To'g'ri chiziqning yo'nalish vektori l hamma chaqiriladi nolga teng bo'lmagan vektor (m, n) bu chiziqqa parallel.

Nuqtaga ruxsat bering M 1 (x 1 , y 1) va yo'nalish vektori ( m, n), keyin nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi M 1 vektor yo'nalishi bo'yicha quyidagi ko'rinishga ega: . Bu tenglama chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi.

Misol. Yo‘nalish vektori (1, -1) bo‘lgan va A(1, 2) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.

Biz kerakli to'g'ri chiziq tenglamasini quyidagi shaklda qidiramiz: Ax+By+C= 0. Chiziqning kanonik tenglamasini yozamiz, uni o'zgartiramiz. Oling x + y - 3 = 0

Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi

Samolyotda ikkita nuqta berilgan bo'lsin M 1 (x 1 , y 1) va M 2 (x 2, y 2), u holda bu nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: . Agar maxrajlardan birortasi nolga teng bo'lsa, tegishli numerator nolga teng bo'lishi kerak.

Misol. A(1, 2) va B(3, 4) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.

Yuqoridagi formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

To'g'ri chiziqning nuqta va qiyalik bo'yicha tenglamasi

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi Ah + Vu + C= 0 ko'rinishga keltiring: va ni belgilaymiz, keyin hosil bo'lgan tenglama qiyaligi k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi deyiladi.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi

Agar umumiy tenglamada chiziq bo'lsa Ah + Vu + C= 0 koeffitsienti FROM¹ 0, keyin C ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz: yoki , qayerda

geometrik ma'no koeffitsientlar bu koeffitsient lekin chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatasidir Oh, lekin b- chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatasi OU.

Misol. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan X – da+ 1 = 0. Ushbu to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasini toping. A = -1, B = 1, C = 1, keyin lekin = -1, b= 1. To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi shaklni oladi.

Misol. Uchburchakning A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) uchlari berilgan. C uchidan chizilgan balandlik tenglamasini toping.

AB tomonining tenglamasini topamiz: ;

4x = 6y– 6; 2x – 3y + 3 = 0;

Istalgan balandlik tenglamasi quyidagi shaklga ega: Ax+By+C= 0 yoki y = kx + b.

k= . Keyin y= . Chunki balandlik C nuqtadan o'tadi, keyin uning koordinatalari ushbu tenglikni qanoatlantiradi: qayerda b= 17. Jami: .

Javob: 3 x + 2y – 34 = 0.

Amaliyot №7

Sinf nomi: Ikkinchi tartibli egri chiziqlar.

Darsning maqsadi: 2-tartibli egri chiziqlarni yasashni, ularni qurishni o'rganing.

Darsga tayyorgarlik: Takrorlang nazariy material"2-tartibli egri chiziqlar" mavzusida

Adabiyot:

1. Dadayan A.A. "Matematika", 2004 yil

Dars uchun vazifa:

Darsni o'tkazish tartibi:

1. Ishlash uchun ruxsat oling
2. Vazifalarni bajaring
3. Xavfsizlik savollariga javob bering.

1. Darsning nomi, maqsadi, vazifasi;
2. Bajarilgan vazifa;
3. Nazorat savollariga javoblar.

test savollari ofset uchun:

1. Ikkinchi tartibli egri chiziqlarni (doira, ellips, giperbola, parabola) aniqlang, ularning kanonik tenglamalarini yozing.
2. Ellips yoki giperbolaning ekssentrikligi nima deyiladi? Uni qanday topish mumkin?
3. Teng yonli giperbolaning tenglamasini yozing

ILOVA

aylana- tekislikning bir nuqtadan teng masofada joylashgan barcha nuqtalari to'plami, markaz deb ataladi.

Doira markazi nuqta bo'lsin HAQIDA(a; b) va istalgan nuqtagacha bo'lgan masofa M(x;y) aylana ga teng R. Keyin ( x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 – markazli aylananing kanonik tenglamasi HAQIDA(a; b) va radius R.

