การเพิ่มรากเชิงลบ รากที่สองคืออะไรและรวมกันได้อย่างไร
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่เข้มแข็ง”ไม่มาก »
และสำหรับผู้ที่ "")
ในบทเรียนที่แล้ว เราหาว่าสแควร์รูทคืออะไร ถึงเวลาที่จะคิดออกว่าคืออะไร สูตรสำหรับราก, สิ่งที่เป็น คุณสมบัติของรากและสิ่งที่สามารถทำได้เกี่ยวกับเรื่องนี้ทั้งหมด
สูตรรูท คุณสมบัติของรูท และกฎสำหรับการดำเนินการกับรูทโดยพื้นฐานแล้วเป็นสิ่งเดียวกัน มีสูตรไม่กี่อย่างที่น่าประหลาดใจสำหรับรากที่สอง ซึ่งแน่นอนว่าพอใจ! คุณสามารถเขียนสูตรได้ทุกประเภท แต่เพียงสามสูตรก็เพียงพอแล้วสำหรับการทำงานจริงและมั่นใจด้วยราก ทุกสิ่งทุกอย่างไหลมาจากสามสิ่งนี้ แม้ว่าหลายคนหลงทางในสามสูตรของรากเหง้าใช่
เริ่มจากที่ง่ายที่สุด เธอคือ:
ฉันเตือนคุณ (จากบทเรียนที่แล้ว): a และ b เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ! มิฉะนั้นสูตรจะไม่สมเหตุสมผล
นี่คือ คุณสมบัติของราก อย่างที่คุณเห็น ง่าย สั้น และไม่เป็นอันตราย แต่ด้วยสูตรรูทนี้ คุณสามารถทำสิ่งที่มีประโยชน์มากมาย! มาดูกันเลย ตัวอย่างสิ่งเหล่านี้มีประโยชน์ทั้งหมด
ของดีมีประโยชน์แรก. สูตรนี้ช่วยให้เรา คูณราก.
วิธีการคูณราก?
ใช่ง่ายมาก ตรงไปที่สูตร ตัวอย่างเช่น:
ดูเหมือนว่าพวกเขาจะทวีคูณ แล้วอะไรล่ะ? มีความสุขมากมายไหม? ฉันเห็นด้วยเล็กน้อย แต่คุณชอบสิ่งนี้อย่างไร ตัวอย่าง?
รากไม่ได้สกัดจากปัจจัยอย่างแน่นอน และผลลัพธ์ก็ยอดเยี่ยม! ดีขึ้นแล้วใช่ไหม เผื่อจะแจ้งให้ทราบว่าสามารถมีตัวคูณได้มากเท่าที่คุณต้องการ สูตรคูณรูทยังใช้ได้อยู่ ตัวอย่างเช่น:
ดังนั้น ด้วยการคูณ ทุกอย่างชัดเจนว่าทำไมจึงมีความจำเป็น คุณสมบัติของราก- ยังพอเข้าใจ
สิ่งที่มีประโยชน์ที่สอง การป้อนตัวเลขภายใต้เครื่องหมายของรูท
จะป้อนตัวเลขใต้รูทได้อย่างไร?
สมมติว่าเรามีนิพจน์นี้:
เป็นไปได้ไหมที่จะซ่อนผีสางไว้ในรูท? อย่างง่ายดาย! ถ้าคุณทำการรูทจากสองสูตร สูตรสำหรับการคูณรากก็จะได้ผล และวิธีทำรูตจากผีสาง? ใช่ นั่นไม่ใช่คำถามเช่นกัน! สองเท่าคือ รากที่สองของสี่!
รูทนั้นสามารถสร้างจากจำนวนที่ไม่เป็นค่าลบใด ๆ ก็ได้! นี่จะเป็นรากที่สองของกำลังสองของตัวเลขนี้ 3 คือรูทของ 9. 8 คือรูทของ 64 11 คือรูทของ 121 เป็นต้น
แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องลงสีให้ละเอียดขนาดนั้น ยกเว้นสำหรับผู้เริ่มต้น ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้ว่าจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบคูณด้วยรูทสามารถนำมาไว้ใต้รูทได้ แต่อย่าลืม! - ใต้รูทตัวเลขนี้จะกลายเป็น สี่เหลี่ยมตัวเขาเอง. การดำเนินการนี้ - การป้อนตัวเลขภายใต้รูท - เรียกอีกอย่างว่าการคูณตัวเลขด้วยรูท โดยทั่วไปสามารถเขียนได้ว่า:
กระบวนการนี้ง่ายอย่างที่คุณเห็น ทำไมเธอถึงต้องการ?
เช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลงใดๆ กระบวนการนี้ขยายความเป็นไปได้ของเรา โอกาสที่จะเปลี่ยนการแสดงออกที่โหดร้ายและไม่สบายใจเป็นการแสดงออกที่นุ่มนวล) กติกาง่ายๆ สำหรับคุณ ตัวอย่าง:
อย่างที่เห็น คุณสมบัติของราก,ซึ่งทำให้สามารถแนะนำปัจจัยภายใต้สัญลักษณ์ของรูตได้ค่อนข้างเหมาะสมสำหรับการทำให้เข้าใจง่าย
นอกจากนี้ การเพิ่มตัวคูณภายใต้รูททำให้เปรียบเทียบค่าของรูทต่างๆ ได้ง่ายและง่ายดาย โดยไม่ต้องคำนวณและคำนวณใดๆ! สิ่งที่มีประโยชน์ที่สาม
จะเปรียบเทียบรากได้อย่างไร?
ทักษะนี้สำคัญมากในภารกิจที่มั่นคง เมื่อปลดล็อกโมดูล และสิ่งที่ยอดเยี่ยมอื่นๆ
เปรียบเทียบนิพจน์เหล่านี้ อันไหนมากกว่ากัน? ไม่มีเครื่องคิดเลข! แต่ละคนมีเครื่องคิดเลข เอ่อ-เอ่อ. สรุปใครๆ ก็ทำได้!)
คุณไม่พูดอย่างนั้นทันที และถ้าคุณป้อนตัวเลขภายใต้เครื่องหมายของรูท?
จำไว้ (จู่ๆ ก็ไม่รู้?): ถ้าตัวเลขใต้เครื่องหมายของรูทมากกว่า ตัวรูทเองจะมากกว่า! ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องทันที โดยไม่มีการคำนวณและการคำนวณที่ซับซ้อน:
มันเยี่ยมมากใช่มั้ย? แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! จำได้ว่าสูตรทั้งหมดทำงานทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย จนถึงตอนนี้เราได้ใช้สูตรคูณรากจากซ้ายไปขวาแล้ว เรียกใช้คุณสมบัติรูทนี้ย้อนกลับจากขวาไปซ้าย แบบนี้:
และความแตกต่างคืออะไร? มันให้อะไรคุณหรือเปล่า!? แน่นอน! ตอนนี้คุณจะเห็นด้วยตัวคุณเอง
สมมติว่าเราจำเป็นต้องแยก (โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลข!) รากที่สองของจำนวน 6561 บางคนในขั้นตอนนี้จะต้องเผชิญกับการต่อสู้ที่ไม่เท่ากันกับงาน แต่เราปากแข็งเราไม่ยอมแพ้! สิ่งที่มีประโยชน์ประการที่สี่
วิธีการแยกรากออกจากจำนวนมาก?
เราจำสูตรการสกัดรากออกจากผลิตภัณฑ์ได้ ที่ผมโพสต์ไว้ข้างบน แต่งานของเราอยู่ที่ไหน เรามีจำนวนมาก 6561 และนั่นแหล่ะ ใช่ไม่มีศิลปะ แต่ถ้าเราต้องการ เรา มาทำกัน! ลองแยกตัวประกอบตัวเลขนี้ เรามีสิทธิ
อันดับแรก ลองหาว่าจำนวนนี้หารด้วยอะไรลงตัว? อะไรนะไม่รู้!? ลืมเครื่องหมายหาร!? เปล่าประโยชน์ ไปที่ ภาคพิเศษ 555 หัวข้อคือ "เศษส่วน" นั่นเอง ตัวเลขนี้หารด้วย 3 และ 9 ลงตัว เพราะผลรวมของตัวเลข (6+5+6+1=18) หารด้วยตัวเลขเหล่านี้ลงตัว นี่เป็นหนึ่งในสัญญาณของความแตกแยก เราไม่จำเป็นต้องหารด้วยสาม (ตอนนี้คุณจะเข้าใจแล้วว่าทำไม) แต่เราจะหารด้วย 9 อย่างน้อยก็ในมุมหนึ่ง เราได้ 729 เราจึงพบสองปัจจัย! อันแรกคือเก้า (เราเลือกเอง) และอันที่สองคือ 729 (กลายเป็นอย่างนั้น) คุณสามารถเขียนได้แล้ว:
รับความคิด? ลองทำเช่นเดียวกันกับหมายเลข 729 มันหารด้วย 3 กับ 9 ลงตัวเช่นกัน เราไม่หารด้วย 3 เราหารด้วย 9 เราได้ 81 และเรารู้ตัวเลขนี้แล้ว! เราเขียนลงไป:
ทุกอย่างกลายเป็นเรื่องง่ายและสง่างาม! ต้องถอดรากออกทีละชิ้น โอเค สามารถทำได้ด้วยอะไรก็ได้ ตัวเลขใหญ่. ทวีคูณพวกเขาและไป!
อีกอย่างทำไมคุณไม่ต้องหารด้วย 3 คุณเดา? ใช่เพราะรากของสามไม่ถูกแยกออกมาอย่างแน่นอน! เหมาะสมที่จะสลายตัวเป็นปัจจัยที่สามารถสกัดได้อย่างน้อยหนึ่งราก มันคือ 4, 9, 16 หลุม เป็นต้น หารจำนวนมหาศาลของคุณด้วยตัวเลขเหล่านี้ แล้วคุณจะโชคดี!
แต่ไม่จำเป็น อาจจะไม่โชคดี สมมุติว่าเลข 432 เมื่อแยกตัวประกอบและใช้สูตรรากของผลคูณ จะให้ผลลัพธ์ดังนี้:
โอเค. เราได้ลดความซับซ้อนของนิพจน์อยู่แล้ว ในทางคณิตศาสตร์ เป็นธรรมเนียมที่จะต้องละทิ้งมากที่สุด ตัวเล็กที่เป็นไปได้ ในกระบวนการแก้ไข ทุกอย่างขึ้นอยู่กับตัวอย่าง (บางทีทุกอย่างอาจลดลงโดยไม่ทำให้เข้าใจง่าย) แต่ในคำตอบ จำเป็นต้องให้ผลลัพธ์ที่ไม่สามารถทำให้เข้าใจง่ายขึ้นได้อีก
อีกอย่าง คุณรู้หรือไม่ว่าเราทำอะไรกับรูทของ 432 ไปแล้วบ้าง?
