องศาพร้อมตัวเลือกตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล 3. ระดับของตัวเลข: คำจำกัดความ การกำหนด ตัวอย่าง
จากเลขชี้กำลังจำนวนเต็มของจำนวน a การเปลี่ยนไปใช้เลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะแนะนำตัวเอง ด้านล่าง เรากำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ และเราจะทำมันในลักษณะที่คุณสมบัติทั้งหมดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มจะยังคงอยู่ นี่เป็นสิ่งจำเป็นเพราะจำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเซตของจำนวนตรรกยะประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วนและแต่ละ เศษส่วนสามารถแสดงเป็นบวกหรือลบ เศษส่วนร่วม. เรากำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มในย่อหน้าก่อนหน้า ดังนั้น เพื่อให้คำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะสมบูรณ์ เราจำเป็นต้องให้ความหมายของระดับของตัวเลข เอด้วยเศษส่วน m/n, ที่ไหน มเป็นจำนวนเต็ม และ น- เป็นธรรมชาติ. มาทำกัน
พิจารณาดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนของแบบฟอร์ม เพื่อให้คุณสมบัติของปริญญาในระดับหนึ่งยังคงใช้ได้ ความเสมอภาคจะต้องถือ 
. หากเราคำนึงถึงความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและวิธีที่เรากำหนดรากของระดับที่ n ก็มีเหตุผลที่จะยอมรับโดยมีข้อมูล ม, นและ เอการแสดงออกนั้นสมเหตุสมผล
ง่ายต่อการตรวจสอบว่าคุณสมบัติทั้งหมดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มนั้นใช้ได้สำหรับตามที่
เหตุผลข้างต้นทำให้เราสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ บทสรุป: ถ้าให้ ม, นและ เอการแสดงออกนั้นสมเหตุสมผลแล้วพลังของตัวเลข เอด้วยเศษส่วน m/nเรียกว่าราก นองศาของ เอถึงขนาด ม.
ข้อความนี้ทำให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังแบบเศษส่วน มันยังคงเป็นเพียงการอธิบายภายใต้สิ่งที่ ม, นและ เอการแสดงออกนั้นสมเหตุสมผล ขึ้นอยู่กับข้อจำกัดที่วางไว้บน ม, นและ เอมีสองแนวทางหลัก
1. วิธีที่ง่ายที่สุดคือการกำหนดข้อจำกัดใน เอ, ยอมรับ a≥0ในเชิงบวก มและ a>0สำหรับเชิงลบ ม(เพราะที่ m≤0ระดับ 0 นาทีไม่ได้กำหนด) จากนั้นเราจะได้คำจำกัดความของดีกรีต่อไปนี้ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน
คำนิยาม.
ระดับของจำนวนบวก เอด้วยเศษส่วน m/n , ที่ไหน มเป็นทั้งหมดและ นเป็นจำนวนธรรมชาติ เรียกว่า รูต น-th จากท่ามกลาง เอถึงขนาด ม, นั่นคือ, .
ระดับเศษส่วนของศูนย์ยังถูกกำหนดโดยมีข้อแม้เพียงประการเดียวว่าเลขชี้กำลังต้องเป็นค่าบวก
คำนิยาม.
กำลังของศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังบวกที่เป็นเศษส่วน m/n
, ที่ไหน มเป็นจำนวนเต็มบวก และ นเป็นจำนวนธรรมชาติ หมายถึง 
.
เมื่อไม่ได้กำหนดระดับ กล่าวคือ ระดับของเลขศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังลบเศษส่วนไม่สมเหตุสมผล
ควรสังเกตว่าด้วยคำจำกัดความของระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนมีความแตกต่างกันนิดหน่อย: สำหรับค่าลบบางส่วน เอและบางส่วน มและ นการแสดงออกนั้นสมเหตุสมผลและเราละทิ้งกรณีเหล่านี้โดยการแนะนำเงื่อนไข a≥0. ตัวอย่างเช่น มันสมเหตุสมผลที่จะเขียน 
หรือ และคำจำกัดความข้างต้นบังคับให้เราพูดว่าองศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนของรูปแบบ 
ไม่มีความหมาย เพราะฐานต้องไม่เป็นลบ
2. อีกแนวทางในการกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน m/nประกอบด้วยการพิจารณาแยกจากกันของเลขชี้กำลังคู่และเลขคี่ของรูท วิธีนี้ต้องใช้ เงื่อนไขเพิ่มเติม: องศาของ เอซึ่งตัวบ่งชี้เป็นเศษส่วนธรรมดาที่ลดลงถือเป็นกำลังของตัวเลข เอซึ่งมีตัวบ่งชี้เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ที่สอดคล้องกัน (ความสำคัญของเงื่อนไขนี้จะอธิบายไว้ด้านล่าง) นั่นคือถ้า m/nเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ kดีกรีถูกแทนที่ด้วย .
