Свойства на противоположните ъгли на паралелограма. Свойство на диагоналите на паралелограма

Признаци на pa-ral-le-lo-gram-ma

1. Определение и основни свойства на паралелограма

Нека започнем с факта, че помним определението за pa-ral-le-lo-gram-ma.

Определение. Паралелограм- four-you-rekh-coal-nick, some-ro-go има две про-ti-in-on-false страни на para-ral-lel-ny (вж. Фиг. 1).

Ориз. 1. Па-рал-ле-ло-грам

Припомням си основни нови свойства на pa-ral-le-lo-gram-ma:

За да можете да използвате всички тези свойства, трябва да сте сигурни, че fi-gu-ra, oh some -Roy въпросният, - pa-ral-le-lo-gram. За това е необходимо да се знаят такива факти като признаци на pa-ral-le-lo-gram-ma. Първите две от тях разглеждаме днес.

2. Първият знак на паралелограма

Теорема. Първият признак на pa-ral-le-lo-gram-ma.Ако в четири-ти-рех-въглища-ни-ке две про-ти-в-лъжливи страни са равни и пара-рал-лел-на, тогава този псевдоним на четири-ти-рех-въглища - паралелограм. .

Ориз. 2. Първият признак на pa-ral-le-lo-gram-ma

Доказателство. We-we-we-dem в четири-rekh-coal-ni-ke dia-go-nal (виж фиг. 2), тя го раздели на два триъгълника-no-ka. Запишете какво знаем за тези триъгълници:

според първия знак на равенството на триъгълниците.

От равенството на посочените триъгълници следва, че според знака на пара-рал-лел-но-сти на правите, когато повторно се-се-че-ни техните се-ку-щей. имаме това:

Преди-за-но.

3. Вторият знак на паралелограма

Теорема. Вторият рояк е знак за па-рал-ле-ло-грам-ма.Ако в четири-ти-рех-въглища-ни-ке, всеки две про-ти-в-лъжливи страни са равни, тогава този четири-ти-рех-въглища-ник - паралелограм. .

Ориз. 3. Втори знак за рояк pa-ral-le-lo-gram-ma

Доказателство. We-we-we-dem in four-you-rekh-coal-ni-ke dia-go-nal (виж фиг. 3), тя го разделя на два триъгълника-no-ka. Пишем това, което знаем за тези триъгълници, изхождайки от for-mu-li-ditch-ki theo-re-we:

според третия знак за равенство на триъгълниците.

От равенството на триъгълниците следва, че според знака на пара-рал-лел-но-сти на прави линии, когато повторно се-че-инг ги се-ку-щей. By-lu-cha-eat:

pa-ral-le-lo-gram според дефиницията-de-le-ny. Q.E.D.

Преди-за-но.

4. Пример за използване на първата характеристика на паралелограма

Рас-вижте пример за прилагането на знаците на pa-ral-le-lo-gram-ma.

Пример 1. В you-far-scrap-che-you-rex-coal-no-ke Намерете: а) ъглите на four-you-rex-coal-no-ka; б) сто-ро-кладенец.

Решение. Изображение-ра-зима Фиг. 4.

pa-ral-le-lo-gram според първия знак-ku pa-ral-le-lo-gram-ma.

НО. според свойството на para-le-lo-gram-ma за pro-ti-in-false-angles, според свойството на para-le-lo-gram-ma за сумата от ъгли, при- лежащи на един страна.

Б. чрез свойството на равенство на про-ти-в-на-лъжливите страни.

re-at-sign pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Повторение: определение и свойства на паралелограма

Напомняне, че паралелограм- това е четири-ти-рех-въглен-ник, някой има про-ти-в-на-фалшиви страни в двойка-но-па-рал-лел-на. Тоест, ако - pa-ral-le-lo-gram, тогава (Виж фиг. 1).