เรา เอาปัจจัยจากใต้เครื่องหมายของรากออก ! นั่นคือสิ่งที่เรียกว่าการดำเนินการนี้ แล้วงานก็จะตก - " นำปัจจัยออกจากใต้เครื่องหมายราก“แต่ผู้ชายไม่รู้ด้วยซ้ำ) นี่เป็นอีกประโยชน์สำหรับคุณ คุณสมบัติของรากสิ่งที่มีประโยชน์ประการที่ห้า
จะเอาตัวคูณออกจากใต้รูทได้อย่างไร?
อย่างง่ายดาย. แยกตัวนิพจน์รูตและแยกรูตที่แยกออกมา พวกเรามอง:
ไม่มีอะไรเหนือธรรมชาติ สิ่งสำคัญคือต้องเลือกตัวคูณที่เหมาะสม ที่นี่เราได้ย่อยสลาย 72 เป็น 36 2 และทุกอย่างก็ออกมาดี หรือพวกมันสามารถย่อยสลายได้แตกต่างกัน: 72 = 6 12 แล้วไง!? ไม่มีการสกัดรากจาก 6 หรือ 12 จะทำอย่างไร!
ไม่เป็นไร. หรือมองหาตัวเลือกการสลายตัวอื่น ๆ หรือวางทุกอย่างต่อไปจนสุด! แบบนี้:
อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างได้ผล อนึ่ง นี่ไม่ใช่เร็วที่สุด แต่มากที่สุด วิธีที่เชื่อถือได้. แบ่งจำนวนออกเป็นปัจจัยที่เล็กที่สุด แล้วรวบรวมจำนวนเดียวกันในกอง วิธีนี้ใช้สำเร็จเมื่อคูณรากที่ไม่สะดวก ตัวอย่างเช่น คุณต้องคำนวณ:
คูณทุกอย่าง - คุณได้เลขเด็ด! แล้วจะแยกรากออกจากมันได้อย่างไร! ทวีคูณอีกครั้ง? ไม่ เราไม่ต้องการงานพิเศษ เราแยกส่วนออกเป็นปัจจัยทันทีและรวบรวมเป็นกอง:
นั่นคือทั้งหมดที่ แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องหยุดนิ่ง ทุกอย่างถูกกำหนดโดยความสามารถส่วนบุคคลของคุณ นำตัวอย่างมาสู่สถานะที่ ทุกอย่างชัดเจนสำหรับคุณดังนั้นคุณสามารถนับได้แล้ว สิ่งสำคัญคืออย่าทำผิดพลาด ไม่ใช่ผู้ชายสำหรับคณิตศาสตร์ แต่เป็นคณิตศาสตร์สำหรับผู้ชาย!)
มาประยุกต์ความรู้ไปปฏิบัติกัน? มาเริ่มกันง่ายๆ ก่อน:
กฎการบวกรากที่สอง
คุณสมบัติของรากที่สอง
จนถึงตอนนี้ เราได้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขห้าตัว: การบวก การลบ การคูณการหารและการยกกำลัง และคุณสมบัติต่างๆ ของการดำเนินการเหล่านี้ถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในการคำนวณ เช่น a + b = b + a และ n -b n = (ab) n เป็นต้น
บทนี้แนะนำการดำเนินการใหม่ - การหารากที่สองของจำนวนที่ไม่เป็นลบ เพื่อให้ใช้งานได้สำเร็จ คุณต้องทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของการดำเนินการนี้ ซึ่งเราจะทำในส่วนนี้
การพิสูจน์. ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:
เราต้องพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ x, y, z ความเท่ากัน x = yz เป็นจริง
ดังนั้น x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b จากนั้น x 2 \u003d y 2 z 2 เช่น x 2 \u003d (yz) 2
ถ้า สี่เหลี่ยมตัวเลขที่ไม่เป็นลบสองตัวเท่ากัน จากนั้นตัวเลขก็เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าจากความเท่าเทียมกัน x 2 \u003d (yz) 2 ตามมาว่า x \u003d yz และสิ่งนี้จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์
เราให้บันทึกสั้น ๆ ของการพิสูจน์ทฤษฎีบท:
หมายเหตุ 1. ทฤษฎีบทยังคงใช้ได้ในกรณีที่นิพจน์รุนแรงเป็นผลคูณของปัจจัยที่ไม่เป็นลบมากกว่าสองตัว
หมายเหตุ 2
ทฤษฎีบท 1 สามารถเขียนได้โดยใช้ “if. แล้ว” (ตามธรรมเนียมของทฤษฎีบทในวิชาคณิตศาสตร์) เราให้สูตรที่สอดคล้องกัน: ถ้า a และ b เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ความเท่าเทียมกัน 
.
นี่คือวิธีที่เรากำหนดทฤษฎีบทต่อไปนี้
(สูตรสั้นๆ ที่สะดวกกว่า ในทางปฏิบัติ : รากของเศษส่วน เท่ากับเศษส่วนจากรากหรือรากของผลหารเท่ากับผลหารของราก)
คราวนี้เราจะให้เพียงบันทึกสั้นๆ ของการพิสูจน์ และคุณสามารถลองแสดงความคิดเห็นที่เหมาะสมได้ เช่นเดียวกับความคิดเห็นที่ประกอบขึ้นเป็นสาระสำคัญของการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1
ตัวอย่างที่ 1. คำนวณ .
การตัดสินใจ. ใช้คุณสมบัติแรก รากที่สอง(ทฤษฎีบท 1) เราได้รับ
หมายเหตุ 3 แน่นอน ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้ในอีกทางหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณมีเครื่องคิดเลขอยู่ในมือ: คูณตัวเลข 36, 64, 9 แล้วหารากที่สองของผลลัพธ์ที่ได้ อย่างไรก็ตาม คุณจะยอมรับว่าวิธีแก้ปัญหาที่เสนอข้างต้นดูมีวัฒนธรรมมากกว่า
หมายเหตุ 4.
ในวิธีแรก เราดำเนินการคำนวณแบบตัวต่อตัว วิธีที่สองนั้นสวยงามกว่า:
เราสมัคร สูตร a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) และใช้คุณสมบัติของรากที่สอง
หมายเหตุ 5. "คนหัวร้อน" บางครั้งเสนอ "วิธีแก้ปัญหา" ต่อไปนี้ให้กับตัวอย่างที่ 3:
แน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง: คุณเห็น - ผลลัพธ์ไม่เหมือนกับในตัวอย่างของเรา 3 ความจริงก็คือไม่มีคุณสมบัติ 
ไม่มีและคุณสมบัติ 
มีคุณสมบัติเกี่ยวกับการคูณและหารรากที่สองเท่านั้น ระวังและระมัดระวังอย่าใช้ความคิดเพ้อฝัน
ตัวอย่างที่ 4. คำนวณ: ก) 
การตัดสินใจ. สูตรใดๆ ในพีชคณิตไม่เพียงแต่ใช้ "จากขวาไปซ้าย" แต่ยังใช้ "จากซ้ายไปขวา" ด้วย ดังนั้น คุณสมบัติแรกของรากที่สองหมายความว่า หากจำเป็น มันสามารถแสดงเป็น และในทางกลับกัน ซึ่งสามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ เช่นเดียวกับคุณสมบัติที่สองของรากที่สอง เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เรามาแก้ตัวอย่างที่เสนอ
เมื่อสรุปส่วนนี้ เราสังเกตอีกอย่างที่ค่อนข้างเรียบง่ายและในเวลาเดียวกัน ทรัพย์สินที่สำคัญ:
ถ้า a > 0 และ n - ตัวเลขธรรมชาติ
, แล้ว
ตัวอย่างที่ 5คำนวณ โดยไม่ต้องใช้ตารางตัวเลขและเครื่องคิดเลข
การตัดสินใจ. ลองแยกจำนวนรูทเป็นตัวประกอบเฉพาะ:
หมายเหตุ 6
ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้ในลักษณะเดียวกับตัวอย่างที่คล้ายกันใน § 15 เดาง่าย ๆ ว่าคำตอบจะเป็น "80 with a tail" ตั้งแต่ 80 2 2 หา "หาง" กัน นั่นคือ หลักสุดท้ายของตัวเลขที่ต้องการ จนถึงตอนนี้ เราทราบแล้วว่าหากแยกรูทแล้ว คำตอบก็คือ 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 หรือ 89 ต้องตรวจสอบตัวเลขเพียงสองตัวเท่านั้น: 84 และ 86 เนื่องจากมีเพียงตัวเลขเหล่านี้เท่านั้น เมื่อยกกำลังสองจะได้ผลลัพธ์ สี่หลักตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 6 คือ หลักเดียวกับที่ลงท้ายด้วยหมายเลข 7056 เรามี 84 2 \u003d 7056 - นี่คือสิ่งที่เราต้องการ วิธี,
มอร์ดโควิช เอ. จี. พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8: Proc. เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน. - ครั้งที่ 3, จบแล้ว. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.
หนังสือ ดาวน์โหลด ตำราคณิตศาสตร์ บทคัดย่อ เพื่อช่วยครูและนักเรียน เรียนออนไลน์
หากคุณมีการแก้ไขหรือข้อเสนอแนะสำหรับบทเรียนนี้ เขียนถึงเรา
หากคุณต้องการดูการแก้ไขและข้อเสนอแนะอื่นๆ สำหรับบทเรียน โปรดดูที่นี่ - ฟอรัมการศึกษา
วิธีการบวกรากที่สอง
รากที่สองของตัวเลข Xเรียกเลขหมาย อาซึ่งอยู่ในกระบวนการคูณด้วยตัวมันเอง ( A*A) สามารถให้หมายเลข X.
เหล่านั้น. A * A = A 2 = X, และ √X = เอ.
เหนือรากที่สอง ( √x) เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้ เช่น การลบและการบวก หากต้องการลบและเพิ่มราก จะต้องเชื่อมต่อโดยใช้เครื่องหมายที่สอดคล้องกับการกระทำเหล่านี้ (เช่น √x - √y
).