สม่ำเสมอ นและบวก มนิพจน์เหมาะสมสำหรับการไม่เชิงลบใด ๆ เอ(รากของดีกรีคู่ของจำนวนลบไม่สมเหตุสมผล) โดยมีค่าลบ มตัวเลข เอยังคงต้องแตกต่างจากศูนย์ (มิฉะนั้นจะเป็นการหารด้วยศูนย์) และสำหรับเรื่องแปลก นและบวก มตัวเลข เอสามารถเป็นอะไรก็ได้ (รากของระดับคี่ถูกกำหนดสำหรับจำนวนจริงใด ๆ ) และสำหรับค่าลบ มตัวเลข เอต้องแตกต่างจากศูนย์ (เพื่อไม่ให้มีการหารด้วยศูนย์)
เหตุผลข้างต้นทำให้เราได้คำจำกัดความของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน
คำนิยาม.
อนุญาต m/n- เศษส่วนลดไม่ได้ มเป็นทั้งหมดและ น- จำนวนธรรมชาติ สำหรับเศษส่วนสามัญที่ลดทอนได้ ดีกรีจะถูกแทนที่ด้วย องศาของ เอด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดไม่ได้ m/n- มันสำหรับ
o จำนวนจริงใดๆ เอ, จำนวนเต็มบวก มและแปลกโดยธรรมชาติ น, ตัวอย่างเช่น, 
;
o จำนวนจริงใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ เอ, จำนวนเต็มลบ มและแปลก น, ตัวอย่างเช่น, 
;
o จำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ค่าลบ เอ, จำนวนเต็มบวก มและแม้กระทั่ง น, ตัวอย่างเช่น, 
;
o บวกใด ๆ เอ, จำนวนเต็มลบ มและแม้กระทั่ง น, ตัวอย่างเช่น, 
;
o ในกรณีอื่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนไม่ได้กำหนดไว้ เช่น ไม่ได้กำหนดองศา 
.a รายการเราไม่ได้แนบความหมายใด ๆ เรากำหนดระดับของศูนย์สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นบวก m/nอย่างไร สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนติดลบ ระดับของเลขศูนย์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้
โดยสรุปของย่อหน้านี้ ให้พิจารณาข้อเท็จจริงที่ว่าเลขชี้กำลังเศษส่วนสามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละได้ เช่น 
. ในการคำนวณค่าของนิพจน์ประเภทนี้ คุณต้องเขียนเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนธรรมดา แล้วใช้คำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน สำหรับตัวอย่างเหล่านี้ เรามี 
และ 
หลังจากกำหนดระดับของตัวเลขแล้ว ก็มีเหตุผลที่จะพูดถึง คุณสมบัติระดับ. ในบทความนี้ เราจะให้คุณสมบัติพื้นฐานของดีกรีของตัวเลข โดยแตะเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่นี่เราจะให้การพิสูจน์คุณสมบัติทั้งหมดของระดับและยังแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้ถูกนำมาใช้เมื่อแก้ตัวอย่างอย่างไร
การนำทางหน้า
คุณสมบัติขององศาพร้อมตัวบ่งชี้ธรรมชาติ
ตามนิยามของยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ยกกำลังของ n คือผลคูณของปัจจัย n ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับ a ตามคำจำกัดความนี้และการใช้ คุณสมบัติการคูณ ตัวเลขจริง เราสามารถขอรับและพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้ได้ คุณสมบัติของดีกรีกับเลขชี้กำลังธรรมชาติ:
- คุณสมบัติหลักของดีกรี a m ·a n =a m+n ลักษณะทั่วไปของมัน ;
- คุณสมบัติของอำนาจบางส่วนที่มีฐานเดียวกัน a m:a n =a m−n ;
- คุณสมบัติระดับผลิตภัณฑ์ (a b) n =a n b n , ส่วนขยาย ;
- คุณสมบัติเชาวน์ในชนิด (a:b) n =a n:b n ;
- การยกกำลัง (a m) n =a m n , ลักษณะทั่วไปของมัน (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
- การเปรียบเทียบระดับกับศูนย์:
- ถ้า a>0 แล้ว a n >0 สำหรับธรรมชาติ n ใดๆ ;
- ถ้า a=0 แล้ว a n =0 ;
- ถ้า<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ถ้า<0 и показатель степени есть เลขคี่ 2 m-1 จากนั้น a 2 m−1<0 ;
- ถ้า a และ b เป็นจำนวนบวกและ a
- ถ้า m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น m>n แล้วที่ 0
- ถ้า m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น m>n แล้วที่ 0
เราทราบทันทีว่าความเท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรทั้งหมดคือ เหมือนกันภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดและสามารถเปลี่ยนชิ้นส่วนด้านขวาและด้านซ้ายได้ ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติหลักของเศษส่วน a m a n = a m + n with การลดความซับซ้อนของนิพจน์มักใช้ในรูปแบบ a m+n = a m a n .
