Chiziqli tenglamalar tizimi qo'shma deyiladi if mti. Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy va xususiy yechimini qanday topish mumkin

Biz chiziqli tenglamalar tizimlari bilan ishlashni davom ettiramiz. Hozirgacha biz o'ziga xos yechimga ega bo'lgan tizimlarni ko'rib chiqdik. Bunday tizimlar har qanday tarzda hal qilinishi mumkin: almashtirish usuli("maktab") Kramer formulalari, matritsa usuli bilan, Gauss usuli. Biroq, amalda yana ikkita holat keng tarqalgan:

1) tizim nomuvofiq (echimlari yo'q);

2) tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.

Ushbu tizimlar uchun barcha yechim usullarining eng universali qo'llaniladi - Gauss usuli. Aslida, "maktab" usuli ham javobga olib keladi, lekin ichida oliy matematika Noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilishning Gauss usulidan foydalanish odatiy holdir. Gauss usuli algoritmi bilan tanish bo'lmaganlar, iltimos, birinchi navbatda darsni o'rganing Gauss usuli

Elementar matritsa o'zgarishlarining o'zi aynan bir xil, farq yechimning oxirida bo'ladi. Birinchidan, tizimda hech qanday yechim bo'lmagan (mos kelmaydigan) bir nechta misollarni ko'rib chiqing.

1-misol

Ushbu tizimda nima darhol e'tiboringizni tortadi? Tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kamroq. Bunday teorema bor: “Agar tizimdagi tenglamalar soni kamroq miqdor o'zgaruvchilar, u holda sistema mos kelmaydigan yoki cheksiz ko'p echimlarga ega. Va faqat bilish uchun qoladi.

Yechimning boshlanishi juda oddiy - biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar o'zgarishlardan foydalanib, biz uni bosqichli shaklga keltiramiz:

(bitta). Yuqori chap qadamda biz (+1) yoki (-1) olishimiz kerak. Birinchi ustunda bunday raqamlar yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartiblash ishlamaydi. Birlik mustaqil ravishda tashkil etilishi kerak va bu bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Biz shunday qildik. Birinchi qatorga uchinchi qatorni (-1) ko'paytiramiz.

(2). Endi biz birinchi ustunda ikkita nol olamiz. Ikkinchi qatorga 3 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Uchinchi qatorga birinchi qatorni 5 ga ko'paytiring.

(3). Transformatsiya amalga oshirilgandan so'ng, har doim olingan satrlarni soddalashtirish mumkinmi yoki yo'qligini ko'rish tavsiya etiladi? mumkin. Biz ikkinchi qatorni 2 ga bo'lamiz, shu bilan birga ikkinchi bosqichda kerakli (-1) ni olamiz. Uchinchi qatorni (-3) ga bo'ling.

(4). Uchinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shing. Ehtimol, hamma elementar o'zgarishlar natijasida paydo bo'lgan yomon chiziqqa e'tibor qaratdi:

. Bunday bo'lishi mumkin emasligi aniq.

Haqiqatan ham, biz olingan matritsani qayta yozamiz

chiziqli tenglamalar tizimiga qaytish:

Agar elementar transformatsiyalar natijasida shakl qatori , qayerdaλ nolga teng bo'lmagan son bo'lsa, u holda tizim mos kelmaydi (echimlari yo'q).

Vazifaning oxirini qanday yozib olish mumkin? Siz iborani yozishingiz kerak:

"Elementar transformatsiyalar natijasida shakl qatori olinadi, bu erda λ ≠ 0 ". Javob: "Tizimda hech qanday yechim yo'q (mos kelmaydigan)."

E'tibor bering, bu holda Gauss algoritmining teskari harakati yo'q, echimlar yo'q va shunchaki topib bo'lmaydigan narsa yo'q.

2-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va dars oxirida javob.

Yana bir bor eslatib o'tamizki, sizning yechim yo'lingiz bizning yechim yo'limizdan farq qilishi mumkin, Gauss usuli aniq algoritmni o'rnatmaydi, siz har bir holatda protsedura va harakatlarning o'zini o'zingiz taxmin qilishingiz kerak.

Boshqasi texnik xususiyat Yechimlar: elementar o'zgarishlarni to'xtatish mumkin birdaniga, kabi bir qator bilanoq, qaerda λ ≠ 0 . O'ylab ko'ring shartli misol: deylik, birinchi o'zgartirishdan keyin biz matritsaga ega bo'lamiz

Ushbu matritsa hali bosqichli shaklga tushirilmagan, ammo keyingi elementar o'zgarishlarga ehtiyoj yo'q, chunki shakl chizig'i paydo bo'ldi, bu erda λ ≠ 0 . Tizim mos kelmaydi deb darhol javob berish kerak.

Chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari bo'lmaganda, bu o'quvchiga deyarli sovg'adir, chunki qisqa yechim, ba'zan tom ma'noda 2-3 bosqichda olinadi. Ammo bu dunyoda hamma narsa muvozanatli va tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud bo'lgan muammo uzoqroq.

3-misol:

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

4 ta tenglama va 4 ta noma'lum, shuning uchun tizim bitta yechimga ega bo'lishi mumkin yoki hech qanday yechimga ega bo'lmasligi yoki cheksiz ko'p echimga ega bo'lishi mumkin. Nima bo'lishidan qat'iy nazar, Gauss usuli har qanday holatda ham bizni javobga olib boradi. Bu uning ko'p qirraliligi.

Boshlanish yana standart. Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichli shaklga keltiramiz:

Hammasi shu, siz qo'rqdingiz.

(bitta). Iltimos, birinchi ustundagi barcha raqamlar 2 ga bo'linishini unutmang, shuning uchun yuqori chap qadamda biz ikkilik bilan ham qoniqamiz. Ikkinchi qatorga birinchi qatorni qo'shamiz, (-4) ga ko'paytiriladi. Uchinchi qatorga birinchi qatorni qo'shamiz, (-2) ga ko'paytiriladi. To'rtinchi qatorga birinchi qatorni qo'shamiz, (-1) ga ko'paytiriladi.

Diqqat! Ko'pchilik to'rtinchi qatordan vasvasaga tushishi mumkin ayirish birinchi qator. Buni qilish mumkin, lekin bu shart emas, tajriba shuni ko'rsatadiki, hisob-kitoblarda xatolik ehtimoli bir necha bor ortadi. Biz shunchaki qo'shamiz: to'rtinchi qatorga birinchi qatorni qo'shamiz, (-1) ga ko'paytiriladi - aynan shunday!