แล้วนำรากมาให้ รูปแบบที่ง่ายที่สุด- หากมีความคล้ายคลึงกันระหว่างพวกเขาจำเป็นต้องสร้างนักแสดง ประกอบด้วยความจริงที่ว่ามีการใช้ค่าสัมประสิทธิ์ของคำที่คล้ายคลึงกันซึ่งมีเครื่องหมายของคำที่เกี่ยวข้องจากนั้นจะใส่ไว้ในวงเล็บและรากทั่วไปจะแสดงอยู่นอกวงเล็บตัวคูณ ค่าสัมประสิทธิ์ที่เราได้รับนั้นทำให้ง่ายขึ้นตามกฎปกติ
ขั้นตอนที่ 1. แยกรากที่สอง
ขั้นแรก ในการบวกรากที่สอง คุณต้องแยกรากเหล่านี้ก่อน สามารถทำได้ถ้าตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ใช้นิพจน์ที่กำหนด √4 + √9
. หมายเลขแรก 4
เป็นกำลังสองของจำนวน 2
. ตัวที่สอง 9
เป็นกำลังสองของจำนวน 3
. จึงสามารถหาความเท่าเทียมกันได้ดังนี้ √4 + √9 = 2 + 3 = 5
.
ทุกอย่างตัวอย่างได้รับการแก้ไข แต่ก็ไม่ได้เกิดขึ้นอย่างนั้นเสมอไป
ขั้นตอนที่ 2 นำตัวคูณของตัวเลขออกจากใต้รูท
หากไม่มีกำลังสองเต็มใต้เครื่องหมายรูท คุณสามารถลองเอาตัวคูณของตัวเลขออกจากใต้เครื่องหมายรูท ตัวอย่างเช่น ใช้นิพจน์ √24 + √54 .
ลองแยกตัวประกอบตัวเลข:
24 = 2 * 2 * 2 * 3
,
54 = 2 * 3 * 3 * 3
.
ในรายการ 24 เรามีตัวคูณ 4 สามารถนำออกมาจากใต้เครื่องหมายกรณฑ์ได้ ในรายการ 54 เรามีตัวคูณ 9 .
เราได้รับความเท่าเทียมกัน:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6
.
เมื่อพิจารณาจากตัวอย่างนี้ เราได้ลบตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายรูท ซึ่งจะทำให้นิพจน์ที่กำหนดง่ายขึ้น
ขั้นตอนที่ 3 การลดตัวส่วน
พิจารณาสถานการณ์ต่อไปนี้ ผลรวมของรากที่สองสองตัวเป็นตัวส่วนของเศษส่วน ตัวอย่างเช่น A / (√a + √b).
ตอนนี้เรากำลังเผชิญกับภารกิจ "กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน"
ลองใช้วิธีการต่อไปนี้: คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยนิพจน์ √a - √b.
ตอนนี้เราได้สูตรคูณตัวย่อในตัวส่วน:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.
ในทำนองเดียวกัน หากตัวส่วนมีความแตกต่างของราก: √a - √b, ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนคูณด้วยนิพจน์ √a + √b.
ลองใช้เศษส่วนเป็นตัวอย่าง:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3)
.
ตัวอย่างการลดตัวส่วนที่ซับซ้อน
ทีนี้มาพิจารณากันให้เพียงพอ ตัวอย่างที่ซับซ้อนการกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน
ลองใช้เศษส่วนเป็นตัวอย่าง: 12 / (√2 + √3 + √5)
.
คุณต้องนำตัวเศษและตัวส่วนมาคูณด้วยนิพจน์ √2 + √3 — √5
.
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.
ขั้นตอนที่ 4 คำนวณค่าโดยประมาณบนเครื่องคิดเลข
หากคุณต้องการเพียงค่าโดยประมาณ สามารถทำได้โดยใช้เครื่องคิดเลขโดยคำนวณค่าของรากที่สอง แยกจากกัน สำหรับแต่ละตัวเลข ค่าจะถูกคำนวณและบันทึกด้วยความแม่นยำที่ต้องการ ซึ่งกำหนดโดยจำนวนตำแหน่งทศนิยม นอกจากนี้ การดำเนินการที่จำเป็นทั้งหมดจะดำเนินการ เช่นเดียวกับตัวเลขทั่วไป
ตัวอย่างการคำนวณโดยประมาณ
จำเป็นต้องคำนวณค่าประมาณของนิพจน์นี้ √7 + √5 .
เป็นผลให้เราได้รับ:
√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .
โปรดทราบ: ไม่ควรเพิ่มรากที่สองเป็นจำนวนเฉพาะไม่ว่าในกรณีใด ถือเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้โดยสิ้นเชิง นั่นคือ ถ้าคุณบวกรากที่สองของห้าและสาม เราไม่สามารถหารากที่สองของแปดได้
คำแนะนำที่เป็นประโยชน์: หากคุณตัดสินใจที่จะแยกตัวประกอบตัวเลข เพื่อให้ได้ค่ากำลังสองจากใต้เครื่องหมายราก คุณต้องตรวจสอบย้อนกลับ กล่าวคือ คูณปัจจัยทั้งหมดที่เป็นผลมาจากการคำนวณ และผลลัพธ์สุดท้ายของสิ่งนี้ การคำนวณทางคณิตศาสตร์ควรเป็นตัวเลขที่เราได้รับตั้งแต่แรก
การกระทำกับราก: การบวกและการลบ
การแยกรากที่สองของตัวเลขไม่ใช่การดำเนินการเดียวที่สามารถทำได้กับปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์นี้ เหมือนเลขธรรมดา รากที่สองเพิ่มและลบ
กฎสำหรับการบวกและการลบรากที่สอง
การดำเนินการต่างๆ เช่น การบวกและการลบรากที่สองจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อนิพจน์รากเหมือนกัน
คุณสามารถเพิ่มหรือลบนิพจน์ 2 3 และ 6 3, แต่ไม่ใช่ 5 6 และ 9 4 . หากเป็นไปได้ที่จะลดความซับซ้อนของนิพจน์และนำไปที่รูทด้วยหมายเลขรูทเดียวกัน ให้ลดความซับซ้อน แล้วบวกหรือลบ
การกระทำของรูท: พื้นฐาน
6 50 — 2 8 + 5 12
- ลดความซับซ้อนของนิพจน์ราก. ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องแยกนิพจน์ของรูทออกเป็น 2 แฟคเตอร์ ตัวหนึ่งเป็นตัวเลขสแควร์ (ตัวเลขที่แยกสแควร์รูททั้งหมดออกมา เช่น 25 หรือ 9)
- จากนั้นคุณต้องแยกรากออกจาก เลขสี่เหลี่ยม และเขียนค่าผลลัพธ์ก่อนเครื่องหมายรูท โปรดทราบว่าปัจจัยที่สองถูกป้อนภายใต้เครื่องหมายรูท
- หลังจากขั้นตอนการทำให้เข้าใจง่าย จำเป็นต้องขีดเส้นใต้รากด้วยนิพจน์รากเดียวกัน - เฉพาะพวกมันเท่านั้นที่สามารถเพิ่มและลบได้
- สำหรับรากที่มีนิพจน์รากเดียวกัน จำเป็นต้องบวกหรือลบปัจจัยที่อยู่ก่อนเครื่องหมายราก นิพจน์รากยังคงไม่เปลี่ยนแปลง อย่าบวกหรือลบหมายเลขรูท!
หากคุณมีตัวอย่างกับ ปริมาณมากนิพจน์รากเดียวกันที่เหมือนกัน จากนั้นขีดเส้นใต้นิพจน์ดังกล่าวด้วยบรรทัดเดียว สอง และสามเพื่ออำนวยความสะดวกในกระบวนการคำนวณ
มาลองดูตัวอย่างนี้กัน:
6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . ก่อนอื่นคุณต้องแยก 50 ออกเป็น 2 แฟคเตอร์ 25 และ 2 จากนั้นให้ทำการรูทของ 25 ซึ่งก็คือ 5 และลบ 5 ออกจากใต้รูท หลังจากนั้นคุณต้องคูณ 5 ด้วย 6 (ตัวคูณที่รูท) และรับ 30 2 .
2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . ขั้นแรก คุณต้องแยกตัวประกอบ 8 ตัวออกเป็น 2 ตัว: 4 และ 2 จากนั้นจาก 4 ให้แยกรูทซึ่งเท่ากับ 2 และดึง 2 ออกจากใต้รูท หลังจากนั้นคุณต้องคูณ 2 ด้วย 2 (ตัวประกอบที่รูท) และรับ 4 2 .
5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . ขั้นแรก คุณต้องแยกส่วน 12 เป็น 2 ปัจจัย: 4 และ 3 จากนั้นแยกรากจาก 4 ซึ่งก็คือ 2 และนำออกจากใต้ราก หลังจากนั้นคุณต้องคูณ 2 ด้วย 5 (ตัวประกอบที่รูท) และรับ 10 3 .
ผลการลดความซับซ้อน: 30 2 — 4 2 + 10 3
30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .
เป็นผลให้เราเห็นจำนวนนิพจน์รุนแรงที่เหมือนกันที่มีอยู่ใน ตัวอย่างนี้. มาฝึกกับตัวอย่างอื่นๆ กัน
- ลดความซับซ้อน (45) . เราแยกตัวประกอบ 45: (45) = (9 × 5) ;
- เรานำ 3 ออกจากใต้รูท (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
- เราบวกปัจจัยที่ราก: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
- ลดความซับซ้อน 6 40 . เราแยกตัวประกอบ 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
- เรานำ 2 จากใต้รูท (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
- เราคูณปัจจัยที่อยู่หน้าราก: 12 10;
- เราเขียนนิพจน์ในรูปแบบย่อ: 12 10 - 3 10 + 5;
- เนื่องจากสองพจน์แรกมีจำนวนรากเหมือนกัน เราจึงสามารถลบออกได้: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5
- ก่อนบวกหรือลบ จำเป็นต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์รากศัพท์ (ถ้าเป็นไปได้)
- ห้ามเพิ่มและลบรูทด้วยนิพจน์รูทที่แตกต่างกันโดยเด็ดขาด
- อย่าบวกหรือลบจำนวนเต็มหรือรากที่สอง: 3 + (2 x) 1 / 2 .
- เมื่อดำเนินการกับเศษส่วน คุณต้องหาจำนวนที่หารลงตัวโดยตัวส่วนแต่ละตัว จากนั้นนำเศษส่วนไปยังตัวส่วนร่วม จากนั้นจึงบวกตัวเศษ และไม่เปลี่ยนแปลงตัวส่วน
ดังที่เราเห็น เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้จำนวนรากลดความซับซ้อน ดังนั้นในตัวอย่าง เรามองหาสมาชิกที่มีจำนวนรากเดียวกัน ดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (บวก ลบ ฯลฯ) และเขียนผลลัพธ์:
(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .
คำแนะนำ:
คุณสมบัติของรากที่สองของเลขคณิต กำลังของรากที่สองเลขคณิต
การแปลงรากที่สองของเลขคณิต การแปลงรากที่สองของเลขคณิต
สกัด รากที่สองของพหุนามจำเป็นต้องคำนวณพหุนามและแยกรากออกจากจำนวนผลลัพธ์
ความสนใจ!เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากแต่ละเทอม (ลดและลบ) แยกกัน
Shchob ที่จะชนะ รากที่สองของพหุนามความต้องการคือการคำนวณคำที่มีรูปแบบสมบูรณ์และจากจำนวนที่ลบออกเพื่อทำการรูท
เคารพ!เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากผลิตภัณฑ์เสริมอาหาร (เปลี่ยนแปลงและมองเห็นได้) OKremo
เพื่อแยกรากที่สองของผลิตภัณฑ์ (ผลหาร)คุณสามารถคำนวณรากที่สองของแต่ละปัจจัย (เงินปันผลและตัวหาร) และรับค่าผลลัพธ์ด้วยผลคูณ (ผลหาร)
เพื่อชนะสแควร์รูทของ dobutka (บางส่วน)คุณสามารถคำนวณรากที่สองของตัวคูณสกิน (หารและ dilnik) และลบค่าด้วยการเสริม (บ่อย)
การหารากที่สองของเศษส่วนคุณต้องแยกรากที่สองของตัวเศษและตัวส่วนออกจากกัน และปล่อยให้ค่าผลลัพธ์เป็นเศษส่วนหรือคำนวณเป็นผลหาร (ถ้าเป็นไปได้ตามเงื่อนไข)
เพื่อชนะรากที่สองของเศษส่วนคุณต้องใช้รากที่สองของสมุดตัวเลขและธงของ okremo และกีดกันค่าของเศษส่วนด้วยเศษส่วนหรือนับเป็นส่วนหนึ่ง (ตามที่เป็นไปได้สำหรับจิตใจ)
ปัจจัยสามารถนำออกจากใต้เครื่องหมายรากและสามารถนำปัจจัยมาใช้ภายใต้เครื่องหมายราก เมื่อปัจจัยถูกดึงออกมา รากจะถูกดึงออกมาจากปัจจัยนั้น และเมื่อนำปัจจัยออกไป ปัจจัยจะถูกยกขึ้นเป็นกำลังที่สอดคล้องกัน
เครื่องหมายรากที่ 3 สามารถคูณได้ และเครื่องหมายรากสามารถคูณได้ ด้วยความผิดพลาดของตัวคูณ รากจะบิด และด้วยการแนะนำ รากจะถูกสร้างขึ้นที่เท้าที่สูงขึ้น
ตัวอย่าง. นำมาใช้
ในการแปลงผลรวม (ผลต่าง) ของรากที่สอง คุณต้องนำนิพจน์รากเป็นหนึ่งฐานของดีกรี ถ้าเป็นไปได้ ให้แยกรากออกจากองศาและเขียนก่อนเครื่องหมายของราก และรากที่สองที่เหลือด้วย สามารถเพิ่มนิพจน์รูทเดียวกันได้ โดยเพิ่มสัมประสิทธิ์ก่อนรูทเครื่องหมาย และเพิ่มสแควร์รูทเดียวกัน
ในการสร้างผลรวม (ราคา) ของรากที่สองใหม่ จำเป็นต้องนำรากที่สองมาที่ฐานใดฐานหนึ่งของขั้นตอน เท่าที่จะทำได้ เพื่อถอนรากของขั้นตอนและจดไว้ก่อนเครื่องหมายของ รากและคำตอบของรากที่สองด้วยคำรากเดียวกัน ซึ่งฉันสามารถรวมกันเพื่อสิ่งที่ฉันสามารถบวกและเพิ่มรากที่สองเดียวกันได้
เรานำนิพจน์รากศัพท์ทั้งหมดมาที่ฐาน 2
จากระดับคู่ รากจะถูกดึงออกมาอย่างสมบูรณ์ จากระดับคี่ รากของฐานในระดับ 1 จะถูกทิ้งไว้ภายใต้สัญลักษณ์ของราก
เราให้จำนวนเต็มที่คล้ายกันและเพิ่มสัมประสิทธิ์ที่มีรากเดียวกัน เราเขียนทวินามเป็นผลคูณของจำนวนและทวินามของผลรวม
นำรากย่อยทั้งหมดของ virazi ไปที่ฐาน 2
จากสเตจที่จับคู่ รูตจะถูกวาดเป็นแถว จากสเตจ unpaired รูตของฐานในสเตจ 1 จะถูกเติมภายใต้สัญลักษณ์ของรูท
ขอแนะนำให้เพิ่มตัวเลขและค่าสัมประสิทธิ์ที่คล้ายกันลงในรากเดียวกัน เราเขียนทวินามเป็นส่วนเสริมของจำนวน i ของทวินามซูมิ
เรานำพจน์รากศัพท์มาใช้กับฐานที่เล็กที่สุดหรือผลคูณของกำลังที่มีฐานที่เล็กที่สุด เราแยกรากออกจากระดับของนิพจน์รากที่สอง ปล่อยให้ส่วนที่เหลืออยู่ในรูปของฐานของดีกรีที่มีตัวบ่งชี้ 1 หรือผลคูณของฐานดังกล่าวภายใต้เครื่องหมายของราก เราให้คำที่คล้ายกัน (เพิ่มสัมประสิทธิ์ของรากเดียวกัน)
เรานำรากของ virazi ไปยังฐานที่เล็กที่สุดหรือการเพิ่มขั้นตอนด้วยฐานที่เล็กที่สุด จากขั้นตอนที่ร้อนแรงภายใต้รากของ viraz รากจะถูกนำส่วนเกินที่ฐานของขั้นตอนด้วยตัวบ่งชี้ 1 หรือการเพิ่มของฐานดังกล่าวจะถูกเติมภายใต้สัญลักษณ์ของรูท เราแนะนำคำที่คล้ายกัน (เราบวกค่าสัมประสิทธิ์ของรากเดียวกัน)
ลองแทนที่การหารเศษส่วนด้วยการคูณ (ด้วยการแทนที่เศษส่วนที่สองด้วยส่วนกลับ) คูณทั้งเศษและส่วนแยกกัน ภายใต้เครื่องหมายรากแต่ละอัน เราเน้นองศา ลองยกเลิกตัวประกอบเดียวกันในตัวเศษและส่วนกัน เราสกัดรากจากพลังที่เท่ากัน
เราแทนที่การหารของเศษส่วนด้วยการคูณ (ด้วยการแทนที่เศษส่วนอื่นด้วยผลตอบแทน) คูณตัวเลข okremo และแบนเนอร์ของเศษส่วน ขั้นตอนสามารถมองเห็นได้ภายใต้สัญลักษณ์ของราก เราจะเร่งตัวคูณเดียวกันในสมุดตัวเลขและแบนเนอร์ ตำหนิรากของขั้นบันไดคู่
เพื่อเปรียบเทียบรากที่สองสองตัว, นิพจน์รากที่สองของพวกมันจะต้องถูกลดขนาดเป็นองศาด้วยฐานเดียวกัน ดังนั้นยิ่งคุณแสดงองศาของนิพจน์รากที่สองมากเท่าใด ค่าของรากที่สองก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น
ในตัวอย่างนี้ นิพจน์รากถอนโคนไม่สามารถลดลงเหลือฐานเดียว เนื่องจากฐานคือ 3 ในฐานแรก และ 3 และ 7 ในฐานที่สอง
วิธีที่สองในการเปรียบเทียบคือการป้อนค่าสัมประสิทธิ์ของรากในนิพจน์รากและเปรียบเทียบค่าตัวเลขของนิพจน์ราก สำหรับสแควร์รูท ยิ่งนิพจน์รูทมาก ค่าของรูทก็จะยิ่งมากขึ้น
เพื่อให้ตรงกับรากที่สอง, รูทย่อยของพวกมันจะต้องถูกทำให้ถึงระดับด้วยพื้นฐานเดียวกัน ในขณะที่ยิ่งตัวบ่งชี้ระดับของรูทย่อยของไวรัสมีค่ามาก ค่าของรากที่สองก็จะยิ่งมากขึ้น
ในกรณีนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะนำรากเหง้าของ virazi มาสู่ฐานใดฐานหนึ่ง เนื่องจากในอันแรก พื้นฐานคือ 3 และในอีกอัน - 3 และ 7
อีกวิธีหนึ่งในการทำให้เท่าเทียมกันคือการเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์การรูตให้กับรูทไวเรสและทำให้ค่าตัวเลขของไวรัสรูตเท่ากัน สแควร์รูทมีไวราซย่อยมากกว่า ค่ารูทก็จะยิ่งมากขึ้น
โดยใช้กฎการกระจายของการคูณและกฎสำหรับการคูณรากด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน (ในกรณีของเรา รากที่สอง) เราได้ผลรวมของรากที่สองสองตัวกับผลคูณภายใต้เครื่องหมายราก เราแบ่ง 91 ออกเป็นปัจจัยเฉพาะและถอนรากออกจากวงเล็บด้วยปัจจัยรากทั่วไป (13 * 5)
เราได้รับผลคูณของรูทและทวินาม ซึ่งโมโนเมียลตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม (1)
Vikoristovuyuchi rozpodilny กฎของการคูณและกฎของการคูณของรากที่มีตัวบ่งชี้เดียวกัน (ในกรณีของเรา - รากที่สอง) นำผลรวมของรากที่สองสองรากที่มีรากเพิ่มเติมภายใต้เครื่องหมายของราก เราสามารถจัดวางตัวคูณ 91 อย่างง่าย ๆ และทำการรูทสำหรับส่วนโค้งจากตัวคูณรูต (13 * 5)
เรานำการรูทและเลขฐานสองมาบวกกัน ซึ่งมีหนึ่งในจำนวนเอกพจน์ในจำนวนเต็ม (1)
ตัวอย่างที่ 9:
ในนิพจน์รากที่สอง เราเลือกโดยแยกตัวประกอบของตัวเลขที่เราแยกรากที่สองทั้งหมดได้ เราแยกรากที่สองออกจากกำลังและใส่ตัวเลขด้วยสัมประสิทธิ์ของรากที่สอง
พจน์ของพหุนามนี้มีตัวประกอบร่วม √3 ซึ่งสามารถดึงออกจากวงเล็บได้ ให้เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
ใน sub-root virases มันถูกมองว่าเป็นตัวคูณของจำนวน ซึ่งสามารถหาสแควร์รูทได้ เราโทษรากที่สองของขั้นตอนและใส่ตัวเลขด้วยสัมประสิทธิ์ของรากที่สอง