ทีนี้มาดูรายละเอียดกันทีละอย่างกัน
เริ่มกันที่คุณสมบัติของผลคูณสองกำลังที่มีฐานเดียวกันซึ่งเรียกว่า คุณสมบัติหลักของปริญญา: สำหรับจำนวนจริง a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริง
ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติหลักของปริญญา โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ผลคูณของกำลังที่มีฐานเดียวกันของรูปแบบ a m a n สามารถเขียนเป็นผลคูณได้ เนื่องจากคุณสมบัติของการคูณ นิพจน์ผลลัพธ์สามารถเขียนเป็น 
และผลคูณนี้คือพลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ m+n นั่นคือ a m+n นี้เสร็จสิ้นการพิสูจน์
ให้เรายกตัวอย่างที่ยืนยันคุณสมบัติหลักของปริญญา ลองหาองศาที่มีฐานเท่ากัน 2 และกำลังธรรมชาติ 2 และ 3 ตามคุณสมบัติหลักของดีกรี เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . ตรวจสอบความถูกต้องซึ่งเราคำนวณค่าของนิพจน์ 2 2 ·2 3 และ 2 5 . ทำการยกกำลังเรามี 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32และ 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32 เนื่องจากได้รับค่าที่เท่ากันดังนั้นความเท่าเทียมกัน 2 2 2 3 \u003d 2 5 นั้นถูกต้องและเป็นการยืนยันคุณสมบัติหลักของระดับ
คุณสมบัติหลักของดีกรีตามคุณสมบัติของการคูณสามารถสรุปให้เป็นผลคูณของกำลังสามหรือมากกว่าที่มีฐานเดียวกันและเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ดังนั้นสำหรับจำนวนใด ๆ k ของจำนวนธรรมชาติ n 1 , n 2 , …, n k ความเท่าเทียมกัน a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
ตัวอย่างเช่น, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
คุณสามารถไปยังคุณสมบัติถัดไปขององศาด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ - คุณสมบัติของอำนาจบางส่วนที่มีฐานเดียวกัน: สำหรับจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ a และจำนวนธรรมชาติโดยอำเภอใจ m และ n เป็นไปตามเงื่อนไข m>n ความเท่าเทียมกัน a m:a n =a m−n เป็นจริง
ก่อนทำการพิสูจน์คุณสมบัตินี้ ให้เราพูดถึงความหมายของเงื่อนไขเพิ่มเติมในคำชี้แจง เงื่อนไข a≠0 จำเป็นเพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์ เนื่องจาก 0 n =0 และเมื่อเราคุ้นเคยกับการหารแล้ว เราตกลงกันว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์ เงื่อนไข m>n ถูกนำมาใช้เพื่อไม่ให้เราไปไกลกว่าเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ อันที่จริง สำหรับ m>n เลขชี้กำลัง a m−n is ตัวเลขธรรมชาติมิฉะนั้นจะเป็นศูนย์ (ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ m − n ) หรือจำนวนลบ (ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ m การพิสูจน์. คุณสมบัติหลักของเศษส่วนทำให้เราเขียนความเท่าเทียมกันได้ a m−n a n =a (m−n)+n =a m. จากความเท่าเทียมกันที่ได้รับ a m−n ·a n =a m และจากนั้น a m−n คือผลหารของกำลังของ m และ a n สิ่งนี้พิสูจน์คุณสมบัติของอำนาจบางส่วนที่มีฐานเดียวกัน ลองมาดูตัวอย่างกัน ลองหาสององศาที่มีฐานเดียวกัน π และเลขชี้กำลังธรรมชาติ 5 และ 2 คุณสมบัติของดีกรีที่พิจารณาจะสอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน π 5: π 2 = π 5−3 = π 3 ตอนนี้พิจารณา คุณสมบัติระดับผลิตภัณฑ์: ดีกรีธรรมชาติ n ของผลิตภัณฑ์ของจำนวนจริงสองตัวใดๆ a และ b เท่ากับผลคูณขององศา a n และ b n นั่นคือ (a b) n =a n b n แท้จริงแล้ว โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ เราได้ นี่คือตัวอย่าง: คุณสมบัตินี้ขยายไปถึงระดับของผลิตภัณฑ์ที่มีสามปัจจัยขึ้นไป นั่นคือคุณสมบัติพลังงานธรรมชาติ n ของผลิตภัณฑ์ของปัจจัย k เขียนเป็น (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n. เพื่อความชัดเจน เราแสดงคุณสมบัตินี้พร้อมตัวอย่าง สำหรับผลคูณของปัจจัยสามตัวยกกำลัง 7 เรามี ทรัพย์สินต่อไปคือ ทรัพย์สินทางธรรมชาติ: ผลหารของจำนวนจริง a และ b , b≠0 ยกกำลังธรรมชาติ n เท่ากับผลหารของยกกำลัง a n และ b n นั่นคือ (a:b) n =a n:b n สามารถดำเนินการพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติก่อนหน้า ดังนั้น (a:b) n b n =((a:b) b) n =a nและความเท่าเทียมกัน (a:b) n b n =a n หมายความว่า (a:b) n คือผลหารของ a n หารด้วย b n ลองเขียนคุณสมบัตินี้โดยใช้ตัวอย่างของตัวเลขเฉพาะ: ตอนนี้ขอเสียง คุณสมบัติการยกกำลัง: สำหรับจำนวนจริงใดๆ a และจำนวนธรรมชาติใดๆ m และ n พลังของ a m ยกกำลัง n เท่ากับกำลังของ a ที่มีเลขชี้กำลัง m·n นั่นคือ (a m) n =a m·n ตัวอย่างเช่น (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 . หลักฐานของคุณสมบัติอำนาจในระดับหนึ่งคือห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: คุณสมบัติที่พิจารณาสามารถขยายไปถึงระดับภายในระดับภายในระดับและอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ p, q, r และ s ความเท่าเทียมกัน มันยังคงอาศัยคุณสมบัติของการเปรียบเทียบองศากับเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ เราเริ่มต้นด้วยการพิสูจน์คุณสมบัติการเปรียบเทียบของศูนย์และกำลังด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ก่อนอื่น มาพิสูจน์ว่า a n >0 สำหรับ a>0 ใดๆ ผลคูณของจำนวนบวกสองจำนวนเป็นจำนวนบวก ตามมาจากนิยามของการคูณ ข้อเท็จจริงนี้และคุณสมบัติของการคูณทำให้เราสามารถยืนยันได้ว่าผลลัพธ์ของการคูณจำนวนบวกใดๆ จะเป็นจำนวนบวกด้วย และกำลังของ a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n คือตามนิยามแล้ว ผลคูณของตัวประกอบ n ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับ a อาร์กิวเมนต์เหล่านี้ทำให้เรายืนยันว่าสำหรับฐานบวกใดๆ ดีกรีของ n เป็นจำนวนบวก โดยอาศัยคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้ว 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 และ เห็นได้ชัดว่าสำหรับ n ตามธรรมชาติใดๆ ที่มี a=0 ดีกรีของ n เป็นศูนย์ แน่นอน 0 n =0·0·…·0=0 . ตัวอย่างเช่น 0 3 =0 และ 0 762 =0 มาต่อกันที่ฐานลบกัน เริ่มจากกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ แสดงว่าเป็น 2 ม. โดยที่ m เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้ว สุดท้าย เมื่อฐานของ a เป็นจำนวนลบและเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่ 2 m-1 แล้ว เราหันไปหาคุณสมบัติของการเปรียบเทียบองศากับเลขชี้กำลังธรรมชาติเดียวกัน ซึ่งมีสูตรดังนี้: ของสององศาที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติเหมือนกัน n น้อยกว่าค่าที่มีฐานน้อยกว่า และมากกว่าค่าที่มีฐานมากกว่า มาพิสูจน์กัน อสมการ a n คุณสมบัติของอสมการความไม่เท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์ในรูปแบบ a n (2,2) 7 และ มันยังคงพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ มากำหนดสูตรกัน จากสององศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติและฐานบวกเดียวกัน น้อยกว่าหนึ่ง ระดับจะมากกว่า ตัวบ่งชี้ที่น้อยกว่า และสององศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติและฐานเดียวกันมากกว่าหนึ่ง ระดับที่ตัวบ่งชี้มากกว่านั้นมากกว่า เราหันไปหาหลักฐานของทรัพย์สินนี้ ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ 0 ยังคงต้องพิสูจน์ส่วนที่สองของทรัพย์สิน ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ m>n และ a>1 a m >a n เป็นจริง ความแตกต่าง a m −a n หลังจากถอด n ออกจากวงเล็บแล้วจะมีรูปแบบ a n ·(a m−n −1) ผลคูณนี้เป็นค่าบวก เนื่องจากสำหรับ a>1 ระดับของ n เป็นจำนวนบวก และผลต่าง a m−n −1 เป็นจำนวนบวก เนื่องจาก m−n>0 เนื่องจากเงื่อนไขตั้งต้น และสำหรับ a>1 ระดับของ m−n มากกว่า 1 ดังนั้น a m − a n >0 และ a m >a n ซึ่งจะต้องพิสูจน์ คุณสมบัตินี้แสดงโดยอสมการ 3 7 >3 2
. ผลิตภัณฑ์สุดท้าย ตามคุณสมบัติของการคูณ สามารถเขียนใหม่เป็น 
ซึ่งเท่ากับ a n b n
.
.
.
. เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น นี่คือตัวอย่างที่มีตัวเลขเฉพาะ: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. สำหรับแต่ละผลิตภัณฑ์ของแบบฟอร์ม a·a เท่ากับผลคูณของโมดูลของตัวเลข a และ a จึงเป็นจำนวนบวก ดังนั้นผลิตภัณฑ์ก็จะเป็นบวกเช่นกัน 
และองศา a 2 ม. นี่คือตัวอย่าง: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 และ .