Misol. Aylana markazi va radiusi koordinatalarini toping, agar uning tenglamasi quyidagicha berilgan bo‘lsa: 2 x 2 + 2y 2 - 8x + 5 y – 4 = 0.

Aylana markazi va radiusining koordinatalarini topish berilgan tenglama kanonik shaklga keltirilishi kerak. Buning uchun to'liq kvadratlarni tanlang:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Bu yerdan biz markazning koordinatalarini topamiz HAQIDA(2; -5/4); radius R = 11/4.

Ellips tekislikdagi nuqtalar to'plami deyiladi, ularning har biridan ikkita berilgan nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi (fokuslar deb ataladi) fokuslar orasidagi masofadan kattaroq doimiy qiymatdir.

Fokuslar harflar bilan ko'rsatilgan F 1 , F dan, ellipsning istalgan nuqtasidan fokuslarigacha bo'lgan masofalar yig'indisi 2 ga teng lekin (2lekin > 2c), a- katta yarim o'q; b- kichik yarim o'q.

Ellipsning kanonik tenglamasi: , bu yerda a, b Va c tenglik bilan bir-biriga bog'langan: a 2 - b 2 \u003d c 2 (yoki b 2 - a 2 \u003d c 2).

Ellipsning shakli fokus uzunligining asosiy o'q uzunligiga nisbati bo'lgan xarakteristikasi bilan aniqlanadi va ekssentriklik deb ataladi. yoki .

Chunki ta'rifi bo'yicha 2 lekin> 2c, keyin ekssentriklik har doim to'g'ri kasr sifatida ifodalanadi, ya'ni. .

Misol. Ellipsning fokuslari F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), katta o‘qi 2 bo‘lsa, uning tenglamasini yozing.

Ellips tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega.

Fokuslar orasidagi masofa: 2 c= , Shunday qilib, a 2 – b 2 = c 2 =. 2-shart bo'yicha lekin= 2, shuning uchun lekin = 1, b= Ellipsning kerakli tenglamasi quyidagi shaklni oladi: .

Giperbola tekislikdagi nuqtalar to'plami deb ataladi, ularning har biridan fokuslar deb ataladigan ikkita berilgan nuqtagacha bo'lgan masofalardagi farq fokuslar orasidagi masofadan kichik bo'lgan doimiy qiymatdir.

Giperbolaning kanonik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega: yoki , bu erda a, b Va c tenglik bilan bog‘langan a 2 + b 2 = c 2. Giperbola fokuslarni tutashtiruvchi segmentning o'rtasiga va koordinata o'qlariga nisbatan simmetrikdir. Fokuslar harflar bilan ko'rsatilgan F 1 , F 2 , fokuslar orasidagi masofa - 2 dan, giperbolaning istalgan nuqtasidan o'choqlarigacha bo'lgan masofalar farqi 2 ga teng lekin (2lekin < 2c). Eksa 2 lekin giperbolaning haqiqiy o'qi 2 deb ataladi b giperbolaning xayoliy o'qidir. Giperbolada ikkita asimptota bor, ularning tenglamalari

Giperbolaning ekssentrikligi fokuslar orasidagi masofaning haqiqiy o'q uzunligiga nisbati: yoki. Chunki ta'rifi bo'yicha 2 lekin < 2c, keyin giperbolaning eksantrikligi har doim noto'g'ri kasr sifatida ifodalanadi, ya'ni. .

Haqiqiy o'qning uzunligi xayoliy o'qning uzunligiga teng bo'lsa, ya'ni. a = b, ε = bo'lsa, giperbola deyiladi teng qirrali.

Misol. Giperbolaning kanonik tenglamasini yozing, agar uning ekssentrisiteti 2 bo'lsa va o'choqlari ellips fokuslari bilan tenglamaga to'g'ri kelsa.

topamiz fokus uzunligi c 2 = 25 – 9 = 16.

Giperbola uchun: c 2 = a 2 + b 2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Keyin - giperbolaning kerakli tenglamasi.

parabola dan teng masofada joylashgan tekislikdagi nuqtalar to'plamidir berilgan nuqta, fokus deb ataladi va berilgan to'g'ri chiziq direktrisa deb ataladi.