พจน์ของพหุนามนี้มีตัวคูณร่วม √3 ซึ่งสามารถตำหนิแขนได้ เราขอแนะนำเพิ่มเติมที่คล้ายกัน
ผลคูณของผลรวมและผลต่างของสอง ฐานเดียวกัน(3 และ √5) โดยใช้สูตรคูณแบบย่อสามารถเขียนเป็นผลต่างของกำลังสองของฐาน
รากที่สองกำลังสองจะเท่ากับนิพจน์รากที่สองเสมอ ดังนั้นเราจะกำจัดรากที่สอง (เครื่องหมายราก) ในนิพจน์
ผลรวม Dobutok และผลต่างของฐานที่เหมือนกันสองตัว (3 і√5) จากสูตรการคูณเร็วสามารถเขียนเป็นผลต่างของฐานสอง
สแควร์รูทของ square zavzhd เท่ากับ sub-root virase ดังนั้นเราจะเรียกรากศัพท์ (root sign) ของ virase
กลับไปที่โรงเรียน. การเติมราก
ในยุคของเราคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์สมัยใหม่ไม่ได้แสดงการคำนวณรูทของตัวเลข งานที่ท้าทาย. ตัวอย่างเช่น √2704=52 เครื่องคิดเลขใดๆ จะคำนวณให้คุณ โชคดีที่เครื่องคิดเลขไม่ได้มีแค่ใน Windows เท่านั้น แต่ยังอยู่ในโทรศัพท์ธรรมดา แม้กระทั่งโทรศัพท์ที่ง่ายที่สุด จริงถ้าจู่ ๆ (ด้วยความน่าจะเป็นเล็กน้อยการคำนวณซึ่งรวมถึงการเพิ่มรูต) คุณพบว่าตัวเองไม่มี เงินทุนที่มีอยู่อนิจจาคุณจะต้องพึ่งพาสมองของคุณเท่านั้น
การฝึกใจไม่เคยล้มเหลว โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับผู้ที่ไม่ได้ทำงานกับตัวเลขบ่อยนักและยิ่งมีรากมากขึ้น การบวกและการลบรากเป็นการออกกำลังกายที่ดีสำหรับจิตใจที่เบื่อหน่าย และฉันจะแสดงให้คุณเห็นการเพิ่มรูททีละขั้นตอน ตัวอย่างของนิพจน์สามารถดังต่อไปนี้
สมการที่จะทำให้ง่ายขึ้นคือ:
นี่คือการแสดงออกที่ไม่ลงตัว เพื่อให้ง่ายขึ้น คุณต้องลดนิพจน์รากศัพท์ทั้งหมดเป็น ปริทัศน์. เราทำเป็นขั้นตอน:
หมายเลขแรกไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกต่อไป มาต่อกันที่เทอมที่สองกัน
3√48 เราแยกตัวประกอบ 48: 48=2×24 หรือ 48=3×16 รากที่สองของ 24 ไม่ใช่จำนวนเต็ม กล่าวคือ มีเศษเป็นเศษส่วน เนื่องจากเราต้องการ ค่าที่แน่นอนดังนั้นรากโดยประมาณไม่เหมาะกับเรา สแควร์รูทของ 16 คือ 4, ดึงมันออกมาจากใต้เครื่องหมายรูท เราได้: 3×4×√3=12×√3
นิพจน์ถัดไปของเราคือลบ นั่นคือ เขียนด้วยเครื่องหมายลบ -4×√(27.) แฟคตอริ่ง 27. เราได้ 27=3×9 เราไม่ใช้ตัวประกอบเศษส่วนเพราะจะคำนวณรากที่สองจากเศษส่วนได้ยากกว่า เรานำ 9 ออกจากใต้ป้ายนั่นคือ คำนวณรากที่สอง เราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้: -4×3×√3 = -12×√3
เทอมถัดไป √128 คำนวณส่วนที่สามารถนำออกจากใต้รูทได้ 128=64×2 โดยที่ √64=8 ถ้ามันทำให้ง่ายขึ้นสำหรับคุณ คุณสามารถแสดงนิพจน์นี้ดังนี้: √128=√(8^2×2)
เราเขียนนิพจน์ใหม่ด้วยเงื่อนไขแบบง่าย:
ตอนนี้เราบวกตัวเลขด้วยนิพจน์รากเดียวกัน คุณไม่สามารถเพิ่มหรือลบนิพจน์ที่มีนิพจน์รุนแรงต่างกันได้ การเพิ่มรากต้องปฏิบัติตามกฎนี้
เราได้รับคำตอบต่อไปนี้:
√2=1×√2 - ฉันหวังว่าเป็นเรื่องปกติในพีชคณิตที่จะละเว้นองค์ประกอบดังกล่าวจะไม่เป็นข่าวสำหรับคุณ
นิพจน์สามารถแสดงได้ไม่เฉพาะด้วยรากที่สองเท่านั้น แต่ยังแสดงด้วยรากที่สามหรือรากที่ n ด้วย
การบวกและการลบของรากที่มีเลขชี้กำลังต่างกัน แต่มีนิพจน์รากที่เท่ากัน เกิดขึ้นดังนี้:
ถ้าเรามีนิพจน์เช่น √a+∛b+∜b เราก็สามารถทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นได้ดังนี้:
12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3
เราได้ลดคำศัพท์ที่คล้ายกันสองคำให้เป็นเลขชี้กำลังร่วมของรูท คุณสมบัติของรากถูกนำมาใช้ที่นี่ ซึ่งบอกว่า: ถ้าจำนวนของระดับของการแสดงออกที่รุนแรงและจำนวนของเลขชี้กำลังของรากถูกคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน การคำนวณจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
หมายเหตุ: เลขชี้กำลังจะถูกเพิ่มเมื่อคูณเท่านั้น
พิจารณาตัวอย่างที่มีเศษส่วนอยู่ในนิพจน์
มาแก้ปัญหาทีละขั้นตอน:
5√8=5*2√2 - เรานำส่วนที่แยกออกมาจากใต้รูท
หากเนื้อความของรูทแสดงด้วยเศษส่วน บ่อยครั้งเศษส่วนนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงหากรากที่สองของเงินปันผลและตัวหารถูกนำมาใช้ เป็นผลให้เราได้รับความเท่าเทียมกันที่อธิบายไว้ข้างต้น
นี่คือคำตอบ
สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือ รูทที่มีเลขชี้กำลังคู่จะไม่ถูกดึงออกจากจำนวนลบ หากนิพจน์รุนแรงระดับคู่เป็นค่าลบ แสดงว่านิพจน์นั้นแก้ไม่ได้
การเพิ่มรากจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อนิพจน์รากศัพท์ตรงกันเท่านั้น เนื่องจากเป็นพจน์ที่คล้ายคลึงกัน เช่นเดียวกับความแตกต่าง
การเพิ่มรากที่มีเลขชี้กำลังต่างกันทำได้โดยการลดเงื่อนไขทั้งสองให้อยู่ในระดับรากทั่วไป กฎหมายนี้ดำเนินการในลักษณะเดียวกับการลดลงเป็นตัวส่วนร่วมเมื่อบวกหรือลบเศษส่วน
หากนิพจน์รากศัพท์มีตัวเลขยกกำลัง นิพจน์นี้สามารถลดความซับซ้อนได้โดยมีเงื่อนไขว่าตัวส่วนร่วมระหว่างรูทและเลขชี้กำลัง
รากที่สองของผลิตภัณฑ์และเศษส่วน
รากที่สองของ a คือจำนวนที่มีกำลังสองคือ a ตัวอย่างเช่น ตัวเลข -5 และ 5 คือรากที่สองของตัวเลข 25 นั่นคือ รากของสมการ x^2=25 คือรากที่สองของตัวเลข 25 ตอนนี้คุณต้องเรียนรู้วิธีการทำงานกับ การดำเนินการรากที่สอง: ศึกษาคุณสมบัติพื้นฐานของมัน
รากที่สองของผลิตภัณฑ์
√(a*b)=√a*√b
รากที่สองของผลคูณของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบสองตัวเท่ากับผลคูณของรากที่สองของตัวเลขเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;
สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าคุณสมบัตินี้ยังใช้กับกรณีที่นิพจน์รุนแรงเป็นผลคูณของสาม สี่ เป็นต้น ตัวคูณที่ไม่เป็นลบ
บางครั้งมีสูตรอื่นของคุณสมบัตินี้ ถ้า a และ b เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็น: √(a*b) =√a*√b ไม่มีความแตกต่างระหว่างพวกเขาอย่างแน่นอน คุณสามารถใช้คำใดคำหนึ่งหรืออีกคำหนึ่งได้ (ซึ่งสะดวกกว่าที่จะจำ)
รากที่สองของเศษส่วน
ถ้า a>=0 และ b>0 ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:
√(a/b)=√a/√b.
ตัวอย่างเช่น √(9/25) = √9/√25 =3/5;
คุณสมบัตินี้ยังมีสูตรที่แตกต่างกันในความคิดของฉันสะดวกกว่าที่จะจำ
รากที่สองของผลหารเท่ากับผลหารของราก
เป็นที่น่าสังเกตว่าสูตรเหล่านี้ใช้ได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย นั่นคือถ้าจำเป็น เราสามารถแสดงผลิตภัณฑ์ของรากเป็นรากของผลิตภัณฑ์ เช่นเดียวกับคุณสมบัติที่สอง
อย่างที่คุณเห็น คุณสมบัติเหล่านี้สะดวกมาก และฉันต้องการมีคุณสมบัติเดียวกันสำหรับการบวกและการลบ:
√(a+b)=√a+√b;
√(a-b)=√a-√b;
แต่น่าเสียดายที่คุณสมบัติดังกล่าวเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ไม่มีรากและดังนั้น ไม่สามารถทำได้ในการคำนวณ.
