Integral va uning amaliy qo'llanilishi. Integralning kurs ishini qo'llash

Tadqiqot mavzusi

Oila xarajatlarini rejalashtirishda integral hisobni qo'llash

Muammoning dolzarbligi

Borgan sari ijtimoiy va iqtisodiy sohalar daromadlarni taqsimlashda tengsizlik darajasini hisoblashda matematikadan, ya'ni integral hisobdan foydalaniladi. o'qish amaliy foydalanish integralni olamiz:

Integral va integral yordamida maydonni hisoblash moddiy xarajatlarni taqsimlashda qanday yordam beradi?

Qanday qilib integral ta'til uchun pulni tejashga yordam beradi.

Maqsad

integral hisobdan foydalanib, oila xarajatlarini rejalashtirish

Vazifalar

Tadqiq qiling geometrik ma'no integral.
Hayotning ijtimoiy va iqtisodiy sohalarida integratsiya usullarini ko'rib chiqing.
Integral yordamida kvartirani ta'mirlashda oilaning moddiy xarajatlari prognozini tuzing.
Integral hisobni hisobga olgan holda, bir yil davomida oilaning energiya iste'moli hajmini hisoblang.
Dam olish uchun Sberbankdagi jamg'arma depoziti miqdorini hisoblang.

Gipoteza

integral hisob oila daromadlari va xarajatlarini rejalashtirishda iqtisodiy hisob-kitoblarda yordam beradi.

Tadqiqot bosqichlari

Biz hayotning ijtimoiy va iqtisodiy sohalarida integralning geometrik ma'nosi va integratsiya usullarini o'rgandik.
Biz integral yordamida kvartirani ta'mirlash uchun zarur bo'lgan moddiy xarajatlarni hisoblab chiqdik.
Biz kvartirada elektr energiyasini iste'mol qilish hajmini va bir yil davomida oila uchun elektr energiyasining narxini hisoblab chiqdik.
Biz integraldan foydalangan holda Sberbankdagi depozitlar orqali oilaviy daromadni yig'ish variantlaridan birini ko'rib chiqdik.

O'rganish ob'ekti

hayotning ijtimoiy va iqtisodiy sohalarida integral hisob.

Usullari

“Integral hisobni amaliy qo‘llash” mavzusidagi adabiyotlar tahlili.
Integral yordamida raqamlarning maydonlari va hajmlarini hisoblash masalalarini yechishda integratsiya usullarini o'rganish.
Integral hisob yordamida oila xarajatlari va daromadlarini tahlil qilish.

Ish jarayoni

“Integral hisoblashning amaliy qo‘llanilishi” mavzusidagi adabiyotlar sharhi.
Integral yordamida raqamlarning maydonlari va hajmlarini hisoblash masalalari tizimini yechish.
Integral hisob-kitob yordamida oila xarajatlari va daromadlarini hisoblash: xonani ta'mirlash, elektr energiyasi hajmi, dam olish uchun Sberbankdagi depozitlar.

Bizning natijalar

Integral va integral yordamida hajmni hisoblash elektr energiyasi iste'moli hajmini bashorat qilishda qanday yordam beradi?

xulosalar

Kvartirani ta'mirlash uchun zarur mablag'larni iqtisodiy hisoblash integral hisob-kitob yordamida tezroq va aniqroq amalga oshirilishi mumkin.

Integral hisob-kitob va Microsoft Office Excel yordamida oilaning elektr energiyasi iste'molini hisoblash osonroq va tezroq, ya'ni bir yil davomida oilaning elektr energiyasini taxmin qilish.

Omonat kassasidagi depozitlardan olingan foydani integral hisob-kitob yordamida hisoblash mumkin, bu oilaviy ta'tilni rejalashtirishni anglatadi.