Parabolaning fokusi harf bilan belgilanadi F, direktor - d, fokusdan direktrisagacha bo'lgan masofa R.

Fokusi x o'qida joylashgan parabolaning kanonik tenglamasi:

y 2 = 2px yoki y 2 = -2px

x = -p/2, x = p/2

Fokus y o'qiga to'g'ri keladigan parabolaning kanonik tenglamasi:

X 2 = 2py yoki X 2 = -2py

Mos ravishda Directrix tenglamalari da = -p/2, da = p/2

Misol. Parabola ustida da 2 = 8X direktrisadan masofasi 4 ga teng nuqtani toping.

Parabola tenglamasidan biz buni olamiz R = 4. r=x + p/2 = 4; Natijada:

x = 2; y 2 = 16; y= ±4. Qidiruv nuqtalari: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Amaliyot №8

Sinf nomi: Algebraik shaklda kompleks sonlar ustida amallar. Kompleks sonlarning geometrik talqini.

Darsning maqsadi: Kompleks sonlar bilan ishlashni o'rganing.

Darsga tayyorgarlik:“Kompleks sonlar” mavzusidagi nazariy materialni takrorlash.

Adabiyot:

1. Grigoryev V.P., Dubinskiy Yu.A. "Elementlar oliy matematika", 2008 yil

Dars uchun vazifa:

1. Hisoblash:

1) i 145 + i 147 + i 264 + i 345 + i 117 ;

2) (i 64 + i 17 + i 13 + i 82)( i 72 – i 34);

To'g'ri chiziq M 1 (x 1; y 1) va M 2 (x 2; y 2) nuqtalardan o'tadi. M 1 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi y- y 1 \u003d ko'rinishga ega. k (x - x 1), (10.6)

qayerda k - hali noma'lum koeffitsient.

To'g'ri chiziq M 2 (x 2 y 2) nuqtasidan o'tganligi sababli, bu nuqtaning koordinatalari (10.6) tenglamani qondirishi kerak: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Bu yerdan topilgan qiymatni almashtirishni topamiz k (10.6) tenglamaga kirib, M 1 va M 2 nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz:

Bu tenglamada x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 deb faraz qilinadi.

Agar x 1 \u003d x 2 bo'lsa, u holda M 1 (x 1, y I) va M 2 (x 2, y 2) nuqtalaridan o'tadigan to'g'ri chiziq y o'qiga parallel bo'ladi. Uning tenglamasi x = x 1 .

Agar y 2 \u003d y I bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglamasini y \u003d y 1 shaklida yozish mumkin, M 1 M 2 to'g'ri chiziq x o'qiga parallel.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi

Toʻgʻri chiziq Oʻq oʻqini M 1 (a; 0) nuqtada, Oy oʻqi esa M 2 (0; b) nuqtada kesishsin. Tenglama quyidagi shaklda bo'ladi:
bular.
. Bu tenglama deyiladi segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi, chunki a va b raqamlari to'g'ri chiziq koordinata o'qlarida qaysi segmentlarni kesib tashlashini ko'rsatadi.

Berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi

Berilgan nolga teng bo‘lmagan n = (A; B) vektorga perpendikulyar Mo (x O; y o) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi topilsin.

To'g'ri chiziqning ixtiyoriy M(x; y) nuqtasini oling va M 0 M (x - x 0; y - y o) vektorini ko'rib chiqing (1-rasmga qarang). n va M o M vektorlar perpendikulyar bo'lganligi uchun ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng: ya'ni,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) tenglama chaqiriladi berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi .

Chiziqga perpendikulyar n = (A; B) vektor normal deyiladi bu chiziqning normal vektori .

(10.8) tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

bu erda A va B normal vektorning koordinatalari, C \u003d -Ax o - Vu o - erkin a'zo. Tenglama (10.9) toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasidir(2-rasmga qarang).

1-rasm 2-rasm

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari

,

Qayerda
- chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalari va
- yo'nalish vektori.

Ikkinchi tartibli aylana egri chiziqlari

Doira - berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, u markaz deb ataladi.