. ผลิตภัณฑ์ทั้งหมด a·a เป็นจำนวนบวก ผลคูณของจำนวนบวกเหล่านี้เป็นบวกด้วย และการคูณด้วยจำนวนลบที่เหลือจะทำให้เกิดจำนวนลบ เนื่องจากคุณสมบัตินี้ (-5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
เนื่องจากจำนวนเต็มบวกเป็นตัวเลขธรรมชาติ ดังนั้นคุณสมบัติทั้งหมดของยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวกจึงตรงกับคุณสมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติที่แสดงและพิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อนหน้า
ดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ เช่นเดียวกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ เรากำหนดในลักษณะที่คุณสมบัติทั้งหมดขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติซึ่งแสดงด้วยความเท่าเทียมกันยังคงใช้ได้ ดังนั้น คุณสมบัติทั้งหมดเหล่านี้จึงใช้ได้กับทั้งเลขชี้กำลังศูนย์และเลขชี้กำลังลบ ในขณะที่แน่นอน ฐานขององศาไม่เป็นศูนย์
ดังนั้น สำหรับจำนวนจริงและไม่เป็นศูนย์ใดๆ a และ b รวมทั้งจำนวนเต็ม m และ n ใดๆ สิ่งต่อไปนี้เป็นจริง คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม:
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n ;
- ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก a และ b เป็นจำนวนบวก และ a bn;
- ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็ม และ m>n แล้วที่ 0
สำหรับ a=0 ยกกำลัง a m และ a n จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อทั้ง m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก นั่นคือจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น คุณสมบัติที่เพิ่งเขียนก็ใช้ได้สำหรับกรณีที่ a=0 และตัวเลข m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
ไม่ยากเลยที่จะพิสูจน์คุณสมบัติแต่ละอย่าง เท่านี้ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้คำจำกัดความของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติและเลขจำนวนเต็ม รวมทั้งคุณสมบัติของการกระทำด้วยจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น มาพิสูจน์ว่าสมบัติกำลังถือได้ทั้งจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มไม่บวก ในการทำเช่นนี้ เราต้องแสดงให้เห็นว่าถ้า p เป็นศูนย์หรือจำนวนธรรมชาติ และ q เป็นศูนย์หรือจำนวนธรรมชาติ ความเท่าเทียมกัน (a p) q =a p q , (a −p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) และ (a−p)−q =a (−p) (−q). มาทำกัน
สำหรับค่าบวก p และ q ความเท่าเทียมกัน (a p) q =a p·q ได้รับการพิสูจน์แล้วในหัวข้อย่อยก่อนหน้านี้ ถ้า p=0 เราก็มี (a 0) q =1 q =1 และ a 0 q =a 0 =1 ดังนั้น (a 0) q =a 0 q ในทำนองเดียวกัน ถ้า q=0 แล้ว (a p) 0 =1 และ a p 0 =a 0 =1 ดังนั้น (a p) 0 =a p 0 ถ้าทั้ง p=0 และ q=0 แล้ว (a 0) 0 =1 0 =1 และ a 0 0 =a 0 =1 ดังนั้น (a 0) 0 =a 0 0
ให้เราพิสูจน์ว่า (a −p) q =a (−p) q โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังลบ แล้ว 
. โดยคุณสมบัติของผลหารในระดับดีกรี เรามี 
. ตั้งแต่ 1 p =1·1·…·1=1 และ แล้ว . นิพจน์สุดท้าย ตามคำจำกัดความ พลังของรูปแบบ a −(p q) ซึ่งโดยอาศัยกฎการคูณ สามารถเขียนเป็น (−p) q ได้
ในทำนองเดียวกัน 
.
และ 
.
ด้วยหลักการเดียวกันนี้ เราสามารถพิสูจน์คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดของระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ซึ่งเขียนในรูปของความเท่าเทียมกัน
ในตอนท้ายของคุณสมบัติที่เขียนลงไป มันคุ้มค่าที่จะพิจารณาการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน a −n >b −n ซึ่งเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มลบ −n และค่าบวก a และ b ใด ๆ ที่เงื่อนไข a . เนื่องจากโดยเงื่อนไข a 0 . ผลคูณ a n ·b n ยังเป็นบวกเนื่องจากเป็นผลคูณของจำนวนบวก a n และ b n จากนั้นเศษส่วนที่ได้จะเป็นบวกเป็นผลหารของจำนวนบวก b n - a n และ a n b n ดังนั้น a −n >b −n จึงต้องพิสูจน์
คุณสมบัติสุดท้ายขององศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับคุณสมบัติที่คล้ายคลึงขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ
คุณสมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
เรากำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนโดยการขยายคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนมีคุณสมบัติเหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม กล่าวคือ:
การพิสูจน์คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังแบบเศษส่วนนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังแบบเศษส่วน บนและตามคุณสมบัติของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม มาพิสูจน์กัน
โดยนิยามของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน และ แล้ว 
. คุณสมบัติของรูทเลขคณิตทำให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ นอกจากนี้ โดยใช้คุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม เราได้รับ ดังนั้นโดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน เราได้ 
และเลขชี้กำลังของดีกรีที่ได้รับสามารถแปลงได้ดังนี้: . นี้เสร็จสิ้นการพิสูจน์