(2). Oxirgi uchta satr proportsionaldir, ulardan ikkitasi o'chirilishi mumkin. Bu erda yana ko'rsatish kerak e'tiborni kuchaytirdi, lekin chiziqlar haqiqatan ham proportsionalmi? Qayta sug'urta qilish uchun ikkinchi qatorni (-1) ga ko'paytirish va to'rtinchi qatorni 2 ga bo'lish ortiqcha bo'lmaydi, natijada uchta bir xil qator hosil bo'ladi. Va shundan keyingina ulardan ikkitasini olib tashlang. Elementar o'zgarishlar natijasida tizimning kengaytirilgan matritsasi bosqichli shaklga tushiriladi:

Daftarda topshiriqni bajarayotganda, ravshan bo'lishi uchun qalam bilan bir xil yozuvlarni qo'yish tavsiya etiladi.

Tegishli tenglamalar tizimini qayta yozamiz:

Tizimning "odatiy" yagona yechimi bu erda hidlamaydi. Qaerda yomon chiziq λ ≠ 0, ham yo'q. Demak, bu qolgan uchinchi holat - tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud.

Tizimning cheksiz yechimlari to'plami qisqacha deb ataladigan shaklda yozilgan umumiy tizim yechimi.

Gauss usulining teskari harakati yordamida sistemaning umumiy yechimini topamiz. Cheksiz yechimlar to'plamiga ega bo'lgan tenglamalar tizimlari uchun yangi tushunchalar paydo bo'ladi: "asosiy o'zgaruvchilar" va "erkin o'zgaruvchilar". Birinchidan, bizda qanday o'zgaruvchilar borligini aniqlaymiz Asosiy, va qanday o'zgaruvchilar - ozod. Chiziqli algebraning shartlarini batafsil tushuntirish shart emas, bundaylar borligini eslash kifoya asosiy o'zgaruvchilar va erkin o'zgaruvchilar.

Asosiy o'zgaruvchilar har doim matritsaning bosqichlarida "o'tiradilar". Ushbu misolda asosiy o'zgaruvchilar x 1 va x 3 .

Erkin o'zgaruvchilar hamma narsadir qolgan qadam olmagan o'zgaruvchilar. Bizning holatlarimizda ikkitasi bor: x 2 va x 4 - erkin o'zgaruvchilar.

Endi sizga kerak hammasiasosiy o'zgaruvchilar ifodalash faqat orqalierkin o'zgaruvchilar. Gauss algoritmining teskari harakati an'anaviy ravishda pastdan yuqoriga ishlaydi. Tizimning ikkinchi tenglamasidan biz asosiy o'zgaruvchini ifodalaymiz x 3:

Endi birinchi tenglamaga qarang: . Birinchidan, topilgan ifodani unga almashtiramiz:

Asosiy o'zgaruvchini ifodalash uchun qoladi x 1 erkin o'zgaruvchilar orqali x 2 va x 4:

Natijada sizga kerak bo'lgan narsa - hammasi asosiy o'zgaruvchilar ( x 1 va x 3) ifodalangan faqat orqali erkin o'zgaruvchilar ( x 2 va x 4):

Aslida, umumiy yechim tayyor:

Umumiy yechimni qanday yozish kerak? Avvalo, erkin o'zgaruvchilar umumiy yechimga "o'z-o'zidan" va qat'iy ravishda o'z joylarida yoziladi. Bunday holda, erkin o'zgaruvchilar x 2 va x 4-band ikkinchi va to‘rtinchi o‘rinlarda yozilsin:

Asosiy o'zgaruvchilar uchun olingan ifodalar va birinchi va uchinchi pozitsiyalarda yozilishi kerakligi aniq:

Tizimning umumiy yechimidan cheksiz ko'plarni topish mumkin shaxsiy qarorlar. Bu juda oddiy. erkin o'zgaruvchilar x 2 va x 4 shunday nomlanadi, chunki ular berilishi mumkin har qanday yakuniy qiymatlar. Eng mashhur qiymatlar nol qiymatlardir, chunki bu ma'lum bir yechimni olishning eng oson yo'li.

almashtirish ( x 2 = 0; x 4 = 0) umumiy yechimga, biz maxsus echimlardan birini olamiz:

, yoki qiymatlari bo'lgan erkin o'zgaruvchilarga mos keladigan ma'lum bir yechim ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Bular yana bir shirin juftlik, keling almashtiramiz ( x 2 = 1 va x 4 = 1) umumiy yechimga:

, ya'ni (-1; 1; 1; 1) boshqa maxsus yechimdir.

Tenglamalar sistemasi borligini ko'rish oson cheksiz ko'p echimlar chunki biz erkin o'zgaruvchilarni bera olamiz har qanday qiymatlar.

Har bir muayyan yechim qondirishi kerak har biriga tizim tenglamasi. Bu yechimning to'g'riligini "tezkor" tekshirish uchun asosdir. Masalan, ma'lum bir yechimni oling (-1; 1; 1; 1) va uni asl tizimdagi har bir tenglamaning chap tomoniga qo'ying:

Hamma narsa birlashishi kerak. Va har qanday maxsus yechim bilan hamma narsa birlashishi kerak.

To'g'ri aytganda, ma'lum bir yechimni tekshirish ba'zan aldaydi, ya'ni. ba'zi bir maxsus yechim tizimning har bir tenglamasini qanoatlantirishi mumkin va umumiy yechimning o'zi aslida noto'g'ri topilgan. Shuning uchun, birinchi navbatda, umumiy yechimni tekshirish yanada chuqurroq va ishonchli.

Olingan umumiy yechimni qanday tekshirish mumkin ?

Bu qiyin emas, lekin juda uzoq vaqt o'zgartirishni talab qiladi. Biz ifodalarni olishimiz kerak Asosiy o'zgaruvchilar, bu holda va , va ularni tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga almashtiring.

Tizimning birinchi tenglamasining chap tomonida:

Tizimning dastlabki birinchi tenglamasining o'ng tomoni olinadi.

Tizimning ikkinchi tenglamasining chap tomonida:

Tizimning dastlabki ikkinchi tenglamasining o'ng tomoni olinadi.

Va bundan keyin - tizimning uchinchi va to'rtinchi tenglamalarining chap qismlariga. Ushbu tekshirish uzoqroq, ammo u umumiy yechimning 100% to'g'riligini kafolatlaydi. Bundan tashqari, ba'zi vazifalarda umumiy echimni tekshirish talab etiladi.

4-misol:

Tizimni Gauss usuli yordamida yeching. Umumiy va ikkita shaxsiy echimni toping. Umumiy yechimni tekshiring.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Aytgancha, bu erda yana tenglamalar soni noma'lumlar sonidan kamroq, ya'ni tizim yo nomuvofiq bo'lishi yoki cheksiz miqdordagi echimlarga ega bo'lishi darhol aniq bo'ladi.