Radiusli aylananing kanonik tenglamasi R nuqtaga markazlashtirilgan
:

Xususan, agar qoziqning markazi boshlang'ichga to'g'ri kelsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Ellips

Ellips - bu tekislikdagi nuqtalar to'plami, ularning har biridan berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi. Va fokuslar deb ataladigan , doimiy qiymatdir
, fokuslar orasidagi masofadan kattaroq
.

Fokuslari Ox o'qida joylashgan va kelib chiqishi fokuslar orasidagi o'rtada joylashgan ellipsning kanonik tenglamasi ko'rinishga ega.
G de a asosiy yarim o'qning uzunligi; b - kichik yarim o'qning uzunligi (2-rasm).

t.u dan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi A(ha; vah) va qiyalikka ega k, shaklida yoziladi

y - ya \u003d k (x - xa).(5)

Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi T. A (x 1; y 1) va boshqalar. B (x 2; y 2), shaklga ega

Agar ochkolar bo'lsa LEKIN Va IN to'g'ri chiziqni aniqlang Ox o'qiga parallel (y 1 \u003d y 2) yoki y o'qi (x 1 = x 2), u holda bunday to'g'ri chiziq tenglamasi mos ravishda quyidagi ko'rinishda yoziladi:

y = y 1 yoki x = x 1(7)

To'g'ri chiziqning normal tenglamasi

Berilgan Mo(Xo; V0) nuqtadan o'tuvchi va vektorga (A; B) perpendikulyar C to'g'ri chiziq berilsin. Berilgan chiziqqa perpendikulyar har qanday vektor uning deyiladi normal vektor. Chiziqning ixtiyoriy M nuqtasini tanlaymiz (x; y). Keyin , bu ular degan ma'noni anglatadi skalyar mahsulot. Bu tenglikni koordinatalarda yozish mumkin

A (x-x o) + B (y-y o) \u003d 0 (8)

(8) tenglama deyiladi to'g'ri chiziqning normal tenglamasi .

To'g'ri chiziqning parametrik va kanonik tenglamalari

Chiziqga ruxsat bering l boshlang'ich nuqtasi bilan berilgan M 0 (x 0; y 0) va yo'nalish vektori ( a 1; a 2),. Keling, t. M(x; y)- chiziqning istalgan nuqtasi l Keyin vektor vektorga kollinear bo'ladi. Shuning uchun, =. Ushbu tenglamani koordinatalarda yozib, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasini olamiz

(9) tenglamadan t parametrini istisno qilaylik. Bu mumkin, chunki vektor va shuning uchun uning koordinatalaridan kamida bittasi nolga teng emas.

Keling, va, keyin, va, shuning uchun,

(10) tenglama chaqiriladi chiziqning kanonik tenglamasi hidoyat vektor bilan

\u003d (a 1; a 2). Agar a 1 = 0 va, keyin (9) tenglamalar shaklni oladi

Ushbu tenglamalar o'qga parallel to'g'ri chiziqni aniqlaydi, OU va nuqtadan o'tish

M 0 (x 0; y 0).

x=x 0(11)

Agar , bo'lsa, (9) tenglamalar shaklni oladi

Bu tenglamalar O o'qiga parallel to'g'ri chiziqni aniqlaydi X va nuqtadan o'tish

M 0 (x 0; y 0). Bunday to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi shaklga ega

y=y 0(12)

Chiziqlar orasidagi burchak. Ikkining parallellik va perpendikulyarlik sharti

bevosita

Umumiy tenglamalar bilan berilgan ikkita to'g'ri chiziq berilsin:

Va

Keyin burchak φ ular orasidagi formula bilan aniqlanadi:

(13)

Parallel holat 2 to'g'ri chiziq: (14)

Perpendikulyar holat 2 to'g'ri chiziq: (15)

Parallel holat bu holda quyidagi shakl mavjud: (17)

Perpendikulyar holat to'g'ri: (18)

Agar kanonik tenglamalar bilan ikkita chiziq berilgan bo'lsa:

Va

u holda bu chiziqlar orasidagi ph burchagi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

(19)

Parallel holat to'g'ri: (20)

Perpendikulyar holat bevosita: (21)

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Masofa d nuqtadan M (x 1; y 1) to'g'riga Ax+By+C=0 formula bo'yicha hisoblanadi

(22)

Amalga oshirish misoli amaliy ish

1-misol 3-qatorni qurish X- 2da+6=0.