Pa-ral-le-lo-gram има цял набор от свойства: pro-ti-in-on-false ъгли са равни (), pro-ti-in-on-false sto-ro -ние сме равни ( ). В допълнение, dia-go-on-whether par-ral-le-lo-gram-ma в точката на re-se-che-niya de-lyat-by-lam, сумата от ъглите, at-le- pa-ral-le-lo-gram-ma, равен на всяка страна, равен и т.н.

Но за да се използват всички тези свойства, е необходимо да сме ab-so-lute-no sure-we, че състезанията ri-va-e-my che-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le- ло-грам. За това има признаци на par-ral-le-lo-gram-ma: тоест тези факти, от които човек може да направи еднозначно заключение, че che-you-rekh-coal-nick yav-la-et -ся па-рал-ле-ло-грам-мама. В предишния урок вече разгледахме две характеристики. Този час гледаме третия.

6. Третата характеристика на паралелограма и неговото доказателство

Ако в четири-ти-рех-въглища-ни-ке диа-го-на-ли в точката на повторно-се-че-ния де-лят-бай-лам, тогава този четири-ви-рех-въглища-ник yav-la-et-sya pa-ral-le-lo-gram-mom.

дадено:

Че-ти-рех-въглен-ник; ; .

Докажи:

Паралелограм.

доказателство:

За да се докаже този факт, е необходимо да се докаже пара-рал-лел-ността на страните на pa-ral-le-lo-gram-ma. И пара-рал-лел-неността на правите най-често е до-ка-зи-ва-ет-ся чрез равенството на вътрешните към кръстосаните ъгли на тези прави линии. По този начин на-пра-ши-ва-ет-ся следващият-ду-у-ще път към-ка-за-тел-ства на третия знак-па-рал -ле-ло-грам- ма: чрез равенството на триъгълниците-ни-ков .

Нека изчакаме равенството на тези триъгълници. Всъщност от условието следва:. Освен това, тъй като ъглите са вертикални, те са равни. т.е.:

(първи знак за равенствотриъгълен-ни-ков- двеста ро-на и ъгълът между тях).

От равенството на триъгълниците: (тъй като вътрешните ъгли на кръста са равни при тези прави и се-ку-щей). Освен това от равенството на триъгълниците следва, че. Това означава, че ние сме като chi-li, че в четири-ти-рех-въглища-ни-ке две страни са равни и пара-рал-лел-на. Според първия знак, pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.

Преди-за-но.

7. Пример за задача за третия признак на паралелограма и обобщение

Рас-вижте пример за прилагането на третия знак на para-ral-le-lo-gram-ma.

Пример 1

дадено:

- паралелограм; . - се-ре-ди-на, - се-ре-ди-на, - се-ре-ди-на, - се-ре-ди-на (виж фиг. 2).

Докажи:- па-рал-ле-ло-грам.

доказателство:

И така, в четири-ти-рех-въглища-но-ке диа-го-на-ли в точката на повторно-се-че-ния де-лят-ся-би-лам. Според третия знак, pa-ral-le-lo-gram-ma, от това следва, че - pa-ral-le-lo-gram.

Преди-за-но.

Ако анализираме третия знак на pa-ral-le-lo-gram-ma, тогава можем да забележим, че този знак е co-ot-reply- има свойството на par-ral-le-lo-gram-ma. Тоест фактът, че диа-го-на-дали де-лят-по-лам, е-ла-ет-ся не е просто свойство на па-рал-ле-ло-грам-ма, а от -li-chi-tel-nym, ha-rak-te-ri-sti-che-sky property, според някои-ро-му може да се излее от множество che-you-reh-coal-no- ков.

ИЗТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

В днешния урок ще повторим основните свойства на паралелограма, а след това ще обърнем внимание на разглеждането на първите две характеристики на успоредника и ще ги докажем. В хода на доказателството нека си припомним приложението на знаците за равенство на триъгълниците, което изучавахме миналата година и повторихме в първия урок. В края ще бъде даден пример за прилагането на изследваните характеристики на паралелограма.

Тема: Четириъгълници

Урок: Признаци на паралелограма

Нека започнем, като си припомним определението за паралелограма.