Resurslar ro'yxati

Bosma nashrlar:

Darslik. Algebra va tahlil boshlanishi 10-11 sinf. A.G. Mordkovich. Mnemosin. M: 2007 yil
Darslik. Algebra va tahlil boshlanishi 10-11 sinf. A. Kolmogorov Ma'rifatparvarlik. M: 2007 yil
Sotsiologlar va iqtisodchilar uchun matematika. Axtyamov A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 b.
Integral hisobi.Ma’lumotnoma Oliy matematika M. Ya. Vygodskiy, "Ma'rifat", 2000 yil

Ivanov Sergey, talaba gr.14-EOP-33D

Ishdan “Hosila”, “Integral” mavzularida umumlashtiruvchi darsda foydalanish mumkin.

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

Taqdimotlarni oldindan ko'rishdan foydalanish uchun o'zingiz uchun hisob yarating ( hisob) Google va tizimga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

GBPOU KNT ularni. B. I. Kornilova Tadqiqot“Fizika, matematika va elektrotexnika fanlarida hosilalar va integrallardan foydalanish” mavzusida. Talaba gr. 2014 yil-33d Ivanov Sergey.

1. Hosilning paydo bo‘lish tarixi. 17-asrning oxirida buyuk ingliz olimi Isaak Nyuton Yo'l va tezlik formula bilan o'zaro bog'liqligini isbotladi: V (t) \u003d S '(t) va bunday bog'liqlik eng xilma-xil miqdorlarning miqdoriy xususiyatlari o'rtasida mavjud. o'rganilayotgan jarayonlar: fizika, (a \u003d V '= x '' , F = ma = m * x '' , impuls P = mV = mx ' , kinetik E = mV 2 /2= mx ' 2 /2), kimyo, biologiya va muhandislik. Nyutonning bu kashfiyoti tabiatshunoslik tarixida burilish nuqtasi bo'ldi.

1. Hosilning paydo bo‘lish tarixi. Asosiy qonunlarni kashf qilish sharafi matematik tahlil Nyuton bilan birga nemis matematigi Gotfrid Vilgelm Leybnitsga tegishli. Leybnits bu qonunlarga ixtiyoriy egri chiziqqa tangens chizish masalasini yechish orqali keldi, ya'ni. hosilaning geometrik ma'nosini shakllantirdi, hosilaning aloqa nuqtasida qiymati qiyalik tangens yoki tg O X o'qining musbat yo'nalishi bilan tangensning moyillik burchagi. Hosila va zamonaviy belgilar y ', f ' atamasi 1797 yilda J. Lagrange tomonidan kiritilgan.

2. Integralning paydo bo'lish tarixi. Integral va integral hisob tushunchasi har qanday figuralarning maydonini (kvadratini) va ixtiyoriy jismlarning hajmlarini (kubaturasini) hisoblash zaruratidan kelib chiqqan. Integral hisobning tarixdan oldingi tarixi antik davrga borib taqaladi. Integrallarni hisoblashning birinchi ma'lum bo'lgan usuli egri chiziqli figuralarning maydoni yoki hajmini o'rganish usuli - Evdoksning charchash usuli (Evdoks Knidlik (miloddan avvalgi 408 yil - miloddan avvalgi 355 y.)) - qadimgi yunon matematigi, mexanik va astronom), miloddan avvalgi 370-yillarda taklif qilingan. e. Ushbu usulning mohiyati quyidagicha: maydoni yoki hajmini topishga harakat qilingan raqam cheksiz ko'p qismlarga bo'lingan, ular uchun maydon yoki hajm allaqachon ma'lum.

"Chalchiqlanish usuli" Aytaylik, limon miqdorini hisoblashimiz kerak tartibsiz shakl, va shuning uchun har qanday amal qiling ma'lum formula hajmi mumkin emas. Tarozidan foydalanib, hajmni topish ham qiyin, chunki limonning zichligi turli qismlar u boshqacha. Keling, quyidagi tarzda davom etaylik. Limonni ingichka tilimga kesib oling. Har bir bo'lakni taxminan silindr deb hisoblash mumkin, uni o'lchash mumkin bo'lgan taglikning radiusi. Bunday silindrning hajmini osongina hisoblash mumkin tugagan formula. Kichik tsilindrlarning hajmlarini qo'shib, biz butun limon hajmining taxminiy qiymatini olamiz. Taxminan aniqroq bo'ladi, biz limonni kesib olishimiz mumkin bo'lgan ingichka qismlar.