- 13. ขับรถผ่านแยกจราจร 2018 พร้อมคอมเม้นท์ออนไลน์ 13.1. เมื่อเลี้ยวขวาหรือซ้าย ผู้ขับขี่ต้องให้ทางแก่คนเดินถนนและนักปั่นจักรยานที่ข้าม ทางด่วนถนนที่มันเปลี่ยนเป็น คำแนะนำนี้ใช้กับทุกคน […]
- ประชุมผู้ปกครอง "สิทธิ หน้าที่ และความรับผิดชอบของผู้ปกครอง" การนำเสนอบทเรียน ดาวน์โหลดงานนำเสนอ (536.6 kB) Attention! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้นและอาจไม่ได้แสดงถึง […]
- ทุนการคลอดบุตรในภูมิภาคในภูมิภาค Orel ทุนการคลอดบุตรระดับภูมิภาค (MC) ใน Orel และภูมิภาค Oryol ก่อตั้งขึ้นในปี 2554 ตอนนี้เป็นมาตรการเพิ่มเติม การสนับสนุนทางสังคม ครอบครัวใหญ่ในรูปของเงินสดจ่ายครั้งเดียว […]
- จำนวนเงินก้อนเมื่อลงทะเบียนใน วันแรกในปี 2018 ไม่พบหน้าที่คุณร้องขอ คุณอาจป้อนที่อยู่ผิดหรือหน้าถูกลบไปแล้ว ใช้ […]
- ทนายความคดีเศรษฐกิจ ทรงกลมเศรษฐกิจเป็นแนวคิดที่ค่อนข้างกว้าง กิจกรรมเหล่านี้รวมถึงการฉ้อโกง ธุรกิจผิดกฎหมาย, การทำให้ถูกกฎหมาย เงินได้รับอย่างผิดกฎหมายธนาคารที่ผิดกฎหมาย […]
- บริการกดของธนาคารกลาง สหพันธรัฐรัสเซีย(ธนาคารแห่งรัสเซีย) บริการกด 107016, มอสโก, เซนต์. Neglinnaya, 12www.cbr.ru ในการแต่งตั้งผู้บริหารชั่วคราวกระทรวงการต่างประเทศและการประชาสัมพันธ์ของธนาคารแห่งรัสเซียแจ้งว่าตามวรรค 2 […]
- ลักษณะทั่วไปและ รีวิวสั้นๆทางน้ำ การจำแนกประเภทของแอ่งน้ำ การจำแนกประเภทของแอ่งน้ำเพื่อการเดินเรือของเรือสำราญ (เล็ก) ที่ดูแลโดย GIMS ของรัสเซีย ดำเนินการขึ้นอยู่กับ […]
- Kucherena = ทนายความของ Viktor Tsoi และนี่คือข้อยกเว้น: จดหมายวันนี้จาก Anatoly Kucherena ในความต่อเนื่องของหัวข้อ ยังไม่มีใครตีพิมพ์จดหมายฉบับนี้ และฉันคิดว่าควร ตอนที่ 1 สำหรับตอนนี้ ในไม่ช้าฉันจะเผยแพร่ส่วนที่สองซึ่งลงนามโดยทนายความที่มีชื่อเสียง ทำไมมันถึงสำคัญ? […]
สวัสดีลูกแมว! ครั้งล่าสุดที่เราวิเคราะห์อย่างละเอียดว่ารากคืออะไร (ถ้าคุณจำไม่ได้ ฉันแนะนำให้อ่าน) บทสรุปหลักของบทเรียนนั้น: มีเพียงคำจำกัดความสากลของรากศัพท์ซึ่งคุณต้องรู้ ที่เหลือเป็นเรื่องไร้สาระและเสียเวลา
วันนี้เราไปต่อ เราจะเรียนรู้การคูณราก เราจะศึกษาปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคูณ (หากปัญหาเหล่านี้ไม่ได้รับการแก้ไข ก็อาจถึงแก่ชีวิตในการสอบ) และเราจะฝึกฝนอย่างถูกต้อง ตุนข้าวโพดคั่ว ทำตัวให้สบาย - แล้วเราจะเริ่มกัน :)
คุณยังไม่ได้สูบบุหรี่ใช่ไหม
บทเรียนค่อนข้างใหญ่ ดังนั้นฉันจึงแบ่งออกเป็นสองส่วน:
- อันดับแรก เราจะดูกฎการคูณ ฝาครอบดูเหมือนจะบอกใบ้: นี่คือเมื่อมีรากสองราก มีเครื่องหมาย "คูณ" ระหว่างทั้งสอง - และเราต้องการทำอะไรกับมัน
- จากนั้นเราจะวิเคราะห์สถานการณ์ย้อนกลับ: มีรากใหญ่เพียงรากเดียว และเราใจร้อนที่จะนำเสนอเป็นผลจากสองรากในวิธีที่ง่ายกว่า ด้วยความตกใจเป็นสิ่งที่จำเป็นเป็นคำถามแยกต่างหาก เราจะวิเคราะห์อัลกอริทึมเท่านั้น
สำหรับผู้ที่รอไม่ไหวที่จะเข้าสู่ภาค 2 ได้เลย เริ่มจากส่วนที่เหลือตามลำดับ
กฎการคูณขั้นพื้นฐาน
เริ่มจากรากที่สองที่ง่ายที่สุด - คลาสสิก ตัวที่แทนด้วย $\sqrt(a)$ และ $\sqrt(b)$ สำหรับพวกเขาแล้ว ทุกอย่างชัดเจน:
กฎการคูณ ในการคูณรากที่สองด้วยรากที่สอง คุณเพียงแค่คูณนิพจน์รากที่สองของพวกมัน แล้วเขียนผลลัพธ์ภายใต้รากที่สอง:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
ไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติมสำหรับตัวเลขทางขวาหรือซ้าย: หากรูทตัวคูณมีอยู่ ผลิตภัณฑ์ก็จะมีอยู่เช่นกัน
ตัวอย่าง. พิจารณาสี่ตัวอย่างพร้อมตัวเลขพร้อมกัน:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
อย่างที่คุณเห็น ความหมายหลักของกฎนี้คือการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ไม่ลงตัว และถ้าในตัวอย่างแรก เราจะแยกรากจาก 25 และ 4 โดยไม่มีกฎใหม่ใดๆ ดีบุกก็จะเริ่มต้น: $\sqrt(32)$ และ $\sqrt(2)$ ไม่นับด้วยตัวเอง แต่ ผลคูณของมันออกมาเป็นกำลังสองพอดี ดังนั้นรากของมันจึงเท่ากับจำนวนตรรกยะ.
แยกจากกันฉันต้องการทราบบรรทัดสุดท้าย ในที่นี้ นิพจน์รากศัพท์ทั้งสองเป็นเศษส่วน ต้องขอบคุณผลิตภัณฑ์ มีหลายปัจจัยที่ยกเลิกไป และนิพจน์ทั้งหมดกลายเป็นจำนวนที่เพียงพอ
แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกสิ่งจะสวยงามเสมอไป บางครั้งจะมีอึที่สมบูรณ์ภายใต้ราก - ไม่ชัดเจนว่าจะทำอย่างไรกับมันและจะแปลงอย่างไรหลังจากการคูณ อีกนิดเดียวเมื่อคุณเริ่มเรียน สมการอตรรกยะและความไม่เท่าเทียมกัน โดยทั่วไปจะมีตัวแปรและฟังก์ชันทุกประเภท และบ่อยครั้งที่คอมไพเลอร์ของปัญหากำลังนับความจริงที่ว่าคุณจะพบเงื่อนไขหรือปัจจัยที่ทำสัญญาหลังจากนั้นงานจะง่ายขึ้นอย่างมาก
นอกจากนี้ ไม่จำเป็นต้องคูณสองรากเท่านั้น คุณสามารถคูณสามพร้อมกัน สี่ - ใช่ แม้แต่สิบ! สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนกฎ ลองดูสิ:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
และข้อสังเกตเล็ก ๆ อีกครั้งในตัวอย่างที่สอง อย่างที่คุณเห็นในตัวคูณที่สามมีเศษส่วนทศนิยมอยู่ใต้รูท - ในกระบวนการคำนวณ เราแทนที่ด้วยเศษปกติหลังจากนั้นทุกอย่างจะลดลงอย่างง่ายดาย ดังนั้น: ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้กำจัดเศษส่วนทศนิยมในนิพจน์ที่ไม่ลงตัวใดๆ (นั่นคือ มีไอคอนกรณฑ์อย่างน้อยหนึ่งไอคอน) วิธีนี้จะช่วยประหยัดเวลาและความกังวลของคุณไปได้มากในอนาคต
แต่มันเป็นการพูดนอกเรื่องโคลงสั้น ๆ ตอนนี้ ให้พิจารณากรณีทั่วไปมากขึ้น - เมื่อเลขชี้กำลังรากมีตัวเลข $n$ โดยพลการ และไม่ใช่แค่สอง "คลาสสิก"
กรณีของตัวบ่งชี้ตามอำเภอใจ
เราก็หารากที่สองได้แล้ว และจะทำอย่างไรกับลูกบาศก์? หรือโดยทั่วไปมีรากของระดับ $n$ โดยพลการ? ใช่ทุกอย่างเหมือนกัน กฎยังคงเหมือนเดิม:
ในการคูณสองรากของดีกรี $n$ ก็เพียงพอแล้วที่จะคูณนิพจน์รากของพวกมัน หลังจากนั้นผลลัพธ์จะถูกเขียนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ตัวเดียว
โดยทั่วไปไม่มีอะไรซับซ้อน เว้นเสียแต่ว่าปริมาณการคำนวณสามารถมากขึ้น ลองดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง:
ตัวอย่าง. คำนวณสินค้า:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
และให้ความสนใจกับนิพจน์ที่สองอีกครั้ง เราคูณรากที่สาม, กำจัดเศษส่วนทศนิยม, และด้วยเหตุนี้ เราจึงได้ผลคูณของตัวเลข 625 และ 25 ในตัวส่วน นี่ค่อนข้างมาก จำนวนมาก- โดยส่วนตัว ฉันไม่ได้คิดทันทีว่ามันเท่ากับอะไร
ดังนั้นเราจึงเลือกคิวบ์ที่แน่นอนในตัวเศษและส่วน จากนั้นใช้หนึ่งในคุณสมบัติหลัก (หรือหากคุณต้องการ คำจำกัดความ) ของรูทของระดับ $n$th:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
"การหลอกลวง" ดังกล่าวสามารถช่วยคุณประหยัดเวลาในการสอบได้มากหรือ ควบคุมงานดังนั้นจำไว้:
อย่าเร่งที่จะคูณตัวเลขในนิพจน์ราก ก่อนอื่น ให้ตรวจสอบ: จะเกิดอะไรขึ้นหากระดับของนิพจน์ใด ๆ ถูก "เข้ารหัส" ที่นั่น
ด้วยความชัดเจนของคำพูดนี้ ฉันต้องยอมรับว่านักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวส่วนใหญ่ชี้ว่างไม่เห็นองศาที่แน่นอน แต่พวกเขาคูณทุกอย่างข้างหน้าแล้วสงสัยว่า: ทำไมพวกเขาถึงได้ตัวเลขที่โหดร้ายเช่นนี้ :)
อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้เป็นการเล่นของเด็ก เมื่อเทียบกับสิ่งที่เราจะเรียนในตอนนี้
การคูณรากด้วยเลขชี้กำลังต่างกัน
ทีนี้ เราสามารถคูณรากด้วยเลขชี้กำลังเดียวกันได้ แล้วถ้าคะแนนต่างกันล่ะ? สมมติว่าคุณคูณ $\sqrt(2)$ ธรรมดาด้วยอึเช่น $\sqrt(23)$ ได้อย่างไร เป็นไปได้ไหมที่จะทำเช่นนี้?