Определение. Паралелограм- четириъгълник, в който всеки две противоположни страни са успоредни (виж фиг. 1).

Ориз. 1. Паралелограм

Да си припомним основни свойства на паралелограма:

За да можете да използвате всички тези свойства, трябва да сте сигурни, че въпросната фигура е паралелограм. За да направите това, трябва да знаете такива факти като знаците на паралелограма. Днес ще разгледаме първите две от тях.

Теорема. Първата характеристика на паралелограма.Ако в четириъгълника две противоположни страни са равни и успоредни, тогава този четириъгълник е такъв паралелограм. .

Ориз. 2. Първият знак на паралелограма

Доказателство. Нека начертаем диагонал в четириъгълника (виж фиг. 2), тя го раздели на два триъгълника. Нека напишем какво знаем за тези триъгълници:

според първия знак за равенство на триъгълниците.

От равенството на тези триъгълници следва, че въз основа на успоредността на правите в пресечната точка на тяхната секуща. имаме това:

Доказано.

Теорема. Вторият знак на паралелограма.Ако в четириъгълника всеки две противоположни страни са равни, то този четириъгълник е равен паралелограм. .

Ориз. 3. Вторият знак на паралелограма

Доказателство. Нека начертаем диагонал в четириъгълника (виж фиг. 3), той го разделя на два триъгълника. Нека напишем какво знаем за тези триъгълници въз основа на формулировката на теоремата:

според третия критерий за равенство на триъгълниците.

От равенството на триъгълниците следва, че въз основа на успоредността на правите в пресечната точка на тяхната секуща. Получаваме:

паралелограм по дефиниция. Q.E.D.

Доказано.

Нека разгледаме пример за прилагане на характеристиките на паралелограма.

Пример 1. В изпъкнал четириъгълник Намерете: а) ъглите на четириъгълника; б) страна.

Решение. Нека изобразим фиг. 4.

Ориз. 4

успоредник според първия атрибут на паралелограма.

Концепцията за паралелограма

Определение 1

Паралелограме четириъгълник, в който противоположните страни са успоредни една на друга (фиг. 1).

Снимка 1.

Паралелограмът има две основни свойства. Нека ги разгледаме без доказателства.

Свойство 1: Противоположните страни и ъгли на паралелограма са равни, съответно.

Свойство 2: Диагоналите, начертани в успоредник, се разполовяват от пресечната си точка.

Характеристики на паралелограма

Разгледайте три характеристики на паралелограма и ги представете под формата на теореми.

Теорема 1

Ако две страни на четириъгълник са равни една на друга и също успоредни, тогава този четириъгълник ще бъде успоредник.

Доказателство.

Нека ни е даден четириъгълник $ABCD$. В който $AB||CD$ и $AB=CD$ Нека начертаем диагонал $AC$ в него (фиг. 2).

Фигура 2.

Помислете за успоредни прави $AB$ и $CD$ и техните секущи $AC$. Тогава

\[\angle CAB=\angle DCA\]

като напречни ъгли.

Според $I$ критерия за равенство на триъгълниците,

тъй като $AC$ е тяхната обща страна, а $AB=CD$ по предположение. Средства

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Разгледайте правите $AD$ и $CB$ и техните секанс $AC$; чрез последното равенство на кръстосано разположените ъгли получаваме, че $AD||CB$.) Следователно, по дефиницията на $1$, този четириъгълник е паралелограм.

Теоремата е доказана.

Теорема 2

Ако противоположните страни на четириъгълник са равни, тогава той е успоредник.

Доказателство.

Нека ни е даден четириъгълник $ABCD$. В който $AD=BC$ и $AB=CD$. Нека начертаем диагонал $AC$ в него (фиг. 3).

Фигура 3

Тъй като $AD=BC$, $AB=CD$ и $AC$ е обща страна, тогава чрез теста за равенство на триъгълника $III$,

\[\триъгълник DAC=\триъгълник ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Разгледайте правите $AD$ и $CB$ и техните секанси $AC$, чрез последното равенство на кръстосано разположените ъгли получаваме това $AD||CB$. Следователно, според дефиницията на $1$, този четириъгълник е успоредник.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Разгледайте правите $AB$ и $CD$ и техните секанси $AC$, чрез последното равенство на кръстосано разположените ъгли получаваме това $AB||CD$. Следователно по дефиниция 1 този четириъгълник е успоредник.