2. Integralning paydo bo'lish tarixi. Evdoksdan keyin hajmlar va maydonlarni hisoblash uchun "charchash" usuli va uning variantlari qadimgi olim Arximed tomonidan qo'llanilgan. O'zidan oldingilarning g'oyalarini muvaffaqiyatli ishlab chiqib, u aylana, aylananing maydoni, to'pning hajmi va yuzasini aniqladi. U shar, ellipsoid, giperboloid va aylanma paraboloidning hajmlarini aniqlash silindr hajmini aniqlashga qisqarishini ko'rsatdi.

Differensial tenglamalar nazariyasining asosini Leybnits va Nyuton yaratgan differensial hisob tashkil etdi. "Differensial tenglama" atamasining o'zi 1676 yilda Leybnits tomonidan taklif qilingan. 3. Differensial tenglamalarning paydo bo'lish tarixi. Dastlab, differensial tenglamalar mexanikaning muammolaridan kelib chiqqan bo'lib, ularda jismlarning koordinatalarini, ularning tezligi va tezlanishlarini aniqlash kerak edi, ular turli xil ta'sirlar ostida vaqt funktsiyalari sifatida ko'rib chiqildi. O'sha paytda ko'rib chiqilgan ba'zi geometrik masalalar differensial tenglamalarga ham olib keldi.

3. Differensial tenglamalarning paydo bo'lish tarixi. Differensial tenglamalar bo'yicha 17-asrning ko'plab asarlaridan Eyler (1707-1783) va Lagrange (1736-1813) asarlari ajralib turadi. Bu asarlarda dastlab kichik tebranishlar nazariyasi, binobarin, nazariya ishlab chiqildi. chiziqli tizimlar differensial tenglamalar; yo'lda chiziqli algebraning asosiy tushunchalari paydo bo'ldi ( xos qiymatlar va n o'lchovli holatda vektorlar). Nyutondan keyin Laplas va Lagranj, keyinroq Gauss (1777-1855) ham tebranish nazariyasi usullarini ishlab chiqdi.

4. Hosil va integralning matematikada qo llanilishi: Matematikada hosila ko pgina masalalar, tenglamalar, tengsizliklarni yechishda hamda funksiyani o rganish jarayonida keng qo llaniladi. Misol: Ekstremum uchun funktsiyani o'rganish algoritmi: 1)O.O.F. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 va tenglamani yeching. 3) O.O.F. uni intervallarga ajrating. 4) Har bir intervalda hosila belgisini aniqlaymiz. Agar f ′(x)>0 bo'lsa, u holda funktsiya ortib bormoqda. Agar f'(x)

4. Hosil va integralning matematikada qo‘llanilishi: Integral (aniq integral) matematikada (geometriyada) egri chiziqli trapetsiya maydonini topish uchun ishlatiladi. Misol: Aniq integral yordamida tekis figuraning maydonini topish algoritmi: 1) Ko'rsatilgan funktsiyalarning grafigini quramiz. 2) Ushbu chiziqlar bilan chegaralangan raqamni ko'rsating. 3) Integrallash chegaralarini toping, aniq integralni yozing va uni hisoblang.

5. Hosil va integralning fizikada qo‘llanilishi. Fizikada hosila asosan masalalarni yechishda ishlatiladi, masalan: har qanday jismlarning tezligi yoki tezlanishini topish. Misol: 1) Nuqtaning to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanish qonuni s(t)= 10t^2 formula bilan berilgan, bu yerda t – vaqt (sekundlarda), s(t) – nuqtaning og‘ishi. boshlang'ich pozitsiyasidan t vaqti (metrda). t vaqtdagi tezlik va tezlanishni toping, agar: t=1,5 s. 2) Moddiy nuqta x(t)= 2+20t+5t2 qonuniga ko‘ra to‘g‘ri chiziqli harakat qiladi. t=2s vaqtdagi tezlik va tezlanishni toping (x - nuqta koordinatasi metrda, t - soniyada vaqt).