5-misol:

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching. Agar tizimda cheksiz ko'p echimlar bo'lsa, ikkita maxsus yechim toping va umumiy yechimni tekshiring

Qaror: Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalar yordamida uni bosqichli shaklga keltiramiz:

(bitta). Birinchi qatorni ikkinchi qatorga qo'shing. Uchinchi qatorga birinchi qatorni 2 ga ko'paytiramiz. To'rtinchi qatorga birinchi qatorni 3 ga ko'paytiramiz.

(2). Uchinchi qatorga (-5) ko'paytiriladigan ikkinchi qatorni qo'shamiz. To'rtinchi qatorga biz ikkinchi qatorni qo'shamiz, (-7) ga ko'paytiriladi.

(3). Uchinchi va to'rtinchi qatorlar bir xil, biz ulardan birini o'chirib tashlaymiz. Mana shunday go'zallik:

Bazis o'zgaruvchilar zinapoyada joylashgan, shuning uchun ular asosiy o'zgaruvchilardir.

Faqat bitta bo'sh o'zgaruvchi bor, u qadamni olmagan: .

(4). Teskari harakat. Biz asosiy o'zgaruvchilarni erkin o'zgaruvchida ifodalaymiz:

Uchinchi tenglamadan:

Ikkinchi tenglamani ko'rib chiqing va unga topilgan ifodani almashtiring:

, , ,

Birinchi tenglamani ko'rib chiqing va topilgan iboralarni almashtiring va unga:

Shunday qilib, bitta erkin o'zgaruvchi bilan umumiy yechim x 4:

Yana bir bor, bu qanday sodir bo'ldi? erkin o'zgaruvchi x 4 o'zining to'rtinchi o'rnida yolg'iz o'tiradi. , , asosiy o'zgaruvchilar uchun hosil bo'lgan ifodalar ham o'z o'rnida.

Keling, darhol umumiy yechimni tekshirib ko'raylik.

Biz tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga asosiy o'zgaruvchilarni , , almashtiramiz:

Tenglamalarning mos keladigan o'ng tomonlari olinadi, shuning uchun to'g'ri umumiy yechim topiladi.

Endi topilgan umumiy yechimdan Biz ikkita maxsus yechimni olamiz. Barcha o'zgaruvchilar bu erda bitta orqali ifodalanadi erkin o'zgaruvchi x 4 . Boshingizni sindirishingiz shart emas.

Bo'lsin x 4 = 0, keyin birinchi maxsus yechim hisoblanadi.

Bo'lsin x 4 = 1, keyin yana bir alohida yechim hisoblanadi.

Javob: Umumiy qaror: . Shaxsiy echimlar:

va .

6-misol:

Chiziqli tenglamalar tizimining umumiy yechimini toping.

Biz allaqachon umumiy yechimni tekshirdik, javobga ishonish mumkin. Sizning harakatlaringiz bizning harakatlarimizdan farq qilishi mumkin. Asosiysi, umumiy echimlar bir-biriga mos keladi. Ehtimol, ko'pchilik echimlarda noxush lahzani payqashgandir: ko'pincha Gauss usulining teskari kursi davomida biz skripka qilishimiz kerak edi. oddiy kasrlar. Amalda, bu to'g'ri, kasrlar bo'lmagan holatlar kamroq uchraydi. Ruhiy va eng muhimi, texnik jihatdan tayyor bo'ling.

Keling, yechimning echilgan misollarda topilmagan xususiyatlariga to'xtalib o'tamiz. Tizimning umumiy yechimi ba'zan doimiy (yoki konstantalar)ni o'z ichiga olishi mumkin.

Masalan, umumiy yechim: . Bu erda asosiy o'zgaruvchilardan biri doimiy songa teng: . Bunda ekzotik narsa yo'q, bu sodir bo'ladi. Shubhasiz, bu holda, har qanday maxsus yechim birinchi holatda beshlikni o'z ichiga oladi.

Kamdan-kam hollarda, lekin tizimlar mavjud tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kattaroqdir. Biroq, Gauss usuli eng og'ir sharoitlarda ishlaydi. Siz tinchgina tizimning kengaytirilgan matritsasini standart algoritmga muvofiq bosqichli shaklga keltirishingiz kerak. Bunday tizim nomuvofiq bo'lishi mumkin, cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lishi mumkin va, g'alati, yagona yechimga ega bo'lishi mumkin.

Biz maslahatimizda takrorlaymiz - Gauss usuli yordamida tizimni echishda o'zingizni qulay his qilish uchun siz qo'lingizni to'ldirishingiz va kamida o'nlab tizimlarni hal qilishingiz kerak.

Yechimlar va javoblar:

2-misol:

Qaror:Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichli shaklga keltiramiz.

Amalga oshirilgan elementar transformatsiyalar:

(1) Birinchi va uchinchi qatorlar almashtirildi.

(2) Birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, (-6) ga ko'paytirildi. Birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, (-7) ga ko'paytirildi.

(3) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, (-1) ga ko'paytirildi.

Elementar transformatsiyalar natijasida shakl qatori, qayerda λ ≠ 0 .Shunday qilib, tizim bir-biriga mos kelmaydi.Javob: yechimlar yo'q.

4-misol:

Qaror:Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichli shaklga keltiramiz:

Amalga oshirilgan konversiyalar:

(bitta). 2 ga ko'paytirilgan birinchi qator ikkinchi qatorga, 3 ga ko'paytirilgan birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi.

Ikkinchi bosqich uchun birlik yo'q , va transformatsiya (2) uni olishga qaratilgan.

(2). Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -3 ga ko'paytirildi.

(3). Ikkinchi va uchinchi qatorlar almashtirildi (natijadagi -1 ikkinchi bosqichga o'tkazildi)

(4). Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, 3 ga ko'paytirildi.

(5). Birinchi ikki qatorning belgisi o'zgartirildi (-1 ga ko'paytirildi), uchinchi qator 14 ga bo'lingan.

Teskari harakat:

(bitta). Bu yerda asosiy o'zgaruvchilar (qadamlarda joylashgan) va erkin o'zgaruvchilar (qadamni olmaganlar).

(2). Biz asosiy o'zgaruvchilarni erkin o'zgaruvchilar bilan ifodalaymiz:

Uchinchi tenglamadan: .

(3). Ikkinchi tenglamani ko'rib chiqing:, maxsus echimlar:

Javob: Umumiy qaror:

Kompleks sonlar

Ushbu bo'limda biz kontseptsiya bilan tanishamiz murakkab son, hisobga oling algebraik, trigonometrik va shaklini ko'rsatish murakkab son. Shuningdek, murakkab sonlar bilan amallarni bajarishni o'rganing: qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish va ildiz chiqarish.

Murakkab raqamlarni o'zlashtirish uchun sizga oliy matematika kursidan hech qanday maxsus bilim kerak emas va material hatto maktab o'quvchisi uchun ham mavjud. “Oddiy” sonlar bilan algebraik amallarni bajara olish, trigonometriyani eslab qolish kifoya.