Теоремата е доказана.

Теорема 3

Ако диагоналите, начертани в четириъгълник, са разделени на две равни части чрез пресечната си точка, тогава този четириъгълник е успоредник.

Доказателство.

Нека ни е даден четириъгълник $ABCD$. Нека начертаем диагоналите $AC$ и $BD$ в него. Нека се пресичат в точката $O$ (фиг. 4).

Фигура 4

Тъй като според условието $BO=OD,\ AO=OC$ и ъглите $\angle COB=\angle DOA$ са вертикални, то чрез теста за равенство на триъгълника $I$,

\[\триъгълник BOC=\триъгълник AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Разгледайте правите $BC$ и $AD$ и техните секанси $BD$, чрез последното равенство на кръстосано разположените ъгли получаваме това $BC||AD$. Също така $BC=AD$. Следователно, според теорема $1$, този четириъгълник е успоредник.

Паралелограмът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. Следната фигура показва паралелограм ABCD. Тя има страна AB, успоредна на страна CD, и страна BC, успоредна на страна AD.

Както може би се досещате, паралелограмът е изпъкнал четириъгълник. Помислете за основните свойства на паралелограма.

Свойства на паралелограма

1. В паралелограма противоположните ъгли и противоположните страни са равни. Нека докажем това свойство - разгледайте паралелограма, показан на следващата фигура.

Диагоналът BD го разделя на две равен триъгълник: ABD и CBD. Те са равни по страна BD и два ъгъла, съседни на нея, тъй като ъглите, лежащи на секущата на BD, са успоредни прави BC и AD и AB и CD, съответно. Следователно AB = CD и
BC=AD. И от равенството на ъглите 1, 2, 3 и 4 следва, че ъгъл A = ъгъл1 + ъгъл3 = ъгъл2 + ъгъл4 = ъгъл C.

2. Диагоналите на успоредника се разполовяват от пресечната точка. Нека точката O е пресечната точка на диагоналите AC и BD на паралелограма ABCD.

Тогава триъгълникът AOB и триъгълникът COD са равни един на друг, по протежение на страната и два ъгъла, съседни на нея. (AB=CD, тъй като те са противоположни страни на успоредника. И ъгъл1 = ъгъл2 и ъгъл3 = ъгъл4 като кръстосани ъгли в пресечната точка на правите AB и CD от секущите AC и BD, съответно.) От това следва, че AO = OC и OB = OD, което и трябваше да бъде доказано.

Всички основни свойства са илюстрирани на следващите три фигури.

Важни бележки!
1. Ако вместо формули видите абракадабра, изчистете кеша си. Как да го направите във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете най-много внимание на нашия навигатор полезен ресурсза

1. Паралелограм

Сложна дума "паралелограм"? А зад него се крие много проста фигура.

Е, тоест взехме две успоредни линии:

Пресечени от още двама:

А вътре - успоредник!

Какви са свойствата на паралелограма?

Свойства на паралелограма.

Тоест какво може да се използва, ако в задачата е даден паралелограм?

На този въпрос се отговаря следната теорема:

Нека нарисуваме всичко подробно.

Какво прави първа точка от теоремата? И фактът, че ако ИМАТЕ паралелограм, тогава непременно

Вторият параграф означава, че ако има успоредник, тогава, отново, непременно:

Е, и накрая, третата точка означава, че ако ИМАТЕ паралелограм, тогава бъдете сигурни:

Вижте какво богатство на избор? Какво да използвате в задачата? Опитайте се да се съсредоточите върху въпроса на задачата или просто опитайте всичко на свой ред - някакъв „ключ“ ще свърши работа.