ใช่ แน่นอน คุณทำได้ ทุกอย่างทำตามสูตรนี้:
กฎการคูณรูต ในการคูณ $\sqrt[n](a)$ ด้วย $\sqrt[p](b)$ ให้ทำการแปลงดังนี้:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ นิพจน์รุนแรงไม่เป็นลบ. นี่เป็นข้อสังเกตที่สำคัญมาก ซึ่งเราจะกลับมาในภายหลัง
ในตอนนี้ มาดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรซับซ้อน ตอนนี้ มาดูกันว่าข้อกำหนดที่ไม่เป็นลบมาจากไหน และจะเกิดอะไรขึ้นหากเราละเมิดข้อกำหนดนั้น :)
มันง่ายที่จะคูณราก เหตุใดนิพจน์รากต้องไม่เป็นค่าลบ
แน่นอนคุณสามารถเป็นเหมือน ครูโรงเรียนและอ้างตำราเรียนอย่างชาญฉลาด:
ข้อกำหนดของการไม่ปฏิเสธมีความเกี่ยวข้องกับคำจำกัดความที่แตกต่างกันของรากของดีกรีคู่และคี่ (ตามลำดับ ขอบเขตของคำจำกัดความก็ต่างกันด้วย)
มันชัดเจนขึ้น? โดยส่วนตัวแล้ว เมื่อฉันอ่านเรื่องไร้สาระนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ฉันเข้าใจตัวเองดังนี้: “ข้อกำหนดของการไม่ปฏิเสธเกี่ยวข้องกับ *#&^@(*#@^#)~%” - ในระยะสั้นฉัน ตอนนั้นไม่เข้าใจเรื่องเหี้ยๆ :)
ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างตามปกติ
อันดับแรก มาดูกันว่าสูตรคูณข้างต้นมาจากไหน ในการทำเช่นนี้ ผมขอเตือนคุณถึงคุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของรูท:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถยกนิพจน์รากเป็นกำลังธรรมชาติใดๆ $k$ ได้อย่างปลอดภัย - ในกรณีนี้ ดัชนีรูทจะต้องคูณด้วยกำลังเดียวกัน ดังนั้นเราจึงสามารถลดรากใด ๆ ให้เป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปได้อย่างง่ายดายหลังจากนั้นเราคูณ นี่คือที่มาของสูตรคูณ:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
แต่มีปัญหาอย่างหนึ่งที่จำกัดการใช้สูตรเหล่านี้ทั้งหมดอย่างรุนแรง พิจารณาตัวเลขนี้:
ตามสูตรที่ให้มา เราสามารถบวกองศาใดก็ได้ ลองเพิ่ม $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
เราลบลบออกอย่างแม่นยำเพราะสี่เหลี่ยมนั้นเผาลบ (เช่นเดียวกับดีกรีคู่อื่นๆ) และตอนนี้ เรามาทำการแปลงแบบย้อนกลับกัน: "ลด" สองตัวในเลขชี้กำลังและดีกรี อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันใดๆ สามารถอ่านได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ก); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]
แต่แล้วสิ่งประหลาดก็เกิดขึ้น:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
เป็นไปไม่ได้เพราะ $\sqrt(-5) \lt 0$ และ $\sqrt(5) \gt 0$ ซึ่งหมายความว่าสำหรับเลขยกกำลังและจำนวนลบ สูตรของเราใช้ไม่ได้อีกต่อไป หลังจากนั้นเรามีสองทางเลือก:
- เพื่อต่อสู้กับกำแพงเพื่อระบุว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่โง่เขลาที่ "มีกฎบางอย่าง แต่ไม่ถูกต้อง";
- แนะนำข้อจำกัดเพิ่มเติมซึ่งสูตรจะทำงานได้ 100%
ในตัวเลือกแรก เราจะต้องจับกรณีที่ "ไม่ทำงาน" อย่างต่อเนื่อง ซึ่งเป็นเรื่องยาก ยาว และโดยทั่วไปแล้วจะฟู ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงชอบตัวเลือกที่สอง :)
แต่ไม่ต้องกังวล! ในทางปฏิบัติ ข้อ จำกัด นี้ไม่ส่งผลต่อการคำนวณ แต่อย่างใด เนื่องจากปัญหาที่อธิบายไว้ทั้งหมดเกี่ยวข้องกับรากของระดับคี่เท่านั้นและสามารถนำ minuses ออกมาได้
ดังนั้นเราจึงกำหนดกฎอื่นที่ใช้โดยทั่วไปกับการกระทำทั้งหมดที่มีราก:
ก่อนคูณราก ตรวจสอบให้แน่ใจว่านิพจน์รากศัพท์ไม่เป็นค่าลบ
ตัวอย่าง. ในจำนวน $\sqrt(-5)$ คุณสามารถลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายรูท - จากนั้นทุกอย่างจะเรียบร้อย:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
รู้สึกถึงความแตกต่าง? หากคุณปล่อยเครื่องหมายลบไว้ใต้รูท จากนั้นเมื่อนิพจน์รากที่สองถูกยกกำลังสอง นิพจน์นั้นจะหายไปและอึจะเริ่มขึ้น และถ้าคุณลบเครื่องหมายลบออกก่อน คุณสามารถเพิ่มหรือลบสี่เหลี่ยมจตุรัสได้จนกว่าคุณจะเป็นสีน้ำเงิน - ตัวเลขจะเป็นลบ :)
ดังนั้น วิธีที่ถูกต้องและน่าเชื่อถือที่สุดในการคูณรากมีดังนี้:
- ลบ minuses ทั้งหมดออกจากใต้อนุมูล minuses อยู่ในรากของ multiplicity แบบคี่เท่านั้น - สามารถวางไว้ข้างหน้า root และลดลงหากจำเป็น (เช่นถ้ามี minuses สองอัน)
- ทำการคูณตามกฎที่กล่าวข้างต้นในบทเรียนวันนี้ หากดัชนีของรากเหมือนกัน ให้คูณนิพจน์ราก และถ้าต่างกัน เราก็ใช้สูตรชั่วร้าย \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) )))\].
- 3. เราสนุกกับผลลัพธ์และคะแนนที่ดี :)
ดี? เรามาฝึกกันไหม?
ตัวอย่างที่ 1 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(จัดตำแหน่ง)\]
นี่เป็นตัวเลือกที่ง่ายที่สุด: ตัวบ่งชี้ของรากเหมือนกันและคี่ ปัญหาอยู่ในลบของตัวคูณที่สองเท่านั้น เราทนต่อการลบ nafig หลังจากนั้นทุกอย่างก็พิจารณาได้ง่าย
ตัวอย่างที่ 2 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5))) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( จัดตำแหน่ง)\]
ที่นี่หลายคนคงสับสนกับผลลัพธ์ที่ได้ จำนวนอตรรกยะ. ใช่ มันเกิดขึ้น: เราไม่สามารถกำจัดรากได้อย่างสมบูรณ์ แต่อย่างน้อยเราก็ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นอย่างมาก
ตัวอย่างที่ 3 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( ก)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
นี่คือสิ่งที่ฉันต้องการดึงดูดความสนใจของคุณ มีสองจุดที่นี่:
- ภายใต้รูทนั้นไม่ใช่ตัวเลขหรือระดับเฉพาะ แต่เป็นตัวแปร $a$ เมื่อมองแวบแรก นี่อาจดูไม่ปกติเล็กน้อย แต่ในความเป็นจริง เมื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ คุณมักจะต้องจัดการกับตัวแปร
- ในที่สุด เราก็สามารถ "ลด" เลขชี้กำลังรากและดีกรีในการแสดงออกที่รุนแรงได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย และนี่หมายความว่าสามารถลดความซับซ้อนของการคำนวณได้อย่างมากหากคุณไม่ได้ใช้สูตรหลัก
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถทำสิ่งนี้:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \สิ้นสุด(จัดตำแหน่ง)\]
อันที่จริง การแปลงทั้งหมดดำเนินการกับรากที่สองเท่านั้น และถ้าคุณไม่ลงรายละเอียดในขั้นตอนกลางทั้งหมด ในที่สุดปริมาณของการคำนวณจะลดลงอย่างมาก
อันที่จริง เราได้พบงานที่คล้ายกันข้างต้นแล้วเมื่อแก้ไขตัวอย่าง $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ ตอนนี้สามารถเขียนได้ง่ายขึ้นมาก:
\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75) \end(จัดตำแหน่ง)\]
เราก็หาการคูณของรากได้แล้ว ตอนนี้ให้พิจารณาการดำเนินการผกผัน: จะทำอย่างไรเมื่อมีงานภายใต้รูท?
