината на височината на ромба,
- ъгълът между страните на ромба,
1, 2 - дължините на диагоналите.

Формули за площ на трапец

1. Формула на Херон за трапец

   където S е площта на трапеца,
   - дължината на основите на трапеца,
   - дължината на страните на трапеца,
   

Паралелограмът е четириъгълна фигура, чиито противоположни страни са по двойки успоредни и по двойки равни. Неговите противоположни ъгли също са равни, а пресечната точка на диагоналите на успоредника ги разделя наполовина, като същевременно е център на симетрия на фигурата. Специални случаи на паралелограма са такива геометрични фигури като квадрат, правоъгълник и ромб. Площта на паралелограма може да бъде намерена по различни начини, в зависимост от това какви изходни данни са придружени от формулирането на проблема.

1. В най-простия случай площта на успоредника се определя като произведението на неговата основа и неговата височина.
   

   S = DC ∙ h

   
   

   където S е площта на паралелограма;
   а - основа;
   h е височината, изтеглена към дадената основа.

   Тази формула е много лесна за разбиране и запомняне, ако погледнете следната фигура.

   

   Както можете да видите от това изображение, ако отрежем въображаем триъгълник отляво на успоредника и го прикрепим отдясно, тогава в резултат получаваме правоъгълник. И както знаете, площта на правоъгълника се намира, като се умножи дължината му по височината. Само в случай на успоредник, дължината ще бъде основата, а височината на правоъгълника ще бъде височината на успоредника, спуснат на тази страна.

2. Площта на паралелограма може да се намери и чрез умножаване на дължините на две съседни основи и синуса на ъгъла между тях:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   където AD, AB са съседни основи, които образуват пресечната точка и ъгъла a помежду си;
   α е ъгълът между основите AD и AB.

   

3. Също така, площта на успоредника може да се намери, като се раздели наполовина произведението на дължините на диагоналите на успоредника на синуса на ъгъла между тях.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   където AC, BD са диагоналите на паралелограма;
   β е ъгълът между диагоналите.

   

4. Има и формула за намиране на площта на паралелограма по отношение на радиуса на вписана в него окръжност. Пише се по следния начин:

Видео курсът "Вземете A" включва всички теми, необходими за успешно полагане на изпита по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профил USE по математика. Подходяща и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). А това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито един стоточков ученик, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, капани и тайни на изпита. Анализирани са всички релевантни задачи от част 1 от задачите на Bank of FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми, всяка по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови проблеми и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи за използване. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни мами, развитие на пространствено въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на сложни задачи от 2-ра част на изпита.