И сега нека си зададем друг въпрос: как да разпознаем успоредник "в лицето"? Какво трябва да се случи с четириъгълник, за да имаме право да му дадем „заглавие“ на успоредник?

На този въпрос отговарят няколко знака на паралелограма.

Характеристики на паралелограма.

Внимание! Започнете.

Паралелограм.

Обърнете внимание: ако сте намерили поне един знак във вашия проблем, значи имате точно успоредник и можете да използвате всички свойства на успоредник.

2. Правоъгълник

Не мисля, че изобщо ще е новина за вас.

Първият въпрос е: успоредник ли е правоъгълникът?

Разбира се, че е! В крайна сметка той има - помните, нашият знак 3?

И от тук, разбира се, следва, че за правоъгълник, както за всеки паралелограм, и, и диагоналите са разделени на пресечната точка наполовина.

Но има правоъгълник и едно отличително свойство.

Свойство правоъгълник

Защо това свойство е отличително? Защото никой друг паралелограм няма равни диагонали. Нека го формулираме по-ясно.

Обърнете внимание: за да се превърне в правоъгълник, четириъгълникът първо трябва да се превърне в успоредник и след това да представи равенството на диагоналите.

3. Диамант

И отново въпросът е: ромбът е паралелограм или не?

С пълен десен - успоредник, защото има и (запомнете нашия знак 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, тогава той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че противоположните ъгли на ромб са равни, противоположните страни са успоредни, а диагоналите са разделени на две от пресечната точка.

Свойства на ромб

Погледни снимката:

Както в случая на правоъгълник, тези свойства са отличителни, тоест за всяко от тези свойства можем да заключим, че имаме не просто успоредник, а ромб.

Признаци на ромб

И отново обърнете внимание: трябва да има не просто четириъгълник с перпендикулярни диагонали, а успоредник. Уверете се:

Не, разбира се, че не, въпреки че неговите диагонали и са перпендикулярни, а диагоналът е ъглополовящата на ъгли u. Но ... диагоналите не се делят, пресечната точка наполовина, следователно - НЕ успоредник и следователно НЕ ромб.

Тоест квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще излезе от това.

Ясно ли е защо? - ромб - ъглополовящата на ъгъл A, който е равен на. Така че се разделя (и също) на два ъгъла по протежение.

Е, това е съвсем ясно: диагоналите на правоъгълника са равни; диагоналите на ромб са перпендикулярни, а като цяло - диагоналите на успоредник са разделени на пресечната точка наполовина.

СРЕДНО НИВО

Свойства на четириъгълници. Паралелограм

Свойства на паралелограма

Внимание! Думите " свойства на паралелограма» означава, че ако имате задача имапаралелограм, тогава могат да се използват всички изброени по-долу.

Теорема за свойствата на паралелограма.

Във всеки паралелограм:

Нека видим защо това е вярно, с други думи ЩЕ ДОКАЗАМЕтеорема.

Така че защо 1) е вярно?

Тъй като е паралелограм, тогава:

• като да лежиш на кръст
• като лежащ напречно.

Следователно (на база II: и - общо.)

Е, веднъж, значи - това е! - доказан.

Но между другото! Доказахме и 2)!

Защо? Но в края на краищата (вижте снимката), тоест, а именно, защото.

Остават само 3).

За да направите това, все още трябва да нарисувате втори диагонал.

И сега виждаме това - според II знак (ъгълът и страната "между").

Свойства доказани! Да преминем към знаците.

Характеристики на паралелограма

Припомнете си, че знакът на успоредника отговаря на въпроса "как да разберете?", че фигурата е успоредник.

В иконите е така:

Защо? Би било хубаво да разберем защо - това е достатъчно. Но вижте:

Е, разбрахме защо знак 1 е верен.

Е, това е още по-лесно! Да начертаем отново диагонал.

Което означава:

Исъщо е лесно. Но… различно!

Означава,. Еха! Но също така - вътрешно едностранно при секанс!

Следователно фактът, който означава, че.

И ако погледнете от другата страна, тогава те са вътрешни едностранни при секант! И следователно.