Yechish: Chiziqni qurish uchun uning istalgan ikkita nuqtasini, masalan, uning koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarini bilish kifoya. Chiziqning Ox o'qi bilan kesishishining A nuqtasini, agar chiziq tenglamasida y \u003d 0 ni olsak, olish mumkin.U holda bizda 3 bor. X+6=0, ya'ni. X=-2. Shunday qilib, LEKIN(–2;0).

Keyin IN chiziqning o'q bilan kesishishi OU abtsissaga ega X=0; demak, nuqtaning ordinatasi IN-2 tenglamadan topiladi y+ 6=0, ya'ni. y=3. Shunday qilib, IN(0;3).

2-misol Manfiy yarim tekislikda kesilgan to'g'ri chiziq tenglamasini yozing OU 2 birlikka teng bo'lgan segment va o'qi bilan shakllanadi Oh burchak ph =30˚.

Yechish: Chiziq o'qni kesib o'tadi OU nuqtada IN(0;–2) va qiyalikka ega k=tg ph= = . (2) tenglamada faraz qilish k= va b= –2, biz kerakli tenglamani olamiz

Yoki .

3-misol LEKIN(–1; 2) va

IN(0;–3). (da guvohlik: to'g'ri chiziqning qiyaligi (3) formula bo'yicha topiladi)

Yechim: .Bu erdan biz bor . Ushbu tenglamaga koordinatalarni qo'yish t.V, olamiz: , ya'ni. boshlang'ich ordinata b= -3. Keyin tenglamani olamiz.

4-misol To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi 2 X – 3da– 6 = 0 segmentlardagi tenglamaga olib keladi.

Yechish: bu tenglamani 2-shaklda yozamiz X– 3da=6 va uning ikkala qismini erkin hadga ajrating: . Bu to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.

5-misol Nuqta orqali LEKIN(1;2) koordinatalarning musbat yarim o‘qlarida teng segmentlarni kesib o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq chizing.

Yechish: Kerakli to‘g‘ri chiziq tenglamasi By shart ko‘rinishga ega bo‘lsin lekin=b. Shunday qilib, tenglama bo'ladi X+ da= lekin. A (1; 2) nuqta shu chiziqqa tegishli ekan, uning koordinatalari tenglamani qanoatlantiradi. X + da= lekin; bular. 1 + 2 = lekin, qayerda lekin= 3. Demak, kerakli tenglama quyidagicha yoziladi: x + y = 3 yoki x + y - 3 = 0.

6-misol To'g'ri uchun tenglamani segmentlarda yozing. Ushbu chiziq va koordinata o'qlaridan hosil bo'lgan uchburchakning maydonini hisoblang.

Yechish: Bu tenglamani quyidagicha o‘zgartiramiz: , yoki .

Natijada biz tenglamani olamiz , berilgan to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi. Berilgan chiziq va koordinata o'qlaridan hosil bo'lgan uchburchak to'g'ri uchburchak oyoqlari 4 va 3 ga teng, shuning uchun uning maydoni S= ga teng (kv. birlik)

7-misol(–2; 5) nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq va oʻqi boʻlgan generatrisa tenglamasini yozing. Oh burchak 45º.

Yechish: Kerakli to'g'ri chiziqning qiyaligi k= tg 45º = 1. Shuning uchun (5) tenglamadan foydalanib, biz olamiz y - 5 = x- (-2), yoki x - y + 7 = 0.

8-misol Nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing LEKIN(–3; 5) va IN( 7; –2).

Yechish: (6) tenglamadan foydalanamiz:

, yoki , qaerdan 7 X + 10da – 29 = 0.