Jismoniy miqdor O'rtacha qiymat Bir lahzali qiymat Tezlik tezlashuvi Burchak tezligi Oqim kuchi Quvvat

5. Hosil va integralning fizikada qo‘llanilishi. Integral tezlik yoki masofani topish kabi masalalarda ham qo'llaniladi. Tana v(t) = t + 2 (m/s) tezlik bilan harakat qiladi. Harakat boshlangandan keyin 2 soniya ichida tanani bosib o'tadigan yo'lni toping. Misol:

6. Hosil va integralning elektrotexnikada qo‘llanilishi. Losin elektrotexnika sohasida ham qo'llanilishini topdi. Zanjirda elektr toki elektr zaryadi q=q (t) qonuniga ko‘ra vaqt o‘tishi bilan o‘zgaradi. Tok I q zaryadining vaqtga nisbatan hosilasidir. I=q ′(t) Misol: 1) O‘tkazgichdan o‘tuvchi zaryad q=sin(2t-10) qonuniga muvofiq o‘zgaradi) t=5 sek vaqtdagi tok kuchini toping. Elektrotexnikadagi integral teskari muammolarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin, ya'ni. tok kuchini bilgan holda elektr zaryadini topish va h.k. 2) Supero'tkazuvchilar orqali oqib o'tadigan elektr zaryadi t \u003d 0 momentdan boshlab, q (t) \u003d 3t2 + t + 2 formulasi bilan aniqlanadi. T \u003d 3 s vaqtdagi oqim kuchini toping. Elektrotexnikadagi integral teskari muammolarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin, ya'ni. tok kuchini bilgan holda elektr zaryadini topish va h.k.

Integral tushunchasi hayotda keng qo'llaniladi. Integrallar fan va texnikaning turli sohalarida qo'llaniladi. Integrallar yordamida hisoblangan asosiy vazifalar quyidagilar uchun vazifalardir:

1. Tananing hajmini topish

2. Tananing massa markazini topish.

Keling, ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik. Bu yerda va pastda, a dan b gacha bo‘lgan integrasiya chegaralari bilan ba’zi f(x) funksiyaning aniq integralini belgilash uchun quyidagi yozuvdan foydalanamiz. ∫ a b f(x).

Jismning hajmini topish

Quyidagi rasmni ko'rib chiqing. Faraz qilaylik, hajmi V ga teng bo‘lgan qandaydir jism bor. Shunday to‘g‘ri chiziq ham borki, agar bu to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar ma’lum bir tekislikni olsak, bu jismning bu tekislik bo‘yicha kesma maydoni S ma’lum bo‘ladi.

Har bir bunday tekislik x o'qiga perpendikulyar bo'ladi va shuning uchun uni biron bir x nuqtada kesib o'tadi. Ya'ni, segmentning har bir x nuqtasiga S (x) raqami beriladi - tananing ko'ndalang kesimi maydoni, bu nuqtadan o'tadigan tekislik.

Ma’lum bo‘lishicha, segmentda qandaydir S(x) funksiya beriladi. Agar ushbu funktsiya ushbu segmentda uzluksiz bo'lsa, unda quyidagi formula to'g'ri bo'ladi:

V = ∫ a b S(x)dx.

Ushbu bayonotning isboti maktab o'quv dasturi doirasidan tashqarida.

Jismning massa markazini hisoblash

Massa markazi ko'pincha fizikada qo'llaniladi. Misol uchun, har qanday tezlikda harakatlanadigan ba'zi jism bor. Ammo katta jismni ko'rib chiqish noqulay va shuning uchun fizikada bu nuqta butun tana bilan bir xil massaga ega degan taxminga ko'ra, bu jism nuqta harakati sifatida qaraladi.