Birinchidan, "oddiy" raqamlarni eslaylik. Matematikada ular deyiladi ko'p haqiqiy raqamlar va harf bilan belgilanadi R, yoki R (qalin). Barcha haqiqiy raqamlar tanish raqamlar qatorida joylashgan:

Haqiqiy sonlar kompaniyasi juda rang-barang - bu erda butun sonlar, kasrlar va irratsional sonlar. Bunday holda, raqamli o'qning har bir nuqtasi, albatta, qandaydir haqiqiy songa mos keladi.

Tizimlar m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish shunday raqamlar to'plami ( x 1 , x 2 , …, x n), tizimning har bir tenglamasiga qaysi birini qo'yish bilan to'g'ri tenglik olinadi.
qayerda a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n tizimning koeffitsientlari;
b i , i = 1, …, m- bepul a'zolar;
x j , j = 1, …, n- noma'lum.
Yuqoridagi tizim matritsa shaklida yozilishi mumkin: A X = B,

qayerda ( A|B) tizimning asosiy matritsasi hisoblanadi;
A— tizimning kengaytirilgan matritsasi;
X— nomaʼlumlar ustuni;
B bepul a'zolar ustunidir.
Agar matritsa B null matritsa ∅ emas, u holda bu chiziqli tenglamalar tizimi bir jinsli emas deb ataladi.
Agar matritsa B= ∅, u holda bu chiziqli tenglamalar tizimi bir jinsli deyiladi. Bir hil tizim har doim nol (arzimas) yechimga ega: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
Chiziqli tenglamalarning qo'shma tizimi yechimga ega chiziqli tenglamalar sistemasidir.
Chiziqli tenglamalarning nomuvofiq tizimi yechimga ega bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemasidir.
Chiziqli tenglamalarning muayyan tizimi yagona yechimga ega chiziqli tenglamalar sistemasidir.
Chiziqli tenglamalarning noaniq sistemasi cheksiz sonli yechimga ega chiziqli tenglamalar sistemasidir.
n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemalari
Agar noma'lumlar soni tenglamalar soniga teng bo'lsa, matritsa kvadrat bo'ladi. Matritsa determinanti chiziqli tenglamalar sistemasining bosh determinanti deyiladi va D belgisi bilan belgilanadi.
Kramer usuli tizimlarini hal qilish uchun n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum.
Kramer qoidasi.
Agar chiziqli tenglamalar tizimining asosiy determinanti bo'lmasa nol, keyin tizim izchil va aniqlangan va yagona yechim Kramer formulalari bilan hisoblanadi:
Bu yerda D i - sistemaning asosiy determinantidan D ni almashtirish orqali olingan aniqlovchilar. i th ustunidan bepul a'zolar ustuniga. .
n ta noma’lumli m chiziqli tenglamalar sistemalari
Kroneker-Kapelli teoremasi.

Ushbu chiziqli tenglamalar tizimi izchil bo'lishi uchun tizim matritsasining darajasi tizimning kengaytirilgan matritsasining darajasiga teng bo'lishi zarur va etarli, daraja (A) = daraja (A|B).
Agar a jiringladi(A) ≠ jiringladi(A|B), keyin tizimda hech qanday yechim yo'qligi aniq.
Agar daraja (A) = daraja (A|B), keyin ikkita holat mumkin:
1) rang (a) = n(noma'lumlar soniga) - yechim yagona va uni Kramer formulalari bilan olish mumkin;
2) daraja (a)< n - cheksiz ko'p echimlar mavjud.
Gauss usuli chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun

Kengaytirilgan matritsani tuzamiz ( A|B) berilgan koeffitsientlar tizimining noma'lum va o'ng tomonlarida.
Gauss usuli yoki noma'lumlarni yo'q qilish usuli kengaytirilgan matritsani kamaytirishdan iborat ( A|B) satrlar ustidagi elementar transformatsiyalar yordamida diagonal shaklga (yuqori uchburchak shaklga) o'tkaziladi. Tenglamalar tizimiga qaytsak, barcha noma'lumlar aniqlanadi.
Satrlardagi elementar transformatsiyalarga quyidagilar kiradi:
1) ikkita qatorni almashtirish;
2) satrni 0 dan boshqa raqamga ko'paytirish;
3) satrga ixtiyoriy songa ko'paytirilgan boshqa qatorni qo'shish;
4) null satrdan voz kechish.
Diagonal shaklga qisqartirilgan kengaytirilgan matritsa berilganga ekvivalent chiziqli tizimga mos keladi, uning yechimi qiyinchilik tug'dirmaydi. .
Bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi.
Bir hil tizim quyidagi shaklga ega:

matritsa tenglamasiga mos keladi A X = 0.
1) Bir hil tizim har doim izchil bo'ladi, chunki r(A) = r(A|B), har doim nol yechim mavjud (0, 0, …, 0).
2) Bir jinsli sistemaning nolga teng boʻlmagan yechimga ega boʻlishi uchun bu zarur va yetarli r = r(A)< n , bu D = 0 ga teng.
3) Agar r< n , keyin D = 0, keyin erkin noma'lumlar mavjud c 1, c 2, …, c n-r, tizim notrivial echimlarga ega va ularning cheksiz ko'plari mavjud.
4) Umumiy yechim X da r< n matritsa shaklida quyidagicha yozilishi mumkin:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
echimlar qayerda X 1 , X 2 , …, X n-r yechimlarning asosiy tizimini tashkil qiladi.
5) Eritmalarning asosiy tizimini bir jinsli sistemaning umumiy yechimidan olish mumkin:

,
agar biz ketma-ket parametrlarning qiymatlarini (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) deb qabul qilsak.
Eritmalarning fundamental tizimi nuqtai nazaridan umumiy yechimning parchalanishi fundamental tizimga tegishli yechimlarning chiziqli birikmasi sifatidagi umumiy yechimning yozuvidir.
Teorema. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi nolga teng boʻlmagan yechimga ega boʻlishi uchun D ≠ 0 boʻlishi zarur va yetarli.
Demak, agar determinant D ≠ 0 bo'lsa, sistemaning yagona yechimi bor.
Agar D ≠ 0 bo'lsa, u holda chiziqli bir jinsli tenglamalar tizimi cheksiz sonli echimlarga ega.
Teorema. Bir hil tizim nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lishi uchun bu zarur va etarli r(A)< n .
Isbot:
1) r ortiq bo'lishi mumkin emas n(matritsa darajasi ustunlar yoki satrlar sonidan oshmaydi);
2) r< n , chunki agar r=n, keyin sistemaning asosiy determinanti D ≠ 0 bo'ladi va Kramer formulalariga ko'ra, noyob trivial yechim mavjud. x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, bu shartga zid keladi. Ma'nosi, r(A)< n .
Natija. Bir hil tizim bo'lishi uchun n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lumlar nolga teng bo'lmagan yechimga ega, bu D = 0 bo'lishi zarur va etarli.