คุณสมบัติที่สองของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันทุกประการ: 
ความเท่าเทียมกันที่เหลือได้รับการพิสูจน์โดยหลักการที่คล้ายกัน: 
เราหันไปหาหลักฐานของทรัพย์สินต่อไป ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับ a และ b ที่เป็นบวก a บีพี มาเขียนกันเถอะ จำนวนตรรกยะ p เป็น m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เงื่อนไข p<0 и p>0 ในกรณีนี้จะเท่ากับเงื่อนไข m<0 и m>0 ตามลำดับ สำหรับ m>0 และ a
ในทำนองเดียวกัน สำหรับ m<0 имеем a m >b m มาจากไหน นั่นคือและ a p >b p
ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติรายการสุดท้าย ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนตรรกยะ p และ q , p>q สำหรับ 0 
และ 
. และคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะทำให้เราส่งผ่านไปยังอสมการและตามลำดับได้ จากนี้เราได้ข้อสรุปสุดท้าย: สำหรับ p>q และ 0
คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ
จากการนิยามดีกรีที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ สามารถสรุปได้ว่ามีคุณสมบัติทั้งหมดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ดังนั้นสำหรับ a>0 , b>0 และจำนวนอตรรกยะ p และ q ใด ๆ สิ่งต่อไปนี้เป็นจริง คุณสมบัติขององศากับ ตัวชี้วัดที่ไม่ลงตัว :
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- สำหรับจำนวนบวกใด ๆ a และ b , a 0 ความไม่เท่าเทียมกัน a p ข พี ;
- สำหรับจำนวนอตรรกยะ p และ q , p>q ที่ 0
จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังจริง p และ q สำหรับ a>0 มีคุณสมบัติเหมือนกัน
บรรณานุกรม.
- Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I. , Chesnokov A.S. , Shvartburd S.I. ตำราคณิตศาสตร์ Zh สำหรับ 5 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
- Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราสำหรับ 7 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
- Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราสำหรับ 8 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
- Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราเรียนสำหรับ 9 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
- Kolmogorov A.N. , Abramov A.M. , Dudnitsyn Yu.P. และอื่นๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
- Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค)
MBOU "Sidorskaya
การพัฒนาโครงร่างแผน เปิดบทเรียน
ในพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ในหัวข้อ:
จัดทำและดำเนินการ
ครูคณิตศาสตร์
Iskhakova E.F.
โครงร่างของบทเรียนเปิดในพีชคณิตในเกรด 11
หัวข้อ : "ดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ".
ประเภทบทเรียน : การเรียนรู้สื่อใหม่ๆ
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
เพื่อให้นักเรียนได้รู้จักกับแนวคิดของปริญญาที่มีตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลและคุณสมบัติหลัก โดยอ้างอิงจากเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้ (ระดับที่มีตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม)
พัฒนาทักษะการคำนวณและความสามารถในการแปลงและเปรียบเทียบตัวเลขด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเหตุเป็นผล
เพื่อปลูกฝังความรู้ทางคณิตศาสตร์และความสนใจทางคณิตศาสตร์ให้กับนักเรียน
อุปกรณ์ : การ์ดงาน, การนำเสนอของนักเรียนในระดับที่มีตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม, การนำเสนอของครูในระดับที่มีตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล, แล็ปท็อป, เครื่องฉายมัลติมีเดีย, หน้าจอ
ระหว่างเรียน:
เวลาจัด.
การตรวจสอบการดูดซึมของหัวข้อที่ครอบคลุมโดยการ์ดงานแต่ละรายการ
งานหมายเลข 1
=2;
ข) = x + 5;
แก้ระบบ สมการอตรรกยะ: - 3 = -10,
4 - 5 =6.
งานหมายเลข 2
แก้สมการอตรรกยะ: 
= - 3;
ข) = x - 2;
แก้ระบบสมการอตรรกยะ: 2 + = 8,
3 - 2 = - 2.
การนำเสนอหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน
หัวข้อบทเรียนของเราวันนี้ องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ».
คำอธิบายเนื้อหาใหม่เกี่ยวกับตัวอย่างที่ศึกษาก่อนหน้านี้
คุณคุ้นเคยกับแนวคิดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มแล้ว ใครสามารถช่วยฉันจำพวกเขาได้บ้าง
ซ้ำกับการนำเสนอ องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม».
สำหรับตัวเลข a , b และจำนวนเต็มใดๆ m และ n เท่ากับเป็นจริง:
a m * a n = a m + n ;
a m: a n = a m-n (a ≠ 0);
(น) n = นาที ;
(a b) n = a n * b n ;
(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0) ;
ก 1 = ก ; 0 = 1(a ≠ 0)
วันนี้เราจะสรุปแนวคิดของระดับของตัวเลขและให้ความหมายกับนิพจน์ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน มาแนะนำ คำนิยามองศาพร้อมตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล (การนำเสนอ "ดีกรีด้วยตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล"):
ดีกรีของ a > 0 ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ r = , ที่ไหน ม เป็นจำนวนเต็ม และ น - เป็นธรรมชาติ ( น > 1) เรียกเลขหมาย ม .