9-misol Ballar yolg'on yoki yo'qligini tekshiring LEKIN(5; 2), IN(3; 1) va FROM(–1; –1) bitta toʻgʻri chiziqda.

Yechish: nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing LEKIN Va FROM:

, yoki

Ushbu tenglamaga nuqtaning koordinatalarini qo'yish IN (xB= 3 va y B = 1), biz (3-5) / (-6)= = (1-2) / (-3) ni olamiz, ya'ni. to'g'ri tenglikni olamiz. Shunday qilib, nuqta koordinatalari IN to'g'ri chiziq tenglamasini qanoatlantiring ( AC), ya'ni. .

10-misol: t.A (2; -3) dan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini yozing.

Perpendikulyar =(-1;5)

Yechish: (8) formuladan foydalanib, bu chiziq tenglamasini topamiz -1(x-2)+5(y+3)=0,

yoki nihoyat, x - 5 y - 17 \u003d 0.

11-misol: Ballar berilgan M 1(2;-1) va M 2(4; 5). Nuqtadan o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasini yozing M 1 vektorga perpendikulyar Yechish: Kerakli to'g'ri chiziqning normal vektori (2; 6) koordinatalariga ega, shuning uchun (8) formulaga muvofiq, biz tenglamani olamiz. 2(x-2)+6(y+1)=0 yoki x+3y +1=0.

12-misol: Va .

Yechim: ; .

13-misol:

Yechish: a) ;

14-misol: Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang

Yechim:

15-misol: Bilish uchun o'zaro tartibga solish bevosita:

Yechim:

16-misol: va chiziqlar orasidagi burchakni toping.

Yechim: .

17-misol: chiziqlarning nisbiy o'rnini toping:

Yechim: a ) - chiziqlar parallel;

b) chiziqlar perpendikulyar ekanligini bildiradi.

18-misol: M(6; 8) nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblang

Yechish: formula (22) bo'yicha biz olamiz: .

uchun vazifalar amaliy mashg'ulot:

Variant 1

1. 2x+3y-6=0 to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasini segmentlardagi tenglamaga keltiring va tegishli koordinata burchagidan shu to‘g‘ri chiziq bilan kesilgan uchburchakning maydonini hisoblang;

2. ∆ABC da cho'qqilar A nuqta (-3;4), B nuqta (-4;-3), C (8;1) nuqtaning koordinatalariga ega. Yon (AB), balandlik (VC) va mediana (CM) tenglamalarini tuzing;

3. M 0 (-2; 4) nuqtadan o'tuvchi va vektorga parallel (6; -1) to'g'ri chiziqning qiyaligini hisoblang;

4. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang

4. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang:

a) 2x - 3y + 7 = 0 va 3x - y + 5 = 0; b) va y = 2x – 4;

5. 2 ta to'g'ri chiziqning nisbiy o'rnini aniqlang va;

, agar t.A (18; 8) va t.B (-2; -6) segment uchlarining koordinatalari ma'lum bo'lsa.

Variant 3

1. 4x-5y+20=0 to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasini segmentlardagi tenglamaga keltiring va tegishli koordinata burchagidan shu to‘g‘ri chiziq bilan kesilgan uchburchakning maydonini hisoblang;

2. ∆ABC da cho‘qqilar A (3;-2), B nuqta (7;3), nuqtalar koordinatalariga ega.

C(0;8). Yon (AB), balandlik (VC) va mediana (CM) tenglamalarini tuzing;

3. M 0 (-1;-2) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning qiyaligini hisoblang va

vektorga parallel (3;-5);

4. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang

a) 3x + y - 7 = 0 va x - y + 4 = 0; b) va;

5. 2 ta chiziq va y = 5x + 3 ning nisbiy holatini aniqlang;

6. AB segmentining o‘rtasidan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani hisoblang , agar t.A (4; -3) va t.B (-6; 5) segmentining uchlari koordinatalari ma'lum bo'lsa.