Xizmat topshirig'i. Onlayn kalkulyator chiziqli tenglamalar tizimini o'rganish uchun mo'ljallangan. Odatda muammoning holatida uni topish talab qilinadi tizimning umumiy va xususiy yechimi. Chiziqli tenglamalar tizimini o'rganishda quyidagi muammolar hal qilinadi:

tizim hamkorlikka asoslanganmi;
agar tizim izchil bo'lsa, u aniq yoki noaniqdir (tizimning muvofiqligi mezoni teorema bilan belgilanadi);
agar tizim aniqlansa, u holda uning yagona yechimini qanday topish mumkin (Kramer usuli, teskari matritsa usuli yoki Jordan-Gauss usuli qo'llaniladi);
agar tizim noaniq bo'lsa, unda uning yechimlari to'plamini qanday tasvirlash kerak.

Chiziqli tenglamalar sistemalarining tasnifi

Chiziqli tenglamalarning ixtiyoriy tizimi quyidagi shaklga ega:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar tizimlari (o'zgaruvchilar soni tenglamalar soniga teng, m = n).
Chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamalarning ixtiyoriy tizimlari (m > n yoki m< n).

Ta'rif. Tizim yechimi deb har qanday c 1 ,c 2 ,...,c n sonlar toʻplami boʻlib, ularning sistemaga mos keladigan nomaʼlumlar oʻrniga almashtirilishi tizimning har bir tenglamasini bir xillikka aylantiradi.

Ta'rif. Agar birinchisining yechimi ikkinchisining yechimi bo'lsa va aksincha bo'lsa, ikkita tizim ekvivalent deb ataladi.

Ta'rif. Kamida bitta yechimga ega bo'lgan tizim deyiladi qo'shma. Hech qanday yechimga ega bo'lmagan tizim nomuvofiq deb ataladi.

Ta'rif. Yagona yechimga ega tizim deyiladi aniq, va bir nechta yechimga ega bo'lish noaniqdir.

Chiziqli tenglamalar tizimini yechish algoritmi

Asosiy va kengaytirilgan matritsalarning darajalarini toping. Agar ular teng bo'lmasa, Kronecker-Kapelli teoremasiga ko'ra, tizim nomuvofiqdir va tadqiqot shu erda tugaydi.
O'rin (A) = daraja (B) bo'lsin. Biz asosiy minorni tanlaymiz. Bunda chiziqli tenglamalarning barcha noma'lum sistemalari ikki sinfga bo'linadi. Koeffitsientlari asosiy minorga kiritilgan noma'lumlar tobe, koeffitsientlari asosiy minorga kirmagan noma'lumlar esa erkin deyiladi. E'tibor bering, qaram va erkin noma'lumlarni tanlash har doim ham yagona emas.
Biz koeffitsientlari asosiy minorga kiritilmagan tizim tenglamalarini kesib tashlaymiz, chunki ular qolganlarning natijasidir (asosiy minor teoremasiga ko'ra).
Erkin noma'lumlarni o'z ichiga olgan tenglamalar shartlari o'ng tomonga o'tkaziladi. Natijada, determinanti noldan farq qiluvchi, berilganga ekvivalent r noma’lumli r tenglamalar sistemasiga erishamiz.
Olingan sistema quyidagi usullardan biri bilan echiladi: Kramer usuli, teskari matritsa usuli yoki Jordan-Gauss usuli. Bog'liq o'zgaruvchilarni erkin bo'lganlar bilan ifodalovchi munosabatlar topiladi.

n ta noma’lumli m chiziqli tenglamalar tizimi shakl tizimi deb ataladi

qayerda aij va b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ba'zi ma'lum raqamlardir va x 1 ,…,x n- noma'lum. Koeffitsientlarni belgilashda aij birinchi indeks i tenglamaning sonini, ikkinchisini bildiradi j bu koeffitsient turgan noma'lumlar soni.

Noma'lumlar uchun koeffitsientlar matritsa shaklida yoziladi , biz uni chaqiramiz tizim matritsasi.

Tenglamalarning o'ng tomonidagi raqamlar b 1 ,…,b m chaqirdi bepul a'zolar.

Agregat n raqamlar c 1 ,…,c n chaqirdi qaror sistemaning har bir tenglamasi unga raqamlarni almashtirgandan keyin tenglikka aylansa c 1 ,…,c n mos keladigan noma'lumlar o'rniga x 1 ,…,x n.

Bizning vazifamiz tizimga yechim topish bo'ladi. Bunday holda, uchta holat yuzaga kelishi mumkin:

Hech bo'lmaganda bitta yechimga ega bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimi deyiladi qo'shma. Aks holda, ya'ni. agar tizimda echimlar bo'lmasa, u chaqiriladi mos kelmaydigan.

Tizimga yechim topish yo'llarini ko'rib chiqing.

CHIZIQLI TENGLAMALAR TIZIMLARINI YECHISHNING MATRIX USULI

Matritsalar chiziqli tenglamalar tizimini qisqacha yozish imkonini beradi. Uchta noma’lumli 3 ta tenglamalar sistemasi berilsin:

Tizimning matritsasini ko'rib chiqing va noma'lum va erkin a'zolarning matritsa ustunlari

Keling, mahsulotni topamiz

bular. mahsulot natijasida biz ushbu tizim tenglamalarining chap tomonlarini olamiz. Keyin matritsa tengligi ta'rifidan foydalanish bu tizim shaklida yozilishi mumkin

yoki qisqaroq A∙X=B.

Bu erda matritsalar A va B ma'lum va matritsa X noma'lum. Uni topish kerak, chunki. uning elementlari bu tizimning yechimidir. Bu tenglama deyiladi matritsa tenglamasi.

Matritsa determinanti noldan farqli bo'lsin | A| ≠ 0. U holda matritsa tenglamasi quyidagicha yechiladi. Chapdagi tenglamaning ikkala tomonini matritsaga ko'paytiring A-1, matritsaning teskarisi A: . Shu darajada A -1 A = E va E∙X=X, keyin matritsali tenglamaning yechimini shaklda olamiz X = A -1 B .

Esda tutingki, teskari matritsa faqat kvadrat matritsalar uchun topilishi mumkinligi sababli, matritsa usuli faqat shunday tizimlarni hal qilishi mumkin. tenglamalar soni noma'lumlar soni bilan bir xil. Shu bilan birga, tizimning matritsali yozuvi tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo'lmagan holda ham mumkin, keyin matritsa A kvadrat emas va shuning uchun shaklda tizimga yechim topish mumkin emas X = A -1 B.

Misollar. Tenglamalar tizimini yechish.