โดยนิยามแล้ว เราจะได้สิ่งนั้น = ม .
ลองใช้คำจำกัดความนี้เมื่อทำงาน
ตัวอย่าง #1
ฉันแสดงเป็นรูทของตัวเลขนิพจน์:
แต่) ข) ที่) .
ทีนี้มาลองใช้คำจำกัดความนี้แบบย้อนกลับกัน
II แสดงนิพจน์เป็นกำลังด้วยเลขยกกำลังที่เป็นตรรกยะ:
แต่) 2 ข) ที่) 5 .
ยกกำลัง 0 ถูกกำหนดสำหรับเลขชี้กำลังบวกเท่านั้น
0 r= 0 สำหรับใดๆ r> 0.
โดยใช้คำจำกัดความนี้ ที่บ้านคุณจะต้องกรอก #428 และ #429
ให้เราแสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความข้างต้นของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะรักษาคุณสมบัติพื้นฐานขององศาที่เป็นจริงสำหรับเลขชี้กำลังใดๆ
สำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ r และ s และค่าบวก a และ b ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:
1 0 . เอ r เอ ส =a r+s ;
ตัวอย่าง: *
ยี่สิบ . r: a s =a r-s ;
ตัวอย่าง: :
3 0 . (a r ) s =a rs ;
ตัวอย่าง: ( -2/3
4 0 . ( อะบี) r = เอ r ข r ; 5 0 . ( = .
ตัวอย่าง: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2
ตัวอย่างการใช้คุณสมบัติหลายอย่างพร้อมกัน: * : .
ฟิซกุลทมินูทก้า.
เราวางปากกาบนโต๊ะ เหยียดหลังให้ตรง และตอนนี้เราเอื้อมมือไปข้างหน้า เราต้องการแตะกระดาน และตอนนี้เรายกและเอนไปทางขวา ไปทางซ้าย ไปข้างหน้า ข้างหลัง พวกเขาแสดงปากกาให้ฉันดู และตอนนี้แสดงให้ฉันเห็นว่านิ้วของคุณเต้นได้อย่างไร
ทำงานกับวัสดุ
เราสังเกตคุณสมบัติอีกสองประการของกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:
60 . อนุญาต r เป็นจำนวนตรรกยะและ 0< a < b . Тогда
เอ r < b rที่ r> 0,
เอ r < b rที่ r< 0.
7 0 . สำหรับจำนวนตรรกยะใดๆrและ สจากความไม่เท่าเทียมกัน r> สตามนั้น
เอ r> a rสำหรับ > 1,
เอ r < а rที่ 0< а < 1.
ตัวอย่าง: เปรียบเทียบตัวเลข:
และ ; 2 300 และ 3 200 .
สรุปบทเรียน:
วันนี้ในบทเรียน เราจำคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม เรียนรู้คำจำกัดความและคุณสมบัติพื้นฐานของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ พิจารณาการประยุกต์ใช้สิ่งนี้ วัสดุทางทฤษฎีในทางปฏิบัติระหว่างการออกกำลังกาย ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่หัวข้อ "ปริญญาด้วยตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล" เป็นข้อบังคับใน ใช้การมอบหมาย. กำลังเตรียมการ การบ้าน (หมายเลข 428 และหมายเลข 429
บทเรียนวิดีโอ "ดีกรีด้วยตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล" ประกอบด้วยภาพ สื่อการศึกษาที่จะสอนในหัวข้อนี้ บทเรียนวิดีโอประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับแนวคิดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นเหตุเป็นผล คุณสมบัติ องศาดังกล่าว ตลอดจนตัวอย่างที่อธิบายการใช้สื่อการศึกษาเพื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ งานของบทเรียนวิดีโอนี้คือการนำเสนอสื่อการศึกษาอย่างชัดเจนและชัดเจน เพื่ออำนวยความสะดวกในการพัฒนาและการท่องจำของนักเรียน เพื่อสร้างความสามารถในการแก้ปัญหาโดยใช้แนวคิดที่เรียนรู้
ข้อได้เปรียบหลักของบทเรียนวิดีโอคือความสามารถในการแปลงภาพและการคำนวณ ความสามารถในการใช้เอฟเฟกต์แอนิเมชั่นเพื่อปรับปรุงประสิทธิภาพการเรียนรู้ เสียงประกอบช่วยพัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง และยังทำให้สามารถเปลี่ยนคำอธิบายของครูได้ ทำให้เขามีอิสระในการทำงานเป็นรายบุคคล
วิดีโอกวดวิชาเริ่มต้นด้วยการแนะนำหัวข้อ เชื่อมโยงการศึกษา หัวข้อใหม่ด้วยวัสดุที่ศึกษาก่อนหน้านี้ ขอแนะนำให้จำไว้ว่า n √ a ถูกแทนด้วย 1/n สำหรับ n ตามธรรมชาติและค่าบวก a การแสดง n-root นี้จะแสดงบนหน้าจอ นอกจากนี้ เสนอให้พิจารณาว่านิพจน์ a m / n หมายถึงอะไร โดยที่ a เป็นจำนวนบวก และ m / n เป็นเศษส่วน คำจำกัดความของดีกรีที่ไฮไลต์ในกล่องนั้นใช้เลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะเป็น m/n = n √ a m สังเกตว่า n เป็นจำนวนธรรมชาติ และ m เป็นจำนวนเต็ม
หลังจากกำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะแล้ว ความหมายของมันจะถูกเปิดเผยโดยตัวอย่าง: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . ตัวอย่างยังแสดงให้เห็นด้วยว่ากำลังแทนด้วยทศนิยมถูกแปลงเป็นเศษส่วนร่วมเพื่อแทนค่าราก: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 และตัวอย่างจาก ค่าลบองศา: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1
คุณลักษณะของกรณีเฉพาะจะถูกระบุแยกกันเมื่อฐานของดีกรีเป็นศูนย์ มีข้อสังเกตว่าระดับนี้สมเหตุสมผลกับเลขชี้กำลังที่เป็นบวกเท่านั้น ในกรณีนี้ ค่าของมันเท่ากับศูนย์: 0 m/n =0
คุณลักษณะอื่นของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะถูกบันทึกไว้ - ระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนไม่สามารถพิจารณาด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนได้ ตัวอย่างของสัญกรณ์ที่ไม่ถูกต้องของระดับจะได้รับ: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .
นอกจากนี้ในบทเรียนวิดีโอ จะพิจารณาคุณสมบัติของระดับที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเหตุเป็นผล มีข้อสังเกตว่าคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มจะใช้ได้สำหรับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ เสนอให้เรียกคืนรายการคุณสมบัติที่ใช้ได้ในกรณีนี้:
- เมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน อินดิเคเตอร์ของพวกมันจะถูกรวมเข้าด้วยกัน: a p a q \u003d a p + q
- การแบ่งองศาที่มีฐานเท่ากันจะลดลงเป็นองศาด้วยฐานที่กำหนดและส่วนต่างของเลขชี้กำลัง: a p:a q =a p-q .
- หากเราเพิ่มกำลังเป็นกำลังหนึ่ง ผลที่ได้คือเราได้กำลังจากฐานที่กำหนดและผลคูณของเลขชี้กำลัง: (a p) q =a pq .
คุณสมบัติทั้งหมดเหล่านี้ใช้ได้กับกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ p, q และฐานบวก a>0 นอกจากนี้ การแปลงดีกรียังคงเป็นจริงเมื่อเปิดวงเล็บ:
- (ab) p =a p b p - การเพิ่มผลคูณของตัวเลขสองตัวเป็นกำลังที่แน่นอนด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะจะลดลงเป็นผลคูณของตัวเลขซึ่งแต่ละตัวจะถูกยกกำลังตามที่กำหนด
- (a/b) p =a p /b p - การยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะของเศษส่วนลดลงเหลือเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนยกกำลังที่กำหนด
วิดีโอกวดวิชากล่าวถึงวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างที่ใช้คุณสมบัติที่พิจารณาแล้วขององศาพร้อมกับเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ในตัวอย่างแรก เสนอให้ค้นหาค่าของนิพจน์ที่มีตัวแปร x ยกกำลังเศษส่วน: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1) แม้จะมีความซับซ้อนของการแสดงออกโดยใช้คุณสมบัติขององศา แต่ก็แก้ไขได้ค่อนข้างง่าย การแก้ปัญหาของงานเริ่มต้นด้วยการลดความซับซ้อนของนิพจน์ซึ่งใช้กฎของการเพิ่มระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเหตุเป็นผลรวมทั้งการคูณองศาด้วย ฐานเดียวกัน. หลังจากแทนที่ค่าที่กำหนด x=8 ลงในนิพจน์แบบง่าย x 1/3 +48 แล้วจะได้รับค่า - 50 ได้ง่าย
ในตัวอย่างที่สอง จำเป็นต้องลดเศษส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนเป็นเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ โดยใช้คุณสมบัติของดีกรี เราเลือกตัวประกอบ x 1/3 จากผลต่าง จากนั้นจึงลดลงในตัวเศษและตัวส่วน และใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง ตัวเศษจะแยกตัวเป็นปัจจัย ซึ่งจะทำให้ค่าลดลงมากขึ้น ปัจจัยเดียวกันในตัวเศษและส่วน ผลลัพธ์ของการแปลงดังกล่าวคือเศษส่วนสั้น x 1/4 +3
บทเรียนวิดีโอ "ดีกรีด้วยตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล" สามารถใช้แทนครูที่อธิบายหัวข้อใหม่ของบทเรียนได้ นอกจากนี้ คู่มือนี้มีข้อมูลเพียงพอสำหรับ การศึกษาด้วยตนเองนักเรียน. เนื้อหานี้มีประโยชน์ในการเรียนทางไกล
นอกจากนี้เรายังแนะนำ
กำลังโหลด...