Variant 4

1. 12x-5y+60=0 to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasini segmentlardagi tenglamaga keltiring va shu to‘g‘ri chiziqdan mos keladigan koordinata burchagi bilan kesilgan segment uzunligini hisoblang;

2. ∆ABC da cho'qqilar A nuqta (0;-2), B nuqta (3;6), S nuqta (1;-4) koordinatalariga ega. Yon (AB), balandlik (VC) va mediana (CM) tenglamalarini tuzing;

3. M 0 (4;4) nuqtadan o'tuvchi va vektorga parallel (-2;7) to'g'ri chiziqning qiyaligini hisoblang;

4. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang

a) x +4 y + 8 = 0 va 7x - 3y + 5 = 0; b) va;

5. 2 ta to'g'ri chiziqning nisbiy o'rnini aniqlang va;

6. AB segmentining o‘rtasidan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani hisoblang , agar t.A (-4; 8) va t.B (0; 4) segmentining uchlari koordinatalari ma'lum bo'lsa.

test savollari

1. Tekislikdagi toʻgʻri chiziq oʻtgan nuqta va yoʻnaltiruvchi vektori maʼlum boʻlganda uning tenglamalarini ayting;

2. Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning normal, umumiy tenglamasi nimadan iborat;

3. Ikki nuqtadan o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasini, segmentlardagi to`g`ri chiziq tenglamasini, qiyalikli to`g`ri chiziq tenglamasini ayting;

4. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash formulalarini sanab bering, berilgan tenglamalar burchak faktori bilan. Ikki chiziqning parallelligi va perpendikulyarligi shartlarini tuzing.

5. Nuqtadan chiziqgacha bo‘lgan masofa qanday topiladi?

Ikki ball berilsin M(X 1 ,Da 1) va N(X 2,y 2). Shu nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini topamiz.

Chunki bu chiziq nuqtadan o'tadi M, keyin (1.13) formulaga muvofiq uning tenglamasi shaklga ega

Da – Y 1 = K(X-x 1),

Qayerda K noma'lum qiyalikdir.

Ushbu koeffitsientning qiymati kerakli to'g'ri chiziq nuqtadan o'tishi sharti bilan aniqlanadi N, ya'ni uning koordinatalari (1.13) tenglamani qanoatlantiradi.

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Bu yerdan siz ushbu chiziqning qiyaligini topishingiz mumkin:

,

Yoki konvertatsiya qilinganidan keyin

(1.14)

Formula (1.14) belgilaydi Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi M(X 1, Y 1) va N(X 2, Y 2).

Ballar aniqlanganda M(A, 0), N(0, B), LEKIN ¹ 0, B¹ 0, koordinata o'qlarida yotadi, (1.14) tenglama oddiyroq shaklni oladi

Tenglama (1.15) chaqirdi To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi, Bu yerga LEKIN Va B o'qlarda to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarni bildiradi (1.6-rasm).

1.6-rasm

1.10-misol. Nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing M(1, 2) va B(3, –1).

. (1.14) ga ko'ra, kerakli to'g'ri chiziq tenglamasi ko'rinishga ega

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Barcha shartlarni chap tomonga o'tkazib, nihoyat kerakli tenglamani olamiz

3X + 2Y – 7 = 0.

1.11-misol. Nuqtadan o‘tuvchi chiziq tenglamasini yozing M(2, 1) va chiziqlarning kesishish nuqtasi X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Bu tenglamalarni birgalikda yechish orqali chiziqlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini topamiz

Agar bu tenglamalarni had bo'yicha qo'shsak, biz 2 ni olamiz X+ 1 = 0, qaerdan. Topilgan qiymatni istalgan tenglamaga almashtirib, ordinataning qiymatini topamiz Da:

Endi (2, 1) va nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini yozamiz:

yoki .

Demak yoki -5( Y – 1) = X – 2.

Nihoyat, biz kerakli to'g'ri chiziq tenglamasini shaklda olamiz X + 5Y – 7 = 0.

1.12-misol. Nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping M(2.1) va N(2,3).

(1.14) formuladan foydalanib, biz tenglamani olamiz

Bu mantiqiy emas, chunki ikkinchi maxraj nolga teng. Masala shartidan ko’rinadiki, ikkala nuqtaning abssissalari bir xil qiymatga ega. Demak, kerakli chiziq o'qga parallel OY va uning tenglamasi: x = 2.