Вижте колко е страхотно?!

И отново просто:

Абсолютно същото и.

Обърни внимание:ако сте намерили понеедин знак за паралелограм във вашия проблем, тогава имате точнопаралелограм и можете да използвате всекисвойства на паралелограма.

За пълна яснота вижте диаграмата:

Свойства на четириъгълници. правоъгълник.

Свойства на правоъгълник:

Точка 1) е съвсем очевидна - в края на краищата знак 3 () е просто изпълнен

И точка 2) - много важно. Така че нека го докажем

И така, на два крака (и - общо).

Е, тъй като триъгълниците са равни, тогава и хипотенузите им са равни.

Доказа това!

И представете си равенството на диагоналите - отличителна чертаточно правоъгълник сред всички паралелограми. Тоест, следното твърдение е вярно

Да видим защо?

И така, (има предвид ъглите на паралелограма). Но още веднъж не забравяйте, че - успоредник, и следователно.

Означава,. И, разбира се, от това следва, че всеки от тях В крайна сметка в сумата, която трябва да дадат!

Тук доказахме, че ако паралелограмизведнъж (!) ще бъдат равни диагонали, тогава това точно правоъгълник.

Но! Обърни внимание!Това е около паралелограми! Не всекичетириъгълник с равни диагонали е правоъгълник и самопаралелограм!

Свойства на четириъгълници. ромб

И отново въпросът е: ромбът е паралелограм или не?

С пълен десен - успоредник, защото има и (Запомнете нашия знак 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, той трябва да има всички свойства на паралелограма. Това означава, че противоположните ъгли на ромб са равни, противоположните страни са успоредни, а диагоналите са разделени на две от пресечната точка.

Но има и специални свойства. Ние формулираме.

Свойства на ромб

Защо? Е, тъй като ромбът е успоредник, тогава диагоналите му са разделени наполовина.

Защо? Да, затова!

С други думи, диагоналите и се оказаха бисектриси на ъглите на ромба.

Както в случая на правоъгълник, тези свойства са отличителен, всеки от тях също е знак на ромб.

Ромбови знаци.

Защо така? И виж

Следователно и и двететези триъгълници са равнобедрени.

За да бъде ромб, четириъгълникът трябва първо да "стане" в успоредник и след това вече да демонстрира характеристика 1 или характеристика 2.

Свойства на четириъгълници. Квадрат

Тоест квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще излезе от това.

Ясно ли е защо? Квадрат - ромб - ъглополовящата на ъгъла, който е равен на. Така че се разделя (и също) на два ъгъла по протежение.

Е, това е съвсем ясно: диагоналите на правоъгълника са равни; диагоналите на ромб са перпендикулярни, а като цяло - диагоналите на успоредник са разделени на пресечната точка наполовина.

Защо? Е, просто приложете Питагоровата теорема към.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Свойства на паралелограма:

1. Противоположните страни са равни: , .
2. Противоположните ъгли са: , .
3. Ъглите от едната страна се равняват на: , .
4. Диагоналите са разделени на пресечната точка наполовина: .

Свойства на правоъгълник:

1. Диагоналите на правоъгълник са: .
2. Правоъгълникът е успоредник (всички свойства на паралелограма са изпълнени за правоъгълник).

Свойства на ромб:

1. Диагоналите на ромба са перпендикулярни: .
2. Диагоналите на ромб са ъглите на ъглите му: ; ; ; .
3. Ромбът е успоредник (всички свойства на паралелограма са изпълнени за ромб).

Квадратни свойства:

Квадратът е ромб и правоъгълник едновременно, следователно за квадрат са изпълнени всички свойства на правоъгълник и ромб. Както и:

Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешна доставкаЕдинен държавен изпит, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция, където искате задължително с решения подробен анализ и решавай, решавай, решавай!

Можете да използвате нашите задачи (не е задължително) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете за удължаването на живота на учебника YouClever, който четете в момента.

Как? Има две възможности:

1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.

Намерете проблеми и ги решавайте!