KRAMER QOIDASI

Uchta noma'lumli 3 ta chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing:

Tizimning matritsasiga mos keladigan uchinchi darajali determinant, ya'ni. noma'lum koeffitsientlardan tashkil topgan;

chaqirdi tizim determinanti.

Biz yana uchta aniqlovchini quyidagicha tuzamiz: D determinantidagi ketma-ket 1, 2 va 3 ustunlarni erkin shartlar ustuniga almashtiramiz.

Keyin quyidagi natijani isbotlashimiz mumkin.

Teorema (Kramer qoidasi). Agar tizimning determinanti D ≠ 0 bo'lsa, ko'rib chiqilayotgan tizim bitta va faqat bitta yechimga ega va

Isbot. Shunday qilib, uchta noma'lumli 3 ta tenglama tizimini ko'rib chiqing. Tizimning 1-tenglamasini algebraik to'ldiruvchiga ko'paytiring A 11 element a 11, 2- tenglama - yoqilgan A21 va 3-o'rinda A 31:

Keling, ushbu tenglamalarni qo'shamiz:

Qavslarning har birini va bu tenglamaning o'ng tomonini ko'rib chiqing. Determinantning 1-ustun elementlari bo'yicha kengayishi haqidagi teorema bo'yicha

Xuddi shunday, buni ko'rsatish mumkin va .

Nihoyat, buni ko'rish oson

Shunday qilib, biz tenglikni olamiz: .

Demak, .

Teoremaning tasdig'i shundan kelib chiqadi va tengliklari xuddi shunday hosil bo'ladi.

Shunday qilib, shuni ta'kidlaymizki, agar tizimning determinanti D ≠ 0 bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va aksincha. Agar tizimning determinanti nolga teng bo'lsa, u holda tizim cheksiz echimlar to'plamiga ega yoki hech qanday yechimga ega emas, ya'ni. mos kelmaydigan.

Misollar. Tenglamalar sistemasini yechish

GAUSS USULI

Oldin ko'rib chiqilgan usullar faqat tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri keladigan va tizimning determinanti noldan farqli bo'lishi kerak bo'lgan tizimlarni echish uchun ishlatilishi mumkin. Gauss usuli ko'proq universal bo'lib, har qanday tenglamalar soniga ega tizimlar uchun mos keladi. Bu tizim tenglamalaridan noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilishdan iborat.

Yana uchta noma'lumli uchta tenglama tizimini ko'rib chiqing:

Biz birinchi tenglamani o'zgarishsiz qoldiramiz va 2 va 3-dan iborat bo'lgan shartlarni istisno qilamiz. x 1. Buning uchun ikkinchi tenglamani ga ajratamiz a 21 va ko'paytiring - a 11 va keyin 1-tenglama bilan qo'shing. Xuddi shunday, biz uchinchi tenglamani ajratamiz a 31 va ko'paytiring - a 11 va keyin uni birinchisiga qo'shing. Natijada, asl tizim quyidagi shaklga ega bo'ladi:

Endi, oxirgi tenglamadan biz o'z ichiga olgan atamani olib tashlaymiz x2. Buning uchun uchinchi tenglamani ga bo'ling, ko'paytiring va ikkinchisiga qo'shing. Keyin biz tenglamalar tizimiga ega bo'lamiz:

Demak, oxirgi tenglamadan uni topish oson x 3, keyin 2-tenglamadan x2 va nihoyat 1-dan - x 1.

Gauss usulidan foydalanganda, agar kerak bo'lsa, tenglamalar almashtirilishi mumkin.

Ko'pincha yozish o'rniga yangi tizim Tenglamalar tizimning kengaytirilgan matritsasini yozish bilan cheklanadi:

va keyin elementar transformatsiyalar yordamida uni uchburchak yoki diagonal shaklga keltiring.

Kimga elementar transformatsiyalar matritsalar quyidagi o'zgarishlarni o'z ichiga oladi:

satrlar yoki ustunlarni almashtirish;
satrni nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish;
bir qatorga boshqa qatorlarni qo'shish.

Misollar: Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini yeching.

Shunday qilib, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.

Tenglamalar tizimlari iqtisodiy sanoatda turli jarayonlarni matematik modellashtirishda keng qo'llaniladi. Masalan, ishlab chiqarishni boshqarish va rejalashtirish, logistika yo'nalishlari (transport muammosi) yoki jihozlarni joylashtirish muammolarini hal qilishda.

Tenglama sistemalari nafaqat matematika sohasida, balki fizika, kimyo, biologiyada ham aholi sonini topish masalalarini yechishda qo'llaniladi.

Chiziqli tenglamalar tizimi - umumiy yechim topish zarur bo'lgan bir nechta o'zgaruvchiga ega bo'lgan ikki yoki undan ortiq tenglamalar uchun atama. Barcha tenglamalar haqiqiy tenglikka aylanadigan yoki ketma-ketlik mavjud emasligini isbotlaydigan bunday raqamlar ketma-ketligi.

Chiziqli tenglama

ax+by=c ko’rinishdagi tenglamalar chiziqli deyiladi. X, y belgilari - noma'lumlar, ularning qiymati topilishi kerak, b, a - o'zgaruvchilarning koeffitsientlari, c - tenglamaning erkin hadi.
Tenglamani uning grafigini tuzish orqali yechish toʻgʻri chiziqqa oʻxshaydi, uning barcha nuqtalari koʻphadning yechimi hisoblanadi.

Chiziqli tenglamalar sistemalarining turlari

Eng oddiylari ikkita X va Y o'zgaruvchili chiziqli tenglamalar tizimlariga misollardir.

F1(x, y) = 0 va F2(x, y) = 0, bu erda F1,2 funksiyalar va (x, y) funksiya o'zgaruvchilari.

Tenglamalar sistemasini yechish - bu tizim haqiqiy tenglikka aylanadigan qiymatlarni (x, y) topishni yoki buni o'rnatishni anglatadi mos qiymatlar x va y mavjud emas.

Nuqta koordinatalari sifatida yozilgan juft qiymatlar (x, y) chiziqli tenglamalar tizimining yechimi deb ataladi.

Agar tizimlar bitta umumiy yechimga ega bo'lsa yoki yechim bo'lmasa, ular ekvivalent deb ataladi.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli sistemalari - o'ng tomoni nolga teng bo'lgan tizimlar. Agar "teng" belgisidan keyin o'ng qism qiymatga ega bo'lsa yoki funktsiya bilan ifodalangan bo'lsa, bunday tizim bir hil emas.

O'zgaruvchilar soni ikkitadan ko'p bo'lishi mumkin, keyin uchta yoki undan ko'p o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimining misoli haqida gapirishimiz kerak.

Tizimlar bilan duch kelgan maktab o'quvchilari tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri kelishi kerak deb o'ylashadi, ammo bu unday emas. Tizimdagi tenglamalar soni o'zgaruvchilarga bog'liq emas, ularning soni o'zboshimchalik bilan ko'p bo'lishi mumkin.