ในวิชาคณิตศาสตร์ รากสามารถเป็นกำลังสอง ลูกบาศก์ หรือมีเลขชี้กำลังอื่นๆ ซึ่งเขียนไว้ทางด้านซ้ายเหนือเครื่องหมายราก นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูทเรียกว่านิพจน์รูท การเติมรูตนั้นคล้ายกับการเติมเทอม นิพจน์พีชคณิตนั่นคือต้องมีคำจำกัดความของรากที่คล้ายคลึงกัน
ขั้นตอน
ส่วนที่ 1 จาก 2: ค้นหารากการกำหนดรูตนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายราก () หมายความว่าจำเป็นต้องแยกรากในระดับหนึ่งออกจากนิพจน์นี้
- รูตแสดงด้วยเครื่องหมาย
- ดัชนี (ระดับ) ของรูทเขียนไว้ทางด้านซ้ายเหนือเครื่องหมายรูท ตัวอย่างเช่น รากที่สามของ 27 เขียนเป็น: (27)
- หากไม่มีเลขชี้กำลัง (ดีกรี) ของราก เลขชี้กำลังจะเท่ากับ 2 นั่นคือรากที่สอง (หรือรากของดีกรีที่สอง)
- ตัวเลขที่เขียนก่อนเครื่องหมายรูทเรียกว่าตัวคูณ (นั่นคือ ตัวเลขนี้คูณด้วยรูท) เช่น 5 (2)
- หากไม่มีตัวประกอบอยู่ข้างหน้ารูท มันจะเท่ากับ 1 (จำได้ว่าจำนวนใดๆ ที่คูณด้วย 1 เท่ากับตัวมันเอง)
- หากคุณกำลังทำงานกับรูทเป็นครั้งแรก ให้จดบันทึกที่เหมาะสมเกี่ยวกับตัวคูณและเลขชี้กำลังของรูท เพื่อไม่ให้สับสนและเข้าใจจุดประสงค์ของรูทมากขึ้น
จำไว้ว่ารากใดพับได้และรากใดพับไม่ได้เช่นเดียวกับที่คุณไม่สามารถเพิ่มพจน์ที่แตกต่างกันของนิพจน์ เช่น 2a + 2b 4ab คุณไม่สามารถเพิ่มรากที่แตกต่างกันได้
ระบุและจัดกลุ่มรากที่คล้ายกันรากที่คล้ายกันคือรากที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันและมีนิพจน์รากเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)
- ขั้นแรก เขียนนิพจน์ใหม่เพื่อให้รากที่มีเลขชี้กำลังเดียวกันอยู่ในอนุกรม
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81) - จากนั้นเขียนนิพจน์ใหม่เพื่อให้รากที่มีเลขชี้กำลังเดียวกันและนิพจน์รากเดียวกันอยู่ในอนุกรม
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)
ลดความซับซ้อนของรากของคุณในการทำเช่นนี้ ให้แยกส่วนนิพจน์รากศัพท์ออกเป็นสองปัจจัย (หากเป็นไปได้) ซึ่งหนึ่งในนั้นถูกนำออกจากใต้ราก ในกรณีนี้ จำนวนที่แสดงผลและปัจจัยรากจะถูกคูณ
เพิ่มตัวประกอบของรากที่คล้ายกันในตัวอย่างของเรา มีสแควร์รูทที่คล้ายกันของ 2 (เพิ่มได้) และสแควร์รูทที่คล้ายกันของ 3 (เพิ่มได้) ที่ รากลูกบาศก์ใน 3 รายการไม่มีรากดังกล่าว
- ไม่มีกฎที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับลำดับที่รากถูกเขียนในนิพจน์ ดังนั้น คุณสามารถเขียนรากในลำดับจากน้อยไปมากของเลขชี้กำลังและในลำดับจากน้อยไปมากของนิพจน์ราก
โปรดทราบ วันนี้วันเดียวเท่านั้น!
น่าสนใจทั้งหมด
ตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายรูตมักจะรบกวนการแก้สมการจึงไม่สะดวกในการทำงานกับมัน แม้ว่าจะถูกยกขึ้นเป็นยกกำลัง เศษส่วน หรือไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนเต็มได้ในระดับหนึ่ง เราสามารถลองหาค่าจาก...
รากของจำนวน x คือจำนวนที่เมื่อยกกำลังของรากแล้ว จะเท่ากับ x ตัวคูณคือจำนวนที่ถูกคูณ นั่นคือ ในนิพจน์เช่น x*ª-&radic-y คุณต้องเติม x ใต้รูท คำสั่งที่ 1 กำหนดระดับ ...
หากนิพจน์รูทมีชุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พร้อมตัวแปร ดังนั้นในบางครั้ง อันเป็นผลมาจากการทำให้เข้าใจง่าย จึงเป็นไปได้ที่จะได้ค่าที่ค่อนข้างง่าย ซึ่งส่วนหนึ่งสามารถนำออกจากใต้รูทได้ การทำให้เข้าใจง่ายนี้มีประโยชน์...
การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่มีรากขององศาต่างๆ สามารถลดความซับซ้อนในการคำนวณในฟิสิกส์และเทคโนโลยีได้อย่างมาก และทำให้มีความแม่นยำมากขึ้น เมื่อคูณและหารจะสะดวกกว่าที่จะไม่แยกรากออกจากตัวประกอบหรือตัวหารและตัวหาร แต่ก่อนอื่น ...
สแควร์รูทของจำนวน x คือจำนวน a ซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวมันเองแล้วจะได้ตัวเลข x: a * a = a^2 = x, x = a เช่นเดียวกับตัวเลขใดๆ คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการบวกและการลบบนรากที่สองได้ คำแนะนำ...
รากในวิชาคณิตศาสตร์สามารถมีความหมายได้สองความหมาย: มันคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และแต่ละคำตอบของสมการ พีชคณิต พาราเมตริก ดิฟเฟอเรนเชียล หรืออื่นๆ คำสั่งที่ 1 รากของดีกรีที่ n ของจำนวน a เป็นตัวเลขที่ ...
เมื่อดำเนินการต่างๆ การดำเนินการเลขคณิตด้วยราก มันมักจะจำเป็นต้องสามารถเปลี่ยนนิพจน์ที่รุนแรงได้ เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น อาจจำเป็นต้องเอาตัวประกอบออกจากเครื่องหมายกรณฑ์หรือวางไว้ข้างใต้ การกระทำนี้สามารถ...
รูทคือไอคอนที่แสดงถึง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์การหาจำนวนดังกล่าวการสร้างอำนาจที่ระบุไว้ก่อนเครื่องหมายของรูตควรให้หมายเลขที่ระบุภายใต้เครื่องหมายนี้ บ่อยครั้งในการแก้ปัญหาที่มี ...
เครื่องหมายของรากในวิชาคณิตศาสตร์เรียกว่า สัญลักษณ์สำหรับราก ตัวเลขใต้เครื่องหมายรากเรียกว่านิพจน์ราก ในกรณีที่ไม่มีเลขชี้กำลัง รูทจะเป็นกำลังสอง มิฉะนั้น ตัวเลขจะระบุ ...
เลขคณิต รากของnthองศาจาก เบอร์จริง a เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ x, องศาที่ nซึ่งเท่ากับจำนวน a. เหล่านั้น. (n) a = x, x^n = a. มีอยู่ วิธีต่างๆเพิ่มเติม รากเลขคณิตและจำนวนตรรกยะ...
รากที่ n ของจำนวนจริง a คือจำนวน b โดยที่ความเท่าเทียมกัน b^n = a เป็นจริง รากที่แปลกมีอยู่สำหรับจำนวนลบและจำนวนบวก และแม้แต่รากก็มีอยู่สำหรับจำนวนบวกเท่านั้น...
สแควร์รูทของจำนวน x คือจำนวน a ซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวมันเอง จะได้จำนวน x: a * a = a^2 = x, √x = a เช่นเดียวกับตัวเลขใดๆ คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการบวกและการลบบนรากที่สองได้
คำแนะนำ
- ขั้นแรก เมื่อเพิ่มรากที่สอง พยายามแยกรากเหล่านั้น สิ่งนี้จะเป็นไปได้หากตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ให้นิพจน์ √4 + √9 ถูกกำหนด เลข 4 ตัวแรกคือกำลังสองของเลข 2 เลขตัวที่สองคือ 9 คือกำลังสองของเลข 3 ปรากฎว่า: √4 + √9 = 2 + 3 = 5
- หากไม่มีกำลังสองเต็มใต้เครื่องหมายรูท ให้ลองเอาตัวคูณของตัวเลขออกจากใต้เครื่องหมายรูท ตัวอย่างเช่น สมมุติว่าให้ √24 + √54 แยกตัวประกอบตัวเลข: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3 จำนวน 24 มีตัวประกอบเป็น 4 ซึ่งสามารถลบออกจากเครื่องหมายรากที่สองได้ จำนวน 54 มีตัวประกอบเป็น 9 ดังนั้นปรากฎว่า: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . ในตัวอย่างนี้ อันเป็นผลมาจากการนำตัวคูณออกจากเครื่องหมายรูท มันกลับกลายเป็นว่าลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่กำหนด
- ให้ผลรวมของรากที่สองสองตัวเป็นตัวส่วนของเศษส่วน เช่น A / (√a + √b) และปล่อยให้งานของคุณคือ "กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน" จากนั้นคุณสามารถใช้วิธีการต่อไปนี้ คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยนิพจน์ √a - √b ดังนั้น ในตัวส่วน คุณจะได้สูตรสำหรับการคูณแบบย่อ: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b โดยการเปรียบเทียบ หากกำหนดความแตกต่างของรากในตัวส่วน: √a - √b ดังนั้นตัวเศษและตัวส่วนของเศษจะต้องคูณด้วยนิพจน์ √a + √b ตัวอย่างเช่น ให้เศษส่วน 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3)
- พิจารณาตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นของการกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน ให้เศษส่วน 12 / (√2 + √3 + √5) จำเป็นต้องคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยนิพจน์ √2 + √3 - √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30. - และสุดท้าย หากคุณต้องการเพียงค่าโดยประมาณ คุณสามารถคำนวณรากที่สองบนเครื่องคิดเลขได้ คำนวณค่าแยกกันสำหรับแต่ละตัวเลขและจดบันทึกด้วยความแม่นยำที่ต้องการ (เช่น ทศนิยมสองตำแหน่ง) แล้วดำเนินการคำนวณตามที่ต้องการ เช่นเดียวกับตัวเลขธรรมดา ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณต้องการทราบค่าโดยประมาณของนิพจน์ √7 + √5 ≈ 2.65 + 2.24 = 4.89
ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุผลนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุตัวบุคคลหรือติดต่อเขาได้
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเมื่อใดก็ได้เมื่อคุณติดต่อเรา
ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:
- เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ อีเมลฯลฯ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับ ข้อเสนอสุดพิเศษ, โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
- เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- หากจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ/หรือ ตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือเหตุผลด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง
การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร เทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด
นอกจากนี้เรายังแนะนำ
กำลังโหลด...