Va tananing massa markazini hisoblash vazifasi bu masalada asosiy hisoblanadi. Chunki tana katta va qaysi nuqtani massa markazi sifatida olish kerak? Ehtimol, tananing o'rtasida joylashganmi? Yoki, ehtimol, etakchi chetiga eng yaqin nuqta? Bu erda integratsiya boshlanadi.

Massalar markazini topish uchun quyidagi ikkita qoidadan foydalaniladi:

1. Koordinatalari x1, x2 nuqtalarda to‘g‘ri chiziqda joylashgan mos ravishda m1, m2, m3, … mn massali A1, A2, A3, … An moddiy nuqtalar sistemasining massalar markazining x’ koordinatasi. x3, … xn quyidagi formula bilan topiladi:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Massalar markazining koordinatalarini hisoblashda ko'rib chiqilayotgan figuraning istalgan qismi bilan almashtirilishi mumkin. moddiy nuqta, uni shaklning ushbu alohida qismining massa markaziga qo'yganda va shaklning ushbu qismining massasiga teng massani oling.

Masalan, p(x) zichlikdagi massa novda - Ox o'qining segmenti bo'ylab taqsimlangan bo'lsa, bu erda p (x) uzluksiz funktsiya bo'lsa, u holda massa markazining koordinatasi x' ga teng bo'ladi.

Tasavvur qiling-a, bizda biror narsaga qaramlik funktsiyasi mavjud.

Masalan, grafikda kunning vaqtiga qarab ishim tezligini taxminan quyidagicha ifodalashingiz mumkin:

Men tezlikni daqiqada kod satrlarida o'lchayman haqiqiy hayot Men kompyuter dasturchisiman.

Ish miqdori - vaqtga ko'paytirilgan ish tezligi. Ya'ni daqiqasiga 3 satr yozsam, soatiga 180 ball olaman.Agar bizda shunday jadval bo'lsa, bir kunda qancha ish qilganimni bilib olishingiz mumkin: bu jadvaldagi maydon. Lekin buni qanday hisoblaysiz?

Keling, grafikni har soatda teng kenglikdagi ustunlarga ajratamiz. Va biz bu ustunlarning balandligini shu soatning o'rtasida ish tezligiga tenglashtiramiz.

Har bir ustunning maydonini alohida hisoblash oson, siz uning kengligini balandligi bilan ko'paytirishingiz kerak. Ma'lum bo'lishicha, har bir ustunning maydoni har bir soat uchun qancha ishlaganimga to'g'ri keladi. Va agar siz barcha ustunlarni jamlasangiz, siz mening bir kunlik ishimni taxminiy olasiz.

Muammo shundaki, natija taxminiy bo'ladi, lekin bizga kerak aniq raqam. Yarim soat davomida diagrammani ustunlarga ajratamiz:

Rasm shuni ko'rsatadiki, bu biz qidirayotgan narsaga allaqachon yaqinroq.

Shunday qilib, siz grafikdagi segmentlarni cheksizgacha qisqartirishingiz mumkin va har safar biz grafik ostidagi maydonga yaqinlashamiz. Va ustunlar kengligi nolga moyil bo'lganda, ularning maydonlarining yig'indisi grafik ostidagi maydonga moyil bo'ladi. Bu integral deyiladi va quyidagicha ifodalanadi:

Bu formulada f(x) x ning qiymatiga bog'liq funksiyani bildiradi va a va b harflari biz integralni topmoqchi bo'lgan segmentdir.

Bu nima uchun kerak?

Olimlar barcha fizik hodisalarni matematik formulalar shaklida ifodalashga harakat qiladilar. Formulaga ega bo'lganimizdan so'ng, uni har qanday narsani hisoblash uchun ishlatishimiz mumkin. Integral esa funksiyalar bilan ishlashning asosiy vositalaridan biridir.