Tenglamalar sistemalarini yechishning oddiy va murakkab usullari

Bunday tizimlarni yechishning umumiy analitik usuli mavjud emas, barcha usullar sonli yechimlarga asoslanadi. Maktab matematikasi kursida almashtirish, algebraik qo‘shish, almashtirish, shuningdek, grafik va matritsa usuli, Gauss usuli bilan yechish kabi usullar batafsil yoritilgan.

Yechish usullarini o'rgatishda asosiy vazifa tizimni to'g'ri tahlil qilish va topishni o'rgatishdir optimal algoritm Har bir misol uchun yechimlar. Asosiysi, har bir usul uchun qoidalar va harakatlar tizimini yodlash emas, balki ma'lum bir usulni qo'llash tamoyillarini tushunishdir.

Dasturning 7-sinf chiziqli tenglamalar sistemasiga misollar yechish o'rta maktab juda oddiy va batafsil tushuntirilgan. Matematika bo'yicha har qanday darslikda ushbu bo'limga etarlicha e'tibor beriladi. Chiziqli tenglamalar sistemasiga misollarni Gauss va Kramer usulida yechish oliy o‘quv yurtlarining birinchi kurslarida batafsilroq o‘rganiladi.

Tizimlarni almashtirish usuli bilan yechish

O'zgartirish usulining harakatlari bir o'zgaruvchining qiymatini ikkinchisi orqali ifodalashga qaratilgan. Ifoda qolgan tenglamaga almashtiriladi, so'ngra u bitta o'zgaruvchan shaklga keltiriladi. Harakat tizimdagi noma'lumlar soniga qarab takrorlanadi

7-sinf chiziqli tenglamalar tizimiga almashtirish usuli bilan misol keltiramiz:

Misoldan ko'rinib turibdiki, x o'zgaruvchisi F(X) = 7 + Y orqali ifodalangan. X o'rniga tizimning 2-tenglamasiga almashtirilgan natija 2-tenglamada bitta Y o'zgaruvchisini olishga yordam berdi. . Ushbu misolning yechimi hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi va Y qiymatini olish imkonini beradi.Oxirgi bosqich - olingan qiymatlarni tekshirish.

Chiziqli tenglamalar sistemasiga misolni almashtirish usuli bilan yechish har doim ham mumkin emas. Tenglamalar murakkab bo'lishi mumkin va o'zgaruvchini ikkinchi noma'lum nuqtai nazardan ifodalash keyingi hisob-kitoblar uchun juda og'ir bo'ladi. Tizimda 3 dan ortiq noma'lum bo'lsa, almashtirish echimi ham amaliy emas.

Chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamalar sistemasiga misol yechimi:

Algebraik qo‘shish yordamida yechim

Qo'shish usuli bilan tizimlarning yechimini izlashda, tenglamalarni atama bo'yicha qo'shish va ko'paytirish turli raqamlar. Matematik operatsiyalarning yakuniy maqsadi bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamadir.

Ushbu usulni qo'llash amaliyot va kuzatishni talab qiladi. O'zgaruvchilar soni 3 yoki undan ko'p bo'lgan qo'shish usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish oson emas. Tenglamalar kasr va o'nlik sonlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, algebraik qo'shish foydali bo'ladi.

Yechim harakati algoritmi:

Tenglamaning ikkala tomonini bir necha raqamga ko'paytiring. Natijada arifmetik amal o'zgaruvchining koeffitsientlaridan biri 1 ga teng bo'lishi kerak.
Hosil boʻlgan iborani had boʻyicha qoʻshing va nomaʼlumlardan birini toping.
Qolgan o'zgaruvchini topish uchun olingan qiymatni tizimning 2-tenglamasiga almashtiring.

Yangi o'zgaruvchini kiritish orqali hal qilish usuli

Yangi o'zgaruvchini kiritish mumkin, agar tizim ikkitadan ko'p bo'lmagan tenglamalar uchun yechim topish kerak bo'lsa, noma'lumlar soni ham ikkitadan ko'p bo'lmasligi kerak.

Usul yangi o'zgaruvchini kiritish orqali tenglamalardan birini soddalashtirish uchun ishlatiladi. Yangi tenglama kiritilgan noma'lumga nisbatan yechiladi va olingan qiymatdan asl o'zgaruvchini aniqlash uchun foydalaniladi.

Misol shuni ko'rsatadiki, yangi t o'zgaruvchisini kiritish orqali tizimning 1- tenglamasini standartga tushirish mumkin edi. kvadrat trinomial. Ko'phadni diskriminantni topib yechishingiz mumkin.

tomonidan diskriminantning qiymatini topish kerak taniqli formula: D = b2 - 4*a*c, bu erda D - kerakli diskriminant, b, a, c - ko'phadning ko'paytmalari. Berilgan misolda a=1, b=16, c=39, demak D=100. Agar diskriminant noldan katta bo'lsa, u holda ikkita yechim mavjud: t = -b±√D / 2*a, agar diskriminant noldan kichik bo'lsa, u holda faqat bitta yechim mavjud: x= -b / 2*a.

Olingan tizimlar uchun yechim qo'shish usuli bilan topiladi.

Tizimlarni hal qilishning vizual usuli

3 ta tenglamali tizimlar uchun javob beradi. Usul tizimga kiritilgan har bir tenglamaning grafiklarini koordinata o'qi bo'yicha chizishdan iborat. Egri chiziqlarning kesishish nuqtalarining koordinatalari tizimning umumiy yechimi bo'ladi.

Grafik usul bir qator nuanslarga ega. Chiziqli tenglamalar tizimini vizual tarzda echishning bir nechta misollarini ko'rib chiqing.

Misoldan ko'rinib turibdiki, har bir chiziq uchun ikkita nuqta qurilgan, x o'zgaruvchisining qiymatlari o'zboshimchalik bilan tanlangan: 0 va 3. X qiymatlari asosida y uchun qiymatlar topildi: 3 va 0. Koordinatalari (0, 3) va (3, 0) bo'lgan nuqtalar grafikda belgilangan va chiziq bilan bog'langan.

Ikkinchi tenglama uchun qadamlar takrorlanishi kerak. Chiziqlarning kesishish nuqtasi tizimning yechimidir.

Quyidagi misolda chiziqli tenglamalar sistemasining grafik yechimini topish talab qilinadi: 0,5x-y+2=0 va 0,5x-y-1=0.

Misoldan ko'rinib turibdiki, tizim hech qanday yechimga ega emas, chunki grafiklar parallel va butun uzunligi bo'ylab kesishmaydi.