Izoh . Agar (1.14) formula bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasini yozishda maxrajlardan biri bo'lib chiqsa. nol, keyin kerakli tenglamani mos keladigan raqamni nolga tenglashtirish orqali olish mumkin.

Keling, tekislikka to'g'ri chiziq o'rnatishning boshqa usullarini ko'rib chiqaylik.

1. Nolga teng bo'lmagan vektor berilgan chiziqqa perpendikulyar bo'lsin L, va nuqta M 0(X 0, Y 0) shu chiziqda yotadi (1.7-rasm).

1.7-rasm

Belgilamoq M(X, Y) chiziqdagi ixtiyoriy nuqta L. Vektorlar va Ortogonal. Ushbu vektorlar uchun ortogonallik shartlaridan foydalanib, biz yoki LEKIN(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Biz nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini oldik M 0 vektorga perpendikulyar. Bu vektor deyiladi Oddiy vektor to'g'ri chiziqqa L. Olingan tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin

Oh + Wu + FROM= 0, bu erda FROM = –(LEKINX 0 + tomonidan 0), (1.16),

Qayerda LEKIN Va IN normal vektorning koordinatalari.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini parametrik shaklda olamiz.

2. Tekislikdagi chiziqni quyidagicha aniqlash mumkin: nolga teng bo'lmagan vektor berilgan chiziqqa parallel bo'lsin. L va nuqta M 0(X 0, Y 0) bu chiziqda yotadi. Shunga qaramay, o'zboshimchalik bilan bir nuqtani oling M(X, y) to‘g‘ri chiziqda (1.8-rasm).

1.8-rasm

Vektorlar va kollinear.

Bu vektorlarning kollinearlik shartini yozamiz: , qayerda T ixtiyoriy raqam bo'lib, parametr deb ataladi. Bu tenglikni koordinatalarda yozamiz:

Bu tenglamalar deyiladi Parametrik tenglamalar Streyt. Ushbu tenglamalardan parametrni chiqarib tashlaylik T:

Bu tenglamalarni shaklda yozish mumkin

. (1.18)

Olingan tenglama deyiladi To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi. Vektorli qo'ng'iroq To'g'ri yo'nalish vektori .

Izoh . If chiziqning normal vektori ekanligini ko'rish oson L, keyin uning yo'nalishi vektori vektor bo'lishi mumkin, chunki, ya'ni.

1.13-misol. Nuqtadan o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasini yozing M 0(1, 1) 3-qatorga parallel X + 2Da– 8 = 0.

Yechim . Vektor berilgan va kerakli chiziqlarning normal vektoridir. Nuqtadan o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasidan foydalanamiz M 0 berilgan normal vektor 3( X –1) + 2(Da– 1) = 0 yoki 3 X + 2y- 5 \u003d 0. Biz kerakli to'g'ri chiziq tenglamasini oldik.

Berilgan nuqtadan ma'lum yo'nalishda o'tadigan chiziq tenglamasi. Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi. Ikki chiziq orasidagi burchak. Ikki chiziqning parallellik va perpendikulyarlik sharti. Ikki chiziqning kesishish nuqtasini aniqlash

1. Berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi A(x 1 , y 1) qiyalik bilan belgilanadigan ma'lum bir yo'nalishda k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ushbu tenglama nuqtadan o'tadigan chiziqlar qalamini belgilaydi A(x 1 , y 1), bu nurning markazi deb ataladi.

2. Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi: A(x 1 , y 1) va B(x 2 , y 2) quyidagicha yoziladi:

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning qiyaligi formula bilan aniqlanadi

3. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak A Va B birinchi to'g'ri chiziqni burish kerak bo'lgan burchak A ikkinchi chiziqqa to'g'ri kelguncha, bu chiziqlarning kesishish nuqtasi atrofida soat sohasi farqli o'laroq B. Ikki chiziq qiyalik tenglamalari bilan berilgan bo'lsa

y = k 1 x + B 1 ,