Misol uchun, agar bizda aylana formulasi mavjud bo'lsa, uning maydonini hisoblash uchun integraldan foydalanishimiz mumkin. Agar bizda sharning formulasi bo'lsa, unda uning hajmini hisoblashimiz mumkin. Integratsiya yordamida energiya, ish, bosim, massa, elektr zaryad va boshqa ko'plab miqdorlar topiladi.

Yo'q, nega menga kerak?

Ha, hech narsa - xuddi shunga o'xshash, qiziqishdan. Aslida, integrallar hatto ichiga kiritilgan maktab o'quv dasturi, lekin atrofdagilar nima ekanligini eslamaydilar.

"Arxivni yuklab olish" tugmasini bosish orqali siz kerakli faylni bepul yuklab olasiz.
Ushbu faylni yuklab olishdan oldin, yaxshi insholarni, nazorat, kurs ishlarini, tezislar, maqolalar va kompyuteringizda talab qilinmagan boshqa hujjatlar. Bu sizning ishingiz, u jamiyat taraqqiyotida ishtirok etishi va odamlarga foyda keltirishi kerak. Ushbu asarlarni toping va ularni bilimlar bazasiga yuboring.
Biz va barcha talabalar, aspirantlar, bilimlar bazasidan o‘qish va mehnat faoliyatida foydalanayotgan yosh olimlar sizdan juda minnatdormiz.

Hujjat bilan arxivni yuklab olish uchun quyidagi maydonga besh xonali raqamni kiriting va "Arxivni yuklab olish" tugmasini bosing.

Shunga o'xshash hujjatlar

Integral tushunchasi tarixi bilan tanishish. Integral hisobning taqsimlanishi, Nyuton-Leybnits formulasining ochilishi. Miqdor belgisi; summa tushunchasining kengayishi. Barcha fizik hodisalarni matematik formula shaklida ifodalash zaruriyatining tavsifi.

taqdimot, 26/01/2015 qo'shilgan

Qadimgi matematiklar asarlarida integral hisoblash g'oyalari. Charchash usulining xususiyatlari. Kepler torus hajmi formulasini topish tarixi. Integral hisoblash tamoyilini nazariy asoslash (Kavalyeri printsipi). Aniq integral tushunchasi.

taqdimot, 07/05/2016 qo'shilgan

Integral hisoblar tarixi. Qo'sh integralning ta'rifi va xossalari. Uning geometrik talqini, dekart va qutb koordinatalarida hisoblanishi, takroriy qisqarishi. Iqtisodiyot va geometriyada hajmlar va maydonlarni hisoblash uchun qo'llanilishi.

muddatli ish, 10/16/2013 qo'shilgan

Koordinatalar ustidagi egri chiziqli integralning ta'rifi, uning asosiy xossalari va hisobi. Egri chiziqli integralning integrasiya yo`lidan mustaqillik sharti. Ikki tomonlama integral yordamida raqamlarning maydonlarini hisoblash. Green formulasidan foydalanish.

test, 23/02/2011 qo'shilgan

Aniq integralning mavjudligi shartlari. Integral hisobni qo'llash. Geometriyada integral hisob. Aniq integralning mexanik qo'llanilishi. Biologiyada integral hisob. Iqtisodiyotda integral hisoblash.

muddatli ish, 21/01/2008 qo'shilgan

Integral va differentsial hisoblar tarixi. Aniq integralning mexanika va fizikaning ayrim masalalarini yechishda qo‘llanilishi. Tekis egri chiziqlarning momentlari va massa markazlari, Gulden teoremasi. Differensial tenglamalar. MatLabda masalalar yechishga misollar.

referat, 09/07/2009 qo'shilgan

Stieltjes integrali tushunchasi. Umumiy shartlar Stieljes integralining mavjudligi, uning mavjudligi holatlari sinflari va uning belgisi ostidagi chegaraga o'tish. Stieltjes integralini Riman integraliga keltirish. Ehtimollar nazariyasi va kvant mexanikasida qo'llanilishi.

dissertatsiya, 2009-07-20 qo'shilgan