2 va 3-misollardagi tizimlar bir-biriga o'xshash, ammo tuzilganida ularning echimlari boshqacha ekanligi ayon bo'ladi. Shuni esda tutish kerakki, tizimda yechim bor yoki yo'qligini aytish har doim ham mumkin emas, har doim grafik yaratish kerak.

Matritsa va uning turlari

Matritsalar chiziqli tenglamalar tizimini qisqacha yozish uchun ishlatiladi. Matritsa - bu raqamlar bilan to'ldirilgan maxsus jadval turi. n*m n - satr va m - ustunga ega.

Agar ustunlar va satrlar soni teng bo'lsa, matritsa kvadratdir. Matritsa-vektor - cheksiz mumkin bo'lgan qatorlar soniga ega bo'lgan bir ustunli matritsa. Diagonallardan biri bo'ylab birliklari va boshqa nol elementlari bo'lgan matritsaga identifikatsiya deyiladi.

Teskari matritsa shunday matritsa bo'lib, uni ko'paytirganda asl birlik birlikka aylanadi, bunday matritsa faqat dastlabki kvadrat uchun mavjud bo'ladi.

Tenglamalar tizimini matritsaga aylantirish qoidalari

Tenglamalar tizimlariga kelsak, tenglamalarning koeffitsientlari va erkin a'zolari matritsaning raqamlari sifatida yoziladi, bitta tenglama matritsaning bir qatoridir.

Agar satrning kamida bitta elementi nolga teng bo'lmasa, matritsa qatori nolga teng bo'lmagan deb ataladi. Shuning uchun, agar tenglamalarning birortasida o'zgaruvchilar soni farq qiladigan bo'lsa, unda etishmayotgan noma'lum o'rniga nol kiritish kerak.

Matritsaning ustunlari o'zgaruvchilarga qat'iy mos kelishi kerak. Bu shuni anglatadiki, x o'zgaruvchining koeffitsientlari faqat bitta ustunda yozilishi mumkin, masalan, birinchi, noma'lum y koeffitsienti - faqat ikkinchisida.

Matritsani ko'paytirishda barcha matritsa elementlari ketma-ket songa ko'paytiriladi.

Teskari matritsani topish variantlari

Teskari matritsani topish formulasi juda oddiy: K -1 = 1 / |K|, bu erda K -1 teskari matritsa va |K| - matritsa determinanti. |K| nolga teng bo'lmasligi kerak, u holda tizim yechimga ega.

Determinant ikki-ikki matritsa uchun osongina hisoblab chiqiladi, faqat elementlarni diagonal ravishda bir-biriga ko'paytirish kerak. “Uchdan uch” varianti uchun |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formulasi mavjud. 3 + a 3 b 2 c 1. Siz formuladan foydalanishingiz mumkin yoki elementlarning ustun va satr raqamlari mahsulotda takrorlanmasligi uchun har bir satr va har bir ustundan bitta elementni olishingiz kerakligini eslashingiz mumkin.

Chiziqli tenglamalar sistemasiga misollarni matritsa usulida yechish

Yechimni topishning matritsa usuli bilan tizimlarni echishda noqulay belgilarni kamaytirish imkonini beradi katta miqdor o'zgaruvchilar va tenglamalar.

Misolda, a nm - tenglamalarning koeffitsientlari, matritsa - vektor x n - o'zgaruvchilar, b n - erkin shartlar.

Tizimlarni Gauss usulida yechish

Oliy matematikada Gauss usuli Kramer usuli bilan birgalikda oʻrganiladi va tizimlar yechimini topish jarayoni Gauss-Kramer yechish usuli deb ataladi. Bu usullar ko'p sonli chiziqli tenglamalarga ega bo'lgan tizimlarning o'zgaruvchilarini topish uchun ishlatiladi.

Gauss usuli almashtirish va algebraik qoʻshish yechimlariga juda oʻxshaydi, lekin tizimliroqdir. Maktab kursida 3 va 4 tenglamalar sistemalari uchun Gauss yechimidan foydalaniladi. Usulning maqsadi tizimni teskari trapezoid shakliga keltirishdir. Algebraik o'zgartirishlar va almashtirishlar orqali bitta o'zgaruvchining qiymati tizim tenglamalaridan birida topiladi. Ikkinchi tenglama 2 ta noma'lum, 3 va 4 esa mos ravishda 3 va 4 o'zgaruvchiga ega bo'lgan ifodadir.

Tizimni tavsiflangan shaklga keltirgandan so'ng, keyingi yechim ma'lum o'zgaruvchilarni tizim tenglamalariga ketma-ket almashtirishga tushiriladi.

7-sinf uchun maktab darsliklarida Gauss yechimining namunasi quyidagicha tasvirlangan:

Misoldan ko'rinib turibdiki, (3) bosqichda ikkita tenglama 3x 3 -2x 4 =11 va 3x 3 +2x 4 =7 olingan. Har qanday tenglamaning yechimi x n o'zgaruvchilardan birini topishga imkon beradi.

Matnda tilga olingan 5-teoremada aytilishicha, agar tizim tenglamalaridan biri ekvivalent bilan almashtirilsa, hosil bo'lgan sistema ham dastlabkisiga ekvivalent bo'ladi.

Gauss usulini talabalar tushunishi qiyin o'rta maktab, lekin eng ko'plaridan biri qiziqarli usullar matematika va fizika darslarida chuqurlashtirilgan o'quv dasturiga kiritilgan bolalarning zukkoligini rivojlantirish.

Hisob-kitoblarni yozib olish qulayligi uchun quyidagilarni qilish odatiy holdir:

Tenglama koeffitsientlari va erkin atamalar matritsa shaklida yoziladi, bu erda matritsaning har bir qatori tizim tenglamalaridan biriga mos keladi. tenglamaning chap tomonini o'ng tomondan ajratadi. Rim raqamlari tizimdagi tenglamalar sonini bildiradi.

Birinchidan, ular ishlash uchun matritsani yozadilar, so'ngra qatorlardan biri bilan amalga oshirilgan barcha harakatlar. Olingan matritsa "o'q" belgisidan keyin yoziladi va natijaga erishilgunga qadar kerakli algebraik amallarni bajarishda davom etadi.

Natijada, diagonallardan biri 1 bo'lgan va boshqa barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lgan matritsa olinishi kerak, ya'ni matritsa bitta shaklga tushiriladi. Tenglamaning ikkala tomonining raqamlari bilan hisob-kitoblarni amalga oshirishni unutmasligimiz kerak.

Ushbu belgi unchalik qiyin emas va ko'plab noma'lum narsalarni sanab, chalg'itmaslikka imkon beradi.

Yechimning har qanday usulini bepul qo'llash ehtiyotkorlik va ma'lum tajribani talab qiladi. Barcha usullar qo'llanilmaydi. Yechimlarni topishning ba'zi usullari inson faoliyatining ma'lum bir sohasida afzalroq, boshqalari esa o'rganish uchun mavjud.